Luận văn thạc sĩ phương trình tích phân volterra

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN LÊ TH± THU HÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHN VOLTERRA LUắN VN THAC S TON HOC H NđI - 2015 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN LÊ TH± THU HÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA LU¼N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Chun ngành : TỐN GIAI TÍCH Mã so : 60 46 01 02 Ngưài hưáng dan khoa HQC: TS NGUYEN VĂN NGOC HÀ N®I, 2015 Mnc lnc Lài cam ơn Ma đau Phương trình tích phân Volterra loai hai tong quát phương pháp xap xi liên tiep 1.1 Phương pháp xap xi liên tiep 1.2 Các ví du .10 Phương trình tích phân Volterra dang ch¾p bien đoi Laplace 16 2.1 Tích phân Gamma tích phân Beta 16 2.2 Bien đői Laplace 17 2.3 Phương trình Volterra nua truc .27 Nghi¾m tưàng minh cua m®t so phương trình tích phân dang Volterra 34 3.1 Phương trình tích phân Abel 34 3.1.1 Phương trình tích phân Abel loai m®t 34 3.1.2 Phương trình tích phân Abel loai hai 37 3.1.3 Phương trình tích phân dang Abel .38 3.1.4 Phương trình tích phân Abel vói nhân tőng qt 38 3.2 Phương trình Volterra vói nhân đa thúc hay phân thúc huu ty 39 3.2.1 Đao hàm theo tham so tích phân xác đ%nh 39 3.2.2 Nhân đa thúc b¾c nhat .39 3.2.3 Nhân đa thúc b¾c hai 40 3.2.4 Nhân đa thúc b¾c ba 42 3.2.5 Nhân lũy thùa b¾c cao 43 3.2.6 Nhân phân thúc huu ty .44 3.3 Phương trình Volterra vói nhân thúc hay lũy thùa phân 47 3.3.1 Nhân thúc 47 3.3.2 Nhân lũy thùa phân 49 Ket lu¾n 52 Tài li¾u tham khao 53 Lài cám ơn Lịi đau tiên, tơi xin trân TRQNG cam ơn Thay - TS Nguyen Văn NGQc ó tắn tõm húng dan, đng viờn tụi suot q trình thnc hi¾n lu¾n văn Xin chân thành cam ơn Q thay khoa Tốn - Cơ - Tin, Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, ĐHQG Hà Nđi ó tắn tõm truyen at kien thỳc v kinh nghi¾m cho tơi suot khóa HQc Xin cam ơn Phòng Sau Đai HQc Trưòng Đai HQc Khoa HQ c Tn nhiờn, HQG H Nđi ó tao ieu kiắn thuắn loi đe tơi hồn thành khóa HQc Cho tơi gui lịi cam ơn chân thành tói đong nghi¾p, ban HQc viên cao HQc Giai Tích khóa 2013-2015 giúp đõ tơi thịi gian HQc t¾p thnc hiắn luắn H Nđi, thỏng 11 nm 2015 Lờ Th% Thu Hà Ma đau Nhieu van đe tốn HQc(phương trình vi phân vói đieu ki¾n biên hay đieu ki¾n ban đau, phương trình đao hàm riêng), HQc, v¾t lí ngành kĩ thu¾t khác dan đen nhung phương trình hàm chưa biet chúa dưói dau tích phân Nhung loai phương trình đưoc GQI phương trình tích phân Phương trình tích phân cơng cu tốn HQc huu ích nhieu lĩnh vnc nên đưoc quan tâm nghiên cúu theo nhieu khía canh khác sn ton tai nghi¾m, sn xap xi nghi¾m, tính chinh hay khơng chinh, nghi¾m chinh hóa, Lý thuyet tőng qt cna phương trình tích phân tuyen tính đưoc xây dnng o buői giao thịi cna the ki XIX, XX, chn yeu o cơng trình cna Volterra, Fredholm Hilbert, v.v Phương trình tích phân tuyen tính có dang ∫ b αu(x) + K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b, (1) a u(x) hàm can tìm (an hàm), f(x) K(x, y) nhung hàm cho trưóc tương úng đưoc GQI ve phai nhân (hach) cna phương trình cho, α hang so cho Phương trình (1) đưoc GQI phương trình loai hay loai 2, tùy thu®c vào α = 0, hay α ƒ= tương úng Thông thưòng, trưòng hop (a, b) khoang huu han K(x, y) hàm