èấ ặ ẫ ặ ầ è ặổặ ạạạạạạạạạạạạạạạạạạạạạạạ è ẻ ặặ èậ ẩ ặ èầ ặ ẻỗ ặ èấỡặ íũề ề ề ì ặ ặ ẩ ặ ặ ẻ ặ è ẩ ẩ èầ ặ ậ ẳ ẳẵẵ ậ ặ ầ ặ ầ ẩ ậèậ ẻ ặ ẹ ắẳẵ ẩ ầặ é ặỵ ẵ ỉ ì ỉựề ỉ ẵẵ ề ĩ ẵắ ề ẵ ẹ ì ắ ẩ ắ ề ẹì º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ề ỉể ề ề ìểề ề º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ị ØỊ Đ Đ ỉ ụề ỉ ể ắẵ ẹ ì ắắ ẹ ì ỉề ắ ẩ ề ỉệứề ẹ Ơ Ơ ơỊ Ø Ị ¾º È Ị ØỊ ẹ ễ ễ ụề ễ ắ ữ ễ ¾º Å Ø × Ị ¾º Å Ø × Ị ẩ ềá ề ẹ ì ể ề ỉệứề ễ Ðð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Đ Đ Ø ơỊ ØỊ Đ Ị ØĨ Ị Ị ØỊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Đ Ị ØỊ Đ ¿º¾ ØĨ Ị Ơ Ị ØỊ Đ Ú ¿º ¿º Ị ØỊ ØĨ Ị Ơ Å Ø × ÃèÌ ặ è é ữ ỉ ẹ ẹ ề ề Ị Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ị º º º º ½ º º º º º º º º ¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¿ ¿ ơỊ Ø Ĩ ØĨ Ị Ơ È Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿º½ ¿º¿ Ø ơỊ Ú ½¼ óÙ Ù Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ị ØỨỊ øỊ º º º º º º º º Ị Đ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ØỊ Đ Ð Ị ØĨ Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ẵẳ ẵẵ ẵẵ ể ẵ ặỵ ẩ ề ØỊ ØƯĨỊ ØƯ Ð Ị Ị Đ Ð Ị ¸ Ø Ù Ú ¸ ÕÙ Øơ Ú Ị ễ ẻ ỉ ụễ ề ỉ ì ề ẻ ữ ễ ề ề ỉ ề í ề ÜÙ Ø Ị ĐĨỊ ĐÙ Ị ØỊ Ị Ị ÙÝịỊ ØĨ Ị ØỊ Đ Ị Đ Ị ØĨ Ị Ơ ÕÙ ¸ Ị Ơ Ú Ơ Ơ Ĩ Ị Ơ ĨỊ Ơ Ý Ơ Ị ØỊ ¸ × Ị Ơ Ị Đ ỊịỊ Ø óÙ Ø Ị Ị Ị ó Ø Đ º ØĨ Ị óÙ ịỊ Ú Ị Úó ơỊ Ơ Ị Đ Ø Ơ ØĨ Ị Úó Ơ ØùỊ Ư Ư ó ØĨ Ị Úó Ơ ơỊ Ø ØỊ Ð Ơ Ø Úø ề ỉệứề ẹ ẹ ì Ư Ị ÐÙÝ÷Ị Ø ØƯĨỊ ù Ø Ị Ị º Ì Ø Ú Ị ó Ú Đ ÐÙ Ị Ú ề ề í é ế ữ íá ề ÙỊ ØĨ Ị Ị Đ ø Ø Ĩ º À Ú Ò ÐÙ Ò Ú Ò Ò Ý Ð ÙÝịỊ ØĨ Ị ØỨỊ Ơ Ø Ð ÷Ù Ø Ø Ò º ÐÙ Ò Ú Ò Ò Ý ÌƯĨỊ Ị Ị Ị ú Ị Ị Ị Ị Ù Ø Ø ư¸ Ĩ ØƯĨỊ Ị ề í ỉệứề ề ắ ẩ èệểề ỉệứề ề ØĨ Ị ơỊ Ø Ý Ơ Ị ØĨ Ị Ị Ý ơỊ Ø Ĩ Ị ơỊ Ø Ị Ị ØỊ ỉ ụềá ề ề í ẹ ỉ ì ề ¸ ×ĨỊ Ị Ø Ị Ị ÙỊ Đ × Ù ù Ĩ × Ị ¸ Ĩ Ú ịỊ Ð Ơ Ị Đ × Ị Đ× ơỊ Ø Ị Ĩ Ị ¸ Ị Ị Ø ề ề ĩ ỉá ềá ẹ ì ể ẹ ỉ ú éá ẹ ì ỉể ề ì Ĩ Ị Ú Ü ØÙỊ ØỊ Ý ØƯ Ị ể ềá í ể ể ì Đ Đ Ø ơỊ Ø Ĩ Ý Đ Ø × ØĨ Ị Úó Ị Đ Đ ¿ Ị ½ Å Ø × ØùỊ Ø Ị Ị Ĩ Đ Ø Ị ú Ø Ù Ø × Ù Đ Ø × × Ị Ị × Ị Đ Ư Ø Ø ề ỉể ề ỉ ữề ễ ẹ ỉ ì ề Ð ịỊ ÕÙ Ị ø Ø ØỊ ÕÙÝ ØĨ Ị Úó È Ø Ù Ú ịỊº Ị Ị¸ Ơ Đ Ị Ơ Ị ØĨ Ị Ơ ØƯĨỊ Ø Ơ Úó Ơ Ị Ơ Ị ó ÕÙ Ị ØƯ Ị ÇÐÝĐƠ Ë Ị Ị Ị Ị Đ Ø ÙÝịỊ ÌÀÈÌ ÙÝịỊº Ø Ơ À÷ ỉ ề ề ẹ ì ễ ỉể ề ễ ềá ễ ắ ẹ ì ụề ề éá ễ ỉệứề ẹ ì ẹ ẹ ĩ ề ỉíụề ỉựề ỷ ề ữ ễ ẹ ỉ ễ ề ễ ỉệứề ặỵ ẹá ễ Ị ØỊ Ị ¿ È ÌƯĨỊ Ĩ Ị Ị ề ểề ề è ề ề è ễ ØƯ Ý Ú Ị Ø ĐÙ Ị Ð Ị óÙ Ị Ĩ Ị Ø Ị Ị ØĨ Ị Ơ Đ Ù Ý¸ Ị¸ Ơ Ị Ị Ơ ¸ Ý Ø é ề ẹ ì ề è ề ữề ỉ Ị Ð Ĩ Ø øỊ ¸ Ú Ị Ị Ị¸ û ØƯĨỊ Ø Ø Đ Ø ơỊ Ị À ØƯĨỊ ỉệứề ẩ ặ ề ậèậ è í ì Ø ÕÙ Ø Ý Ĩ ØƯĨỊ ×Ù Ø ÕÙ Ð ººº ÉÙ Ị ÉÙ Ø Ý ịỊ¸ ơỊ Ø Ĩ Ø Ị ØøỊ Đ Ị × ì ẹ íửề ũề ễ ỉ ØỊ Đ Ð Ị Ì Ị Đ × ØỊ Ị × Ù × Ø Ã Ĩ Ø Ĩ ơỊ Ø Ĩ à Ĩ Ü Ị Ü Ị Đ Ĩ Ị Ø Ị óÙ Ø Ý¸ Ø ØỊ Đ Ð Đ ÐÙ Ị Ú Ịº Ì ÉÙ Ị ØỊ ¹ ØƯ ººº Ý Đ Ø × ØĨ Ị Ơ ÄÙ Ị Ú Ị Ị Ý Ị