Một số lớp bài toán về phương trình hàm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN VĂN TUẤN MỘT SỐ LỚP BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC Nguyễn Văn Tuấn MỘT SỐ LỚP BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60 - 46 - 40 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thành Văn Hà Nội - 2011 Mục lục Lời nói đầu iii Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm số liên tục 1.1.1 Định nghĩa hàm số liên tục 1.1.2 Tính chất hàm số liên tục 1.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 1.3 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn 1.4 Tính đơn điệu hàm số 1.5 Tính chất ánh xạ hàm số Chương Một số phương trình hàm 2.1 Phương trình hàm Cauchy 2.2 Phương trình hàm Jensen 11 2.3 Vận dụng phương trình hàm vào giải tốn 14 Chương Một số phương pháp giải phương trình hàm 3.1 Phương pháp sử dụng tính liên tục hàm số 31 3.2 Phương pháp Qui nạp toán học 43 3.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 46 3.4 Phương pháp sử dụng tính chất ánh xạ hàm số 58 i 3.5 Phương pháp điểm bất động 71 3.6 Phương pháp đưa dãy số 79 3.6.1 Cơ sở lý thuyết phương trình sai phân 79 3.6.2 Một số toán vận dụng 81 Kết luận 86 Tài liệu tham khảo 87 ii Lời nói đầu Phương trình hàm lĩnh vực hay khó tốn học sơ cấp Trong kì thi Olympic Tốn học Quốc gia, Khu vực Quốc tế thường xuyên xuất toán phương trình hàm Các tốn thường khó, đơi khó Để giải tốn đó, trước tiên ta cần nắm vững tính chất hàm số, số phương trình hàm bản, phương pháp giải có vận dụng thích hợp Với mong muốn tiếp cận với tốn phương trình hàm kì thi Olympic Toán, luận văn theo hướng Cụ thể, luận văn chia làm ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trình bày định nghĩa tính chất hàm số Chương Một số phương trình hàm Trình bày số phương trình hàm bản, dạng liên quan số trường hợp riêng lẻ hay mở rộng, sâu phương trình hàm Cauchy, vận dụng Trong chương có nhiều toán thi Olympic để thấy tầm quan trọng phương trình hàm Chương Một số phương pháp giải phương trình hàm Trình bày số phương pháp giải phương trình hàm thơng dụng Ở phương pháp bắt đầu phương pháp chung, số lý thuyết hữu ích liên quan, toán vận dụng, cuối phần tập với gợi ý kèm theo Trong có khơng tốn khó, tốn thi học sinh giỏi giúp tìm hiểu sâu hơn, nắm vững phương pháp Để hoàn thành luận văn, trước hết xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thành Văn dành thời gian hướng dẫn, đánh giá, bảo, tận tình giúp đỡ trình xây dựng đề tài hồn thiện luận văn Qua đây, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô, anh chị học viên cao học tốn khóa 20092011, Ban giám hiệu, Phịng sau đại học, Khoa Tốn - Cơ - Tin học trường đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội tạo điều kiện, giúp đỡ suốt q trình hồn thành khóa học iii Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả cịn hạn hẹp nên vấn đề trình bày luận văn cịn chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi sai sót Mong nhận góp ý xây dựng thầy bạn Tôi xin chân thành cảm ơn ! Hà nội, ngày tháng 11 năm 2011 Học viên Nguyễn Văn Tuấn iv Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta trình bày định nghĩa, tính chất liên quan đến hàm số phục vụ cho tốn trình bày chương sau Ta quan tâm đến hàm số f (x) với tập xác định D( f ) R tập giá trị R( f ) R: 1.1 Hàm số liên tục 1.1.1 Định nghĩa hàm số liên tục Định nghĩa 1.1 Giả sử hàm số f xác định khoảng (a; b) R x0 (a; b): Ta nói ¥ = f (x) hàm liên tục x0 với dãy số fxng ; xn (a; b) cho lim xn = x0 n!+¥ n ta có lim f (xn) = f (x0) n!+¥ Định nghĩa tương đương với định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2 Hàm f (x); xác định (a; b); gọi liên tục x0 (a; b) lim f (x) = f (x0): x!x0 Điều có nghĩa 8e > tồn d (e), phụ thuộc vào e, cho 8x : jx x0j < d j f (x) f (x0)j < e: Hàm số không liên tục x0 gọi gián đoạn điểm x0: Định nghĩa 1.3 Giả sử hàm số f xác định tập hợp J, J khoảng hợp nhiều khoảng R Ta nói hàm số f liên tục J liên tục điểm thuộc tập hợp Định nghĩa 1.4 Hàm số f xác định đoạn [a; b] gọi liên tục đoạn [a; b] liên tục khoảng (a; b) lim f (x) = f (a); x!a lim f (x) = f (b): + x!b 1.1.2 Tính chất hàm số liên tục Ở mục trên, ta có cách để xác định hàm số liên tục Tuy nhiên việc sử dụng định nghĩa khơng phải lúc đơn giản Do vậy, người ta chứng minh tính chất hữu ích, giúp ta xác định nhanh hàm số liên tục, sau: Các hàm số sơ cấp như: hàm lũy thừa, hàm thức, hàm lượng giác, hàm số mũ, hàm logarit, hàm số liên tục miền xác định Giả sử f (x); g(x) hàm số liên tục D R Khi ( f + g)(x) = f (x) + g(x); ( f g)(x) = f [g(x)] hàm liên tục D f (x) Giả sử g(x) 6= 0; 8x R Khi hàm liên tục Trong trường hợp ngược g(x) lại liên tục tập xác định Một số tính chất quan trọng khác hàm số liên tục: Định lý 1.1 (Định lý giá trị trung gian hàm số liên tục) Giả sử hàm số f liên tục đoạn [a; b] Nếu f (a) 6= f (b) với số thực M nằm f (a) f (b), tồn điểm c (a; b) cho f (c) = M: Mệnh đề 1.1 Giả sử f (x) = g(x); 8x Q ta có f (x) g(x) R Chứng minh Với Do f (r) = g(r); với ý f (x); g(x) hàm liên tục, ta có lim f (s n!+¥ Vậy với x R ta có f (x) = g(x): Hay f (x) = g(x); 8x R (ĐPCM) Nhận xét: Trong mệnh đề ta thay giả thiết f (x) = g(x); 8x Q giả thiết f (x) = g(x); 8x A; A tập hợp trù mật R Với định nghĩa tập hợp trù mật sau: Định nghĩa 1.5 Tập A R gọi tập trù mật R 8x; y R; x < y tồn a A cho x < a < y Ví dụ 1.1 Q tập trù mật R m Giả sử p N: Tập A = { pn jm Z; n N} trù mật R 77 Bài tốn 3.5.8 (IMO 1996) Tìm tất hàm f : N ! N thỏa mãn f (m + f (n)) = f ( f (m)) + f (n); 8m; n N: LỜI GIẢI Trong m = n = ta có f (0 + f (0)) = f ( f (0)) + f (0): Suy f (0) = 0, từ cho m = ta có f ( f (n)) = f (n), trường hợp riêng