Một số bài toán giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba với một đường thẳng SKKN toán THPT

Trong quá trình giảng dạy chương trình lớp 12, bồi dưỡng học sinh giỏi, và ôn thi đại học tôi nhận thấy các bài toán tìm tham số m để đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện cho trước là một mảng toán tương đối khó đối với học sinh, trong đó có dạng toán về giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba với một đường thẳng.

SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong quá trình giảng dạy chương trình lớp 12, bồi dưỡng học sinh giỏi, và ôn thi đại học tôi nhận thấy các bài toán tìm tham số m để đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện cho trước là một mảng toán tương đối khó đối với học sinh, trong đó có dạng toán về giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba với một đường thẳng. Để góp phần giúp các em có thêm tài liệu tham khảo, hiểu sâu hơn và hệ thống được các dạng bài tập liên quan đến dạng toán này vì thế tôi đã chọn đề tài “MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG” II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI 1. Thuận lợi Thường xuyên được phân công dạy lớp 12, bồi dưỡng học sinh giỏi khối 12, cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi máy tính cầm tay và thương xuyên ôn thi đại học cho các em nên tôi thường xuyên tiếp xúc và tìm hiểu nghiên cứu loại toán này. 2. Khó khăn Mới chỉ đưa ra một số dạng toán thường gặp thông qua các ví dụ, chưa giải được các bài toán tổng quát. 3. Số liệu thống kê Trước khi thực hiện chuyên đề học sinh khá lúng túng trong việc giải cũng như lựa chọn phương pháp phù hợp để giải bài toán dạng này. III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lý luận: - Thông qua qua qua trình dạy học tôi đã tìm tòi góp nhặt, nghiên cứu các dạng bài toán liên quan. - Trong thực tiễn tôi đã vận khá tốt các nội dung củ chuyên đề. Từ đó hình thành cơ sở nghiên cứu chuyên đề này. 2. Nội dung , biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài - Nội của đề tài được nghiên cứu trên cơ sở lí thuyết và bài tập mà các em đã được học trong chương trình THPT - Đề tài cho các em thấy được các dạng bài toán có chứa tham số về giao điểm của hàm số bậc ba với một đường thẳng.Giúp cho học sinh tự phát hiện và lĩnh hội kiến thức. Phương pháp 1. Nhẩm một một nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 1 SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG Cho hàm số bậc ba ( ) 3 2 : ( 0)C y ax bx cx d a = + + + ≠ và đường thẳng ( ) : ' 'd y a x b= + Đồ thị của hai hàm số (C) và (d) cắt nhau tại k điểm khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm của chúng có k nghiệm phân biệt, và nghiệm đó chính là hoành độ của các giao điểm. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d), ta có: ( ) 3 2 3 2 ' ' ' ' 0ax bx cx d a x b ax bx c a x d b + + + = + ⇔ + + − + − = ( ) ( ) 0 *a ≠ Nếu phương trình (*) có một nghiệm là 0 x thì ( ) ( ) ( ) 2 0 1 1 1 0 2 1 1 1 (*) 0 0 ** x x a x b x c x x a x b x c ⇔ − + + = =  ⇔  + + =  1/ Phương trình (*) có 1 nghiệm ⇔ phương trình (**) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 0 x 2/ Phương trình (*) có 2 nghiệm ⇔ phương trình (**) có một nghiệm kép khác 0 x hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là 0 x 3/ Phương trình (*) có 3 nghiệm ⇔ phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt khác 0 x Các ví dụ: VÍ DỤ 1: Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 2 1 3 3y x m x m m x m= − + + + − + − có đồ thị (C) .Tìm m để đồ thị (C) cắt trục hoành Ox tại a/ 3 điểm phân biệt b/ 2 điểm c/1 điểm Định hướng. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là. ( ) ( ) 3 2 2 2 1 3 3 0x m x m m x m− + + + − + − = (1) Nhận xét: 1x = là một nghiệm của phương trình (1) Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 2 SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG Nếu ngay từ đầu các em không nhận thay x=1 là một nghiệm của phương trình (1) thì các em có thể làm như sau: Cho m nhận một số giá trị cụ thể, thay từng giá trị của m vào PT(1), dung máy tính bỏ túi giải phương trình bậc ba nếu phương trình nào cũng có chung một nghiệm thì đó có thể là một nghiệm cuả PT (1) Chẳng hạn: Cho m= 0 thì PT(1) trở thành 3 2 3 3 0− − + =x x x có nghiệm 1; 1,7x x= ≈ ± Cho m=1 thì PT(1) trở thành 3 2 2 2 0− − + =x x x có nghiệm 1; 2x x= ± = Ta nhận thấy với hai giá trị m khác nhau thì ta được hai phương trình cụ thể đều có nghiệm chung là x =1. Vậy x= 1 có thể là một nghiệm của phương trình (1) Để chắc chắn x= 1 là nghiệm của (1) hay không ta cần thay x = 1 vào phương trình (1), nếu thoả mãn thì 1x = là một nghiệm cần tìm của phương trình (1). Khi đó ta giải bài toán như sau. Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là. ( ) ( ) 3 2 2 2 1 3 3 0x m x m m x m− + + + − + − = (1) Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình (1) , ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 (1) 1 3 0 1 3 0 1' Pt x x mx m x x mx m ⇔ − − + − = =  ⇔  − + − =  Đặt ( ) 2 2 3g x x mx m= − + − , ( ) 2 12 3∆ = − g x m Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành nên số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của (C) và trục hoành Ox a/ Đồ thị (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt , hay phương trình (1’) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ ( ) ( ) ( ) { } 2 2 0 12 3 0 2 2 2;2 \ 1 1; 2 1 0 2 0 ∆ >   − > − < <    ⇔ ⇔ ⇔ ∈ − −    ≠ − ≠ ≠ − − ≠      g x m m m m m g m m Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 3 SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG b/ Đồ thị (C) cắt Ox tại 2 điểm ⇔ Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm , hay phương trình (1’) có nghiệm kép khác 1 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là 1 + Phương trình (1’) có nghiệm kép khác 1 ⇔ ( ) 2 0 2; 2 12 3 0 2 2 2 1 2 ∆ =  = = −  − =   ⇔ ⇔ ⇔ = −    − ≠ ≠ − ≠     g x m m m m m m m . + Phương trình (1’) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là 1 ( ) ( ) 2 0 2 2 12 3 0 1 2; 1 2; 1 1 0 ∆ >  − < <  − >   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −    = = − = = − =     g x m m m m m m m g Vậy m = -1 ; m = -2 thì (C) cắt Ox tại 2 điểm c/ Đồ thị (C) cắt Ox tại 1 điểm ⇔ Phương trình (1) có đúng 1 nghiệm , hay phương trình (1’) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép là x = 1 ( ) ( ) 2 2 0 12 3 0 ( ; 2) (2; ) 0 12 3 0 2 2 1 2 ∆ <   − <  ∈ −∞ − ∪ +∞   ∆ =   ⇔ ⇔ ⇔  − =     =    −   = − =       g x g x m m m m m m Vậy với ( ) ) ; 2 2;m  ∈ −∞ − ∪ +∞  thì (C) cắt Ox tại 1 điểm . VÍ DỤ 2: Tìm m để đồ thị hàm số ( ) 3 2 3 2 2y x x m x m= + + + + cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm. Bài