Một số dạng toán về đa thức qua các kỳ thi olympic

I HC QUăC GIA H NáI TRìNG I HC KHOA H¯C TÜ NHI N TR N THÀ VI T THÕY MáTSăD NGTO N V ATHCQUAC C Kí THI OLYMPIC LU NV NTH CSòTO NHC H NáI-N M2017 I HC QUăC GIA H NáI TRìNG I HC KHOA HC Tĩ NHI N TR N TH VI T THếY MáTSăD NGTO N V ATHÙCQUAC C KÝ THI OLYMPIC LU NV NTH CSßTO NHC M s: 60.46.01.13 Ngữới hữợng dÔn khoa hồc GS TSKH NGUY N V N M U H N¸I-N M2017 Möc löc Mð ƒu X¡c ành a thøc 1.1Mºt sŁ t‰nh ch§t cì b£n cı 1.2X¡c ành a thøc theo c¡c ° 1.3X¡c ành a thøc theo c¡c ° 1.4XĂc dnh a thức theo php ìợc lữổng a thøc 2.1a thøc Chebyshev v c¡c t‰ 2.2C¡c d⁄ng to¡n liản quan n 2.3ìợc lữổng, giĂ tr cỹc tr c Mºt sŁ d⁄ng to¡n li¶n quan 3.1 a thøc vợi hằ s nguyản v 3.2 a thức vợi hằ sŁ hœu t v 3.3Ùng dưng t‰nh ch§t nghi» K‚t lu“n T i li»u tham kh£o M— U Mºt chuyản ã cỡ bÊn v quan trồng i s, toĂn hồc nõi chung l chuyản ã a thức a thøc câ tr‰ quan trång ki‚n thøc to¡n nâi chung, ch÷ìng tr…nh phŒ thỉng, v °c biằt i vợi cĂc lợp chuyản toĂn nõi riảng Trong c¡c k… thi chån håc sinh giäi to¡n, væ àch QuŁc gia, QuŁc t‚ v Olympic sinh vi¶n, c¡c d⁄ng toĂn vã a thức thữớng xuĐt hiằn vợi mức khõ v rĐt khõ Nhiãu ã thi Ăp Ăn  ữổc ôngtÊi ch toĂn hồc v tui trÃ, nhiãu sĂch tham khÊo chữa tht y Vợi mong mun cõ mt chuyản ã giúp nƠng cao kin thức vã a thức v bỗi dữùng hồc sinh giọi toĂn, lun vôn "Mt s dng toĂn vã a thøc qua c¡c • thi Olympic nh‹m t…m hi”u, thu thp cĂc t i liằu biản son gỗm cĂc • thi håc sinh giäi to¡n THPT QuŁc gia, • thi toĂn Quc t, ã thi Olympic sinh viản CĂc dng toĂn vã a thức rĐt phong phú, a dng vã th loi v phữỡng phĂp, thữớng rĐt rĐt phức nản khõ phƠn loi v hằ thng th nh cĂc chuyản ã riảng biằt Tuy vy, Ăp ứng nhu cu vã giÊng dy, hồc tp, lun vôn "Mt sŁ d⁄ng to¡n v• a thøc qua c¡c • thi Olympic công cŁ g›ng tŁi a s›p x‚p theo tr…nh tỹ hổp l nhm giúp tip cn tng bữợc , tng mức kin thức v luyằn kắ nông giÊi toĂn Lun vôn ữổc chia l m chữỡng Chữỡng XĂc nh v tỗn ti a thức Chữỡng ìợc lữổng a thức Chữỡng Mt s dng to¡n li¶n quan ‚n a thøc ” ho n th nh lun vôn n y, tĂc giÊ xin ữổc gòi lới cÊm ỡn sƠu sc tợi GS.TSKH Nguyn Vôn Mu  d nh thới gian hữợng dÔn, ch bÊo tn t… nh, gióp ï suŁt qu¡ tr…nh x¥y düng ã cữỡng cụng nhữ ho n th nh lun vôn TĂc giÊ xin gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh tợi cĂc quỵ thy cổ  ồc, kim tra, Ănh giĂ v ữa