Một số dạng toán thường gặp về giao điểm của đồ thị hàm số phân thức

Xác định m để đt d luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị thoả mãn điều kiệnTìm m để đt d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt sao cho tam giác MAB cân tại M với M(2,1)xác định m để....góc AOB nhọn

Bài toán giao điểm hàm số phân thức MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC y = ax + b cx + d Bài toán 1: Bài toán biện luận số giao điểm Phương pháp giải:  Ax + Bx + C = 0(*) ax + b ⇔ Lập phương trình hoành độ giao điểm: mx + n =  cx + d  x ≠ −d / c Biện luận số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm Xảy khả năng: * d cắt (C) hai điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt khác -d/c * d cắt (C) điểm ⇔ thỏa mãn hai trường hợp: - phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm -d/c - phương trình (*) có nghiệm kép khác -d/c * d không cắt (C) ⇔ thỏa mãn hai trường hợp: - phương trình (*) vô nghiệm - phương trình (*) có nghiệm kép -d/c Bài tập giải mẫu: Bài 1: Xác định m để đồ thị hàm số y = 3x + (C) cắt đường thẳng d: y = x + m hai x+2 điểm phân biệt Lời giải: TXĐ: R\{- 2} Phương trình hoành độ giao điểm: x + m =  x + (m − 1) x + 2m − = 3x + ⇔ x+2  x ≠ −2 (C) cắt d hai điểm phân biệt ⇔ x + (m − 1) x + 2m − = có hai nghiệm phân biệt khác -2 ∆ = (m − 1) − 8(m − 1) > ⇔ ⇔ m − 10m + > ⇔ m ∈ (- ∞ ; 1) ∪ ( 9; + ∞ ) 4 − 2(m − 1) + 2m − ≠ Vậy m ∈ (- ∞ ; 1) ∪ ( 9; + ∞ ) Bài 2: Chứng minh đường thẳng d: x − y + m = cắt đồ thị hàm số y = hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác đồ thị Chú ý: giả sử d cắt (C) hai điểm A( x1 , y1 ) , B( x , y ) Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên x +1 (C) x −1 Bài toán giao điểm hàm số phân thức * A, B nhánh ⇔ x1 < x < −d / c − d / c < x1 < x2 d d ⇔ ( x1 − )( x − ) > ⇔ c x1 x − cd ( x1 + x ) + d > c c * A, B khác nhánh ⇔ x1 < − d / c < x d d ⇔ ( x1 − )( x − ) < ⇔ c x1 x − cd ( x1 + x ) + d < c c Lời giải: TXĐ: R\{1} Phương trình hoành độ giao điểm: 2x + m = 2 x + (m − 3) x − m − = x +1 ⇔ (1) x −1 x ≠ ∆ = m + 2m + 17 = (m + 1) + 16 > với m ⇔ (C) cắt d hai điểm phân biệt A, B Khi phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 x1.x2 = Xét = - m +1 m−3 , x1 + x2 = 2 m−3 m +1 + + = - < ⇔ x1 < < x2 2 Vậy A B thuộc hai nhánh khác đồ thị Bài 3: Chứng minh đồ thị hàm số y = x −1 cắt đường thẳng y = m(x-2), (m khác 0) x điểm phân biệt, có điểm có hoành độ dương Chú ý: Dấu nghiệm phương trình: ax + bx + c = , a ≠ ∆ ≥  * Phương trình có nghiệm dương ⇔ S > P >  * Phương trình có nghiệm âm ∆ ≥  ⇔ S < P >  * Phương trình có nghiệm trái dấu ⇔ P < Lời giải: TXĐ: R\{0} Phương trình hoành độ giao điểm: mx − (2m + 1) x + = x −1 ⇔ m ( x − 2) = (1)  x x ≠ Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên Bài toán giao điểm hàm số phân thức m khác 0, ∆ = 4m + > với m ⇔ (C) cắt d hai điểm phân biệt Khi phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 x1 + x2 = (2m + 1)/m, x1 x2 = 1/m Nếu m > 0: x1 + x2 > x1.x2 > Suy x1 , x2 dương Nếu m < 0: x1.x2 < ⇒ x1, x2 trái dấu nên có số dương Bài 4: Xác định m để đồ thị hàm số y = x−2 (C) có hai điểm phân biệt A( x1 , y1 ) , B( x+2  x1 − y1 + m =  x2 − y + m = x , y ) thuộc nhánh (C) cho:  Lời giải: TXĐ: R\{-2}  x1 − y1 + m = Hai điểm A( x1 , y1 ) , B( x , y ) thỏa mãn:  A, B thuộc đường thẳng  x2 − y + m = d: x - y + m = ⇔ y = x + m Do A, B thuộc (C) nên A, B nằm giao điểm (C) d Khi phương trình : x + m = x−2 có hai nghiệm phân biệt x+2 ⇔ x + (m + 1) x + 2m + = có hai nghiệm phân biệt khác -2 ∆ = m − 6m − > ⇔ ⇔ m < −1 m > 4 − 2m − + 2m + ≠ A, B nhánh (x1 + 2)( x2 + 2) >0 ⇔ x1.x2 + 2( x1 + x2) + > ⇔ 2m + + 2(-m - 2) + > 0: Vậy m < −1 m > Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên Bài toán giao điểm hàm số phân thức Bài toán 2: Bài toán khoảng cách hai giao điểm Phương pháp giải: Lập phương trình hoành độ giao điểm tìm điều kiện để d cắt (C) hai điểm phân biệt Gọi giao điểm A(x1; mx1 + n), B(x2; mx2 + n), với x1, x2 nghiệm phương trình (*) Khi AB = ( x − x1 ) + m ( x − x1 ) = (1 + m )[( x + x1 ) − x x1 ] Áp dụng định lý Viet: tính x1 + x2 x1.x2 theo tham số ⇒ khoảng cách AB biểu thị theo tham số Tìm điều kiện tham số để toán thỏa mãn * Định lý Viet: Nếu x1 , x nghiệm phương trình ax + bx + c = , a ≠ thì: b c x1 + x = − , x1 x = a a * x12 + x 22 = ( x1 + x ) − x1 x , ( x1 − x ) = ( x1 + x ) − x1 x Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tìm m để đường thẳng d: y = - x + m cắt đồ thị hàm số y = x−2 (C) hai điểm x −1 phân biệt A, B cho: độ dài đoạn AB độ dài đoạn AB nhỏ Lời giải: TXĐ: R\{1} Phương trình hoành độ giao điểm:  x − mx + m − = x−2 ⇔ −x+m= (1) x −1 x ≠ (C) cắt d hai điểm phân biệt ⇔ phương trình: x − mx + m − = có hai nghiệm phân biệt ∆ = m − 4(m − 2) > khác ⇔  1 − m + m − ≠ Gọi giao điểm A(x1; -x1 + m), B(x2; -x2 + m), với x1, x2 nghiệm (1) ( x − x1 ) + (− x + x1 ) = Khi AB = x1 + x2 = m, x1.x2 = m - nên AB = AB = ⇔ 2[( x + x1 ) − x x1 ] 2m − 8m + 16 2m − 8m + 16 = ⇔ m = 0, m = Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên Bài toán giao điểm hàm số phân thức AB = 2(m − 2) + ≥ 2 Suy AB nhỏ m = Bài 2: Tìm m để đường thẳng ∆ : y = - x + cắt đồ thị y = biệt A, B cho diện tích tam giác OAB − 2x + m (C) hai điểm phân x+4 Lời giải: TXĐ: R\{- 4} S= d(O, ∆ ).AB Ta có d(O, ∆ ) = Do đó: S = ⇔ AB = Áp dụng cách giải 3.1 ta tìm m = 9/4 Bài 3: Cho đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số y = 3x + (1) hai điểm A B Xác x+2 định m để đường thẳng d: y = x + m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm C, D cho ABCD hình bình hành Lời giải: TXĐ: R\{- 2} Ta tìm A(-1; -1), B(2; 2) ⇒ AB = ABCD hình bình hành ⇔ AB//CD AB = CD * AB//CD đường thẳng y = x song song với y = x + m ⇔ m ≠ * CD = AB ⇒ CD = : Phương trình hoành độ giao điểm:  x + (m − 1) x + 2m − = 3x + ⇔ x+m= x+2  x ≠ −2 (1) cắt d hai điểm phân biệt ⇔ x − mx + m − = có hai nghiệm phân biệt khác - ⇔ ∆ = m − 10m + >  4 − 2m + + 2m − ≠ ⇔ m < m > Gọi giao điểm C(x1; x1 + m), D(x2; x2 + m) Khi AB = x1 + x2 = m - 1, x1.x2 = 2m - nên CD = CD = ⇔ 2[( x + x1 ) − x x1 ] 2m − 20m + 18 2m − 20m + 18 = ⇔ m = 0(loại) , m = 10( thỏa mãn) Vậy m = 10 Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên Bài toán giao điểm hàm số phân thức Bài toán 3: Bài toán vị trí hai giao điểm điểm cho trước Phương pháp giải: Cho hai điểm A( x1 , y1 ) , B( x , y )  x1 + x = x * A, B đối xứng qua điểm I( x , y ) ⇔   y1 + y = y * A, B cách điểm M ⇔ MA = MB Bài tập giải mẫu: Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng d: y = ax + 2b − cắt đồ thị hàm số y = 3x + (C) x+2 hai điểm A, B cho A, B đối xứng qua gốc tọa độ O Lời giải: TXĐ: R\{- 2} A, B đối xứng qua gốc tọa độ O ⇒ d qua O ⇒ b = Khi d: y = ax Phương trình hoành độ giao điểm: ax + (2a − 3) x − = 3x + ⇔ ax = (1) x+2  x ≠ −2 a ≠  d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B ⇔ ∆ = (2a − 3) + 8a > : 4a − 4a + − ≠  Gọi A(x1; ax1), B(x2; ax2 )  x1 + x2 = A, B đối xứng qua O ⇔ O trung điểm AB ⇔  ax1 + ax2 = ⇔ x1+ x2 = ⇔ a = 3/2 Bài 2: Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2- m cắt đồ thị hàm số y = 2x + hai điểm x −1 phân biệt A, B cho tam giác MAB cân M với M(2; 1) Lời giải: TXĐ: R\{1} Phương trình hoành độ giao điểm: mx − 2mx + m − = 2x + ⇔ mx + − m = (1) x −1 x ≠ Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên Bài toán giao điểm hàm số phân thức m ≠  d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B ⇔ ∆' = m − m(m − 3) > ⇔ m > m − m + m − ≠  Khi A(x1; mx1 + - m), B(x2; mx2 + - m), x1, x2 nghiệm (1) Tam giác ABM cân M ⇔ MA = MB A, B, M không thẳng hàng * A, B, M không thẳng hàng: M ∉ d: ≠ 2m + - m ⇔ m ≠ -1 * MA = MB ⇔ ( x1 − 2) + (mx1 + − m) = ( x2 − 2) + (mx2 + − m) ⇔ (1 + m )( x1 + x2 ) + 2(1 − m) − = thay x1 + x2 = ⇔ (1 + m ) + 2(1 − m) − = nghiệm m = 0(loại), m = 2: thỏa mãn Vậy m = Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên Bài toán giao điểm hàm số phân thức Bài toán 4: Bài toán vị trí hai giao điểm đường thẳng Phương pháp giải: 1) A, B đối xứng qua đường thẳng ∆ ⇔ thỏa mãn hai điều kiện: * AB ⊥ ∆ * trung điểm I đoạn AB thuộc ∆ 2) A, B cách đường thẳng d ⇔ thỏa mãn hai điều kiện: * AB // ∆ * trung điểm I đoạn AB thuộc ∆ Bài tập giải mẫu: Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng d: y = ax + b cắt đồ thị hàm số y = x (C) hai x+2 điểm A, B cho A, B đối xứng qua đường thẳng ∆ : x − y + = Lời giải: TXĐ: R\{- 2} ∆: y = x + A, B đối xứng qua đường thẳng ∆ d ⊥ ∆ Suy a = -2 Khi d: y = -2x + b Phương trình hoành độ giao điểm d (C): − 2x + b = 2 x − (b − 5) x − 2b = x ⇔ (1) Ta có: x+2  x ≠ −2 ∆ = (b − 5) + 8b > với b nên d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B  4 + 2(b − 5) − 2b ≠ A(x1; -2x1 + b), B(x2; -2x2 + b), với x1, x2 nghiệm phương trình (1) Gọi I trung điểm AB ⇒ I( x1 + x b−5 b+5 ; ;− x1 − x + b ) = ( ) 2 A, B đối xứng qua đường thẳng ∆ ⇔ I thuộc ∆ ⇔ b = -3 Vậy a = -2, b = -3 Bài 2: Cho hàm số y = 2x + m đường thẳng d: y = mx + x −1 Tìm m để đồ thị hàm số d cắt điểm phân biệt A, C cho khoảng cách từ A, C đến trục hoành Tính diện tích hình chữ nhật nhận A, C đỉnh đối diện cạnh song song với trục tọa độ Xác định m để diện tích hình chữ nhật 20 Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên Bài toán giao điểm hàm số phân thức Lời giải: TXĐ: R\{1} mx − mx − m − = 2x + m ⇔  Phương trình hoành độ giao điểm: mx + = x −1 x ≠ m ≠  m ⇔  m − m − m − ≠ m >  Gọi A(x1 ; mx1 + 2), C(x2 ; mx2 + 2) ⇒ trung điểm AB: I( x1 + x m( x1 + x ) + ; ) 2 A, C cách Ox khi: TH1: d//Ox ⇔ m = 0: không thỏa mãn (*) TH2: Trung điểm I AB thuộc Ox: m( x1 + x2 ) + = ⇔ m = - 4: thỏa mãn (*) B(x2 ; mx1 + 2), D(x1 ; mx1 + 2) y AB = x1 − x , AD = m x1 − x S = m ( x1 − x ) = m 5m + m B A S = 20 khi: * m > 0: 5m + = 20 ⇔ m = 12/5 * m < 0: 5m + = -20 ⇔ m = -28/5 O C Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên D Bài toán giao điểm hàm số phân thức Bài toán 5: Bài toán liên qua đến góc → → → → OA2 + OB2 < AB2 OA.OB < Góc AOB tù khi: Góc AOB vuông khi: OA2 + OB2 = AB2 OA.OB = Góc AOB nhọn khi: → → OA2 + OB2 > AB2 OA.OB > Bài 1: Xác định m cho đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hàm số y = 2x + hai x−2 điểm phân biệt M, N cho tam giác OMN vuông O Lời giải: TXĐ: R\{2} → → Tam giác OMN vuông O OM ON = Phương trình hoành độ giao điểm: mx − (2m − 1) x − = 2x + ⇔ mx + = x−2 x ≠ m ≠  d cắt (C) hai điểm phân biệt M, N ⇔ ∆ = (2m − 1) + 28m > (*) 4m − 4m − ≠  Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (*), ta có M(x1, mx1 + 3), N(x2, mx2 + 3) → → OM ON = ⇔ x1x2 + (mx1 + 3)( mx2 + 3) = ⇔ (1 + m2) x1x2 + 3m(x1 + x2 ) + = 0, thay x1 + x2 = (2m - 1)/m, x1 x2 = -7/m ta có m2 - 6m + = ⇔ m = ± : tm (*) Bài 2: Cho hàm số y = x+3 có đồ thị (C) Tìm m cho đường thẳng d: y = - x + m +1 x−2 cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B cho góc AOB nhọn Lời giải: TXĐ: R\{2} → → Góc AOB nhọn OA.OB > Phương trình hoành độ giao điểm: − x + m +1 =  x − ( + m) x + 2m + = x+3 ⇔ x−2 x ≠ Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên Bài toán giao điểm hàm số phân thức d cắt (C) hai điểm phân biệt M, N ⇔ m − 4m − 16 > (*) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình, A(x1, - x1 + m + 1), B(x2, - x2 + m + 1) → → OA.OB > ⇔ x1x2 + (- x1 + m + 1)( - x2 + m + 1) > ⇔ x1x2 - (1+ m)(x1 + x2 ) + (m + 1)2 > thay x1 + x2 = m +2, x1 x2 = 2m + ta có m > - Kết hợp (*) có -3 < m < − m > + Bài 3: Tìm m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số y = x+2 hai điểm phân biệt x −1 A, B cho đường tròn đường kính AB qua gốc tọa độ O Lời giải: TXĐ: R\{1} → → Đường tròn đường kính AB qua O ⇔ góc AOB vuông ⇔ OA.OB = Phương trình hoành độ giao điểm ⇔ x − mx + m + = , x ≠ (1) d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B ⇔ m − 4m − > (*) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (1), A(x1, - x1 + m), B(x2, - x2 + m) → → OA.OB = ⇔ x1x2 + (- x1 + m)( - x2 + m ) = ⇔ x1x2 - m(x1 + x2 ) + m2 = thay x1 + x2 = m, x1 x2 = m + ta có m = - 2: thỏa mãn điều kiện Vậy m = - Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên Bài toán giao điểm hàm số phân thức Bài toán 6: Bài toán tiếp tuyến đồ thị hai giao điểm Phương pháp giải: * Lập phương trình hoành độ giao điểm tìm điều kiện để d cắt (C) hai điểm phân biệt * Gọi giao điểm A(x1 ; mx1 + n), B(x2 ; mx2 + n), với x1, x2 nghiệm phương trình (*) * Tính hệ số góc tiếp tuyến A, B: k1 = y'(x1), k2 = y'(x2) * Tìm điều kiện tham số để toán thỏa mãn Chú ý: - Tiếp tuyến đồ thị A, B song song với y'(x1) = y'(x2) - Tiếp tuyến đồ thị A, B vuông góc với ⇔ y'(x1) y'(x2) = - Bài tập giải mẫu: Bài 1: Xác định m để đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y = x +1 hai điểm x −1 A, B tiếp tuyến đồ thị A, B song song với Lời giải: TXĐ: R\{1} Phương trình hoành độ giao điểm: x +1 ⇔ 2x + m = x −1 2 x + (m − 3) x − m − =  x ≠ ∆ = (m − 3) + 8(m + 1) > ⇔ d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B :  2 + m − − m − ≠ Khi A(x1 ; 2x1 + m), B(x2 ; 2x2 + m) Tiếp tuyến đồ thị A có hệ số góc y'(x1) = −2 ( x1 − 1) Tiếp tuyến đồ thị B có hệ số góc y'(x2) = −2 ( x2 − 1) Tiếp tuyến đồ thị A, B song song với y'(x1) = y'(x2) ⇔ ( x1 − 1) = ( x2 − 1) ⇔ x1 + x = ⇔ − m−3 = ⇔ m = - Thử lại: tiếp tuyến đồ thị A: y = -2x - 1, tiếp tuyến B: y = - 2x + 7: thỏa mãn Vậy m = - Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên Bài toán giao điểm hàm số phân thức Bài 2: Chứng minh với m đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y= − x +1 điểm A, B Gọi k1 , k hệ số góc tiếp tuyến đồ thị A, B 2x − Tìm m để k1 + k đạt giá trị lớn Lời giải: TXĐ: R\{1/2} Phương trình hoành độ giao điểm ⇔ x + 2mx − m − = , x ≠ 1/2 (1) ∆ = m + 2m + > ⇔ d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B :  1 / + m − m − ≠ Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (1), có x1+ x2 = - m, x1 x2 = - (m + 1)/2 A(x1 ; 2x1 + m), B(x2 ; 2x2 + m) Tiếp tuyến đồ thị A có hệ số góc k1 = −1 (2 x1 − 1) Tiếp tuyến đồ thị B có hệ số góc k2 = −1 (2 x2 − 1) −1 −1 4( x1 + x2 ) − x1 x2 − 4( x1 + x2 ) + − k1 + k2 = (2 x − 1) + (2 x − 1) = [4 x1 x2 − 2( x1 + x2 ) + 1]2 = − 4m − 8m − = − 4(m + 1) − ≤ −2 Vậy k1 + k2 lớn m = -1 Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên Bài toán giao điểm hàm số phân thức Bài toán 7: Một vài toán khác Bài 1: Cho hàm số y = 2x − m ( m ≠ 0) có đồ thị (C) đường thẳng ∆ : y = 2x -2m ∆ cắt mx + (C) điểm phân biệt A, B ∆ cắt Ox, Oy C, D Tìm m để diện tích tam giác OAB gấp lần diện tích tam giác OCD Lời giải: SOAB = 2m d(O, ∆ ).AB với d(O, ∆ ) = Phương trình hoành độ giao điểm d (C) ⇔ x − 2mx − = , x ≠ -1/m (1) ta có A(x1, 2x1 - 2m), B(x2, 2x2 - 2m) AB = 5[( x + x1 ) − x x1 ] = 5(m + 2) ⇒ SOAB = m m + ∆ cắt Ox C(m; 0), ∆ cắt Oy D(0; -2m) ⇒ SOCD = m2 SOAB = 3SOCD ⇔ m m + = m2 ⇔ m = 1/2 m = -1/2 Bài 2: Cho hàm số y = x+2 có đồ thị (C) đường thẳng ∆ qua A(1; 0) có hệ số góc x −1 k Tìm k để ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt M, N AM = 2AN Lời giải: Phương trình ∆ : y = k(x - 1) Phương trình hoành độ giao điểm ∆ (C) ⇔ kx − (2k + 1) x + k − = , x ≠ (1) ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt ⇔ k > -1/12, k ≠ Khi M(x1, kx1 - k), N(x2, kx2 - k)  x − = −2( x − 1) → → * M N khác nhánh ⇔ k > 0: ta có AM = −2 AN ⇔  kx − k = − 2( kx2 − k )  Theo ĐL Viét: x1 + x2 = Thay vào x1 x2 = 2k + ⇒ x1= (k + 2)/k, x2= (k -1)/k, k k −2 có k = 2/3: thoả mãn < M(4; 2) N(-1/2; -1)> k  x − = 2( x − 1) → → * M N nhánh ⇔ -1/12 k Vậy k = 2/3 k = -2/27 BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài toán 1: Biện luận Bài 1: Xác định m để: a) đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị hàm số y = x điểm phân biệt x −1 b) đường thẳng d: y = 2x +m không cắt đồ thị hàm số y = 2x + x+2 Bài 2: Tìm m để đường thẳng y = m x + không cắt đồ thị hàm số y = 3x + x −1 Bài toán 2: Khoảng cách Bài 1: Tìm m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số y = 2x + điểm phân biệt A, B x+2 cho độ dài đoạn AB nhỏ Bài 2: Chứng minh đường thẳng y = x+3 x - m cắt đồ thị hàm số y = hai điểm x+2 phân biệt A, B.Tìm m để độ dài đoạn AB nhỏ Bài 3: Chứng minh đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = x +1 điểm phân x −1 biệt A, B.Tìm m để độ dài đoạn AB nhỏ Bài 4: Xác định m cho đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y = 2x điểm phân x−2 biệt thuộc hai nhánh khác đồ thị khoảng cách hai điểm nhỏ Bài 5: Xác định m cho đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số y = 2x + điểm phân x+2 biệt M, N cho MN nhỏ Bài 6: Xác định m cho đường thẳng y = m(x -1) +1 cắt đồ thị hàm số y = Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên 2x + hai 1− x Bài toán giao điểm hàm số phân thức điểm phân biệt M, N cho MN = 10 Bài 7: Cho hàm số y = x−2 có đồ thị (C) Gọi d đường thẳng qua giao điểm hai tiệm cận x −1 có hệ số góc k Tìm k cho đường thẳng d cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B cho AB = 2 Bài 8: Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = 2x − điểm phân biệt A, B x +1 cho AB = 2 (ĐS: m = - 1, m = 7) Bài 9: Xác định m cho đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số y = x điểm phân x −1 biệt M, N cho MN = 10 Bài 10: Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = cho AB = 2x − điểm phân biệt A, B x +1 Bài 11: Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = x+3 điểm phân biệt A, B x +1 cho AB = Bài 12: Tìm m để đường thẳng y = x -2m cắt đồ thị hàm số y = 2x + điểm phân biệt A, B x −1 cho AB = Bài 13: Xác định m cho đường thẳng 2x + y - = cắt đồ thị hàm số y = điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB m−x x+2 Bài 14: Tìm m cho đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số y = 2x + hai điểm x +1 phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB (B2010) Bài 15: Xác định m cho đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y = 2x + điểm phân x−2 biệt A, B cho diện tích tam giác OAB Bài toán 3: Vị trí điểm Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên Bài toán giao điểm hàm số phân thức Bài toán 4: Vị trí đường thẳng Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b cắt đồ thị hàm số y = x −1 điểm A, B x +1 cho A, B đối xứng qua đường thẳng Bài 2: Xác định m để đường thẳng y = 2x x + m cắt đồ thị hàm số y = điểm A, B x −1 cho A, B cách đường thẳng ∆ : x + y − = Bài 3: Xác định m để đường thẳng y = mx + 2m + cắt đồ thị hàm số y = 2x + hai điểm x +1 phân biệt A, B cho khoảng cách từ A, B đến trục hoành nhau.(D2011) Bài toán 5: Góc Bài 1: Cho hàm số y = x+3 có đồ thị (C) Tìm m cho đường thẳng d: x+2 → → y = 2x + 3m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B cho góc OA OB = −4 Bài toán 6: Tiếp tuyến Bài 1: Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = 2x − điểm phân biệt A, x +1 B cho tiếp tuyến đồ thị A, B vuông góc với Bài toán 7: Dạng khác Bài 1: Cho hàm số y = x+2 (C) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) điểm phân 2x − 2 biệt A, B cho OA + OB = 37 Bài 2: Tìm m để đường thẳng d: 2mx - 2y + m +1 cắt y = x +1 (C) hai điểm phân biệt A, B 2x + cho biểu thức P = OA + OB đạt giá trị nhỏ Bài 3: Tìm m cho đường thẳng d: y = -2x + m cắt đồ thị hàm số y = 2x + điểm phân x +1 biệt A, B Khi tìm tập hợp trung điểm I đoạn AB Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên Bài toán giao điểm hàm số phân thức Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên [...]... Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức Bài toán 6: Bài toán về tiếp tuyến của đồ thị tại hai giao điểm Phương pháp giải: * Lập phương trình hoành độ giao điểm và tìm điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt * Gọi giao điểm là A(x1 ; mx1 + n), B(x2 ; mx2 + n), với x1, x2 là nghiệm của phương trình (*) * Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B: k1 = y'(x1), k2 = y'(x2) * Tìm điều kiện của tham số. .. đường thẳng y = m(x -1) +1 cắt đồ thị hàm số y = Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên 2x + 4 tại hai 1− x Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức điểm phân biệt M, N sao cho MN = 3 10 Bài 7: Cho hàm số y = x−2 có đồ thị (C) Gọi d là đường thẳng đi qua giao điểm hai tiệm cận x −1 và có hệ số góc k Tìm k sao cho đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2... đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y = 2x + 3 tại 2 điểm phân x−2 biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 3 Bài toán 3: Vị trí đối với 1 điểm Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức Bài toán 4: Vị trí đối với 1 đường thẳng Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b cắt đồ thị hàm số y = x −1 tại 2 điểm A, B sao x +1 cho A,... + m cắt đồ thị hàm số y = 2x − 2 tại 2 điểm phân biệt A, B x +1 sao cho AB = 2 2 (ĐS: m = - 1, m = 7) Bài 9: Xác định m sao cho đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số y = x tại 2 điểm phân x −1 biệt M, N sao cho MN = 10 Bài 10: Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = sao cho AB = 2x − 2 tại 2 điểm phân biệt A, B x +1 5 Bài 11: Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y =... Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức Bài 2: Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị hàm số y= − x +1 tại 2 điểm A, B Gọi k1 , k 2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại A, B 2x − 1 Tìm m để k1 + k 2 đạt giá trị lớn nhất Lời giải: TXĐ: R\{1/2} Phương trình hoành độ giao điểm ⇔ 2 x 2 + 2mx − m − 1 = 0 , x ≠ 1/2 (1) ∆ = m 2 + 2m + 2 > 0 ⇔ d cắt (C) tại hai điểm. .. cắt đồ thị hàm số y = 3x + 4 x −1 Bài toán 2: Khoảng cách Bài 1: Tìm m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số y = 2x + 1 tại 2 điểm phân biệt A, B x+2 sao cho độ dài đoạn AB là nhỏ nhất Bài 2: Chứng minh rằng đường thẳng y = x+3 1 x - m cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm 2 x+2 phân biệt A, B.Tìm m để độ dài đoạn AB là nhỏ nhất Bài 3: Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y... Xuân Nguyên Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức Bài toán 7: Một vài bài toán khác Bài 1: Cho hàm số y = 2x − m ( m ≠ 0) có đồ thị (C) và đường thẳng ∆ : y = 2x -2m ∆ cắt mx + 1 (C) tại 2 điểm phân biệt A, B ∆ cắt Ox, Oy tại C, D Tìm m để diện tích tam giác OAB gấp 3 lần diện tích tam giác OCD Lời giải: SOAB = 2m 1 d(O, ∆ ).AB với d(O, ∆ ) = 2 5 Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) ⇔... điểm phân biệt A, B x +1 sao cho AB = 5 Bài 12: Tìm m để đường thẳng y = x -2m cắt đồ thị hàm số y = 2x + 1 tại 2 điểm phân biệt A, B x −1 sao cho AB = 6 Bài 13: Xác định m sao cho đường thẳng 2x + 2 y - 1 = 0 cắt đồ thị hàm số y = điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng m−x tại 2 x+2 3 8 Bài 14: Tìm m sao cho đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số y = 2x + 1 tại hai điểm x +1 phân. .. Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức Theo ĐL Viét: x1 + x2 = Thay vào x1 x2 = 2k + 1 ⇒ x1= (3k + 2)/3k, x2= (3k +1)/3k, k k −2 có k = -2/27: thoả mãn < M(-8; 2/3) N(-7/2; 1/3)> k Vậy k = 2/3 và k = -2/27 BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài toán 1: Biện luận Bài 1: Xác định m để: a) đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị hàm số y = x tại 2 điểm phân biệt x −1 b) đường thẳng d: y = 2x +m không cắt đồ thị hàm số. .. cắt đồ thị hàm số y = tại 2 điểm A, B sao x −1 2 cho A, B cách đều đường thẳng ∆ : 2 x + y − 4 = 0 Bài 3: Xác định m để đường thẳng y = mx + 2m + 1 cắt đồ thị hàm số y = 2x + 1 tại hai điểm x +1 phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A, B đến trục hoành bằng nhau.(D2011) Bài toán 5: Góc Bài 1: Cho hàm số y = x+3 có đồ thị (C) Tìm m sao cho đường thẳng d: x+2 → → y = 2x + 3m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân