Luận văn thạc sĩ phương trình tích phân abel tổng quát trên trục thực

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN VŨ TH± HONG ANH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ABEL TONG QUÁT TRÊN TRUC THUC LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC HÀ N®I - NĂM 2015 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN VŨ TH± HONG ANH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ABEL TONG QT TRÊN TRUC THUC Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60.46.01.02 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC GS TSKH NGUYEN VĂN M¾U HÀ N®I - NĂM 2015 Mnc lnc Ma đau Tính chat cua tích phân kỳ d% tốn bà Riemann 1.1 Khái ni¾m phương trình tích phân 1.2 Phương trình tích phân kỳ d% 1.3 Tính chat cna tích phân kỳ d% .5 1.3.1 Đői bien tính tích phân tùng phan 1.3.2 Tính liờn tuc Hăolder cna tớch phõn dang Cauchy 1.3.3 Công thúc Sokhotski 10 1.3.4 Giá tr% biên cna đao hàm tích phân kỳ d% .17 1.3.5 Đao hàm cna giá tr% biên tích phân kỳ d% 18 1.4 Bài tốn bị Riemann mien đơn liên 19 1.5 Bài tốn bưóc nhay 20 1.5.1 Chi so cna hàm so 21 1.5.2 Bài toán thuan nhat 22 1.5.3 Hàm tac cna tốn thuan nhat 25 1.5.4 Bài tốn bị Riemann khơng thuan nhat 26 1.5.5 Bài tốn bị Riemann nua m¾t phang .29 1.6 Phương trình đ¾c trưng cna phương trình tích phân kỳ d% vói nhân Cauchy 31 1.6.1 Chuyen phương trình đ¾c trưng ve tốn bị Riemann34 1.6.2 Cơng thúc nghi¾m cna phương trình đ¾c trưng 35 Phương trình tích phân Abel đoan hEu han 39 2.1 Phương trình tích phân Abel cő đien 39 2.2 Phương trình tích phân Abel cő đien sinh boi hàm so 41 iii 2.3 Phương trình tích phân Abel suy r®ng đoan huu han 43 2.3.1 Tích phân vói nhân lũy thùa .43 2.3.2 Phương trình tích phân Abel suy r®ng .44 2.3.3 Ví du 48 Phương trình tích phân Abel tồn trnc thEc 50 3.1 Phương trình Abel suy r®ng truc thnc 50 3.2 Phương trình Abel suy r®ng truc thnc vói phan xa 52 3.3 Ví du áp dung 56 Ket lu¾n 58 TÀI LIfiU THAM KHAO 59 iv Ma đau Lý thuyet toán tu tích phân kỳ d% tốn bị Riemann cna hàm giai tích bien phúc đưoc xây dnng phát trien manh me vòng nua the ky 20, tù năm 1920 đen 1970 Các ket qua gan lien vói tên tuői nhieu nhà tốn HQc női tieng Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua, Carleman Tù nhieu năm nay, chun đe ve tốn tu tích phân kỳ d% gan vói tốn bị cna lý thuyet hàm giai tích đưoc đưa vào chương trình thong cho sinh viên năm cuoi b¾c đai hQc, HQc viên cao HQc nghiên cúu sinh chun ngành Giai tích Chính v¾y, tác gia cHQN đe tài "Phương trình tích phân Abel tong quát trnc thEc." Đe tài nham m®t phan đáp úng nhu cau mong muon cna ban thân ve m®t đe tài phù hop mà sau có the