giải: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 2 2 0 1 2 2 0 0 1' + + + + = = −  ⇔ + + + = ⇔  + + =  x x m x m x x x x m x x m Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm ⇔ phương trình (1) có 3 nghiệm âm phân biệt ⇔ phương trình (1’) có 2 nghiệm âm phân biệt khác -2 Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 4 SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1' 1' 1' 2 1 4 0 1 0 0 2 2 0 2 2 0 ∆ = − >    = − < <   ⇔   ≠ −   = <   − + − + ≠  m S m m P m m VÍ DỤ 3: (KHỐI A 2010) Cho hàm số ( ) 3 2 2 1 (14),y x x m x m= − + − + m là tham số a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1 b/ Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3 , ,x x x thoả mãn điều kiện 2 2 2 1 2 3 4x x x+ + < Bài giải: b/ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C) và trục hoành là: ( ) ( ) 3 2 2 1 0 1− + − + =x x m x m ( ) 2 1 0 1' =  ⇔  − − =  x x x m Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1’) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 Kí hiệu ( ) 2 g x x x m= − − và 1 2 3 1, ,x x x= là các nghiệm của (1’) Yêu cầu bài toán thoả mãn khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 2 1 2 1 1 0 1 4 0 1 4 4 1 1 0 0 0 0 4 0 1 2 3 1 3 2 3   > − > − ∆ >     + >    − < <      ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔           ≠ + < <  + < + − <         g x m m m m g m m m m m m x x x x x x VÍ DỤ 4: Chứng minh rằng đồ thị hàm số 3 2 2 3 3 3= − + −y x mx m x m (C) luôn cắt (d): y=3 3−x m tại 3 điểm phân biệt . (m là tham số) Định hướng: Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d), ta có: Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 5 SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3( 1) 3 0 − + − = − ⇔ − + − − + = x mx m x m x m x mx m x m m Đối với bài này khi cho m nhận một số giá trị cụ thể thì ta không tìm được nghiệm chung 0 x của các phương trình tương ứng như những ví dụ ở trên. Khi đó ta thử nhẩm nghiệm của PT hoành độ giao điểm theo m, Chẳng hạn trong ví dụ 4 ta thấy x = m là một nghiệm của phương trình. Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 3 (1) 3 3( 1) 3 0 ( )( 2 3) 0 (2) 2 3 0 − + − = − ⇔ − + − − + = ⇔ − − + − = =  ⇔  − + − =  x mx m x m x m x mx m x m m x m x mx m x m x mx m Đặt 2 2 ( ) 2 3= − + −g x x mx m Ta có 3 0, m∆ = > ∀ Và ( ) 3 0,g m m= − ≠ ∀ Suy ra pt(2) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác m, khi đó pt(1) luôn có ba nghiệm phân biệt. Vậy (C) luôn cắt (d) tại ba điểm phân biệt. (đpcm) VÍ DỤ 5: Tìm m để đồ thị hàm số ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 1 1= − + − + −y x mx m x m m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành dương. Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0 (1) ( )( 1) 0 1 0 (2) − + − + − = ⇔ − − + − = =  ⇔  − + − =  x mx m x m m x m x mx m x m x mx m Đặt 2 2 ( ) 1= − + −g x x mx m Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 6 SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG Theo yêu cầu bài toán thì 0m < và PT(2) phải có hai nghiệm phân biệt âm, khác m 2 ( ) 2 2 0 0 0 0 4 3 0 2 2 2 0 1 0 1 3 3 3 0 0 1 1 ( ) 0 1 0 g x m m m m P m m m S m m m g m m  <  <    < ∆ > − >       ⇔ > ⇔ − > ⇔ − < < ⇔ − < < −       < <    < − ∨ >  ≠   − ≠   VÍ DỤ 6: Tìm m để đồ thị hàm số ( ) 3 2 2 1 9y x m x x= − + − cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Giải : Đồ thị hàm số ( ) 3 2 2 1 9y x m x x= − + − cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng ⇔ phương trình ( ) ( ) 3 2 2 1 9 0 1− + − =x m x x có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 0 2 1 9 0 2 1 9 0 2 1 9 0 1' =    − + − = ⇔ − + − = ⇔    − + − =  x x m x x x x m x x m x Phương trình (1’) có 1 2 . 9 0 c x x a = = − < nên luôn có 2 nghiệm trái dấu Do đó hoành độ giao điểm của đồ thị với Ox sẽ là 1 0 2 0x x x< = < Để 1 0 2 , ,x x x lập thành 1 cấp số cộng 1 2 0 1 2 2 1 0 2 x x x m m⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − VÍ DỤ 7: Tìm m để đồ thị hàm số ( ) 3 2 2 ( ) 3 2 ( 4) 9 = = − + − + − m y f x x mx m m x m m C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Định hướng: Đối với bài toán này nếu xét phương trình hoành độ giao điểm thì ta không dễ dàng tìn ra các nghiệm của phương trình, vì vậy ta Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 7 SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG có thể sử dụng tính chất của cấp số cộng để tìm ra m, sau đó thay m cụ thể vào hàm số để kiểm tra lại và nhận giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán. Chú ý: Nếu đa thức ( ) 3 2 ( ) 0 = = + + + ≠ y f x ax bx cx d a có các nghiệm là 1 2 3 ; ;x x x thì ( ) ( ) ( ) 1 2 3 ( ) = = − − − y f x a x x x x x x Giải: Giả sử ( ) m C cắt Ox tại ba điểm phân biệt 1 2 3 ; ;x x x khi đó: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 2 3 3 2 2 3 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 3 2 ( 4) 9 3 2 ( 4) 9 ( ) ( ) − + − + − = − − − ⇔ − + − + − = − + + + + + − x mx m m x m m x x x x x x x mx m m x m m x x x x x x x x x x x x x x x Từ đó ta có: 1 2 3 3+ + =x x x m Vì 1 2 3 ; ;x x x tạo thành cấp số cộng nên 1 3 2 2x x x+ = khi đó: ( ) 1 2 3 1 3 2 2 2 3 3+ + = + + = = ⇔ =x x x x x x x m x m Vì 2 x là hoành độ giao điểm nên 2 2 ( ) 0 0 0; 1f x m m m m= ⇔ − = ⇔ = = Với m = 0 thì 3 ( ) 0 0f x x x= = ⇔ = (loại) Với m = 1 thì ( ) ( ) 3 2 2 2 ( ) 3 6 8 0 1 2 8 0 1 1 0 2 2 8 0 4 f x x x x x x x x x x x x x = − − + = ⇔ − − − =  =  − =  ⇔ ⇔ = −   − − =   =  Ta thấy các số: -2 ; 1 ; 4 tạo tành cấp số cộng với công sai bằng 3 Vậy m = 1 thoả mãn yêu cầu bài toán. VÍ DỤ 8: Tìm m để đồ thị hàm số ( ) ( ) ( ) 3 2 5 6 5 6= + − + − − m y x m x m x m C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân. Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 8 SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG Giải: Đồ thị hàm số ( ) ( ) ( ) 3 2 5 6 5 6= + − + − − m y x m x m x m C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân ⇔ phương trình ( ) ( ) 3 2 5 6 5 6+ − + − −x m x m x m =0 (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân. Phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 5 6 5 6 0 ( 2) 3 3 0 2 2 0 3 3 3 0 1'   + − + − − = ⇔ + + − − =   = −  + =   ⇔ ⇔ = −   + − − =   =  x m x m x m x x m x m x x x x m x m x m Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì { } 3; 2m ≠ − − Trường hợp 1 : 3 2 < − < − m Để dãy số ; 3; 2− −m lập thành 1 cấp số nhân thì ( ) 2 .( 2) 3 9 / 2− = − ⇔ = −m m Trường hợp 2 : 3 2− < < −m Để dãy số 3; ; 2− −m lập thành 1 cấp số nhân thì 2 2 3.( 2) 6 6− − = ⇔ = ⇔ = ±m m m Trường hợp 2 : 3 2 − < − < m Để dãy số 3; 2;− − m lập thành 1 cấp số nhân thì ( ) 2 3. 