PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ABEL TỔNG QUÁT TRÊN TRỤC THỰC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ HỒNG ANH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ABEL TỔNG QUÁT TRÊN TRỤC THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - NĂM 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ HỒNG ANH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ABEL TỔNG QUÁT TRÊN TRỤC THỰC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2015 Mục lục Mở đầu 1 Tính chất tích phân kỳ dị toán bờ Riemann 1.1 Khái niệm phương trình tích phân 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị 1.3 Tính chất tích phân kỳ dị 1.3.1 Đổi biến tính tích phân phần 1.3.2 Tính liên tục H¨older tích phân dạng Cauchy 1.3.3 Công thức Sokhotski 1.3.4 Giá trị biên đạo hàm tích phân kỳ dị 1.3.5 Đạo hàm giá trị biên tích phân kỳ dị 1.4 Bài toán bờ Riemann miền đơn liên 1.5 Bài toán bước nhảy 1.5.1 Chỉ số hàm số 1.5.2 Bài toán 1.5.3 Hàm tắc toán 1.5.4 Bài toán bờ Riemann không 1.5.5 Bài toán bờ Riemann nửa mặt phẳng 1.6 Phương trình đặc trưng phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy 1.6.1 Chuyển phương trình đặc trưng toán bờ Riemann 1.6.2 Công thức nghiệm phương trình đặc trưng 2 4 4 5 6 7 9 10 10 11 11 Phương trình tích phân Abel đoạn hữu hạn 13 2.1 Phương trình tích phân Abel cổ điển 13 2.2 Phương trình tích phân Abel cổ điển sinh hàm số 13 2.3 Phương trình tích phân Abel suy rộng đoạn hữu hạn 14 i 2.3.1 2.3.2 2.3.3 Tích phân với nhân lũy thừa Phương trình tích phân Abel suy rộng Ví dụ 14 15 15 Phương trình tích phân Abel toàn trục thực 17 3.1 Phương trình Abel suy rộng trục thực 17 3.2 Phương trình Abel suy rộng trục thực với phản xạ 18 3.3 Ví dụ áp dụng 19 Kết luận 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 ii Mở đầu Lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị toán bờ Riemann hàm giải tích biến phức xây dựng phát triển mạnh mẽ vòng nửa kỷ 20, từ năm 1920 đến 1970 Các kết gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua, Carleman Từ nhiều năm nay, chuyên đề toán tử tích phân kỳ dị gắn với toán bờ lý thuyết hàm giải tích đưa vào chương trình thống cho sinh viên năm cuối bậc đại học, học viên cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành Giải tích Chính vậy, tác giả chọn đề tài "Phương trình tích phân Abel tổng quát trục thực." Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Tính chất tích phân kỳ dị toán bờ Riemann Chương Phương trình tích phân Abel đoạn hữu hạn Chương Phương trình tích phân Abel toàn trục thực Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Học viên thực Vũ Thị Hồng Anh Chương Tính chất tích phân kỳ dị toán bờ Riemann 1.1 Khái niệm phương trình tích phân Định nghĩa 1.1 ([1]-[2]) Phương trình tích phân phương trình mà hàm số chưa biết có xuất dấu tích phân Ví dụ 1.1 Xét phương trình tích phân x K(x, t)ϕ(t) dt = f (x) (1.1) a x ϕ(x) + K(x, t)ϕ(t) dt = f (x) (1.2) a Phương trình (1.1) gọi phương trình tích phân loại 1, phương trình (1.2) gọi phương trình tích phân loại 2, K(x, t), f (x) hàm biết, ϕ(x)là hàm chưa biết Hàm K(x, t) gọi nhân phương trình tích phân 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị Định nghĩa 1.2 ([1]-[2]) Phương trình tích phân kỳ dị phương trình tích phân có nhân K(x, t) hàm không bị chặn miền lấy tích phân Dựa vào tính chất không bị chặn nhân, phân loại phương trình tích phân kỳ dị thành loại Phương trình tích phân kỳ dị mạnh phương trình tích phân kỳ dị yếu Phương trình tích phân kỳ dị yếu phương trình tích phân với nhân K(x, t) thỏa mãn điều kiện tích phân b K(x, t) dt a tồn theo nghĩa Riemann, với x ∈ (a, b) Phương trình tích phân kỳ dị mạnh phương trình tích phân kỳ dị mà nhân K(x, t) có tính chất tồn x ∈ (a, b) cho b K(x, t) dt a không tồn theo nghĩa Riemann L(x, t) , |x − t|α với L(x, t) hàm liên tục hình chữ nhật [a, b] × [a, b], L(x, t) = α số (0 < α < 1) Khi tích phân Ví dụ 1.2 Nhân K(x, t) = b K(x, t) dt với a < x < b a tồn theo nghĩa Riemann Do tương ứng có phương trình tích phân kỳ dị yếu Nhân L(x, t) K(x, t) = với a < x < b, x−t với L(x, t) hàm khả vi L(x, x) = Khi nhân K(x, t) nhận điểm t = x điểm kỳ dị mạnh Do phương trình tích phân tương ứng phương trình tích phân kỳ dị mạnh 1.3 1.3.1 Tính chất tích phân kỳ dị Đổi biến tính tích phân phần Khi hàm số τ = α(ζ) có đạo hàm liên tục α (ζ) không triệt tiêu đồng thời ánh xạ - từ chu tuyến Γ vào chu tuyến Γ , ϕ(τ ) dτ = τ −t Γ ϕ[α(ζ)]α (ζ) dζ α(ζ) − α(ξ) (1.3) Γ t = α(ξ) Định lý 1.1 (Công thức tích phân phần) Khi ϕ(τ ) hàm khả vi liên tục điểm t không trùng với đầu mút chu tuyến Γ (a b) công thức tích phân phần đúng: ϕ(τ ) dτ = ±iπϕ(t) + ϕ(b) ln(b − t) − ϕ(a) ln(a − t) − τ −t Γ ϕ (τ ) ln(τ − t)dτ Γ (1.4) 1.3.2 Tính liên tục H¨ older tích phân dạng Cauchy Định lý 1.2 Khi Γ chu tuyến đóng, đơn, trơn ϕ(t) thỏa mãn Γ điều kiện H¨older với số λ, giá trị tích phân dạng Cauchy Φ+ (t) Φ− (t) thỏa mãn điều kiện H¨older với số, < λ < 1, đủ gần tới λ, λ = 1.3.3 Công thức Sokhotski Bổ đề 1.1 (Bổ đề bản) Khi hàm mật độ ϕ(τ ) thỏa mãn điều kiện H¨older điểm t không trùng với điểm đầu mút chu tuyến, hàm số Φ(z) = ϕ(τ ) − ϕ(t) dτ τ −t Γ điểm z = t chu tuyến liên tục, tức là, hàm có giá trị giới hạn xác định điểm t từ z từ phía chu tuyến, dọc theo đường dẫn ϕ(τ ) − ϕ(t) lim Φ(z) = dτ = Φ(t) z→t τ −t Γ Định lý 1.3 Giả sử Γ chu tuyến trơn (đóng mở) ϕ(t) hàm số theo tọa vị chu tuyến thỏa mãn điều kiện H¨older Khi đó, tích phân Cauchy ϕ(τ ) Φ(z) = dτ 2πi τ − z Γ có giá trị Φ+ (t), Φ− (t) điểm chu tuyến Γ không trùng với đầu mút, chu tuyến chọn hướng từ bên trái từ bên phải dọc theo hướng đường dẫn, giá trị biên biểu diễn theo hàm mật độ tích phân ϕ(t) tích phân kỳ dị Φ(t) dạng công thức Sokhotski Định lý 1.4 Khi tích phân dạng Cauchy lấy theo chu tuyến có hữu hạn điểm góc, giá trị giới hạn tích phân tồn Đối với điểm thường công thức Sokhotski 1.3.4 Giá trị biên đạo hàm tích phân kỳ dị Giả sử ϕ(t) hàm số vị trí chu tuyến đóng Γ, có đạo hàm cấp m thỏa mãn điều kiện H¨older Đạo hàm cấp m tích phân dạng Cauchy có dạng Φ(m) (z) = m! 2πi ϕ(τ ) dτ (τ − z)m+1 Γ Ta tích phân phần vế phải m lần Vì chu tuyến đóng, nên phần lấy tích phân triệt tiêu Do đó, ta có (m) Φ ϕ(m) (τ ) dτ τ −z (z) = 2πi Γ 1.3.5 Đạo hàm giá trị biên tích phân kỳ dị Giá trị giới hạn chu tuyến đạo hàm tích phân Cauchy trùng với đạo hàm giá trị giới hạn [Φ]± (t)](m) = [Φ(m) (t)]± ứng với hàm mật độ ϕ(m) (t) ∈ H (1.5) 1.4 Bài toán bờ Riemann miền đơn liên Giả thiết Γ chu tuyến đóng, đơn trơn chia mặt phẳng phức thành miền D+ miền D− (giả thiết ∞ ∈ D− ), cho hai hàm số chu tuyến, G(t) g(t) thỏa mãn điều kiện H¨older, G(t) không triệt tiêu biên Ta cần xác định hai hàm số Φ+ (z), giải tích miền D+ , Φ− (z), giải tích miền D− , kể z = ∞, thỏa mãn chu tuyến Γ hệ thức (bài toán nhất) Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) (1.6) hệ thức không (bài toán không nhất) Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t) (1.7) Hàm số G(t) gọi hệ số toán bờ Riemann, hàm số g(t) phần tử tự toán 1.5 Bài toán bước nhảy Định lý 1.5 Hàm số tùy ý ϕ(t) cho chu tuyến đóng thỏa mãn điều kiện H¨older, biểu diễn dạng hiệu hàm số Φ+ (t), Φ− (t) giá trị biên hàm giải tích Φ+ (z), Φ− (z), giả thiết Φ− (∞) = Nếu không đòi hỏi điều kiện Φ− (∞) = 0, nghiệm toán cho công thức ϕ(τ ) Φ(z) = dτ + const (1.8) 2πi τ − t Γ Nhận xét 1.1 Đối với chu tuyến khoảng hữu hạn Γ ≡ (α, β), toán bước nhảy Φ+ (t) − Φ− (t) = ϕ(t) (1.9) có nghiệm β Φ(z) = 2πi ϕ(τ ) dτ τ −t α (1.10) Hiển nhiên hàm số G1 (t) = t−κ G(t) có số (vì Ind G1 (t) = Ind t−κ + Ind G(t) = −κ + κ = 0) Do đó, toán tìm Φ+ (z) giải tích D+ Φ− (z) giải tích D− , cho chu tuyến Γ thỏa mãn Φ+ (t) = G1 tΦ− (t), ta có nghiệm Φ+ (z) = AeΓ+(z) , Φ− (z) = AeΓ−(z) ln[τ −κ G(τ )] dτ τ −z Γ(z) = 2πi (1.13) Γ A số tùy ý + Φ+ (t) eΓ (t) Ta có G1 (t) = − Do (1.11) viết lại = Φ (t) eΓ− (t) Γ+ (t) Φ+ (t) κe t Γ− (t) Φ− (t) Γ+ (t) e e + Φ (t) = = tκ Φ− (t) eΓ− (t) − Φ+ (z) + κ Φ (z) Vì hàm Γ+ (z) giải tích D z Γ− (z) giải tích D− , ngoại trừ e e ∞, nơi có cực điểm bậc không lớn κ, thác triển giải tích qua Γ Ngược lại, ta thấy chúng nhánh hàm số giải tích mặt phẳng phức, trừ cực điểm bậc không κ vô Theo định lý Liouville suy rộng ta − Φ+ (z) κ Φ (z) = z = Pκ (z), eΓ+ (z) eΓ− (z) Pκ (z) đa thức bậc không lớn κ với hệ số phức Vậy nên, ta nhận nghiệm tổng quát toán +(z) Φ+ (z) = eΓ −(z) Pκ (z), Φ− (z) = eΓ z −κ Pκ (z) (1.14) Ta phát biểu kết thu dạng định lý sau Định lý 1.7 Nếu số κ toán bờ Riemann số dương, toán có κ + nghiệm độc lập tuyến tính +(z) k Γ Φ+ k (z) = z e k−κ Γ , Φ− e k (z) = z −(z) (k = 0, 1, , κ ) Nghiệm tổng quát chứa κ + số tùy ý Rõ ràng, trường hợp κ = trường hợp riêng định lý Nhận xét 1.3 Nghiệm toán hoàn toàn xác định biết thêm κ + điều kiện độc lập tuyến tính hàm Φ+ (z), Φ− (z) Từ (1.14) suy Φ− (∞) hệ số z κ đa thức Pκ (z) Do đó, thêm vào điều kiện Φ− (∞) = nghiệm tổng quát biểu diễn dạng Φ+ (z) = eΓ +(z) −(z) Pκ−1 (z), Φ− (z) = eΓ z −κ Pκ−1 (z) (1.15) Pκ−1 (z) đa thức bậc κ − với hệ số tùy ý Vậy nên thường hợp này, toán có κ nghiệm độc lập tuyến tính Nhận xét 1.4 Nếu chu tuyến Γ khoảng hữu hạn ta có kết tương tự 1.5.3 Hàm tắc toán Định nghĩa 1.4 ([1]-[2]) Bậc hàm số giải tích Φ(z) điểm z0 lũy thừa thấp khai triển Φ(z) thành chuỗi lũy thừa (z − z0 ) Định nghĩa 1.5 ([1]-[2]) Tổng bậc hàm tổng đại số tất bậc miền Định nghĩa 1.6 ([1]-[2]) Hàm tắc toán Riemann hàm số giải tích khúc thỏa mãn điều kiện biên có bậc nơi hữu hạn phần mặt phẳng điểm z = ∞ bậc κ 1.5.4 Bài toán bờ Riemann không Định lý 1.8 Trong trường hợp κ toán bờ Riemann không giải ứng với thành phần tự nghiệm tổng quát cho công thức Φ(z) = X(z) 2πi g(τ ) dτ + X(z)Pκ (z) X + (τ ) τ − z (1.16) Γ hàm tắc X(z) cho Pκ (z) đa thức bậc κ với hệ số phức tùy ý 1.5.5 Bài toán bờ Riemann nửa mặt phẳng Giả thiết chu tuyến Γ trục thực Tương tự biên hữu hạn, ta phát biểu toán bờ Riemann, tìm cặp hàm số giải tích nửa mặt phẳng dưới, Φ+ (z) Φ− (z) (hàm giải tích khúc Φ(z) ), mà giá trị biên chúng thỏa mãn chu tuyến Γ điều kiện biên Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t) (1.17) Định lý 1.9 Khi κ 0, toán bờ Riemann không cho cặp nửa mặt phẳng giải vô điều kiện Nghiệm phụ thuộc tuyến tính vào κ + số tùy ý Khi κ < toán nghiệm Bài toán không có nghiệm trường hợp κ = −1 κ < −1 đòi hỏi thêm −κ − điều kiện cần thỏa mãn 1.6 Phương trình đặc trưng phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy Ta xét phương trình với nhân Cauchy dạng ((Kϕ)(t))(t) ≡ a(t)ϕ(t) + πi M (t, τ ) ϕ(τ )dτ = f (t), τ −t (1.18) Γ Ta viết phương trình (1.18) dạng (Kϕ)(t) ≡ a(t)ϕ(t) + b(t) πi ϕ(τ ) dτ + τ −t Γ k(t, τ )ϕ(τ )dτ = f (t) (1.19) Γ Phương trình K o ϕ ≡ a(t)ϕ(t) + b(t) πi ϕ(τ ) dτ = f (t) τ −t (1.20) Γ gọi phương trình đặc trưng tương ứng với phương trình đầy đủ (1.19), toán tử K o toán tử đặc trưng 10 1.6.1 Chuyển phương trình đặc trưng toán bờ Riemann Ta xét hàm số giải tích khúc biểu diễn tích phân dạng Cauchy, hàm mật độ lời giải phương trình đặc trưng b(t) ϕ(τ ) K o ϕ ≡ a(t)ϕ(t) + dτ = f (t) (1.21) πi τ −t Γ Theo công thức Sokhotski,    ϕ(t) = Φ+ (t) − Φ− (t), ϕ(t) + −   πi τ − t dt = Φ (t) + Φ (t) Γ (1.22) Theo công thức Sokhotski, ta nhận phương trình tích phân kỳ dị đặc trưng 1 − G(t) ϕ(τ ) [1 + G(t)]ϕ(t) + dτ = g(t) (1.23) 2πi τ −t Γ Theo công thức (1.22) nghiệm phương trình cuối lời giải toán bờ Riemann 1.6.2 Công thức nghiệm phương trình đặc trưng Nghiệm tổng quát phương trình (1.21) có dạng κ ϕ(t) = (Rf )(t) + c(Kϕ)(t)k (t) (1.24) k=1 Định lý 1.10 Giả sử κ số phương trình Khi Khi κ > 0, phương trình K o ϕ = có κ độc lập tuyến tính nghiệm ϕk (t) = b(t)Z(t)tk−1 (k = 1, 2, , κ ) Khi κ 0, phương trình không giải Khi κ 0, phương trình không giải với vế phải f (t) tùy ý, nghiệm tổng quát phụ thuộc tuyến tính vào κ số tùy ý Khi κ < 0, phương trình không giải vế phải f (t) thỏa mãn −κ điều kiện ϕk (t)f (t)dt = 0, Γ 11 (1.25) ϕk (t) = [1/Z(t)]tk−1 12 Chương Phương trình tích phân Abel đoạn hữu hạn 2.1 Phương trình tích phân Abel cổ điển Xét phương trình Abel dạng x ϕ(t) dt = g(x), (0 < µ < 1) (x − t)µ Aϕ ≡ (2.1) α Nghiệm cần tìm lớp hàm dạng ϕ∗ (x) ϕ(x) = (e > 0), (x − α)1−µ−e (2.2) ϕ∗ (x) hàm thỏa mãn điều kiện H¨older [α, β] 2.2 Phương trình tích phân Abel cổ điển sinh hàm số Trong phần này, ta khảo sát lớp phương trình dạng Abel x ϕ(t) dt = f (x), (0 < µ < 1) [g(x) − g(t)]µ Aϕ ≡ α 13 (2.3) Bài toán 2.1 Giải phương trình tích phân x y(t)dt = f (x), g(x) − g(t) a g(t) hàm đơn điệu tăng có g (x) > Giải Ta tìm nghiệm lớp hàm H¨older Đặt x = g(x), t = g(t), µ = Khi phương trình có dạng x y(t)dt = f (x) (x − t)µ a Ta có nghiệm toán x sin µπ d ϕ(x) = π dx f (t)dt (x − t)µ a Thay x g(x), t g(t), µ = vào công thức nghiệm ta có sin π d y(x) = π dx x f (t)d(g(t)) , g(x) − g(t) a x d y(x) = π dx f (t)gt (t)dt g(x) − g(t) a 2.3 Phương trình tích phân Abel suy rộng đoạn hữu hạn 2.3.1 Tích phân với nhân lũy thừa Ta xét hàm giải tích biểu diễn tích phân 1 µ− Φ(z) = [(z − a)(β − z)] 2 β ϕ(t)dt (t − z)µ α 14 (2.4) Ta nhận cặp công thức x ϕ(t)dt eµπi Φ+ (x) + Φ− (x) = R(x) (x − t)µ e2µπi − (2.5) α β ϕ(t)dt Φ+ (x) + eµπi Φ− (x) =− R(x) (x − t)µ e2µπi − x 2.3.2 Phương trình tích phân Abel suy rộng Xét phương trình tích phân β x ϕ(t)dt + b(x) (x − t)µ a(x) α ϕ(t)dt = f (x) (0 < µ < 1) (t − x)µ (2.6) x Để tìm nghiệm, ta sử dụng phương pháp thác triển giải tích mặt phẳng phức β Φ(z) = R(z) ϕ(t)dt (t − z)µ α Bổ đề 2.1 Nếu giá trị giới hạn hàm Φ(z) giải tích mặt phẳng với lát cắt dọc theo [α, β] thỏa mãn điều kiện tương ứng với ϕ(x) hệ thức (2.5) biểu diễn (2.4) thỏa mãn Φ(z) 2.3.3 Ví dụ Giải phương trình x (x − t)µ ϕ(t)dt = f (x), < µ < α x Sử dụng công thức (x − t)µ−1 (t − τ )−µ dt = τ π sin µπ Đặt t = τ + s(x − τ ) Ta có x x g(t)dt = (x − t)1−λ α x ϕ(τ )dτ α x π (t − τ )−λ (x − t)λ−1 dt = sin λπ τ ϕ(τ )dτ, α 15 x d dx g(t)dt π = ϕ(x) (x − t)1−λ sin λπ α Suy ϕ(x) = sin λπ d x g(t)dt sin µπ d x g(t)dt = π dx α (x − t)1−λ π dx α (x − t)1+µ 16 Chương Phương trình tích phân Abel toàn trục thực 3.1 Phương trình Abel suy rộng trục thực Phương trình Abel suy rộng dạng t +∞ ϕ(τ )dτ + b(t) (t − τ )µ a(t) −∞ ϕ(τ )dτ = f (t), < µ < (τ − t)µ (3.1) t t +∞ a(τ )ϕ(τ )dτ + (t − τ )µ −∞ b(τ )ϕ(τ )dτ = g(t), < µ < (τ − t)µ (3.2) t Phương trình (3.1) (3.2) gọi tương ứng phương trình Abel với hệ số phương trình Abel với hệ số Đặt +∞ ϕ(τ )dτ , (τ − t) (Sϕ)(t) = π −∞ t ϕ(τ )dτ (t − τ )µ (Kϕ)(t) = −∞ Ta viết lại (3.1) sau u(t)ψ(t) + v(t)(Sψ)(t) = f (t), 17 (3.3) u(t) = a(t) − b(t) cos(µπ))ψ(t), v(t) = b(t) sin(µπ) Theo công thức Sokhotski, phương trình (3.3) trở thành f (t) = Φ+ (t)(u(t) + iv(t)) + Φ− (t)(−u(t) + iv(t)) Ta đưa toán bờ Riemann Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t) (3.4) Ta thu nghiệm Φ(z) = X(z)[Ψ(z) + Pκ (z)], 3.2 Phương trình Abel suy rộng trục thực với phản xạ Phương trình Abel suy rộng dạng ∞ (Aα ϕ)(t) := a0 (t) + a1 (t)sign(τ − t) ϕ(τ )dτ = f (t), < α < |τ − t|1−α −∞ ∞ (Aα ϕ)(t) := a0 (τ ) + a1 (τ )sign(τ − t) ϕ(τ )dτ = g(t), < α < |τ − t|1−α −∞ nghiên cứu Samko nhiều người khác Trong mục này, ta xét phương trình Abel suy rộng với phản xạ, dạng sau +∞ t r(t)ϕ(τ ) + v(t)ϕ(−τ ) dτ = f (t) (3.5) (τ − t)1−α u(t)ϕ(τ ) + r(t)ϕ(−τ ) dτ + (t − τ )1−α −∞ t t +∞ u(τ )ϕ(τ ) + r(τ )ϕ(−τ ) dτ + (t − τ )1−α −∞ r(τ )ϕ(τ ) + v(τ )ϕ(−τ ) dτ = g(t) (3.6) (τ − t)1−α t 18 Phương trình (3.5) (3.6) gọi tương ứng phương trình Abel với hệ số với phản xạ phương trình Abel với hệ số với phản xạ Phương trình (3.5) có dạng +∞ ψ(τ ) + ψ(−τ ) dτ = f (t), τ −t c(t) a(t)ψ(t) + b(t)ψ(−t) + πi (3.7) −∞ a(t) = u(t) + r(t) cos(1 − α)π, b(t) = v(t) + r(t) cos(1 − α)π, c(t) = 2i[sin(1 − α)π]r(t) (3.8) Phương trình (3.6) có nghiệm dạng t α sin(1 − α(π)) ϕ(t) = π ϕ(t) − ϕ(τ ) dτ, (t − τ )1−α −∞ ϕ(t) = (Q1ϕ1 )(t) + (Q2ϕ2 )(t) Hệ 3.1 Phương trình (3.1) cho nghiệm dạng hiển Tương tự ta áp dụng công thức t +∞ dτ (t − τ )µ π −∞ −∞ t π +∞ ϕ(τ )dτ + (t − τ )µ sin(µπ) −∞ +∞ dτ (t − τ )µ −∞ t ϕ(σ)dσ = cot(µπ) (σ − τ ) t t ϕ(−σ)dσ = cot(µπ) (σ − τ ) −∞ ϕ(τ )dτ , (τ − t)µ +∞ ϕ(−τ )dτ + µ (τ − t) sin(µπ) −∞ ϕ(−τ )dτ (τ − t)µ t Hệ 3.2 Phương trình (3.6)cho nghiệm dạng hiển 3.3 Ví dụ áp dụng Giải phương trình tích phân β x ϕ(t)dt + (x − t)µ α ϕ(t)dt = x2 (0 < µ < 1) µ (t − x) x 19 (3.9) Ta có từ phương trình (2.6) a(x) = b(x) = f (x) = x2 thỏa mãn điều kiện Bài toán Riemann tương ứng toán bước nhảy (eµπi + 1)x2 Φ (x) − Φ (x) = R(x) − + Theo công thức Sokkhotski ta có nghiệm xác định tích phân Cauchy eµπi + Φ(z) = 2πi β t2 dt R(t) t − z α Theo công thức (3.4), ta có nghiệm toán x kπ d ϕ(x) = cot 2π dx x t2 kπ dt − cos (x − t)1−k π2 α R(t)F (t) dt, (x − t)1−k α 20 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau - Trình bày cách giải tường minh toán tích phân Abel mở rộng - Trình bày cách giải tường minh phương trình tích phân Abel suy rộng trục thực - Xét số ví dụ minh hoạ 21 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết toán tử phương trình tích phân kỳ dị, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh B.N Mandal, A Chakrabarti (2011), Applied singular integral equations, Sci Publishers D.Przeworska-Rolewicz (1988), Algebraic Analysis, Amsterdam-Warsaw D Przeworska-Rolewicz and S Rolewicz (1968), Equations in linear spaces, Warsaw Pub F.D Gakhov (1966), Boundary value problems, Pergamon Press, Oxford Nguyễn Văn Mậu (2005), Algebraic elements and boundary value problems in linear spaces, VNU Pub House 22 [...]... Chương 2 Phương trình tích phân Abel trên đoạn hữu hạn 2.1 Phương trình tích phân Abel cổ điển Xét phương trình Abel dạng x ϕ(t) dt = g(x), (0 < µ < 1) (x − t)µ Aϕ ≡ (2.1) α Nghiệm cần tìm trong lớp hàm dạng ϕ∗ (x) ϕ(x) = (e > 0), (x − α)1−µ−e (2.2) trong đó ϕ∗ (x) là hàm thỏa mãn điều kiện H¨older trên [α, β] 2.2 Phương trình tích phân Abel cổ điển sinh bởi hàm số Trong phần này, ta khảo sát lớp các phương. .. trình tích phân Abel trên toàn trục thực 3.1 Phương trình Abel suy rộng trên trục thực Phương trình Abel suy rộng dạng t +∞ ϕ(τ )dτ + b(t) (t − τ )µ a(t) −∞ ϕ(τ )dτ = f (t), 0 < µ < 1 (τ − t)µ (3.1) t t +∞ a(τ )ϕ(τ )dτ + (t − τ )µ −∞ b(τ )ϕ(τ )dτ = g(t), 0 < µ < 1 (τ − t)µ (3.2) t Phương trình (3.1) và (3.2) được gọi tương ứng là phương trình Abel với hệ số trong và phương trình Abel với hệ số ngoài... (x − t)1−k α 20 Kết luận Luận văn đã trình bày các vấn đề chính sau đây - Trình bày cách giải tường minh của bài toán tích phân Abel và mở rộng của nó - Trình bày cách giải tường minh của phương trình tích phân Abel suy rộng trên trục thực - Xét một số ví dụ minh hoạ 21 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt 1 Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết toán tử và phương trình tích phân kỳ dị, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội... 2.3 Phương trình tích phân Abel suy rộng trên đoạn hữu hạn 2.3.1 Tích phân với nhân lũy thừa Ta xét hàm giải tích biểu diễn bởi tích phân 1 1 µ− Φ(z) = [(z − a)(β − z)] 2 2 β ϕ(t)dt (t − z)µ α 14 (2.4) Ta nhận được cặp công thức x ϕ(t)dt eµπi Φ+ (x) + Φ− (x) = R(x) (x − t)µ e2µπi − 1 (2.5) α β ϕ(t)dt Φ+ (x) + eµπi Φ− (x) =− R(x) (x − t)µ e2µπi − 1 x 2.3.2 Phương trình tích phân Abel suy rộng Xét phương. .. nhận được phương trình tích phân kỳ dị đặc trưng 1 1 − G(t) ϕ(τ ) [1 + G(t)]ϕ(t) + dτ = g(t) (1.23) 2 2πi τ −t Γ Theo công thức (1.22) nghiệm này của phương trình cuối chính là lời giải của bài toán bờ Riemann 1.6.2 Công thức nghiệm của phương trình đặc trưng Nghiệm tổng quát của phương trình (1.21) có dạng κ ϕ(t) = (Rf )(t) + c(Kϕ)(t)k (t) (1.24) k=1 Định lý 1.10 Giả sử κ là chỉ số của phương trình Khi... 1.6 Phương trình đặc trưng của phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy Ta sẽ xét phương trình với nhân Cauchy dạng ((Kϕ)(t))(t) ≡ a(t)ϕ(t) + 1 πi M (t, τ ) ϕ(τ )dτ = f (t), τ −t (1.18) Γ Ta có thể viết phương trình (1.18) dưới dạng (Kϕ)(t) ≡ a(t)ϕ(t) + b(t) πi ϕ(τ ) dτ + τ −t Γ k(t, τ )ϕ(τ )dτ = f (t) (1.19) Γ Phương trình K o ϕ ≡ a(t)ϕ(t) + b(t) πi ϕ(τ ) dτ = f (t) τ −t (1.20) Γ được gọi là phương. .. mục này, ta xét phương trình Abel suy rộng với phản xạ, dạng sau +∞ t r(t)ϕ(τ ) + v(t)ϕ(−τ ) dτ = f (t) (3.5) (τ − t)1−α u(t)ϕ(τ ) + r(t)ϕ(−τ ) dτ + (t − τ )1−α −∞ t t +∞ u(τ )ϕ(τ ) + r(τ )ϕ(−τ ) dτ + (t − τ )1−α −∞ r(τ )ϕ(τ ) + v(τ )ϕ(−τ ) dτ = g(t) (3.6) (τ − t)1−α t 18 Phương trình (3.5) và (3.6) được gọi tương ứng là phương trình Abel với hệ số trong và với phản xạ và phương trình Abel với hệ số... b(t) cos(µπ))ψ(t), v(t) = b(t) sin(µπ) Theo công thức Sokhotski, thì phương trình (3.3) trở thành f (t) = Φ+ (t)(u(t) + iv(t)) + Φ− (t)(−u(t) + iv(t)) Ta đưa về bài toán bờ Riemann Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t) (3.4) Ta thu được nghiệm Φ(z) = X(z)[Ψ(z) + Pκ (z)], 3.2 Phương trình Abel suy rộng trên trục thực với phản xạ Phương trình Abel suy rộng dạng ∞ (Aα ϕ)(t) := a0 (t) + a1 (t)sign(τ − t) ϕ(τ )dτ... a(t)ϕ(t) + b(t) πi ϕ(τ ) dτ = f (t) τ −t (1.20) Γ được gọi là phương trình đặc trưng tương ứng với phương trình đầy đủ (1.19), và toán tử K o là toán tử đặc trưng 10 1.6.1 Chuyển phương trình đặc trưng về bài toán bờ Riemann Ta xét hàm số giải tích từng khúc biểu diễn được bởi tích phân dạng Cauchy, hàm mật độ của nó chính là lời giải của phương trình đặc trưng b(t) ϕ(τ ) K o ϕ ≡ a(t)ϕ(t) + dτ = f (t) (1.21)... 3.2 Phương trình (3.6)cho mọi nghiệm dưới dạng hiển 3.3 Ví dụ áp dụng Giải phương trình tích phân β x ϕ(t)dt + (x − t)µ α ϕ(t)dt = x2 (0 < µ < 1) µ (t − x) x 19 (3.9) Ta có từ phương trình (2.6) a(x) = b(x) = 1 và f (x) = x2 thỏa mãn điều kiện Bài toán Riemann tương ứng là bài toán bước nhảy (eµπi + 1)x2 Φ (x) − Φ (x) = R(x) − + Theo công thức Sokkhotski ta có nghiệm duy nhất được xác định bởi tích phân