Một số dạng toán về đa thức

B TR GIỄO D C VĨ ĨO T O NG I H C TH NG LONG - THỂN V N D M TS D NG TOỄN V A TH C LU N V N TH C S TOỄN H C HƠ N i ậ 2016 GIỄO D C VĨ ĨO T O B TR NG I H C TH NG LONG - THỂN V N D M TS - C00439 D NG TOỄN V A TH C LU N V N TH C S TOỄN H C CHUYểN NGĨNH: PH NG PHỄP TOỄN S C P Mĩ S : 60460113 NG IH NG D N KHOA H C: TS Lể ỊNH NAM HƠ N i ậ 2016 Thang Long University Libraty L I CAM OAN Tôiăxinăcamăđoanăd i s giúpăđ ,ăh ng d n c aăTS.ăLêă ìnhăNam,ă lu năv năcaoăh căchuyênăngànhăph ngăphápătoánăs ăc p v iăđ tàiă“M t s d ngătoánăv đaăth c”ăđ căhoànăthànhăb i s nh n th căvàătìmăhi u c a b n thânătôiătrongăth i gian h c t păvàănghiênăc u t iătr ngă i h căTh ngăLong Trong quáătrìnhănghiênăc uăvàă th c hi n lu năv n,ătácăgi đãăk th a nh ng k t qu c aăcácănhàăkhoaăh c v i s trânătr ngăvàăbi tă n HàăN i, ngàyă15ăthángă6ăn mă2016 Tácăgi THÂNăV NăD M CL C Trang L i nói đ u 1 T ng quan v đa th c 1.1 Vànhăcácăđaăth c m t bi n …………………………………………….3 1.2 Nghi m c aăđaăth c ……………………………………………… ….4 1.3 M tăvàiăbi u di năđaăth c ………………………………………………8 Các bƠi toán v nghi m c a đa th c 10 2.1 Cácăbàiătoánăv s nghi m c a đaăth c ……………………………….10 2.1.1 Tìmănghi m c aăđaăth c v i h s nguyên……………………….10 2.1.2 aăth căkhôngăcóănghi m h u t ….…………………………… 12 2.1.3 S t n t i nghi m th c c aăđaăth c ……………….…………… 18 2.2 Cácăbàiătoánăv đánhăgiá,ă 2.2.1 M t s đ nhălýăv căl căl ng nghi m c aăđaăth c ……………26 ng nghi m …………………………….26 2.2.2 M t s víăd ……………………… ……………………………30 Các bƠi toán v xác đ nh đa th c 33 3.1 Xácăđ nhăđaăth c d aăvàoăđ cătr ngănghi m ……………………… 33 3.2 Xácăđ nhăđaăth c th aămãnă P  f  x .P  g  x   P  h  x  ………….40 3.3 Xácăđ nhăđaăth c th aămãnă P  f  x .P  g  x   P  h  x   Q  x … 50 Thang Long University Libraty M t s d ng toán khác v đa th c 53 4.1 Cácăbàiătoánăv tínhăchiaăh t c aăđaăth c …………………………….53 4.1.1 aăth c P  x chia h tăchoăđaăth c Q  x ……………………….53 4.1.1.1 Ch ngăminhăđaăth c P  x chia h tăchoăđaăth c Q  x … 53 4.1.1.2 Tìmăđi u ki n c a tham s đ đaăth c P  x chia h tăchoăđaă th c Q  x ………………………………………………………………… 59 4.1.2 Cácăbàiătoánăchiaăh t c a bi u th c nghi m c aăđaăth c …………63 4.2 ng d ngăđaăth căđ gi iătoán ……………………………………… 64 4.2.1 ng d ngăđaăth c gi i h ph ngătrình …………………………64 4.2.2 ng d ngăđaăth c ch ng minh b tăđ ng th c ……………………72 4.2.2.1 ng d ngăđaăth c b c hai ch ng minh b tăđ ng th c …….72 4.2.2.2 ng d ngăđaăth c b căbaăđ ch ng minh b tăđ ng th c …77 K t lu n …………………………………………………………………… 83 TƠi li u tham kh o ………………………………………………………….84 L I NịI U aăth călàăm tăkháiăni măc ăb năvàăquanătr ngătrongătoánăh cănóiăchungă vàătrongăđ i s nóiăriêng.