2 4 / 3− = − ⇔ = −m m Vậy với { } 9 / 2; 6; 4 / 3m = − ± − thoả mãn yêu cầu bài toán. VÍ DỤ 9: Tìm m để đồ thị hàm số ( ) ( ) ( ) 3 2 ( ) 3 1 5 4 8 = = − + + + − m y f x x m x m x C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân. Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 9 SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG Định hướng: Đối với bài toán này nếu xét phương trình hoành độ giao điểm thì ta không dễ dàng tìm ra các nghiệm của phương trình, vì vậy ta có thể sử dụng tính chất của cấp số nhân ,tìm ra m, sau đó thay m cụ thể vào hàm số để kiểm tra lại và nhận giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán. Giải: Giả sử ( ) m C cắt Ox tại ba điểm phân biệt 1 2 3 ; ;x x x khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 2 3 3 2 3 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 3 1 5 4 8 3 1 5 4 8 ( ) ( ) − + + + − = − − − ⇔ − + + + − = − + + + + + − x m x m x x x x x x x x m x m x x x x x x x x x x x x x x x x Từ đó ta có: 1 2 3 . . 8=x x x Vì 1 2 3 ; ;x x x tạo thành cấp số nhân nên ( ) 2 1 3 2 .x x x= khi đó: ( ) 3 1 2 3 2 2 . . 8 2= = ⇔ =x x x x x Vì 2 x là hoành độ giao điểm nên 2 ( ) (2) 0 2(2 ) 0 2f x f m m= = ⇔ − = ⇔ = Với m = 2 thì ( ) ( ) 3 2 2 2 ( ) 7 14 8 0 1 6 8 0 1 1 0 2 6 8 0 4 f x x x x x x x x x x x x x = − + − = ⇔ − − + =  =  − =  ⇔ ⇔ =   − + =   =  Ta thấy các số: 1 ; 2 ; 4 tạo tành cấp số nhân với công bội bằng 2 Vậy m = 2 thoả mãn yêu cầu bài toán. Phương pháp 2. Sử dụng đồ thị hàm số bậc 3 và vị trí cực trị. Nếu trường hợp phương trình hoành độ giao điểm không dễ dàng trong việc nhẩm nghiệm hay bài toán không có các điều kiện phức tạp về toạ độ giao điểm thì ta có thể sử dụng đồ thị hàm số bậc ba để giải quyết bài toán. Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 10 [...].. .SKKN: MỘT SỐ BÀI TỐN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG 3 2 Giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba ( C ) : y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) và đường thẳng ( d ) : y = a ' x + b ' đưa về bài tốn xét giao điểm của đồ thị 3 2 hàm số ( C ') : y = ax + bx + ( c − a ') x + d − b ' (a ≠ 0) với trục hồnh Hai đồ thị của hai hàm số (C) và (d) cắt nhau tại k điểm khi và chỉ khi đồ thị hàm số (C’)... 16 SKKN: MỘT SỐ BÀI TỐN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG 1 Vì hàm số g ( x ) = − x 3 + x (C) khơng phụ thuộc vào tham số nên hình 3 dáng của đồ thị của hai hàm số ở hai vế của phương trình (**) ta đều có thể biết được, từ đó ta suy ra được số giao điểm của chúng Ta có thể giải bài tốn như sau: Giải Phương trình hồnh độ giao điểm là: 1 3 x3 x −x+m =0⇔ − +x =m 3 3 1 3 Xét hàm số. .. − 2 3 −∞ Số giao điểm của ( Cm ) với trục hồnh là số giao điểm của đường cong (C) với đường thẳng y = m Từ bảng biến thiên ta có: Với 2  m>  3  , (C) cắt trục hồnh tại 1 điểm m < − 2  3  Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xn Mỹ Tr 17 SKKN: MỘT SỐ BÀI TỐN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG 2  m = 3 Với  , (C) cắt trục hồnh tại 2 điểm m = − 2  3  2 3 2 3 Với − < m... thì đường thẳng y = m phải cắt ( C ') m một điểm  m>4 Dựa vào bảng biến thiên ta có:  m < 4 / 9 Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xn Mỹ Tr 21 SKKN: MỘT SỐ BÀI TỐN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG Bài tập: 3 2 Bài 1.Tìm m để đồ thị hàm số y = mx + 3mx − ( 1 − 2m ) x − 1 cắt trục hồnh Ox a/ Tại 3 điểm phân biệt b/ Tại hai điểm c/ Tại một điểm Bài 2 Tìm m để đồ thị (C):... điềm chung với Ox f) cắt Ox tại một điểm Ba i 8: Cho h/s: y = x 3 + 6 x 2 + (m + 2) x + 9 + m (Cm ) Tìm m để a) (Cm) cắt trục hồnh tại một điểm b) (Cm) cắt Ox tại ba điểm phân biệt Chứng tỏ rằng ba điểm này đề có hồnh độ âm (Cm) c) Tiếp xúc với ox Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xn Mỹ Tr 22 SKKN: MỘT SỐ BÀI TỐN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG Ba i 9: Cho hàm số y = x... Tâm- THPT Xn Mỹ Tr 14 SKKN: MỘT SỐ BÀI TỐN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG Bài giải : Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị x 3 − 3mx 2 + 3m 2 x + 1 = 3x + m 2 ⇔ x 3 − 3mx 2 − 3 ( 1 − m 2 ) x + 1 − m2 = 0 ( 1) 3 2 2 2 Đặt y = g ( x) = x − 3mx − 3 ( 1 − m ) x + 1 − m có đồ thị ( Cm ’) y ' = g '( x) = 3 x 2 − 6mx − 3 ( 1 − m 2 ) ; Đồ thị ( Cm ) cắt ( dm ) tại ba điểm phân... THPT Xn Mỹ Tr 12 x SKKN: MỘT SỐ BÀI TỐN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG a/ Tại 3 điểm phân biệt b/ Tại 2 điểm c/ Tại 1 điểm Bài giải Nhận xét: Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị và trục hồnh là x 3 − 3x + 1 − m = 0 ( 4) Ta khơng nhẩm được nghiệm của phương trình (4) Giải: y = f ( x) = x 3 − 3x + 1 − m Ta có y ' = 3x 2 − 3 x = 1 y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 3 ⇔   x = −1 Do đó hàm. .. Để ( Cm ) cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt thoả mãn x1 < -3 < x2 < x3 thì đường thẳng y = -m phải cắt ( Cm ' ) tại ba điểm phân biệt thoả mãn x1 < -3 < x2 < x3 Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xn Mỹ Tr 20 SKKN: MỘT SỐ BÀI TỐN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG Dựa vào bảng biến thiên ta có: - m > 49/3 ⇔ m < - 49/3 VÍ DỤ 17: Tìm m để đồ thị hàm số ( Cm ) : y = f ( x ) =... Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xn Mỹ Tr 18 SKKN: MỘT SỐ BÀI TỐN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG Bảng biến thiên x -∞ y’ y +∞ 0 - 1 0 - +∞ + +∞ +∞ -∞ 5 Để ( Cm ) cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt thì đường thẳng y = -m phải cắt ( Cm ' ) tại ba điểm phân biệt Dựa vào bảng biến thiên ta có: - m > 5 ⇔ m < - 5 VÍ DỤ 15: Tìm m để đồ thị hàm số ( Cm ) : y = f ( x ) = x 3 −... thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xn Mỹ 2 Tr 19 SKKN: MỘT SỐ BÀI TỐN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG Để ( Cm ) cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt thoả mãn - 2 < x1 < x2 < x3 thì đường thẳng y = -m phải cắt ( Cm ' ) tại ba điểm phân biệt thoả mãn - 2 < x1 < x 2 < x 3 Dựa vào bảng biến thiên ta có: 2 < - m < 10 ⇔ - 10 < m < -2 VÍ DỤ 16: Tìm m để đồ thị hàm số ( Cm ) : y = f ( x ) . Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 10 SKKN: MỘT SỐ BÀI TỐN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG Giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba ( ) 3 2 : ( 0)C y ax bx cx d a = + + + ≠ và đường thẳng. o x 2 y CT y CÑ SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG a/ Tại 3 điểm phân biệt. b/ Tại 2 điểm c/ Tại 1 điểm Bài giải Nhận xét: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ. Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 1 SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG Cho hàm số bậc ba ( ) 3 2 : ( 0)C y ax bx cx d a = + + + ≠ và đường thẳng ( ) :