Đa tạp tích phân và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình tiến hóa

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Tr%nh Viet Dưac ĐA TAP TÍCH PHÂN V DNG IfiU TIfiM CắN NGHIfiM CUA MđT SO LộP PHƯƠNG TRÌNH TIEN HỐ Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã so: 62460103 LU¾N ÁN TIEN SĨ TOÁN HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: PGS TS Nguyen Thi¾u Huy PGS TS Đ¾ng Đình Châu Hà N®i - 2014 LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi Các ket qua, so li¾u lu¾n án trung thnc chưa tùng đưoc công bo bat kỳ cơng trình khác Tác gia lu¾n án Tr%nh Viet Dưac i Mnc lnc DANH MUC CÁC KÝ HIfiU2 Me ĐAU3 KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Không gian hàm Banach chap nh¾n đưoc nua đưịng thang 1.2 Khơng gian hàm Banach chap nh¾n đưoc đưòng thang 10 1.3 Nh% phân mũ cna HQ tien hoá 13 1.3.1 Bài tốn Cauchy đ¾t chinh HQ tien hoá 13 1.3.2 Nh% phân mũ cna HQ tien hoá 16 1.4 Phương trình vi phân nua tuyen tính đa tap őn đ%nh 19 ĐA TAP TÍCH PHÂN CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NUA TUYEN TÍNH 2.1 2.2 22 Đa tap tâm őn đ%nh 22 Đa tap không őn đ%nh 26 ĐA TAP TÍCH PHÂN CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM ĐAO HÀM RIÊNG 3.1 3.2 3.3 40 Đa tap őn đ%nh cna phương trình vi phân hàm đao hàm riêng 41 Đa tap tâm őn đ%nh cna phương trình vi phân hàm đao hàm riêng 49 Đa tap không őn đ%nh cna phương trình vi phân hàm đao hàm riêng 54 KET LU¾N72 DANH MUC CƠNG TRÌNH KHOA HOC CUA TÁC GIA LIÊN QUAN ĐEN LU¾N ÁN73 TÀI LIfiU THAM KHAO 74 DANH MUC CÁC KÝ HIfiU N = {1, 2, } t¾p so tn nhiên, R t¾p so thnc, R+ t¾p so thnc khơng âm Vói moi so thnc ≤ p ≤ ∞ ký hi¾u ∫  {u : I → R : ǁuǁp = ( I |u(x)|p dx)1/p < +∞ neu Lp(I) = ≤ p < ∞}  {u : I → R : ǁuǁ∞ = ess sup |u(x)| < +∞ neu p = x∈I ∞}  L1,loc (I) = {u : I → R | u ∈ L1 (ω) vói MQI t¾p đo đưoc ω ⊂⊂ I}, ω ⊂⊂ I nghĩa bao đóng ω t¾p compact I e đây, I = R+ ho¾c R Ký hi¾u M(R+) = f L1, sup ∈ vói chuan ǁf ǁM := sup t≥ ∫t t+1 loc (R+) : t≥0 ∫ t+ |f (τ )|dτ < ∞Σ t |f (τ )|dτ X không gian Banach E không gian hàm Banach chap nh¾n đưoc R+ ER khơng gian hàm Banach chap nh¾n đưoc R Cb(R+, X) khơng gian hàm liên tuc, b% ch¾n, nh¾n giá tr% X, xác đ%nh R+ vói chuan ǁuǁ∞ = supt∈R+ ǁu(t)ǁ Vói r > 0, ký hi¾u C = C([−r, 0], X) không gian hàm liên tuc [−r, 0], nh¾n giá tr% X vói chuan ǁuǁC = supt∈[−r,0] ǁu(t)ǁ Me ĐAU Xét phương trình vi phân nua tuyen tính du = A(t)u + f (t, u), dt ∈t I, I = R+ ho¾c R, A(t) tốn tu tuyen tính có the khơng giói n®i khơng gian Banach X vói moi t ∈ I f : I × X → X tốn tu phi tuyen M®t nhung van đe TRQNG điem nghiên cúu lý thuyet đ%nh tính cna nghi¾m phương trình vi phân tìm hieu sn ton tai cna đa tap tích phân bao gom đa tap őn đ%nh, đa tap không őn đ%nh đa tap tâm (őn đ%nh, không őn đ%nh) Vi¾c nghiên cúu sn ton tai cna đa tap tích phân ln thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu nh toỏn HQc vỡ mđt mắt nú mang lai búc tranh hình HQ c ve dáng đi¾u ti¾m c¾n nghi¾m cna phương trình vi phân vói nhieu phi tuyen xung quanh m®t điem cân bang hay xung quanh m®t quy đao xác đ%nh, m¾t khác cịn cho phép thu GQN vi¾c nghiên cúu tính chat nghi¾m cna nhung phương trình đao hàm riêng phúc tap ve nhung phương trình đơn gian đa tap tính hút cna đa tap đoi vói nghi¾m cna phương trình xét Đe đa tap tích phân ton tai, đieu ki¾n phő bien phan tuyen tính (túc HQ tốn tu (A(t))t∈I ) sinh m®t HQ tien hố có nh% phân mũ ho¾c tam phân mũ tốn tu phi tuyen f Lipschitz theo nghĩa Nhung ket qua nen tang