Một số thuật toán runge kutta với bước lưới thay đổi giải một lớp phương trình vi phân đại số

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIấN Phan Quang Tuyn MđT SO THUắT TON RUNGE - KUTTA VéI BƯéC LƯéI THAY ĐOI GIÁI M®T LéP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐAI SO LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - 2019 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Phan Quang Tuyn MđT SO THUắT TON RUNGE - KUTTA VéI BƯéC LƯéI THAY ĐOI GIÁI M®T LéP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐAI SO Chuyên ngành: Toán úng dnng Mã so: 8460112.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS TSKH Vũ Hồng Linh Hà N®i - 2019 LèI CÁM ƠN Trưác trình bày n®i dung cua lu¾n văn, tơi xin bày tõ lịng biet ơn sâu sac tái thay giáo PGS TSKH Vũ Hoàng Linh, ngưài trnc tiep hưáng dan, chi day đe tơi có the hồn thành lu¾n văn Tơi xin bày tõ lòng biet ơn chân thành đen Khoa Tốn- Cơ- Tin Khoa HQC Tn nhiên Hà N®i − Đai HQC Quoc gia Hà N®i, quý thay giáo tham gia giãng day khóa cao HQC HQC, Phòng Sau đai HQC, Trưàng Đai HQC 2017- 2019 day bão tơi t¾n tình suot q trình HQC t¾p tai trưàng Tơi xin gui lài cãm ơn chân thành nhat tái gia đình, ban bè, đong nghi¾p ã Khoa khoa HQC CƠ bãn, Trưàng Sĩ quan Pháo binh, nơi công tác, hő tra, đng viờn v tao MQI ieu kiắn cho tụi HQC t¾p, nghiên cúu thnc hi¾n lu¾n văn Cuoi cùng, xin chân thành cãm ơn TS Nguyen Duy Trưàng, giãng viên trưàng Sĩ quan lnc quân 1, toàn the ban bè, anh ch% em láp cao HQC 2017- 2019 đ®ng viên giúp cho tụi quỏ trỡnh thnc hiắn luắn H Nđi, ngày 28 tháng 11 năm 2019 HQC VIÊN Phan Quang Tuyen Mnc lnc Giái thi¾u 1.1 1.2 1.3 13 Phương trình vi phân đai so 13 1.1.1 Khái ni¾m phân loai phương trình vi phân đai so 13 1.1.2 Chi so cua phương trình vi phân đai so 15 Phương pháp Runge-Kutta cho phương trình vi phân thưàng 18 1.2.1 Phương pháp Runge-Kutta tőng quát 19 1.2.2 Sn h®i tn tính őn đ%nh cua phương pháp Runge-Kutta 20 Đánh giá sai so lna CHQN bưác bang phương pháp nhúng 21 1.3.1 Ý tưãng cua phương pháp nhúng RK .21 1.3.2 Phương pháp nhúng RK 22 Phương pháp Runge-Kutta núa hi¾n giái phương trình vi phân đai so 25 2.1 Trưàng hap phương trình vi phân đai so dang nua hi¾n chi so 2.2 Trưàng hap phương trình vi phân đai so khơng có tính la .27 2.3 25 2.2.1 Phân tích toán 28 2.2.2 Phương pháp Runge-Kutta nua hi¾n 30 Trưàng hap phương trình vi phân đai so khơng có tính la có cau trúc 34 2.3.1 Phân tích cau trúc cua tốn .35 2.3.2 Sn phn thuđc cua nghiắm vào du li¾u 37 2.3.3 Rài rac hóa bang phương pháp Runge-Kutta nua