Một số dạng toán về đa thức.PDF

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - THÂN VĂN DỰ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2016 Footer Page of 126 Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - THÂN VĂN DỰ - C00439 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ ĐÌNH NAM Hà Nội – 2016 Footer Page of 126 Thang Long University Library Header Page of 126 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan giúp đỡ, hướng dẫn TS Lê Đình Nam, luận văn cao học chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp với đề tài “Một số dạng toán đa thức” hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân thời gian học tập nghiên cứu trường Đại học Thăng Long Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2016 Tác giả THÂN VĂN DỰ Footer Page of 126 Header Page of 126 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu 1 Tổng quan đa thức 1.1 Vành đa thức biến …………………………………………….3 1.2 Nghiệm đa thức ……………………………………………… ….4 1.3 Một vài biểu diễn đa thức ………………………………………………8 Các toán nghiệm đa thức 10 2.1 Các toán số nghiệm đa thức ……………………………….10 2.1.1 Tìm nghiệm đa thức với hệ số nguyên……………………….10 2.1.2 Đa thức nghiệm hữu tỉ ….…………………………… 12 2.1.3 Sự tồn nghiệm thực đa thức ……………….…………… 18 2.2 Các toán đánh giá, ước lượng nghiệm đa thức ……………26 2.2.1 Một số định lý ước lượng nghiệm …………………………….26 2.2.2 Một số ví dụ ……………………… ……………………………30 Các toán xác định đa thức 33 3.1 Xác định đa thức dựa vào đặc trưng nghiệm ……………………… 33 3.2 Xác định đa thức thỏa mãn P  f  x  .P  g  x    P  h  x   ………….40 3.3 Xác định đa thức thỏa mãn P  f  x  .P  g  x    P  h  x    Q  x  … 50 Footer Page of 126 Thang Long University Library Header Page of 126 Một số dạng toán khác đa thức 53 4.1 Các toán tính chia hết đa thức …………………………….53 4.1.1 Đa thức P  x  chia hết cho đa thức Q  x  ……………………….53 4.1.1.1 Chứng minh đa thức P  x  chia hết cho đa thức Q  x  … 53 4.1.1.2 Tìm điều kiện tham số để đa thức P  x  chia hết cho đa thức Q  x  ………………………………………………………………… 59 4.1.2 Các toán chia hết biểu thức nghiệm đa thức …………63 4.2 Ứng dụng đa thức để giải toán ……………………………………… 64 4.2.1 Ứng dụng đa thức giải hệ phương trình …………………………64 4.2.2 Ứng dụng đa thức chứng minh bất đẳng thức ……………………72 4.2.2.1 Ứng dụng đa thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức …….72 4.2.2.2 Ứng dụng đa thức bậc ba để chứng minh bất đẳng thức …77 Kết luận …………………………………………………………………… 83 Tài liệu tham khảo ………………………………………………………….84 Footer Page of 126 Header Page of 126 LỜI NÓI ĐẦU Đa thức khái niệm quan trọng toán học nói chung đại số nói riêng Trong kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán quốc tế, thi Olympic sinh viên trường đại học cao đẳng toán đa thức đề cập nhiều xem dạng toán khó bậc trung học phổ thông Hiện có nhiều tài liệu viết đa thức Tuy nhiên tài liệu chủ yếu trình bày lý thuyết xây dựng tính chất đa thức, tập áp dụng Với mong muốn có tài liệu tham khảo hữu ích giúp cho học sinh tự ôn tập giáo viên có tài liệu tham khảo để giảng dạy tự sáng tác toán đa thức, tác giả chọn đề tài “Một số dạng toán đa thức” Các toán đa thức phong phú, Tuy nhiên đề tài tác giả chọn số chủ đề đa thức hay gặp kì thi học sinh giỏi: Chương Tổng quan đa thức: Trình bày khái niệm tính chất đa thức Chương Các toán nghiệm đa thức: Nêu cách giải toán số nghiệm đa thức, toán đánh giá, ước lượng nghiệm Chương Các toán xác định đa thức: Trình bày số dạng toán xác định đa thức điển hình hay gặp kì thi học sinh giỏi Chương Một số dạng toán khác: Trình cách giải toán chứng minh đa thức P  x  chia hết cho đa thức Q  x  , toán tìm điều kiện tham Footer Page of 126 Thang Long University Library Header Page of 126 số để đa thức P  x  chia hết cho đa thức Q  x  ứng dụng đa thức vào giải hệ phương trình đối xứng chứng minh bất đẳng thức Luận văn thực Trường Đại Học Thăng Long hướng dẫn TS Lê Đình Nam, giảng viên Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cám ơn đến thầy cô khoa toán Trường Đại Học Thăng Long hướng dẫn tác giả năm vừa qua lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Đình Nam người tận tình hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù tác giả có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót định Tác giả mong nhận đóng góp quý báu thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiên Tôi xin chân thành cám ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2016 Tác giả THÂN VĂN DỰ Footer Page of 126 Header Page of 126 CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ ĐA THỨC Trong chương trình bầy khái niệm tính chất đa thức: Khái niệm vành đa thức miền nguyên, nghiệm đa thức, định lý thường gặp đa thức định lý Bezoút, Viéte, định lý đại số, định lý giá trị trung bình… biểu diễn đa thức quen thuộc biểu diễn Lagarange, biểu diễn Taylor, biểu diễn Newton 1.1 VÀNH CÁC ĐA THỨC MỘT BIẾN Cho K miền nguyên có đơn vị Kí hiệu K  x   { f  x   a0  a1x   an x n  K , n  } với x biến Giả sử f  x   a0  a1 x   an x n , g  x   b0  b1x   bm x m  K  x  Không làm tính tổng quát, ta giả sử m  n , m  n  s Khi g  x   b0  b1x   bn s x n s  K  x   bn x n  bn1x n1  Trên K  x  có quan hệ nhau: f  x   g  x   bi với i  0, , n bn1   bns  n Phép cộng: f  x   g  x      bi  xi  bn1 x n1  i 0  bn s x n s m n  i  f x g x  Phép nhân:        a j bi  j  xi i 0  j 0  Footer Page of 126 Thang Long University Library Header Page of 126 Bằng việc kiểm tra tính chất thủ tục, ta rút với hai phép toán cộng nhân nêu K  x  trở thành vành giao hoán có đơn vị Khi K  x  gọi vành đa thức biến x K , phần tử K  x  gọi đa thức biến x K Đa thức f  x   a0  a1 x   an x n gọi có bậc n viết deg f  x   n , an  , phần tử an , an1, , a1, a gọi hệ số đa thức f  x  , an gọi hệ số cao a0 gọi hệ số tự Quy ước: Đa thức đa thức có bậc  Định lý 1.1 Cho K miền nguyên Khi vành đa thức K  x  miền nguyên Ngoài ra, f  x  , g  x   K  x đa thức khác đa thức 0, deg  f  x  g  x    deg f  x   deg g  x  1.2 NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Định nghĩa 1.2 Cho đa thức P  x   an x n  an1 x n1   a1 x  a0 Phần tử   K gọi nghiệm đa thức P  x  P    an n  an1 n1  Footer Page of 126  a1  a0  Header Page 10 of 126 Định nghĩa 1.3 Cho đa thức P  x   K  x   K Nếu tồn số tự nhiên k cho P  x  chia hết cho  x    P  x  không chia hết cho k x   k 1  gọi nghiệm bội bậc k P  x  Khi k   gọi nghiệm đơn, k   gọi nghiệm kép Định lý 1.2 (Bezoút) Phần tử  nghiệm đa thức bậc dương P  x   K  x P  x    x    Q  x  với Q  x   K  x  deg Q  x   deg P  x   Hệ 1.1 Cho đa thức bậc dương f  x   K  x  Khi đó, ta có: i Nếu 1, , m  K nghiệm f  x  , f  x    x  1  x  1   x  m  g  x  với g  x   K  x deg g  x   deg f  x   m ; ii Số nghiệm đa thức f  x  K không vượt bậc f  x  Hệ 1.2 Cho đa thức P  x   an x n  an1 x n1   a0  K  x  Nếu đa thức P  x  có n nghiệm P  x   tức an  an1   a0  Định lý 1.3 (Định lý đại số) Cho đa thức f  x    x bậc dương n Khi f  x  có nghiệm phức Footer Page 10 of 126 Thang Long University Library Header Page 75 of 126 Khi hệ phương trình trở thành 1  1     4 1  2               1      4 2  2  4   4  33   2  Theo định lý Viéte ta có x, y, z, t nghiệm đa thức f  u   u  u  4u  4u Đa thức f  u  có nghiệm : 0,1,2,-2 Suy hệ phương trình cho có nghiệm số  0;1;2; 2  tất hoán vị Ví dụ Giải hệ phương trình x  y  z  t  a  2 2 x  y  z  t  a  3 3 x  y  z  t  a  x4  y  z  t  a4  Giải: Đặt 1  x  y  z  t ,   xy  xz  xt  yz  yt  zt ,   xyz  xyt  yzt  xzt ,   xyzt Ta có x2  y  z  t  12  2 , 70 Footer Page 75 of 126 Header Page 76 of 126 x3  y3  z  t  13  31  33 , x4  y  z  t  14  412  2 22  41  4 Khi hệ phương trình trở thành 1  a 1  a  2   1  2  a    3          a 3       4 2  2  4   4  a 2  Theo định lý Viéte ta có x, y, z, t nghiệm đa thức f  u   u  a.u Đa thức f  u  có nghiệm : a;0;0;0 Suy hệ phương trình cho có nghiệm số  a;0;0;0  tất hoán vị Nhận xét: Bài toán tổng quát toán toán sau: Bài toán Giải hệ phương trình  x1  x2   xn  a  2 2  x1  x2   xn  a    xn  xn   xn  an n  Hệ phương trình có nghiệm số  a;0; ;0  tất hoán vị 71 Footer Page 76 of 126 Thang Long University Library Header Page 77 of 126 4.2.2 Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức 4.2.2.1 Ứng dụng đa thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức A Các kiến thức Trong chương trình trung học phổ thông đa thức bậc hai ẩn x , f  x   ax  bx  c  a   gọi tam thức bậc hai ẩn x Định lý dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f  x   ax  bx  c  a, b, c  , a   ,   b2  4ac Khi ta có:  Nếu   f  x  dấu với hệ số a với x   Nếu   f  x  dấu với hệ số a với x   ; b ; 2a  Nếu   f  x  dấu với hệ số a với x  x1 x  x2 , f  x  trái dấu với hệ số a với x1  x  x2 (trong x1 , x2 nghiệm phương trình f  x   0, x1  x2 ) * Chú ý: Định lý dấu tam thức bậc hai ta thay   b2  4ac b  '  b '2  ac ( b '  ) 2 Hệ Cho tam thức bậc hai f  x   ax  bx  c  a, b, c  , a   ,   b2  4ac Khi ta có:  Nếu a f  x   với x    b2  4ac  ;  Nếu tồn   cho f      b2  4ac  ;  Nếu tồn   cho a f      b2  4ac  ;  Nếu tồn  ,   cho f   f       b2  4ac  72 Footer Page 77 of 126 Header Page 78 of 126 B Một số dạng toán Bài toán Cho bất đẳng thức f  x   (1) Trong f  x  tam thức bậc hai x Hãy chứng minh bất đẳng thức (1) với x Phương pháp giải: Theo đinh lý dấu tam thức bậc hai f  x  tam thức bậc hai a f  x   ta cần chứng minh  (*)    f  x  Chú ý: Nếu bất đẳng thức (1) có bất đẳng thức ( dấu đẳng thức ) điều kiện (*)  f  x  có bất đẳng thức ( dấu “=” ) Ví dụ Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác bất đẳng thức sau với x b2 x2  (b2  c2  a2 ) x  c2  (1) Giải: Đặt VT (1)  f  x  Ta thấy f  x  tam thức bậc hai x có hệ số a b  để chứng minh toán ta cần chứng minh   0, x Thật   (b  c  a )  4.b c   2.b.c.cosA   4.b c 2   4.b c Sin A  0, x Vậy b2 x2  (b2  c2  a ) x  c2  0, x 73 Footer Page 78 of 126 Thang Long University Library Header Page 79 of 126 Bài toán Cho bất đẳng thức f  x; y   (2) Trong f  x; y  tam thức bậc hai hai biến số x y Chứng minh (2) với x y Phương pháp giải: Ta giả sử hàm f  x; y  tam thức bậc hai x gọi tam thức bậc hai P  x  Ta cần chứng minh P  x   với x y Để chứng aP x   minh P  x   với x theo toán ta cần chứng minh  (*)   P x    Suy để chứng minh P  x   x, y ta cần chứng minh hệ (*) với y Ví dụ Cho b  c  d Hãy chứng minh bất đẳng thức a  b  c   ac  bd  (1) với a Giải: (1)  (a  b  c)  8(ac  bd )   a  2(b  d  3c)a  (b  c  d )2  8bd  Đặt VT(2) = f  a  f  a  tam thức bậc hai ẩn a có hệ số a f  x  =1 Do để chứng minh (1) ta cẩn chứng minh , f a  Thật , f  a   (b  d  3c)  (b  c  d )  8bd    8c(b  c  d )  8bd   8(b  c)(c  d ) Do b  d  c  b  c  0, c  d  , f  a   74 Footer Page 79 of 126 Header Page 80 of 126 Suy điều phải chứng minh Bài toán Chứng minh B  AC  ( B '2  AC  ) Phương pháp giải: Để chứng minh B  AC  ta chứng minh PT Ax  Bx  C  ( PT Ax  Bx  C  ) có nghiệm ( Chứng minh B '2  AC  ta chứng minh PT Ax  B ' x  C  PT Ax  B ' x  C  có nghiệm ) Ví dụ Cho a, b thỏa mãn điều kiện a  b2  Hãy chứng minh rằng:  ac  bd –    a  b –  c  d2 –  (*) Giải: Khi a  b2  (*) hiển nhiên Khi a  b2   a  b2 –  Đặt ac  bd –  B , a  b2 –  A  , c2  d –  C , (*)  B2  AC  Ta lập tam thức bậc hai: f  x   Ax  Bx  C Để chứng minh B  AC  ta cần chứng minh f  x  có nghiệm Thật 75 Footer Page 80 of 126 Thang Long University Library Header Page 81 of 126 f  x   (a  b  1) x  2(ac  bd  1) x  (c  d  1)  (ax - c)  (bx  d )  ( x  1)   ta có f    f 1  (a  c)2  (b  d )2   A f 1  suy  x0 : f  x0    f  x   điều phải chứng minh Bài toán Chứng minh B  AC  ( B '2  AC  ) Phương pháp giải: Để chứng minh B  AC  ( B '2  AC  ) ta chứng minh Af  x   x f  x   Ax  Bx  C ( f  x   Ax  Bx  C f  x   Ax  B ' x  C f  x   Ax  B ' x  C ) Ví dụ ( Bất đẳng thức Bunyakovsky) Cho a1, a2 , , an ; b1, b2 , , bn hai n số thực Chứng minh bất đẳng thức (a1b1  a2b2   anbn )2  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) dấu b b b đẳng thức xảy    n a1 a2 an Giải: Đặt n n a b  B , a i 1 i i i 1 i  A, n b i 1 i  C  ta cần chứng minh B  AC Ta coi B – AC biệt thức  , tam thức bâc hai f  x   A.x  Bx  C Để chứng minh B2  AC ta cần chứng minh f  x   x Ta có 76 Footer Page 81 of 126 Header Page 82 of 126 n n n i 1 i 1 i 1 f  x   ( ai2 ) x  ( aibi ) x   bi2 n   (ai2 x  2a i bi x + bi2 ) i 1 n   (ai x  bi )  i 1 n n n    ( aibi )  ( a ) ( bi2 ) , i 1 i 1 2 i i 1 Dấu đẳng thức xẩy x  bi  i  1, n  b1 b2 b    n a1 a2 an 4.2.2.2 Ứng dụng đa thức bậc ba chứng minh bất đẳng thức Cho đa thức P  x   x3  mx  nx  p Nếu đa thức P  x  có ba nghiệm x1, x2 , x3 ta có  x1  x2  x3   m   x1 x2  x2 x3  x3 x1  n  x x x   p  Ngược lại với ba số thực a,b,c chúng nghiệm đa thức f  x   x3  mx  nx  p Với m    a  b  c  ; n  ab  bc  ca; p  abc Xét phương trình x3  mx  nx  p  (*) Đặt x  y  m m2 2m3  9mn  27 p ;   n;   3 27 Phương trình (*) trở thành y3   y    (**) 77 Footer Page 82 of 126 Thang Long University Library Header Page 83 of 126 Số nghiệm phương trình (**) số giao điểm đồ thị hàm số g  y   y   y   với trục hoành Ta có g'  y   y   Nếu   g'  y   với y nên phương trình (**) có nghiệm Suy đa thức f  x  có nghiệm Nếu   phương trình (**) có nghiệm bội bậc hay đa thức f  x  có nghiệm bội bậc Nếu   g'  y   có hai nghiệm y1   g  y1   , y2   ; 2  2    ,g  y2     3 3 Suy g  y1  g  y2     4 27   4  27 27 Do đa thức f  x  có ba nghiệm (có thể nhau) phương trình (**) có ba nghiệm phân biệt g  y1  g  y2    4  27   Hay 27 p  2m3  9mn  m  3n  (1) Ví dụ Cho a, b, c số thực không đồng thời thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 13a 2b 2c  2abc   2 a  b  c   78 Footer Page 83 of 126 Header Page 84 of 126 Giải: Đặt n  ab  bc  ca, p  abc Suy a, b, c ba nghiệm phương trình x3  nx  p  Theo (1) ta có p   27 n  n3   p 27 27 1  p    p  1  Suy 13 p  p   2n  13 p  p   2  Nên ta có 13 p  p   2n3 Suy 13a 2b 2c  2abc   2  ab  bc  ca  Mà ta có   a  b  c   a  b  c   ab  bc  ca     ab  bc  ca   a  b2  c2  ,  13a 2b 2c  2abc   a  b2  c2   13a 2b 2c  2abc   Suy  a  b2  c2  p  Dấu “=” xảy  hay a, b, c nghiệm phương trình  n  3 x 1 x3  3x     x  1  x       x  2 Suy dấu “=” xẩy  a; b; c   1;1; 2  hoán vị 79 Footer Page 84 of 126 Thang Long University Library Header Page 85 of 126 Ví dụ Cho số thực a, b, c thỏa mãn a  b  c   ab  bc  ca  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  abc  a  b  c    abc  Giải : Đặt m    a  b  c  , n  ab  bc  ca, p  abc Suy a, b, c ba nghiệm phương trình t  mt  nt  p  Từ giả thiết a  b  c   ab  bc  ca    a  b  c    ab  bc  ca  m2 Suy m  4n  n  Từ điều kiện 27 p  2m3  9mn  m  3n  ta có 3 m3 m 27 p    108 p  m3  m3  p  54 p  m3    pm3  54 p 4 Suy P  pm3  1 2 2 27 p 27 p  54 p   27 p  27 p    27 p4 p4 p4 p4 Dấu « = » xẩy 80 Footer Page 85 of 126 Header Page 86 of 126  m4 n      27 p  (*) p  54 p  m3   Giải hệ (*) ta hai nghiệm 1   p p      3     3 m  18 m   18   3 n  972 n  972   4  p     * Với m  18 a, b, c nghiệm phương trình  n  972  3  972 18   4 3  t  t  18 3t  t   t       3    3 18 ,c  Suy giá trị nhỏ P 27 a  b   hoán vị 81 Footer Page 86 of 126 Thang Long University Library Header Page 87 of 126  p      * Với m   18 a, b, c nghiệm phương trình  n  972  t  18 3t  3 972 t  Vậy giá trị nhỏ P 27 82 Footer Page 87 of 126 Header Page 88 of 126 KẾT LUẬN Luận văn “Một số dạng toán đa thức” gồm chương: Chương hệ thống lại kiến thức đa thức chương trình bầy dạng toán nghiệm đa thức, chương trình bầy ba dạng toán xác định đa thức, chương trình bày dạng toán chia hết đa thức, ứng dụng đa thức vào giải hệ phương trình đối xứng chứng minh bất đẳng thức Ở dạng toán, tác giả nêu phương pháp giải ví dụ minh họa Đặc biệt sau số ví dụ, tác giả có nêu số nhận xét cách giải, đưa toán tương tự, toán tổng quát Với cách trình bầy vậy, tác giả hy vọng bạn đọc nắm vững phương pháp giải dạng toán tự sáng tạo thêm toán khác hay Tác giả hy vọng luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên học sinh ôn thi học sinh giỏi Mặc dù có nhiều cố gắng hạn chế mặt thời gian trình độ nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện 83 Footer Page 88 of 126 Thang Long University Library Header Page 89 of 126 Danh mục tài liệu tham khảo: I Tài liệu tiếng việt 1) Đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế năm 2) Đề thi Olympic sinh viên năm 3) Trần Nam Dũng, Về dạng phương trình hàm đa thức, http://diendantoanhoc.net , 2010 4) Nguyễn Hữu Điển, Đa thức ứng dụng, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2003 5) Phan Huy Khải, Đa thức, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2006 6) Nguyễn Văn Mậu, Chuyên đề chọn lọc đa thức áp dụng, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2008 7) Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2008 8) Lê Hoành Phò, Chuyên khảo đa thức, NXB Đại học quốc gia TP HCM, 2003 9) Nguyễn Tất Thu, Ứng dụng tồn nghiệm phương trình bậc ba vào chứng minh bất đẳng thức, http://diendantoanhoc.net ,2014 10) Dương Quốc Việt (Chủ biên), Đàm Văn Nhỉ, Cơ sở lí thuyết số đa thức, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội, 2014 11) Dương Quốc Việt (Chủ biên), Nguyễn Đạt Đăng, Lê Văn Đính, Lê Thị Hà, Đặng Đình Hanh, Đào Ngọc Minh, Trương Thị Hồng Thanh, Phan Thị Thủy, Bài tập sở lí thuyết số đa thức, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội, 2014 12) Tạp chí toán học tuổi trẻ năm 2003-2015 II Tài liệu tiếng anh 13) Dusˇan Djukic´, Vladimir Jankovic´,Ivan Matic´, Nikola Petrovic, The IMO Compendium A Collection of Problems Suggested for the International Mathematical Olympiads:1959–2009, Springer, 2010 84 Footer Page 89 of 126 ... CÁC BÀI TOÁN VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Trong chương trình bày hai dạng toán nghiệm đa thức: Dạng toán số nghiệm đa thức, dạng toán đánh giá ước lượng nghiệm 2.1 CÁC BÀI TOÁN VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC... tính chất đa thức Chương Các toán nghiệm đa thức: Nêu cách giải toán số nghiệm đa thức, toán đánh giá, ước lượng nghiệm Chương Các toán xác định đa thức: Trình bày số dạng toán xác định đa thức... tác toán đa thức, tác giả chọn đề tài Một số dạng toán đa thức” Các toán đa thức phong phú, Tuy nhiên đề tài tác giả chọn số chủ đề đa thức hay gặp kì thi học sinh giỏi: Chương Tổng quan đa thức: