Phương trình sai phân Riccati và một số ứng dụng trong toán sơ cấp

8 1.2.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêngx∗ncủa phương trình sai phân tuyến tính cấp một không thuần nhất 9 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số.. 11 1.3.2 Một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————————o0o——————————

PHẠM THỊ NINH

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN RICCATI VÀ MỘT SỐ

ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Khải

HÀ NỘI, 2017

Lời cảm ơn

Sau một thời gian cố gắng, nỗ lực học tập và nghiên cứu, đến nay tôi

đã hoàn thành luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình Để có được kết quảnày, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và lời cảm ơn chân thành nhất đếnthầy tôi, TS Nguyễn Văn Khải, người đã định hướng nghiên cứu cho tôitrong suốt thời gian thực hiện luận văn của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáotrong bộ môn Toán Giải tích nói riêng và khoa Toán, trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 nói chung Cám ơn Ban giám hiệu trường THPT NguyễnTrãi Thái Bình đã giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quátrình học tập và nghiên cứu

Xin cảm ơn những người thân trong gia đình và tất cả những người bạnthân yêu đã hết sức thông cảm, chia sẻ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi

để tôi có thể học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn của mình

Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn

để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 7 năm 2017

Tác giả

Phạm Thị Ninh

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Văn Khải

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừanhững thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sựtrân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trongluận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 7 năm 2017

Tác giả

Phạm Thị Ninh

Mục lục

1.1 Sai phân 7

1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng số 8 1.2.1 Khái niệm 8

1.2.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêngx∗ncủa phương trình sai phân tuyến tính cấp một không thuần nhất 9 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số 11 1.3.1 Khái niệm 11

1.3.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêngx∗ncủa phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất 13 1.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k với hệ số hằng số 16 1.4.1 Khái niệm 16

1.4.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêngx∗ncủa phương trình sai phân tuyến tính cấp k không thuần nhất 18 2 Phương trình sai phân Riccati và một số ứng dụng trong toán sơ cấp 22 2.1 Phương trình sai phân Riccati 22

2.1.1 Một số khái niệm chung 22

2.1.2 Phương trình Riccati 23

2.2 Ứng dụng trong toán sơ cấp 40

2.2.1 Hệ phương trình sai phân dạng 40

2.2.2 Phương trình sai phân dạng 45

Kết luận 67

Lời mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Nhiều vấn đề của khoa học kĩ thuật, sinh thái, môi trường dẫn đếnbài toán phương trình sai phân Trong quá trình nghiên cứu các phươngpháp số giải gần đúng phương trình vi phân thường, phương trình vi phânđạo hàm riêng cũng dẫn đến bài toán phương trình sai phân

Chính vì vậy phương trình sai phân là một nội dung quan trọng củagiải tích toán học và có nhiều ứng dụng rộng rãi Với mong muốn được tìmhiểu sâu thêm về phương trình sai phân và ứng dụng của nó trong toán sơcấp, tôi đã chọn đề tài: "Phương trình sai phân Riccati và một số ứng dụngtrong toán sơ cấp" Phần lý thuyết về phương trình Riccati được dựa trêncuốn chuyên khảo Dynamics of second order rational difference equationwith open Problems and conjectures của M.R.S Kulonovic và G.Ladas.Chapman and Hall/CRC

2 Mục đích và nghiên cứu

Nghiên cứu các tính chất cơ bản của phương trình sai phân Riccati vànêu được ứng dụng trong toán sơ cấp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về phương trình sai phân nói chung, đặc biệt chú ý đếnphương trình Riccati

Nghiên cứu một số ứng dụng của phương trình này trong toán sơ cấp

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu : Phương trình sai phân Riccati

Phạm vi nghiên cứu : Phương trình sai phân, một số ứng dụng trongtoán sơ cấp

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của giải tích để tiếp cận vấn đề

Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến vấn đề mà luậnvăn đề cập tới

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

Luận văn là một tài liệu bước đầu về phương trình sai phân Riccati vàmột số ứng dụng trong toán sơ cấp

Định nghĩa 2 Ta gọi sai phân cấp 1 của xn là ∆xn xác định

Tính chất 1.1.2 Sai phân mọi cấp đều là toán tử tuyến tính:

∆k(αxn + βyn) = α∆kxn+ β∆kyn

với α, β là các số thực tùy ý

Tính chất 1.1.3 Sai phân cấp k của đa thức bậc m của n bằng:

axn+1 + bxn = fn, a 6= 0, b 6= 0

hoặc

xn+1 = qxn+ fn, q 6= 0 (1.1)Nếu a, b, q là các hằng số, thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấpmột với hệ số hằng số Nếu a, b, q phụ thuộc n thì ta có phương trình saiphân tuyến tính cấp một với hệ số biến thiên

fn là một hàm đã biết của n, gọi là vế phải; hàm xn phải tìm là ẩn.Nếu fn ≡ 0, ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

axn+1 + bxn = 0 hoặc

Nếu fn 6≡ 0, ta có phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất.Định nghĩa 1.2.2 Hàm số xn = x(n) biến n thỏa mãn (1.1) được gọi lànghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (1.1)

Hàm sốx˜n = ˜x(n)phụ thuộc 1 tham số thỏa mãn (1.1) được gọi là nghiệmtổng quát của (1.1) nếu với mỗi x0 ban đầu đều xác định được duy nhất

c1 để x˜n là một nghiệm riêng của (1.1), nghĩa là vừa thỏa mãn (1.1) vừathỏa mãn x˜0 = x0

Nghiệm tổng quát của (1.1) có dạng:

xn = ˜xn+ x∗n,

trong đó x˜n là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tínhthuần nhất (1.2) có dạng x˜n = Cλn với λ = −b

a, hoặc λ = q, còn x

∗ n

là một nghiệm riêng bất kỳ của phương trình sai phân tuyến tính khôngthuần nhất (1.1)

1.2.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗n của phương

trình sai phân tuyến tính cấp một không thuần nhấtPhương pháp chọn(phương pháp hệ số bất định)

a) Nếu fn là đa thức bậc m của n: fn = Pm(n):

1 λ 6= 1 thì x∗n tìm dưới dạng đa thức cùng bậc m với fn

2.x∗n = nQm(n)βn, nếu λ = β, trong đó Qm(n) là đa thức bậc m của n

c) Nếu fn = αsinnx + βcosnx, α2 + β2 6= 0, x 6= kπ, k ∈ Z thì tìm

là nghiệm riêng của fnk, k = 1, 2, , s

Ví dụ 1.2.1 Tìm nghiệm của phương trình sai phân:

xn+1 = 26xn− 494.7n− 2475n + 99, x0 = 26

Giải Ta có xn = ˜xn + x∗n trong đó x˜n là nghiệm tổng quát của phươngtrình sai phân tuyến tính thuần nhất xn+1 − 26xn = 0, ˜xn = c.26n, x∗n lànghiệm riêng của phương trình ban đầu và x∗n = x∗n1 + x∗n2

Tìm x∗n1 = a7n Thay vào phương trình xn+1 = 26xn − 494.7n ta được

được a = 99, b = 0.

Vậy x∗n2 = 99n

Từ kết quả trên ta được x∗n = 26.7n + 99n

Suy ra xn = c.26n + 26.7n + 99n với x0 = 26 ta được c = 0

4 thay vào phương

trình ban đầu ta được



Acosnπ

4 + Bsin

nπ4



+ √1

2cos

nπ4

Xét phương trình

axn+1 + bxn = fn

Phương trình này có nghiệm x˜n = Cλn với λ = −b

a Để tìm nghiệm

riêng, ta xem C biến thiên theo n, có nghĩa là C là một hàm của n và tìm

x∗n = Cnλn Thay vào phương trình sai phân, ta được

aCn+1λn+1 + bCnλn = fn

⇔ aCn+1λn(−b

a) + bCnλ

n = fn

axn+2 + bxn+1+ cxn = fn, a 6= 0, c 6= 0

hoặc

xn+2 = pxn+1 + qxn + fn, q 6= 0, (1.3)trong đó xn là hàm của đối số nguyên n phải tìm là ẩn;fn là một hàm của

n đã biết, gọi là vế phải

Nếu a, b, c; p, q là các hằng số, thì (1.3) gọi là phương trình sai phân tuyến

tính cấp hai với hệ số hằng số Nếu a, b, c; p, q là các hàm số của nthì (1.3)gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên.Nếu fn ≡ 0, ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp haitương ứng với (1.3):

axn+2+ bxn+1+ cxn = 0

hay

xn+2 = pxn+1 + qxn (1.4)Nếu fn 6≡ 0, thì (1.3) gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp haikhông thuần nhất