hi¾n 39 2.3.4 Sn hđi tn cua phng phỏp Runge-Kutta nua hiắn 42 2.3.5 Tính őn đ%nh tuy¾t đoi cua phương pháp Runge-Kutta nua hi¾n 44 Phương pháp Runge-Kutta vái bưác lưái thay đoi giái phương trình vi phân đai so 3.1 3.2 48 Phương pháp nhúng 48 3.1.1 Phương trình vi phân đai so khơng có tính la 50 3.1.2 Phương trình vi phân đai so khơng có tính la có cau trúc 51 Thu nghi¾m so .53 Ket lu¾n 65 Tài li¾u tham kháo 66 DANH MUC KÝ HI›U N R C T¾p hap so tn nhiên T¾p T¾p so so thnc phúc I Đoan [0, T] ⊂ R R m, (Cm ) Không gian véc tơ m chieu R, (C) m1,m2 Rp Khơng gian ma tr¾n thnc cã m1 × m2 m C p( I, Rm ),m2 Khơng gian hàm véc tơ m chieu khã vi liên tnc cap p C ( I, R ) Không gian cỏc hm ma trắn có m1 ì m2 khó vi liên tnc cap p Ik Ma tr¾n đơn v% cap k rank (A ) Const Hang cua ma tr¾n A Hang so O(hk ) Q Vơ bé b¾c vái hk Đieu phãi chúng minh DANH MUC VI€T TAT BTGTBĐ Bài toán giá tr% ban đau ƠĐTĐ On đ%nh tuy¾t đoi PTVPT Phương trình vi phân thưàng PTVPĐS Phương trình vi phân đai so RK Phương pháp Runge-Kutta HERK Phương pháp Runge-Kutta nua hi¾n (Half explicit RungeKutta) IRKPhương pháp Runge-Kutta an (Implicit Runge-Kutta) HEOL Phương pháp mđt chõn nua hiắn (Half explicit One - leg ) HELM Phương pháp đa bưác nua hi¾n (Half explicit linear multistep) LèI Mé ĐAU Trong thnc te, g¾p rat nhieu toán lĩnh vnc khoa HQC kĩ thu¾t CHAT lõng, HQC, hóa HQC, h¾ mach iắn, lý thuyet ieu khien, đng lnc HQC v.v ac mụ hỡnh húa dỏi dang mđt hắ hn hap phương trình vi phân ket hap vái ràng buđc so Cỏc hắ ú ac GQI l phng trình vi phân đai so (PTVPĐS, DAEs) PTVPĐS có dang tőng quát F (t, x, xJ ) = 0, (0.0.1) t ∈ I = [0, T ], F : I × R m × R m → R n , m, n ∈ N Neu ma tr¾n Jacobi cua F theo x J không Jsuy bien, theo đ%nh lý hàm an, tù phương trình (0.0.1) ta có the giãi đưac x = f (t, x ), dang cua phương trình vi phân thưàng (PTVPT) Trong trưàng hap tőng quát, ma tr¾n Jacobi cua F theo x J có the suy bien Khi đó, có m®t PTVPĐS, hay cịn GQI phương trình vi phân an Ví dn 0.0.1 [5, Example 1.3 ]Xét m®t lac đơn có khoi lưang m chieu dài l hắ trnc tQA đ e cỏc Oxy nh hình ve: Hình 1: Con lac đơn x J2 + yJ2 , U = mgy, g Đ®ng the cua lac T = m gia toc trQNG trưàng, vái ràng bu®c x2 + y2 − 2l = 0, ta có hàm Lagrange Σ Σ Σ L = m x J2 + yJ2 − mgy − λ x2 + y2 − l , vái tham so Lagrange λ Phương trình chuyen đ®ng cua lac có dang Σ ddt ∂q ∂LJ ∂L −∂q , vái bien q = x, y, λ, nghĩa ta có: mxJJ + 2λx = 0, (0.0.2) myJJ + mg + 2λy = 0, x2 + y2 − l2 = Bang cách đ¾t bien mái u = x J , v = yJ , phương trình (0.0.2) trã thành xJ − u = 0, (0.0.3) yJ − v = 0, muJ + 2λx = 0, mvJ + mg + 2λy = 0, x2 + y2 − l2 = Đây m®t PTVPĐS có chi so vái bien x, y, u, v, λ Giã su, ta giãi tốn giá tr% ban đau (BTGTBĐ) (0.0.1) vái đieu ki¾n đau x(0) = x0, x0 ∈ Rm Sn ton tai v nhat nghiắm cua BTGTB (0.0.1) phn thuđc vo đieu ki¾n ban đau x0 Trong ví dn (0.0.1) đe h¾ (0.0.3) có nghi¾m đieu ki¾n nhat ta can có x2 + y2 = l2 Khơng nhung v¾y, đieu ki¾n ban đau cua PTVPĐS cịn có the liên 0 quan đen đao hàm cua ràng bu®c tai thài điem ban đau, xem [3] Các PTVPĐS xuat hi¾n tù tốn thnc te thưàng h¾ rat phúc tap, khơng có hy vQNG giãi đúng, nhieu trưàng hap chi can biet thơng tin ve nghi¾m so ho¾c nghi¾m gan vái múc đ® xác nhat đ%nh Vi¾c nghiên cúu giãi so cho PTVPT phát trien tù lâu, vi¾c nghiên cúu lý thuyet phương pháp so cua PTVPĐS mái phát trien manh khoãng 30 năm trã lai Các phương pháp so cho PTVPĐS đeu đưac mã i−2 a K Σ EiUi − E(tn)U1 K Σ i−1 = ai,i− − h ∑ i,j j j= Các nghi¾m xap xi Ui, Ki−1, i = 2, , s cua c¾p phương pháp nhúng RK đeu đưac tính m®t nac Cuoi cùng, ta xác đ%nh nghi¾m xn+1: E(tn+1)xn+1 = E(tn)U1 +i= bi Ki, s h∑ dna vào h¾: − E)s,J s , ,Ks Us= ,h0f T =(sg)(,tU x n+1 n+1 Σ K Σ E(tn+1)xn+1 − E(tn)xn s−1 b K Σ = s b nghi¾m yn+1: E(tn+1)yn+1 = E(tn)U1 + s h ∑s phương trình đai so ∑ i=1 − h i= ii di Ki đưac xác đ%nh tù h¾ ( s ), U , K − E J s , y s s Us= ,h0f T = g(tn+1 n+1 ), Σ Σ E(tn+1)yn+1 − K E(tn )xn − h s−1 d K Σ s = s d i=1 ∑ i i So sánh |yn+1 − xn+1| ≤ TOL Neu bat thúc ta se giu bưác lưái h, tính lai xn+1, yn+1 vái xn → yn+1, tăng k → k + 1, t = t + h Neu t + h > t f h = t f − t Neu bat thúc khơng thõa mãn bưác h đưac thay the bang bưác mái h˜ : Σ p+ f racTOL h˜ = h |yn+1 − xn+1| Tiep tnc trình tính tốn cho đen dùng lai, ta có the in thài gian tính tốn, so bưác k, sai so tính tốn nghi¾m giua phương pháp, sai so cua nghi¾m thnc so vái nghi¾m xác, ve đo bưác lưái h theo thài gian v.v phép đői bien (t) = Qkhơng (t)y(tcó ) setính đưala ve PTVPĐS nuabien hi¾n so (2.3.6) Ta thay rang xPTVPĐS vàdang có cau trúc dang đőichi (2.3.3) qua pháp RK có cap p + tính őn đ%nh hđi tn ac bóo ton Ta cú hắ quó sau: Khi đó, áp dnng phương pháp nhúng RK có cap p đưac nhúng phương M¾nh đe 3.1.1 Phương pháp nhúng vái c¾p phương pháp RK cap p cap p + 1, ket hap vái phương pháp Runge-Kutta nua hi¾n (HERK) giãi PTVPĐS khơng có tính la có cau trúc có cap h®i tn p Chnng minh M¾nh đe đưac suy trnc tiep tù Đ%nh lí 2.1.1, Đ%nh lí 2.3.1 Bő đe 2.3.2 3.2 Thú nghi¾m so Ví dn 3.2.1 Xét BTGTBĐ cho phương trình thu PTVPĐS Σ1 ωt Σ − Σ λ ω(1 λt) −1 + ωt Σ x, vái mđt so cỏc giỏ tr% tham so ắc biắt