Một số lớp phương trình tích phân dạng chập

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN M®T SO LéP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN DANG CHắP LUắN VN THAC S TON HOC H NđI - 2015 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN M®T SO LéP PHƯƠNG TRÌNH TCH PHN DANG CHắP LUẳN VN THAC S TON HOC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIAI MÃ SO : 60 46 01 02 TÍCH Ngưài thEc hi¾n: NGUYEN TH± HỒN Cao HQC khóa 2013-2015 Ngưài hưáng dan: TS NCVC NGUYEN VĂN NGOC HÀ N®I - 2015 Mnc lnc Ma đau Bien đoi Fourier toán biên Riemann 1.1 M®t so kien thúc bő tro 1.1.1 Không gian Lp 1.1.2 Các bat thúc đ%nh lý ve tích phân 1.1.3 Tích ch¾p 1.1.4 Bien phân b% ch¾n đői Fourier L (R) 1.2 Bien 1.2.1 Đ%nh nghĩa bien đői Fourier L1(R) 1.2.2 Các tính chat ban cna bien đői Fourier Công thúc ngưoc L1(R) 12 1.2.3 1.3 Bien đői Fourier L2(R) 14 1.4 Tích phân Cauchy tích phân Fourier 15 1.4.1 Lóp hàm Holder C0,α .15 1.4.2 Các lóp hàm {0} {{0}} 1.4.3 Giá tr% cna tích phân Cauchy 1.4.4 Hàm đeu 1.4.5 Tích phân Cauchy 1.4.6 Tích phân Fourier 1.5 Bài tốn biên Riemann đoi vói nua m¾t phang 1.5.1 Chi so 1.5.2 Phát bieu toán 1.5.3 Bài tốn bưóc nhay 1.5.4 Bài tốn thuan nhat Hàm tac 1.5.5 Bài tốn khơng thuan nhat ii 15 15 16 18 18 19 19 20 20 21 22 M®t so láp phương trình tích phân dang ch¾p trnc thEc 24 2.1 Phng trỡnh tớch chắp LQAI mđt 24 2.2 Phương trình tích ch¾p loai hai 26 2.3 Phương trình tích ch¾p nua truc (Wiener- Hopf) 30 Phương trình c¾p tích phân dang ch¾p Éng dnng 33 3.1 Phương trình c¾p tích phân vúi nhõn phu thuđc vo hiắu cỏc bien so 33 3.2 Phương trình c¾p tích phân vói nhõn phu thuđc vo hiắu v tng cỏc bien so 35 3.3 Bài tốn biên hon hop đoi vói phương trình đa đieu hịa nua m¾t phang .38 3.3.1 Phương trình đa đieu hịa 38 3.3.2 Bài toán 39 3.3.3 Bài toán 40 Ket lu¾n 42 Tài li¾u tham khao 43 Ma đau Phương trình tích phân kỳ d% phương trình tích phân dang ch¾p đưoc xây dnng phát trien rat manh me vòng nua the ky, tù năm 1920 đen năm 1970 Các ket qua gan lien vói tên tuői nhieu nhà toán HQc női tieng Noether, Muskhelishvili, Gakhov,Vekua, Cùng song hành tiep sau sn địi cna hàng loat lý thuyet tốn tu kỳ d% trùu tưong khơng gian tuyen tính tőng qt gan vói lý thuyet phương trình tích phân kỳ d% vói d%ch chuyen liên hop phúc nhieu dang toán biên khác Tai Vi¾t Nam, tù nhung năm 1980, có rat nhieu ngưòi quan tâm đen lĩnh vnc tốn biên Riemann, phương trình tích phân kỳ d% Cauchy, phương trình tích phân dang ch¾p thu đưoc m®t so ket qua nhat đ%nh Tù đó, lý thuyet tốn tu phương trình tích phân kỳ d% tro thành m®t mang lón hap dan tốn HQc hi¾n đai o Vi¾t Nam Tuy nhiên, cho đen tài li¾u nghiên cúu sâu ve lĩnh vnc van cịn rat ít, nhat là phương trình tích phân