Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng

Header Page 1Phạm of 123 T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ Sáng kiến kinh nghiệm MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Footer Page of 123 Header Page 2Phạm of 123 T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ A- PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Số phức có vai trò quan trọng toán học, với xuất số i, ký hiệu thông dụng toán học, dẫn đến việc định nghĩa số phức dạng z= a + bi, a, b số thực Đối với chương trình toán học phổ thông số phức đưa vào cuối cấp lớp 12, việc làm quen sử dụng ứng dụng số phức vào giải toán học sinh điều khó, năm gần đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng đề cập đến số phức dạng toán đơn giản Để giúp em hiểu sâu dạng toán thường gặp số phức ứng dụng số phức, mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số dạng toán thường gặp số phức ứng dụng” II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu đề tài “Một số dạng toán thường gặp số phức ứng dụng” nhằm giúp học sinh rèn kỹ giải toán số phức, nhằm phát triển tư logic cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng học tập học sinh, tạo hứng thú học tập môn toán, góp phần đổi phương pháp giảng dạy môn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo học sinh , góp phần nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh giỏi môn toán, góp phần kích thích đam mê, yêu thích môn toán, phát triển lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh Đối tượng áp dụng: học sinh 12 III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Xác định sở khoa học số phức với dạng đại số lượng giác phân số dạng toán thường gặp số phức Tiếp cận số ứng dụng số phức giải toán đại số, lượng giác hình học IV ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Một số dạng toán thường gặp số phức, ứng dụng số phức giải toán đại số, lượng giác hình học chương trình toán trung học phổ thông V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tài liệu có liên quan số phức Thực tiết dạy số lớp B – PHẦN NỘI DUNG I- CƠ SỞ LÝ THUYẾT Khái niệm số phức Một số phức biểu thức dạng a+bi, a b số thực số i thỏa mãn i =-1 Ký hiệu số phức z viết z=a+bi Footer Page of 123 Header Page 3Phạm of 123 T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực b gọi phần ảo số phức z=a+bi Tập hợp số phức ký hiệu C Chú ý: Số phức z= a+ 0i có phần ảo coi số thực viết a + 0i =a thuộc R  C Số phức có phần thực gọi số ảo (còn gọi số ảo): z= 0+ bi = bi (b  R ); i= + 1i= 1i Số 0= + 0i vừa số thực vừa số ảo Định nghĩa 2: Hai số phức z= a+ bi (a, b  R ), z’= a’+ b’i (a’,b’  R ) gọi a=a’, b= b’ Khi ta viết z= z’ Biểu diễn hình học số phức Ta biết biểu diễn hình học số thực điểm trục số Đối với số phức, ta xét mặt phẳng tọa độ Oxy Mỗi số phức z= a+ bi (a,b  R ) biểu diễn điểm M có tọa độ (a;b) Ngược lại, rõ ràng điểm M(a;b) biểu diễn số phức z= a+ bi Ta viết M(a+bi) hay M(z) Vì lẽ đó, mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức gọi mặt phẳng phức Phép cộng phép trừ số phức a) Tổng hai số phức