λJxvà = ω đoan [0, 5] PTVPĐS tính la có cau trúc, cho giá tr% ban đau x1(0) = 1, x2(0) = 1, nghi¾m xác Σx = Σ λt eωt + )(1eλt Su dnng phương pháp nhúng ket hap phương pháp HERK áp dnng cho phương trình thu PTVPĐS đưac viet dưái dang khơng có tính la a) Su dnng phương pháp nhúng vái c¾p Fehlberg4(5) Do c¾p phương pháp RK ban đau có cap xác 4, nên có the xãy hi¾n tưang giãm cap xác Kiem tra bang thu nghi¾m so vái phương pháp HERK cap cap cho phương trình thu PTVPĐS vái bưác lưái đeu h Kí hi¾u phương phương pháp RK Fehlberg cap cap lan lưat RKF4 RKF5 Chúng ta thay c¾p phương pháp RK h=0.025 Toc đ® h®i tn cua x1 Toc đ® h®i tn cua x2 h/2 4.0171e − 01 1.1433 h/4 2.2101 2.0416 h/8 1.3406 1.3125 h/16 1.1606 1.1533 h/32 1.0875 1.0871 h/64 1.0488 1.0513 Bãng 3.1: Kiem trah/128 cap xác cua phương pháp RKF4 vái λ = −1, ω = 100 1.0278 1.0316 h=0.025 Toc đ® h®i tn cua x1 Toc đ® h®i tn cua x2 h/2 1.6026 2.0151 h/4 2.6948 2.6266 h/8 2.1067 2.0966 h/16 2.0345 2.0322 Bãng 3.2: Kiem tra cap chính2.0195 xác cua phương pháp2.0189 RKF5 vái λ = −1, ω = 100 h/32 Fehlbergh/64 có cap cap b% giãm cap chính2.0115 xác xuong cap 2.0116 h/128 cap Do đó, áp dnng2.0065 phương pháp nhúng2.0064 RK Fehlberg trưàng hap khơng có ý nghĩa su dnng chi phí tính tốn lán cho phương pháp RK cap cap mà ket quã thu đưac không tot su dnng phương pháp HERK vái bưác lưái đeu h b) Su dnng phương pháp nhúng vái c¾p Dormand-Prince4(5) Kiem tra bang thu nghi¾m so vái phương pháp HERK cap cap cho phương trình thu PTVPĐS vái bưác lưái đeu h Kí hi¾u phương phương pháp RK DormandPrince cap cap lan lưat RKDP4 RKDP5 Qua thu nghi¾m so, thay c¾p phương pháp RK Dormandh=0.025 Toc đ® h®i tn cua x1 Toc đ® h®i tn cua x2 h/2 1.4762 1.4809 h/4 1.9411 1.9431 h/8 2.0457 2.0463 h/16 2.0467 2.0468 h/32 2.0298 2.0299 h/64 2.0166 2.0166 Bãng 3.3: Kiem trah/128 cap xác cua phương pháp RKDP4 vái λ = −1, ω = 100 2.0087 2.0087 h=0.025 Toc đ® h®i tn cua x1 Toc đ® h®i tn cua x2 h/2 9.2868e − 01 9.2864e − 01 h/4 2.2381 2.2381 h/8 2.8635 2.8635 h/16 3.0300 3.0300 Bãng 3.4: Kiemh/32 tra cap 3.0546 xác cua phương pháp RKDP5 3.0545 vái λ = −1, ω = 100 Prince cóh/64 cap cap 53.0402 b% giãm cap xác xuong cap cap 3.0417 h/128 tương úng 3.0151 3.0082 sai so đánh giá cua xi,nhúng (i = su 1,dnng 2) làc¾p sai so giua nghi¾m xaplàxi dùng Kí hi¾u phương pháp Dormand-Prince4(5) sHERKDP4(5), h=0.02 hh h/2 h/4 h /8 h/16 h/32 h /64 /128 N 250 500 1000 2000 4000 8000 16000 32000 SS thnc te cua x1 4.7205e − 02 1.0279e − 02 1.8317e − 03 2.8126e − 04 3.9317e − 05 5.2105e − 06 6.7109e − 07 8.5211e − 08 Toc đ® cua x1 2.1993 2.4884 2.7032 2.8387 2.9157 2.9568 2.9774 SS thnc te cua x2 3.1906e − 04 6.9497e − 05 1.2385e − 05 1.9018e − 06 2.6586e − 07 3.5233e − 08 4.5379e − 09 5.7627e − 10 Toc đ® cua x2 2.1988 2.4883 2.7032 2.8387 2.9157 2.9568 2.9772 Bãng 3.6: Thu nghi¾m so bang phương pháp sHERK4 vái λ = −1, ω = 100 Su dnng phương pháp nhúng ket hap vái phương pháp HERK áp dnng −7 có vái trình bưác thu ban đau h đưac = 0.1, so dang tươngkhơng đoi tol 10 Kí cau cho trúc, phương PTVPĐS vietsai dưái có = tính la hi¾u phương pháp nhúng su dnng c¾p Fehlberg 4(5) HERKF4(5), phương pháp nhúng su dnng c¾p Dormand-Prince4(5) HERKDP4(5) Ta có bãng so sánh giua hai phương pháp: h=0.1 HERKF4(5) HERKDP4(5) So bưác 44 41 Sai so đánh giá cua x1 7.5731e 08 Sai so đánh giá cua x2 1.5116e 10 Sai so thnc te cua x1 1.1480e 06 Sai so thnc te cua x2 7.5692e 09 − − − − 7.3105e 10 1.4592e 12 6.1345e 07 4.0076e 09 − − − − Bãng 3.7: So sánh phương pháp HERKF4(5) HERKDP4(5) Ta thay vi¾c su dnng phương pháp nhúng su dnng c¾p DormandPrince4(5) se cho so bưác Đúng sn phân tích phương pháp nhúng sai so thnc te PTVPT cua nghi¾m xi, ipháp = 1, su sai dnng so đánh giua nghi¾m cho phương nhúng c¾pgiáDormandPrince4(5) có xap xi cua phương pháp RK phương pháp nhúng nhõ so vái 57 phương pháp nhúng su dnng c¾p Fehlberg 4(5) Tuy nhiên, sn khác bi¾t giua hai phương pháp không nhieu, hai phng phỏp eu cú cap hđi tn l 4, (Mắnh đe 3.1.1) 57 phương pháp đeu cho ket quã tot Su dnng phương pháp HERK vái bưác lưái đeu h vái phương pháp RK ban đau phương pháp RK cő đien nac, kí hi¾u HERK4 h=0.1 hh h/2 h/4 h /8 h/16 /32 N 50 100 200 400 800 1600 SS thnc te cua x1 4.9282e − 05 2.9542e − 06 1.8083e − 07 1.1188e − 08 6.9424e − 10 4.2586e − 11 Toc đ® cua x1 4.0602 4.0301 4.0146 4.0104 4.0270 SS thnc te cua x2 3.3324e − 07 1.9976e − 08 1.2228e − 09 7.5633e − 11 4.6971e − 12 3.0831e − 13 Toc đ® cua x2 4.0602 4.0301 4.0150 4.0092 3.9293 Bãng 3.8: Thu nghi¾m so bang phương pháp HERK4 vái λ = −1, ω = 100 Dna vàovan thu giu nghi¾m so cho (3.8sai ) tasothay pháp HERK4 cap xáctrong bãng Vái cho phương trưác tol = −7 10 , phương pháp HERK4 can so bưác 200 vái bưác lưái đeu h = 0.025 nhõ, phương pháp HERKF4(5) can so bưác 44, phương pháp HERKDP4(5) can so bưác 41 Như v¾y, phương pháp HERKF4(5) phương pháp HERKDP4(5) cho ket quã tot so vái phương pháp HERK4 vái sai so cho trưác Ví dn 3.2.2 Chúng ta xét PTVPĐS phi tuyen 2t t + txj )2t= x1 x2 et + e −t + t cos te − e sin t, = e x − x + sin t 2 − 1, (3.2.1) x1 ( x j vái t ∈ [0, 5] vái đieu ki¾n ban đau x(0) = [1 