đau tiên ve sn ton tai đa tap tích phân thu®c ve nhà tốn HQc Hadamard [52], Perron [50,51], Bogoliubov Mitropolsky [12] Đó nhung ket qua ve sn ton tai đa tap tích phân đoi vói phương trình vi phân thưịng (túc trưịng hop X = Rn A(t) ma tr¾n) Sau đó, Daleckii Krein [18] mo r®ng ket qua sang trưịng hop A(t) tốn tu giói n®i khơng gian Banach bat kỳ X Tiep theo, Henry [21] phát trien ket qua ve sn ton tai đa tap tích phân cho trưịng hop A(t) tốn tu đao hàm riêng khơng giói n®i Ve sau, nhị sn phát trien manh me cna giai tích hàm hi¾n đai lý thuyet nua nhóm m®t tham so, ket qua ve sn ton tai cna đa tap tích phân đưoc chuyen sang nhung nac thang mói cho lóp phương trình rat tőng quát bao gom ca phương trình đao hàm riêng có tre trung tính (xem [1,15,40,48,47,23,24] tài li¾u tham khao đó) Có hai phương pháp đe chúng minh sn ton tai cna đa tap tích phân phương pháp Hadamard phương pháp Perron Phương pháp Hadamard đưoc tőng quát hoá thành phương pháp bien đői đo th% (graph transform) đưoc su dung chang han [22,40,52] đe chúng minh sn ton tai cna đa tap tích phân Phương pháp liên quan đen vi¾c lna cHQN phép bien đői phúc hop giua đo th% bieu dien đa tap tích phân Trong đó, phương pháp Perron đưoc mo r®ng thành phương pháp Lyapunov-Perron liên quan quan đen phương pháp cna Lyapunov Phương pháp LyapunovPerron t¾p trung vào vi¾c xây dnng phương trình (ho¾c tốn tu) Lyapunov-Perron có moi liên h¾ vói phương trình tien hố, đe tù chi sn ton tai cna đa tap tích phân Phương pháp Lyapunov-Perron có ve thích hop vi¾c xu lý dịng ho¾c nua dịng sinh boi phương trình tien hố nua tuyen tính, boi trưịng hop vi¾c xây dnng phương trình Lyapunov-Perron thu¾n loi đưoc gan ket vói ky thu¾t tiêu chuan cna phương trình vi phân thưịng (ODE), th¾m chí ca dũng chi xỏc %nh trờn mđt no cna khơng gian pha Chúng ta có the xem cơng trình [9,14,18,23,24,25,26,47] tài li¾u tham khao ve van đe Đieu ki¾n phő bien nhat cna phan phi tuyen f xét toán ton tai đa tap tích phân cna phương trình tien hố nua tuyen tính f thoa mãn đieu ki¾n Lipschitz vói hang so Lipschitz đn bé, túc ǁf (t, φ) − f (t, ψ)ǁ ≤ qǁφ − ψǁC vói q hang so đn nho (xem [9,14,18,1,40,47,48]) Tuy nhiên, vói phương trình sinh tù q trình tương tác-khuyech tán, f đai di¾n cho nguon vắt chat thỡ hang so Lipschitz cú the phu thuđc vào thịi gian có the khơng nho theo nghĩa cő đien (xem [41,42,49]) Do đó, co gang mo rđng cỏc ieu kiắn cna phan phi tuyen e chúng có the mơ ta đưoc q trình tương tác-khuyech tán v¾y Năm 2009, su dung phương pháp Lyapunov-Perron khơng gian hàm Banach chap nh¾n đưoc, Nguyen Thi¾u Huy đưa đieu ki¾n tőng quát cna phan phi tuyen xét sn ton tai cna đa tap őn đ%nh bat bien (xem [25]), o hắ so Lipschitz cna phan phi tuyen phu thuđc thũi gian v thuđc mđt khụng gian hm Banach chap nhắn đưoc Đong thịi, su dung khơng gian hàm Banach chap nhắn oc ó cú mđt so ket qua ve lý thuyet dáng đi¾u ti¾m c¾n nghi¾m đưoc cơng bo thịi gian gan [2,23,24,25,26,27,28,29,30,32] Trên so đó, nghiên cúu sn ton tai cna đa tap tích phân cho phương trình đao hàm riêng nua tuyen tính phương trình vi phân hàm đao hàm riờng ú l nđi dung chớnh cna luắn ỏn ny Ngồi phan mo đau, ket lu¾n, danh muc cơng trình tài li¾u tham khao, lu¾n án bao gom chương • Chương phan kien thúc chuan b% e õy, chỳng tụi trỡnh by khỏi niắm v mđt so tính chat cna khơng gian hàm Banach chap nh¾n đưoc (xem [25,36]) Sau đó, chúng tơi trình bày nh% phân mũ cna HQ tien hoá đa tap őn đ%nh cna phương trình vi phân nua tuyen tính [25,27] • Chương nghiên cúu sn ton tai cna đa tap tâm őn đ%nh, đa tap không őn đ%nh cna phương trình vi phân nua tuyen tính du dt = A(t)u + f (t, u), t ∈ I, A(t) tốn tu tuyen tính khơng gian Banach X vói moi t co đ%nh f : I × X → X tốn tu phi tuyen Khi HQ tien hoá (U (t, s))t≥s≥0 sinh boi HQ tốn tu A(t), t ∈ R+ có nh% phân mũ hàm phi tuyen f thoa mãn đieu ki¾n ϕ-Lipschitz, túc ǁf (t, x) − f (t, y)ǁ ≤ ϕ(t)ǁx − yǁ vói ϕ hàm khơng âm thuđc khụng gian hm Banach chap nhắn oc Vúi cỏc gia thiet này, Nguyen Thi¾u Huy chúng minh sn ton tai cna đa tap őn đ%nh (xem [25]) Khi mo r®ng HQ tien hố (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ chi sn ton tai cna đa tap tâm őn đ%nh Sau đó, thay xét phương trình nua đưịng thang, chúng tơi xét phương trình tồn đưịng thang đe tù chi sn ton tai cna đa tap không őn đ%nh đa tap có tính chat hút quy đao nghi¾m Các ket qua Chương đưoc lay o báo [3] Danh muc cơng trình khoa HQc cna tác gia • Chương nghiên cúu sn ton tai cna đa tap őn đ%nh, đa tap tâm őn đ%nh, đa tap khơng őn đ%nh cna phương trình vi phân hàm đao hàm riêng du dt = A(t)u(t) + f (t, ut), t ∈ I, A(t) tốn tu tuyen tính khơng gian Banach X vói moi t co đ%nh f : I × C → X tốn tu phi tuyen liên tuc Vói r > co đ %nh, ký hi¾u C := C([−r, 0], X) không gian hàm liên tuc [−r, 0] đưoc trang b% chuan sup Khi HQ toán tu (A(t))t∈I sinh HQ tien hoá có nh% phân mũ (ho¾c tam phân mũ), tìm đieu ki¾n cna f đe phương trình có đa tap tích phân Đieu ki¾n phő bien hàm phi tuyen f thoa mãn đieu ki¾n Lipschitz vói hang so Lipschitz đn nho, túc ǁf (t, φ) − f (t, ψ)ǁ ≤ qǁφ − ψǁC vói q đn nho (xem [1,40,48] tài li¾u tham khao đó) Tuy nhiên, đoi vói phương trình sinh tù trình tương tác-khuyech tán phúc tap, hàm f bieu dien nguon v¾t chat cna q trình hang so Lipschitz có the phu thu®c vào thịi gian có the khơng nho theo nghĩa cő đien (xem [41,42,49]) Do đó, co gang mo r®ng đieu ki¾n cna phan phi tuyen đe chúng có the mơ ta đưoc q trình tương tác-khuyech tán v¾y Vì v¾y, nghiên cúu sn ton tai cna đa tap tích phân cna phương trình vi phân hàm đao hàm riêng, xét hàm phi tuyen f thoa mãn đieu ki¾n ϕ-Lipschitz, túc ǁf (t, φ1) − f (t, φ2)ǁ ≤ ϕ(t)ǁφ1 − φ2ǁC, đieu ki¾n hang so Lipschitz q t ∫ đn nho đưoc thay boi đieu ki¾n sup t∈ t+1 ϕ(τ )dτ đn nho, v¾y hàm ϕ có I the nh¾n giá tr% lón tuỳ ý Tuy nhiên, khác vói phương trình vi phân nua tuyen tính se g¾p khó khăn ve khơng gian pha đa tap tích phân đưoc xây dnng C HQ tien hoá sinh boi toán tu A(t) xác đ%nh X Do đó, phương pháp bien đői đo th% su dung [1,40] không áp dung đưoc Đe khac phuc nhung khó khăn này, chúng tơi su dung phương pháp Lyapunov-Perron xây dnng toán tu chieu C thơng qua HQ tien hố sinh boi toán tu A(t) Các ket qua Chương đưoc viet báo [1, 2] thu®c Danh muc cơng trình khoa HQc cna tác gia Lu¾n án đưoc thnc hi¾n hồn thành dưói sn hưóng dan khoa HQc cna PGS.TS Nguyen Thi¾u Huy PGS.TS Đ¾ng Đình Châu, hai ngưịi thay vơ mau mnc, t¾n tình giúp đõ tơi đưịng khoa HQc Hai thay dìu dat tơi đưịng tốn HQ c, đưa tơi bưóc vào m®t lĩnh vnc tốn HQ c đay thú v%, tao nhung thu thách giúp tơi tn HQ c hoi, tìm tịi sáng tao, nhung tơi may man đưoc tiep nh¾n tù hai ngưịi thay đáng kính cna Tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac đen hai thay Trong q trình HQ c t¾p nghiên cúu đe hồn thành lu¾n án, tơi nh¾n đưoc rat nhieu sn giúp đõ quý báu cna thay cô B® mơn Giai tích Khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, Trưòng Đai HQ c Khoa HQc Tn nhiên, ĐHQG Hà N®i Tơi xin trân TRQNG sn giúp đõ cna thay cô Tôi muon bày to sn cam ơn chân thành đen Ban Giám hi¾u, Ban Chn nhi¾m Khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, phòng Sau Đai HQc phòng ban chúc cna Trưòng Đai HQc Khoa HQ c Tn nhiên, HQG H Nđi ó tao ieu kiắn thuắn loi cho tơi HQ c t¾p nghiên cúu Tơi xin bày to lịng biet ơn đen gia đình tồn the ban bè ln khuyen khích, đ®ng viên đe tơi vung bưóc đưịng tốn HQ c cHQN Hà N®i, năm 2014 Nghiên cúu sinh Tr%nh Viet Dưoc Chương KIEN THÚC CHUAN B± Trong chương ny, chỳng tụi trỡnh by khỏi niắm v mđt so tính chat cna khơng gian hàm Banach chap nh¾n đưoc nua đưịng thang R+ (xem [25,27,36]) Su dung m®t thay đői, thu đưoc khái ni¾m tính chat cna khơng gian hàm Banach chap nh¾n đưoc đưịng thang thnc (xem [3] Danh muc cơng trình khoa HQc cna tác gia) Sau đó, chúng tơi trình bày nh% phân mũ cna HQ tien hố đa tap őn đ%nh cna phương trình vi phân nua tuyen tính 1.1 Khơng gian hàm Banach chap nh¾n đưac nEa đưàng thang Đ%nh nghĩa 1.1.1 M®t khơng gian vectơ E gom hàm thnc đo đưoc Borel R+ đưoc GQI không gian hàm Banach (R+ , B, λ), B đai so Borel λ đ® đo Lebesgue R+ , neu (1) (E, ǁ · ǁE) không gian Banach neu ϕ ∈ E , ψ hàm thnc đo đưoc Borel cho |ψ(·)| ≤ |ϕ(·)| h.k.n (hau khap nơi) theo đ® đo λ ψ ∈ E ǁψǁE ≤ ǁϕǁE (2) Hàm đ¾c trưng χA ∈ E vói MQI A ∈ B có đ® đo huu han supt≥0 ǁχ[t,t+1]ǁE < ∞, inft≥0 ǁχ[t,t+1]ǁE > (3) E ‹→ L1,loc(R+), túc vói MQI đoan compact J ⊂ R+ ton tai βJ > cho ∫ J |f (t)|dt ≤ βJ ǁf ǁE vói MQI f ∈ E Bő đe sau cho ta m®t tiờu chuan e kiem tra xem mđt hm liắu cú thu®c khơng gian hàm Banach E hay khơng w(t) = + ∫ ∞ G(t, τ )F (τ, w )dτ t≥ξ ξ neu (3.29) τ U (2ξ− t, ξ) − Σ P (ξ)u(ξ) + Φξ P (ξ)(uξ + wξ )Σ (0)Σ  ˜ + ∫ ∞ G(2ξ − t, τ )F (τ, wτ )dτ neu t ∈ [ξ − r, ξ] ξ Khi đó, u∗ (t) nghi¾m cna phương trình (3.17) thoa mãn u∗ξ ∈ Uξ chi w(t) nghi¾m cna phương trình (3.29) Tiep theo, tìm w(t) nghi¾m cna phương trình (3.29) không gian Banach Cξ,ν Trên không gian Banach Cξ,ν, đ%nh nghĩa ánh xa T sau (Tw)(t) = )dτ neu t ≥ ξ, + ∫ ∞ G(t, τ ) U (t, ξ) Σ−P (ξ)u(ξ) + Φξ P˜(ξ)(uξ F (τ, w ξ + wξ )Σ (0)Σ τ U (2ξ− t, ξ) − Σ P (ξ)u(ξ) + Φξ P (ξ)(uξ + wξ )Σ (0)Σ   +˜∫ ∞ G(2ξ − t, τ )F (τ, wτ )dτ neu t ∈ [ξ − r, ξ]  ξ Trưóc tiên, chi Tw ∈ Cξ,ν Th¾t v¾y, vói t ≥ ξ − r eν(t−ξ)ǁ(Tw)(t)ǁ ≤ Nǁν0 ǁ + N (1 + H)eν(t−ξ)e2νr ∫ ∞ e−ν|t−τ|ϕ(τ )ǁw C τ ǁ ξ dτ N (1 + H)e (N1 + N2)ǁΛ1ϕǁ∞ ≤ Nǁν0ǁ |w|ν + − e−ν = Nǁν0ǁ + keνr|w|ν e k đưoc xác đ%nh boi (3.21) 2νr Vì Φξ ánh xa Lipschitz nên có ˜ (ξ)uξ)(0) − P (ξ)u(ξ)ǁ ǁν0ǁ ≤ ǁΦξ(P Do đó, + ǁΦξ P˜(ξ)(uξ + wξ )Σ (0) − Φξ P˜(ξ)uξ Σ (0)ǁ ≤˜ǁΦξ (P˜(ξ)uξ ) − (I − Nkeν P (ξ))uξ ǁC + ˜ −νr Nke ≤ ǁΦξ (P˜(ξ)uξ ) − (I − N (1 + H)ǁwξǁC 1−k P˜(ξ))uξ ǁC + |w|ν ≤˜ǁΦξ (P˜(ξ)uξ ) − (I − Nkeνr H)e N (1νr+ P (ξ))uξ ǁC + 1−k |T w|ν ≤ N ǁΦξ (P˜(ξ)uξ ) − (I − P˜(ξ))uξ ǁC + Nke νr N (1 + − k H)eνr |w|ν + ke Như v¾y, Tw ∈ Cξ,ν Tiep theo, chúng minh T ánh xa co Lay w, v thu®c Cξ,ν Khi đó, eν(t−ξ)ǁ(Tw)(t) − (Tv)(t)ǁ ν r |w|ν (3.30) ≤ Nǁν0 − µ ǁ + N (1 + H)eν(t−ξ)e2νr ∫ ∞ e−ν|t−τ|ǁF τ ) − F (τ, vτ (τ, w )ǁdτ ξ ∫ ∞ 2νr ν(t−ξ) −ν|t−τ| ≤ Nǁν0 − µ0ǁ + N (1 + H)e ϕ(τ )ǁw ν ≤ Nǁν0 − µ0ǁ + ke r |w − v|ν e e τ − vτ ǁC dτ Mắt khỏc, ta cú à0 = ǁΦξ P˜(ξ)(uξ + wξ )Σ (0) − Φξ P˜(ξ)(uξ + Nke Nkeνr νr ˜ vξ )Σ (0)ǁ N (1 + H)ǁwξ − vξǁC 1−k ≤ ǁP (ξ)wξ − P (ξ)v ǁC k ≤˜ 1ξ− Nkeνr |w − v|ν N (1νr+ ≤ H)e 1−k Do đó, |Tw − Tv|ν ≤ ke νr N 3eνr(1 + H) 1−k Σ |w − v|ν = l|w − v|ν +1 Vì l < nên T ánh xa co không gian Banach Cξ,ν Vì v¾y, phương trình Tw = w có nhat nghi¾m w ∈ Cξ,ν Tù (3.30) có N ǁΦξ(P˜(ξ)uξ) − (I − P (ξ))uξǁC 1−l Chúng ta chúng minh đưoc sn ton tai˜cna u∗ = u + w nghi¾m cna phương trình (3.17) thoa mãn u∗t ∈ Ut vói t ≥ ξ |w|ν ≤ ǁu∗t − ut ǁC = ǁwt ǁC ≤ eνr e−ν(t−ξ) |w|ν νr −ν(t−ξ) Ne ≤ ǁΦξ˜(P (ξ)uξ) − (I˜− P (ξ))u − l ξ ǁC e = e 1−l −ν(t−ξ) vói MQI ǁu∗ξ − uξǁC t ≥ ξ Đ%nh lý đưoc chúng minh Ví dn 3.3.9 Chúng ta minh hoa ket qua boi ví du sau ∫0  −α|t| ∂ ∂ ln(1 + |u(t + θ,  u(t, x) = u(t, x) + au(t, − x)|)dθ x) + 0) b e= u(t, ∂t ∂x2π) = 0,  u(t, r  t vói t ,∈  ∈ R, x ∈ [0, π], R  u(t, x) = φ(t, x), 0≤x≤ π, −r ≤ t ≤ (3.31) Trong đó, a > hang so cho a ∈/ N, α > b ƒ= Chúng ta cHQN X = L2[0, π] xét toán tu A : X → X xác đ%nh boi ∂2 Au = u + au, ∂x2 D(A) = {u ∈ H2([0, π]) : u(0) = u(π) = 0} Khi đó, phương trình (3.31) đưoc viet dưói dang toán Cauchy trùu tưong d u(t, ·)  d   t u0 (θ, ·)  = Au(t, ·) + F (t, ut (θ, ·)) vói t ≥ 0, = φ(θ, ·) ∈ C vói θ ∈ [−r, 0] vói F : R × C → X đưoc xác đ%nh boi F (t, φ)(x) = be −α|t| ∫0 ln(1 + |(φ(θ))(x)|)dθ, x ∈ [0, π] − r Su dung bat thúc Minkowski, ta có ∫0 π |F (t, φ)(x)| dx Σ 12 = |b| −α|t| ∫0 e π ≤ |b| e−α|t| ∫ ∫ ∫ −r = |b| e −α|t| − r Σ π −r ≤ |b| e−α|t| ∫ ∫ ∫ Σ2 Σ2 ln(1 + |(φ(θ))(x)|)dθdx 0 ln2(1 + |(φ(θ))(x)|)dx dθ Σ π |(φ(θ))(x)|2 dx dθ −r ǁφ(θ)ǁ2 dθ < ∞ Do đó, F (t, φ)(·) ∈ X M¾t khác, thay rang (xem [19, Chương II]) A sinh nua nhóm chinh hình (etA)t≥0 phő cna A có dang σ(A) = {−12 + a, −22 + a, , −n2 + a, } Theo đ%nh lý ánh xa phő cho nua nhóm chinh hình, ta có (etA )t≥0 nua nhóm hyperbolic Do đó, HQ tien hoá (U (t, s))t≥s sinh boi A (túc U (t, s) := e(t−s)A ) có nh% phân mũ vói hang so nh% phân N, ν Tương tn o Ví du3.2.2, thay rang F ϕ-Lipschitz vói ϕ(t) = |b|re−α|t| ∈ E = Lp(R) vói p ≥ Trong không gian Lp(R) hang so N1, N2 Đ%nh nghĩa1.2.2bang Chúng ta có Λ1ϕ(t) = ∫ t+ ϕ(τ )dτ t Do đó, ǁΛ1 ϕǁ ≤ ∞ 2|b|r Theo Đ%nh lý3.3.6, neu α |b |r α ≤ e−νr(1 − e−ν) 4N (1 + H)(1 + Ne νr ) ton tai đa tap khơng őn đ%nh bat bien U cho nghi¾m đn tot cna phương trình (3.31) Ket lu¾n Chương Trong chương này, ket qua Đ%nh lý3.1.6,3.1.7,3.2.1,3.3.5,3.3.6, 3.3.8 Các ket qua đat đưoc là: • Đưa đieu ki¾n đn cho sn ton tai cna đa tap őn đ%nh, không őn đ%nh, tâm őn đ%nh cna phương trình vi phân hàm đao hàm riêng vói gia thiet hQ tien hố có nh% phân mũ ho¾c tam phân mũ phan phi tuyen thoa mãn đieu ki¾n ϕLipschitz Các nghi¾m đa tap őn đ%nh hút ve vúi toc đ giam cap m, cỏc nghiắm trờn đa tap tâm őn đ%nh hút ve vói toc đ hỳt b% chắn boi hm m vúi so m dương, nghi¾m đa tap khơng őn đ%nh hút ve vói toc đ® giam cap mũ theo chieu âm Hơn nua, đưa đieu ki¾n đn đe đa tap khơng őn đ %nh có tính hút • Đưa m®t so ví du minh hoa cho ket qua đat đưoc nham khang đ%nh đieu ki¾n đưa kiem tra đưoc áp dung vào m®t mơ hình (phương trình) thích hop Cùng m®t ví du (chang han Ví du3.3.9), bang vi¾c đieu chinh tham so phương trình thu đưoc ket qua chi Đ %nh lý Ve m¾t hình HQ c, có the hình dung đa tap o đưoc xây dnng bang cách ghép m¾t cong vói theo thịi gian t mà lát cat cna đa tap tai thòi điem t đo th% cna m®t ánh xa Lipschitz đo th% đưoc ve không gian pha C Khi xét sn ton tai cna đa tap őn đ%nh, khơng őn đ%nh, tâm őn đ%nh cna phương trình vi phân hàm đao hàm riêng, khó khăn can vưot qua sn khác bi¾t ve khơng gian pha, HQ tien hố xác đ%nh khơng gian Banach X đa tap đưoc xây dnng C Đe khac phuc, chúng tơi xây dnng tốn tu chieu C thơng qua HQ tien hố tốn tu chieu tuơng úng vói HQ tien hố HQ tien hố có nh% phân mũ ho¾c tam phân mũ Khi xét HQ tien hố có tam phân tồn đưịng thang, chi đưoc đieu ki¾n đn cho sn ton tai cna đa tap tâm không őn đ%nh vói cách chúng