một số bài toán về đa thức một biến

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC MỘT BIẾNVí dụ 1.. Ngoài ra ta còn dùng định lí về số nghiệm của đa thức để chứng minh hai đa thức bằng nhau.. Các phương pháp thương sử dụng trong bài toán chứ

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC MỘT BIẾN

Ví dụ 1. Cho hai đa thức P (x)vàQ (x)đều có nghiệm thực và thỏa mãn

P¡1 + x +Q(x)2¢ = Q ¡1 + x + P(x)2¢

Chứng minh rằngP(x) ≡ Q(x)

Để so sánh đồng nhất thức, ta dựa vào định nghĩa sau:

Hai đa thức

f (x) =

m

X

k=0

a k x k , g(x) =

n

X

k=0

b k x k

bằng nhau khi và chỉ khi m = nvàa i = b i với mọi i = 0, n.

Ngoài ra ta còn dùng định lí về số nghiệm của đa thức để chứng minh hai đa thức bằng nhau Cụ thể:

Cho hai đa thức P, Q ∈ R [x] có n = max{deg(P),deg(Q)} Nếu đa thức P(x) − Q(x)

có ít nhất n + 1nghiệm phân biệt thìP(x) = Q(x) với mọi x.

Lời giải Ta chứng minh tồn tạiα đểP (α) = Q (α)

Gọia, blần lượt là nghiệmP (x) vàQ (x) Ta có

P(a)2− Q(a)2< 0 < P(b)2− Q(b)2

MàP(x)2− Q(x)2 là hàm liên tục nên tồn tạic sao choP(c)2= Q(c)2

Đặtα = 1 + c +Q(c)2= 1 + c + P(c)2thì ta có P (α) = Q (α)

Xét dãy (xn) : x0= α, xn+1= 1 + xn+ Q(xn)2, ta có dãy (xn) là dãy tăng thực sự và đều là nghiệm của phương trìnhP (x) = Q (x) Suy raP ≡ Q

Ví dụ 2. Xác định đa thức hệ số thực P (x)thỏa mãn

P¡(x + 1)2016¢ = (P(x) + 3x + 1)2016

− (x + 1)2016và P (0) = 0

Lời giải Dễ thấy P (x)không là đa thức hằng

ĐặtQ (x) = P (x) + x, ta có

Q¡(x + 1)2016¢ = (Q (x) + 2x + 1)2016 Xét dãy số(xn) :

(

x0= Q(0) = 0

xn+1= (1 + xn)2016.

Ta có

Q (x1) = Q¡(1 + x0)2016¢ = (Q(x0) + 2x0+ 1)2016= 1 = x21 Giả sửQ (xn) = x2n, ta có

Q (xn+1) = Q¡(xn+ 1)2016¢ = (Q(xn) + 2xn+ 1)2016=¡x2

n+ 2xn+ 1¢2016=£(xn+ 1)2016¤2

= x2n+1

Do đóQ (xn) = x2n với mọi n = 1,2, Mà dãy(xn)là dãy tăng thực sự nên ta cóQ (x) ≡ x2 Vậy P (x) = x2

Ví dụ 3. Cho hai đa thức P (x) ,Q (x)có hệ số cao nhất bằng1 và thỏa mãn

P (P(x)) = Q (Q(x))

Chứng minh rằngP(x) ≡ Q(x)

Lời giải ĐặtR (x) = P (x) − Q (x), gia sử deg (R) = k, 0 < k ≤ n − 1

Ta có

P (P(x)) − Q (Q(x)) = P (P(x)) − Q (P(x)) + Q (P(x)) − Q (Q(x)) = Q (P(x)) − Q (Q(x)) + R (P(x)) (1) Giả sửdeg (P) = deg(Q) = n, deg(R) = k,0 < k ≤ n − 1và

Q (x) = xn+ an−1xn−1+ + a1x + a0 Khi đó

Q (P(x)) − Q (Q(x)) = P(x)n− Q(x)n+

n−1

X

i=1

aihP(x)i− Q(x)i

i

(2) Vì

P(x)n− Q(x)n= R (x)

Ã

n−1

X

i=0

P(x)i.Q(x)n−1−i

!

nên đa thứcQ (P(x)) − Q (Q(x))có bậc bằng n2− n + k

Mặt khác đa thức R (P(x)) có bậc nk và nk ≤ n2− n + k nên vế trái của (1) có bậc bằng

n2− n + k Nhưng vế phải của (1) là đa thức không Điều này dẫn tới mâu thuẫn

Do đódeg (R) = 0hayR (x) = c

Khi đóP (x) = Q (x) + cnên P (P(x)) = Q (Q(x))trở thành

Q (Q(x) + c) + c = Q (Q(x))

