Phương trình sai phân Riccati và một số ứng dụng trong toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————————o0o—————————— PHẠM THỊ NINH PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN RICCATI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Khải HÀ NỘI, 2017 Lời cảm ơn Sau thời gian cố gắng, nỗ lực học tập nghiên cứu, đến hoàn thành luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Để có kết này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc lời cảm ơn chân thành đến thầy tôi, TS Nguyễn Văn Khải, người định hướng nghiên cứu cho suốt thời gian thực luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy giáo mơn Tốn Giải tích nói riêng khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung Cám ơn Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Trãi Thái Bình giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho suốt trình học tập nghiên cứu Xin cảm ơn người thân gia đình tất người bạn thân yêu thông cảm, chia sẻ tạo điều kiện tốt cho để học tập, nghiên cứu thực luận văn Tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Phạm Thị Ninh Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Văn Khải Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi Trong q trình nghiên cứu hồn thành luận văn tơi kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Phạm Thị Ninh Mục lục Lời mở đầu 7 8 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Sai phân 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số số 1.2.1 Khái niệm 1.2.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗n phương trình sai phân tuyến tính cấp khơng 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số số 1.3.1 Khái niệm 1.3.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗n phương trình sai phân tuyến tính cấp hai khơng 1.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k với hệ số số 1.4.1 Khái niệm 1.4.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗n phương trình sai phân tuyến tính cấp k khơng Phương trình sai phân Riccati số toán sơ cấp 2.1 Phương trình sai phân Riccati 2.1.1 Một số khái niệm chung 2.1.2 Phương trình Riccati 2.2 Ứng dụng toán sơ cấp 2.2.1 Hệ phương trình sai phân dạng 2.2.2 Phương trình sai phân dạng 11 11 13 16 16 18 ứng dụng 22 22 22 23 40 40 45 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 67 Lời mở đầu Lí chọn đề tài Nhiều vấn đề khoa học kĩ thuật, sinh thái, mơi trường dẫn đến tốn phương trình sai phân Trong trình nghiên cứu phương pháp số giải gần phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng dẫn đến toán phương trình sai phân Chính phương trình sai phân nội dung quan trọng giải tích tốn học có nhiều ứng dụng rộng rãi Với mong muốn tìm hiểu sâu thêm phương trình sai phân ứng dụng tốn sơ cấp, tơi chọn đề tài: "Phương trình sai phân Riccati số ứng dụng toán sơ cấp" Phần lý thuyết phương trình Riccati dựa chuyên khảo Dynamics of second order rational difference equation with open Problems and conjectures M.R.S Kulonovic G.Ladas Chapman and Hall/CRC Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính chất phương trình sai phân Riccati nêu ứng dụng toán sơ cấp Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương trình sai phân nói chung, đặc biệt ý đến phương trình Riccati Nghiên cứu số ứng dụng phương trình tốn sơ cấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu : Phương trình sai phân Riccati Phạm vi nghiên cứu : Phương trình sai phân, số ứng dụng toán sơ cấp Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích để tiếp cận vấn đề Thu thập nghiên cứu tài liệu có liên quan đến vấn đề mà luận văn đề cập tới Dự kiến đóng góp luận văn Luận văn tài liệu bước đầu phương trình sai phân Riccati số ứng dụng toán sơ cấp Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Sai phân Định nghĩa Dãy số hàm số đối số nguyên, nói cách khác, dãy số x hàm số x: Z → R, ta ký hiệu x(n) = xn (cũng thay Z N tập Z) Định nghĩa Ta gọi sai phân cấp xn ∆xn xác định ∆xn = xn+1 − xn Ta gọi sai phân cấp hàm xn sai phân sai phân cấp xn : quy nạp sai phân cấp k hàm số x(n) sai phân sai phân cấp (k − 1) hàm số x(n)(với k ≥ 2) ∆k xn = ∆(∆k−1 xn ) Tính chất 1.1.1 Sai phân cấp biểu diễn qua giá trị hàm số k k (−1)i Cki xn+k−i ∆ xn = i=0 Tính chất 1.1.2 Sai phân cấp tốn tử tuyến tính: ∆k (αxn + βyn ) = α∆k xn + β∆k yn với α, β số thực tùy ý Tính chất 1.1.3 Sai phân cấp k đa thức bậc m n bằng: a) Hằng số k = m b) k > m c) Đa thức bậc (m − k) k < m 1.2 1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số số Khái niệm Định nghĩa 1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp biểu thức tuyến tính giá trị hàm xn = x(n) điểm khác có dạng: axn+1 + bxn = fn , a = 0, b = xn+1 = qxn + fn , q = (1.1) Nếu a, b, q số, ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số số Nếu a, b, q phụ thuộc n ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số biến thiên fn hàm biết n, gọi vế phải; hàm xn phải tìm ẩn Nếu fn ≡ 0, ta có phương trình sai phân tuyến tính axn+1 + bxn = xn+1 = qxn (1.2) Nếu fn ≡ 0, ta có phương trình sai phân tuyến tính khơng Định nghĩa 1.2.2 Hàm số xn = x(n) biến n thỏa mãn (1.1) gọi nghiệm phương trình sai phân tuyến tính (1.1) Hàm số x ˜n = x˜(n) phụ thuộc tham số thỏa mãn (1.1) gọi nghiệm tổng quát (1.1) với x0 ban đầu xác định c1 để x˜n nghiệm riêng (1.1), nghĩa vừa thỏa mãn (1.1) vừa thỏa mãn x ˜ = x0 Nghiệm