Định nghĩa 3: Tổng hai số phức z= a+ bi, z’= a’+ b’i (a, b, a’, b’  R ) số phức z+ z’ = a+ a’ + (b+b’)i b) Tính chất phép cộng số phức Từ định nghĩa 3, dễ thấy phép cộng số phức có tính chất sau đây, tương tự phép cộng số thực  Tính chất kết hợp: (z+ z’) + z”=z+ (z’+ z”) với z, z’, z”  C  Tính chất giao hoán: z+ z’=z’+z với z,z’  C  Cộng với 0: z+ = 0+ z = z với z  C  Với số phức z= a+ bi (a,b  R ) ký hiệu số phức –a –bi –z ta có: z+ (-z) = (-z) +z =0 Số -z gọi số đối số phức z c) Phép trừ hai số phức Định nghĩa 4: Hiệu hai số phức z z’ tổng z với –z’, tức z-z’=z+(-z’) Nếu z= a+ bi, z’=a’+b’i (a,b,a’,b’  R ) z-z’ = a-a’ + (b-b’)i Phép nhân số phức a) Tích hai số phức Footer Page of 123 Header Page 4Phạm of 123 T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ Định nghĩa 5: Tích hai số phức z= a+ bi z’= a’+ b’i (a,b,a’,b’  R ) số phức zz’= aa’ – bb’+(ab’+a’b)i b) Tính chất phép nhân số phức  Tính chất giao hoán: zz’=z’z với z,z’  C  Tính chất kết hợp: (zz’)z”= z(z’z”) với z,z’,z”  C  Nhân với 1: 1.z = z.1 với z  C  Tính chất phân phối phép nhân phép cộng: z(z’+z”) = zz’+zz” với z,z’,z”  C Số phức liên hợp môđun số phức a) Số phức liên hợp Định nghĩa 6: Số phức liên hợp z= a+ bi (a, b  R ) a-bi ký hiệu z Như vậy: z  a  bi  a  bi Rõ ràng: z = z nên người ta nói z z hai số phức liên hợp với (gọi tắt hai số phức liên hợp) Hai số phức liên hợp điểm biểu diễn chúng đối xứng với qua trục Ox b) Mô đun số phức Định nghĩa 7: Mô đun số phức z=a+bi (a, b  R ) số thực không âm a  b ký hiệu z Như vậy: Nếu z= a+bi (a, b  R ) z  z z  a  b Phép chia cho số phức khác Định nghĩa 8: Số nghịch đảo số phức z khác số z 1  z' z Thương phép z z chia số phức z’ cho số phức z khác tích z’ với số phức nghịch đảo z, tức Như vậy: Nếu z  z'  z ' z 1 z z' z'z  z z Căn bậc hai số phức Định nghĩa: Cho số phức w, số phức z thỏa mãn z  w gọi bậc hai w Phương trình bậc hai Nhờ tính bậc hai số phức, dễ thấy phương trình bậc hai Az  Bz  C  1 Trong A,B,C số phức, ( A  ) có hai nghiệm phức (có thể Footer Page of 123 Header Page 5Phạm of 123 T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ trùng nhau) Việc giải phương trình tiến hành tương tự trường hợp A, B, C số thực Cụ thể là: Xét biệt thức:   b  4ac Nếu   phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: z1  - B   B   ; z2  2A 2A  bậc hai  Nếu   phương trình (1) có nghiệm kép: z1  z   - B 2A Dạng lượng giác số phức Định nghĩa 1: Cho số phức z  Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgument z Định nghĩa 2: Dạng z  r (cos  i sin  ) r > gọi dạng lượng giác số phức z  Còn dạng z=a+ bi ( a, b  R ) gọi dạng đại số số phức z 10 Nhân chia số phức dạng lượng giác Định lý: Nếu z  r (cos  i sin  ) , z '  r '(cos ' i sin  ')(r  0, r '  0) zz’= rr’ cos    '    i sin(   ')] , z' r'   cos  '    i sin  '    (Khi r>0) z r  11 Công thức Moa-vro (Moivre) ứng dụng a) Công thức Moavro Từ công thức nhân số phức dạng lượng giác, quy nạp toán học dễ dàng suy với số nguyên dương n [r (cos  i sin  )]n  r n  cos  i sin   r=1 ta có: (cos  i sin  ) n  cosn  i sin n b) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Từ công thức Moavro dễ thấy số phức z  r (cos  i sin  ) r>0 có hai bậc hai là:            r  cos i sin  - r  cos i sin   r  cos      i sin      2 2   2  2   II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Thí dụ 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho u  ảo Giải: Đặt z= x+ yi (x, y  R ), đó: Footer Page of 123 z   3i số z i Header Page 6Phạm of 123 T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ u   x     y  3 i   x     y  3 i   x   y  1 i  x   y  1 i x   y  1 x   y  x  y    x  y  1 i x   y  1 2  x  y  x  y    x  1   y  1  u số ảo    x   y  1   x; y    0;1 Vậy tập hợp điểm biểu diễn z đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính Thí dụ 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số z   3i   x    y   i  x    y  1 i z 4i 2 2   x     y  3   x     y  1  x  y   Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình 3x-y-1=0 Thí dụ 3: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:\ a) z 3 z i b) z  z   4i c) z  i  z  i  Giải: a) Đặt z= x+ yi (x,y  R ) 9  Ta có: z  z  i  x  y   x   y  1   x   y      8 64   9 Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm I  0;  bán kính R   8 b) Đặt z= x+ yi (x,y  R ) Ta có z  z   4i  x  y   x  3    y   x  y  25 Vậy tập hợp điểm M đường thẳng 6x+ 8y= 25 c) Đặt z=x+yi (x,y  R ) Footer Page of 123 trừ điểm (0;1) phức z thỏa mãn Header Page 7Phạm of 123 T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ 2 z  i  z  i   x   y  1  x   y  1   x  y 1       x   y  12  16  x   y  1  x   y  12   x   y  1  16  x   y  12  16     4 x  y  y   y  y  16 2 x   y  1  y   y  4   x   y  1  16 1   x2 y   1  2 3  y  4  3  Ta thấy điểm nằm hình tròn (1) elip (2) tung độ điểm nằm elio thỏa mãn điều kiện y  4 Vậy tập hợp điểm M elip có phương trình  x2 y  1  Thí dụ 4: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w   i z  biết số phức z thỏa mãn z 1  Giải: Gọi z= a+ bi (a, b  R ), w= x+ yi (x, y  R ) Ta có     w   i z   x  yi   i  a  bi    x  a  b   x   a   b   y  a  b   y    a  1  b  Từ  x  3  y   2   a  1  b   16 (1)    Vậy tập hợp điểm cần tìm hình tròn  x  3  y      16 có tâm I 3; bán kính R=4 Thí dụ 5: Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức z cho số z2  có acgumen z2 Giải: Gọi z= x+ yi (x,y  R ) Footer Page of 123 Header Page 8Phạm of 123 T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ z   x    yi  x    yi   x    yi    z   x    yi  x  2  y2 ta có  x   y  yi  x   x    x  2 x2  y2   x  2 y  y2 x2  y   x  2  y2  4y  x  2  y2 i 1 z2  có acgumen nên ta có: z2 Vì số phức 2      i  r  cos  i sin  3   x  2  y 4y 2  r  0  x2  y  r   2   x  2  y  4y r   2   x  2  y  Từ suy y>0 (1) 4y 4y   x2  y   x  y 4 2      x  y    3  3  2  2 Từ (1) (2) ta có tập hợp điểm M đường tròn có tâm nằm trục thực Thí dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z    4i   Giải: Đặt z= x+ yi (x,y  R )  z   4i   x     y   i Từ z    4i   ta có  x  3   y   2    x  3   y    Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(3; -4), bán kính R=2 Thí dụ 