nhng ỵ kin quỵ bĂu lun vôn ữổc y v phong phú hỡn.Qua ¥y, t¡c gi£ xin c£m ìn Ban Gi¡m Hi»u, phỈng sau ⁄i håc, khoa To¡n Tin tr÷íng ⁄i Håc Khoa hồc Tỹ Nhiản H Ni  giÊng dy, to iãu ki»n thu“n læi suŁt qu¡ tr…nh håc t“p Tuy bÊn thƠn  cõ nhiãu c gng, nỉ lỹc nghiản cứu, song iãu kiằn v trnh cặn hn ch nản lun vôn khõ trĂnh khọi nhng sai sõt TĂc giÊ knh mong nhn ữổc sỹ õng gõp ỵ kin ca cĂc thy cổ bÊn lun vôn ữổc ho n thi»n hìn! T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn! H Nºi, th¡ng 10 n«m 2016 T¡c gi£ Trƒn Thà Vi‚t Thıy Ch÷ìng X¡c 1.1 ành a thøc Mºt sŁ t‰nh ch§t cì b£n cıa a thøc ành ngh¾a 1.1 (xem [2]) Cho v nh A l mºt v nh giao ho¡n câ ìn Ta gåi a thøc b“c n bi‚n x l mºt bi”u thøc câ d⁄ng n n Pn(x) = anx + an 1x + + a1x + a0(an 6= 0); â c¡c A ÷ỉc gåi l h» sŁ, an l h» sŁ b“c cao nh§t v a0 l h» sŁ tü cıa a thøc N‚u = 0; i = 0; gåi l N‚u = 8i = 0; ; n v a0 6= th… ta câ b“c cıa a thøc l ;n th… ta coi b“c cıa a thøc l v a thøc khỉng T“p hỉp t§t c£ c¡c a thøc vợi hằ s lĐy v nh A l A[x]: ÷ỉc k‰ hi»u Khi A = K l mºt tr÷íng th… v nh K[x] l mºt v nh giao ho¡n câ ìn Ta th÷íng x†t A = Z;ho°c A = Q ho°c A = R: Khi â ta câ c¡c v nh a thøc t÷ìng øng l Z[x]; Q[x]; R[x]: T‰nh ch§t 1.1 (xem [2]) N‚u c¡c a thøc f(x) v g(x) nguy¶n tŁ cịng v c¡c a thøc f(x) v h(x) nguy¶n tŁ cịng th… c¡c a thøc f(x) v g(x)h(x) cơng nguy¶n tŁ cịng T‰nh ch§t 1.2 (xem [2]) N‚u c¡c a thøc f(x); g(x); h(x) thọa mÂn iãu kiằn f(x)h(x) chia ht cho g(x); g(x) v h(x) nguy¶n tŁ cịng th… f(x) chia h‚t cho g(x): T‰nh ch§t 1.3 (xem [2]) N‚u a thøc f(x) chia h‚t cho c¡c a thøc g(x) v h(x) vợi g(x) nguyản t th f(x) chia h‚t cho g(x)h(x): T‰nh ch§t 1.4 (xem [2]) N‚u c¡c a thøc f(x) v g(x) nguy¶n tŁ cịng th [f(x)] nguyản dữỡng m n v [g(x)] cụng nguyản t vợi mồi m; n nh lỵ 1.1 (xem [7]) [ ành l‰ v• nghi»m cıa a thøc] N‚u mºt a thøc b“c n v câ h» sŁ cıa sŁ h⁄ng câ b“c cao nh§t kh¡c th nõ cõ khổng quĂ n nghiằm nh lỵ 1.2 (xem [7]) [ ành l‰ Bezout] Cho a thøc P (x) R[x] v sŁ thüc P (x) v ch¿ P (x) (x Q(x) R[x] cho P (x) = (x ): ; â l nghiằm ca iãu n y cõ nghắa l tỗn ti ):Q(x): a thức nh lỵ 1.3 (Cổng thức khai trin Abel) Cho bº sŁ æi mºt kh¡c x1; x2; : : : ; xn Khi â måi a thøc P(x) vợi degP(x) < n+1 ãu vit ữổc dữợi dng P (x) = a0 + a1 (x x1) + a2 (x x1) (x x2) + + an (x x1) (x x2) : : : (x xn) : nh lỵ 1.4 ( ành l‰ Viet thu“n) Cho