Định nghĩa 1.3.2 Hàm số xn = x(n) biến n thỏa mãn (1.3) được gọi lànghiệm của phương trình sai phân (1.3)

Hàm sốx˜n = ˜x(n)phụ thuộc 2 tham số thỏa mãn (1.3) được gọi là nghiệmtổng quát của (1.3) nếu với mọi tập giá trị ban đầu x0, x1 xác định đượcduy nhất các tham số c1, c2 để x˜n là một nghiệm riêng của (1.3) nghĩa làvừa thỏa mãn (1.3) vừa thỏa mãn x˜0 = x0, ˜x1 = x1

Nghiệm tổng quát của (1.3) có dạng

xn = ˜xn+ x∗n,

trong đó x˜n là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tínhthuần nhất (1.4) và x∗n là một nghiệm riêng tùy bất kỳ của (1.3)

Công thức nghiệm tổng quát x˜n của phương trình thuần nhất

Định lý 1.3.1 1 Nếu phương trình đặc trưng

trong đó A, B là các hằng số bất kỳ.

3 Nếu (1.4) có nghiệm phức λ = x + iy = r(cosϕ + isinϕ), với i2 = −1,

r = |λ| = px2 + y2; ϕ = arctgy

x thì (1.4) có nghiệm phức liên hợp

λ = x − iy = r(cosϕ − isinϕ), với i, r, ϕ đã nói trên

Khi đó nghiệm tổng quát của (1.3) có dạng

1.3.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗n của phương

trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhấtPhương pháp chọn(phương pháp hệ số bất định)

1 Nếu fn là đa thức bậc k của n: fn = Pk(n):

Nếu (1.5) không có nghiệm λ = 1 thì x∗n = Qk(n)

Nếu (1.5) có nghiệm đơn λ = 1 thì x∗n = nQk(n).

Nếu (1.5) có nghiệm kép λ = 1 thì tìm x∗n = n2Qk(n); trong đó Qk(n) là

đa thức bậc k của n

2 Nếu fn = Pk(n)βn là đa thức bậc k của n

Nếu (1.5) không có nghiệm λ = β thì x∗n = Qk(n)βn

Nếu (1.5) có nghiệm đơn λ = β thì x∗n = nQk(n)βn

Nếu (1.5) có nghiệm kép λ = β thì x∗n = n2Qk(n)βn, trong đó Qk(n) là

trong đó Tk(n) và Rk(n) là các đa thức bậc k của n

Nếuα = cosβ ± isinβ, vớii2 = −1, là nghiệm của phương trình đặc trưng(1.5) thì tìm x∗n dưới dạng

x∗n = nTk(n)cosβn + nRk(n)sinβn

trong đó Tk(n) và Rk(n) là các đa thức bậc k của n

Ví dụ 1.3.3 Giải phương trình sai phân:

Thay x∗n vào phương trình sai phân ban đầu ta được:

[a(n + 2)2+ b(n + 2) + c] − 7[a(n + 1)2+ b(n + 1) + c] + 12[an2+ bn + c] = 0

So sánh hệ số của n2, n và hệ số tự do ở 2 vế ta được: a = b = c = 0

2 = sin(

nπ

2 + π) = −sin

nπ2cos(n + 1)π

= 6(n + 1)cosnπ

2 + (2n + 9)sin

nπ

2 .

Giải hệ này ta được a = 1, b = 1, c = −1, d = −1.

Định nghĩa 1.4.2 Hàm số xn = x(n) biến n thỏa mãn (1.6) được gọi lànghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (1.6).

