Luận văn thạc sĩ phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình tích phân tự chập

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN VĂN ĐAC PHƯƠNG PHÁP HIfiU CHINH GIAI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TU CH¾P LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Hà N®i - Năm 2016 NGUYEN VĂN ĐAC PHƯƠNG PHÁP HIfiU CHINH GIAI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TU CH¾P Chun ngành: TỐN HOC TÍNH TỐN Mã so : 60 46 30 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC GS.TSKH PHAM KỲ ANH Hà Nđi - Nm 2016 Li cam n Ban luắn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan, chi bao t¾n tình, chu đáo nghiêm khac cna GS.TSKH Pham Kỳ Anh Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna suot q trình làm lu¾n văn Tơi muon bày to lịng kính TRQNG biet ơn sâu sac nhat đen ngưịi thay cna Ngồi nhung chi dan ve m¾t khoa HQ c, sn đ®ng viên lịng tin tưong cna thay ln đ®ng lnc đe tơi ln co gang q trình hồn thi¾n lu¾n văn Qua đây, tơi xin gui lịi cam ơn tói Ban Chn nhi¾m Khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, cán b® Phịng Sau đai HQc, thay tham gia giang day khóa Cao HQc 2010 - 2012 cna Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i ln giúp đõ, tao đieu ki¾n ve MQi m¾t trình tơi hQc t¾p tai trưịng Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè, nhung ngưịi ln cő vũ, đ®ng viên tơi suot q trình HQc t¾p làm lu¾n văn Hà N®i, ngày 15 tháng năm 2016 HQc viên Nguyen Văn Đac ii Bang kí hi¾u ~ → FJ F JF (x1 , x2 , , Range(G) C[0, T ] C1[0, T ] L2[0, T ] H10[0, T ] T ] Lσ,R [0, T ] (·, ·)σ , ǁ · ǁσ (·, ·)σ,R , ǁ · ǁσ,R (·, ·)∞ Wk,p[0, T ] (·, ·), ǁ · ǁ B[yđ, δ] h®i tu yeu h®i tu manh đao hàm Fréchet cna tốn tu xn ) ma tr¾n Jacobian cna F mien giá tr% cna tốn tu G khơng gian hàm liên tuc [0, T ] không gian hàm kha vi liên tuc [0, T ] không gian hàm bình phương kha tích Lebesgue [0, T ] Khơng gian hàm thu®c W 1,2[0, T ] có giá compact [0, c¾p khơng gian L2[0, T ] vói tích vơ hưóng phu thu®c R tích vơ hưóng chuan có TRQNG so σ tích vơ hưóng chuan có TRQNG so σ phu thu®c R chuan khơng gian L∞ khơng gian Sobolev tích vơ hưóng chuan khơng gian tương úng Hình cau tâm yđ, bán kính δ i Mnc lnc Bang kí hiắu i Li núi au v Mđt so kien thÉc chuan b% 1.1 Phép tính vi phân khơng gian tuyen tính đ%nh chuan 1.1.1 M®t so không gian đ%nh chuan 1.1.2 Mđt so khỏi niắm liờn quan 1.1.3 Đao hàm Fréchet 1.1.4 M®t so ket qua ve phương trình Volterra 1.2 Khái ni¾m tốn đ¾t chinh tốn đ¾t khơng chinh 1.3 Phương pháp hi¾u