f ( f (0)) = f (0) = Từ đẳng thức ta viêt lại (i) sau f (m + f (n)) = f (m) + f (n): Theo trên, với n N f (n) điểm bất động f Gọi k điểm bất động khác bé hàm f Nếu khơng tồn k f (n) = với n N Khi đó, f (n) nghiệm toán Xét trường hợp tồn k Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh f (qk) = qk với q N tùy ý Bây giờ, ta lại xác định tập điểm bất động f Giả sử f có điểm bất động n > k Ta viết n = kq +r, với q; r N; r < k Khi đó, ta có n = f (n) = f (r + kq) = f (r + f (kq)) = f (r) + f (kq) = kq + f (r): Suy f (r) = r, điều dẫn đến r = 0, k > r điểm bất động nhỏ f Như thế, điểm bất động f bội k Tuy nhiên, với n N f (n) điểm bất động f Do đó, f (n) bội k với n Ta giả sử số nguyên không âm c1; c2; :::; ck thỏa mãn f (r) = crk với r < k, chọn c0 = Thế hàm f tổng qt thỏa mãn tốn f (qk + r) = qk + c rk, với r < k Dễ dàng kiểm tra hàm thỏa mãn điều kiện toán Thật vậy, cho m = ak + r; n = bk + s với r; s < k f ( f (m)) = f (m) = ak + crk; f (n) = bk + csk; f (m + f (n)) = f (ak + crk + bk + csk) = ak + bk + crk + csk f ( f (m)) + f (n) = ak + bk + crk + csk, kéo theo (1) thỏa mãn Tóm lại, hàm xác định nghiệm tổng quát toán MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài tập 3.5.1 Tìm tất hàm f : R ! R thỏa mãn f (x + f (y)) = 2x + f (y) + x f (y); 8x; y R: Bài tập 3.5.2 (Tournoi des villes 1996) Tìm tất f : R ! R thỏa mãn f ( f (x)) = x 1996 với x R 78 Bài tập 3.5.3 Chứng minh không tồn hàm f : R ! R thỏa mãn điều kiện (i) f x f ( x + y) = x + f (y) + y f (y) 8x; y R (x) (ii)giảm thực ( ¥; 0) tăng thực (0; +¥) Bài tập 3.5.4 Chứng minh không tồn hàm f : R ! R thỏa mãn điều kiện (i) f x 2x + y = f (x + f (y) + y f (y)) 8x; y R (x) (ii)giảm thực ( ¥; 0) tăng thực (0; +¥) Bài tập 3.5.5 Tìm tất hàm số f : R ! R thỏa mãn f ( f (x)) = x x 3; 8x R: Bài tập 3.5.6 (Italy TST 2005) Cho hàm số f : f1; 2; :::; 1600g ! f1; 2; :::; 1600g 2005 thỏa mãn f (1) = f = x; 8x f1; 2; :::; 1600g: a) Chứng minh f có điểm bất động khác 1: b) Tìm tất n > 1600 cho với hàm f : f1; 2; :::; ng ! f1; 2; :::; ng thỏa mãn điều kiện có hai điểm bất động Gợi ý Ta có nhận xét sau: - NX 1: hàm f đơn ánh - NX 2: Nếu f n1 (x0) = x0; f n2 d (x0) = x0 f (x0) = x0 với d = (n1; n2): n n - NX 3: Nếu n nhỏ thỏa mãn f (x0) = x0 nj2005 tập A = fx0; f (x0); :::; f (x0)g n có tính chất f (x) = x; 8x A: Khi ta gọi tập A có tính chất Tn: Giả sử f (x) 6= x; 8x > 1: Khi f2; 3; :::; 1600g phân hoạch thành p tập có tính chất T5 q tập có tính chất T401; r tập có tính chất T2005; với p; q; r N: Suy 5p + 401q + 2005r = 1599; phương trình vô nghiệm dẫn đến giả sử sai Và ta có ĐPCM 3.6 Phương pháp đưa dãy số 3.6.1 Cơ sở lý thuyết phương trình sai phân Trong phần này, ta xét nhiều đến phương trình sai phân (PTSP) tuyến tính Bạn đọc quan tâm tự tìm hiểu thêm phương trình sai phân khơng nhất, khơng q khó để