tổng quát (1.1) có dạng: xn = x˜n + x∗n , x ˜n nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính b (1.2) có dạng x ˜n = Cλn với λ = − , λ = q, x∗n a nghiệm riêng phương trình sai phân tuyến tính khơng (1.1) 1.2.2 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗n phương trình sai phân tuyến tính cấp khơng Phương pháp chọn(phương pháp hệ số bất định) a) Nếu fn đa thức bậc m n: fn = Pm (n): λ = x∗n tìm dạng đa thức bậc m với fn x∗n = Qm (n); Qm (n) đa thức bậc m n λ = tìm x∗n = nQm (n); Qm (n) đa thức bậc m n b) Nếu fn = Pm (n)β n (β = 0), với Pm (n) đa thức bậc m n x∗n tìm dạng: 1.x∗n = Qm (n)β n , λ = β 2.x∗n = nQm (n)β n , λ = β, Qm (n) đa thức bậc m n c) Nếu fn = αsinnx + βcosnx, α2 + β = 0, x = kπ, k ∈ Z tìm x∗n = Asinnx + Bcosnx s d) Nếu fn = s fnk , tìm nghiệm riêng k=1 x∗n x∗nk , với x∗nk tương ứng = k=1 nghiệm riêng fnk , k = 1, 2, , s Ví dụ 1.2.1 Tìm nghiệm phương trình sai phân: xn+1 = 26xn − 494.7n − 2475n + 99, x0 = 26 Giải Ta có xn = x ˜n + x∗n x˜n nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính xn+1 − 26xn = 0, x ˜n = c.26n , x∗n nghiệm riêng phương trình ban đầu x∗n = x∗n1 + x∗n2 Tìm x∗n1 = a7n Thay vào phương trình xn+1 = 26xn − 494.7n ta a.7n+1 − 26.7n = −494.7n , a = 26 Vậy x∗n1 = 26.7n Tìm x∗n2 = an + b Thay vào phương trình xn+1 = 26xn − 2475n + 99 ta nên yn = 2n Acos Do nπ nπ + Bsin 3 √ y0 = = A, y1 = −3 ⇒ B = − √ nπ ⇒ yn = − 3.2n sin Từ zn = (yn − yn+1 ) = 2n cos nπ √ nπ yn3 = − 3tan Vậy xn = zn Bài toán 15 Xét phương trình: xn+1 = 5xn − xn + (2.21) Tìm tập cấm F điểm α ∈ R thỏa mãn: x0 = α ∈ F ∃N để xN +1 không xác định 15 + 19 Giải Ta có α = −4, β = 5, A = 3, B = nên R = = > 64 64 Đổi biến xn = 8ωn − phương trình cho trở thành 5(8ωn − 3) − (8ωn − 3) + 64ωn − 19 40ωn − 19 +3= = 8ωn 8ωn 8ωn+1 − = ⇔ 8ωn+1 Từ ωn+1 19 = − 64 ωn Áp dụng Định lý 2.1.4, √ 4R − tập G = {fn = − cot(nφ), n = 1, 2, } √ ⇔ G = {fn = − cot(nφ), n = 1, 2, }, π với φ ∈ (0, ) cho √ 4R − √ cosφ = √ = √ sinφ = = 19 R R 54 (2.22) 19 tập cấm phương trình (2.22) nêu Đổi biến xn = 8ωn − tập F phải tìm điểm cấm phương trình (2.21) √ F = {1 − 3cot(nφ), n = 1, 2, } Bài tốn 16 Xét phương trình: xn+1 = xn − xn + (2.23) Tìm tập cấm F ? Giải Ta có α = −3, β = 1, A = 1, B = nên R = β+A A Đổi biến xn = ωn − ta có B B theo cơng thức xn = ωn − ⇔ xn = 2ωn − 1 Thay vào phương trình cho có 1+3 =1> 4 2ωn − − ⇔ ωn+1 = − 2ωn − + ωn √ π π Xét φ ∈ (0, ) mà cosφ = , sinφ = φ = 2 Tập G điểm cấm phương trình (2.24) √ nφ G = {fn = − cot( ), n = 1, 2, } 2 2ωn+1 − = (2.24) Vì cot(t) hàm tuần hồn chu kỳ π f1 = 0, f2 = 1, f3 không xác định nên thực chất G gồm phần tử f1 = 0, f2 = Từ đổi biến ngược lại rút tập F điểm cấm phương trình (2.23) F = {−1, 1} Bài tốn 17 Cho phương trình sai phân sau: xn+1 = xn − ; x0 = 3xn − Hãy tính [x2017 ], [x2018 ] với [.] hàm phần nguyên Giải Ta có 1.