chinh Tikhonov Lavrent’ev 1.3.1 Phương pháp hi¾u chinh Tikhonov 1.3.2 Phương pháp hi¾u chinh Lavrent’ev 12 Phương pháp hi¾u chinh Lavrent’ev giai phương trình vái tốn tE gan đơn đi¾u 15 2.1 Phương pháp hi¾u chinh ưóc lưong sai so 16 2.2 Phương trình tn ch¾p .19 2.3 Thu nghi¾m so 25 Hi¾u chinh đ%a phương cho tốn tE ch¾p ngưac 3.1 26 Phương trình tn ch¾p đưoc hi¾u chinh 26 v Mnc lnc MUC LUC 3.2 Sn hđi tu v tớnh chinh .30 3.3 Phép ròi rac hóa 42 Ket lu¾n 45 Tài li¾u tham khao 46 vi Lài nói đau Thịi gian gan đây, phương trình tích phân ∫ x(t − s)x(s)ds = y(t) t đưoc nhieu nhà tốn HQc quan tâm nghiên cúu nú xuat hiắn mđt so lnh vnc khoa HQc, cơng ngh¾, quang phő HQc, hay lý thuyet xác suat thong kê, can khôi phuc hàm mắt đ cna bien ngau nhiờn neu biet kỡ vQNG cna hm mắt đ cna bỡnh phng bien ny Phng trình đưoc GQi phương trình tích phân loai dang tn ch¾p ho¾c tốn ngưoc tn ch¾p Như hau het phương trình tích phân Volterra loai 1, tốn ngưoc tn ch¾p đ¾t khơng chinh, theo ngha mđt thay i nho cna du liắu cú the dan đen sn sai khác rat lón cna nghi¾m, th¾m chí làm cho tốn tro nên vơ nghi¾m ho¾c vơ đ%nh M¾t khác, so li¾u thưịng đưoc thu nh¾p bang thnc nghi¾m, qua đo đac, quan trac, vv sau lai đưoc xu lí máy tính nên chúng khơng tránh khoi sai so Chính the, ngưịi ta can phai có nhung phương pháp giai őn đ%nh tốn đ¾t khơng chinh, cho sai so cna du li¾u nho nghi¾m xap xi tìm đưoc gan vói nghi¾m cna tốn xuat phát Vi¾n sĩ Tikhonov ngưịi khoi xưóng phương pháp giai őn đ%nh tốn ngưoc Cách tiep c¾n cna ơng đưa tốn giai phương trình F (u) = y ve tốn tìm cnc tieu cna phiem hàm làm trơn v ǁF (u) − yǁ2 + αǁu − u0ǁ2 thiet l¾p sn h®i tu cna dãy điem cnc tieu tói nghi¾m cna tốn ngưoc v Lèi NĨI đAu ban đau Vào nhung năm 80 cna the ky XX, lý thuyet hi¾u chinh cho tốn khơng chinh tuyen tính đưoc hồn thi¾n Đen năm 1989, lý thuyet hi¾u chinh cho tốn đ¾t khơng chinh phi tuyen đưoc phát trien manh Cũng vào thòi gian này, phương pháp bien phân tồn phan hi¾u chinh đưoc áp dung khu nhieu làm rõ anh Khác vói phương pháp hi¾u chinh Tikhonov kinh đien, phiem hàm can cnc tieu phương pháp bien phân tồn phan hi¾u chinh nói chung khơng kha vi Bưóc phát trien tiep theo cna lý thuyet hi¾u chinh hi¾u chinh khơng loi, phiem hàm can cnc tieu hóa khơng loi Mơ hình hi¾u chinh khơng loi khoi nguon tù thong kê lý thuyet lay mau Trong trưịng hop tốn tu F tuyen tính, tn liên hop khơng âm, tốn tìm cnc tieu phiem hàm làm trơn tương đương vói vi¾c giai phương trình F ∗ F u + αu = F ∗ yδ Tuy nhiên, trưòng hop này, ngưịi