Một số dạng toán về đa thức qua các kỳ thi olympic

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN TRAN TH± VIET THUY M®T SO DANG TỐN VE ĐA THÚC QUA CÁC KỲ THI OLYMPIC LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC HÀ N®I - NĂM 2017 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN TRAN TH± VIET THUY M®T SO DANG TỐN VE ĐA THÚC QUA CÁC KỲ THI OLYMPIC LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC Mã so: 60.46.01.13 Ngưài hưáng dan khoa HQC GS TSKH NGUYEN VN MắU H NđI - NĂM 2017 Mnc lnc Ma đau Xác 1.1 1.2 1.3 1.4 đ%nh đa thÉc M®t so tính chat ban cna đa thúc Xác đ%nh đa thúc theo đ¾c trưng so HQc Xác đ%nh đa thúc theo đ¾c trưng nghi¾m 13 Xác d%nh đa thúc theo phép bien đői vi phân hàm .19 Ưác lưang đa thÉc 28 2.1 Đa thúc Chebyshev tính chat 28 2.2 Các dang toán liên quan đen đa thúc Chebyshev 32 2.3 Ưóc lưong, giá tr% cnc tr% cna đa thúc 36 M®t so dang tốn liên quan 3.1 Đa thúc vói h¾ so ngun đa thúc nh¾n giá tr% nguyên 3.2 Đa thúc vói h¾ so huu ty phân thúc huu ty 3.3 Úng dung tính chat nghi¾m cna đa thúc 47 47 58 67 Ket lu¾n 72 Tài li¾u tham khao 74 Me ĐAU M®t chuyên đe ban quan TRQNG đai so, tốn HQc nói chung chun đe đa thúc Đa thúc có v% trí quan TRQNG kien thúc tốn nói chung, chương trình phő thơng, đ¾c bi¾t đoi vói lóp chun tốn nói riêng Trong kì thi cHQN HQc sinh gioi tốn, vơ đ %ch Quoc gia, Quoc te Olympic sinh viên, dang tốn ve đa thúc thưịng xuat hiắn vúi mỳc đ khú v rat khú Nhieu e thi đáp án đưoc đăngtai o tap chí toán HQc tuői tre, o nhieu sách tham khao nhng cha thắt ay n Vúi mong muon cú mđt chuyên đe giúp nâng cao kien thúc ve đa thúc v boi dừng HQc sinh gioi toỏn, luắn "Mđt so dang toán ve đa thúc qua đe thi Olympic” nham tìm hieu, thu th¾p tài li¾u biên soan gom đe thi HQc sinh gioi toán THPT Quoc gia, đe thi toán Quoc te, đe thi Olympic sinh viên Các dang toán ve đa thúc rat phong phú, đa dang ve the loai phương pháp, thưòng rat rat phúc tap nên khó phân loai h¾ thong thành chuyên đe riêng bi¾t Tuy v¾y, đe đáp úng nhu cau ve giang day, HQc t¾p, lu¾n văn "M®t so dang tốn ve đa thúc qua đe thi Olympic” co gang toi đa sap xep theo trình tn hop lí nham giúp tiep c¾n tùng búc , tựng mỳc đ kien thỳc v luyắn kĩ giai tốn Lu¾n văn đưoc chia làm chương Chương Xác đ%nh ton tai đa thúc Chương Ưóc lưong đa thúc Chương M®t so dang tốn liên quan đen đa thúc Đe hồn thành lu¾n văn này, tác gia xin đưoc gui lịi cam ơn sâu sac tói GS.TSKH Nguyen Văn M¾u dành thịi gian hưóng dan, chi bao t¾n tình, giúp đõ suot trình xây dnng đe cương hồn thành lu¾n văn Tác gia xin gui lịi cam ơn chân thành tói q thay ĐQc, kiem tra, đánh giá đưa nhung ý kien quý báu đe lu¾n văn đưoc đay đn phong phú hơn.Qua đây, tác gia xin cam ơn Ban Giám Hi¾u, phịng sau Đai HQc, khoa Tốn Tin trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên Hà N®i giang day, tao đieu ki¾n thu¾n loi suot q trình HQc t¾p Tuy ban thân có nhieu co gang, no lnc nghiờn cỳu, song ieu kiắn v trỡnh đ cịn han che nên lu¾n văn khó tránh khoi nhung sai sót Tác gia kính mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cna thay đe ban lu¾n văn đưoc hồn thi¾n hơn! Tác gia xin chân thành cam ơn! Hà N®i, tháng 10 năm 2016 Tác gia Tran Th% Viet Thuy Chương Xác đ%nh đa thÉc 1.1 M®t so tính chat ban cua đa thÉc Đ%nh nghĩa 1.1 (xem [2]) Cho vành A m®t vành giao hốn có đơn v% Ta GQI đa thỳc bắc n bien x l mđt bieu thỳc cú dang Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0(an ƒ= 0), cna ađa i ∈ A đưoc GQI h¾ so, an h¾ so b¾c cao nhat a0 h¾ so tn thúc Neu = 0, i = 0, · · · , n − a0 ƒ= ta có b¾c cna đa thúc Neu = ∀i = 0, · · · , n − ta coi b¾c cna đa thúc −∞ GQI đa thúc không T¾p hop tat ca đa thúc vói h¾ so lay vành A đưoc kí hi¾u A[x] Khi A = K m®t trưịng vành K[x] m®t vành giao hốn có đơn v% Ta thưịng xét A = Z,ho¾c A = Q ho¾c A = R Khi ta có vành đa thúc tương úng Z[x], Q[x], R[x] Tính chat 1.1 (xem [2]) Neu đa thúc f (x) g(x) nguyên to đa thúc f (x) h(x) nguyên to đa thúc f (x) g(x)h(x) nguyên to Tính chat 1.2 (xem [2]) Neu đa thúc f (x), g(x), h(x) thoa mãn đieu ki¾n f (x)h(x) chia het cho g(x), g(x) h(x) nguyên to f (x) chia het cho g(x) Tính chat 1.3 (xem [2]) Neu đa thúc f (x) chia het cho đa thúc g(x) h(x) vói g(x) ngun to f (x) chia het cho g(x)h(x) Tính chat 1.4 (xem [2]) Neu đa thúc f (x) g(x) nguyên to [f (x)]m [g(x)]n nguyên to vói MQI m, n nguyên dương Đ%nh lý 1.1 (xem [7]) [Đ%nh lí ve nghi¾m cua đa thỳc] Neu mđt a thỳc bắc n v cú hắ so cna so hang có b¾c cao nhat khác có khơng q n nghi¾m Đ%nh lý 1.2 (xem [7]) [Đ%nh lí Bezout] Cho đa thúc P (x) ∈ R[x] so thnc α, α nghi¾m cna P (x) chi P (x).(x − α) Đieu có nghĩa ton tai đa thúc Q(x) ∈ R[x] cho P (x) = (x − α).Q(x) x , x2 , , xn Khi MQI đa thúc P(x) vói degP(x) < n+1 đeu viet đưoc Đ%nh lý 1.3 (Công thúc khai trien Abel) Cho b® so đơi m®t khác dưói dang P (x) = a0 + a1 (x − x1) + a2 (x − x1) (x − x2) + · · · + an (x − x1) (x − x2) (x − xn) Đ%nh lý 1.4 (Đ%nh lí Viet thu¾n) Cho đa thúc P (x) = a0xn + a1xn−1 + a2xn−2 + + an(a0 ƒ= 0) có n nghi¾m x1, x2, x3, , xn Khi ta có a1 + + = − a0 xn n  S1 = +  x x S n− a =2 n a0 + x + x x1 1xx22 + x +x +x  n a n Sn = x1 x2 xn = 0(−1) a Đ%nh lý 1.5 (Đ%nh lí Viet đao) Ngưoc lai neu có so x1, x2, x3, , xn thoa mãn   x1 + x2 + + xn = S1  x1x2 + x1x3 + + x1xn + + xn−1xn = S2   x1x2 xn = Sn x1, x2, x3, , xn nghi¾m cna đa thúc P (x) = xn − S1xn−1 + S2xn−2 + + (−1)nSn Đ%nh lý 1.6 (Đ%nh lí Lagrange) Neu f (x) hàm liên tuc đoan [a, b], kha vi khoang (a, b) ton tai c ∈ (a, b) cho f J (c) = f (b) − f (a) ba Mđt hắ qua rat quan TRQNG, oc ỏp dung nhieu giai tốn cna đ%nh lí Lagrange, đ%nh lí Rolle: Đ%nh lý 1.7 (Đ%nh lí Rolle ) Cho f (x) hàm liên tuc đoan [a, b], kha vi khoang (a, b) f (a) = f (b) ton tai c ∈ (a, b) cho f J (c) = Đ%nh lý 1.8 (Bat thúc Schur ) Cho so không âm a, b, c Khi vói MQI r > ta có bat thúc ar(a − b)(a − c) + br(b − c)(b − a) + cr(c − a)(c − b) ≥ Đang thúc xay chi a = b = c ho¾c a = b, c = hoán v% tương úng Các trưịng hop thưịng đưoc dùng đe giai tốn r = 1, r = 1.2 Xác đ%nh đa thÉc theo đ¾c trưng so HQC Trong phan ta khao sát toán ve xác đ%nh đa thúc vói h¾ so ngun đa thúc nh¾n giá tr% nguyên t¾p so tn nhiên dna vào đ¾c trưng so HQc như: tính chia het, đong dư, nguyên to nhau, Bài toán 1.1 (Mathemmatical Reflection issue 4, 2015) Tìm tat ca đa thúc P (x) b¾c ≥ vói h¾ so ngun thoa mãn đieu ki¾n a2 + b2 − c2 | P (a) + P (b) − P (c), ∀a, b, c ∈ Z, (a2 + b2 − c2 ƒ= 0) Lài giai Ta có 1 )(ym − ) − (ym−2 − ) y2 ym ym− , (y = 0) − = (y2 + = ym+2 ym+2 Đa thúc P (x) (theo cách đ¾t trên) thoa mãn P (xkm− ) = xkm − x k V¾y n = 1998m vói m le xk = xn − m x , (x ƒ= 0) n Bài toán 3.18 (Đe thi HSGQG năm 2000, bang A ngày thú hai) Vói moi đa thúc h¾ so thnc (x), kí hi¾u Ap t¾p hop so thnc x cho P (x) = Tìm so phan tu nhieu nhat có the có cna Ap P (x) thu®c t¾p hop đa thúc h¾ so thnc vơi b¾c nhat thoa mãn thúc P (x2 − 1) = P (x)P (−x)vói MQI giá tr% thnc x (3.17) nhat 1giai thoa − 1)hop = P (x)P (−x) Pvói ∈ R Tavói có Lài Kí mãn hi¾u P T (x t¾p đa thúc (x)MQIh¾x so thnc b¾c nh¾n xét sau Nh¾n xétψ3.1 Các đa thúc (ψ1 − x); (ψ2 − x) x(x + 1) thu®c T, ψ2 (ψ1 < ψ2) nghi¾m cna phương trình t − t − = Nh¾n 3.2.phai NeulàPđa (x) = hang Q(x).G(x) G(x)xét khơng thúc G(x)vói ∈ MQI T x ∈ R; P (x), Q(x) ∈ T 2 Chúng minh Ta có P (x)P (−x) = P (x − 1) = Q(x − 1)G(x − 1) = Q(x)Q(−x)G(x −1) vói MQI x ∈ R, P (x)P (−x) = Q(x)Q(−x)G(x)G(−x) vói MQI x ∈ R Tù hai thúc suy G(x) ∈ T □ Đ¾t T ∗ = {P (x) ∈ T|A p ƒ= Ø} Ta có Nh¾n xét 3.3 Gia su P (x) ∈ T∗ Khi đó, neu a ∈ Ap a ∈ {0, −1, ψ1, ψ2} Chúng minh Ta se chúng minh bang phương pháp quy nap theo deg P (b¾c cna P (x)) Vói Pxét (x)3.3 ∈ T ∗ màvói deg P = 1, ta có P (x) ∈ {ψ1 −1.x, ψ2 − x} Do đó, Nh¾n MQI P (x) ∈ T ∗ mà deg P = Gia su Nh¾n xét 3.3 vói MQI P (x) ∈ T ∗ mà deg P < k (k ≥ 2) (3.18) Xét P (x) ∈ T ∗ mà deg P = k Gia su vói moi a ∈ Ap đeu có a ∈/ {0, −1, ψ1 , ψ2 } Khi a2 − ∈ Ap (do (3.17)) a2 − > −1 GQI x0 l so nhat thuđc Ap (1; +∞) Ta có + Neu x0 > ψ2 x20 − x0 − > Suy x1 = 0x2 − > x0 > ψ2 p Tiep tuc quỏ trỡnh suy luắn ny se cú mđt dóy so tăng (x ),x1(n∈=A0, 1, 2, ) đưoc xác đ%nh boi n n mà MQI xn+1 = x2 − 1vói MQI n = 0, 1, 2, so hang cna dãy đeu thu®c Ap Đieu mâu thuan vói tính huu han cna Ap (3.19) + Neu ψ2 > x0 > ψ1 x2−x0−1 < Suy −1 < x1 = x2−1 < x0 0 x1 ∈ Ap Đieu mâu thuan vói đ%nh nghĩa x0 (3.20) + Neu x0 < ψ1 x2 = x12 − = 0(x2 − 1)2 − 10= x4 0− 2x2 > −1 xTuy ∈ Ap (do x1 ∈ Ap) Suy x2 ≥ x0 hay x0(x0 + 1)(x0 − x0 − 1) ≥ nhiên đieu không the xay −1 < x0 < ψ1 < 0vx20 − x0 − > (3.21) Tù ket lu¾n (3.19), (3.20), (3.21) suy ton tai a0 ∈ Ap, mà a0 ∈ {0, −1, ψ1, ψ2} Ta se chúng minh rang neu ton tai a ƒ= a0 a ∈ Ap a ∈ {0, −1, ψ1, ψ2} Th¾t v¾y, xét trưòng hop sau − 1) ∈ A nên {0, −1} ⊆ A Trưòng hop 1: a0 ∈ {0, −1} Khi đó, (a p p Suy ra, trưịng hop này, P (x) có dang P (x) = x(x + 1)Q(x) vói MQI x ∈ R, (3.22) Neu {0, −1} = Ap hien nhiên có đieu phai chúng minh Neu {0, −1} ⊂ Ap ≤ deg Q(x) < k Vì v¾y, theo Nh¾n xét 3.1, ∈ ∈ T ∗T , Ta suyxétraa ∈theo (3.18), a ∈ {0, có−1, , 0, ψ2} 3.2,Q(x) có Q(x) Ap {0, −1} Tù (3.22) Q(a)ψ1= Trưịng hop 2: a0 = ψ1 ho¾c (a0 = ψ2) Khi P (x) se có dang P (x) = (ψ1 −x)Q(x) ho¾c (P (x) = (ψ2 −x)Q(x)) vói MQI x ∈ R (3.23) Neu {ψminh 1} = Ap tương úng ({ψ2} = Ap) hien nhiên ta có đieu phai chúng Neu ⊂ Ap xét tương }⊂ Ap ∈ ) ≤adeg k Vì v¾y, theo {ψ các1}Nh¾n 3.1,úng 3.2,({ψ ta 