Suy ra tồn tại vô số giá trị của y để:Q ( y + c) + c = Q (y)hayQ (x + c) + c = Q (x)với mọi x

Từ đây, suy ra c = 0hayR (x) = 0 ∀x

Vậy P (x) ≡ Q (x)

Bài tập 1. (T9/411) Cho hai đa thức hệ số thực P (x)vàQ (x)thỏa mãn

P¡1 + x +Q(x) +Q2(x)¢ = Q ¡1 + x + P(x) + P2(x)¢ , ∀x ∈ R

Chứng minh rằng nếu phương trìnhP (x) = Q (x)có nghiệm thì P (x) ≡ Q (x).

Ví dụ 4. Cho đa thức hệ số thựcP (x)thỏa mãnP (sin x) = P (cos x) với mọix.Chứng minh rằng tồn tại đa thứcQ (x)hệ số thực sao cho

P (x) = Q¡x4

− x2¢

Các phương pháp thương sử dụng trong bài toán chứng minh tồn tại

• Phản chứng

• Quy nạp

• Xây dựng

Lời giải Vìcos (−x) = cos xvàsin (−x) = −sin xnên ta cóP (sin x) = P (−sin x)

Dẫn tới P (−x) = P (x)với mọi x hayP (x) = R¡x2¢

Suy ra

R¡cos2x¢ = R ¡sin2x¢ ⇒ R (1 − x) = R (x) ĐặtT(x) = R(x +1

2) ⇒ R(x) = T(x −1

2), ta có:

T µ 1

2− x

¶

= T

µ

x −1 2

¶

hay

T (−x) = T (x)

Do đó T (x) = S¡x2¢

Vậy

P (x) = R¡x2¢ = T

µ

x2−1 2

¶

= S

µ

x4− x2+1

4

¶

= Q¡x4

− x2¢

Bài tập 2. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại một đa thức bậc n, hệ số nguyên f (x)với hệ số khởi đầu dương và đa thức hệ số nguyên g (x) thỏa mãn

x f (x)2+ f (x) =¡x3

− x¢ g(x)2

Bài tập 3. Cho đa thức P (x)thỏa mãnP (x) ≥ 0 ∀x Chứng minh rằng tồn tại hai đa thức

A (x) , B (x) sao cho

P (x) = A(x)2+ B(x)2

Bài tập 4 (Ấn Độ TST 2015) Cho hai đa thức f , gcó hệ số nguyên và hệ số cao nhất là

số thực dương Biếtdeg ( f )là số lẻ và

½

f (a)

¯

¯

¯

¯a ∈ Z

¾

= {g(a) |a ∈ Z } Chứng minh rằng tồn tại số nguyênk sao cho g (x) = f (x + k)

Bài tập 5 Cho dãy vô hạn các số nguyên p0, p1, ··· pn, ··· và một đa thức hệ số nguyên P(x)thỏa mãn đồng thời hai tính chất sau

i) m − n|p − p với mọi n > m ≥ 0

ii) |pn| < P(n)với mọi n ∈ N.

Chứng minh rằng tồn tại đa thức hệ số nguyênQ(x)sao choQ(n) = pn với mọi n ∈ N

Ví dụ 5 (Slovenia MO 2014) Tìm tất cả các đa thức hệ số thựcP (x) thỏa mãn

P (P(x)) =¡x2+ x + 1¢ P (x)

với mọix ∈ R

Lời giải NếuP (x)là đa thức hằng thì ta cóP (x) ≡ 0

Xétdeg (P) = n ≥ 1, giả sử P (x) = Pn

i=0

aixi vớian6= 0

deg (P (P(x))) = n2, deg¡(x2+ x + 1)P(x)¢ = n + 2

Suy ran2= n + 2 ⇒ n = 2 Do đóP (x) = ax2+ bx + c, a 6= 0

Đồng nhất hệ số ta tìm được a = b = 1, c = 0 Do vậy P (x) = x2+ x

Ví dụ 6 (T9/416) Tìm tất cả các đa thức hệ số thựcP (x) thỏa mãn

(

P (2) = 12

P¡x2¢ = x2¡x2+ 1¢ P (x), ∀x ∈ R.

