Một số dạng toán về đa thức.PDF

Lê Đình Nam, luận văn cao học chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp với đề tài “Một số dạng toán về đa thức” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tôi trong thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG -

Hà Nội – 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

-

THÂN VĂN DỰ - C00439 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60460113

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ ĐÌNH NAM

Hà Nội – 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn của TS Lê Đình Nam, luận văn cao học chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp với đề tài “Một số dạng toán về đa thức” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Thăng Long

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 15 tháng 6 năm 2016

Tác giả

THÂN VĂN DỰ

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu 1

1 Tổng quan về đa thức 3

1.1 Vành các đa thức một biến ……….3

1.2 Nghiệm của đa thức ……… ….4

1.3 Một vài biểu diễn đa thức ………8

2 Các bài toán về nghiệm của đa thức 10

2.1 Các bài toán về số nghiệm của đa thức ……….10

2.1.1 Tìm nghiệm của đa thức với hệ số nguyên……….10

2.1.2 Đa thức không có nghiệm hữu tỉ ….……… 12

2.1.3 Sự tồn tại nghiệm thực của đa thức ……….……… 18

2.2 Các bài toán về đánh giá, ước lượng nghiệm của đa thức ………26

2.2.1 Một số định lý về ước lượng nghiệm ……….26

2.2.2 Một số ví dụ ……… ………30

3 Các bài toán về xác định đa thức 33

3.1 Xác định đa thức dựa vào đặc trưng nghiệm ……… 33

3.2 Xác định đa thức thỏa mãn P f x   .P g x   P h x    ………….40

3.3 Xác định đa thức thỏa mãn P f x   .P g x   P h x   Q x  … 50

4 Một số dạng toán khác về đa thức 53

4.1 Các bài toán về tính chia hết của đa thức ……….53 4.1.1 Đa thức P x  chia hết cho đa thức Q x  ……….53 4.1.1.1 Chứng minh đa thức P x  chia hết cho đa thức Q x  … 53 4.1.1.2 Tìm điều kiện của tham số để đa thức P x  chia hết cho đa

4.1.2 Các bài toán chia hết của biểu thức nghiệm của đa thức …………63 4.2 Ứng dụng đa thức để giải toán ……… 64 4.2.1 Ứng dụng đa thức giải hệ phương trình ………64 4.2.2 Ứng dụng đa thức chứng minh bất đẳng thức ………72 4.2.2.1 Ứng dụng đa thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức …….72 4.2.2.2 Ứng dụng đa thức bậc ba để chứng minh bất đẳng thức …77

Kết luận ……… 83 Tài liệu tham khảo ……….84

LỜI NÓI ĐẦU

Đa thức là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong toán học nói chung

và trong đại số nói riêng Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán quốc tế, thi Olympic sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng thì các bài toán về đa thức cũng được đề cập nhiều và được xem là một dạng toán khó ở bậc trung học phổ thông

Hiện nay đã có nhiều tài liệu viết về đa thức Tuy nhiên các tài liệu này chủ yếu trình bày về lý thuyết xây dựng và các tính chất của đa thức, bài tập áp dụng còn ít Với mong muốn có một tài liệu tham khảo hữu ích giúp cho học sinh tự ôn tập và giáo viên có tài liệu tham khảo để giảng dạy và tự sáng tác được các bài toán về đa thức, tác giả đã chọn đề tài “Một số dạng toán về đa thức”

Các bài toán về đa thức khá là phong phú, Tuy nhiên ở đề tài này tác giả chọn một số chủ đề cơ bản về đa thức hay gặp trong các kì thi học sinh giỏi:

Chương 1 Tổng quan về đa thức: Trình bày các khái niệm và các tính

chất cơ bản của đa thức

toán về số nghiệm của đa thức, các bài toán về đánh giá, ước lượng nghiệm

Chương 3 Các bài toán về xác định đa thức: Trình bày một số dạng bài

toán xác định đa thức điển hình hay gặp trong các kì thi học sinh giỏi

Chương 4 Một số dạng toán khác: Trình bài cách giải bài toán chứng

minh đa thức P x  chia hết cho đa thức Q x , bài toán tìm điều kiện của tham

2

số để đa thức P x  chia hết cho đa thức Q x  và ứng dụng của đa thức vào giải

hệ phương trình đối xứng và chứng minh bất đẳng thức

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại Học Thăng Long dưới sự hướng dẫn của TS Lê Đình Nam, giảng viên Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cám ơn đến các thầy cô trong khoa toán Trường Đại Học Thăng Long đã hướng dẫn tác giả trong những năm vừa qua

và lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Đình Nam người đã tận tình hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này

Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ có hạn nên bản luận văn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định Tác giả rất mong

sẽ nhận được những đóng góp quý báu của thầy cô và bạn đọc để bản luận văn này được hoàn thiên hơn

Tôi xin chân thành cám ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 6 năm 2016

Tác giả

THÂN VĂN DỰ

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN VỀ ĐA THỨC

Trong chương này sẽ trình bầy các khái niệm và các tính chất cơ bản của

đa thức: Khái niệm vành đa thức trên một miền nguyên, nghiệm của đa thức, các định lý thường gặp của đa thức như định lý Bezoút, Viéte, định lý cơ bản của đại số, định lý giá trị trung bình… và các biểu diễn đa thức quen thuộc như

biểu diễn Lagarange, biểu diễn Taylor, biểu diễn Newton

4

Bằng việc kiểm tra các tính chất thủ tục, ta rút ra được rằng với hai phép toán cộng và nhân đã nêu thì K x  trở thành một vành giao hoán có đơn vị 1 Khi đó K x  được gọi là vành các đa thức của biến x trên K, các phần tử của

Quy ước: Đa thức 0 là đa thức có bậc 

Định lý 1.1 Cho K là một miền nguyên Khi đó vành các đa thức K x  là một miền nguyên Ngoài ra, nếu f x g x   , K x  là các đa thức khác đa thức 0, thì

   

deg f x g x deg f x degg x

1.2 NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

Định nghĩa 1.2 Cho đa thức

Định nghĩa 1.3 Cho đa thức P x K x  và K Nếu tồn tại một số tự nhiên k sao cho P x  chia hết cho  k

x nhưng P x  không chia hết cho

 k 1

x  thì  được gọi là nghiệm bội bậc k của P x  Khi k1 thì  được gọi là nghiệm đơn, k 2 thì  được gọi là nghiệm kép

Định lý 1.2 (Bezoút)

Phần tử  là một nghiệm của đa thức bậc dương P x K x  nếu và chỉ nếu P x   x    Q x với Q x K x  và degQ x degP x 1

Hệ quả 1.1

Cho đa thức bậc dương f x K x  Khi đó, ta có:

i Nếu 1, ,mK là các nghiệm của f x , thì

Định lý 1.3 (Định lý cơ bản của đại số)

Cho đa thức f x   x bậc dương n Khi đó f x  có ít một nghiệm phức

a a

phân số tối giảm p

q là nghiệm của đa thức f x  thì:

a) p a0 và q a n; b) pmq f m   với m

Định lý 1.6 (Định lý giá trị trung gian của đa thức liên tục)

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn  a b; , nhận giá trị thực trên đoạn

 a b; Nếu f a  f b  thì với mỗi số thực M nằm giữa f a  và f b , tồn tại ít nhất một điểm c a b; sao cho f c M

Hệ quả 1.6.1

Cho đa thức P x   x Nếu tồn tại ,a b sao cho P a P b    0

thì phương trình P x 0 có nghiệm thực trong  a b;

Định lý 1.7 (Định lý Rolle)

Cho hàm số thực f x  liên tục, xác định trên  a b; , có đạo hàm trên

 a b; và f a  f b  Khi đó tồn tại c a;b sao cho f c' 0

8

Gọi N P  là số nghiệm âm của đa thức P x  (đếm cả bội) và W P  là

số lần đổi dấu trong dãy các hệ số khác không của đa thức P x Thế thì

a  Nếu a a n o 0 thì số nghiệm dương của đa thức P x  (đếm cả bội) là

số chẵn, nếu a a n 0 0 thì số nghiệm dương của đa thức P x (đếm cả bội) là

k i

10

CHƯƠNG 2

CÁC BÀI TOÁN VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

Trong chương này trình bày hai dạng toán về nghiệm của đa thức: Dạng

1 là các bài toán về số nghiệm của đa thức, dạng 2 là các bài toán về đánh giá ước lượng nghiệm

2.1 CÁC BÀI TOÁN VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

2.1.1 Tìm nghiệm của đa thức với hệ số nguyên

Phương pháp giải: Để tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức

Ta thực hiện như sau:

Bước 1 : Sử dụng định lý 1.5 ta nhẩm nghiệm của đa thức f x  ;

Bước 2 : Sử dụng sơ đồ Hoocne để phân tích đa thức f x  thành tích các đa thức bậc nhỏ hơn

Chú ý :

 Nếu tổng các hệ số của đa thức bằng 0 thì đa thức có nghiệm x1;

 Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì đa thức có nghiệm x 1

Ví dụ 1 Tìm nghiệm của đa thức

f x  x x  x  x

Giải :

 là nghiệm của đa thức f x 

Sử dụng sơ đồ Hoocne ta phân tích       2 

2.1.2 Đa thức không có nghiệm hữu tỉ

Phương pháp giải : Để chứng đa thức không có nghiệm hữu tỉ ta sử dụng

phương pháp chứng minh phản chứng Ta giả sử đa thức có nghiệm hữu tỷ p

14

Nhận xét : Bài toán trên vẫn đúng nếu ta thay 2016 bởi một số nguyên dương bất kỳ Ví dụ 3 dưới đây là bài toán tổng quát của Ví dụ 2

Ví dụ 3

Cho đa thức f x   x và giả sử f       0 f 1 f 2 f n1 không chia hết

cho n với n là một số nguyên dương bất kỳ Chứng minh rằng f x  không có nghiệm nguyên

Do P   0 ,P 1 đều là những số lẻ nên 0  , 1  cũng là những số nguyên

lẻ Điều này vô lý vì 0  , 1  là hai số nguyên liên tiếp nên phải có một

Ví dụ 5

Cho đa thức P x   x thỏa mãn P2015 k P 2016k2017k với k

là một số nguyên dương cho trước Chứng minh đa thức này không có nghiệm nguyên

2015k là số lẻ còn 2016k là số chẵn Mâu thuẫn này chứng tỏ điều giả sử là sai

Vậy đa thức này không có nghiệm nguyên

Điều này vô lý do vế phải là một số lẻ vì x x1, 2 đều là số chẵn

Trường hợp 2 : Giả sử đa thức f x  có nghiệm kép x1x2 Khi đó f x1 0

Điều này không thể xảy ra vì

Để chứng minh một đa thức không có quá n nghiệm nguyên ta thường

sử dụng phương pháp phản chứng Khi chứng minh ta sử dụng thêm các tính chất về chia hết, tính chẵn lẻ của số nguyên, sự phân tích một số nguyên thành tích các số nguyên khác…

18

2.1.3 Sự tồn tại nghiệm thực của đa thức

Dạng 1 Chứng minh đa thức có nghiệm thực

Dãy dấu của các hệ số là + - - + nên số lần đổi dấu của dãy hệ số là W2 Gọi

số nghiệm dương của đa thức P x  là N Theo quy tắc dấu Descates thì N 2

Giải :

Dãy dấu       nên số lần đổi dấu của dãy hệ số là W2 Gọi số nghiệm dương của đa thức là N Theo quy tắc dấu Descartes thì N 2 và 2N là số chẵn nên N 0 hoặc N 2 mà P   0 P 1   38 0 nên đa thức có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng  0;1 Suy ra N 2 tức đa thức P x  có đúng hai nghiệm dương

G x P    x x x x  x  x Dãy dấu các hệ số là       nên số lần đổi dấu các hệ số của đa thức là

WG 3 Gọi số nghiệm dương của G x  là N G Theo quy tắc dấu Descartes

thì N G 3 và 3N G là số chẵn nên N G 1 hoặc N G 3 Do đa thức G x  có

ít nhất một nghiệm dương nên đa thức P x  có ít nhất một nghiệm âm

Ví dụ 3 (Đề thi học sinh giỏi quốc gia – VMO 2003)

Cho hai đa thức

Q x Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 4 (Đề thi Olympic Toán sinh viên 2001)

Cho , b,c,d,ea là các số thực Chứng minh rằng nếu phương trình

hai nghiệm thực phân biệt

Giải:

Đa thức P x  liên tục trên Ta có

 lim

22

dễ thấy số nghiệm thực của P x  chính là số nghiệm thực của f x  Do đó

 

f x cũng có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt Theo định lý Rolle f ' x có

ít nhất hai nghiệm thực phân biệt Mà

  2     

f x e xP x P x Vậy đa thức Q x 2xP x P x'  có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt

Dưới đây là một số ví dụ sử dụng kỹ thuật này để giải

Ví dụ 6 (Đề thi Olympic Toán sinh viên 2012)

Cho đa thức P x  bậc n2 với hệ số thực và đa thức Q x  cho bởi hệ thức    2         2    2

Nếu bc là hai không điểm liên tiếp của P x  thì theo định ly Rolle hàm

Cho đa thức P x  bậc 2016 có 2016 nghiệm dương Chứng minh rằng

đa thức sau có đúng 2017 nghiệm dương

g x e P x ,

  x(    )

g x e P x P x

Do P x  có 2016 nghiệm dương c c1, 2, ,c2016 nên g x  cũng có 2016

nghiệm dương c c1, 2, ,c2016 Theo định lý Rolle g x  có ít nhất 2015 nghiệm

24

Gọi x2016 là nghiệm còn lại của đa thức P x P x 

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

x x x là nghiệm của đa thức P x P x 

Theo định lý Viéte ta có x x1 2 x2016a0 a1 0 nên x2016 0

Suy ra đa thức P x P x  có 2016 nghiệm dương Mặt khác

Phương pháp 1: Để chứng minh một đa thức không có nghiệm thực ta phân

tích đa thức đã cho về dạng tổng các biểu thức luôn âm (luôn dương) hoặc tích các biểu thức không âm

Phương pháp 2: Để chứng minh một đa thức không có nghiệm thực ta xây

dựng một dãy vô hạn, đôi một khác nhau các nghiệm thực của đa thức Từ đây

suy ra điều vô lý (Một đa thức khác không bậc n có tối đa n nghiệm trên một

26

n n

P x a a xa x  a x  x a n 0 thỏa mãn

P x P x P x   x x Chứng minh rằng đa thức P x  không có nghiệm thực

Vậy đa thức P x  có vô số nghiệm (vô lý)

Trường hợp 3 : x0 0, suy ra a0 0 Gọi k là chỉ số nhỏ nhất mà a k 0

kn Khi đó   k n

P x a x  a x Theo giả thiết     3 3   

P x P x P x x Đồng nhất hệ số của k

x ở hai về của (*) ta được a k 0 (vô lý) Vậy đa thức

 

P x không có nghiệm thực

2.2 Các bài toán về đánh giá, ước lượng nghiệm

2.2.1 Một số định lý về ước lượng nghiệm

Định lý 2.1 (Cauchy)

Nếu x0 thì phương trình f x 0 tương đương với F x 0

Dễ thấy F x  là hàm liên tục trên khoảng 0; và khi x tăng dần từ 0 đến

 thì F x  giảm nghiêm ngặt từ  đến a n Do đó F x  có nghiệm dương duy nhất là p Mặt khác do

Ta còn phải chứng minh nếu x0 là một nghiệm của P x  thì q x0  p

Giả sử q p Do F x  nghịch biến nên F q F p  Suy ra F q 0

hay f q 0

Mặt khác, a x n 0n  a x n1 0n1 a0

và có ít nhất một số b i 0 Nếu ước chung lớn nhất của các chỉ số của các hệ

số dương b i bằng 1 thì f x  có nghiệm thực dương duy nhất và module của các nghiệm khác nhỏ hơn p

k k

b b

Gọi x 0 là nghiệm khác p của f x  Đặt q x Ta có

maxmin

30

a i a

 

    nên 1

i i

a a

a a

i

f i i



 

 

Áp dụng định lý Enestrom-Kakeya ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2 Cho 0  1 Chứng minh rằng với mọi , ,a b c thỏa mãn

0

a  b c , phương trình 3 2

0

z az bz c có ít nhất một nghiệm thỏa mãn z  2 

32

Suy ra tồn tại một nghiệm z i sao cho z i  1 1

Ta có z i  z i   1 1   z i   1 1      1 1  2  Ta được điều phải chứng minh

CHƯƠNG 3

CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH ĐA THỨC

Trong chương này trình bầy ba dạng toán về xác định đa thức: Dạng 1 xác định đa thức dựa vào đặc trưng nghiệm, ngoài ra ta còn xét thêm 2 dạng toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi đó là : Dạng 2 xác định đa thức thỏa mãn điều kiệnP f x P g x       P h x   , dạng 3 xác định

đa thức thỏa mãn điều kiện P f x P g x       P h x   Q x 

3.1 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC DỰA VÀO ĐẶC TRƯNG NGHIỆM

Ví dụ 1 Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn

x1   P x  x 2016 P x1

Giải:

Xét phương trình: x1   P x  x 2016 P x1 (*)

Với x 1 ta có P 0 0  x 0 là nghiệm của P x 

Với x2016 ta có P20160  x 2016 là nghiệm của P x 

Thay (1) vào (*) ta được Q x Q x  1 Q x c

Vậy P x c x x  1x2  x2016 với c = const

Ví dụ 2 (Đề thi Olympic Toán sinh viên 2000)

Cho ,a b Tìm tất cả các đa thức P x  thỏa mãn

Thay x b a vào (*) ta được x  b 2a là một nghiệm của P x  Cứ như vậy ta có x b na n,  là nghiệm của P x  Rõ ràng bka b la với

k l Suy ra đa thức P x  có vô số nghiệm, Vậy P x 0

Thay vào (*) ta được xQ x a    x a Q x   x (**)

Thay x0 vào (**) ta thấy x 0 là nghiệm của Q x  suy ra

   

Q x xR x

Thay vào (**) ta được R x a   R x , suy ra R x  c const

Vậy P x cx x  b ax b 2a x b n1a

Ví dụ 3 (Đề thi học sinh giỏi quốc gia – VMO 2003)

Tìm tất cả các đa thức P x   x sao cho