Hệ phương trình Diophant tuyến tính và một số dạng toán liên quan

Header Page of 145 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HUỲNH TẤN ANH TUẤN HỆ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYẾN TÍNH VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 TÓM T T LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Đà Nẵng - Năm 2016 Footer Page of 145 Header Page of 145 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Phản biện 1: TS Lê Văn Dũng Phản biện 2: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 145 Header Page of 145 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Chuyên đề phương trình Diophant đóng vai trò quan trọng lý thuyết Số học Đó chuyên đề trọng tâm xuyên suốt từ bậc tiểu học tới bậc trung học Nó không đối tượng nghiên cứu trọng tâm số học mà công cụ đắc lực nhiều lĩnh vực phương trình ứng dụng khác Trong kỳ thi học sinh giỏi toán quốc gia, Olympic Toán khu vực quốc tế toán liên quan đến phương trình Diophant hay đề cập xem dạng toán thuộc loại khó Đặc biệt toán hệ phương trình Diophant không nằm chương trình thức số học bậc trung học phổ thông Dưới định hướng hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu chọn đề tài “ Hệ phương trình Diophant tuyến tính số dạng toán liên quan” làm đề tài nghiên cứu luận văn để có điều kiện tìm hiểu thêm chuyên đề Mục đích nghiên cứu: Mục đích nghiên cứu đề tài hệ thống hóa chi tiết vấn đề lý thuyết hệ phương trình Diophant tuyến tính hệ thống toán,bài tập liên quan để từ thấy tầm quan trọng tính thiết thực hệ phương trình Diophant tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Footer Page of 145 Header Page of 145 - Đối tượng nghiên cứu: Hệ phương trình Diophant, số dạng toán liên quan tập đặc trưng - Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu tham khảo GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu định hướng Phương pháp nghiên cứu: - Tìm, đọc, phân tích số tài liệu hệ phương trình Diophant tính chất, toán liên quan - Làm rõ chứng minh tài liệu, hệ thống kiến thức nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài: - Hệ thống cách khoa học lý thuyết hệ phương trình Diophant tính chất liên quan - Nêu giải toán liên quan ý nghĩa toán liên quan dạy học, nghiên cứu toán học thực tiễn sống - Góp phần làm tài liệu tham khảo cho việc dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi số học phổ thông Cấu trúc luận văn: Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Phương trình Diophant tuyến tính Chương Hệ phương trình Diophant tuyến tính Chương Một số dạng toán liên quan Footer Page of 145 Header Page of 145 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYẾN TÍNH Chương trình bày thuật toán Euclid tìm ước chung lớn số nguyên dương đề cập tới phương trình Diophant tuyến tính hai hay nhiều biến Nêu điều kiện (cần đủ) tồn nghiệm nguyên thuật toán tìm nghiệm nguyên phương trình Một số toán tìm nghiệm nguyên dương phương trình Diophant tuyến tính Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [4], [6] 1.1 PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYẾN TÍNH TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN 1.1.1 Ước chung lớn Ta nhắc lại khái niệm ước chung lớn hai số nguyên dương số tính chất Định nghĩa 1.1 ([1]) Cho hai số nguyên a, b > Ta định nghĩa ước chung lớn (greatest common divisor) a b số nguyên dương lớn c mà a b chia hết cho c Ước chung lớn kí hiệu (a, b) = c gcd(a, b) = c Ta sử dụng (a, b) để ước chung lớn a b Ta dùng kí hiệu a|b để a ước số b hay b chia hết cho a Định nghĩa 1.2 Nếu ước chung lớn (a, b) = ta nói hai số nguyên dương a b nguyên tố Footer Page of 145 Header Page of 145 Định lý 1.1 Nếu a, b nguyên dương (a, b) = d a b d, d = Định lý 1.2 Cho a, b, c số nguyên dương Khi (a + cb, b) = (a, b) Định nghĩa 1.3 Cho a b hai số nguyên dương Tổ hợp tuyến tính a b có dạng ax + by , x, y số nguyên Định lý 1.3 Cho a b hai số nguyên dương, c ước số chung a b c ước số ma + nb với m, n số nguyên, nghĩa (c|a; c|b) ⇒ c|(ma + nb) Định lý 1.4 Cho hai số nguyên a, b > Khi d = (a, b) số nguyên dương nhỏ biểu diễn dạng ax + by với x, y nguyên Định lý 1.5 Nếu a, b số nguyên dương tập hợp tổ hợp tuyến tính a b trùng với tập bội nguyên (a, b) Định nghĩa 1.4 Ta mở rộng định nghĩa ước chung lớn cho n số nguyên dương với n ≥ Xét n số nguyên dương Ta định nghĩa ước chung lớn chúng số lớn ước chung n số kí hiệu (a1 , a2 , , an ) Định lý 1.6 Nếu a1 , a2 , , an số nguyên dương Footer Page of 145 Header Page of 145 (a1 , a2 , , an−1 , an ) =(a1 , a2 , , (an−1 , an )) Bổ đề 1.1 Nếu c d hai số nguyên dương c = dq + r, với q r nguyên dương (c, d) = (r, d) 1.1.2 Thuật toán Euclid mở rộng Mục đề cập tới thuật toán Euclid quen thuộc để tìm ước chung lớn hai số nguyên dương Đó thuật toán nhanh để tìm ước chung lớn Định lý 1.7 (Thuật toán Euclid ) Để tìm ước chung lớn hai số nguyên dương a b ta đặt r−1 = a, r0 = b, tính liên tiếp thương qi+1 số dư ri+1 theo ri−1 = ri qi+1 + ri+1 với i = 0,1,2, gặp số dư rn+1 = Khi đó, số dư khác không cuối rn ước chung lớn a b Định lý 1.8 Cho a, b hai số nguyên dương Khi (a, b) = kn a + mn b, với kn mn số hạng thứ n dãy số xác định theo đệ quy k−1 = 1, m−1 = 0, k0 , m0 = ki = ki−2 − ki−1 qi , mi = mi−2 − mi−1 qi với i = 1, 2, , n qi thương số phép chia thuật toán Euclid, thuật toán dùng để tìm ước chung lớn a b 1.1.3 Phương trình Diophant tuyến tính tập số nguyên Footer Page of 145 Header Page of 145 Định nghĩa 1.5 Phương trình Diophant phương trình đa thức với hệ số nguyên nghiệm phương trình số nguyên số tự nhiên Phương trình Diophant phương trình Diophant tuyến tính Ví dụ phương trình ax + by = c với a, b, c ∈ Z (Z tập hợp số nguyên) Định lý 1.9 Cho a, b c số nguyên với a b không 0, Phương trình Diophant tuyến tính ax + by = c có nghiệm d = (a, b) ước c Định lý 1.10 Cho a b hai số nguyên không với d = (a, b) Phương trình ax + by = c nghiệm nguyên c không chia hết cho d Nếu d|c phương trình có vô số nghiệm nguyên Hơn nữa, x = x0 , y = y0 nghiệm riêng phương trình nghiệm phương trình có dạng x = x0 + db n, y = y0 − ad n n số nguyên Biểu thức gọi nghiệm tổng quát phương trình Định lý 1.11 Nếu a1 , a2 , , an số nguyên dương phương trình a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = c có nghiệm nguyên c chia hết cho d = (a1 , a2 , , an ) Thêm vào đó, phương trình có nghiệm phương trình có vô số nghiệm 1.2 PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYẾN TÍNH TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN DƯƠNG Footer Page of 145 Header Page of 145 Trong nhiều toán thực tế người ta cần tìm nghiệm nguyên dương phương trình Diophant tuyến tính Trong toán đó, dùng thuật toán Euclid thuật toán Euclid mở rộng để tìm nghiệm nguyên dương phương trình cần giải Footer Page of 145 Header Page 10 of 145 CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYẾN TÍNH Chương nhắc lại khái niệm dạng chuẩn Hecmit ,ma trận đơn Modula có liên quan tới việc giải hệ phương trình Diophant tuyến tính, điều kiện cần đủ để hệ có nghiệm nguyên, thuật toán tìm nghiệm riêng nghiệm tổng quát hệ Một số toán tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình Diophant tuyến tính.Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1]-[6] 2.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYẾN TÍNH TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN 2.1.1 Dạng chuẩn Hecmit Định nghĩa 2.1 Một ma trận cấp m × n có hạng số hàng ma trận gọi dạng chuẩn Hecmit nếu: - Ma trận có dạng [BO] , B ma trận cấp m × m có nghịch đảo; - B có dạng tam giác dưới; - Các phần tử đường chéo B dương; - Mọi phần tử khác B không âm; - Phần tử lớn hàng B nằm đường chéo B , O ma trận không cấp m×(n − m) Footer Page 10 of 145 10 Header Page 12 of 145 Định lý 2.2 ([1]) Giả sử A A hai ma trận hữu tỉ với hạng số hàng có dạng chuẩn Hecmit tương ứng [BO] [B O] Khi đó, cột A cột A sinh dàn B = B Hệ 2.2 Mọi ma trận hữu tỉ với hạng số hàng có dạng chuẩn Hecmit Nhận xét: Nếu b11 , , bmm phần tử đường chéo dạng chuẩn Hecmit [BO] A với j = 1, , m tích số b11 × · · · × bij ước chung lớn định thức cấp j j hàng đầu A (do ước bất biến phép toán cột sơ cấp) Điều cho cách khác để thấy đường chéo dạng chuẩn Hecmit 2.1.2 Ma trận đơn modula Các phép toán cột sơ cấp ma trận mô tả gọi ma trận đơn modula Trước hết, ta ý phép toán cột sơ cấp ma trận A cấp m × n thực cách nhân bên phải A với ma trận sơ cấp tương ứng E cấp n × n, cụ thể E ma trận thu cách áp dụng phép toán ma trận đơn vị cấp n × n Cho A ma trận m hàng, n cột (m ≤ n) In ma trận đơn vị cấp n × n Khi đó: a) Phép đổi chỗ hai cột i j A tương đương với phép nhân A với ma trận nhận từ In cách đổi chỗ hai cột i j Footer Page 12 of 145 11 Header Page 13 of 145 b) Phép nhân cột j A với −1 tương đương với phép nhân A với ma trận nhận từ In cách đổi dấu cột j c) Thêm bội nguyên k cột i vào cột j A tương đương với nhân A với ma trận nhận từ In cách thêm bội nguyên k cột i vào cột j Định nghĩa 2.5 Cho U ma trận vuông không suy biến Khi đó, U gọi ma trận đơn modula U nguyên có định thức ±1 Cũng mở rộng khái niệm đơn modula cho ma trận suy biến Các ma trận đơn modula nhà toán học Smith, Frobenius, Veblen Franklin nghiên cứu Sau số tính chất đáng ý ma trận đơn modula Định lý 2.3 ([1]) Các điều sau tương đương ma trận hữu tỉ không suy biến U cấp n × n: (i) U đơn modula; (ii) U −1 đơn modula; (iii) Dàn sinh cột U Z n (không gian véctơ nguyên n chiều); (iv) Ma trận đơn vị dạng chuẩn Hecmit U ; (v) U nhận từ ma trận đơn vị phép toán cột sơ cấp Hệ 2.3 Cho A A hai ma trận không suy biến (cùng cấp) Footer Page 13 of 145 12 Header Page 14 of 145 Khi đó, điều sau tương đương: (i) Các cột A cột A sinh dàn; (ii) A nhận từ A phép toán cột sơ cấp; (iii) A = AU với ma trận đơn modula U (tức A−1 A đơn modula) 2.1.3 Hệ phương trình Diophant tuyến tính tập số nguyên Cho ma trận A cấp m × n (tức ma trận với phần tử hữu tỉ) véctơ hữu tỉ b với m thành phần, tìm véctơ nguyên x cho Ax = b (2.1) Ta viết lại hệ dạng chi tiết sau: Tìm x1 , x2 , , xn nguyên thỏa mãn    a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2   a x + a x + + a x = b m1 m2 mn n m a11 , a12 , , amn b1 , b1 , , bm số hữu tỉ (1 ≤ m ≤ n) 2.1.4 Điều kiện tồn nghiệm nguyên Sau điều kiện cần đủ để hệ phương trình Diophant tuyến tính Ax = b có nghiệm nguyên Định lý 2.4 ([1]) Giả sử A ma trận hữu tỉ có hạng số hàng A b véctơ cột hữu tỉ Khi đó, hệ Ax = b có nghiệm nguyên x yb số nguyên véctơ hàng hữu tỉ y mà yA véctơ nguyên Footer Page 14 of 145 13 Header Page 15 of 145 Cho A ma trận hữu tỉ Kí hiệu L dàn sinh véctơ cột A Định lí 2.4 cho điều kiện cần đủ để véctơ hữu tỉ b ∈ L Cụ thể từ chứng minh Định lí 2.4 cho thấy A có hạng số hàng dạng chuẩn Hecmit A [BO] ( B có dạng tam giác dưới) b ∈ L B −1 b véctơ nguyên Một điều kiện cần đủ khác sau: Định lý 2.5 ([1]) Cho A ma trận nguyên cấp m × n rank(A) = m Khi đó, ba điều sau tương đương: (i) Các định thức cấp m A có ước chung lớn ; (ii) Hệ Ax = b có nghiệm nguyên x véctơ nguyên ; (iii) Với véctơ y , y T A véctơ nguyên y nguyên Từ Định lí 2.1 dễ dàng suy hệ hữu tỉ Ax = b có nghiệm nguyên tồn véctơ nguyên x1 , , xt cho {x |Ax = b, x ∈} = x0 + λ1 x1 + · · · + λt xt |λ1 , , λt ∈ x1 , , xt độc lập tuyến tính t = (số cột A ) −rank(A) Sự tồn hệ nghiệm Smith phát biểu năm 1861 2.1.5 Thuật toán Hecmit Mục trình bày thuật toán Hecmit tìm dạng tổng quát Footer Page 15 of 145 14 Header Page 16 of 145 cho nghiệm nguyên hệ phương trình Diophant tuyến tính Ax = b, A ma trận nguyên cấp m × n, rank(A) = m b véctơ nguyên gồm m thành phần Như biết (Hệ 2.4) với A, b trên, tồn ma trận đơn modula U cho H = AU dạng chuẩn Hecmit A, tức H = [BO] với B cấp m × m không âm, có dạng tam giác dưới, không suy biến hàng B có phần tử lớn nhất, nằm đường chéo B Theo định nghĩa ma trận modula, U có nghịch đảo U −1 Do hệ Ax = b viết lại dạng tương đương AU U −1 x = b Đặt H = AU , y = U −1 x ∈ R hay x = U y , ta thấy hệ Ax = b trở thành hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số có dạng tam giác Hy = b x = U y Từ véctơ y nguyên nghiệm x = U y nguyên Do ma trận đơn modula ( tức nguyên detU = ±1 ) nên theo Định lí 2.3, U −1 nguyên detU = ±1 Vì thế, mối quan hệ y = U −1 x x = U y hai véctơ nguyên x y quan hệ hai chiều Giải hệ tam giác Hy = b (2.2) ta nhận nghiệm yi = yi0 , i = 1, , m Nếu yi0 nguyên, ta nhận nghiệm nguyên hệ (2.1) ban đầu Nếu trái lại ( tồn i với yi0 không nguyên ) hệ (2.1) nghiệm nguyên Như vậy, tồn nghiệm nguyên hệ (2.1) quy tồn nghiệm nguyên hệ (2.2) Kí hiệu U = (ukj )n×n ý Footer Page 16 of 145 15 Header Page 17 of 145 x = U y ta nhận dạng tổng quát cho nghiệm nguyên hệ (2.1) ( phụ thuộc n − m tham số nguyên yi ): m n ukj yj0 + xk = j=0 ukj yj , k = 1, 2, ., n (2.3) j=m+1 yj (m + ≤ j ≤ n) tham số nguyên tùy ý (giá trị biến tự do) hay dạng véctơ x = U y ,y T với y = (y10 , , ym m+1 , , yn ) , yj ∈ Z, j = m + 1, , n Thuật toán Hecmit (tóm tắt) giải hệ Ax = b, gồm bước sau: - Biến đổi A dạng chuẩn Hecmit H = [BO] - Tìm ma trận đơn modula U cho H = AU - Giải phương trình Hy = b tìm nghiệm nguyên y = y10 , ., ym - Tìm nghiệm tổng quát Ax = b theo công thức (2.3) 2.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYẾN TÍNH TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN DƯƠNG Trong nhiều toán thực tế người ta cần tìm nghiệm nguyên dương ( không đơn nghiệm nguyên ) hệ phương trình Diophant tuyến tính Mục trình bày hệ hai phương trình ba ẩn với nghiệm nguyên dương giải phương pháp “ chìa khóa” Bài toán tổng quát : Tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình a1 x + b1 y + c1 z = s1 a2 x + b2 y + c2 z = s2 (1) Footer Page 17 of 145 16 Header Page 18 of 145 Phương pháp: Ta gọi “chìa khóa” hệ (1) số (x0 , y0 , z0 ) thỏa mãn: x0 , y0 , z0 ∈ Z a1 x0 + b1 y0 + c1 z0 = a2 x0 + b2 y0 + c2 z0 = Nếu (x1 , y1 , z1 ) nghiệm hệ (1) với x2 = x1 + mx0 ; y2 = y1 + my0 ; z2 = z1 + mz0 ta có a1 x2 + b1 y2 + c1 z2 = s1 ; a2 x2 + b2 y2 + c2 z2 = s2 tức (x2 , y2 , z2 ) nghiệm hệ (1) Nếu nghiệm nguyên dương ta có nghiệm nguyên dương Ta ý hệ (1) x xác định y z xác định Vì ta cho x chạy qua tất giá trị nguyên dương có nó, ta tìm giá trị tương ứng y z Trong trường hợp này, có trường hợp giá trị tương ứng y z nguyên dương hệ có nhiêu nghiệm nguyên dương Ngoài ta áp dụng thuật toán Hecmit để tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình Diophant tuyến tính Ax = b,trong A ∈ Rm×n ma trận nguyên rank (A) = m, b ∈ Rm véctơ nguyên Footer Page 18 of 145 17 Header Page 19 of 145 CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Chương đề cập tới số dạng toán liên quan đến hệ phương trình Diophant tuyến tính : Phân thức quy toán quy hoạch tuyến tính nguyên Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [3],[7] 3.1 PHÂN THỨC CHÍNH QUY 3.1.1 Định nghĩa tính chất Mục trình bày số định nghĩa tính chất phân thức quy Định lý 3.1 ([3]) (Bất đẳng thức AM − GM suy rộng) Giả sử cho trước hai dãy số dương x1 , x2 , · · · , xn ; p1 , p2 , · · · , pn Khi xp11 xp22 .xpnn ≤ x1 p + x2 p + · · · + xn p n p1 + p2 + · · · + pn p1 +p2 +···+pn Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = xn Định nghĩa 3.1 Hàm số f(x) xác định R+ gọi hàm phân thức quy n a k x αk f (x) = k=1 Footer Page 19 of 145 18 Header Page 20 of 145 n ak ≥ 0, k = 1, 2, , n; ak αk = k=1 Từ định nghĩa ta có tính chất sau Tính chất 3.1 Nếu f(x) hàm phân thức quy f(x) > ứng với x > Tính chất 3.2 Nếu f(x) g(x) hàm phân thức quy với cặp số dương α, β , hàm số h (x) := αf (x) + βg (x) hàm phân thức quy Tính chất 3.3 Nếu f(x) g(x) hàm phân thức quy hàm số h (x) := f (g (x)) hàm phân thức quy Tính chất 3.4 Nếu f(x) hàm phân thức quy hàm số h (x) := [f (x)]m , m ∈ N ∗ hàm phân thức quy Tương tự ta định nghĩa hàm phân thức quy nhiều biến sau Footer Page 20 of 145 19 Header Page 21 of 145 Định nghĩa 3.2 Hàm số f (x1 , x2 , , xn ) gọi hàm phân thức quy tập {x1 > 0, x2 > 0, , xn > 0} m α α ak x1 k1 x2 k2 xnαkn , ak ≥ 0, k = 1, 2, , m f (x1 , x2 , , xn ) = k=1 (3.1)    a1 α11 + a2 α21 + + am αm1 = a1 α12 + a2 α22 + + am αm2 =   a α + a α + + a α = 1n 2n (3.2) m mn Định nghĩa 3.3 Giả sử hàm số f (x1 , x2 , , xn ) hàm phân thức quy tức f (x1 , x2 , , xn ) thỏa mãn điều kiện (3.1)-(3.2) Khi hàm số m αk ak xj j , j = 1, 2, , n hj (xj ) := k=1 gọi phân thức thành phần biến xj f (x1 , x2 , , xn ) Định lý 3.2 Hàm số f (x1 , x2 , , xn ) hàm phân thức quy hàm phân thức thành phần f (x1 , x2 , , xn ) hàm phân thức quy Tiếp theo, ta có định lý sau: Footer Page 21 of 145 20 Header Page 22 of 145 Định lý 3.3 ([3]) Với hàm phân thức quy f (x1 , x2 , , xn ) tập {x1 > 0, x2 > 0, , xn > 0} có dạng m f (x1 , x2 , , xn ) = k=1 α α α ak x1 k1 x2 k2 xnkn , ak ≥ 0, k = 1, m    a1 α11 + a2 α21 + + am αm1 = a1 α12 + a2 α22 + + am αm2 =   a α + a α + + a α = 1n 2n m mn ta có m f (x1 , x2 , , xn ) ≥ ak k=1 Hệ 3.1 Với hàm phân thức quy f (x1 , x2 , , xn ) tập {x1 > 0, x2 > 0, , xn > 0}, ta có f (x1 , x2 , , xn ) = f (1, 1, , 1) Đối với hàm phân thức tùy ý (khác hằng) với hệ số không âm, ta có nhận xét sau: Với hàm phân thức dạng m ak xαk ; ak ≥ 0, k = 1, 2, , n g (x) = k=1 đặt a1 + a2 + · · · + an = p a1 α1 + a2 α2 + · · · + an αn = q Footer Page 22 of 145 21 Header Page 23 of 145 hàm số q f (x) := x− p g (x) hàm phân thức quy Từ ta có định lý quan trọng sau: Định lý 3.4 Mọi hàm phân thức dạng m ak xαk ; ak ≥ 0, k = 1, 2, , n g (x) = k=1 có tính chất q g (x) ≥ g (1) x p , ∀x > a1 + a2 + · · · + an = p a1 α1 + a2 α2 + · · · + an αn = q 3.2 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DIOPHANT Hệ phương trình Diophant tuyến tính có quan hệ mật thiết với toán qui hoạch tuyến tính nguyên: Trong số véctơ nguyên x ∈ Rn nghiệm Ax = b, x ≥ tìm véctơ x∗ đạt cực tiểu hàm tuyến tính cT x Cụ thể cT x∗ = min{cT x|Ax = b, x ∈ Z n , x ≥ 0} (3.3) A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , c ∈ Rn nguyên cho trước Trường hợp riêng không đòi hỏi x ≥ 0,(3.3) gọi toán qui hoạch tuyến tính Diophant (Diophantine linear programming) Footer Page 23 of 145 22 Header Page 24 of 145 Bằng cách đưa ma trận A dạng chuẩn Hecmit H = AU với U ma trận đơn modula thích hợp, toán qui hoạch tuyến tính nguyên (3.3) qui toán qui hoạch tuyến tính Diophant (n − m) biến nguyên y = (ym+1, , yn )T với m ràng buộc bất đẳng thức Cụ thể toán cT x |A x = b, x ∈ Z n , x ≥ (3.4) U = (ukj ) k = 1, , m; j = m + 1, , n cấp m × (n − m) m b = b1 , , bm với bk = − j=1 n c = (cm+1 , , cn ) với cj = ukj yj0 , k = 1, , m ci uij , j = m + 1, , n i=1 Trong toán (3.4) điều kiện U y ≥ b đảm bảo cho giá trị biến toán ban đầu không âm ∗ , , yn∗ nghiệm tối ưu Giả sử vecto y ∗ = ym+1 toán (3.4) , y∗ ∗ Khi đó, vecto x∗ = U y ∗ với y ∗ = y10 , , ym m+1 , , yn nghiệm tối ưu toán qui hoạch tuyến tính nguyên (3.3) Từ lập luận suy Định lý 3.5 ([7]) Bài toán qui hoạch tuyến tính nguyên min{cT x|Ax = b, x ∈ Z n , x ≥ 0} có miền ràng buộc rỗng, tương đương với toán qui hoạch tuyến tính Diophant có dạng (3.4) Footer Page 24 of 145 23 Header Page 25 of 145 Hệ 3.2 ([7]) Bài toán qui hoạch tuyến tính Diophant min{cT x|Ax = b, x ∈ Z n } có miền ràng buộc rỗng, tương đương với toán cT y y ∈ Z n−m Footer Page 25 of 145 24 Header Page 26 of 145 KẾT LUẬN Luận văn "Hệ phương trình Diophant tuyến tính số dạng toán liên quan" trình bày nội dung sau: - "Phương trình Diophant tuyến tính" trình bày phương trình Diophant tuyến tính tập số nguyên nguyên dương Thuật toán Euclid mở rộng tìm ước chung lớn số nguyên dương tìm nghiệm nguyên phương trình Diophant tuyến tính - "Hệ phương trình Diophant tuyến tính " trình bày hệ phương trình Diophant tuyến tính tập số nguyên nguyên dương Kiến thức sở dạng chuẩn Hecmit ma trận Các phép toán cột sơ cấp đưa ma trận hữu tỉ dạng chuẩn Hecmit Ma trận đơn Modula liên quan tới dạng chuẩn Hecmit cách tìm ma trận Điều kiện cần đủ để hệ phương trình Diophant có nghiệm nguyên Thuật toán Hecmit tìm tất nghiệm nguyên nguyên dương hệ Diophant tuyến tính - "Một số dạng toán liên quan" trình bày phân thức quy quy hoạch tuyến tính Diophant Trong trình làm luận văn, thân có nhiều cố gắng, song điều kiện trình độ hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi sai sót Tác giả kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy, cô để luận văn hoàn thiện Footer Page 26 of 145 ... Header Page 19 of 145 CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Chương đề cập tới số dạng toán liên quan đến hệ phương trình Diophant tuyến tính : Phân thức quy toán quy hoạch tuyến tính nguyên Nội dung chương... 1.5 Phương trình Diophant phương trình đa thức với hệ số nguyên nghiệm phương trình số nguyên số tự nhiên Phương trình Diophant phương trình Diophant tuyến tính Ví dụ phương trình ax + by = c... CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYẾN TÍNH Chương nhắc lại khái niệm dạng chuẩn Hecmit ,ma trận đơn Modula có liên quan tới việc giải hệ phương trình Diophant tuyến tính, điều kiện cần đủ để hệ có