Hàm số x˜n = ˜x(n)phụ thuộc k tham số thỏa mãn (1.7) được gọi là nghiệmtổng quát của (1.7) nếu với mọi tập giá trị ban đầu x0, , xk−1 đều xácđịnh được duy nhất các tham số c1, , ck để x˜n là một nghiệm riêng của(1.7) nghĩa là vừa thỏa mãn (1.7) vừa thỏa mãn

Nghiệm tổng quát x˜n của phương trình thuần nhất:

Định lý 1.4.1 1 Nếu (1.8) có k nghiệm thực phân biệt λ1, , λk thìnghiệm tổng quát x˜n của (1.7) có dạng:

4 Nếu (1.8) có nghiệm phức λj bội s thì nghiệm tổng quát x˜n của (1.7)

có dạng:

˜

xn = X

i6=j

ciλni + rn[(A1+ + As.ns−1)cosnϕ + (B1+ + Bs.ns−1)sinnϕ)]

1.4.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗n của phương

trình sai phân tuyến tính cấp k không thuần nhất

Phương pháp chọn

a) Nếu fn là đa thức bậc m của n: fn = Pm(n) :

1 Nếu các nghiệm của phương trình (1.8)λ1, λ2, , λk là các số thực khác

1 thì x∗n có dạng

x∗n = Qm(n) với Qm(n) là đa thức bậc m của n

2 Nếu phương trình (1.8) có nghiệm λ = 1 bội s thì x∗n có dạng

x∗n = nsQm(n), m ∈ N; trong đó Qm(n) là đa thức bậc m của n

b) Nếu fn = Pm(n)βn(β 6= 0), Pm(n) là đa thức bậc m của n:

1 Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng (1.8) đều là các số thựckhác β, thì x∗n có dạng x∗n = Qm(n)βn, với Qm(n) là đa thức bậc m

2 Nếu phương trình (1.8) có nghiệm λ = β bội s và các nghiệm còn lạithực phân biệt thì x∗n có dạng x∗n = nsQm(n)βn, với Qm(n) là đa thức bậc

là nghiệm riêng của fnk, k = 1, 2, , s

Ví dụ 1.4.1 Giải phương trình sai phân sau:

sai phân và so sánh các hệ số của các lũy thừa của n ở 2 vế:

a(n + 3) + b − 3[a(n + 2) + b] − 4[a(n + 1) + b] + 12(an + b) = n + 1

2 cos

nπ

3 .

Giải Phương trình đặc trưng λ3 − 6λ2 + 11λ − 6 = 0 có các nghiệm là

Định nghĩa 1.4.3 Dãy số {un} được gọi là một dãy tuần hoàn nếu tồntại số nguyên dương l sao cho

un+l = un, ∀n ∈ N (1.9)

Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy {un} thỏa mãn (1.9) được gọi là chu

kỳ cơ sở của dãy

Chương 2

Phương trình sai phân Riccati và

một số ứng dụng trong toán sơ cấp

2.1 Phương trình sai phân Riccati

2.1.1 Một số khái niệm chung

Cho I là một khoảng số thực và giả sử

f : I → I

là hàm khả vi liên tục

Khi đó với mỗi điều kiện ban đầu x0 ∈ I, phương trình sai phân

xn+1 = f (xn), n = 0, 1, (2.1)tồn tại duy nhất nghiệm {xn}∞n=0

Định nghĩa 2.1.1 Điểm x ∈ I được gọi là điểm cân bằng (equilibriumpoint) của phương trình (2.1) nếu

Định nghĩa 2.1.2 Cho x ∈ I được gọi là điểm cân bằng của phươngtrình (2.1).

(i) Điểm cân bằng xcủa phương trình (2.1) được gọi là ổn định địa phương(locally stable) nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x0 ∈ I

(iii) Điểm cân bằng x của phương trình (2.1) được gọi là hút toàn cục(global attractor) nếu với mọi x0 ∈ I thì ta có

limn→∞xn = x

(iv) Điểm cân bằng x của phương trình (2.1) được gọi là ổn định tiệm cậntoàn cục (globally asymptotically stable) nếu nó là ổn định địa phương vàhút toàn cục

(v) Điểm cân bằng x của phương trình (2.1) được gọi là điểm gốc (source)nếu tồn tại r > 0, sao cho với mọi x0 ∈ I với 0 < |x0 − x| < r, tồn tại

Thật vậy khi B = 0, phương trình (2.2) có dạng :

là phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng số bậc 1

Khi αB − βA = 0 ⇔ α = βA

B , thay vào phương trình (2.2) ta có

là tuần hoàn với chu kỳ hai

Tiếp theo, cùng với điều kiện (2.3) đúng, giả sử rằng β + A 6= 0

là số thực khác không, gọi là số Riccati của phương trình (2.2)

Chứng minh Theo giả thiết xn+2 = xn ∀n.

(αB + β2)xn(A2 + Bα) .

Theo giả thiết A + β = 0 ⇒ β = −A ⇒ β2 = A2 Thay vào ta có

xn+2 = (αB + A

2)xn(A2 + Bα) ⇒ xn+2 = xn

Vậy nghiệm của (2.2) có chu kỳ 2

Xét (2.2) với phép đổi biến:

khi đó xn+1 = α + βxn

A + Bxn trở thành

⇔ ωn+1 = (β + A)

2ωn − (βA − Bα)(β + A)2ωn .

Từ đó có ωn+1 = 1 − R

ωn, với R =

βA − αB(β + A)2

Như vậy 4 tham số của phương trình (2.2) được rút gọn thành mộttham số đơn R của phương trình (2.5) Nếu ta đặt

Tiếp theo mục này ta tập trung vào phương trình (2.6) và đưa ra tập cấm

F và đặc trưng của các nghiệm

4 khi mà các nghiệm đặc trưng của (2.7) là các số thực Chú ý rằng

trong 2 trường hợp này các nghiệm của phương trình đặc trưng của phươngtrình (2.7) là các điểm cân bằng của phương trình (2.6)

là các điểm cân bằng duy nhất của phương trình (2.6)

Tập cấm F của phương trình (2.6) là dãy của các điểm

ωn = (ω0 − ω−)ω+n+1− (ω+− ω0)ω−n+1

(ω0 − ω−)ωn

+− (ω+− ω0)ωn

−, n = 1, 2, (2.9)

Chứng minh Rõ ràng ω+, ω− là 2 điểm cân bằng của (2.6)

Sau đây ta chứng minh (2.8)

−

ω+2 − ω2

−.ω+ω− =

1 +√

1 − 4R2

!2

√

1 − 4R2

Giả sử fn ∈ F

Chú ý 1 − ω− = ω+ nên có

1 − R

ωn =

(ω0 − ω−)ω+n+2 − (ω+ − ω0)ωn+2−(ω0 − ω−)ω+n+1 − (ω+ − ω0)ωn+1−

và điểm cân bằng ω− là điểm gốc (a source or a repeller)

Chứng minh a)Ta có lim

−



ω+ω− < ω−

(ω0 − ω−)ωn+1+ − (ω+− ω0)ω−n+1(ω0 − ω−)ω+n − (ω+− ω0)ω−n

= limn→∞

(ω0 − ω−)ω+n+1− (ω+− ω0)ωn+1−

ωn +(ω0 − ω−)ω+n − (ω+− ω0)ωn−

ω+n

= limn→∞

n→∞

(ω0 − ω−)ω+(ω0 − ω−) = ω+.

Suy ra ω+ là điểm hút toàn cục

Dãy fn hội tụ đến điểm cân bằng từ bên trái

Khi ω0 ∈ F/ , thì nghiệm của phương trình (2.6) được cho bởi

ωn = 1 + (2ω0 − 1)(n + 1)

2 + 2(2ω0 − 1)n , n = 0, 1, (2.11)

Vậy 1 − 1

4fn+1 =

n − 12n = fn.

Từ đó, lấy ω0 = fn+1 thì ω1 = fn, theo giả thiết qui nạp có

4,từ đó z = fn+1, vậy tập cấm F của phương

trình (2.6) là dãy fn cho bởi (2.10)

2 của phương trình (2.6) là điểm hút toàn cục cho

mọi nghiệm với ω0 ∈ F./

b) Điểm cân bằng ω = 1

2 là gốc từ trái.

Chứng minh

limn→∞ωn = lim

n→∞

1 + (2ω0 − 1)(n + 1)

2 + 2(2ω0 − 1)n