minh tương tn Đ%nh lý ve sn ton tai cna đa tap tâm őn đ%nh Điem mói ket qua cna lu¾n ỏn l mo rđng ieu kiắn lờn hm phi tuyen, cu the hàm phi tuyen thoa mãn đieu kiắn -Lipschitz vúi hm thuđc mđt khụng gian hm Banach chap nh¾n đưoc Khi đó, đieu ki¾n hang so Lipschitz đn bé đưoc thay boi trung bình tích phân cna h¾ so Lipschitz đn bé Các ket qua Chương đưoc viet báo [1, 2] thu®c Danh muc cơng trình khoa HQc cna tác gia KET LU¾N Lu¾n án nghiên cúu sn ton tai cna đa tap tích phân dáng đi¾u ti¾m c¾n nghi¾m cna m®t so lóp phương trình đao hàm riêng Nhung ket qua chớnh luắn ỏn at oc l: ã Thiet l¾p đieu ki¾n đn cho sn ton tai cna đa tap tâm őn đ%nh cna phương trình vi phân nua tuyen tớnh ã Thiet lắp ieu kiắn n cho sn ton tai cna đa tap không őn đ%nh cna phương trình vi phân nua tuyen tính, đa tap khơng őn đ%nh có tính chat hút cap mũ quy đao nghiắm cna phng trỡnh vi phõn nua tuyen tớnh ã Thiet l¾p đieu ki¾n đn cho sn ton tai cna đa tap őn đ%nh cna phương trình vi phân hàm đao hàm riêng, nghi¾m đa tap hút cap m ã Thiet lắp ieu kiắn n cho sn ton tai cna đa tap tâm őn đ%nh cna phương trỡnh vi phõn hm ao hm riờng ã Thiet lắp đieu ki¾n đn cho sn ton tai cna đa tap khơng őn đ%nh cna phương trình vi phân hàm đao hàm riêng, đa tap khơng őn đ%nh có tính chat hút cap mũ quy đao nghi¾m cna phương trình vi phân hàm đao hàm riêng Lu¾n án mo m®t so van đe có the tiep tuc nghiên cúu: • Nghiên cúu sn ton tai cna đa tap tích phân bao gom đa tap őn đ%nh, tâm őn %nh, khơng őn đ%nh cho phương trình vi phân hàm trung tính đ • Nghiên cúu sn ton tai cna đa tap qn tính cho phương trình vi phân nua tuyen tính vói tốn tu tuyen tính khơng autonomous • Nghiên cúu sn ton tai cna đa tap tích phân thu®c lóp E cho phương trình vi phân hàm đao hàm riêng DANH MUC CƠNG TRÌNH KHOA HOC CUA TÁC GIA LIÊN QUAN ĐEN LU¾N ÁN [1] N.T Huy, T.V Duoc (2014), "Integral manifolds for partial functional differential equations in admissible spaces on a half-line", J Math Anal Appl., 411, pp 816-828 [2] N.T Huy, T.V Duoc (2014), "Unstable manifolds for partial functional differ- ential equations in admissible spaces on the whole line", Vietnam J Math., DOI 10.1007/s10013014-0070-6 [3] N.T Huy, T.V Duoc (2012), "Integral manifolds and their attraction property for evolution equations in admissible function spaces", Taiwanese J Math., 16, pp 963985 [4] N.T Huy, T.V Duoc (2010), "Robustness of dichotomy of evolution equations under admissible perturbations on a half-line", International J Evol Eq., 3, pp 57-72 TÀI LIfiU THAM KHAO Tieng Anh [1]B Aulbach, N.V Minh (1996), "Nonlinear semigroups and the existence and stability of semilinear nonautonomous evolution equations", Abstr Appl Anal., 1, pp 351 - 380 [2]C.T Anh, L.V Hieu, N.T Huy (2013), "Inertial manifolds for a class of nonautonomous semilinear parabolic equations with finite delay", Discrete and continuous Dyn Systems, 33, pp 483-503 [3]L Barreira, C Valls (2005), "Center manifolds for nonuniformly partially hyperbolic diffeomorphisms", J Math Pures Appl., 84, pp 1693-1715 [4]L Barreira, C Valls (2005), "Smoothness of invariant manifolds for nonautonomous equations", Comm Math Phys., 259, pp 639-677 [5]L Barreira, C Valls (2005), "Higher regularity of invariant manifolds for nonautonomous equations", Nonlinearity, 18, pp 2373-2390 [6]L Barreira, C Valls (2006), "Stable manifolds for nonautonomous equations without exponential dichotomy", J Differential Equations, 221, pp 58-90 [7]L Barreira, C Valls (2006), "Smooth