7: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  i  1  i  z Giải: Đặt z= x+ yi (x,y  R ) Ta có: z  i  1  i  z  x   y  1 i   x  y    x  y  i 2  x   y  1   x  y    x  y  2  x  y  xy    x   y  1  Footer Page of 123 Header Page 9Phạm of 123 T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn có phương trình x   y  1  2 Tính mô đun số phức Thí dụ 8: Giả sử z1; z2 hai số phức thỏa mãn z  i   3iz z1  z  Tính mô đun z1  z2 Giải: Đặt z= x+ yi (x,y  R )  z  i   3iz  x   y  1 i    y   xi 2 2   x    y  1    y    x   x  y  Suy z1  z2  Ta lại có: 1  z  3 2 2  z1  z2   z1  z2  z1  z2  z1  z  z1 z2  z2 z1   z1 z  z2 z1 9  Suy z1 z2  z2 z1           Khi đó: z1  z2   z1  z2  z1  z  z1  z2  z1 z2  z2 z1   z1  z2  Chú ý: Học sinh đặt z1; z2 dạng đại số để tính Thí dụ 9: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z  z  10  Tính giá trị biểu thức A  z1  z2 Giải: Ta có 2 z  z  10    z  1  9   z  1   3i   z  1  3i   z  1  3i z1  1  3i  z1   1 z2  1  3i  z2  10 2 Vậy A  z1  z2  20 Footer Page of 123  32  10 Header Page 10 of 123.T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ Phạm Thí dụ 10: Cho số phức z thỏa mãn z  z  13  Tính z  z i Giải: 2 z  z  13    z    4   z  3   2i   z   2i   z   2i Với z   2i ta có z  6   2i    i  17 z i  3i Với z   2i ta có z  6   2i   24  7i  z i 3i 1  3i  Thí dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z  1 i Tìm Mô dun số phức z  iz Giải:  Ta có  Do z     8  4  4i Suy z  4  4i 1 i  z  iz  4  4i   4  4i  i  8  8i Vậy z  iz  Thí dụ 12: Tính mô đun số phức z biết rằng:  z  11  i    z  1 1  i    2i Giải: Gọi z= a+ bi (a, b  R ) Ta có  z  11  i    z  1 1  i    2i   2a  1  2bi  1  i    a  1  bi  1  i    2i   2a  2b  1   2a  2b  1 i   a  b  1   a  b  1 i   2i   a  3a  3b    3a  3b    a  b   i   2i     a  b   2 b    Suy mô đun: z  a  b  Footer Page 10 of 123 Header Page 18 of 123.T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ Phạm       r z   r  cos     i sin          6  3i   r  0 ta có:  r  x     r  z   x   2i    z    2i  r x      2    Thí dụ 34: Cho số phức z   cos    i sin Tìm moodun, acgument viết z dạng 7 lượng giác Giải: Ta có:      z    cos   sin    cos  7 7   8  4   1  cos  cos s     8 sin   cot 4  tan     Gọi  acgument z tan      4  14   cos 2sin 7  sin Suy      k , k  Z 14 Vì phần thực  cos Vậy z  cos     , phần ảo  sin  nên ta chọn acgument  7 14 4         cos     i sin       14   14     Thí dụ 35: Tìm acgument số phức z   i biết acgument z Giải: z có acgument 1   nên z  z    i  2  1  Do z   i   z     i  2      Khi z  acgument z   i Footer Page 18 of 123   Header Page 19 of 123.T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ Phạm   Khi  z  acgument z   i  4  Khi z  z   i =0 nên acgument không xác định Thí dụ 36: Viết số phức z dạng lượng giác biết z   z  3i i z có acgument  Giải: Đặt z  r  cos  i sin    r  0,   R  Khi z  r  cos  isin        i z  r  sin   i cos    r cos      i sin       2   2 Theo giả thiết         Khi đó: z   z  3i  r 3r r r  1 i     1 2 2  2 2 r2  r  3r r  r     1      1  r    1  r  4 2  2  2  Vậy z  cos    i sin 3 III- ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC Thí dụ37: Chứng minh cos  1  Giải: Đặt x  cos     , y  sin ; z  x  iy  cos  i sin 5 5   Ta có: z  1 hay  z  1 z  z  z  z   Vì z  1 nên z  z  z  z  =0 z  nên chia hai vế cho z ta Footer Page 19 of 123 Header Page 20 of 123.T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ Phạm 1  1   z     z   1  z   z  1  1    z     z   1  z  z  1 1 1 Ta để ý x   z   từ đẳng thức ta có: x  x    x  2 z Do x>0 nên x  cos  1  Thí dụ 38: Chứng minh công thức: sin 5  16sin   20sin   5sin  1 cos5  16 cos5   20 cos3   5cos    Giải: Áp dụng công thwcsMoiver ta có:  cos  i sin    cos5  i sin 5 Khai triển nhị thức:  cos  i sin    cos 5  5i cos  sin   10i cos3 sin   10i cos  sin   5i cos  sin   i sin       1  sin    cos   10 cos3   cos   5cos   cos    i sin 2    10  sin  sin   sin   Đồng phần thực, phần ảo rút gọn ta (1) Công thức (2) chứng minh tương tự Thí dụ 39: Chứng minh rằng: a) cos  3 5  cos  cos  7 b) cos  2 3  cos  cos  7 Giải: Các đẳng thức cách chứng minh lượng giác (Nhân vế trái với 2sin thể dùng số phức để giải a) Đặt z  cos Mặt khác Footer Page 20 of 123    i sin  z  cos  i sin   1 hay z   7  ) có Header Page 21 of 123.T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ Phạm cos  3 5  1 1  1  z10  z  z  z  z   cos  cos   z     z3     z5    7 2 z 2 z  2 z  2z5 Vì z   nên z10   z z   z Suy z10  z  z  z  z   z  z  z  z  z   z6  z5  z  z3  z  z  1 z5  Do đó: cos z7 1  z  z5 z 1  3 5 z5  cos  cos   7 2z b) Xét phương trình x   Dễ thấy nghiệm phương trình bậc số -1 Tập nghiệm phương trình là: i {e ,e i 3 , ,e i13 } i Mặt khác: e ,e i 3 , ,e i13  i 27  e  1 i    e 0 i e Nên tổng phần thực Do đó:  3 5 7 9 11 13  cos  cos  cos  cos  cos  cos 0 7 7 7  3 5     cos  cos  cos  1  7    2 3  cos  cos  cos  7 cos Thí dụ 40: Cho a, b, c số thực cho: cos a  cos b  cos c  sin a  sin b  sin c  Chứng minh rằng: cos a  cos 2b  cos 2c  sin 2a  sin 2b  sin 2c  Giải: Đặt x  cos a  i sin a y  cos b  i sin b z  cos c  i sin c Ta có x+ y + z=0 1     cos a  i sin a    cos b  i sin b    cos c  i sin c   x y z Do đó: xy + yz +zx=0 Footer Page 21 of 123 Header Page 22 of 123.T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ Phạm Suy ra: x  y  z   x  y  z    xy  yz  zx   hay  cos2a  i sin 2a    cos2c  i sin 2c    cos2b  i sin 2b   Từ ta có: cos2a  cos2b  cos2c  sin a  sin 2b  sin 2b  Thí dụ 41: Chứng minh rằng: a) Cn0  Cn2  Cn4  Cn6  Cn8     cos n 4 1 b) Cn1  Cn3  Cn5  Cn7  Cn9    2 n n sin n   2 Giải: Đặt vế trái (1) S1, (2) S2 Xét khai triển: 1  i  n  Cn0  iCn1  i 2Cn2  i 3Cn3   i nCnn Do i k  k  4m  i k  i k  4m  m  Z   i k  1 k  4m  i k  i k  4m  n    Khi 1  i   Cn0  Cn2  Cn4  Cn6   i Cn1  Cn3  Cn5  Cn7  n n 1  i   n    cos  i sin   4       cos n 4  i sin n 4  n Từ (3) (4) ta có:   cos n 4     sin n n S1  n S2 Thí dụ 42: Chứng minh rằng: Cn0  2Cn2  4Cn4  6Cn6 Giải: Footer Page 22 of 123  n 3  sin  n  1 n 1  2   n   Cn1  3Cn3  5Cn5  7Cn7   n cos  n  1   3 4 Header Page 23 of 123.T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ Phạm 1  x  n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   