2có Q(x) T Xét ∈ A Q(x) {ψ } Xét m tam thúc b¾c hai Pk(x) = x2 + akx + bk, k = 1, 2, 3, , m Chúng hai tam P1(x), Pm(x)cóđeu khơngthnc có nghi¾m thnc thìminh tat carang neu đa thúc cịn thúc lai khơng nghi¾m m Lài giai Ta chúng minh ket qua sau: Neu a2 − 4b1 < 0, a2 − 4bm < [αa1 + (1 − α)am ]2 − 4[αb1 + (1 − α)bm ] < vói Th¾t v¾y, ta có MQI α ∈ [0, 1] [αa1 + (1 − α)am]2 − 4[αb1 + (1 − α)bm] = α2(a2 − 4b1) + (1 − α)2(a2 − 4bm) + α(1 − α)(2a1am − 4(b1 + bm)) m (3.25) Do a12 − 4b1 < 0, m a2 − 4bm < 2a1am − 4(b1 + bm) < 2a1am1−a 2m−a = −(a1 − am)2 ≤ nên ve phai cna (3.25) < ta có đieu phai chúng minh Tro lai toán, P1(x) Pm(x) khơng có nghi¾m thnc nên ta có δ1 = a2 − 4b1 < 0, δm = am2 − 4bm < am − a1 , công sai cna cap so c®ngn (b ) Cơng sai cna cap so c®ng ) bang m−1 (an bm − b1 bang Do vói MQI k = 1, 2, 3, , m, ta có m−1 + (k Tương tn, ak = a1 1) − am − m− =k m a −1 1+ k−1 m −m1 a m 1− a1 b = b + (k − 1)bm − b1 + k − b m k m−1 m−1 m−k Bây giò áp dung ket qua chúng minh o vói α = , ta có m−1 δthúc k = ak − 4bk < 0, vói MQI k = 1, 2, , m, túc tat ca đa P1(x), P2(x), , Pm(x) đeu khơng có nghi¾m thnc Bài toỏn khỏc 3.20 Giai ụi mđt nhauhắ phng trỡnh sau vói a1, a2, , an n so thnc 1 1 .2 .2  an−1 x1n−1 + an−1x2 + n−n + an−n xn n+  n−1  a x1 + a x2 + + a xn + a n n n n  n−1 a x1 + an−1x2 + + an−nxn + an = = an =0 n n−1 Lài giai ta Xét + · · · + xn−1u + xn, tù h¾ cóđa thúc f (u) = u + x1u f (a1) = f (a2) = = f (an) = Xét đa thúc g(u) = (u − a1)(u − a2)(u − a3) (u − a n) = un + A1un−1 + + An−1u + An, g(u) có n nghi¾m a1, a2, , an deg g = n có h¾ so b¾c cao nhat bang nên theo đ%nh lý Viet ta có A = ( 1)1(a + a + + a )   a1a3 + + an−1an) A2 = (1 1)2(a−1a2 +   −  An = a1a2a3 · · · an f (u) n − g(u) = (x1 − A1)un−1 + (x2 − A2)un−2 + · · · Xét đa thúc h(u) + (xn−An) Ta có=deg h ≤ n−1 h(u) có n nghi¾m a1, a2, a3, , an phân bi¾t nên h(u) ≡ Do ta có nghi¾m cna h¾ x1 = A1, x2 = A2, xn = An V¾y nghi¾m cna h¾ x = ( 1)1(a + a + + a )   −2 + 1a1a3 + + an−1an) 2(a1a x2 = ( 1)  −  xn = a21a2a3 ·n· · an Bài toán 3.21 Cho đa thúc P (x) b¾c bon có bon nghi¾m dương phân bi¾t Chúng minh rang phương trình sau có bon nghi¾m dương phân bi¾t − 4x − 4x J P (x) + − ΣP (x) − P JJ (x) = x x 2 Lài giai Ta có đương vói − 4x P (x) + − − 4x ΣP J (x) − P JJ (x) = tương x2 x2 − 4x [P (x) P J (x)] + [P J (x) P JJ (x)] = − x2 − Q(x) 4x Đ¾t = P (x) − P J (x), suy QJ (x) = P J (x) − P JJ (x) nên ta có J Q(x) + Q (x) = x2 Bo đe 3.5 Neu đa thúc b¾c bon có nghi¾m dương phân bi¾t đa thúc Q(x) = P (x) − P J (x) có nghi¾m dương phân bi¾t Chúng minh Th¾t v¾y, khơng mat tính tőng qt, gia su h¾ so b¾c cao nhat cna P (x) ta có phân tích P (x) xx4 − ax +x bx2các − cx + d = (x −cna x1)(x x2)(x − xTheo 3)(x − x3), vói x= < < x < nghi¾m dương đa−thúc đ %nh lý Viet thì2 a, b,3 c, d 4> ta có P (x) = Σ J (x − x1)(x − x2)(x − x3) Gia su Q(x) = x4 − a1x3 + b1x2 − c1x + c + d Q(x =P (x1) − P (x1) J= −(x1 − x2)(x1 − x3 )(x1 − x4)1)Q(x ) = P (x2 ) − P (x2 ) = −(x2 − x1 )(x2 − x3 ) (x2 − x4) J Suy Q(x1)Q(x2) = (x1 − x2)2(x1 − x3)(x1 − x4)(x2 − x3)(x2 − x4) < 0, túc ton tai y1 ∈ [x1; x2] nghi¾m dương cna Q(x) Tương tn ta thay rang Q(x) có thêm hai nghi¾m dương nua y2 ∈ [x2, x3], y3 ∈ [x3 , x4 ] GQI nghi¾m dương thú tư y4 y1 · y2 · y3 · y4 = c + d > Do ta có y nên y4 m®t > 0.đa Bőthúc đe đưoc □ 1, y2, y3,4y4 > Đ¾t R(x) = t Q 0cũng b¾c chúng cóminh nghi¾m dương phân bi¾t Q(x) Theo nh¾n xét đa thúc sau có nghi¾m dương phân bi¾t Σt −1 1 t ( ) 1 ()= ( )+ ( ) R(t)−RJ (t) = t4 Q( −4t3 Q( J Q ( ) t4−4t3) t t2 t − t t ) t2 t Q Túc phương trình sau có nghi¾m dương phân bi¾t QJ (t4 − 4t3 )Q t Σ + ) = t t2QJ ( Đ¾t = x phương trình sau có nghi¾m dương phân bi¾t t − 4x Q(x) + QJ (x) = x2 Suy đieu phai chúng minh Bài toán 3.22 (HSGQG, 2009) Cho ba so thnc a, b, c thoa mãn đieu ki¾n: vói moi so ngun dương n, an + bn + cn m®t so nguyên Chúng phương x3 so+nguyên px2p, q,+r cho qx a, + r nghi¾m = minh rangtrình ton tai b, c ba cna n Lài giai.soĐ¾t Tn = an −(a + bn++bc+ ∈ Z, ∀n ab ≥ Ta + chúng rang toncho tai nguyên p= c), q= + bc ca, r minh = −abc a, b, c ba nghi¾m cna phương trình x3 + px2 + qx + r = Ta có T1 = −p, 2 T = 2q, a2 + b= +−pc23 = (a +−b 3r + c) − 2(ab + bc + ca) = p· 22· − T + 3pq = −pT − qT1 − rT 0, · Tn = −pTn+2 − qTn+1 − rTn.(1) p = −T1 ∈ Z, T1, T2 ∈ Z suy 2q ∈ Z 2T3 = −2p(p2 − 2q) + pq − 6r ∈ Z nên 6r ∈ Z T4 = −pT3 − qT2 − rT1 = −p(−p3 + 3pq − 3r) − q(p2 − 2q) + pr = p4 − 4p2q + 4pr + 2q2 3T4 = 3p4 − 12p2q + 12pr + 6q2 = 3p4 − (6p2.2q) + (2p.6r) + 6q2 ∈Z suy 6q2 ∈ Z Ta chúng minh ket qua sau đây: Neu x so thnc cho 2x 6x2 so nguyên x so nguyên Chúng minh.Ta chúng minh bang phan chúng Gia su 2x = k ngun, x khơng ngun Khi k so