invariant manifolds in Banach spaces with nonuniform exponential dichotomy", J Funct Anal., 238, pp 118-148 [8]L Barreira, C Valls (2007), "Smooth center manifolds for nonuniformly partially hyperbolic trajectories", J Differential Equations, 237, pp 307-342 [9]P Bates, C Jones (1989), "Invariant manifolds for semilinear partial differential equations", Dyn Rep., 2, pp - 38 [10]A Ben-Artzi, I Gohberg (1992), "Dichotomies of systems and invertibility of linear ordinary differential operators", Oper Theory Adv Appl., 56, pp 90-119 [11]A Ben-Artzi, I Gohberg, M.A Kaashoek (1993), "Invertibility and dichotomy of differential operators on a half-line", J Dyn Diff Eq., 5, pp 1-36 [12]N Bogoliubov, Yu Mitropolsky (1963), "The method of integral manifolds in nonlinear mechanics", Contributions to Differential Equations, 2, pp 123-196 [13]L Boutet de Molvel, I.D Chueshov, A.V Rezounenko (1998), "Inertial manifolds for retarded semilinear prabolic equations", Nonlinear Anal., 34, pp 907-925 [14]J Carr (1981), Applications of Centre Manifold Theory, Applied Mathematical Sciences 35, Springer-Verlag, New York-Berlin [15]C Chicone (1999), Ordinary Differential Equations with Applications, SpringerVerlag [16]I.D Chueshov (1995), "Approximate inertial manifolds of exponential order for semilinear parabolic equations subjected to additive white noise", J Dyn Diff Eq., 7, pp 549-566 [17]I.D Chueshov, M Scheutzow (2001), "Inertial manifolds and forms for stochastically perturbed retarded semilinear parabolic equations", J Dyn Diff Eq., 13, pp 355-380 [18]Ju L Daleckii, M.G Krein (1974), Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Spaces, Transl Amer Math Soc Provindence RI [19]K.J Engel, R Nagel (2000), One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Graduate Text Math 194, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg [20]C Foias, G.R Sell, R Temam (1988), "Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations", J Differential Equations, 73, pp 309-353 [21]D Henry (1981), Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Springer, Berlin [22]N Hirsch, C Pugh, M Shub (1977), Invariant Manifolds, Lecture Notes in Math, Springer, New York [23]N.T Huy (2013), "Admissibly inertial manifolds for a class of semi-linear evolution equations", J Differential Equations, 254, pp 2638 - 2660 [24]N.T Huy (2012), "Inertial manifolds for semi-linear parabolic equations in admissible spaces", J Math Anal Appl., 386, pp 894–909 [25]N.T Huy (2009), "Stable manifolds for semi-linear evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line", J Math Anal Appl., 354, pp 372 - 386 [26]N.T Huy (2009), "Invariant manifolds of admissible classes for semi-linear evolution equations", J Differential Equations, 246, pp 1820-1844 [27]N.T Huy (2006), "Exponential dichotomy of evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line", J Funct Anal., 235, pp 330 - 354 [28]N.T Huy (2004), "Exponentially dichotomous operators and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line", Integral Equations and Operator Theory, 48, pp 497-510 [29]N.T Huy (2004), "Resolvents of operators and partial functional differential equations with non-autonomous past", J Math Anal Appl., 289, pp 301-316 [30]N.T Huy, P.V Bang (2012), "Hyperbolicity of solution semigroups for linear neutral differential equations", Semigroup Forum, 84, pp 216–228 [31]N.T Huy, N.V Minh (2001), "Exponential dichotomy of difference equations and application