Một số dạng bài toán về phương trình hàm

„I HÅC QC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N - T„ V‹N NAM MËT SÈ DNG BI TON V PHìèNG TRNH HM Chuyản ng nh: PHìèNG PHP TON Sè CP M số:60.46.01.13 LUN VN THC Sò KHOA HC NGìI HìẻNG DN KHOA HC: PGS.TS VƠ É LONG H Nëi N«m2015 Mư lư LÍI NÂI U Mởt số tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa h m số 1.1 nh xÔ 1.2 ìn ¡nh, to n ¡nh, song ¡nh 1.3 H m sè Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ Phữỡng trẳnh h m hai bián tỹ 69 2.1 H m số hđn, h m sè l´ 2.2 H m sè tu n ho n 10 2.3 Ph÷ìng trẳnh h m vợi Ă php bián ời tnh tián v ỗng dÔng 16 2.4 Phữỡng trẳnh h m vợi Ă php bián ời phƠn tuyán tẵnh 24 2.5 Hằ phữỡng trẳnh h m mởt bián 33 2.6 Mởt số dÔng phữỡng trẳnh h m a thự 39 2.7 Mởt số dÔng b i to¡n kh¡ .58 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 B i toĂn phữỡng trẳnh h m Cau hy 69 B i toĂn phữỡng trẳnh h m vợi Ă Ôi lữủng trung bẳnh 78 Phữỡng trẳnh h m nhiÃu ân h m 88 B i to¡n phữỡng trẳnh h m lữủng giĂ 95 Mởt số dÔng b i toĂn khĂ 105 K˜T LUŠN 117 T i li»u tham khÊo 118 LI NI U Phữỡng trẳnh h m l mởt huyản à quan trồng thuở hữỡng trẳnh huyản toĂn Ă trữớng THPT huyản CĂ b i toĂn õ liản quan án phữỡng trẳnh h m ng l nhỳng b i têp khõ, thữớng gp Ă kẳ thi hồ sinh giọi mổn toĂn Đp quố gia, khu vỹ , quố tá v Olympi Sinh viản Hằ thống Ă b i têp và phữỡng trẳnh h m rĐt a dÔng v phong phú, Ă h giÊi húng ng khổng ỡn giÊn, õ th bơng mởt phữỡng phĂp hay phÊi kát hủp nhiÃu phữỡng phĂp mợi giÊi ữủ Vợi mong muốn giúp ho Ă bÔn hồ sinh õ th nhanh hõng tiáp ên v giÊi quyát Ă b i toĂn và phữỡng trẳnh h m nản tổi hồn à t i Mởt số dÔng b i toĂn và Phữỡng trẳnh h m Viằ phƠn hia th nh Ă dÔng toĂn Ãu õ tẵnh lêp tữỡng ối Thêt khõ m phƠn hia Ă dÔng toĂn theo mởt biản giợi rÔ h rỏi vẳ Ơu õ v i vĐn à ừa b i n y  xu§t hi»n bâng d¡ng v§n · õa b i Mử ẵ h ừa luên vôn n y l ung Đp mởt số kắ thuêt giÊi toĂn và phữỡng trẳnh h m v thỉng qua vi» gi£i to¡n nh¬m kh sƠu mởt số kián thự và h m số, rn luyằn tữ duy, huân b ho Ă kẳ thi hồ sinh giọi Hi vồng luên vôn n y l t i li»u tham kh£o húu ½ h ho ¡ hå sinh, giĂo viản lợp huyản toĂn trung hồ phờ thổng Bố ừa luên vôn n y gỗm hữỡng : Chữỡng 1: Mởt số tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa h m số Trong hữỡng n y õ trẳnh b y mởt số kián thự nhĐt và h m số v Ănh xÔ nhữ nh nghắa ỡn Ănh, to n ¡nh, song ¡nh, h m sè h®n, h m sè l´, h m sè tu n ho n, ỏn nhỳng kián thự thổng dửng khĂ ữủ dũng v o giÊi toĂn s ữủ trẳnh b y v o ph n u õa ¡ b i t÷ìng ùng ừa tứng mử , ho trữợ ho sau Ă b i to¡n thº, ho° ¡ nhªn x²t, hú ỵ Chữỡng 2: Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ Trong hữỡng n y trẳnh b y mởt số dÔng b i toĂn phữỡng trẳnh h m m h hựa mởt bián tỹ nhữ Ă b i to¡n v· h m sè h®n, h m sè l´, h m sè x¡ ành bði ¡ ph²p bi¸n êi tnh tián, ỗng dÔng, vợi Ă php bián ời phƠn tuyán tẵnh, hằ phữỡng trẳnh LI NI U h m, phữỡng trẳnh h m a thự Chữỡng 3: Phữỡng trẳnh h m hai bián tỹ Trong hữỡng n y trẳnh