nguyên le k = 2m + 1, m ∈ Z Suy x = m + , 6x2 = = 6m2 + 3m khơng ) 6(m + + 2 2 nguyên ( mâu thuan) V¾y đieu gia su sai, túc x ngun Tro lai tốn ta có 2q, 6q2 nguyên nên q so nguyên m Tù T3 ∈ Z suy 3r ∈ Z, đ¾t r = 3m Tn ∈ Z, ∀n ≥ 1, Tù (1) suy ranên rTn ∈ Z, ∀n ≥ mTn.3, ∀n ≥ • Neu (Tn, 3) = m.3 suy r ∈ Z • Neu Tn.3∀n tù p = , T3 = −p3 + 3pq − m ∈ Z mà p.3, 3pq.3 −T1.3 , suy r ∈ Z nên đe T3 ∈ Z thỡ m.3 KET LUắN Luắn "Mđt so dang toán ve đa thúc qua đe thi Olympic” trình bày đưoc nhung van đe sau: Lu¾n văn trình bày h¾ thong đ%nh nghĩa, tính chat, dang toán ve đa thúc su dung giai toán liên quan so HQc, đai so giai tích Lu¾n văn t¾p trung tìm hieu, thu th¾p tài li¾u phân loai đe thi Olympic theo dang theo phương pháp giai chúng Lu¾n văn xây dnng đưoc h¾ thong dang toán liên quan giúp nâng cao hieu biet ve sâu sac đa thúc Tài li¾u tham khao [1] Lê Hai Châu (2003), Các thi Olympic Toán trung HQc phő thơng Vi¾t Nam (1990-2003), NXB Giáo duc [2] Nguyen Văn M¾u (1993), Giáo duc Đa thúc đai so phân thúc huu ty, NXB [3] Nguyen Văn M¾u (2015), NXB Giáo duc N®i suy đa thúc, đ%nh lý áp dnng, [4] Nguyen Văn M¾u, Nguyen Văn Tien (2010), M®t so chuyên đe đai so boi dưãng HQc sinh giói trung HQc phő thơng, NXB Giáo duc [5] Nguyen Văn M¾u, Lê NGQc Lăng, Pham the Long, Nguyen Minh Tuan (2006), Các đe thi Olympic Toán sinh viên toàn quoc, NXB Giáo duc [6] Library of Mathematics and Youth Journal (2007), The Vietnameses Mathematical Olympiad (1990-2006), Education Pub House [7] Nguyen Huu Đien (2003), Đa thúc úng dnng, NXB Giáo duc [8] Vũ Tien Vi¾t (2017), Tài li¾u ơn t¾p Olympic tốn sinh viên , NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i [9] Tn sách tốn HQc tuői tre, Các thi Olympic tốn THPT Vi¾t Nam (1990- 2006), NXB Giáo duc ... ve đa thúc v boi dừng HQc sinh gioi toỏn, luắn "Mđt so dang toán ve đa thúc qua đe thi Olympic? ?? nham tìm hieu, thu th¾p tài li¾u biên soan gom đe thi HQc sinh gioi toán THPT Quoc gia, đe thi toán. ..ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN TRAN TH± VIET THUY M®T SO DANG TỐN VE ĐA THÚC QUA CÁC KỲ THI OLYMPIC LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC Mã so: 60.46.01.13... hàm .19 Ưác lưang đa thÉc 28 2.1 Đa thúc Chebyshev tính chat 28 2.2 Các dang toán liên quan đen đa thúc Chebyshev 32 2.3 Ưóc lưong, giá tr% cnc tr% cna đa thúc 36