ăTrongăcácăkìăthiăh c sinh gi i qu căgia,ăOlympicătoánă qu c t ,ăthiăOlympicăsinhăviênăgi aăcácătr toánăv đaăth căc ngăđ ngăđ i h căvàăcaoăđ ngăthìăcácăbàiă căđ c p nhi uăvàăđ căxemălàăm t d ngătoánăkhóă b c trung h c ph thông Hi nănayăđãăcóănhi uătàiăli u vi t v đaăth c.ăTuyănhiênăcácătàiăli uănàyă ch y uătrìnhăbàyăv lýăthuy tăxâyăd ngăvàăcác tínhăch t c aăđaăth c,ăbàiăt păápă d ngăcònăít.ăV i mong mu năcóăm tătàiăli u tham kh o h uăíchăgiúpăchoăh c sinh t ônăt păvàăgiáoăviênăcóătàiăli u tham kh oăđ gi ng d yăvàăt sángătácă đ căcácăbàiătoánăv đaăth c,ătácăgi đãăch năđ tàiă“M t s d ngătoánăv đaă th c” Cácăbàiătoánăv đaăth căkháălàăphongăphú, Tuyănhiênă đ tàiănàyătácăgi ch n m t s ch đ c ăb n v đaăth c hay g pătrongăcácăkìăthiăh c sinh gi i: Ch ng T ng quan v đa th c: Trìnhăbàyăcácăkháiăni măvàăcácătínhă ch tăc ăb n c aăđaăth c Ch ng Các toán v nghi m c a đa th c:ăNêuăcáchăgi iăcácăbàiă toánăv s nghi m c aăđaăth c,ăcácăbàiătoánăv đánhăgiá,ă Ch căl ng nghi m ng Các toán v xác đ nh đa th c:ăTrìnhăbàyăm t s d ngăbàiă toánăxácăđ nhăđaăth căđi năhìnhăhayăg pătrongăcácăkìăthiăh c sinh gi i Ch ng M t s d ng toán khác: Trìnhăbàiăcáchăgi iăbàiătoánăch ng minhăđaăth c P  x chia h tăchoăđaăth c Q  x , bàiătoánătìmăđi u ki n c a tham Thang Long University Libraty s đ đaăth c P  x chia h tăchoăđaăth c Q  x vàă ng d ng c aăđaăth căvào gi i h ph ngătrìnhăđ i x ng vàăch ng minh b tăđ ng th c Lu năv nănàyăđ h c th c hi n t i Tr ngă ng d n c aăTS.ăLêă ìnhăNam, gi ngăviênăTr i H căTh ngăLongăd ngă is i H căBáchăKhoaăHàă N i.ăNhânăd pănày,ătácăgi xin g i l iăcámă năđ năcácăth yăcôătrongăkhoaătoánă Tr ngă i H căTh ngăLong đãăh ng d nătácăgi nh ngăn măv a qua lòng bi tă năsâuăs c t iăTS.ăLêă ìnhăNamăng iăđãăt nătìnhăh ng d nătácă gi hoànăthànhălu năv nănày M c dùătácăgi đãăcóănhi u c g ng, song th iăgianăvàătrìnhăđ có h n nênăb n lu năv năkhôngătránhăkh i nh ng thi uăsótănh tăđ nh.ăTácăgi r t mong s nh năđ nàyăđ c nh ng đóngăgópăquýăbáu c a th yăcôăvàăb năđ căđ b n lu năv nă căhoànăthiênăh n Tôiăxinăchânăthànhăcámă n! HàăN i, ngàyă15 thángă6 n mă2016 Tácăgi THÂNăV NăD CH NG A TH C T NG QUAN V Trongăch ngănàyăs trìnhăb y khái ni măvàăcácătínhăch tăc ăb n c a đaăth c:ăKháiăni măvànhăđaăth c trênăm t mi nănguyên, nghi m c aăđaăth c, cácăđ nhălýăth ng g p c aăđaăth cănh ăđ nhălýăBezoút,ăViéte,ăđ nhălýăc ăb n c aăđ i s ,ăđ nhălýăgiáătr trungăbình…ăvàăcácăbi u di năđaăth c quen thu c nh ă bi u di n Lagarange, bi u di n Taylor, bi u di n Newton 1.1 VĨNH CỄC A TH C M T BI N Cho K làăm t mi nănguyên cóăđ năv Kíăhi u K  x  { f  x  a  a1x   a n xn a i  K , n  } v i x làăbi n Gi s f  x  a  a1 x   a n xn , g  x  b0  b1x   bm xm  K  x