liên tuc hay kha tích hình chu nhât (a, b) × (a, b) phương trình (1) đưoc GQI phương trình Predholm Neu phương trình (1), c¾n a, hay c¾n dưói b đưoc thay boi x, bien thiên m®t khoang đó, phương trình đưoc GQI phương trình tích phân voltetrra Như v¾y, phương trình tích phân Volterra có dang ∫ λu(x) + x K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b, , (2) K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b (3) a λu(x) + ∫ x b e đây, có the xay trưòng hop b = +∞ Neu K(x, y) có dang K(x-y) phương trình tích phân đưoc GQI phương trình tích ch¾p Muc đích cna lu¾n văn tìm hieu HQc phương pháp giai hình thúc phương trình tích phân Volterra N®i dung cna lu¾n văn đưoc trình bày ba chương: Chương trình bày phương pháp xap xi liên tiep giai giai phương trình Volterra loai hai vói ve phai nhân nhung hàm liên tuc Chương trình bày phép bien đői tích phân Laplace v¾n dung phép bien đői giai phương trình tích phân Volterra dang ch¾p nua truc thnc Chương trình bày ve nghiắm tũng minh cna mđt so phng trỡnh tớch phân dang Volterra phương trình tích phân Abel m®t so phương trình Volterra khác Chương Phương trình tích phân Volterra loai hai tong qt phương pháp xap xi liên tiep Chương trình bày phương pháp xap xi liên tiep giai giai phương trình Volterra loai hai vói ve phai nhân nhung hàm liên tuc N®i dung cna chương đưoc hình thành chn yeu tù tài li¾u [3] 1.1 Phương pháp xap xi liên tiep Xét phương trình tích phân ∫x K(x, t)Φ(t)dt Φ(x) = f (x) + λ a so hang tn f (x) hàm bien phúc liên tuc [a, b] hach K(x, t) có giá tr% phúc liên tuc tam giác T (a, b) = {(x, t) : a ≤ x ≤ b, a ≤ t ≤ x} Ta gia thiet rang hach Volterra thoa mãn đieu ki¾n K(x, t) ≡ neu x < t hach bien mat đưịng chéo cna hình vng Q(a, b) Neu λ = Φ(x) = f (x) nghi¾m nhat cua phương trình tích phân Neu |λ| đn nho đe Φ(x) ≈ f (x) phan tn hàm xap xi ban đau Φ0(x) vói nghi¾m cna phương trỡnh, am bao rang mđt nghiắm ton tai Neu hm xap xi thú nhat Φ1(x) vói Φ(t) đưoc cho biet bang vi¾c thay the Φ(t) boi Φ0(t) = f (t) tích phân ta đưoc Φ1(x) = f (x) +λ ∫ x a K(x, t)Φ0(t)dt ∫x Neu tích phân K(x, t)Φ0(t)dt = a Φ1(x) = f (x) = Φ0(x) q trình l¾p l¾p lai ket thúc o Đieu chi rang sn ngau nhiên có the xay ra, xét phương trình ∫ Φ(x) = x + λ x (2x − 3t)Φ(t)dt Neu ta cHQN Φ0 (x) = f (x) = x ∫x ∫x Σ Σ.x (2x − 3t) tdt = 2xt − 3t dt = xt − t =0 0 Do Φ1 (x) = f (x) = x = Φ(x) vói MQI giá tr% cna λ Neu Φ1 (x) =ƒ Φ0 (x) = f (x) thay the Φ1 (x) boi lưong xap xi thú hai Φ2(x) = f (x) +λ ∫ x K(x, t)Φ1(t)dt a Tiep tuc trình cho ta đưoc lưong xap xi thú n Φn(x) = f (x) +λ ∫ x K(x, t)Φn−1dt a gia su rang tích phân khơng bien mat o mQI bưóc Neu tích phân mat Φn (x) = f (x) = Φ0 (x) q trình l¾p sai Moi xap xi Φn(x)} có m®t dang thay the Neu thay xap xi thú nhat vào xap xi thú hai ta đưoc  ∫x ∫t K(t, s)f (s)ds dt Φ2(x) = f (x)  K(x, t)f (t) + λ +λ a ∫x = f (x) + λ a K(x, t)f (t)dt + λ2 Bn phương trình có dang: y(x) = xλ , (λm > −1), nghi¾m a +kìbt t dtλ m®t so bat cna ∫1 tλ+m+n−1d N Σ An N 3o Cho f (x) = Σ n= ln x xm+n−1, B Bn = n n= t a+ An x n Σ, nghi¾m cna phương trình có dang: N y(x) = lnx ∫1 Bn = Σ An Bn n= 0+n−1 m N xm+n−1 − Σ An Cn Bn2 xm+n−1 n=1 0∫ m+n−1 t dt , Cn = a + btm t ln t dt a + btm 3.3 Phương trình Volterra vái nhân thÉc hay lũy thÈa phân 3.3.1 Nhân thÉc ∫ x√ x − ty(t)dt = f (x) a Lay đao hàm hai ve theo bien x, ta đưoc phương trình Abel ∫x √ x t = 2f (x) a y(t) dt − d2 Nghi¾m cna phương trình:y(x) = π dx2 ∫x √ x − ( √ t)y(t)dt = f (x) J ∫x √f (t)dt J a x− t a Nghi¾m cna phương trình: y(x) = d ∫x d x (1 + √ b √ [ xf J x (x)] x − t)y(t)dt = f (x) a Đao hàm theo x hai ve cna phương trình cho, ta đưoc phương trình tích phân Abel: x b ∫ y(t)dt J ∫ y(x) + x y(t)dt − √ x t = f (x) a √ = f x(x) x −t a Nghi¾m cna phương trình: ∫x ∫x d y(t) dt f (a) ∫x √ = √ + y(x) = x−t π x−a π dxa Σ − π a J f t(t)d √ x−t b+ √ x t a Phương trình viet lai dưói y(t)dt dang: = f (x) x ∫ y(t)dt ∫x √ = f (x) −xb− t a y(t)dt a Gia su ve phai cna phương trình biet, giai phương trình giong phương trình Abel Sau m®t so thao tác ta có: ∫x y(t)dt ∫x √f (t)dt b d y(x) + √ = F (x), F (x) = x− π a π x−t a dx Σ t ∫ x 1 √ x − √ t y(t)dt = f (x) a Nghi¾m cna phương trình cho đưoc cho boi công thúc: y(x) = −2Σx3/2 f J (x)Σj , a > x ∫x y(t)dt √ (x) x2 − a t2 = f 2d ∫x Nghi¾m cna phương trình: y(x) = π dx ∫ a y(t)dt x tf (t)dt √ x2−t2 √ ax2 + bt2 = f (x), a > 0, a + b > 0 N 1o Cho f (x) Σ A xn , nghi¾m cna phương trình có dang: n = n= N Σ An n y(x) = n=0 o 2Σ N Cho f (x) =x λ An x x Bn , n ∫1 Bn = n=0 a + bt2 , λ m®t so bat kì (λ > −1), nghi¾m ∫1 N Σ An n y(x) = x √ n= cna phương trình có dang: λ tndt x Bn , Bn = tλ+ndt √ a + bt2 N Σ Cho f (x) = ln x n= o An x n Σ, nghi¾m cna phương trình có dang: N y(x) = lnx A n Cn n x ∫1 Bn = o Cho f (x) = n n=0 Bn N x − n An (ln x) = Σ n n=0 √td , Cn = t bt2 a+ ΣN n Σ An ∫1 Bn2 tn ln √ t dt a + bt2 , nghi¾m cna phương trình có dang: N Σ y(x) = AnYn(x) n=0 hàm Yn = Yn(x) đưoc cho boi Yn(x) = dn dλ n o λ x I(λ ) ΣΣ n= y(x) = ∫1 λ= An cos (λn ln x) + Cho f (x) =ΣN trình có dang: Σ Σ , I(λ) = zλdz √ a + bz2 ΣN Bn sin (λn ln x), nghi¾m cna phương n= N N Cn cos (λn ln x) + n= Σ Dn sin (λn ln x) n= hang so Cn Dn đưoc tìm bang phương pháp h¾ so bat đ%nh 3.3.2 Nhân lũy thÈa phân x ∫ (x − y(t)dt = f (x), f (a) = 0, < λ < t)λ a Gia su f(x) hàm kha vi liên tuc Đao hàm hai ve cna phương trình cho thep x, ta đưoc phương trình tích phân Abel: ∫ a x y(t)dt (x − t)1−λ = f λ (x) J x Nghi¾m cna phương trình đưoc cho boi công thúc : x sin(πλ) d2 ∫ y(x) = πλ dx2 a f (t)d t sin(πλ) , λ (x − t) k= πλ ∫x (x − t)µy(t)dt = f (x) a Vói µ = n − λ, n = 1, 2, ≤ λ < 1, f (a) = f J x (a) = = f (n−1)x(a) = Đao hàm hai ve theo x n lan ta đưoc phương trình ∫ x y(t)d t (x− a = Γ (µ − n + 1) f Γ (µ + 1) (n) (x), t) ú (à) l hm Gamma Vớ dn: f (x) = Axβ, β ≥ µ > −1, µ − β ƒ= 0, 1, 2, , trưịng hop nghi¾m cna phương trình có dang: y(x) = AΓ(β + 1) β−µ−1 Γ(µ + 1)Γ(β − x µ) ∫x (xµ − tµ) y(t)dt = f (x) a Nghi¾m cna phương trình đưoc cho boi cơng thúc: Σ1 ΣJ y(x) = 1−µ J x(x) x f µ x ∫x (Axµ + Bt µ) y(t)dt = f (x) a Nghi¾m cna phương trình cho đưoc cho boi công thúc:   A x B µ d − µ ∫ x t f J (t)dt y(x) = A+B dx vói A ƒ= −B A+B A+B t a ∫x tσ (xµ − tµ)λ y(t)dt = f (x), σ > −1, λ > 1, > a = tà, z = xµ, w(τ ) = tσ−µ+1y(t), A = aµ, F (z) = µ(z1/µ) Khi phương trình (5) đưoc đưa ve phương trình dang (2): ∫ x (z − τ )λw(τ )dτ = F (z) a Tù tìm đưoc nghi¾m cna phương trình cho < λ < Vói −1 < λ