bạn đọc làm điều Chúng ta bắt đầu với định nghĩa cách xác định nghiệm phương trình sai phân trường hợp đơn giản Xét dãy số thực xn; n N: Ta có định nghĩa sau: 79 Định nghĩa 3.3 PTSP tuyến tính dãy xn biểu thức tuyến tính giá trị dãy xn điểm khác nhau: 2N k n; giá trị xn cần tìm gọi ẩn Phương trình (1) gọi PTSP bậc k: Để tính giá trị xn ta phải cho trước k giá trị liên tiếp xn: 3.4 Nế Định nghĩa a0xn+k + phương trình gọi PTSP tuyến tính bậc k: 3.5 Xé Định nghĩa k a0 l + a gọi phương trình đặc trưng PTSP tuyến tính (2) Bây giờ, ta trình bày (khơng chứng minh) cách xác định nghiệm tổng quát, theo công thức truy hồi, PTSP tuyến tính số trường hợp đơn giản, thể qua định lý Định lý 3.1 Nếu (3) có k nghiệm thực phân biệt khác l1; l2; :::; lk nghiệm tổng quát xn (2) có dạng k n xn = åcili ; i=1 ci; i = 1; 2; :::; k số thực tùy ý Định lý 3.2 Nếu phương trình đặc trưng (3) có nghiệm thực l j; bội s; ngồi nghiệm n n l j ; ta bổ xung thêm nghiệm nl j ; (2) s i i n n xn = å c jn l j + å c1li ; i=0 i c j; ci số thực tùy ý; tổng å thứ hai có (k s) nghiệm li: Định lý 3.3 Nếu phương trình (3) có nghiệm phức (đơn) l j = a + bi = r(cos j + sin j); p r = jl jj = nghiệm phức liên hợp ci; c j; c i số tùy ý 80 Trong định lý trên, nghiệm lại nghiệm thực đơn Các trường hợp khác; PTSP tuyến tính khơng nhất, cách xây dựng nghiệm riêng nghiệm tổng quát trường hợp này, bạn đọc tự tìm hiểu thêm Ta áp dụng lý thuyết phương trình sai phân hàm số tập xác định hàm N Z: Một trường hợp thường gặp khác ta làm việc với biểu thức dạng i f (x): Khi đó, với x cố định, ta xác định dãy số sau å i2N k x0 = x; x1 = f (x); x2 = f (x); :::; xk = f (x) = f ( f k )(x); ::: 3.6.2 Một số toán vận dụng Bài toán 3.6.1 (Dãy Fibonacci) Tìm hàm f : N ! R thỏa mãn f (0) = 0; f (1) = f (n) = f (n 1) + f (n 2); 82 n N: LỜI GIẢI Đặt xn = f (n); 8n N: Khi ta có x0 = 0; x1 = Phương trình đặc trưng với dãy phân biệt l = Do x0 = 0; x1 = nên ta có c1 + c2 = c1 Vậy f (n) = xn = Bài toán 3.6.2 Cho f Chứng minh j f (n)j 81 r = jl j = Do l = cos (p=3) p i sin (p=3) f (n) = c1 cos (np=3) + c2 sin (np=3); 8n N : Kết hợp f (1) = 1; f (2) = ta suy c1 = c2 = p f (n) = cos Từ suy j f (n)j s Bài tốn 3.6.3 Tìm hàm f : N ! N thỏa mãn f (2 f (n) + f (m)) = 2n + 3m; 8m; n N: (*) LỜI GIẢI Dễ thấy f đơn ánh Với m; n; p; q N mà 2n + 3m = 2p + 3q ta có f (2 f (n) + f (m)) = 2n + 3m = 2p + 3q = f (2 f (p) + f (q)); f đơn ánh nên f (n) + f (m) = f (p) + f (q); 2n + 3m = 2p + 3q Từ 2n + 3m = 2p + 3q suy 2(n p) = 3(q m), nên cách chọn đơn giản n p = 3; q m = Khi ta có f (p + 3) + f (m) = f (p) + f (m + 2); 8m; p N Tiếp tục, ta chọn p = m f (m + 3) Phương trình đặc trưng (1) 2x x2 = 1=2: Suy công thức tổng quát f (m) với ci; i = 1; 2; 3, số tự nhiên, f (m) = c1 + c2m; 8m N Thay lại vào (*) ta suy c1 = 0; c2 = Vậy f (m) = m; 8m N Nhận xét: Có thể mở rộng tốn cách biến đổi phương trình (*) thành f (a f (n) +b f (m)) = an +bm, với a; b N Tuy nhiên, nhận thấy giải phương pháp qui dãy số có khó khăn PTSP bậc cao Có cách giải đặc sắc tương tự với toán Canada 2008 Xin dành cho bạn đọc quan tâm tìm hiểu thêm 82 Bài toán 3.6.4 (IMO 1992, Shortlist) Cho a; b hai số thực dương Xác định tất hàm f : [0; +¥) ! [0; +¥) thỏa mãn f ( f (x)) + a f (x) = b(a + b)x; 8x 0: n LỜI GIẢI Thay x f (x); f (x) = f ( f (x)); :::; f (x); ::: ta suy f n+2 (x) + a f n+1 n (x) = b(a + b) f (x); 8n N: Với x bất kì, cố định đặt x0 = x; xn+1 = f (xn) = f n+1 (x); n N ta thu dãy số thực xn (phụ thuộc vào x trên) xác định x0 = x; x1 = f (x) xn+2 + axn+1 = b(a + b)xn; 8x N: Phương trình đặc trưng Do ta có cơng thức tổng quát dãy sau Nếu c =0 t 26 lớn thỏa mãn giả thiết f : [0; +¥) ! [0; +¥): Do ta phải có x = x0 = c1; c Thử lại, ta đến kết luận nghiệm toán Bài toán 3.6.5 Cho trước k N: Tìm hàm f : N ! N thỏa mãn f ( f (x)) + f (x) = 2x + 3k; 8x N: LỜI GIẢI Với x đặt a0 = x với n đặt an+1 = f (an): Khi ta có an+2 + an+1 = 2an + 3k an+3 + an+2 = 2an+1 + 3k; 8n N: Suy an+3 3an+1 + 2an = 0; 8n N: Phương trình đặc trưng l 3l + = có nghiệm l1 = bội l2 = 2: Nên công thức tổng quát an n an = c1 + c2n + c3( 2) ; 8n N: Nếu c3 6= tồn n mà an < 0; mâu thuẫn Do c3 = an = c1 + c2n: Thay vào phương trình xác định dãy an ta có c1 + c2(n + 2) + c1 + c2(n + 1) = 2(c1 + c2n) + 3k ) c2 = k: 83 Do an = c1 + kn: Bây ý a0 = x; a1 = f (x) ta suy c1 = x; f (x) = x + k: Thử lại, ta thấy f (x) = x + k; 8x N nghiệm toán Nhận xét: Tương tự tốn này, ta giải tốn IMO 1987 sau: Chứng minh khơng tồn f : N ! N thỏa mãn f ( f (n)) = n + 1987; 8n N: MỘT SỐ BÀI TẬP TRONG MỤC NÀY: Bài tập 3.6.1 Xác định hàm f : N ! N trường hợp sau (i) f (0) = 3; f (1) = f (n) = f (n 1) f (n 2): (ii) f (n + 2) + f (n + 1) f (n) = 0; 8n N: Chứng minh f (n) = f (0); 8n N: (iii) Chứng minh không tồn f : N ! N thỏa mãn f ( f (n)) = n + 1987; 8n N : (iv) f (1) = 2; f (n + 1) > f (n); f ( f (n)) = f (n) + n; 8n N : Bài tập 3.6.2 (Romania 1999) Xác định hàm đơn điệu f : R ! R thỏa mãn f ( f ( f (x))) f ( f (x)) + f (x) = 4x + 3; 8x R: Đáp số f (x) = x + 1; 8x R: Bài tập 3.6.3 Chứng minh không tồn hàm f : N ! N thỏa mãn f (m f (n)) = n + f (2011m); 8m; n N : Gợi ý Dễ thấy f đơn ánh Ta có f ( f (m) f (n)) = n+ f (2011 f (m)) = n+m+ f (2011 ): Từ với m + n = p + q ta có f (n) f (m) = f (p) f (q): Suy Bài tập 3.6.4 Cho f : N ! N thỏa mãn f ( f (n)) = f (n + 1) + f (n); 8n N : Chứng minh f (n) hàm đơn ánh Gợi ý Giả sử tồn m > n mà f (m) = f (n): Từ toán suy f (m + 1) = f (n + 1): Từ f (m + k) = f (n + k); 8k N: Và f (n) nhận hữu hạn giá trị nguyên dương Mặt khác f ( f (1)) = f (2) + f (1) suy f ( f ( f (1))) = f ( f (1) +1) + k f ( f (1)) 3: Bằng quy nạp ta có f (1) k; 8k N : Điều dẫn đến mâu thuẫn Bài