a thøc n P (x) = a0x + a1x n + a 2x n + : : : + an(a0 6= 0) câ n nghi»m l x1; x2; x3; : : : ; xn: Khi õ ta cõ nh lỵ 1.5 ( ành l‰ Viet £o) Ng÷ỉc l⁄i n‚u câ c¡c sŁ x 1; x2; x3; : : : ; xn thäa m¢n >x1 + x2 + : : : + xn = S1 < > > x1x2 + x1x3 + : : : + x1xn + : : : + xn 1xn = S2 :::::::::::::::::::::::::::::::::::: > : x1x2 : : : xn = Sn: th… x1; x2; x3; : : : ; xn l c¡c nghi»m cıa P (x) = x n n n S1 x + S2x a thøc n + : : : + ( 1) Sn: nh lỵ 1.6 ( nh l Lagrange) Nu f(x) l h m li¶n tưc tr¶n o⁄n [a; b]; khÊ vi trản khoÊng (a; b) th tỗn ti c (a; b) cho f0(c) = f(b) f(a) : b a Mt hằ quÊ rĐt quan trồng, ữổc Ăp dưng nhi•u gi£i to¡n cıa ành l‰ Lagrange, â l nh l Rolle: nh lỵ 1.7 ( nh l Rolle ) Cho f(x) l h m li¶n tưc tr¶n o⁄n [a; b]; kh£ vi tr¶n kho£ng (a; b) v f(a) = f(b) th tỗn ti c (a; b) cho f (c) = 0: nh lỵ 1.8 (BĐt flng thức Schur ) Cho cĂc s khổng Ơm a; b; c: Khi â vỵi måi r > ta câ b§t flng thøc r a (a r b)(a c) + b (b c)(b r a) + c (c a)(c b) 0: flng thøc x£y v ch¿ a = b = c ho°c a = b; c = v c¡c ho¡n t÷ìng øng C¡c tr÷íng hỉp th÷íng ÷ỉc dịng ” gi£i to¡n l r = 1; r = 2: 1.2 X¡c ành a thøc theo c¡c °c tr÷ng sŁ håc Trong phƒn n y ta kh£o s¡t c¡c b i to¡n v• x¡c ành a thức vợi hằ s nguyản v a thức nhn gi¡ trà nguy¶n tr¶n t“p sŁ tü nhi¶n düa v o c¡c °c tr÷ng sŁ håc nh÷: t‰nh chia h‚t, ỗng dữ, nguyản t nhau, B i toĂn 1.1 (Mathemmatical Reflection issue 4, 2015) T…m t§t c£ c¡c a thức P (x) bc vợi hằ s nguyản v thọa mÂn iãu kiằn 2 2 a + b c j P (a) + P (b) P (c); 8a; b; c Z; (a + b c2 6= 0): Líi gi£i Ta câ a +b 2 c j P (a) + P (b) P (c); 8a; b; c Z: Chån b = c; (1.1) ta câ P (a).a Suy P (a) = ma ; 8a Z; m Z: Chån b = 0; (1.1) ta ÷ỉc a 2 c j P (a) + P (0) P (c); 8a; b; c Z: Theo nh lỵ vã phữỡng trnh Pythagoras, luổn tỗn ti vổ sŁ c¡c c°p sŁ 2 nguy¶n (a; b) cho a + b = m ; m Z: Gồi hổp gỗm cĂc cp s nguyản (a; b) nh÷ th‚ l S Theo (1.3) ta câ 2 a +b Tł (1.1) v (1.4), ta suy 2 2 a +b Hay a +b Cho c ! +1 ta thu V“y P ( p ÷ỉc P ( 2 a + b ) = P (a) + P (b); 8a; b S: a2 + b2) = P (a) + P (b) Chån a = b = x ta p ÷ỉc P (x 2) = 2P (x); 8x R: n n1 Gi£ sß r‹ng P (x) = anx +an 1x +: : :+a1x+a0; Z; 8i = 0; n, sau â so s¡nh hằ s bc cao nhĐt tữỡng ứng hai v ta ÷ỉc p n an( 2) = 2an ) n = 2: Suy P (x) = a2x + a1x + a0; P (0) = n¶n a0 = 0: L⁄i tł P (x) x ; 8x Z n¶n a1 = 0: V“y a thøc cƒn t…m l P (x) = kx ; k Z tũy ỵ khĂc B i toĂn 1.2 (Olympic SV, 1996) Cho Pn(x) l m N Chøng minh r‹ng a thøc b“c n v cho thäa m¢n P (x k m Xi =0 Xi , óng vỵi måi sŁ thüc x 6= 0: V‚ tr¡i câ b“c n + 2km; v‚ ph£i câ b“c 2n + km: V“y n = km: Ta chøng tä m ph£i l· N‚u m chfin, â k °t y = x ; (3.13) , P (y óng vỵi måi sŁ thüc y 6= 0: — (3.15) cho y = th… flng thøc n y 2) P( V“y m l· =2 m £o l⁄i, ta s‡ chøng minh nu n = km v m là th tỗn ti b“c m l Pm(x) câ d⁄ng (3.12) thäa m¢n k ( °t y = x th… (3.16) ) (3.13)) Chøng minh quy n⁄p theo m Vỵi m = th P1(y) = y thọa mÂn (3.16) Vợi m = 3th… P 3(y) = y + 3y thäa m¢n (3.16) GiÊ sò  cõ P1(x); P3(x); : : : ; Pm(x) thäa m¢n (3.16) °t Pm+2(x) = (x + 2)Pm(x) P m+2 (y Pm 2(x): 64 a thøc P (x) (theo cĂch t trản) thọa mÂn k Pm(x Vy n = 1998m vỵi m l· B i to¡n 3.18 ( ã thi HSGQG nôm 2000, bÊng A ng y thø hai) Vỵi mØi a thøc h» sŁ thüc (x), k‰ hi»u Ap l t“p hæp c¡c sŁ thüc x cho P (x) = 0: T…m sŁ phƒn tß nhiãu nhĐt cõ th cõ ca Ap P (x) thuºc t“p hỉp c¡c a thøc h» sŁ thüc vìi bc t nhĐt l v thọa mÂn flng thức Líi gi£i K‰ hi»u T l v thäa mÂn P (x nhĐt l nhn xt sau Nhn xt 3.1 C¡c a thøc ( â v Nh“n x†t 3.2 N‚u P (x) = Q(x):G(x) vỵi måi x R; P (x); Q(x) T G(x) khæng ph£i l a thøc h‹ng th… G(x) T: v Chøng minh Ta câ P (x)P ( Q(x)Q( x)G(x vỵi måi x R: Tł hai flng thøc tr¶n suy G(x) T: °t T = Nh“n x†t 3.3 Gi£ sß P (x) T : Khi â, n‚u a Ap th… a f0; Chøng minh Ta s‡ chøng minh b‹ng ph÷ìng ph¡p quy n⁄p theo deg P (b“c cıa P (x)) Vỵi P (x) T m Nh“n x†t 3.3 óng vỵi måi P (x) T m GiÊ sò Nhn xt 3.3 úng vợi mồi P (x) T m 65 X†t P (x) f0; 1; 1; sŁ b† nh§t thuºc t“p Ap \ ( + N‚u x0 > v x1 Ap Ti‚p töc qu¡ tr…nh suy lu“n n y s‡ câ mºt d¢y sŁ t«ng (xn); (n = 0; 1; 2; : : :) ÷ỉc x¡c ành bði m måi sŁ h⁄ng cıa dÂy ãu thuc Ap + Nu v x1 A p: + N‚u x0 x2 Ap (do x1 Ap) Suy x2 x0 hay x0(x0 + 1)(x0 Tuy nhiản iãu n y khổng th xÊy T cĂc kt lun (3.19), (3.20), (3.21) suy tỗn t⁄i a0 Ap; m f0; 1; a f0; Tr÷íng hỉp 1: a0 f0; Suy ra, tr÷íng hæp n y, P (x) câ d⁄ng N‚u f0; 1g = Ap th hin nhiản cõ iãu phÊi chứng minh 1g Ap th… deg N‚u f0; 3.2, câ Q(x) T: Ta x†t a Ap f0; â Q(x) T ; suy theo (3.18), a f0; Tr÷íng hỉp 2: a0 = P (x) = ( 66 N‚u f 1g = Ap t÷ìng øng (f 2g = Ap) th hin nhiản ta cõ iãu phÊi chứng minh Ap t÷ìng øng (f 2g Ap ) th… deg Q(x) < k: V… v“y, theo c¡c Nh“n x†t 3.1, 3.2, ta câ Q(x) T: X†t a Ap f 1g t÷ìng øng N‚u f 1g (a Ap f 2g.) Tł (3.23) ta câ Q(a) = 0; v â Q(x) T : Theo (3.18), suy a f0; 1; 1; 2g: Nh÷ v“y, Nh“n x†t 3.3 óng vỵi måi P (x) T m deg P = k: Theo nguy¶n l‰ quy n⁄p, Nh“n x†t 3.3 ÷ỉc chøng minh Tł Nh“n x†t 3.3 ta câ jApj vỵi måi P (x) T : (3.24) Hin nhiản jApj = vợi mồi P (x) T jT : Kt hổp vợi (3.24) ta ữổc Ap vỵi måi P (x) T: Hìn th‚, câ P (x) = x(x + 1)(x x 1) th… P (x) T v jApj = 4: Suy giĂ tr lợn nhĐt ca jApj, vợi P T; b‹ng 4: 3.3 Ùng dưng t‰nh ch§t nghi»m cıa a thøc Nâi ‚n nghi»m cıa a thøc, ta nhỵ ‚n c¡c cỉng thøc Cardano nŒi ti‚ng ” gi£i ph÷ìng tr…nh b“c ba, ‚n c¡c k‚t qu£ v• a thøc câ nghi»m phøc vi»c ìn gi£n hâa c¡c bi”u thøc, T…m hi”u v• nghi»m cıa a thøc, ta khỉng ch¿ dłng l⁄i ð c¡c b i to¡n °c thò m s‡ cỈn i khai th¡c mºt sŁ øng dưng °c bi»t cıa nâ v o gi£i c¡c b i to¡n hằ phữỡng trnh, phữỡng trnh nghiằm nguyản, tnh giĂ tr bi”u thøc, gi£i mºt sŁ b i to¡n sŁ håc, B i toĂn 3.19 ( ã thi HSGQG nôm håc 2011- 2012, ng y thø nh§t) Cho c¡c c§p sŁ cºng (an); (bn) v c¡c sŁ nguy¶n m > 2: X†t m tam thøc b“c hai Pk(x) = x + akx + bk; k = 1; 2; 3; : : : ; m: Chøng minh r‹ng n‚u hai tam thøc P1(x); Pm(x) •u khỉng câ nghi»m thüc th… tĐt cÊ cĂc a thức cặn li cụng khổng cõ nghi»m thüc 67 Líi gi£i Ta chøng minh k‚t qu£ sau: N‚u a1 [ a1 + (1 Th“t v“y, ta câ [ a1 + (1 2 = (a1 Do a1 )am] 4b 4b1 < 0; am (a1 minh Trð l⁄i b i to¡n, P1(x) v am) n¶n v‚ ph£i cıa (3.25) < v Cỉng sai cıa c§p sŁ cºng (an) b‹ng bng bm b1 m ak Tữỡng tỹ, BƠy giớ Ăp dửng kt quÊ Â chứng minh trản vợi = k = ak 4bk P1(x); P2(x); : : : ; Pm(x) •u khỉng câ nghi»m thüc B i toĂn 3.20 GiÊi hằ phữỡng trnh sau vợi a1; a2; : : : ; an l n sŁ thüc æi mºt kh¡c n n n n n a x1 + a >1 < > n1 a x2 + : : : + a n1 x1 + a x2 + : : : + a xn + a = nn n xn + a = 22 22 > : n a n x1 + a n n x2 + : : : + a n n n xn + a n n = 0: 68 n Líi gi£i X†t a thøc f(u) = u + x1u n1 + + xn 1u + xn; tł h» tr¶n ta câ f(a1) = f(a2) = : : : = f(an) = 0: X†t a thøc g(u) = (u a1)(u a2)(u n n = u + A 1u a3) : : : (u an) + : : : + An 1u + An; â g(u) câ n nghi»m a1; a2; : : : ; an v deg g = n câ hằ s bc cao nhĐt bng nản theo nh lỵ Viet ta cõ >A1 = ( 1) (a1 + a2 + : : : + an) < > > : A2 = ( 1) (a1a2 + a1a3 + : : : + an 1an) :::::::::::::::::::::::::::::::::::: > An = a1a2a3 an: X†t a thøc h(u) = f(u) (xn An) Ta cõ deg h n phƠn biằt nản h(u) 