phuc vu thiet thnc cho vi¾c giang day Tốn cao cap cna m®t trưịng đai HQc Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan trnc tiep cna GS TSKH Nguyen Văn M¾u Tác gia xin đưoc bày to lòng biet ơn chân thành sâu sac đen ngưịi thay cna mình, ngưịi nhi¾t tình hưóng dan, chi bao mong muon đưoc HQc hoi thay nhieu nua Tác gia xin chân thành cam ơn q thay Ban giám hi¾u, Phịng đào tao Đai HQc sau Đai HQc Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i, q thay tham gia giang day khóa hQc, gia đình, ban bè tồn the HQc viên khóa 2013-1015 tao MQI đieu ki¾n, giúp đõ tác gia suot q trình HQc t¾p nghiên cúu đe tác gia hồn thành khóa HQc hồn thành ban lu¾n văn Lu¾n văn gom phan mo đau, hai chương, phan ket lu¾n danh muc tài li¾u tham khao Chương Tính chat cna tích phân kỳ d% tốn bị Riemann Chương Phương trình tích phân Abel đoan huu han Chương Phương trình tích phân Abel tồn truc thnc M¾c dù co gang rat nhieu nghiêm túc trình nghiên cúu, thịi gian trình đ® cịn han che nên ket qua đat đưoc lu¾n văn cịn rat khiêm ton khơng tránh khoi thieu xót Vì v¾y tác gia mong nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp, chi bao quý báu cna quý thay cơ, ban HQc viên đe lu¾n văn đưoc hồn thiắn hn H Nđi, thỏng 11 nm 2015 HQc viờn thnc hi¾n Vũ Th% Hong Anh Chương Tính chat cua tích phân kỳ d% tốn bà Riemann 1.1 Khái ni¾m phương trình tích phân Đ%nh nghĩa 1.1 ([1]-[2]) Phương trình tích phân m®t phương trình mà hàm so chưa biet có xuat hi¾n dưói dau tích phân Ví dn 1.1 Xét phương trình tích phân ∫ x K(x, t)ϕ(t) dt = f (x) (1.1) a ∫x ϕ(x) + K(x, t)ϕ(t) dt = f (x) (1.2) a Phương trình (1.1) đưoc GQI phương trình tích phân loai 1, cịn phương trình (1.2) đưoc GQI phương trình tích phân loai 2, K(x, t), f (x) hàm biet, ϕ(x)là hàm chưa biet Hàm K(x, t) đưoc GQI nhân cna phương trình tích phân 1.2 Phương trình tích phân kỳ d% Đ%nh nghĩa 1.2 ([1]-[2]) Phương trình tích phân kỳ d% phương trình tích phân có nhân K(x, t) hàm khơng b% ch¾n mien lay tích phân Dna vào tính chat khơng b% ch¾n cna nhân, có the phân loai phương trình tích phân kỳ d% thành loai Phương trình tích phân kỳ d % manh phương trình tích phân kỳ d% yeu Phương trình tích phân kỳ d % yeu phương trình tích phân vói nhân K(x, t) thoa mãn đieu ki¾n tích phân ∫ bK(x, t) dt a ton tai theo nghĩa Riemann, vói MQI x ∈ (a, b) Phương trình tích phân kỳ d% manh phương trình tích phân kỳ d% mà nhân K(x, t) có tính chat ton tai x ∈ (a, b) cho ∫ bK(x, t) dt a không ton tai theo nghĩa Riemann L(x, t) , Ví dn 1.2 Nhân K(x, t) |x − t|α = vói L(x, t) hm liờn tuc hỡnh chu nhắt [a, b] ì [a, b], L(x, t) ƒ= α hang so (0 < α < 1) Khi tích phân ∫ b K(x, t) dt vói a < x < b a ton tai theo nghĩa Riemann Do v¾y tương úng có đưoc phương trình tích phân kỳ d% yeu Nhân K(x, t) = L(x, t) ln |x − t|, vói L(x,t) hàm liên tuc hình chu nhắt [a, b] ì [a, b], L(x, x) = Khi phương trình tích phân ∫ ϕ(x) + b L(x, t) ln |x − t|.ϕ(t)dt = f (x) λ a phương trình tích phân kỳ d% yeu Nhân K(x, t) = L(x, vói a < x < b, t) x − t vói L(x, t) hàm kha vi L(x, x) ƒ= Khi nhân K(x, t) nh¾n điem t = x điem kỳ d% manh Do v¾y phương trình tích phân tương úng phương trình tích phân kỳ d% manh 1.3 1.3.1 Tính chat cua tích phân kỳ d% Đoi bien tính tích phân tÈng phan Tích phân kỳ d% có m®t so tính chat hồn tồn giong đoi vói tích phân thơng thưịng, tích phân cna m®t tőng ln bang m®t tőng tích phân hang so nhân bieu thúc tích phân có the đưa ngồi dau tích phân Tiep theo ta xét cơng thúc đői bien cách tính tích phân tùng phan Khái ni¾m ve giá tr% cna tích phân dang Cauchy quan TRQNG o cho lân c¾n can phai loai bo đưoc cHQN m®t cách đoi xúng theo điem khao sát Thnc v¾y, trưịng hop ε1 điem = ε ε = 1, lim ε1,ε2→0 t1, t2 nam đưòng tròn tâm t (|t2 − t| ε=2 |t1 − t|) v¾y t2 − t lim =1 (1.3) t2→t t Đ%nh lý 1.1 (Quy tac đői bien) Khi hàm so τ = α(ζ) có đao hàm liên tuc αJ (ζ) khơng tri¾t tiêu đong thịi ánh xa m®t - m®t tù chu tuyen →t t − t1 Γ vào chu tuyen ΓJ , ϕ[α(ζ)]αJ (ζ) ∫ dζ (1.4) ϕ(τ ) ∫ − dτ α(ζ) α(ξ) = τ −t Γ Γ t = α(ξ) ChÚng minh Ta loai bo phan cung lJ đn nho cna chu tuyen ΓJ thu®c đưịng điem Gia su ξ1tích ξphân 2t2 úng vói tâm điemtaicna chuξ.chính tuyen Γ tvà Ta trịn xác đ%nh giá tr% cna nhưđiem sau: đau cuoi tương J ∫ ϕ[α(ζ)]αJ (ζ) ∫ ϕ[α(ζ)]αJ (ζ) dζ = lim d ζ ξ1,ξ2→ξ α(ζ)− α(ζ) − α(ξ) α(ξ) ΓJ −lJ ΓJ Thnc hi¾n phép đői bien ζ = β(τ ), β(τ ) hàm so ngưoc cna α(ζ) (theo đieu ki¾n cna đ%nh lí hàm ngưoc ton tai nhat), ta thay ve Đ¾t g(t) = f (t) , u(t) + iv(t) u(t) − iv(t) G(t) =u(t) + iv(t) ta đưa ve tốn bị Riemann Φ+(t) = G(t)Φ−(t) + g(t) (3.6) Khi theo cơng thúc (1.46) ta thu đưoc nghi¾m Φ(z) = X(z) [Ψ(z) + Pκ(z)], X(z), Ψ(z) cho boi cơng thúc (1.42), (1.45) 3.2 Phương trình Abel suy r®ng trnc thEc vái phan xa Phương trình Abel suy r®ng dang ∫ ∞ a0(t) + a1(t)sign(τ − t) (Aα ϕ) (t) : = −∞ −τ ) |τ g α α 1− − t − (t −∞ = (t ∞ − ∫ − ∫ t| − r(t)ϕ(τ ) + τ )1−α τ) (τ − t)1−α dτ = f (t) t )dτ |τ + ∫ ϕ ∫< ϕa ( () τ )+ ( a (τ t )si g (τ ) n t) : = +∞ v(t)ϕ( < − dτ − ∞ u(τ )ϕ(τ (3.7) đưoc nghiê ) + r(τ ) +∞r(τ )ϕ(τ ) + v(τ n cúu∫ boi Samk− o )ϕ( ϕ(−τ ) nhieu dτ ngưòi khác Trong τ) muc này, + ta xét t (τ − t)1−α phươ ng dτ = g(t) trình (t τ )1−α −∞ Abel (3.8) suy r®ng Phương trình (3.7) (3.8) đưoc GQI vói tương úng phương trình Abel vói h¾ phan so vói phan xa phương −0 xa, trình Abel vói h¾ so ngồi vói phan dang xa sau t u ) τ + r t ϕ Phng trỡnh Abel suy rđng vúi phan xa v hắ so hang đưoc giai boi Vasilev Ta chi rang phương trình (3.7) (3.8) cho MQI nghi¾m dưói dang hien Phương pháp su dung bien đői phương trình vào phương trình tích phân kỳ d% vói bien đői Hilbert (Hϕ)(t) = ∫∞ π −∞ ϕ(τ )dτ τ−t vói phan xa muc trưóc Gia thiet rang < α < 1, X (R), < p < 1∈, u Hµ(R), a < µ = Lp < α Ta xét phương trình (3.1) (3.2) X Gia thiet rang f (t), g(t) ∈ I α (X), túc là, f, g ∈ Lq(R), q = (1 − αp)−1p εα supε>0||D f||p < ∞, ∫ α (D f )(t) =ε +∞ ε f (t)− f (t− τ ) dτ τα+1 Neu f ∈ I α (X), phương trình ∫t −∞ ϕ(τ )dτ (t − τ )1−α = f (t) (3.9) có nghi¾m nhat dang α sin(1 − ϕ(t) = α)π π ∫τ f (t) − f (τ ) −∞ dτ (3.10) (t − τ )1+α Ta biet rang toán tu Aα Aα ánh xa Lp(R) vào Lq(R), a0 a1 giói n®i Hơn nua, thúc sau thoa mãn π ∫ dτ τ−t +∞ −∞ ∫ τ −∞ ϕ(σ)dσ = µ (t − σ) cot(µπ) ∫t ϕ(τ )dτ −∞ + µ (t − τ ) cosec(µπ) ∫ +∞ t ϕ(τ )dτ (τ − t)µ Suy ∫ ∫ ∫t +∞ ∫ +∞ dτ τ ϕ(−σ)dσ ϕ(−τ )dτ ϕ( τ )dτ µ = cosec(µπ) + (t − τ ) cot(µπ) (t − σ) µ π−∞ τ − t−∞ −∞ t (τ − t)à Vắy nờn neu ta gia thiet (t) = +∞ ∫ ϕ(τ )dτ −∞ (t − τ )1−α phương trình (3.7) có ∫ dang − c +∞ ψ( τ ) + ψ ( τ ( t a(t)ψ(t ) )+ π τ−t b(t)ψ( −∞ i −t) + ) dτ = f (t), (3.1 1) a(t) = u(t) + r(t) cos(1 − α)π, b(t) = v(t) + r(t) cos(1 − α)π, c(t) = 2i[sin(1 − α)π]r(t) (3.12) Xét phương trình (3.11) X Ta viet ( (t) Q = De thay rang [ψ(t) + ψ(−t)], ψ ) (Q2ψ)(t) = [ψ(t) ψ(−t)] − Q1 + Q2 = I, Q1Q2 = Q2Q1 = 0, Q2 = Q , Q2 = Q , Đ%nh lý 3.1 X = X1 ⊕ X2, Xj vˆ(t)(Sϕ1)(t) = c1(t)f1(t) − Gia su ϕ1(t) c2 (t)f2 (t), nghi¾ = QjX, j = 1, Ta viet lai (3.8) sau m cna phươ a+(t)(Q1ϕ)(t) + tr o n a−(t)(Q2ϕ)(t) + g đ ó b+(t)(SQ1ϕ)(t) = f (t), ng trình uˆ(t )ϕ1( a+(t) = (t) + t) +∫ b(t), a−(t) = a(t) − b(t), b+ (t) = c(t), (3.13) +∞ϕ(τ )dτ (Sϕ)(t) −∞ ϕ)(t) = = −i(H πi τ t − X, uˆ(t) = [a+(t)a−(t) + a+(−t)a−(−t)], vˆ(t) =1 [b+(t)a−(−t) + a−(t)b+(−t)], N e u [a−(t) + a− c1, 2(t (−t)], f1,2 = [f (t) + f (−t)] ) = tron ϕ2(t) = [uˆ(t)]−1[−vˆ1 (t)(Sϕ1 )(t) + g A1(t)f1(t) − A2(t)f2(t)], vˆ1 = [a+ (t)b+ (−t) + a+ (−t)b+ (t)], phương2trình (3.8) có ϕ(t) − ϕ(τ ) nghi¾m dang − α si n( − α( π) ) ∫ tron g ϕ ( t ) = t π dτ, (t −∞ τ )1−α ∫ b(t) c(t) ∫ πi ∫ ∫ d ϕ(t) ϕ(− τ = (Q1ϕ1) ∫ t t) + ϕ + − (t) + (Qτ2ϕ2)1 π = ∞ (( cot( − dτ ( (σ ττ ϕ (t) H¾ qua 3.1 ∫ t − Phương ( chotrình + τ (3.1) MQI nghi¾m dưói dang τ ) t hien σ ∞ − Tương tn neu ta ) − ) áp )dung cơng ϕ( µ ∞ µ thúc d τ − t ∞ − + σ ) ) ∞ d = (t cot − ( ( π t (σ τ ) τ + τ − ) µ ) − ∞ − ∞ ( τ n t t ) µ , ∫ 1d ∫ t τ+ ∞ ϕ ( − σ ∫ ϕ ( τ ) − t ϕ( −τ ) dτ τ t dτ − = µ π (µπ ) ϕ ( − τ ) + i − sin µ s ( −∞ ∞ µ τ π + g ) t Ta có the viet mo r®ng phư ơng trình Abel (3.2) dưói dang t a( rđt) oóϕ( n t) g+ − ∞ , α t g1(t) s i n =( (t − τ )1− α g (t) − g (τ ) d τ − α ) π π −∞ Tù đ%nh lý 3.1, ta thu đưoc h¾ qua sau H¾ qua 3.2 Phương trình (3.8)cho MQI nghi¾m dưói dang hien ∫ 3.3 Ví dn áp dnng Giai phương trình tích phân x ∫ β α ∫ ϕ(t)dt ϕ(t)dt = x2 (0 < µ < 1) + (t − (x− t)µ µ x x) (3.14) Ta có tù phương trình (2.18) a(x) = b(x) = f (x) = x2 thoa mãn đieu ki¾n (2.19) tương úng Khi phương trình tro thành β ∫ α ϕ(t) µ = x2 |x − t|dt Theo công thúc (2.20) ta có đieu ki¾n biên cna tốn Riemann vói chu tuyen [α, β] µπi− eµπi (e2µπi− 1)x2 e − Φ (x) = (x) + Φ− R(x)[eµπi − 1] Khi G(t) = 1, κ = Bài tốn Riemann tương úng tốn bưóc nhay + Φ (x) − Φ− (x) + = (eµπi + 1)x2 R(x) Theo cơng thúc Sokkhotski ta có nghi¾m nhat đưoc xác đ%nh boi tích phân Cauchy µπi ∫β dt Φ(z) = e + t 2πi R(t) t − z α Tù tính chat cna tích phân Cauchy ta có đieu ki¾n (3.13) thoa mãn Khi ta chi can giai phương trình Abel cő đien ∫β ϕ(t) cot µπ ∫ ( t2 dt β = α − t) f +(x) dt µ 2π R(x) α R(t) t − x Theo công thúc (3.6), ta có nghi¾m cna tốn kπ d kπ cos t ϕ(x) co ∫ ∫ t = x x 2π dx α (x − π2 R(t)F (t)− dt, dt − t)1−k α (x t)1−k R(t) = [t(1 − t)] 2(1−µ), t ∫β Σ dΣ s2ds R(s) dτ ∫ 1−µ F (t) = (t − τ )µ (s − τ ) dt α τ Ket lu¾n Lu¾n văn trình bày van đe sau - Trình bày cách giai tưịng minh cna tốn tích phân Abel mo r®ng cna - Trình bày cách giai tưịng minh cna phương trình tích phân Abel suy r®ng truc thnc - Xét m®t so ví du minh hoa Tài li¾u tham khao Tieng Vi¾t Nguyen Văn M¾u (2006), Lý thuyet tốn tu phương trình tích phân kỳ d%, NXB Đai HQc Quoc Gia Hà N®i Tieng Anh 2.B.N Mandal, A Chakrabarti (2011), Applied singular integral equations, Sci Publishers 3.D.Przeworska-Rolewicz (1988), Algebraic Analysis, AmsterdamWarsaw 4.D Przeworska-Rolewicz and S Rolewicz (1968), Equations in linear spaces, Warsaw Pub 5.F.D Gakhov (1966), Boundary value problems, Pergamon Press, Oxford 6.Nguyen Văn M¾u (2005), Algebraic elements and boundary value problems in linear spaces, VNU Pub House ... trưng 35 Phương trình tích phân Abel đoan hEu han 39 2.1 Phương trình tích phân Abel cő đien 39 2.2 Phương trình tích phân Abel cő đien sinh boi hàm so 41 iii 2.3 Phương trình tích phân Abel. .. d% thành loai Phương trình tích phân kỳ d % manh phương trình tích phân kỳ d% yeu Phương trình tích phân kỳ d % yeu phương trình tích phân vói nhân K(x, t) thoa mãn đieu ki¾n tích phân ∫ bK(x,... han 43 2.3.1 Tích phân vói nhân lũy thùa .43 2.3.2 Phương trình tích phân Abel suy r®ng .44 2.3.3 Ví du 48 Phương trình tích phân Abel tồn trnc thEc 50 3.1 Phương trình Abel suy r®ng