dang ch¾p đ¾c bi¾t, phương trình Wiener-Hopf, phương trình c¾p tích phân, v.v Ngồi ra, vi¾c nghiên cúu cịn cho ta thay đưoc sn phong phú cna nhieu loai phương trình tích phân nói chung phương trình tích phân dang ch¾p nói riêng ve lý thuyet úng dung Xuat phát tù nhung lý nêu trên, tơi cHQN đe tài "M®t so lóp phương trình tích phân dang ch¾p " làm lu¾n văn cao HQc vói hy vQNG se tìm hieu sâu lý thuyet úng dung cna phương trình tích phân dang ch¾p Cau trúc lu¾n văn Lu¾n văn gom phan Mo đau, Ket lu¾n, Tài li¾u tham khao chương Chương trình bày m®t so kien thúc bő tro, tích ch¾p, bien đői Fourier L1(R) L2(R), tích phân Cauchy, tích phân Fourier tốn biên Riemann đoi vói nua m¾t phang Chương trình bày m®t so lóp phương trình tích phân dang ch¾p truc thnc: phương trình tích chắp loai mđt, loai hai v phng trỡnh tớch chắp nua truc (phương trình Wiener-Hopf) Đoi vói moi lóp phương trình đưa ví du minh HQA Chương trình bày ve phương trình c¾p tích phân dang ch¾p úng dung Đã xét phương trình c¾p tích phõn vúi nhõn phu thuđc vo hiắu cỏc bien so, phu thuđc vo hiắu v tng cỏc bien so Trỡnh bày úng dung cna phương trình c¾p nói giai tốn bien hon hop cna phương trình đa đieu hịa nua m¾t phang Ban lu¾n văn đưoc thnc hi¾n dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn NGQc Tơi bày to lịng biet ơn sâu sac tói Thay dành nhieu cơng súc thịi gian đe hưóng dan, kiem tra, giúp đõ tơi vi¾c hồn thành ban lu¾n văn Tơi xin gui lịi cam ơn đen lãnh đao thay, cô khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, ĐHQG Hà N®i ve kien thúc nhung đieu tot đep mang lai cho thịi gian hQc t¾p tai trưịng Tơi xin cam ơn tói Phịng Sau Đai HQc ve nhung đieu ki¾n thu¾n loi dành cho tơi vi¾c hồn thành thn tuc HQc t¾p bao v¾ lu¾n văn Cuoi tơi bày to lịng biet ơn gia đình, ngưịi thân cho dna ve tinh than v¾t chat cho tụi cuđc song v HQc H N®i, tháng 11 năm 2015 Nguyen Th% Hồn Chương Bien đoi Fourier toán biên Riemann Chương trình bày m®t so kien thúc bő tro, tích ch¾p, bien đői Fourier L1(R) L2(R), tích phân Cauchy, tích phân Fourier tốn biên Riemann đoi vúi nua mắt phang Nđi dung cna chng ny oc hình thành chn yeu tù tài li¾u [1] [3] 1.1 1.1.1 M®t so kien thÉc bo tra Khơng gian Lp Vói p so thnc: ™ p < ∞, Ω ∈ Rn ta đ%nh nghĩa Lp (Ω) lóp hàm f (x) xác đ%nh Ω, cho Σ p1 < ∞, dx = dx1dx2 dxn p |f (x)| dx ǁfǁp = ∫Ω So ǁf ǁp đưoc gQI chuan cna hàm f (x) Lp () l mđt khụng gian Banach ắc biắt, L2() l mđt khụng gian Hilbert vúi tớch vụ hưóng ∫ (f, g) = f (x)g(x)dx, Ω g(x) liên hop phúc cna g(x) Hàm xác đ%nh Ω đưoc GQI chn yeu b% ch¾n Ω, neu ton tai hang so dương C , cho |f (x)| ™ C hau khap nơi Ω C¾n dưói lón nhat cna f (x) đưoc ký hi¾u ess supx∈Ω |f (x)| Ta ký hi¾u L∞(Ω) không gian cna tat ca hàm chn yeu b% ch¾n