Đ Ị Ý ỉệứề ứề ễ ẻ ỉ ề ỉệứề ỉệề ẹ ỉệứề ẹứề ể ặ èể ề ØƯ Ø ơƠ Ø Ơ ÕÙ Ị Ø Đ¸ Ø ể ú ữềá é ề ề ề í ặ è ề ẵ ề ẹ ắẳẵ ề ẵ ỉ ì ỉựề ỉ ẵẵ aAỉ Bá ẹì ề ĩ ề ề ỳ ẵẵ ẹ ề ự Ị Ị Ĩ Ø Ơ Ú Ị f : A B ữ é ặụ ể ề ĩ ễ A Ú Bº Ỉ b∈B Đ Ø Ơ Ị Ø È Ị Ø b Ð Ị f Đ Ø ÕÙÝ Ø Ø ø Ø a f Ò Ú Ð Ò Ĩ Đ Ø × Ĩ Ĩ Ú Ị Ü A Ø ơỊ b = f (a) Ú Ð Ø ø Ø Ø Ị ÕÙ Ị Ø Đ ơỊ Ø Ơ Ơ × Ù Ý Ì Ơ Ơ f (A) = {f (a)|a ∈ A} ´ Ð Ø Ơ Ị Ø Ơ A, Ý Ð Ø Ơ ØƯ Ị Ü f µ Ú Ø Ơ Ơ f −1(b) = {a ∈ A|f (a) = b} ´ Ð Ị Ị bµº ẵắ ề ề ỉể ề ề ìểề ề ề ề ỳ ẵắ ể f : A B a1 = a2 Ø Ò Ü Ò a∈A f : A −→ B Ị Ð Ð ØĨ Ị Ị ù Ơ Ị Ø ÷Ù Ð y∈B f −1 × Ú f : A −→ B Ø Ĩ Ị Ò Ð Ð Ò ØÓ Ò Ú û f : A −→ B Ü Ò Ü f : A −→ B Ð ×ĨỊ Ị Ị Ø a ∈ A × Ó Ó f (a) = b Ñ f (a) = b Ị º Ị Ị ú ½º º Ð Ị Ú a1 , a2 ∈ A Đ × Ĩ Ò Ò ÒôÙ f (a1) = f (a2) Ø ø a1 = a2 f : A −→ B Ü f : A −→ B Ị Ị ú ½º º ØĨ Ị Ị × Ĩ Ĩ Ị Ü f : A −→ B f (a1 ) = f (a2 ) ề ề ỳ ẵ ỉ ề ỉ ĩ é ìểề Ú û Đ Ø ×ĨỊ x = f −1 (y) Ị Ị Ị Ú b∈B Đ ÐÙ Ị f (A) = B Ị Ị f Ú Đ Ị º Ã Ú Ð b∈B Ò Ð Ò Ò Ü Ü Ị ¸ Ú Ð ÐÙ Ị Ø Ị Ø Ĩ Ø Ò ÙÝ Ò Ò f Ú Å Ø × ØùỊ Ø Ị Ị ½º Đ× ½º¿ À Đ × Ị Ị ú ½º º Đ × Ø Ø Ơ X Ĩ X⊂R ơỊ Ø Ơ Y ⊂ Rº Ú Y Ã Ò f : X −→ Y Ü Ð Đ Ø Ĩ Đ × f : X Y ạèễX é ỉ ễĩ ề ẹ ì f ặụ x0 X ỉ ứ f (x0 ) Ð ØƯ Đ f Ø x0 ¹ Ì Ơ Ơ f (X) Ð Ð Ø Ơ ØƯ Đ × f y0 é ẹ ỉ ỉệ ẹ ì f Ú û Ơ Ị ØỊ f (x) = y0 Ị ÷Đº À Ý Ị Ð Ơ Ị ØỊ f (x) = y0 Ị ÷Đ Ú û y0 Ø Ù ỉ ễ ỉệ ẹ ì f f é ỉể Ị Ị ⇔ Ơ Ị ØỊ ´ Ị xµ y = f (x) ´Ú x ∈ X, y ∈ Y ề ữẹ f é ìểề ề ễ Ị ØỊ ´ Ị xµ y = f (x) ´Ú x X, y Y ề ữẹ í ề ỉ ẵẵ ẹ ì ềá ẹ ì é Ò Ò ú ½º º f : D −→ R µ À Đ × Mµ Ị Ð Đ ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f : D −→ R ẹ ì é ỉ Ø Ð Đ Ị ØƯịỊ Đ Ðð ØƯịỊ M µ ÒôÙ f (−x) = f (x), ∀x ∈ M Ú Đ Ðð ØƯịỊ ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M M ⊂D Ị ØƯịỊ M ⊂D ´ Ø Ø Ð f (x) = f (x), x M ẵắ Đ × ØÙỊ Ĩ Ị Ú Ơ Ị ØÙỊ Ĩ Ò Ò Ò ú ½º º f : D −→ R ẹ ì M ềụ f é Đ f Ĩ M ⊂D Ị Ð Đ ØÙỊ Ĩ Ị ´ Ị a (a > 0) ØùỊ µ Ù ØƯịỊ Ú ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M Đ Ø Ị f Đ × ØÙỊ ØÙỊ Ĩ Ị Ú Ĩ Ị ØƯịỊ Ù M T T (T > 0) Ã Đ Ị ØÙỊ Ĩ Ị Ú Ð Ø Ù Ù × Ị Ĩ T ề ề ỳ ẵ ẹ ì ØƯịỊ M f : D −→ R Ị M ⊂D Ð Đ Ơ Ị ØÙỊ Ĩ Ị ´ Ị Ú ∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M ỉựề b (b > 0) ỉ ì ỉựề ỉ ề ề ẵ ặụ f é ể Ị Ú ØÙỊ Đ × Ø Ĩ Ị Ơ Ị ØÙỊ Ù f ØƯịỊ Đ× b0 Ĩ Ị Ù Ị Ĩ b0 Ị ØƯịỊ M M ØƯịỊ Ø ø Đ b0 Ị Ð ØƯịỊ M Ị ØƯịỊ ½º¿º ẹ ì é ũề ỉ ề ề ỳ ẵẵắ Ĩ x0 ưĐ Ị Ị ú ½º½¿º Ĩ Ị (a; b) [a; b] Ị Ị Ị À Đ × Ð ịỊ Ø ØƯịỊ Ị Ị ú ½º½ º Ị Ị ú ½º½ º Ð Đ ØÙỊ Ĩ Ị Ị Ị ØùỊ Ù Ð Đ Ơ Ị ØÙỊ Ĩ Ị Ị Ị ØùỊ Ú Ü ØƯịỊ lim f (x) = f (x0 ) D⊂R x0 ∈ D Ú f À Ñ × x−→x0 f (x) Ü Ñ f (x) Ü Ĩ Ị Ị ØƯịỊ ưĐ x ∈ (a; b) Ò (a; b) f (x) ∀x1 , x2 ∈ (a, b) À Đ × Ị f (x) Ú ØƯịỊ Ĩ Ị Ĩ Ị (a; b) [a; b] Ð Ð Ð ịỊ Ø ØƯịỊ Ð ịỊ Ø ØƯịỊ Ó Ò lim f (x) = f (a), lim − f (x) = f (b) x−→a+ Ð x−→b Ø Ò ØƯịỊ Ĩ Ị (a; b) Ị x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) Ñ Ð ∀x1 , x2 ∈ (a, b) Đ À Đ × Ø Ị Ĩ À Đ × f (x) Đ ØƯịỊ Ĩ Ò (a; b) ÒôÙ x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) Đ ØƯịỊ Ĩ Ị (a; b) Ð Đ Ị (a; b) Ị Ị ú ½º½ º Ð Ø Ị Ø × ´ Ị ơỊµ ØƯịỊ Ĩ Ị ơỊµ ØƯịỊ Ĩ Ị Ị Ị Ị ú ½º½ º (a; b) Đ Ú M ⊂D Ị f Ð ịỊ Ø Ø À Đ × (a; b) M ẹ ì ẵ ẹ ì ề ữ ề ề ỳ ẵẵ ữ ỉệũề x M ⇒ a±1 ∈ M f (ax) = −f (x), ∀x ∈ M À Đ × Ị Ị Ị Ị ú ½º½ º M ⊂D f : D −→ R À Đ × a (a ∈ / {0, 1, −1}) Ð ịỊ Ø Ø × ∀x ∈ M ⇒ a±1 ∈ M f (ax) = f (x), ∀x ∈ M Ò Ò ú ½º½½º Ð Ò ØÙÒ M À ẹ ì ẹ ễ ẵ ẹ ì ØÙỊ Ĩ Ị Ú Ơ Ị ØÙỊ Ĩ Ị Ị ề ỉựề ề ề ỳ ẵẵẳ f : D R a (a ∈ / {0, 1, −1}) Ð ∀x1 , x2 ∈ (a, b) À Đ × f (x) Ñ x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) Ð Đ Ø × ´Ị Ị ∀x1 , x2 ∈ (a, b) Ñ x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Ị ½º ỉ ì ỉựề ỉ ề ề ề ỳ ẵắẳ ÷Ù Ø × ØƯịỊ À Đ × Ø Ị Đ× Ý (a; b) Đ Ø Å Ø × ØùỊ Ø ẹ ì ề ữ ể ề ẹ ề ữ ỉ ì ỉệũề (a; b) ặụ f (x) Ú g(x) Ð Đ Ø Ị ´ е Ø ứ ặụ f (x) g(x) é ẹ ỉ ề ề ặụ f (x) é ẹ ề ÷Ù ØƯịỊ (a; b) Ø ø × ØƯịỊ óÙ Ð (a, b) Ị f (x) + g(x) Đ Ø ø f (f (x)) Ð Ị ØƯịỊ Ị f (x)g(x) Ð Ị Đ Ø Ị º Ð Đ × Ĩ Ò (a; b) Ñ Ø Ò Ð ´ Ñ Ø ề ề ẹà ề ắ ẩ ề ỉệứề ẹ ẹ ỉ ụề ỉ ể ắẵ ẹ ì ềá ẹ ì é ỉể ề ắẵẵ èứẹ ỉ Ø f (x) × Ĩ Ĩ f (x) = f (x), x R ỉ í ẵà ỉ ề ề f (x) = ỉ ẹ ì ẵà Ú [f (x) + f (−x)], ∀x ∈ R ắà ẹ ì f (x) = 21 [g(x) + g(−x)], ∀x ∈ R g ØƯĨỊ × f Ø Ð ẹ ì ỉ í ẹ ề ẵà ỉ ứ ỉệũề R ể ắà ềũề f ỉ ề í f ỉ ẹ ề ẵà ặ ẻ Ý Đ × Ð Ị ØøĐ Ị Đ Ị f (x) = [g(x) + g(−x)], ∀x ∈ R g ỉệểề é ẹ ì ỉể ề ắẵắ Ø f Rº ØƯịỊ ÌøĐ Ø Ø Đ × f (x) × Ó Ó f (−x) = −f (x), x R ỉ í ẵà ỉ ề ề ẵà f (x) = 12 [f (x) f (x)], x R ắà f (x) = 12 [g(x) g(x)], x R ẹ ì g ØƯĨỊ × Ø Ý Ø Ð Đ × Ø Ý ẹ ề ẵà ỉ ứ ỉệũề R ể ắà ỊịỊ f õ Ø Ị Ý f Ø Đ ề ẵà ặ ẻ í f (x) = [g(x) − g(−x)], ∀x ∈ R Đ × Ð Ị ØøĐ Ị Ị Đ È Ị ØỊ Ị ¾º g ØƯĨỊ Ð Đ × Đ Đ Ø ơỊ ỉ ể ỉ í ỉể ề ắẵ ể R ỉệũề x0 ∈ R Ị Ø Ø Đ × f × Ó Ó f (2x0 − x) = f (x), ∀x ∈ R º x = x0 − t( t = x0 x) ỉ ẵà 2x0 x = x0 + t ẵà ề f (x0 + t) = f (x0 − t), ∀t ∈ R ỉ g(t) = f (x0 + t) ắà à ÐÙ Ị g(−t) = f (x0 − t), f (t) = g(t − x0 ) g(t) = g(−t), ∀t ∈ R Ò f (x) = g(x − x0 ), x R, ỉể ề ắẵ ể a, b ∈ R Ỵ Ý Ị Ð g(x) ØƯĨỊ g(t) Ø Ø Đ Ð Đ Ị ØƯịỊ Ị ỉ í f (x) ẹ ì a ỉ ẵà − x = t x= à a Ò −t Ú a−x= a f ( a2 + t) − b = g(t), t R ắà ỉệũề R ẵà + t f ( a2 + t) + f ( a2 − t) = 2b, ∀t ∈ R Ø R × Ĩ Ĩ f (a − x) + f (x) = 2b, ∀x ∈ R º Ã Ø ø ắà ắà ỉ ụỉ ề g(t) + g(t) = 0, ∀t ∈ R ⇔ g(t) = −g(−t), ∀t ∈ R Ỵ Ý g(t) à ÐÙ Ị Ð Đ Ðð ØƯịỊ f (x) = g(x − a2 ) + b ỉể ề ắẵ R èứẹ ỉ ỉ g(x) ØƯĨỊ Đ × Ð f (x) Đ Ðð ØƯịỊ R × Ĩ Ĩ f (x) − f (−x) = 2014 sin x, ∀x ∈ R Ì Ø Ý ẵà ỉ ề ề ẵà f (x) f (−x) = 1007 sin x − 1007 sin(−x), ∀x ∈ R ⇔ f (x) − 1007 sin x = f (−x) − 1007 sin(−x), ∀x ∈ R Ø g(x) = f (x) − 1007 sin x, ∀x ∈ R Ì í ể ắà ỉ g(x) = g(x), x R ắà ề ẩ ề ỉệứề ỉể ề ẵắ ẹ ụề ỉ ể èứẹ ỉ ỉ Đ f (x) Ü Ị ¸ Ð ịỊ Ø ØƯịỊ RÚ Ø Đ Ị óÙ ÷Ị º f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), ∀x, y ∈ R, f (0) = 1, ∃x0 ∈ R : |f (x0 )| < ÌƯĨỊ f (0) = ẻứ x=0 ẵà ể f (x) Ú Ð ịỊ Ø ỊịỊ ∃ǫ > n0 N ẻ ặ ẵà ìí ệ f (x0 ) < 1º ∈ (−ǫ, ǫ), x0 Ì ơƠ Ø ÕÙ ) = 2[f ( n0 −1 Ø ỊịỊ Đ f Òº f (x) > 0, ∀x ∈ (−ǫ, ) ắà f ( 2xn00 ) > ứ Ị Ø Ị Ø n0 ∈ N∗ × Ĩ Ĩ f ( 2xn00 ) ≥ Ø ø Ø x0 x0 x0 )] − ≥ 1, f ( ) = 2[f ( )] − ≥ 2n0 2n0 −2 2n0 −1 f (x0 ) = 2[f ( x20 ) − 1]2 − ≥ 1, ØỊ Ò Ý Ø ËÙÝ Ö Ø Ò Ø x1 = f (x) > 0, ∀x ∈ (−|x1 |, |x1 |) Ø × Ĩ Ĩ f ( 2xn0 ) < 1, ∀n ∈ N∗ , Ị Ü Ø Ư Ò f( x0 2n0 Ð Ò¸ f (−y) = f (y), y R, ẵà f (x1 ) = cos α, < α < π2 Ì ´ Ị Ð Ý x1 = Đ Ù Ø Ù Ị Ú x0 2n0 ì ể ể ỉ < f (x1 ) < ụỉ ẵà ìí ệ f (2x1 ) = 2[f (x1 )]2 − = cos2 α − = cos 2α × f (kx1 ) = cos kx, ∀k ≥ à f [(k + 1)x1 ] = f (kx1 + x1 ) = 2f (kx1 )f (x1 ) − f [(k − 1)x1 ] = cos kα cos α − cos(k − 1)α = cos(k + 1)α Ì Ĩ Ị ÙÝịỊ Ð f (0) = 1, ÕÙÝ Ị Ơ ×ÙÝ Ư ỊịỊ f (x1 ) = cos kα, ∀k ∈ N∗ Å Ø ¸ f Ð Đ f (x1 ) = cos k, k Z èệểề ẵà ể x=y= f (x1 ) = 2f ( Ó x1 x1 Ø ỊịỊ f ( x21 ) > 0, f( ỉ ẵà ể [f ( ắà x1 + f (x1 ) + cos α α x1 ) − ⇔ [f ( )]2 = = cos2 = cos2 2 2 ∈ (−|x1 |, |x1 |) x=y= x1 Ø 2k+1 Ú Ý Ø f ( x21 ) = cos α2 × x1 α ) = cos k , ∀k ≥ k 2 x1 x1 x1 x1 )] = [1 + f ( k )] = (1 + cos k ) = cos2 k+1 k+1 2 2 2 ẵẳ ề ề ¿º Ĩ x1 2k+1 È Ị ØỊ Đ ∈ (−|x1 |, |x1 |) ỊịỊ ơỊ Ø Ĩ ) > 0, f ( 2xk+1 f( Ỉ Ú Ý Ø Ĩ ề íũề é ắà ỉ ếí ề ễ ×ÙÝ Ö f (x) cos x Ú α x1 ) = cos n , ∀n ∈ N∗ n 2 Ð m m x ) = cos α, ∀m, n ∈ Z, n > 2n 2n Đ × Ð ịỊ Ø ØƯịỊ f (x) = cos ax, ∀x ∈ A = { Ị Ị Ì A Ø Ơ Ð Ø Ã ÐÙ Ị Ø Ý ØƯ R¸ Đ Ø ØƯĨỊ ỊịỊ f (x) = cos ax (a = 0) R ¸ Ú α m x1 |m, n ∈ Z, n > 0}, a = , n x1 f (x) = cos ax, ∀x ∈ R, a = Ø ¿º Å Ø × Ị ØĨ Ị ØĨ Ị ¿º º½ ´ ó Ị Ú Ị ơỊ ỉệũề ỉ í ẹ ề ỉ ầéíẹễ ẳằẳ ằắẳẵẵà Rỉ x1 ẹ ề ẵà f (x) = cos ax, ∀x ∈ R, a ∈ R\{0} Ò ìí ệ f( ể ìí ệ x1 ) = cos , ∀k ∈ N∗ 2k+1 2k+1 f( Ì Ø óÙ ÌøĐ Ø Ø º Ĩ ỉ è é ữ ì í ắ x = 41 y ẵà é í ể ẵà ỉ x=y=0 Ø f ( 41 f (0)) = ụỉ ễ ắà ắà ỉ 1 f ( f (y) − y) = f ( f (0)), ∀y ∈ R 4 Ó f ề ụề ỉệũề R ềũề ỉ ỉ ìí Ö 1 f (y) − y = f (0), ∀y ∈ R 4 Ì ´ µ ìí ệ ĩ ẵà 1 f ( f (y) − y) = 1, ∀y ∈ R ÌƯĨỊ f ÷Ị f ( f (y) + 2x) = 4x + y + 1, ∀x, y ∈ R ´ Ì Đ × f (x) = 2x + a, Ú a Ð Ị × º Ì Ý Ú Ĩ ẵà ỉ f ( (2y + a) + 2x) = 4x + y + 1, ∀x, y ∈ R ẵẳ ề ẻ í ẩ Ị ØỊ ÙÝ Ị Ø Đ ⇔ 2( (2y + a) + 2x) + a = 4x + y + 1, ∀x, y ∈ R 3a = 4x + y + 1, ∀x, y ∈ R ⇔ y + 4x + 3a ⇔ =1⇔a= Đ Ø Đ × Ø Đ Ị ó Ð f (x) = 2x + , ∀x ∈ R ØĨ Ị ¿º º¾ ´ ó Ị Ị f : R −→ R Ø ơỊ Ø Ĩ Ø Ø ầéíẹễ ẳằẳ ằắẳẵà èứẹ ỉ ỉ ẹ ỉ Ò Ñ Ò f (f (x) + y) = f (x + y) + 1, ∀x, y ∈ R ´ è ể ỉ é ữ ì èệểề èệểề ẵà ỉ ẵ ẵà é í í ẵà x y=0 Ø f (x)¸ Ø f (f (x)) = f (x) + f (f (f (x)) + y) = f (f (x) + y) + ⇔ f (f (x) + + y) = f (x + y) + + èệểề ẵà ỉ í y f (y) Ø f (f (x) + f (y)) = f (x + f (y)) + = f (x + y) + + ⇔ f (f (x) + f (y)) = f (f (x) + + y) Ĩ f Ð Đ Ø Ị Ị ịĐ Ò Ø ÒòÒ f Ð Ò Ò Ø Ø f (x) + f (y) = f (x) + + y ⇔ f (y) = y + ⇒ f (x) = x + 1, ∀x ∈ R Ì Ð Ø Ã ÐÙ Ị Ø Ý Đ × f (x) = x + 1, ∀x ∈ R, Ø Ñ Ò ÝòÙ Ùº f (x) = x + 1, ∀x ∈ R ØĨ Ị ¿º º¿ ´Â Ơ Ị Å ỉ ẹ ỉ é ầéíẹễ ẹ ì ụỉ f : R R ề éì ắẳẵắà èứẹ ỉ Ø × Ĩ Ĩ f (f (x + y)f (x − y)) = x2 − yf (y), ∀x, y ∈ R è ễ ẵà ể x=y=0 ụỉ ế Ø Ø Ù f (f 2(0)) = Ø f (f (0)) = Ø Ù f (0) = è è ẵà ể ẵà ể x2 − xf (x) = ⇒ f (x) = x, x = ẵẳ ẵà x = 0, y = f (0)¸ x=y Ø Ø Ù Ị ¿º È Ị ØỊ f (0) = Å Ã ÐÙ Ị ×ÙÝ Ư Đ ơỊ Ø Ĩ f (x) = x, ∀x ∈ R Ì Ð Ị º f (x) = x, ∀x ∈ R ØĨ Ị ¿º º ´ÇÐÝĐƠ ỉể ề ầĩỉệ íé ẵ (0; +) R Ø Đ Ị f (1) = ´ Ì ể ỉ é ữ ì èệểề ú ữề ì èứẹ ỉ ỉ ẵà é í ắà é í ẵà ắ y=1 ỉ f (x) = f (x)f (3) + f ( ), ∀x ∈ (0; +∞) x ÌƯĨỊ f : Ý 3 f (xy) = f (x)f ( ) + f (y)f ( ), ∀x, y ∈ (0; +) y x ẹ ì x=3 ỉ ắà 1 f (3) = [f (3)]2 + ( )2 ⇔ f (3) = 2 Ì Ý Ú ể ắà ỉ f (x) = f (x) + f ( ), ∀x ∈ (0; +∞) 2 x Ý Ó f (x) = f ( ), x > x ẵà ỉệ ỉ ề f (xy) = 2f (x)f (y), ∀x, y ∈ (0; +∞) ÌƯĨỊ ´¿µ Ø Ý x Ø y ´¿µ f (3) = 2f (x)f ( ), ∀x ∈ (0; +∞) x Ĩ ÌƯĨỊ [f (x)]2 = ´¿µ Ø Ý y x 1 f (x2 ) = 2f (x)f (x) = 2[f (x)]2 = = Ì Ý Ø Ã ÐÙ Ị ×ÙÝ Ư Ú x>0 Ø f (x) = 12 f (x) = 21 , ∀x ∈ (0; +) ẵẳ è é ỉ ỉ í ỉ ẹ ề ẵà ề ẩ ề ỉệứề ẹ ụề ỉ ể ỉể ề ìỉểề ề ắẳẳ ắẳẳ èứẹ ỉ ỉ ẹ ì f : (0; +∞) −→ (0; +∞) Ø Đ Ị 1 + , ∀x, y ∈ (0; +∞) x y f (x)f (y) = f (xy) + ´ Ì º ể ỉ é ữ ì èệểề ắ ẵàá y=1 Ò Ø Ø Ù f (x)f (1) = f (x) + è ắà ề x=1 ỉ + 1, ∀x ∈ (0; +∞) x Ý f (1) = ắà [f (1)]2 = f (1) + [f (1)]2 − f (1) − = ⇔ f (1) = è ẵà ể ắà ỉ ´ Ĩ f (1) > µ f (x) = + , ∀x ∈ (0; +∞) x Ì Ð Ø Ã ÐÙ Ị Ø Ý Ø Đ ề ẵà f (x) = + , x ∈ (0; +∞) x ØĨ Ị ¿º º ´ÀË ØûỊ × f : R −→ R º Ø Ä Ò ẹ ắẳẵẵ ắẳẵắà èứẹ ỉ ỉ ẹ Ò f (xf (y) + x) = xy + 2f (x) 1, x, y R èệểề ẵà ỉ í x=0 ỉ f (0) = èệểề ẵà ỉ í x=1 ẵà ỉ f (f (y) + 1) = y + 2f (1) − 1, ∀y ∈ R è ắà é í ẵà ỉ y = −2f (1) f (f (−2f (1)) + 1) = ỉ ắà f (2f (1)) + = a f (a) + = ⇒ xf (a) + x = ⇒ f (xf (a) + x) = f (0) = 1, ∀x ∈ R a = f (xf (a) + x) = ax + 2f (x) − ⇒ f (x) = − x + 1, ∀x ∈ R ËÙÝ Ö f (x) Ñ Ò f (x) = cx + 1, Ú c é ề ì è í ể ẵà ỉ c(xf (y) + x) + = xy + 2(cx + 1) 1, x, y R ẵẳ Ỵ Ý Ø Ĩ Ị ¿º È Ị ØỊ Đ ơỊ Ø Ĩ ⇔ c[x(cy + 1) + x] = xy + 2cx, ∀x, y ∈ R ⇔ c2 xy + 2cx = xy + 2cx, ∀x, y ∈ R Ỵ Ý c = ±1 Ì Ð Ã ÐÙ Ị Ø Ý f (x) = x + f (x) = −x + Ú Ø Đ Ị ÝịÙ Ù ó º f (x) = x + 1, ∀x ∈ R; f (x) = −x + 1, ∀x ∈ R ØĨ Ị ¿º º ´ ÇÐÝĐƠ ÌĨ Ị Ë ề ũề ỉể ề ế ề ẹ ắẳẵẵ f : R −→ R Đ × º Ø Đ Ị óÙ ÌøĐ Ø Ø ÷Ị (x − y)f (x + y) − (x + y)f (x − y) = 4xy(x2 − y ), ∀x, y ∈ R ẻ ì ẵà ỉ ề ỉ ề u, v Ø Ø x= u+v ,y = u−v ẵà u = x + y, v = x − y Ú Ó vf (u) − uf (v) = (u + v)(u − v)uv, ∀u, v ∈ R f (u) f (v) − = (u + v)(u − v) = u2 − v , ∀u = 0, v = u v f (v) f (u) − u2 = − v , ∀u = 0, v = ⇒ u v f (x) − x2 = a, ∀x = Ú ⇒ Ð Ị × x f (x) = x3 + ax, ∀x = ÌƯĨỊ ẵà é í x = y = ỉ ⇒ ËÙÝ Ö −4f (0) = ⇔ f (0) = Ỵ Ý f (x) = x3 + ax, ∀x ∈ R Ì Ð Ø Ý Ø ØĨ Ị ề é ì ầ ắẳẵắà Đ Ịº ÌøĐ Đ × f : R −→ R Ñ f (x2 − y ) = (x − y)[f (x) + f (y)], ∀x, y ∈ R è ẵà ể x=y ỉ f (0) = è ẵà ể y=0 ỉ ẵà f (x2 ) = x[f (x) + f (0)] = xf (x), ∀x ∈ R Ì Ý Ø f (x2 ) = −xf (−x) ⇒ xf (x) = −xf (−x) ⇒ f (−x) = −f (x), ∀x = à Ơ Ú f (0) = Ø f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R Ì Ø Ø f (x2 − y ) = (x − y)[f (x) + f (y)] = xf (x) − yf (y) + xf (y) yf (x) ẵẳ ắà ẩ ề ỉệứề ề ¿º Đ ơỊ Ø Ĩ f (x2 − y ) = f (x2 − (−y)2 ) = (x + y)[f (x) + f (−y)] = (x + y)[f (x) − f (y)] = xf (x) − yf (y) + yf (x) xf (y) ụỉ ễ ắà Ø ´¿µ xf (y) − yf (x) = yf (x) − xf (y) ⇔ xf (y) = yf (x) ⇒ Ì f (x) = cx, ∀x = Ý ×ÙÝ Ư à f (x) f (y) = , ∀x = 0, y = x y f (0) = Ô Ú f (x) = cx, ∀x ∈ R Ì Ð Ø Ý Ø ´ Ð Ò Ø × µ Đ Ịº ØĨ Ị ¿º º ´ ó ỉ ựề ỉ ầéíẹễ ẳằẳ ằắẳẳ ẹ ì f : R −→ R Ø À Ý ØøÑ Ø Ø Đ Ị f (x + f (y) + xf (y)) = x + xy + y, ∀x, y ∈ R Ì × Ị f Đ Ị Ð Ò Ò º × f (y1 ) = f (y2) ẵà èệểề x=1 ẵà é í ỉ f (1 + 2f (y)) = + 2y, ∀y ∈ R Ỵø f (y1 ) = f (y2 ) ỊịỊ f (1+2f (y1 )) = f (1+2f (y2 )), Ý y1 = y2 èệểề ẵà é í f ể x=0 é ề ỉ íỉ ắà ề f (f (y)) = y, y R èệểề ẵà é Ý y=0 f (x + f (0) + xf (0)) = x = f (f (x)) ⇔ x + f (0) + xf (0) = f (x) Ø f (0) = a è ể ỉệũề ỉ 1+2y1 = 1+2y2 ắà ×ÙÝ Ư ´ Ĩ Ø f Ð Ị µ Ị f (x) = (a + 1)x + a, ∀x R è í ể ẵà ỉ (a + 1)[x + f (y) + xf (y)] + a = x + xy + y, ∀x, y ∈ R ⇒ (a + 1)[x + (a + 1)y + a + x(a + 1)y + ax] + a = x + xy + y, ∀x, y ∈ R Ị à x=y=0 a=0 Ø Đ Ịº Ỵ Ý Ø (a + 1)a + a = ⇔ f (x) = x Ã Đ × Đ Ị Ø a = −2 ó Ø Ð a=0 a = −2 f (x) = −x − f (x) = x, ∀x ∈ R; f (x) = −x − 2, ∀x R ẵẵẳ è é ỉ í ỉ ẩ ề ØỊ Ị ¿º Đ ơỊ Ø Ĩ ØĨ Ị ¿º ẵẳ ệểễ ề ệéì ầ ắẳẵắà èứẹ Đ × Đ Ị f : R −→ R Ø f (yf (x + y) + f (x)) = 4x + 2yf (x + y), ∀x, y ∈ R ´ è ể ỉ é ữ ì è ẵà ể ẵà ắ y=0 ỉ f (f (x)) = 4x, ∀x ∈ R f (x1 ) = f (x2 ) ì ắà 4x1 = f (f (x1 )) = f (f (x2 )) = 4x2 ⇒ x1 = x2 Ỵ Ý f Ð Ị Ị º Ỵ y ∈ R, Đ ÐÙ Ị Ø Ị Ø x = f ( y4 ) ∈ R × Ĩ Ĩ y y f (x) = f (f ( )) = = y 4 Ỵ Ý Ì f Ð ỉể ề ẵà ỉ í ề f ể y = −x + a, Ð ×ĨỊ Ø Ị º à a, b × Ø Ị Ø Ĩ Ĩ f (a) = 2, f (b) = 4a f (2(−x + a) + f (x)) = 4x + 4(−x + a) = 4a = f (b), ∀x ∈ R Ó f Ð Ị Ị ỊịỊ Ø ´¿µ Ø −2x + 2a + f (x) = b, ∀x ∈ R ´ µ Ý f (x) = 2x + c, ∀x ∈ R è í ể ắà ỉ f (x) = 2x, ∀x ∈ R Ì 2(2x + c) + c = 4x, ∀x ∈ R Ð ØĨ Ị ¿º º½½ ´ ó Ị Ø Đ Ị óÙ Ø Ý Ø Ì Ý Ð Ý x=0 c = ẻ í ẹ ề ẵà ỉ ầéíẹễ ẳằẳ ằắẳẵà èứẹ Ø Ø ÷Ị g : Q −→ R g(x + y) = g(x) + g(y) + 4026xy, ∀x, y ∈ Q g(1) = 2014 ´ Ì º Ĩ Ø Ð ữ ì ỉ ẵ g(x) = f (x) + 2013x2 à f : Q −→ R Ø Ñ Ò f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ Q f (1) = ½½½ ẵà ề ể è ẩ ề ỉệứề ẹ ụề ỉ ể x=y=0 ể ẵà ỉ x ể ẵà ỉ y í f (0) = f (−x) = −x Ì y Ý k × x ể ẵà ỉ ì ề íũề é ề f (2x) = 2f (x) ì ể ể ắà f (kx) = kf (x), ∀x ∈ Q à f ((k + 1)x) = f (kx) + f (x) = kf (x) + f (x) = (k + 1)f (x), ∀x ∈ Q Ĩ Ø Ĩ Ị ÙÝịỊ Ð ÕÙÝ Ị Ô¸ Ø f (nx) = nf (x), ∀x ∈ Q, n N ụỉ ễ ắà ỉ ìí ệ f (nx) = nf (x), x Q, ∀n ∈ Z Ì Ỵ 1 1 f (n ) = nf ( ) ⇒ f ( ) = f (1) = , ∀n ∈ Z n n n n n m ∗ q ∈ Q, q = n , m ∈ Z, n ∈ N , (m, n) = Ã Ø Ñ f (q) = f ( Ỵ Ý Ĩ Ì m m m ) = mf ( ) = f (1) = n n n n f (x) = x, ∀x ∈ Q Ð g(x) = 2013x2 + x, ∀x ∈ Q Ø Ø Ã ÐÙ Ị Ý Ø Đ Ò ó º g(x) = 2013x2 + x, ∀x ∈ Q ỉể ề ẵắ ú ề f : Q Q ỉ ỉ ầéíẹễ ẳằẳ ằắẳẵà ẹ ề ú èứẹ ỉ ỉ ẹ ì ữề × Ù i)f (1) = 2; ii)f (xy) = f (x)f (y) − f (x + y) + 1, ∀x, y ∈ R ´ Ì º Ĩ Ø Ì Ð ữ ì í y=1 ẵ ể ii), ỉ f (x) = f (x)f (1) − f (x + 1) + = 2f (x) − f (x + 1) + 1, ∀x ∈ Q ⇒ f (x + 1) = f (x) + 1, ∀x ∈ Q ẵẵắ ẵà ẩ ề ỉệứề ề ì ẹ ụề Ø Ó f (x + k) = f (x) + k, ∀x ∈ Q, ∀k ∈ N∗ Ã Ø f (x + k + 1) = f (x + + k) = f (x + 1) + k = f (x) + k + 1, ∀x ∈ Q, ∀k ∈ N∗ Ó Ø Å Ø Ó Ị ÙÝịỊ Ð ÕÙÝ Ị Ơ f (x + n) = f (x) + n, ∀x ∈ Q, ∀n ∈ N∗ f (x + 0) = f (x) + 0, ∀x ∈ Q Ó f (x + n) = f (x) + n, ∀x ∈ Q, ∀n ∈ N Ì f (x) = f (x − n + n) = f (x − n) + n ⇒ f (x − n) = f (x) − n, ∀x ∈ Q, ∀n ∈ N Ì Ø ×ÙÝ Ư f (x + n) = f (x) + n, ∀x ∈ Q, n Z è ẵà ắà ỉ í x = n, n Z ỉ ắà f (n + 1) = f (n) + ⇒ f (n) = f (n + 1) − = f (1) + n − = n + Ì i), ii) (2) Ú Ø Ý x = n1 , y = n, ∀n ∈ Z Ø ´¿µ 1 = f (1) = f ( n) = f ( )f (n) − f ( + n) + n n n 1 = f ( )(n + 1) − [f ( ) + n] + = nf ( ) − n + n n n 1 ⇒ f ( ) = + n n Ì ii), (1) Ú (4), Ø Ý x = p, y = 1q , p ∈ Z, q ∈ N∗ , Ø ´ µ p 1 1 p f ( ) = f (p)f ( ) − f (p + ) + = (p + 1)( + 1) − (p + + 1) + = + q q q q q q ËÙÝ Ư Ì Ð f (x) = x + 1, ∀x ∈ Q ¸ Ø Ã ÐÙ Ị Ø Ý Ø Đ Ị óÙ ÷Ị ØĨ Ị º f (x) = x + 1, ∀x ∈ Q ØÓ Ị ¿º º½¿ ´ ó Ị Z −→ Z Ø ỉ ầéíẹễ ẳằẳ ằắẳẵà èứẹ ỉ ỉ ẹ ề f (m + n) + f (mn − 1) = f (m).f (n) + 2, ∀m, n ∈ Z ½½¿ Đ f : È Ị ØỊ Ị ¿º ´ Ì ể ỉ è é ữ ì ụề ỉ ể ½ µ m=0 Ý Đ Ú Ĩ Ø Ø f (n) + f (−1) = f (0).f (n) + ⇔ f (n)(1 − f (0)) = f (1) f (0) = ặụ ỉ ø f (x) = c, ∀x ∈ Z, Ø 2c = c2 + ⇔ (c − 1)2 + = f (0) = ⇒ f (−1) = ặụ è éựà m = Ý Ø f (n − 1) + f (−n − 1) = 2f (n) + Ì n Ý n ể ẵà ỉ ẵà f (n 1) + f (−n − 1) = 2f (−n) + f (n) = f (−n), ∀n ∈ Z, ËÙÝ ệ í f é ẹ ề è ắà ỉ ắà f (n 1) + f (n + 1) = 2f (n) + ⇔ f (n + 1) − f (n) = f (n) − f (n − 1) + n 0á ẻ ỉ un = f (n), = un − un−1 ⇒ v1 = u1 − u0 = 1, vn+1 = + ⇒ = 2n − n n ⇒ f (n) = un = Ĩ f Ð Đ Ị ỊịỊ ØĨ Ị º vk + u0 = k=0 k=0 f (n) = n2 + 1, ∀n ∈ Z (2k − 1) + = n2 + Ì Ð Ø Ø Ý Ø Đ Ị óÙ ÌøĐ Ø Ø ÷Ị à ÐÙ Ị f (n) = n2 + 1, ∀n ∈ Z ØĨ Ị ¿º º½ ´ ó ề f : N N ỉ ầéíẹễ ẳằẳ ằắẳẵà × Ó Ó f (m + f (n)) = n + f (m + 2013), ∀m, n ∈ N∗ è ể ỉ èệ é ữ ì ụỉ ỉ ẵ ề ẹ ề f ề ề Ì ⇒ f (m + f (n1 )) = f (m + f (n2 )) Ø Ú Ý¸ ⇒ n1 + f (m + 2013) = n2 + f (m + 2013), m N ẵẵ ì f (n1 ) = f (n2 ) Đ × È Ị ØỊ Ị ¿º ⇒ n1 = n2 Ỵ Ý f Ä Ý m = f (1), Ð Ị Đ ơỊ Ø Ó Ò º Ø f (f (1) + f (n)) = n + f (f (1) + 2013) = n + f (2013 + f (1)) = n + + f (2013 + 2013) = f (2013 + f (n + 1)) Ý f (f (1) + f (n)) = f (2013 + f (n + 1)) f Ỵø Ð ËÙÝ Ư Ị Ị f (n) Ð ỊịỊ f (1) + f (n) = f (n + 1) + 2013 Ơ × Ị Ị Ý d = f (1) − 2013 × Ĩ f (n + 1) = f (n) + f (1) − 2013 Ú × Ò Ù Ð f (1) º f (n) = (n − 1)d + f (1) = nd − d + f (1) = (f (1) − 2013)n + 2013 Ø Ð f (n) = an + 2013, Ì Ĩ Ì Ư óÙ Ø ÷Ị Ị f (n) > 0, ∀n ∈ N∗ Ù Ø ỊịỊ a = f (1) − 2013 Ú a > f (1 + f (1)) = + f (2014) ⇔ a[1 + f (1)] + 2013 = + 2014a + 2013 ⇔ a[1 + f (1)] = 2014a + ⇔ a(f (1) − 2013) = ⇔ a2 = ⇒ a = 1, f (n) = n + 2013, ∀n ∈ N∗ Ĩ à ÐÙ Ị f (n) = n + 2013, ∀n ∈ ØĨ Ị ¿º º½ ´ ó Ị N −→ N Ø Đ Ị óÙ Ì Ð Ø Ø Ý Ø Đ Ị ó º Ĩ ỉ é ữ ì ỉ ỉ ầéíẹễ ẳằẳ ằắẳẵà ỉ ỉ èứẹ ỉ ỉ ữề ẵ a = f (0), a > N∗ f (m + f (n)) = f (m) + n, ∀m, n ∈ N ´ Ì Úø Ø f (m + f (0)) = f (m), ∀m ∈ N Ý f (m + a) = f (m), ∀m ∈ N ½½ Đ f : Ị ¿º × È Ị ØỊ a > Đ f à РơỊ Ø Ĩ Đ ØÙỊ Ĩ Ị Ú f (N) = {f (0), , f (a − 1)} M = max{f (0), , f (a − 1)}, Ø Ì Ø ¸ Ø Ý m = 0, Ø f (n) ≤ M, ∀n ∈ N f (f (n)) = n + a, ∀n ∈ N, ×ÙÝ Ư f (f (M)) = M + a ≤ M, f (0) = a = Ỵ í è éự ìí ệ f (f (n)) = n, ∀n ∈ N b = f (1), Ø Ì Ð Ị b=0 Ø ø = f (0) = f (b) = f (f (1)) = 1, Ú Ðù¸ Úø Ú Ý b = = f (f (1)) = f (b) ËÙÝ Ö f (n + 1) = f (n + f (b)) = f (n) + b, ∀n ∈ N Ì f (0) = 0, f (1) = b × k Ú Ị ÙÝịỊ Ị ¸ f (k) = kb à f (k + 1) = f (k) + b = kb + b = (k + 1)b Ì ¸ Ø Ĩ Ị ÙÝịỊ Ðù ÕÙÝ Ị Ơ¸ Ø f (n) = bn, ∀n ∈ N f (f (n)) = f (bn) = b2 n Ĩ Ì Ĩ ÕÙ ¸ Ø Ø ØƯịỊ Ø ø Ý f (n) f (f (n)) = n Ì Ð Ø Ỵ Ý f (n) = n, ∀n ∈ N Đ Ị ó ỊịỊ b2 n = n ⇒ b = 1, º ½½ Úø Ú Ý f (n) = n ÃèÌ ÄÍ Ỉ ÄÙ Ị Ú Ị Ø ¹ ÄÙ Ị Ú Ị Đº è ẹ ỉ ì ữ ỉ ề ế ề ữ Ø ØĨ Ị¸ ÐÙ Ị Ú Ị Ú Ị ÙỊ Ơ ÕÙ Ị ÐĨ ÕÙ Ị ØƯ Ị Đ Ø × Ø Ơ Ị Ơ Đ Ø × Ơ Ị Ị × Ù ØĨ Ị Ø Ð Ơ Ị Ú Ơ Ú Ị Ơ Úó Ơ Ị Ü Ø ú Ø Ù Ø Ú ØĨ Ị Úó Ơ Ị ØỊ Đ Ị Ị ØỊ Đº ¹ ÄÙ ề ề ỉỷề ì ỉ ễ Ø Ị Ú Ị Ị Ị Ơ óÙ ØĨ Ị í ề ầéíẹễ ẳằ ầéíẹễ ỉể Ị Ị Ø Ị × ØƯĨỊ × Ø Ị Ị Ø Ị º ÕÙ ØỊ ½½ Ị Ð Đ ÐÙ Ị Ú Ị¸ Ị Đ Ư Ø ĐĨỊ ÐÙ Ị Ú Ị Ị Ị ể ề ỉ ì ữề ứ ỉ ề ỷ × Ị Ù Ú Ú ÕÙ ÕÙ Øơ¸ ººº ÐÙ Ị Ú Ị Ĩ ÕÙ ØƯ Ị Ø Ý è é ữ ỉ ẹ ẵ ề ỉ ỉ ắẳẵ ắẳẵ èể ề ặ ắ Ỉ ÙÝõỊ Ì ÉÙ Ø ÌÙÝưỊ Ø Ơ ó ỉ ầ ẩ ẳ ỉ ề éề ỉ ậ ề ũ ể ề ặ íừề ẻ ề ẵ ể ặ ẩ ễ ẹ ắẳẵà íũề ểễ ề ỉệứề ẩ ề ỉệứề é ữ ỉệũề ềỉ ệề ỉ ẵẵ ẹá ặ ể ẹá ặ