Lời giải Đặt deg (P) = n Từ hệ thức P¡x2¢ = x2¡x2+ 1¢ P (x) (1) ta có 2n = n + 4, suy ra

n = 4

Từ (1), suy raP (x) .x (x + 1), suy ra P¡x2¢ .x3 và khi cho x = 1ta đượcP (1) = 0

Suy raP (x) = ax2(x + 1)(x − 1)

DoP (2) = 12nên ta tìm đượca = 1

Vậy P (x) = x4− x2là đa thức cần tìm

Ví dụ 7. Tìm đa thức P ∈ Zbiết

P(x2) = 1

16[P(2x)]

2

Lời giải ĐặtP(x) = Pn

i=0

aixi, an6= 0, ai∈ Z

Ta có P¡x2¢

có hệ số bậc cao nhất bằng an và 1

16[P(2x)]

2 có hệ số của bậc cao nhất bằng 1

16.(2

nan)2

Do đó, ta có

4na2n= 16an⇔ an=16

4n

Vìan∈ Znên n = 0,1,2

+) n = 0 ⇒ P(x) = C, ta cóC = 1

16C

2⇒ C = 0, C = 16 +) n = 1 ⇒ P(x) = ax + b ⇒ ax2+ b = 1

16(2ax + b)2⇒ b = 0, a = 4 ⇒ P(x) = 4x +) n = 2 ⇒ P(x) = x2+ bx + c ⇒ x4+ bx2+ c = 1

16£4x2+ 2bx + c¤2⇒ b = c = 0 Suy raP(x) = x2

Vậy P(x) ≡ 0, P(x) ≡ 16, P(x) = 4x, P(x) = x2 là các hàm cần tìm

Ví dụ 8. Tìm đa thức P ∈ R[x] biết

P(x2) = [P(x)]2

Lời giải Ta thấy nếuP ≡ C thìC = 0hoặcC = 1

Xét P không là đa thức hẳng Khi đó, ta đặt P(x) = Pn

i=0

anxn, an6= 0,ai∈ R

So sánh hệ số cao nhất của hai đa thứcP(x2)và[P(x)]2 ta cóan= 1

So sánh hệ số tự do của hai đa thức trên ta cóa0= a20⇒ a0= 0hoặc a0= 1

+)a0= 1, ta có hệ số của xtrong [P(x)]2 bằng2a1

CònP¡x2¢

là đa thức bậc chẵn nên ta có2a1= 0 ⇔ a1= 0

Giả sửak với3 ≤ k ≤ n − 1là chỉ số thỏa ak6= 0và ai= 0, ∀i = 2, 3, , k − 1

Khi đóP(x) = xn+ + akxk+ 1

Suy raP¡x2¢ = x2n+ + akx2k+ 1 và

[P(x)]2=

³

x2n+ + akxk+ 1

´2

So sánh hệ số của xk trong hai đa thức trên ta có2ak= 0 ⇒ ak= 0

Do đó P(x) = xn+ 1, ta thấy đa thức này không thỏa bài toán

+)a0= 0 ⇒ P(x) = xkQ(x), Q(0) 6= 0

NếuQ(x)không là đa thức hằng thì từP(x2) = [P(x)]2 ta cóQ(x2) = Q2(x) ⇒ Q(x)không tồn tại

Do đó P(x) = xn Vậy P ≡ 0, P ≡ 1, P ≡ xn

Chú ý:Xét phương trình hàm đa thức

Nghiệm của phương trình (I) có một số tính chất thú vị sau:

Tính chất 1: NếuP, Q là hai nghiệm của (I) thìP.Q cũng là nghiệm của (I) Từ đó, suy

ra nếuP là nghiệm của (I) thì Pn cũng là nghiệm của (I).

Tính chất 2:Nếudeg( f ) + deg(g) = deg(h)và thỏa mãn một trong hai tính chất sau i)deg( f ) 6= deg(g)

ii)deg( f ) = deg(g)và af + ag6= 0vớiaf,agtương ứng là hệ số cao nhất của f và g

thì với mỗi số nguyên dươngn,tồn tại nhiều nhất một đa thức P(x)bậc nthỏa mãn (I).

Ví dụ 9. Tìm đa thức P ∈ R[x] thỏa mãn

P(x).P(2x2) = P(2x3+ x)

Lời giải Ta thấy các điều kiện của định lí 2 đều thỏa mãn Bằng cách thử trực tiếp ta

thấy :

+) VớiP(x) = ax + b thì ta không tìm đượca, b

2

Suy ra P(x) = (x2+ 1)k là nghiệm của phương trình đã cho Đo đó nếu P(x)là đa thức bậc chẵn thì P(x) = (x2+ 1)k

XétP(x)là đa thức bậc lẻ Ta chứng minh không tồn tại đa thức bậc lẻ thỏa phương trình

đã cho

Thật vậy, nếu tồn tại đa thức như thế thì P(x) sẽ có ít nhất một nghiệm thực, ta gọi nghiệm đó là α Khi đó, ta xét dãy(xn) : x0= α, xn+1= 2x3n+ xn vớin ≤ 0 Ta có P(xn) = 0với mọin

+) Nếu α > 0thì ta có dãy(xn)là dãy tăng thực sự, suy ra P(x) = 0có vô số nghiệm Điều này vô lí

+) Nếuα < 0thì dãy(xn)là dãy giảm thực sự nên ta cũng suy ra điều vô lí

Do đóα = 0, suy raP(x) = xm.Q(x)vớiQ(0) 6= 0

Thay vào phương trình ban đâu ta có

2mx2mQ(x)Q(2x2) = (2x2+ 1)mQ(2x3+ x) Cho x = 0ta cóQ(0) = 0(vô lí)

Do vậy không tồn tại đa thức bậc lẻ thỏa bài toán

Ví dụ 10 (HCM ngày 1, 2013)Tìm đa thứcP(x)hệ số thực thỏa

P(x).P(x − 3) = P(x2) ∀x ∈ R

Lời giải. •NếuP(x) = k, từ giả thiết ta có k2= k ⇔ k = 0, k = 1

•Xétdeg(P) ≥ 1 Gọiαnghiệm phức của đa thức P(x)

Từ P(α2) = P(α).P(α − 3) = 0nênα2 cũng là nghiệm củaP(x)

Bằng quy nạp ta chứng minh được

α,α2

,α4

, ,α2n

,

đều là nghiệm củaP(x)

Vì nghiệm củaP(x)là hữu hạn nên

Mặt khác P((α + 3)2

) = P(α + 3).P(α) = 0 nên ta cũng có được dãy

(α + 3)2

, (α + 3)2 2

, , (α + 3)2 n

,

là nghiệm củaP(x)Suy ra

Tuy nhiên rằng không có số phức nào thỏa mãn đồng thời (1) và (2)

Vậy P(x) ≡ 0, P(x) ≡ 1

Ví dụ 11. Tìm tất cả các đa thứcP (x) hệ số thực sao cho với mọi a, b, cthỏa a + b + c = 0

thì

P¡a3¢ + P ¡b3¢ + P ¡c3¢ = 3P (abc) (1)

Lời giải Không mất tính tổng quát, ta giả sửP (0) = 0.

Trong (1), chọn a = x, b = −x, c = 0ta có

P¡x3¢ + P ¡−x3¢ = 0 ⇒ P (x) = −P (−x) ∀x

Trong (1), chọn a = b = x, c = −2xta có

2P¡x3¢ − P ¡8x3¢ = −3P ¡2x3¢ Hay

Giả sửP (x) = Pn

k=0

akxk, n ≥ 1, an6= 0 So sánh hệ sốxn trong (2) ta thu được:

2an− an.8n= −3.an.2n⇔ 2 + 3.2n= 8n⇒ n = 1

Vậy P (x) = ax + bvớia, b ∈ R

Ví dụ 12. Tìm tất cả các đa thức f (x) có hệ số nguyên và f (a) + f (b) + f (c) chia hết cho

a + b + cvới mọi số nguyên a, b, c

Lời giải Với mọi số nguyên m, nta có f (m) − f (n) .m − n.

Suy ra f (a) − f (−(b + c)) .a + b + c, mà f (a) + f (b) + f (c) .a + b + c

Nên ta có được f (b) + f (c) + f (−(b + c)) .a + b + cvới mọia, b, c.

Choalớn tùy ý ta có f (b) + f (c) = −f (−(b + c))

Cho c = bta có2 f (b) = −f (−2b)(1) Giả sử f (x) = anxn+ + a1x + a0

So sánh hệ số của xn trong hai vế của (1) ta được:

2anbn= −an(−2)nbn⇒ a = −(−2)n⇒ n = 1

Hơn nữa, cũng từ (1) ta có f (0) = 0nên suy ra f (x) = kx, k ∈ Z

Kiểm tra lại dễ thấy f (x) = kx, k ∈ Zthỏa bài toán

Vậy f (x) = kx, k ∈ Zlà đa thức cần tìm

Ví dụ 13 (TST EGMO 2014).Gọi d (n) là ước nguyên tố nhỏ nhất của số nguyên n ∉ {0, −1,1} Xác định tất cả các đa thức hệ số nguyên P (x)thỏa mãn

với mọi số nguyênn > 2014 vàP (n) ∉ {0,−1,1}.

Lời giải Xétdeg (P) = n ≥ 2và plà số nguyên tố, ta có:

P (p + d(p)) = p + d (P(p)) ⇔ P (2p) = p + d (P(p))

Suy ra

|P (2p)| ≤ p + |P (p)| ⇒

¯

¯P (2p)¯

¯

Khi cho p → +∞thìV T (2) → 2nvà V P (2) → 1 Điều này vô lí, do đódeg (P) ≤ 1.

+)deg (P) = 1 ĐặtP (x) = ax + b, chox = pta có

2a p + b = p + d (P(p)) ⇔ (2a − 1) p + b = d (ap + b)

Với pđủ lớn, ta có2a − 1 > 0 ⇒ a ≥ 1 Nhưng, khi đó

(2a − 1) p + b ≥ ap + b ≥ d (ap + b)

Nên ta cóa = 1và d(n) + b = d (n + b)(3)

Nếu b > 0, khi đó với n = 2k− b ta cóV T(3) ≥ 3 > V P(3) = 2vô lí

Nếu b < 0, ta chọn n = 2k ta cóV T (3) ≤ 1 < 2 ≤ V P(3)vô lí

Do đó b = 0hayP (x) = x

+)deg (P) = 0, ta cóP (x) = C, C ∉ {0,−1,1}

Bài tập 6 (VMO 2006) Hãy xác định tất cả các đa thức P (x) với hệ số thực, thoả mãn

hệ thức sau:

P¡x2¢ + x(3P (x) + P (−x)) = (P (x))2

với mọi số thực x.

Bài tập 7 (Hy Lạp TST 2014).Tìm tất cả các đa thức hệ số thựcP (x) thỏa mãn

P(x)3+ 3P(x)2= P¡x3¢ − 3P (−x) (1)

với mọi x ∈ R

Bài tập 8 (Hy Lạp MO 2014).Tìm tất cả các đa thức hệ số thựcP (x) thỏa mãn

(x2− 6x + 8)P(x) = (x2+ 2x)P(x − 2)

với mọix.

Bài tập 9. Tìm đa thức hệ số nguyên P (x)thỏa mãn

với mọix ∈ R Trong đóPn(x) = P (P ( P(x))).

Bài tập 10. Tìm đa thức hệ số thực P (x)thỏa mãn

(P(a) + P(b))(P(c) + P(d)) = P(ac + bd) + P(ad − bc) (1)

với mọia, b, c, d ∈ R.

Bài tập 11. Cho đa thức P (x) = anxn+ an−1xn−1+ + a1x + a0 có bậc n ≥ 1 và các hệ số không âm BiếtP (4) = 2, P (16) = 8vàP (8) = 4 Xác định đa thứcP (x).

Bài tập 12 (T9/421) Tìm tất cả các đa thức hệ số thực P (x)thỏa mãn

P2(x) − 1 = 4P¡x2− 4x + 1¢

Bài tập 13 (Canada MO 2013) Tìm đa thức P(x)thỏa mãn đa thức

(x + 1) P(x − 1) − (x − 1) P(x)

là đa thức hằng

Bài tập 14 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực P (x)thỏa mãn

với mọi a, b, c ∈ Rthỏa mãnab + bc + ca = 0

Bài tập 15 (IMO 2004) Tìm tất cả các đa thức hệ số thựcP (x) thỏa mãn

P (a − b) + P (b − c) + P (c − a) = 2P (a + b + c) với mọi số thực a, b, cthỏa mãnab + bc + ca = 0

Bài tập 16 (Albanian BMO TST 2009) Tìm các đa thức P (x) có bậc không vượt quá

n, các hệ số thực không âm và thỏa mãn

P (x) P

µ 1 x

¶

≤ P(1)2 với mọi x > 0

Bài tập 17 (Thái Lan MO 2014) Tìm tất cả các đa thức hệ số nguyênP (x) sao cho

P (n)¯¯2557n+ 213 × 2014 , với mọi n ∈ N∗

Bài tập 18 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn :

P2(x) + P2

µ 1 x

¶

= P(x2)P

µ 1

x2

¶