Ω Chuan L∞(Ω) đưoc xác đ%nh theo công thúc ǁf ǁ∞ = esssupx∈Ω |f (x)| , sup lay tat ca phân hoach đơn v% cna [a, b] Dưói m¾nh đe quan TRQNG ve sn trù m¾t Lp Đ%nh lý 1.1 (ve sn trù m¾t) (i) Neu khoang (a, b) huu han láp hàm sau se trù m¾t khap nơi Lp(a, b): M−láp hàm b% ch¾n, C−láp hàm liên tnc, S−láp hàm b¾c thang, P−láp đa thúc đai so, T−láp đa thúc lưang giác trù m¾t khap nơi Lp(−π, π) (ii)Láp Sc cua tat ca hàm b¾c thang trù m¾t Lp(−∞, ∞), (p “ 1) 1.1.2 Các bat thÉc đ%nh lý ve tích phõn %nh lý 1.2 (bat ang thỳc Hoălder) Neu f ∈ Lp , g ∈ Lq , p, q “ 1, 1 + = p q ǁf gǁ1 ™ ǁf ǁp ǁgǁq , Đ%nh lý 1.3 (bat thúc Minkowski) Neu p “ 1, ǁf + gǁp ™ ǁfǁp + ǁgǁp Đ%nh lý 1.4 (Đ%nh lý Lebesgue) Gia su Ω cho dãy hàm kha tőng ∞ {fk (x)} h®i tn hau khap nơi đen hàm f (x) Neu ton tai hàm thnc F (x) “ 0, F (x) ∈ L (Ω), cho |fk(x)| ™ F (x), x ∈ Ω, ∀k f (x) ∈ L1(Ω) lim k→ ∞ fk(x)dx = ∫ Ω f (x) dx Đ%nh lý 1.5 (Đ%nh lý Fubini) Cho F (x, y) kha tích Ω1 × Ω2 Khi x → ∫ F (x, y)dy kha tích Ω , y ∫→ F (x, y)dx kha tích Ω Ngồi Ω2 ∫ ∫ ∫ Ω1 ∫ ∫ dx Ω1 Ω2 F (x, y) dy = Ω2 dy Ω1 F (x, y) dx = Ω1×Ω2 F (x, y) dxdy 1.1.3 Tích ch¾p Gia su f,g hàm đưoc xác đ%nh R Hàm so h(x) = (f ∗ g)(x) đưoc xác đ%nh boi công thúc (1.1) (f ∗ g)(x) = ∫ f (x − y)g(y)dy, R vói gia thiet tích phân ton tai hau khap nơi vói moi x ∈ R đưoc GQI tích ch¾p cna f g Tù (1.1) de dàng suy f ∗ g = g ∗ f Đ%nh lý 1.6 Neu f, g ∈ L1(R) f ∗ g ton tai hau khap nơi f ∗ g ∈ L1(R) Ngoài ||f ∗ g|| ≤ ||f ||1 ||g||1 Chúng minh Theo Đ%nh lý Fubini ta có ∫ |f ∗ g|dx ≤ ∫ ∫ |f (x − y)g(y)|dydx = R ∫ ∫ = R R |f (x − y)|dx|g(y)|dy = ∫ |f (x)|dx ∫ |g(y)|dy = ||f ||1 ||g||1 R Tù suy Rđpcm R R Đ%nh lý 1.7 Gia su ≤ p ≤ ∞ Neu f ∈ Lp(R), g ∈ L1(R) f ∗ g ∈ Lp(R) (1.2) ||f ∗ g||p ≤ ||f ||p ||g||1 Chúng minh Trưòng hop p=1 đưoc chúng minh đ%nh lý 1.6 Xét trưòng hop < p < ∞ 1/p+1/p’=1 Ta có (1.3) |(f ∗ g)(x)| ≤ ∫ |f (x − y)||g(y)|dy R Vì |g(y)| = g(y)1/p+1/pj , theo bat thúc Holder ta có p ∫ |f (x − y)||g(y)|dy ≤ (∫ |f (x − y)| |g(y)| 1/p |g(y)|dy) R dy) (∫ 1/p Do R R p ∫ |f ∗ g| dx ≤ ∫ p/p f (x y) p g(y) dydx g ∫ |R − | | | || R R Su dung đ%nh lý Fubini, ta có || J ... là phương trình tích phân dang ch¾p đ¾c bi¾t, phương trình Wiener-Hopf, phương trình c¾p tích phân, v.v Ngồi ra, vi¾c nghiên cúu cho ta thay đưoc sn phong phú cna nhieu loai phương trình tích phân. .. trờn nua truc (phương trình Wiener-Hopf) Đoi vói moi lóp phương trình đưa ví du minh HQA Chương trình bày ve phương trình c¾p tích phân dang ch¾p úng dung Đã xét phương trình c¾p tích phân vói nhõn... Fourier L1(R) L2(R), tích phân Cauchy, tích phân Fourier tốn biên Riemann đoi vói nua m¾t phang Chương trình bày m®t so lóp phương trình tích phân dang ch¾p truc thnc: phương trình tích ch¾p loai mđt,