0: Do â ta câ c¡c nghi»m cıa h» l x = A 1; x = A 2; : : : x n = A n: V“y nghi»m cıa h» l >x1 = ( 1) (a1 + a2 + : : : + an) < > > : x2 = ( 1) (a1a2 + a1a3 + : : : + an 1an) :::::::::::::::::::::::::::::::::::: > xn = a1a2a3 an: B i to¡n 3.21 Cho a thức P (x) bc bn cõ bn nghiằm dữỡng phƠn bi»t Chøng minh r‹ng ph÷ìng tr…nh sau cơng câ bŁn nghiằm dữỡng phƠn biằt 4x x P (x) + 1 4x P 0(x) P 00(x) = 0: x Lới giÊi Ta cõ ữỡng vợi 69 4x 0: x 0 P (x); suy Q (x) = P (x) °t Q(x) = P (x) P 00 (x) n¶n ta câ Q(x) + Q (x) = BŒ • 3.5 N‚u a thøc bc bn cõ nghiằm dữỡng phƠn biằt th a thøc Q(x) = P (x) P (x) công câ nghiằm dữỡng phƠn biằt Chứng minh Tht vy, khổng mĐt tnh tng quĂt, giÊ sò hằ s bc cao nhĐt ca P (x) l v ta cõ phƠn t‰ch P (x) = x ax + bx cx + d = (x x1)(x x2)(x x3)(x x3); vỵi x1 < x2 < x3 < x4 l c¡c nghiằm dữỡng ca a thức n y Theo nh lỵ Viet th… a; b; c; d > v ta công câ X P (x) = (x x1)(x x2)(x x3): Gi£ sß Q(x) = x a 1x + b 1x c1x + c + d th… Q(x1) = P (x1) P (x1) = (x1 x2)(x1 Q(x2) = P (x2) P (x2) = (x2 x1)(x2 x2) (x1 Suy Q(x1)Q(x2) = (x1 x3)(x1 x3)(x1 x3)(x2 x4)(x2 x4) x4): x3)(x2 x 4) < , tức l tỗn ti y1 [x1; x2] l nghiằm dữỡng ca Q(x): Tữỡng tỹ ta cụng thĐy rng Q(x) cõ thảm hai nghiằm dữỡng na l y2 [x2; x3]; y3 [x3; x4]: Gåi nghi»m d÷ìng thø t÷ l y4 th… y1 y2 y3 y4 = c + d > 0: Do ta ¢ câ y1; y2; y3; y4 > nản y4 > 0: B ãữổc chøng minh °t R(x) = t Q t công l mºt a thøc b“c v câ nghi»m dữỡng phƠn biằt nhữ Q(x): Theo nhn xt trản th a thức sau cụng cõ nghiằm dữỡng phƠn biằt 4 1 R(t) R (t) = t Q( t) 4t Q( t) t ( t2 )Q ( t) = (t 4t )Q( t)+t Q ( t): Tøc l phữỡng trnh sau cõ nghiằm dữỡng phƠn biằt (t 70 °t t = x th… ph÷ìng trnh sau cụng cõ nghiằm dữỡng phƠn biằt 4xQ(x) + Q0(x) = 0: x Suy i•u ph£i chøng minh B i to¡n 3.22 (HSGQG, 2009) Cho ba s thỹc a; b; c thọa mÂn iãu n n n kiằn: vợi mỉi s nguyản dữỡng n; a + b + c l mºt sŁ nguy¶n Chøng minh rng tỗn ti cĂc s nguyản p; q; r cho a; b; c l ba nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh x + px + qx + r = 0: n n n Líi gi£i °t Tn = a + b + c Z; 8n t⁄i c¡c sŁ nguyản p = Ta chứng minh rng tỗn a; b; c l ba nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh x + px + qx + r = Ta câ T1 = p; 2 T2 = a + b + c = (a + b + c) T3 = p + 3pq 3r = pT2 p Tn = pTn+2 p = T1 Z; T1; T2 Z suy 2q Z: 2T3 = 2p(p T4 = pT3 2 4p q + 4pr + 2q : 3T4 = 3p