0]T Dema dàng ta Jacobi có the kiem tra rang (3.2.1) PTVPĐS khơng có tính la Th¾t v¾y, tr¾n Σ fv E gu Σ x1 tx1 , e−t −1 Σ có đ%nh thúc bang x1 (−1 − tet ) ƒ= vái MQI t ∈ [0, 5] đieu ki¾n ban đau x(0) = [1 0]T PTVPĐS (3.2.1) có nghi¾m nhat x1 = et, x2 = sin t 59 Su dnng phương pháp nhúng ket hap vái phương pháp HERK cho toán PTVPĐS (3.2.1) đưac viet dưái dang khơng có tính la a) Su dnng phương pháp nhúng vái c¾p Fehlberg4(5) h=0.1 Toc đ® h®i tn cua x1 Toc đ® h®i tn cua x2 h/2 1.1099 0.88301 h/4 1.0607 0.94079 h/8 1.0321 0.97068 h/16 1.0165 0.98541 h/32 1.0084 0.99273 Bãng 3.9: Kiem tra cap xác cua phương pháp RKF4 h=0.1 Toc đ® h®i tn cua x1 Toc đ® h®i tn cua x2 h/2 1.9521 1.9483 h/4 1.9762 1.9744 h/8 1.9882 1.9873 h/16 1.9941 1.9937 h/32 1.9971 1.9968 Bãng 3.10: Kiem tra cap xác cua phương pháp RKF5 Chúng ta thay c¾p phương pháp RK Fehlberg có cap cap b% giãm cap xác xuong cịn cap cap Do đó, áp dnng phương pháp nhúng RK Fehlberg trưàng hap khơng có ý nghĩa su dnng chi phí tính tốn lán cho phương pháp RK cap cap mà ket quã thu đưac không tot su dnng phương pháp HERK vái bưác lưái đeu h b) Su dnng phương pháp nhúng vái c¾p Dormand-Prince4(5) Kiem tra bang thu nghi¾m so vái phương pháp HERK cap cap cho phương trình thu PTVPĐS vái bưác lưái đeu h Qua thu nghi¾m so, thay c¾p phương pháp RK Dormand-Prince có cap cap b% giãm cap xác xuong cịn cap cap tương úng h=0.1 Toc đ® h®i tn cua x1 Toc đ® h®i tn cua x2 h/2 1.8678 1.8622 h/4 1.9360 1.9330 h/8 1.9686 1.9670 h/16 1.9845 1.9836 h/32 1.9923 1.9918 Bãng 3.11: Kiem tra cap xác cua phương pháp RKDP4 h=0.025 Toc đ® h®i tn cua x1 Toc đ® h®i tn cua x2 h/2 2.9001 2.9031 h/4 2.9529 2.9537 h/8 2.9771 2.9773 h/16 2.9887 2.9888 h/32 2.9934 2.9935 Bãng 3.12: Kiem tra cap xác cua phương pháp RKDP5 Su dnng phương pháp nhúng vái c¾p Dormand-Prince4(5): so bưác (N) 69 Sai so đánh giá cua x1 2.0796e − 09 Sai so đánh giá cua x2 1.4012e − −7 Bãng 3.13: Phương pháp sHERKDP4(5) vái tol = 1011 , bưác lưái ban đau h = 0.1 Sai so thnc te cua x1 6.9627e − Ket lu¾n Trong lu¾n văn, tơi trình bày phương pháp Runge-Kutta nua hi¾n áp dnng cho láp PTVPĐS dang nua hi¾n, khơng có tính la, khơng có tính la có cau trúc Tù đưa phương pháp nhúng cho phương pháp HERK thnc hi¾n thu nghi¾m so, có đưac m®t so ket q ve đánh giá sai so, so bưác bưác lưái h đe thay đưac: Khi áp dnng phương pháp nhúng cho PTVPĐS dang khơng có tính la vái cap cua phương pháp RK ban đau p > xãy hi¾n tưang giãm cap xác Qua thu nghi¾m so, ta thay su dnng phương pháp nhúng vái c¾p Fehlberg cap cap se b% giãm cap xác