b y mởt số dÔng b i toĂn phữỡng trẳnh h m hựa hai bián tỹ nhữ Ă b i toĂn phữỡng trẳnh h m Cau hy, h m số huyn ời giỳa Ă Ôi lữủng trung bẳnh, phữỡng trẳnh h m a ân, phữỡng trẳnh h m lữủng giĂ Luên vôn n y ữủ ho n th nh dữợi sỹ hữợng dăn, h bÊo tên tẳnh ừa PGS.TS V ộ Long - trữớng Ôi hồ Khoa hồ Tỹ nhiản - Ôi hồ Quố gia H Nëi Th y ¢ d nh nhi·u thíi gian gióp ï, gi£i ¡p ¡ th m õa tæi suèt quĂ trẳnh l m luên vôn Tổi muốn b y tọ lỏng biát ỡn sƠu s án ngữới th y ừa mẳnh Qua Ơy, tổi xin gỷi lới Êm ỡn sƠu s tợi Ă th y ổ giĂo Khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồ , trữớng Ôi hồ Khoa hồ Tỹ nhiản, Ôi hồ Quố gia H Nởi  trỹ tiáp giÊng dÔy v tÔo iÃu kiằn thuên lủi ho tổi suốt quĂ trẳnh hồ têp Tổi xin Êm ỡn gia ẳnh, bÔn b v tĐt Ê mồi ngữới  quan tƠm, tÔo iÃu kiằn, giúp ù tổi ho n th nh luên vôn n y H Nởi, ThĂng nôm 2015 Chữỡng Mởt số tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa h m số 1.1 nh xÔ nh nghắa 1.1 Cho hai têp hủp A v B N¸u â mët quy t f n o â ho vợi mội a A tữỡng ựng vợi óng mët ph n tû b ∈ B th¼ ta nõi f l mởt Ănh xÔ tứ A án B, k½ hi»u l f : A −→ B Ph n tû b gåi l £nh õa a v vi¸t l b = f (a) Chú ỵ: Náu ho Ănh xÔ f : A B thẳ ta thữớng quan tƠm án hai têp hủp sau Ơy: Têp hủp f (A) = {f (a)|a ∈ A} (gåi l tªp £nh õa tªp A, hay gåi l tªp gi¡ trà õa ¡nh xÔ f ) v têp hủp f 1(b) = {a ∈ A|f (a) = b} (gåi l nghà h £nh õa b) 1.2 ìn ¡nh, to n ¡nh, song ¡nh nh nghắa 1.2 nh xÔ f : A B ữủ gồi l ỡn Ănh náu vợi mồi a1, a2 ∈ A ho a1 ƒ= a2 ta â f (a1) f (a2) Chú ỵ: nh xÔ f : A −→ B l ìn ¡nh n¸u f (a1) = f (a2) thẳ a1 = a2 nh nghắa 1.3 nh xÔ f : A −→ B ÷đ gåi l to n Ănh náu vợi mồi b B luổn tỗn tÔi a ∈ A ho f (a) = b Chó ỵ: nh xÔ f : A B l to n ¡nh v h¿ f (A) = B nh nghắa 1.4 nh xÔ f : A B gåi l song ¡nh n¸u f vøa l ìn ¡nh, vứa l to n Ănh Chú ỵ: nh xÔ f : A −→ B l song ¡nh v h¿ vợi mồi b B luổn tỗn tÔi nh§t a ∈ A ho f (a) = b ành ngh¾a 1.5 Gi£ sû f : A −→ B l mởt song Ănh Khi õ Ănh xÔ ho tữỡng ựng mội ph n tỷ y B vợi tÔo £nh x = f −1(y) õa nâ ÷đ gåi l Ănh xÔ ngữủ ừa f v kẵ hiằu l f Chữỡng Mởt số tẵnh hĐt ỡ bÊn õa h m sè 1.3 H m sè ành ngh¾a 1.6 Cho X ⊂ R v Y ⊂ R Khi õ Ănh xÔ f : X Y ữủ gồi l mởt h m số tứ têp X án têp Y Chú ỵ: Cho h m số f : X −→ Y Khi â: - Tªp X gåi l tªp x¡ ành õa h m sè f - N¸u x0 ∈ X th¼ f (x0) gåi l gi¡ trà õa h m f tÔi x0 - Têp hủp f (X) ÷đ gåi l gåi l tªp gi¡ trà õa h m sè f - y0 l mët gi¡ trà õa h m số f v h phữỡng trẳnh f (x) = y0 â nghi»m Hay nâi ¡ h khĂ l : phữỡng trẳnh f (x) = y0 õ nghi»m v h¿ y0 thuë tªp gi¡ trà õa h m sè f - f l to n Ănh phữỡng trẳnh (ân x) y = f (x) (vỵi x ∈ X, y ∈ Y ) â nghi»m - f l song Ănh phữỡng trẳnh (ân x) y = f (x) (vỵi x ∈ X, y ∈ Y ) õ nghiằm nhĐt 1.3.1H m số hđn, h m sè l´ ành ngh¾a1.7 a)H m sè f : D R ữủ gồi l h m hđn trản M D (gồi tt l h m hđn trản M) náu x M x M v f (−x) = f (x), ∀x ∈ M b)H m sè f : D −→ R ÷đ gåi l h m l´ tr¶n M ⊂ D (gåi tt l h m l trản M ) náu x M ⇒ −x ∈ M v f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M 1.3.2H m sè tu n ho n v ph£n tu n ho n ành ngh¾a1.8 a)H m sè f : D −→ R ÷đ gåi l h m tu n ho n ( ëng t½nh) hu ký a (a > 0) trản M náu M D v ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M b)Cho f l mët h m sè tu n ho n tr¶n M Khi â T (T > 0) ÷đ gåi l hu ký ì sð õa h m f náu f tu n ho n vợi hu ký T m khổng tu n ho n vợi bĐt ký hu ký n o b² hìn T ành ngh¾a1.9 a) H m sè f : D −→ R ÷đ gåi l h m ph£n tu n ho n ( ëng tẵnh) hu ký b (b > 0) trản M náu M ⊂ Dv ∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M f (x + b) = −f (x), x M Chữỡng Mởt số tẵnh hĐt ỡ b£n õa h m sè b) N¸u f l h m sè ph£n tu n ho n hu ký b0 tr¶n M m khỉng l h m ph£n tu n ho n vợi bĐt ký hu ký n o b hỡn b0 trản M thẳ b0 ữủ gồi l hu ký ì sð õa h m tu n ho n f tr¶n M 1.3.3H m sè tu n ho n v phÊn tu n ho n nhƠn tẵnh nh nghắa 1.10 H m sè f : D −→ R ÷đ gồi l h m tu n ho n nhƠn tẵnh hu ký a (a ∈/ {0, 1, −1}) tr¶n M n¸u M ⊂ D v ∀x ∈ M ⇒ a±1 ∈ M f (ax) = f (x), ∀x ∈ M ành ngh¾a 1.11 H m sè f : D −→ R ÷đ gåi l h m ph£n tu n ho n nhƠn tẵnh hu ký a (a / {0, 1, 1}) trản M náu M D v ∀x ∈ M ⇒ a±1 ∈ M f (ax) = −f (x), ∀x ∈ M 1.3.4H m sè li¶n tư ành ngh¾a 1.12 Cho h m sè f x¡ ành tr¶n D ⊂ R v x0 ∈ D H m số f ữủ gồi l liản tử tÔi im x0 náu lim f (x) = f (x0) xx0 nh nghắa H m sè f (x) x¡ ành tr¶n kho£ng (a; b) ữủ gồi l liản tử trản 1.13 khoÊng (a; b) náu nõ liản tử tÔi mồi im x (a; b) ành ngh¾a 1.14 H m sè f (x) xĂ nh trản oÔn [a; b] ữủ gồi l liản tử trản oÔn [a; b] náu nõ liản tử trản kho£ng (a; f (x) = f (a), f (x) = f (b) b) v lim lim + x−→a x−→b− 1.3.5H m sè ìn i»u ành ngh¾a 1.15 H m sè f (x) ữủ gồi l tông trản khoÊng (a; b) n¸u ∀x1, x2 ∈ (a, b) m x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2) ành ngh¾a 1.16 H m số f (x) ữủ gồi l giÊm trản khoÊng (a; b) n¸u ∀x1, x2 ∈ (a, b) m x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2) ành ngh¾a 1.17 H m số tông ho giÊm trản khoÊng (a; b) ữủ gồi l h m ỡn iằu trản (a; b) ành ngh¾a 1.18 H m sè f (x) ữủ gồi l tông thỹ sỹ ( ỗng bián) trản kho£ng (a; b) n¸u ∀x1, x2 ∈ (a, b) m x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2) ành nghắa 1.19 H m số f (x) ữủ gồi l giÊm thỹ sỹ (ngh h bián) trản khoÊng (a; b) n¸u ∀x1, x2 ∈ (a, b) m x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2) ... phờ thổng Bố ừa luên vôn n y gỗm hữỡng : Chữỡng 1: Mởt số tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa h m số Trong hữỡng n y õ trẳnh b y mởt số kián thự nhĐt và h m số v Ănh xÔ nhữ nh ngh¾a ìn ¡nh, to n ¡nh, song ¡nh, h... nghắa 1.19 H m số f (x) ữủ gồi l giÊm thỹ sỹ (ngh h bián) trản khoÊng (a; b) n¸u ∀x1, x2 ∈ (a, b) m x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2) Ch÷ìng Mët số tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa h m số nh nghắa 1.20 H m số tông hay... (3) õ g l h m số tũy ỵ trản R Khi õ thĐy f thọa mÂn (1) Ngữủ lÔi náu h m số f thọa mÂn (1) thẳ (2) nản f õ dÔng (3) Vêy Ă h m số n tẳm õ dÔng f (x) = [g(x) + g(−x)], ∀x ∈ R â g l h m số tũy ỵ trản