suy 6q Z: Ta chøng minh k‚t qu£ sau Ơy: Nu x l l cĂc s nguyản th x l Chøng minh.Ta chøng minh b‹ng ph£n chøng Gi£ sò 2x = k nguyản, x khổng nguyản Khi â k l l· k = 2m + 1; m Z: Suy x = m + nguy¶n ( mƠu thuÔn) 71 Vy iãu giÊ sò l sai, tức x nguy¶n Trð l⁄i b i to¡n tr¶n ta câ 2q; 6q nguy¶n n¶n q l sŁ nguy¶n Tł T3 Z suy 3r Z; °t r = Tł (1) suy rTn Z; 8n n¶n â mTn 3; 8n 1: N‚u (Tn; 3) = th… m suy r Z: 72 KTLUN Lu“n v«n "Mºt sŁ d⁄ng toĂn vã a thức qua cĂc ã thi Olympic  trnh b y ữổc nhng vĐn ã sau: Lun vôn trnh b y hằ thng cĂc nh nghắa, tnh chĐt, dng toĂn vã a thức sò dửng giÊi cĂc b i to¡n li¶n quan sŁ håc, ⁄i sŁ v giÊi tch Lun vôn  trung tm hi”u, thu th“p c¡c t i li»u v ph¥n lo⁄i cĂc ã thi Olympic theo dng v theo phữỡng phĂp giÊi chúng Lun vôn  xƠy dỹng ữổc hằ thng cĂc dng toĂn liản quan giúp nƠng cao hiu bit vã sƠu sc hỡn a thức 73 T i liằu tham khÊo [1] Lả HÊi ChƠu (2003), CĂc b i thi Olympic To¡n trung håc phŒ thæng Vi»t Nam (1990-2003), NXB Gi¡o dưc [2] Nguy„n V«n M“u (1993), a thøc ⁄i sŁ v ph¥n thøc hœu t , NXB Gi¡o dưc [3] Nguy„n V«n M“u (2015), Nºi suy a thức, nh lỵ v Ăp dửng, NXB GiĂo dửc [4] Nguyn Vôn Mu, Nguyn Vôn Tin (2010), Mt s chuyản ã i s bỗi dữùng hồc sinh giọi trung hồc ph thổng, NXB GiĂo dửc [5] Nguyn Vôn Mu, Lả Ngồc Lông, Phm th Long, Nguyn Minh TuĐn (2006), CĂc • thi Olympic To¡n sinh vi¶n to n quŁc, NXB Gi¡o döc [6] Library of Mathematics and Youth Journal (2007), The Vietnameses Mathematical Olympiad (1990-2006), Education Pub House [7] Nguy„n Hœu i”n (2003), a thøc v øng döng, NXB Gi¡o dưc [8] Vơ Ti‚n Vi»t (2017),T i li»u ỉn t“p Olympic to¡n sinh vi¶n , NXB ⁄i håc QuŁc gia H Nºi [9] Tı s¡ch to¡n håc v tuŒi tr·,C¡c b i thi Olympic to¡n THPT Vi»t Nam (1990- 2006), NXB Gi¡o döc 74 ... a thøc qua c¡c • thi Olympic nh‹m t…m hi”u, thu th“p c¡c t i li»u bi¶n son gỗm cĂc ã thi hồc sinh giọi toĂn THPT QuŁc gia, • thi to¡n QuŁc t‚, • thi Olympic sinh viản CĂc dng toĂn vã a thức rĐt... dành a thøc theo ph†p ìợc lữổng a thức 2.1a thức Chebyshev v cĂc t 2.2CĂc dng toĂn liản quan n 2.3ìợc lữổng, giĂ tr cüc trà c Mºt sŁ d⁄ng to¡n li¶n quan 3.1 a thức vợi hằ s nguyản v 3.2 a thøc... håc t“p, lun vôn "Mt s dng toĂn vã a thức qua c¡c • thi Olympic cơng cŁ g›ng tŁi a s›p x‚p theo tr…nh tü hỉp l‰ nh‹m gióp ti‚p c“n tng bữợc , tng mức kin thức v luyằn kắ nông giÊi toĂn Lun vôn