Khôngălàmăm tătínhăt ngăquát,ătaăcóăth gi s m  n ,ăvàă m  n  s Khiăđó g  x  b0  b1x   bn s xn s  K  x  bn xn  bn1xn1  Trênă K  x cóăquanăh b ng nhau: f  x  g  x khiăvàăch  bi v i m i i  0, , n vàă bn1   bns  n Phépăc ng: f  x  g  x     bi  xi  bn1 xn1  i 0  bn s xn s m n  i   f x g x Phépănhân:ă        a j bi  j  xi i 0  j 0  Thang Long University Libraty B ng vi c ki mătraăcácătínhăch t th t c,ătaărútăraăđ c r ng v iăhaiăphépă toánăc ng vàănhânăđãănêuăthìă K  x tr thànhăm tăvànhăgiaoăhoánăcóăđ năv Khiăđóă K  x đ K  x đ c g iălàăvànhăcácăđaăth c c a bi n x trênă K ,ăcácăph n t c a c g iălàăcácăđaăth c c a bi n x trênă K aă th c f  x  a  a1 x   a n xn đ c g iă làă cóă b c n vàă vi tă làă deg f  x  n , n u a n  ,ăcácăph n t a n , a n1, , a1, a đ c aăđaăth c f  x ,ătrongăđóă a n đ c g iălàăcácăh s c g iălàăh s cao nh tăvàă a0 đ c g iălàăh s t Quy c: aăth că0ălàăđaăth căcóăb c  nh lỦ 1.1 Cho K làăm t mi nănguyên.ăKhiăđóăvànhăcácăđaăth c K  x làăm t mi nănguyên.ăNgoàiăra,ăn u f  x , g  x  K  x làăcácăđaăth căkhácăđaăth c 0, deg  f  x g  x   deg f  x  deg g  x 1.2 NGHI M C A A TH C nh ngh a 1.2 Choăđaăth c P  x  a n xn  a n1 xn1  Ph n t   K đ  a1 x  a c g iălàănghi m c aăđaăth c P  x n u P    a n n  a n1 n1   a1  a  nh ngh a 1.3 Choăđaăth c P  x  K  x vàă   K N u t n t i m t s t nhiênă k cho P  x chia h t cho  x    nh ngă P  x khôngăchiaăh t cho k x  k 1 thìă  đ c g iălàănghi m b i b c k c a P  x Khi k  thìă đ c g iălàănghi măđ n,ă k  thìă đ c g iălàănghi m kép nh lỦ 1.2 (Bezoút) Ph n t  làăm t nghi m c aăđaăth c b căd ngă P  x  K  x n uăvàă ch n u P  x   x    Q  x v i Q  x  K  x deg Q  x  deg P  x  H qu 1.1 Choăđaăth c b căd i ngă f  x  K  x Khiăđó,ătaăcó: N u 1, , m  K làăcácănghi m c a f  x ,ăthì f  x   x  1  x  1   x   m  g  x v i g  x  K  x vàă deg g  x  deg f  x  m ; ii S nghi m c aăđaăth c f  x K khôngăv tăquáăb c c a f  x H qu 1.2 Choăđaăth c P  x  a n xn  a n1 xn1   a  K  x N uăđaăth c P  x cóăquáă n nghi măthìă P  x  t călàă an  a n1   a0  nh lỦ 1.3 ( nh lỦ c b n c a đ i s ) Choăđaăth c f  x   x b ngă n ăKhiăđóă f  x cóăítăm t nghi m căd ph c Thang Long University Libraty Khiăđóăh ph ngătrìnhătr thành 1  1     4 1  2               3 1      4 2  2  4   4  33   2  Theoăđ nh lýăViéte taăcóă x, y, z, t làănghi m c aăđaăth c f  u   u  u  4u  4u aăth c f  u  cóă4ănghi mălàă:ă0,1,2,-2 Suy h ph ngătrìnhăđãăchoăcóănghi mălàăb s hoánăv c aănó Ví d Gi i h ph ngătrình x  y  z  t  a  2 2 x  y  z  t  a  3 3 x  y  z  t  a  x4  y4  z4  t  a  Gi i: t 1  x  y  z  t ,   xy  xz  xt  yz  yt  zt ,   xyz  xyt  yzt  xzt ,   xyzt Taăcóă x2  y2  z2  t  12  2 , 70  0;1;2; 2 vàăt t c cácă x3  y3  z3  