tập 3.6.5 (Balkan 2002) Tìm tất hàm số f : N ! N thỏa mãn f ( f (n)) + f (n) = 2n + 2001 2n + 2002; 8n N: Đáp số f (n) = n + 667: 84 + + Bài tập 3.6.6 (VietNam 2003) Cho F tập hợp tất hàm số f : R ! R thỏa mãn f (3x) f ( f (2x)) + x; 8x > 0: Tìm a R lớn cho với hàm f F ta có f (x) a x; 8x > 0: Đáp số a = 1=2: 85 Kết luận Sau thời gian hai năm học tập Khoa Toán – Cơ – Tin, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội, giúp đỡ bảo tận tình thầy cô khoa, đặc biệt TS Nguyễn Thành Văn, tơi hồn thành luận văn với tên đề tài “Một số lớp toán phương trình hàm” Luận văn đạt số kết sau : Luận văn nêu số kiến thức trong đại số giải tích có ứng dụng nhiều việc giải tốn phương trình hàm Luận văn hệ thống phân loại số dạng toán thường gặp theo phương pháp giải toán phương trình hàm với nhiều tốn có lời giải, nhận xét bình luận Luận văn nêu số hướng khai thác mở rộng, tổng quát, hướng tư tìm lời giải biến hóa số dạng tốn phương trình hàm Phân dạng phương trình hàm giúp cho định hướng giải chúng Vì tơi hi vọng luận văn làm tài liệu tham khảo cho trình nghiên cứu, giảng dạy học tập tốn bậc phổ thơng Tơi mong nhận góp ý thầy bạn đồng nghiệp để đề tài tiếp tục hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 86 Tài liệu tham khảo [1 ] Trần Nam Dũng, Tài liệu bồi dưỡng đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2010 [2 ] PGS.TS Nguyễn Quý Dy (chủ biên), Tuyển tập 200 thi vơ địch tốn Tập 3, Nhà xuất giáo dục, 2001 [3 ] Nguyễn Văn Mậu, Phương trình hàm, Nhà xuất Giáo dục, 2001 [4 ] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định, Phương pháp sai phân, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5 ] Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ [6 ] Christopher G.Small, Functional equations and how to solve them, Springer [7 ] Dusan Djukic, Vladimir Jankovic, Ivan Matic, Nikola Petrovic, A Colection of Problems Suggested for The IMO 1959-2004, Springer 2004 [8 ] Marko Radovanovic, Functional Equations, The Authors and The IMO Com-pendium Group 2007 [9 ] Mohamed Akkouchi, A Class of Functional Equations Characterizing Ponolymi-als of Dgree Two, 2001 [10 ] Pierre Bontein, Moubinool Omarjee , Cours - Equations Fonctionelles, Mardi 2003 [11 ] Website: mathlinks.ro, vnmath.com, diendantoanhoc.net 87 ... tầm quan trọng phương trình hàm Chương Một số phương pháp giải phương trình hàm Trình bày số phương pháp giải phương trình hàm thơng dụng Ở phương pháp bắt đầu phương pháp chung, số lý thuyết hữu... chuẩn bị Trình bày định nghĩa tính chất hàm số Chương Một số phương trình hàm Trình bày số phương trình hàm bản, dạng liên quan số trường hợp riêng lẻ hay mở rộng, sâu phương trình hàm Cauchy,... dụng phương trình hàm vào giải toán 14 Chương Một số phương pháp giải phương trình hàm 3.1 Phương pháp sử dụng tính liên tục hàm số 31 3.2 Phương