ta có the xét phương trình đơn gian Fu + αu = yδ Phương pháp tìm nghi¾m hi¾u chinh tù phương trình đơn gian GQI l phng phỏp Lavrentev (hoắc Lavrentiev) Mđt so tỏc gia GQI phương pháp Browder-Tikhonov, hay phương pháp nhieu kì d% Phương pháp Lavrent’ev áp dung cho phương trình vói tốn tu đơn đi¾u ho¾c gan đơn đi¾u Đây phương pháp thích hop đe nghiên cúu tốn ngưoc tn ch¾p Trong lu¾n văn chúng tơi tìm hieu trình bày hai phương pháp hi¾u chinh giai phương trình tích phân tn ch¾p phương pháp hi¾u chinh Lavrent’ev phương pháp hi¾u chinh đ%a phương Ngồi phan lịi nói đau, ket lu¾n tài li¾u tham khao, lu¾n văn đưoc chia thành ba chương: Chương 1: M®t so kien thÉc chuan b% Trong chương này, chúng tơi trình bày m®t so ket qua ve phép tính vi phân khơng gian tuyen tính đ%nh chuan, khái ni¾m tốn đ¾t chinh tốn đ¾t khơng chinh, phương pháp hi¾u chinh Tikhonov Lavrent’ev ix Chương 2: Phương pháp hi¾u chinh Lavrent’ev giai phương trình vái tốn tE gan đơn đi¾u Trong chương này, dna vào báo [9] muc Tài li¾u tham khao, chúng tơi trình bày vi¾c thiet l¾p ưóc lưong sai so cna phương pháp Lavrent’ev đe giai tốn đ¾t khơng chinh khơng gian Hilbert vói tốn tu phi tuyen gan đơn đi¾u theo nghĩa đao hàm Fréchet tai nghiắm chớnh xỏc l accretive Mđt quy tac tiờn nghi¾m ve vi¾c cHQN tham so cna phép hi¾u chinh đưoc trình bày tương úng ưóc lưong sai so đưoc thiet l¾p Lu¾n văn đe c¾p tói phép rịi rac hóa tốn Chương 3: Hi¾u chinh đ%a phương Trong chương này, dna vào báo [4] muc Tài li¾u tham khao, chúng tơi trình bày lí thuyet hi¾u chinh đ%a phương cho tốn ngưoc tn chắp ó chỳng minh oc sn hđi tu v tính đ¾t chinh cna tốn hi¾u chinh, trình bày đánh giá sai so cna phương pháp Do thịi gian kien thúc cna HQc viên có han, lu¾n văn khơng tránh khoi sai sót Rat mong đưoc thày ban HQc viên góp ý đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n (3.45) k1 = ǁxJ ǁ∞ x(0), phương trình (3.44) tro thành ˆ L(C) ≡ e2σb ˆ ˆ x(0) J C − C + 2bCǁx ǁ∞ < De thay L(Cˆ ) = có hai nghi¾m dương phân bi¾t < (3.42) C ∈ (1, 9/8] Khi vói Cˆ Cˆ1 < (3.46) Cˆ2 boi gia thiet thoa mãn Cˆ1 < Cˆ < Cˆ2 , ta có L(Cˆ ) < 0, v¾y ǁHR x − xǁσ,R ≤ Cˆ R vói MQI R > đn nho Đe chúng minh HR ánh xa co B[x, Cˆ R], ta xét x1 , x2 ∈ B[x, Cˆ R] ý rang ǁHRx1 − HRx2ǁσ,R = ǁ(αR(x)I + BR(x))−1{RR(x, x2 − x) − RR(x, x1 − x) + ER(x, x1 − x2) (3.47) − [(αR(x1) − αR(x))(x1 − x) − (αR(x2 − αR(x))(x2 − x)]}ǁσ,R ≤ TR(x1, x2), 1 ǁRR(x, x2 − x) − RR(x, x1 − ǁER(x, x1 − x2)ǁσ,R x)ǁσ,R + R(x) R(x) α + R ǁ(αR(x1) − αR(x))(x1 − x) − (αR(x2) − αR(x))(x2 − x)ǁσ,R α (x) TR(x1, x2) ≡ α Vì ǁ(αR(x1) − αR(x))(x1 − x) − (αR(x2) − αR(x))(x2 − x)ǁσ,R αR(x)1 = ǁ(αR(x1) − αR(x2))(x1 − x) − (αR(x2) − αR(x))(x1 − x2)ǁσ,R α R(x) |αR(x1) − αR(x2)| |αR(x2) − − x ǁσ,R + − xǁ ≤x σ, α R(x)| α(x) ǁ x α(x) R ∫ σR (ρ) R 2e R1 ≤ x(0) ∫ ρ dη C2 − {ǁx1 − x2ǁσ,Rǁx1 − xǁσ,R + ǁx2 − xǁσ,Rǁx1 − x2ǁσ,R} R ρdη(ρ) ǁx − x2ǁσ,R, ≤ 4eσR√ K( 21 )Cˆ R ta cóx(0) 1C2 − TR(x1, x2) Σ 2e2σ 2ω Σ ˆ Σ 2CǁxJ ǁ∞ eσR )Cˆ R Σ ≤ C 4eσRK( ǁx1 −x2ǁσ,R + x(0) ω Vì v¾y neu ta có √ ) 3x(0 K( )R + x(0) √ x(0) Cˆ < , 2σ 2e b x(0) ω Cˆ < 2e2σ 2ω C2 ǁx1 −x2ǁσ,R − (3.48) Vói R > đn nho, ǁHRx1 − HRx2ǁσ,R ≤ TR(x1, x2) ≤ qǁx1 − x2ǁσ,R vói MQI x1 , x2 ∈ B[x, Cˆ R] vói q < Hơn nua ta ý rang phương trình hi¾u chinh (3.36) có nhat nghi¾m x Cˆ + Cˆ2 δ Cˆ thoa mãn Cˆ1 R = x(0) 2e2σb , B[x, Cˆ R] vói x(0) < Cˆ < 2e2σb Cuoi cùng, co đ%nh R > đn nho đ¾t fδ1, f2δ ∈ F thoa mãn ǁfiδ − fǁ F ≤ δ ≤ k1R 1/τdat a , i = 1, 2, vói giá tr% cna k1 cho (3.45), F C[0, + R] ho¾c L2[0, + R] Đ¾t Cˆ , C, σ , q đưoc xác đ%nh đ¾t f δ R ,i HR,i đưoc xác đ%nh vói i = 1, (3.11) (3.37), tương úng, su dung du li¾u f δ thay fδ Khi vói i i = 1, ton tai nhat nghi¾m xδ x = HR,ix Hơn nua, δ ∈ B[x, Cˆ R] ⊂ 2Lσ,R [0, 1] cna phương trình R ,i δ δ δ ǁxR,1 − xR,2ǁσ,R = ǁHRx1xR,1 − HRx2xR,2ǁσ,R = ǁ(αR (x)I + BR (x)) −1 {(f δ + RR(x, xδ R, δ R, − fR,2) δ − x) − RR(x, xR,1 δ δ − x) + ER(x, xR,1 δ δ δ − xR,2) δ −1 [(αR(xR,1) − αR(x))(xR,1 − x) − (αR(xR,2) − αR(x))(xR,2 − x)]}ǁσ,R δ δ δ δ ≤ ǁ R,1 R,2 αR(x) R,1 R,2 f − f ǁσ,R + TR(x Cǁf δ − f δ ǁF 2ω p δ ≤ x(0) ω ,x ) δ R + qǁxR,1 − xR,2ǁσ,R, o p = −1 trưòng hop F = C[0, + R] p = −3/2 trưòng hop F = L2[0, + R] L¾p lu¾n trên, ta có ǁx δ R,1 −x ǁ δ R, ≤ σ, R Cb (1 − q)x(0) Rp ǁfδ − f δ ǁ F Sn phu thuđc liờn tuc cna nghiắm phng trỡnh hi¾u chinh (3.36) vào du li¾u đưoc chúng minh H¾ qua 3.2.2 Gia su rang tốn tn ch¾p (3.3) có nghi¾m dương x ∈ W 2,∞ [0, 1+ R] đ® đo η thóa mãn (3.12)-(3.13) vái hang so ω, ω (3.13) thóa mãn (3.8) vái MQI R > u nhú, ỏ õy K đc lắp vái R x Cho fδ thóa mãn đieu ki¾n F -du li¾u đ¾t τdata = 1/2 neu F = C[0, + R] τdata = 2/5 neu F = L2[0, + R] Khi ton tai cỏc hang so k1 , C > đc lắp vái R cho neu δ = δ(R) > thóa mãn (3.49) δ ≤ k1R1/τdata, vái MQI R > đu nhó phương trình hi¾u chsnh (3.36) có nghi¾m nhat δ xR ∈ Lσ, [0, 1] thóa mãn R ǁxδ − xǁ2σ, ≤ Cˆ R2 , R R √ ǁ · ǁσ,R đưac xác đ%nh tù (3.15) vái giá tr% C = Hơn nua, nghi¾m xδR ∈ Lσ, R2 [0, 1] phn thu®c liên tnc vào fδ ∈ F vái MQI R > đu nhó Chúng minh Đ¾t C = √ xác đ%nh ˜b = 2K˜ o K˜ , cho boi (3.8), đc lắp vúi R v x Khơng giam tőng qt ta có the gia su rang x thoa mãn x(0)ǁxJ ǁ∞ < √ σ −2 , 2e 16˜b2 (3.50) neu đieu khơng đúng, ta có the chia hai ve cna phương trình (3.3) cho κ2 > đe thu đưoc m®t phương trình mói vói du li¾u f /κ2 nghi¾m y = x/κ, y thoa mãn (3.50) Chú ý rang thay đői ti l¾ tương tn cna η se khơng thay đői giá tr% cna K˜ , túc cna ˜b Chúng minh tiep theo cna h¾ qua giong chúng minh Đ%nh lí 3.2.2 vói m®t chút thay đői Đau tiên ta ý rang neu đ¾t b = ˜bx(0), b ≥ 2ω/ω h¾ thúc (3.44) van tù chúng minh Đ%nh lí 3.2.2 Viet (3.44) theo ˜b, ta có đieu ki¾n đn dưói đe đam bao rang ǁHR x − xǁσ,R ≤ Cˆ R vói Cˆ > đó: k1˜bC + ǁxJ ǁ∞ xJ (0)˜bCˆ + e2σ˜bCˆ < Cˆ Xác đ%nh k1 (3.45), bat thúc (3.51) tro thành (3.51) L(Cˆ ) = e2σ ˜bCˆ − Cˆ + ǁxJ ǁ∞ xJ (0)˜bC < Vói đieu ki¾n (3.50) phương trình b¾c hai L có nghi¾m dương phân bi¾t < Cˆ1 < Cˆ2 ta có the chQN Cˆ ∈ (Cˆ1 , Cˆ2 ) đe đam bao rang L(Cˆ ) < Phan cịn lai cna chúng minh giong Đ%nh lí 3.2.2, ta chi can ý rang đieu ki¾n mói (3.48) ve x(0) 2e2σb 3.3 Cˆ , o C ˆ1 Cˆ2 nghi¾m thoa mãn Cˆ1 + = = Cˆ2 2e2σ ˜b Phép rài rac hóa Trong phan này, ta se xét phép rịi rac phương trình hi¾u chinh (3.6) dan đen phương pháp őn đ%nh khoang [0, 1]; phương pháp thu đưoc phi tuyen không tuan tn khoang nho ban đau [0, R], tuyen tính tuan tn khoang lón [R, 1] Ta xét phép rịi rac kieu trùng khóp cho (3.6) đó, đe đơn gian ta gia thiet rang đ® đo η cho boi đ® đo Lebesgue, túc là, ∫R ∫R (3.52) g(ρ)dρ, g(ρ)dη(ρ) = 0 ý rang đieu ki¾n (3.11) đưoc thoa mãn trưịng hop Đ¾t N = 1, 2, 3, xác đ%nh ti = i∆t, i = 0, 1, , N, ∆t = 1/N Ta đ¾t R = r∆t, r ∈ {1, 2, , N} co đ%nh (r N ) Vói i = 2, 3, , N , đ¾t χi(t) hàm chi khoang (ti−1, ti] χ1(t) hàm chi khoang [t0, t1], xác đ%nh không gian hàm hang tùng khúc [0, 1] SN = span{χi, i = 1, 2, , N} Khi ta tìm x ∈ SN thoa mãn phương trình trùng khóp ∫ R x(s)dsdρx( ∫ R ∫ ti x(ti + ρ − ∫ ρ t i) + ∫R fδ (t i + ρ)dρ (3.53) s)dsdρ = 0 ρ vói i = 1, 2, , N Ta se su dung quy tac cau phương hình chu nh¾t đe xap xi tích phân [0, R], túc là, ∫R g(ρ)dρ ≈ ∆t r− g(tj), j= Σ ket hop vói phép xap xi (3.53) Moi so hang trong (3.53) đưoc xap xi sau: ∫R r− f δ (ti+q ), Σ f (t i + ρ)dρ∆t ≈ δ q= đ¾t x(t) = ΣN ∫ R ∫ p= cpχp(t) vói t ∈ [0, 1], ta có ∫ ∫ tr−1 Σ ρ x(s)dsdρx(ti) ≈ 2∆t ∫ Σ x(s)ds + · · ·+ Σ = 2(∆t)2 r−1 l cmΣ ci, l=1 m=1 o ta ý rang h¾ so cna ci chi liên quan đen c1, c2, , cr−1 So hang thú hai cna ve trái (3.53) phúc tap tùy thu®c vào giá tr% cna i liên quan đen r, ta có dang khác cna so hang Tőng qt hơn, vói bat kì i = 1, 2, , N co đ%nh, ta có ∫ R ∫ ti Σr−1 x(ti + ρ − s)dsdρ ∫ ti x(ti+j − s)x(s)ds ≈ ∆t ρ j=0 tj Ta xét phương trình (3.54) trưịng hop sau • Neu i < r − 1, phương trình ∫ R ∫ ti x(ti + ρ − s)dsdρ ≈ (∆t)2 Σ Σi Σ clci+ r−1 m Σ m−l Σ − (3.54) clci+1+m−lΣ i , ρ m=i+1 l=i+1 m=1 l=m phi tuyen theo ci liên quan tói tat ca giá tr% c1, c2, , cr−1 • Neu i = r − 1, ∫ R ∫ ti ρ Σ clci+m−l, x(ti + ρ − s)dsdρ ≈ (∆t) Σ i i m=1 l=m phi tuyen theo ci liên quan tói tat ca giá tr% c1, c2, , cr−1 Σ clci+m−l, • Neu i > r − 1, ∫ R x(ti + ρ − s)dsdρ ≈ ∫ ti ρ (∆t) Σ r r m=1 l=m vói ket qua này, ta ý rang i = r, (3.54) b¾c hai theo cr h¾ so c1, , cr−1 tìm đưoc Neu i > r phương trình tuyen tính theo cr h¾ so c1, , cr−1 xác đ%nh • Vói i = 1, 2, , r − 2, ta có r − phương trình đau tiên Σ clci r−1 ci + m Σi Σ +m r−1 Σ Σ Σ (∆t) clci+1+m−lΣ 2(∆t) Σ l −l − i cmΣ l=1 m=1 m=1 l=m r+1 = ∆t m=i+1 l=i+1 Σ f δ (ti+q ) q=0 Chú ý rang tat ca giá tr% c1, c2, , cr−1 đeu tham gia r − phương trình • Vói i = r − 1, ta có r − phương trình r−1 2(∆t)2 Σ Σ l l=1 m=1 cmΣ cc = ci + (∆t)2 i Σ i l i+m−l ∆t Σ m=1 l=m r+ Σ f δ (ti+q ) q= Chú ý rang tat ca giá tr% c1, c2, , cr−1 có m¾t r−1 phương trình Vì v¾y ta có r−1 phương trình vói r−1 an, nên có the tìm đưoc c1, c2, , cr−1 Nói chung ta phai giai mđt hắ cỏc phng trỡnh phi tuyen e tỡm c1, c2, , cr1 ã Mđt ó tỡm oc c1, c2, , cr−1, ta có the tìm cr, , cN lan lưot boi cc = r+ f δ (ti+q ) cmΣ r−1 r Σ i l i+m−l c + (∆t) i Σ Σ ∆t 2(∆t)2 Σ Σ l l=1 m=1 m=1 l=m q= vói i = r, r + 1, , N Ta van phai giai m®t phương trình phi tuyen vói cr phương trình thú r b¾c hai vói cr Các so c1, c2, , cr đưoc xác đ%nh, lai N − r phương trình có the giai liên tiep nhanh phương trình thú i tuyen tính vói ci vói i > r Ket lu¾n Lu¾n văn tìm hieu phương pháp hi¾u chinh Lavrent’ev giai phương trình vói tốn tu gan đơn đi¾u phương pháp hi¾u chinh đ%a phương đe giai tốn tn ch¾p phi tuyen Lu¾n văn mơ ta chi tiet phương pháp hi¾u chinh đưa nhung ưóc lưong sai so M®t so hưóng nghiên cúu tiep theo: Nghiên cúu phương trình tőng qt phương trình tn ch¾p dưói ∫ F (x(t − τ )x(τ ))dτ = y(t), t 0 ∫ K(t, τ )x(τ )x(t − τ )dτ = y(t) t • Nghiên cúu sn ton tai nghiắm cna lúp phng trỡnh trờn ã Phng phỏp hiắu chinh cho lóp phương trình 84 Tài li¾u tham khao [1] Pham Kỳ Anh - Nguyen Bưịng, Bài tốn khụng chinh, NXB HQc Quoc gia H Nđi, (2005) [2]P Bakushinsky, A Smirnova, On application of generalized discrepancy principle to iterative methods for nonliear ill-posed problems, Numerical Func Anal and Optimization 26 (2005) 35-48 [3]J Baumeister, Deconvolution of appearance potential spectra, In: R.Kleinmann, et al.(eds): Direct and inverse boundary value problems Proc Conf Oberwolfach Lang, Frankfurt am Main (1991) 1-13 [4]Z Dai and P K Lamm, Local regularization for the nonlinear inverse autoconvolution problem Siam J Numer Anal 46 (2008) 832-868 [5]G Fleischer, B Hofmann, On inversion rates for the autoconvolution equation, Inverse Problems 12 (1996) 419-435 [6]G Fleischer, R Gorenflo, B Hofmann, On the autoconvolution equation and total variation constraints, Z Angew Math Mech 79 (1999) 149-159 [7]G Fleischer, R Hofmann, The local degree of ill-posedness and the autoconvolution equation, Nonlinear Analysis, Theory, Methods Application Vol.30, No.6, (1997) 3323-3332 [8]R Gorenflo and B Hofmann, On autoconvolution and regularization, Inverse Problems 10 (1994) 353-373 85 TÀI LI›U THAM KHAO [9]J Janno, Lavrent’ev regularization of ill-posed problems containing nonlinear near-to-monotone operators with application to autoconvolution equation, Inverse Problems 16 (2000), 333-348 [10]P K Lamm, Approximation of ill-posed Volterra problems via predictorcorrector regularization methods, SIAM J Appl Math 195 (1995) 469-494 [11]M M Lavrent’ev, Some Improperly Posed Problems of Mathematical Physics, Springer Tracts in Natural Philosophy vol 11 (1967) [12]F Liu, M Z Nashed, Convergence of regularized solutions of nonlinear illposed problems with monotone operators, Partial Differential Equations and Applications (1996) 353-361 [13]P Mahale, M T Nair, Iterated Lavrent’ev regularization for nonliear illposed problems, ANZIAM Journal 51 (2009) 191-217 [14]J A Nohel, D F Shea, Frequency domain methods of Volterra equations, Adv Math 22 (1976) 278-304 [15]H Tanabe, Equations of Evolution, London: Pitman 1979 [16]L von Wolfersdorf and J Janno, On a class of nonlinear convolution equation, Z Anal Anw 14 (1995) 497-508 86 ... tn ch¾p Trong lu¾n văn chúng tơi tìm hieu trình bày hai phương pháp hi¾u chinh giai phương trình tích phân tn ch¾p phương pháp hi¾u chinh Lavrent’ev phương pháp hi¾u chinh đ%a phương Ngồi phan... Mđt so tác gia GQI phương pháp Browder-Tikhonov, hay phương pháp nhieu kì d% Phương pháp Lavrent’ev áp dung cho phương trình vói tốn tu đơn đi¾u ho¾c gan đơn đi¾u Đây phương pháp thích hop đe... vQNG cna hm mắt đ cna bỡnh phng bien Phương trình đưoc GQi phương trình tích phân loai dang tn ch¾p ho¾c tốn ngưoc tn ch¾p Như hau het phương trình tích phân Volterra loai 1, tốn ngưoc tn ch¾p