Cnb x n Đạo hàm hai vế theo x: n 1  x  n 1  Cn1  xCn2  x 2Cn3   nx n 1Cnb Cho x=i: n 1  i  n 1  Cn1  2iCn2  3i 2Cn3   ni n 1Cnb     Cn1  3Cn3  5Cn5  7Cn7   2i Cn0  2Cn2  4Cn4   Thí dụ 43: Chứng minh bất đẳng thức: a) x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x   x  y  z  b) cos x cos y  sin  x  y   sin x sin y  sin  x  y     Giải: a) Đặt y  z z2  y   x z3  z   z1  x  yi zi xi Ta có: z1  x  xy  y z2  y  yz  z Và z1  z2  z3   x  y  z  z3  z  zx  x Do z1  z2  z3  z1  z2  z3 nên ta có điều phải chứng minh b) Đặt z1  cos x cos y  i sin  x  y  z2  2sin x sin y  i sin  x  y  Làm tương tự phần a) ta có điều phải chứng minh Thí dụ 44: Chứng minh z  Giải: Giả sử z  a  bi  a,b  R  z  a2  b z   a2  b   a2  b  Footer Page 23 of 123 2z  1  iz  x, y, z    x, y  R  Header Page 24 of 123.T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ Phạm 4a2   2b  1 2z  2a   2b  1 i Ta có:   2  iz   b     b   a2 đpcm  4a2   2b  1 2 b   a2 2 2   4a2   2b  1    b   a2  a2  b  ta có điều phải chứng minh Thí dụ 45: Cho số phức z khác thỏa mãn điều kiện z  1  CMR: z   z z Giải: Ta có với hai số phức z1 , z ta có : z1  z  z1  z2 3   1 1 1 1 Ta có :  z    z   3 z    z   z3   z   2 z  z z z z z z z   Đặt z   a ta có a3  3a     a  2 a  1  z Vậy ta có điều phải chứng Tính tổng Thí dụ 46: Tính tổng S1  sin a  sin 2a   sin na S  cos a  cos2a   cos na Giải: Đặt z  cos a  i sin a Ta có: S2  iS1  z  z   z n  z z n  cos na  i sin na    z 1 cos a  i sin a  na na na  2i sin cos 2 a a a 2sin  2i sin cos 2 2sin na  na na  na  cos  i sin  sin  2  cos  n  1 a  i sin  n  1 a    a  a a a 2  sin  sin  cos  i sin  2 2 sin  zn 1 z 1 Do đó: Footer Page 24 of 123 Header Page 25 of 123.T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ Phạm na sin z n 1 S  iS1  z   cos a  i sin a  a z 1 sin na sin  cos  n  1 a  i sin  n  1 a    a  2  sin   n  1 a  i sin  n  1 a   cos  2   Mặt khác: S  iS1   cos a  cos2 a   cos na   i sin a  sin a   sin na  Vậy:  n  1 a na sin 2 S1  a sin  n  1 a na sin cos 2 S2  a sin sin Thí dụ 47: Tính tổng (Với n= 4k+1) a) S1  C 20n 1  C 22n 1  C 24n 1   C 22nn12  C 22nn1 b) S2  C 21n 1  C 23n 1  C 25n 1   C 22nn11  C 22nn11 Giải: 1 i  2n 1   C 20n 1  iC 21n 1  i 2C 22n 1   i n 1C 22nn11    C 20n 1  C 22n 1   C 22nn1  i C 21n 1  C 23n 1   C 22nn11 n 1     i   cos  i sin   1  i   4    2n  1   i sin  2n  1    2n cos 4   Mặt khác:   8k  3   i sin  8k  3    2n cos 4    3 3   2n cos  i sin   2n  i 2n 4  Từ đó: S1  2n S2  2n Footer Page 25 of 123   2 2n 1   2n  1   i sin  2n  1   cos 4   Header Page 26 of 123.T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ Phạm 1 n  Thí dụ 48: Chứng minh rằng:  C n3  C n6    2n  2cos  3  Giải: Ta có 2n  C n0  C n1  C n2   C nn Xét: z  cos 2 2  i sin  z3 1 3 Ta có: 1 z  n  C n0  zC n1  z 2C n2   z nC nn  C n0  zC n1  z 2C n2  C n3  zC n4  1 z  n  C n0  z 2C n1  zC n2  C n3  z 2C n4  1 z  z     z  cos  i sin 3    z  cos  i sin 3 Khi đó: n   2n n   3C  C  C n  2cos  3C  C  C   2n  1  z    z n n n n n   n 1 n    C n3  C n6    2n  2cos  3  Số phức việc giải hệ phương trình, phương trình    3x     xy Thí dụ 49: Giải hệ phương trình:   xy      x y   2   4  Giải: Điều kiện x>0, y>0     u   2    u v  Đặt u  x ,v  y hệ phương trình trở thành   7y         xy   Do u v bình phương modul số phức z= u+ iv nên nhân phương trình thứ hai với i cộng với phương trình thứ ta phương trình : Footer Page 26 of 123 Header Page 27 of 123.T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ Phạm u  iv  u  iv  i 1 2 u v u  iv z z    2 u v zz z z Vì z nên phương trình (1)  2 4 2  i  z2  i  z 1  z 7     z   i 21   2   2        2 Suy u ,v     ;  2   21   2  2    Vậy hệ phương trình có nghiệm  x , y       2   ;    21       x  3xy  1 Thí dụ 50: Giải hệ phương trình:   y  3x y   Giải : Xét số phức  z  x  iy  x , y  R   z  x  3xy  i 3x y  y   1  3i  2 2    cos  i sin  3   Ta tìm giá trị z :  2 2  cos  i sin 9    4 4  i sin  ;  cos 9     8 8   ;  cos  i sin  9    Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) : 3 2 2  sin  2cos 9   3 4 4  sin  ;  2cos 9     8 8   ;  cos  sin  9     16x  11y 7 x  x y2  Thí dụ 51: Giải hệ phương trình   y  11x  16y  1  x2  y2 Giải : Điều kiện x  y  Footer Page 27 of 123 viết dạng Header Page 28 of 123.T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ Phạm Đặt z  x  yi  x , y  R   x  iy  z x2  y2 Từ hệ phương trình ta có 16x  11y 16x  11y i  7 i 2 x y x2  y2 x  iy x  iy  x  iy  16  11i  7 i x y x y2 16  11i z   i  z    i  z  16  11i  z z   3i  z   2i x  iy  Hệ phương trình có hai nghiệm (x,y) (2, -3) (5, 2)     10x  1 3   5x  y  Thí dụ 52: Giải hệ phương trình   y     1     5x  y   x,y R Giải : Điều kiện x> 0, y>     u   2  u  5x   u v  Đặt  u,v  0 ta có hệ phương trình  v  y v     1   u  v   Đặt z  u  iv  u  iv  z u v Từ hệ phương trình ta có     u  1  iv    i    u v   u v     2z   2i z   z   2i   z   i  Do u, v > nên u  ;v 1   Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y)  ;1  10  Footer Page 28 of 123 Header Page 29 of 123.T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ Phạm Thí dụ 53: Giải phương trình cosx  cos3x  cos5x  cos7x  cos9x  Giải : Phương trình giải cách nhân hai vế với 2sinx  sinx  0 Ngoài áp dụng với số phức z  cosx  i sin x  z 1   cosx  i sin x z  x  0;2   Ta có z  z 1  2cosx z n  z  n  2cosnx Phương trình có dạng : 1 1 1  z3   z5   z7   z9   z z z z z 18   z  z   z  z z  z 20   z 11  z z 11  1  z 11  z     z     Nếu z  z  cos0  i sin  z  cos k 2 k 2  i sin k  0;8 9 Nếu z 11  1 z 11  cos  i sin   z  cos Do x   0;2  nên phương trình có nghiệm k 2  m2 , k  { 0,1, ,8}   k 2 x=  m2 , k  { 0,1, ,10} 11 x Footer Page 29 of 123     k 2   k 2  i sin 11 11  k  0;10 Header Page 30 of 123.T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ Phạm C – KẾT LUẬN I KẾT QUẢ Qua trình giảng dạy thấy việc phân loại dạng toán số phức ứng dụng học sinh nắm bài, hiểu sâu kiến thức Từ học sinh rèn luyện kỹ giải toán, củng cố kỹ giải toán số phức ứng dụng, số học sinh đam mê yêu thích môn toán ngày tăng, lực tư kỹ giải toán học sinh nâng cao, học sinh giỏi Học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức có kỹ giải toán tương tự, sở học sinh giải toán tổng hợp Đối với kiểm tra em trình bày chặt chẽ logic, kết cao, với kết sau : Năm học 2010 -2011 2012012 Lớp Sĩ số 12A1 12A2 12A1 12A2 45 46 48 49 0 0 0 0 0 0 Số học sinh đạt điểm xi 11 14 15 11 10 12 15 8 9 9 6 10 2 II BÀI HỌC TỔNG KẾT Qua trình vận dụng đề tài giảng dạy nhận thấy giáo viên hướng dẫn học sinh giải toán cách phân loại dạng toán số phức ứng dụng học sinh nâng cao khả tư tính sáng tạo giải toán, đồng thời làm cho học sinh hiểu rõ vai trò ý nghĩa phương pháp để giải toán cách sâu sắc cụ thể III ĐIỀU KIỆN ĐỂ ÁP DỤNG ĐỀ TÀI Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng cho học sinh đại trà khá, giỏi Học sinh yếu, trung bình nắm phương pháp giải để vận dụng giải toán đơn giản Học sinh khá, giỏi sở nắm vững phương pháp áp dụng vào tập phức tạp từ nâng cao khả tư tính sáng tạo học sinh IV HẠN CHẾ CỦA ĐỀ TÀI Hạn chế đề tài chưa nghiên cứu sâu tập tổng hợp ứng dụng số phức vào hình học V HƯỚNG TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU VÀ MỞ RỘNG ĐỀ TÀI Để nâng cao chất lượng học tập học sinh tiếp tục vận dụng mở rộng đề tài cho toán tổng hợp ứng dụng số phức vào hình học đáp ứng nhu cầu học tập học sinh khá, giỏi Tiên Lữ, ngày 10 tháng năm 2012 Người thực Footer Page 30 of 123 Header Page 31 of 123.T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ Phạm Phạm Thị Bích Ngọc Footer Page 31 of 123 Header Page 32 of 123.T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ Phạm MỤC LỤC A- PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU IV ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU B – PHẦN NỘI DUNG I- CƠ SỞ LÝ THUYẾT Khái niệm số phức 2 Biểu diễn hình học số phức 3 Phép cộng phép trừ số phức Phép nhân số phức Số phức liên hợp môđun số phức Phép chia cho số phức khác Căn bậc hai số phức Phương trình bậc hai Dạng lượng giác số phức 10 Nhân chia số phức dạng lượng giác 11 Công thức Moa-vro (Moivre) ứng dụng II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Tính mô đun số phức Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức cho trước 13 Giải phương trình tập hợp số phức 16 Dạng lượng giác số phức 17 III- ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN 19 Tính tổng 24 Số phức việc giải hệ phương trình, phương trình 26 C – KẾT LUẬN 30 I Kết 30 II Bài học tổng kết 30 III Điều kiện để áp dụng đề tài 30 IV Hạn chế đề tài 30 V Hướng tiếp tục nghiên cứu mở rộng đề tài 30 Footer Page 32 of 123 ... dạng toán thường gặp số phức ứng dụng số phức, mạnh dạn lựa chọn đề tài: Một số dạng toán thường gặp số phức ứng dụng II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu đề tài Một số dạng toán thường gặp số. .. số phức với dạng đại số lượng giác phân số dạng toán thường gặp số phức Tiếp cận số ứng dụng số phức giải toán đại số, lượng giác hình học IV ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Một số dạng toán thường gặp số. .. phân loại dạng toán số phức ứng dụng học sinh nắm bài, hiểu sâu kiến thức Từ học sinh rèn luyện kỹ giải toán, củng cố kỹ giải toán số phức ứng dụng, số học sinh đam mê yêu thích môn toán ngày