(−2) + 1.3 R= = > (1 − 2)2 55 Xét hệ phương trình  y n+1 zn+1 = yn − zn ; y0 = 0, = 3yn − 2zn ; z0 = Từ hệ ta có: yn+2 = −yn+1 − yn , y0 = 0, y1 = −1 Xét phương trình đặc trưng: √ ± i , λ2 + λ + = ⇒ λ = nên suy ra: yn = Acos nπ nπ + Bsin 3 Do y0 = nên A = √ √ 3 nπ Vì y1 = −1 ⇒ B = − ⇒ yn = − sin 3 Vậy √ (n + 1)π yn+1 = − sin 3 √ √ nπ nπ =− sin + cos 3 2 √ nπ √ nπ =− sin + 3cos 3 Từ ta có √ − nπ nπ zn = (yn − yn+1 ) = sin + cos 3 √ nπ − sin yn ⇒ xn = = √ zn − nπ nπ sin + cos 3 Vì sin(α + π) = −sinα, cos(α + π) = −cosα nên xn tuần hồn chu kỳ Lại có x0 = nên x1 = , x2 = Từ [x2017 ] = [x1 ] = 0, [x2018 ] = [x2 ] = 56 Nhận xét 2.2.4 Bài tốn sau giải tương tự Bài 17a: Cho phương trình sai phân xn+1 = 2018 Tính S = xn − ; x0 = 3xn − 2018 xi , R = i=0 [xi ] i=0 Bài tốn 18 Xét phương trình: xn+1 = 2017 Đặt S = xn + ; x0 = −xn + 2018 xi , R = i=0 xi Hỏi S, R số nguyên hay không? i=0 Giải Xét hệ phương trình  y n+1 zn+1 = yn + zn ; y0 = 2, = −yn + zn ; z0 = Từ hệ ta có yn+2 = 2yn+1 − 2yn , y0 = 2, y1 = Xét phương trình đặc trưng λ2 − 2λ + = ⇒ λ = ± i nên √ nπ nπ + Bsin yn = ( 2)n Acos 4 Do y0 = = A, y1 = = A + B ⇒ B = √ nπ nπ ⇒ yn = ( 2)n (2cos + sin ) 4 Lại có zn = (yn+1 − yn ) √ √ (n + 1)π nπ (n + 1)π nπ = ( 2)n+1 (2cos + sin ) − ( 2)n (2cos + sin ) 4 4 57 √ nπ nπ = ( 2)n (cos − 2sin ) 4 nπ nπ 2cos + sin yn 4 ⇒x =x = Vậy xn = n n+4 nπ nπ zn − 2sin cos 4 nπ nπ 2cos( + π) + sin( + π) 4 Thật xn+4 = nπ nπ + π) − 2sin( + π) cos( 4 nπ nπ −2cos − sin 4 = nπ nπ −cos + 2sin 4 nπ nπ + sin 2cos 4 = nπ nπ = xn cos − 2sin 4 1 Lại có x0 = 2, x1 = −3, x2 = − , x3 = ⇒ xn = xn + 4, nên có 1 −7 x0 + x1 + x2 + x3 = − − + = 2017 S= xi = 504(x0 + x1 + x2 + x3 ) + (x2016 + x2017 ) i=0 (−7) + + (−3) = −589 ∈ Z Tương tự R = 504(x0 + x1 + x2 + x3 ) + (x2016 + x2017 + x2018 ) (−7) 1179 = 504 + + (−3) − = − ∈ / Z 2 R số nguyên = 504 Nhận xét: Từ tốn trên, ta nêu tốn tổng quát sau đây: Bài toán 19 Xét phương trình: xn+1 = N Đặt S = N +M xi , Q = i=0 xn + ; x0 = −xn + xi Hỏi S, Q số nguyên dương hay không(N, M i=N hai số tự nhiên ≥ 0)? 58 Bài toán 20 Xét phương trình: xn+1 = √ xn − ; x0 = xn + a) Hỏi x2007 âm hay dương, hữu tỷ hay vô tỷ? 2017 b) Đặt S = xi Hỏi S âm hay dương; S hữu tỷ hay vô tỷ? i=0 2018 c) Đặt R = xi Hỏi R âm hay dương; R hữu tỷ hay vơ tỷ? i=1000 Giải Xét hệ phương trình  y n+1 zn+1 = yn − 3zn ; y0 = √ 3, = yn + zn ; z0 = √ Từ hệ ta có y1 = − yn+2 = yn+1 − 3zn+1 = yn+1 − 3(yn + zn ) ⇒ yn+2 = yn+1 − 3yn − 3zn ⇒ yn+2 = yn+1 − 3yn + yn+1 − yn ⇒ yn+2 = 2yn+1 − 4yn √ √ ⇒ yn+2 − 2yn+1 + 4yn = 0, y0 = 3, y1 = − Xét phương trình đặc trưng √ λ2 − 2λ + = ⇒ λ = ± i nên yn = 2n Acos Do y0 = √ nπ nπ + Bsin 3 √ √ = A, y1 = − = 2(A + B) ⇒ B = − √ nπ nπ ⇒ yn = 2n 3(2cos − sin ) 3 Lại có zn = [(yn+1 − yn )] √ n+1 √ (n + 1)π (n + 1)π nπ nπ = [2 3(2cos + sin ) − 2n 3(2cos + sin )] 3 3 nπ nπ n = (cos + sin ) 3 59 nπ nπ cos − sin √ yn 3 = √3cot nπ + π = Vậy xn = nπ nπ zn cos + sin 3 √ √ √ √ √ Từ ta có x0 = 3, x1 = 3( − 2), x2 = − 3( + 2) √ nπ π + tuần hoàn chu kỳ a) Vì xn = 3cot √ (n + 3)π π Thật xét xn+3 = 3cot + √ nπ π + +π = 3cot √ nπ π = 3cot + = xn √ √ ⇒ x2017 = x2016+1 = x1 = 3( − 2) vô tỷ âm 2017 b)S = xi = (x0 + x1 + x2 ) + + (x2013 + x2014 + x2015 ) + x2016 + x2017 i=0 √ ⇒ S = 672(−3) + x0 + x1 √ √ √ √ ⇒ S = −3 3.672 + + 3( − 2) vô tỷ âm 2017 c) R = xi = (x1000 + x1001 + x1002 ) + + (x2015 + x2016 + x2017 ) + x2018 i=1000 √ ⇒ R = 339(−3) + x2 √ √ √ ⇒ R = −3 3.339 − 3( + 2) vô tỷ âm Nhận xét: a) Có thể thay x2017 xM với M N +M b) Có thể thay S R = xi với N, M i=N Bài tốn 21 Xét phương trình: xn+1 = xn + ; x0 = −xn + 2017 Đặt S = xi Hỏi S số nguyên dương hay khơng? i=0 60 Giải Xét hệ phương trình  y n+1 zn+1 = yn + zn ; y0 = 2, = −yn + zn ; z0 = Từ hệ ta có yn+2 = 2yn+1 − 2yn , y0 = 2, y1 = Xét phương trình đặc trưng λ2 − 2λ + = ⇒ λ = ± i nên √ n nπ nπ yn = ( 2) Acos + Bsin 4 Do y0 = = A, y1 = = A + B ⇒ B = √ n nπ nπ + sin ) ⇒ yn = ( 2) (2cos 4 Lại có zn = (yn+1 − yn ) √ √ (n + 1)π (n + 1)π nπ nπ = ( 2)n+1 (2cos + sin ) − ( 2)n (2cos + sin ) nπ 4 √ n nπ = ( 2) (cos − 2sin ) nπ nπ 2cos + sin yn 4 = Vậy xn = nπ nπ zn cos − 2sin 4 1 Từ x0 = 2, x1 = −3, x2 = − , x3 = ⇒ xn = xn + 4, nên rút ra: 2017 xi = 504(x0 + x1 + x2 + x3 ) + (x2016 + x2017 ) = −589 S= i=0 Bài toán 22 Cho dãy số {un } thỏa mãn u1 = u13 un+1 = k > 0, n = 1, 2, Hãy tìm giá trị k Giải Chú ý: √ un k+√ k + xn un+1 k un+1 = ⇒ √ = √ un − xn k − k√ k 61 k + un , − un (2.25) √ u1 π π π k = tanα; √ = tanβ, < α < ; − < β < 2 k Từ (2.38), chứng minh quy nạp theo n = 1, 2, 3, , ta có: Đặt u √n = tan((n − 1)α + β), ∀n ∈ N∗ k Do đó: u13 = u1 ⇔ tan(12α + β) = tanβ ⇔ 12α = lπ(l ∈ Z) π Vì < α < ⇒ l ∈ {1, 2, 3, 4, 5} π π π π 5π Tương ứng α ∈ , , , , 12 12 π √ − cos √ − π = √ 3; = Nhận xét: tan2 = − 12 + cos π 2+ √ 5π π tan = cot + 12 12 √ √ Vậy k ∈ {7 − 3; ; 1; 3; 7; + 3} Bài toán 23 Cho hai dãy số (xn ) (yn ) xác định bởi: x1 = 2, y1 = 1, 3xn+1 = xn + yn , 3yn+1 = 2yn − 7xn a Chứng minh khơng có số hạng hai dãy số b Chứng minh dãy số có vơ số hạng dương vơ số số hạng âm 2007 yk2 lập phương số tự nhiên c Chứng minh k=2000 d Số hạng thứ 20072007 hai dãy số có chia hết cho hay khơng? Giải: Ta có 9xn+2 = 3xn+1 + 2yn − 7xn = 3xn + + 2(3xn+1 − xn ) − 7xn Suy xn+2 = 3xn+1 − xn Tương tự ta chứng minh yn+2 = yn+1 − yn Phương trình đặc trưng λ2 − λ + = 62 π π + isin 3 Nên nghiệm tổng quát có dạng có nghiệm phức λ = cos xn = acos nπ nπ nπ nπ + bsin , yn = ccos + dsin 3 3 Thay giá trị ban đầu: x1 = 2, x2 = 2, y1 = 1, y2 = −4 ta tính nπ nπ nπ √ nπ √ xn = cos + 3sin , yn = 5cos − 3sin 3 3 Do tính chất: cos(α + π) = −cosα, sin(α + π) = −sinα nên ta có xn = −xn+3 = xn+6 , yn = −yn+3 = yn+6 Từ giả thuyết suy x1 = 2, x2 = 1, x3 = −1, x4 = −2, x5 = −1, x6 = y1 = 2, y2 = −4, y3 = −5, y4 = −1, y5 = 4, y6 = Đều giá trị khác nên khơng có số hạng hai dãy b Ta có xn+3 + xn = Nếu dãy (xn ) có hữu hạn số hạn dương tồn n0 để xn > với n > n0 Điều dẫn đến xn+3 + xn > vô lý Chứng tỏ dãy (xn ) có vơ số hạng dương Các trường hợp lại chứng minh tương tự c Theo kết yn+6k = yn ta suy y2000 = y2006 = y2 = −4, y2001 = y2007 = y3 = −5 y2002 = y4 = −1, y2003 = y5 = 4, y2004 = y6 = 5, y2005 = y1 = 2007 yk2 = 125 = 53 lập phương số tự nhiên Vậy k=2000 d Ta có 2007 ≡ 3(mod6), 3n ≡ 3(mod6) nên 20072007 ≡ 3(mod6) Mặt khác x3 = −1, y3 = −5 Vậy số hạng thứ 20072007 dãy (yn ) chia hết cho 5, số hạng thứ 20072007 dãy (xn ) không chia hết cho 63 2xn − 2xn − Hãy tìm giá trị x1 để dãy hội tụ tính lim xn Giải: Xét hệ phương trình  y n+1 = 2yn − 8zn ; y1 = x1 , zn+1 = 2yn − 6zn ; z1 = Bài toán 24 Cho dãy số (xn ) xác định sau: xn+1 = Từ hệ ta có yn+2 = 2yn+1 − 8zn+1 = −4yn+1 − 4yn Xét phương trình đặc trưng λ2 + 4λ + = ⇒ λ = −2 nên yn = (A + Bn)(−2)n Do y1 = x1 , y1 = x1 = (A + B)(−2); ⇒ A = 1, B = ⇒ yn = (1 + n).(−2)n Do y2 = 2y1 − 8z1 , z1 = nên  2x1 − = (A + 2B).(−2) Suy  −2(A + B) = x1 A = − x1 + ⇒ B = x − 4(A + 2B) = 2x1 − Do với n = 1, 2, ta có yn = (−2)n (− x1 + + (x1 + 2)n) 1 ⇒ zn = (2yn − yn+1 ) = (−2)n [−x1 + + (x1 + 2)n] y1 yn Ta có = x1 Giả sử = xn Khi z1 zn yn+1 2yn − 8zn 2xn − = = = xn+1 zn+1 2yn − 6zn 2xn − Vậy theo nguyên lí quy nạp ta suy n (−2) (− x1 + + (x1 + 2)n) yn xn = = , ∀n = 1, 2, zn (−2)n [−x1 + + (x1 + 2)n] 64 Tức xn = −3x1 + + 2(x1 + 2)n , ∀n = 1, 2, −x1 + + (x1 + 2)n Do xn khơng xác định −x1 + + (x1 + 2)n = ⇔ x1 = −2n − n−1 Vậy ta có kết luận sau: −2n − với giá trị n ∈ N∗ dãy khơng xác Khi x1 = n−1 định Khi x1 = xn = 1, ∀n = 1, 2, Với giá trị khác x1 xn xác định ∀n = 1, 2, xn = −3x1 + + 2(x1 + 2)n , ∀n = 1, 2, −x1 + + (x1 + 2)n Từ ta có lim xn = lim −3x1 + + 2(x1 + 2)n = −x1 + + (x1 + 2)n Bài toán 25 Cho hai dãy (xn ), (yn ) xác định bởi: x0 = 1, x1 = 4, xn+2 = 3xn+1 − xn x0 = 1, x1 = 2, xn+2 = 3xn+1 − xn a) Chứng minh rằng: x2n − 5yn2 + = 0, ∀n ∈ N b) Giả sử a, b số nguyên dương thỏa mãn a2 − 5b2 + = Chứng minh tồn số k cho xk = a, yk = b Giải a) Ta xây dựng mối quan hệ hai dãy (xn ), (yn ) sau: Giả sử có xn+1 = axn + byn , yn+1 = cxn + dyn Với giá trị x0 , x1 , x2 , y0 , y1 , y2 ta tìm 3 a = ,b = ,c = ,d = 2 2 Vậy  ta dự đoán dãy (xn ), (yn ) cho thỏa mãn: 3x + 5yn  xn+1 = n xn + 3yn   yn+1 = Và dễ dàng kiểm tra dự đoán 65 Tiếp theo ta chứng minh yêu cầu toán quy nạp Giả sử x2n − 5yn2 + = Khi ấy: x2n+1 − 5yn+1 = 3xn + 5yn 2 xn + 3yn −5 2 = x2n − 5yn2 = −4 Câu a) toán chứng minh b) Giả sử (a0 , b0 ) cặp số nguyên dương thỏa mãn a20 − 5b20 + = b0 > b0 = a0 = Khi tồn k = để x0 = y0 = thỏa mãn hệ thức đề 3a0 − 5b0 3b0 − a0 Ta chọn cặp (a1 , b1 ) = , Dễ dàng chứng minh 2 a1 , b1 nguyên dương Khi có: a21 − 5b21 +4= 3a0 − 5b0 2 3b0 − a0 −5 2 + = a20 − 5b20 + = Như cặp (a1 , b1 ) cặp thỏa đề Cũng có: a1 + b1 = a0 − b0 < a0 + b0 Tương tự ta chọn cặp (ai , bi ) thỏa mãn: < + bi < < a2 + b2 < a1 + b1 Dãy số (an + bn ) giảm mà bị chặn nên tồn số k cho : ak + bk = ⇒ ak = bk = Như ta có ak = x0 , bk = y0 3ak−1 − 5bk−1 3bk−1 − ak−1 Chú ý ak = , bk = nên: 2 5bk + 3ak 5y0 + 3x0 3bk + ak 3y0 + x0 ak−1 = = = x1 , bk−1 = = = y1 2 2 5b1 + 3a1 5yk−1 + 3xk−1 3b1 + a1 3yk−1 + xk−1 a0 = = = xk , b0 = = = yk 2 2 Vậy tồn số k cho (xk , yk ) = (a0 , b0 ) cặp số thỏa mãn yêu cầu đề 66 Kết luận Luận văn tài liệu ban đầu phương trình sai phân Riccati số ứng dụng toán sơ cấp Phần đóng góp tác giả luận văn: a Tồn phần lý thuyết phương trình Riccati chứng minh chi tiết b Nêu dạng toán dành cho học sinh giỏi (bài 15, 16) c Nêu số tập mới, dù dạng toán khơng hồn tồn (bài 17, 18, 19, 20) 67 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Vũ Quốc Chung-Nguyễn Văn Hùng-Nguyễn Văn Khải-Khuất Văn Ninh, Ứng dụng sai phân phương trình sai phân toán sơ cấp, Nhà xuất Sư phạm 2014 [2] Lê Đình Thịnh (Chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp, Phương trình sai phân số ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục 2001 [B] Tài liệu tiếng Anh [3] M.R.S Kulenovic; Dynamics of second order rational difference equation with open Problems and conjectures Chapman and Hall/CRC 68 ... k khơng Phương trình sai phân Riccati số tốn sơ cấp 2.1 Phương trình sai phân Riccati 2.1.1 Một số khái niệm chung 2.1.2 Phương trình Riccati 2.2 Ứng dụng toán sơ cấp ... tốn phương trình sai phân Trong trình nghiên cứu phương pháp số giải gần phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng dẫn đến toán phương trình sai phân Chính phương trình sai. .. chất phương trình sai phân Riccati nêu ứng dụng toán sơ cấp Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương trình sai phân nói chung, đặc biệt ý đến phương trình Riccati Nghiên cứu số ứng dụng phương trình