to evolution equations on the half-line", Computer and Mathematics with Appl., 42, pp 301-311 [32]N.T Huy, R Nagel (2012), "Exponentially dichotomous generators of evolution bisemigroups on admissible function spaces", Houston J Math., 2, pp 549-569 [33]B.M Levitan, V.V Zhikov (1978), Almost Periodic Functions and Differential Equations, Moscow Univ Publ House, English tranl by Cambrige University Press, 1982 [34]J Mallet-Paret, G.R Sell (1988), "Inertial manifolds for reaction–diffusion equations in higher space dimensions", J Amer Math Soc., 1, pp 805-866 [35]R Martin (1976), Nonlinear Operators and Differential Equations in Banach Spaces, Wiley Interscience, New York [36]J.J Massera, J.J Schăaffer (1966), Linear Differential Equations and Function Spaces, Academic Press, New York [37]M Miklavcic (1991), "A sharp condition for existence of an inertial manifold", J Dyn Diff Eq., 3, pp 437-456 [38]N.V Minh, N.T Huy (2001), "Characterizations of dichotomies of evolution equations on the half-line", J Math Anal Appl., 261, pp 28-44 [39]N.V Minh, F Răabiger, R Schnaubelt (1998), "Exponential stability, exponential expansiveness and exponential dichotomy of evolution equations on the half line", Integral Equations Operator Theory, 32, pp 332 - 353 [40]N.V Minh, J Wu (2004), "Invariant manifolds of partial functional differential equations", J Differential Equations, 198, pp 381 - 421 [41]J.D Murray (2002), Mathematical Biology I: An Introduction, Springer-Verlag Berlin [42]J.D Murray (2003), Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Ap- plications, Springer-Verlag Berlin [43]R Nagel, G Nickel (2002), "Well-posedness for non-autonomous abstract Cauchy problems", Progr Nonlinear Differential Equations Appl., 50, pp 279 - 293 [44]A Pazy (1983), Semigroup of Linear Operators and Application to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin [45]F Răabiger, R Schnaubelt (1996), "The spectral mapping theorem for evolution semigroups on spaces of vector-valued functions", Semigroup Forum, 48, pp 225 239 [46]R Schnaubelt (2001), "Asymptotically autonomous parabolic evolution equations", J Evol Eq., 1, pp 19-37 [47]G.R Sell, Y You (2002), New York Dynamics of Evolutionary Equations, Springer Verlag, [48]J Wu (1996), Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, Springer Verlag [49]A Yagi (2009), Abstract Parabolic Evolution Equations and their Applications, Springer Verlag Tieng ẫc [50]O Perron (1929), Uă ber stabilităat und asymptotisches verhalten der integrale von " differentialgleichungssystemen", Math Z., 29, No 1, pp 129–160 [51]O Perron (1930), "Die stabilităatsfrage bei differentialgleichungen", Math Z., 32, pp 703728 Tieng Phỏp [52]J Hadamard (1923), "Sur l’intération et les solutions asymptotiques des equations différentielles", Bull Soc Math France, 29, pp 224-228 ... 3.3 40 Đa tap őn đ%nh cna phương trình vi phân hàm đao hàm riêng 41 Đa tap tâm őn đ%nh cna phương trình vi phân hàm đao hàm riêng 49 Đa tap khơng őn đ%nh cna phương trình vi phân hàm đao hàm... 19 ĐA TAP TÍCH PHÂN CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NUA TUYEN TÍNH 2.1 2.2 22 Đa tap tâm őn đ%nh 22 Đa tap không őn đ%nh 26 ĐA TAP TÍCH PHÂN CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM ĐAO HÀM RIÊNG... nghi¾m phương trình vi phân tìm hieu sn ton tai cna đa tap tích phân bao gom đa tap őn đ%nh, đa tap không őn đ%nh đa tap tâm (őn đ%nh, khơng őn đ%nh) Vi¾c nghiên cúu sn ton tai cna đa tap tích phân