xuong cap cap tương úng Do đó, ta se khơng su dnng phương pháp nhúng vái c¾p Fehlberg4(5) trưàng hap Phương pháp nhúng vái c¾p DormandPrince cap cap se b% giãm cap xác xuong cịn cap cap tương úng Tuy nhiên, su dnng phương pháp nhúng vái c¾p DormandPrince4(5) van cho ta so bưác so vái vi¾c áp dnng phương pháp sHERK4 vái bưác lưái h đeu vái sai so cho trưác Khi thnc hi¾n phương pháp nhúng cho PTVPĐS khơng có tính la cau trúc cap xác cua phương pháp RK đưac bão tồn Do đó, vái sai so cho trưác phương pháp nhúng su dnng c¾p Fehlberg4(5) phương pháp nhúng su dnng c¾p Dormand-Price4(5) đeu cho so bưác nhõ nhieu so vái phương pháp HERK4 vái bưác lưái đeu h 65 Tài li¾u tham kháo Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Pham Kỳ Anh (2005), Giãi tích so, NXB Đai HQC Quoc gia Hà N®i [2] Nguyen Duy Trưàng (2019), M®t so phương pháp hi¾u q giãi phương trình vi phân đai so phi tuyen có cau trúc, Lu¾n án tien sĩ tốn HQC, Đai HQC khoa HQC tn nhiên - ĐHQG Hà Nđi Ti liắu tieng Anh [3] U Ascher and L Petzold (1998), Computer methods for Ordinary differential equations and differential - algebraic equations, SIAM, Philadenphia [4] V.Brasey, E Hairer, Half-explicit Runge-Kutta methods for differential-algebraic systems of index 2, SIAM J Numer Anal., 30 (1993), pp 538-552 [5] P Kunkel and V Mehrmann (2006) Differential - Algebraic Equations Analysis and Numerical Solution , European Mathematical Society, Zurich [6] P Kunkel and V Mehrmann, Stability properties of differential-algebraic equations and spin-stabilized discretization, Electron Trans Numer Anal., 26 (2007), pp 385-420 [7] V.H Linh and V Mehrmann (2014), Efficient integration of strangeness-free non-stiff differential-algebraic equations by half-explicit methods, J Comput Appl Math., 262: 346-360 [8] V.H Linh and N.D Truong (2018), Runge - Kutta methods revisited for a class of structured strangeness-free differential-algebraic equations, Electr Trans Num Anal., 48: 131-135 ... Khái ni¾m phân loai phương trình vi phân đai so 13 1.1.2 Chi so cua phương trình vi phân đai so 15 Phương pháp Runge- Kutta cho phương trình vi phân thưàng 18 1.2.1 Phương pháp Runge- Kutta tőng... MUC VI? ??T TAT BTGTBĐ Bài toán giá tr% ban đau ƠĐTĐ On đ%nh tuy¾t đoi PTVPT Phương trình vi phân thưàng PTVPĐS Phương trình vi phân đai so RK Phương pháp Runge- Kutta HERK Phương pháp Runge- Kutta. .. Runge- Kutta vái bưác lưái thay đoi giái phương trình vi phân đai so 3.1 3.2 48 Phương pháp nhúng 48 3.1.1 Phương trình vi phân đai so khơng có tính la 50 3.1.2 Phương trình vi phân