t  13  31  33 , x4  y4  z4  t  14  412  2 22  41  4 Khiăđóăh ph ngătrìnhătr thành 1  a 1  a  2   1  2  a    3          3 a 3       4 2  2  4   4  a 2  Theoăđ nhălýăViéte taăcóă x, y, z, t làănghi m c aăđaăth c f  u   u  a u aăth c f  u  cóă4ănghi mălàă:ă a ;0;0;0 Suy h ph ngătrìnhăđãăchoăcóănghi mălàăb s  a;0;0;0 vàăt t c cácă hoánăv c aănó Nh n xét: Bàiătoánăt ngăquátăc aăbàiătoánătrênălàăbàiătoánăsau: BƠi toán Gi i h ph ngătrình  x1  x2   xn  a  2 2  x1  x2   xn  a    xn  xn   xn  a n n  H ph ngătrìnhătrênăcóăcácănghi mălàăb s  a;0; ;0 vàăt t c cácăhoánăv c aănó 71 Thang Long University Libraty ng d ng đa th c đ ch ng minh b t đ ng th c 4.2.2 4.2.2.1 ng d ng đa th c b c hai ch ng minh b t đ ng th c A Các ki n th c c b n Trongăch ngătrìnhătrungăh c ph thôngăđaăth c b c hai n x , f  x  ax2  bx  c  a   đ c g i làătamăth c b c hai n x nh lỦ d u c a tam th c b c hai Cho tam th c b c hai f  x  ax2  bx  c  a , b, c  , a   ,   b2  4ac ăKhiăđóătaăcó:  N u   thìă f  x luônăcùngăd u v i h s a v i m i x  N u   thìă f  x luônăcùngăd u v i h s a v i m i x   ; b ; 2a  N u   thìă f  x luônăcùngăd u v i h s a v i m i x  x1 ho c x  x2 , f  x tráiăd u v i h s a v i x1  x  x2 (trongăđóă x1 , x2 làă nghi m c aăph ngătrìnhă f  x  0, x1  x2 ) * Chú Ủ: nhălýăd u c a tam th c b c hai v năđúngăn u ta thay   b2  4ac b b ng  '  b '2  ac ( b '  ) 2 H qu Cho tam th c b c hai f  x  ax2  bx  c  a , b, c  , a   ,   b2  4ac Khiăđóătaăcó:  N u a f  x  v i x  thìă   b2  4ac  ;  N ut nt i  cho f    thìă   b2  4ac  ;  N ut nt i  cho a f    thìă   b2  4ac  ;  N u t n t i ,  cho f   f     thìă   b2  4ac  72 B M t s d ng toán BƠi toán Cho b tăđ ng th c f  x  (1) Trongăđóă f  x làătamăth c b căhaiăđ i v i x ăHãyăch ng minh b tăđ ng th c (1)ăđúngăv i m i x Ph ng pháp gi i: Theoăđinhălýăv d u c a tam th c b c hai f  x làătamăth c b c hai a f  x  (*) ta ch c n ch ng minh     f  x Chú Ủ: N u b tăđ ng th c (1) ch cóăb tăđ ng th că(ăkhôngăcóăd uăđ ng th că)ăthìătrongăđi u ki n (*) đ i v i  f  x c ngăch cóăb tăđ ng th că(ăkhôngă cóăd u “=” ) Ví d Ch ng minh r ng n u a , b, c làăđ dàiăbaăc nh c aătamăgiácăthìăb tăđ ng th căsauăđúngăv i m i x b2 x2  (b2  c2  a ) x  c2  (1) Gi i: t VT (1)  f  x Ta th y f  x làăm t tam th c b căhaiăđ i v i x cóă h s a làă b  doăđóăđ ch ngăminhăbàiătoánătaăch c n ch ng minh   0, x Th t v y   (b  c  a )  4.b c   2.b.c.cosA   4.b c 2   4.b c Sin A 0, x V y b2 x2  (b2  c2  a ) x  c  0, x 73 Thang Long University Libraty BƠi toán Cho b tăđ ng th c f  x; y  (2)ăTrongăđóă f  x; y làătamăth c b c haiăđ i v i m t hai bi n s x vàă y Ch ngăminhă(2)ăđúngăv i m i x vàă m i y Ph ng pháp gi i: Ta gi s hàmă f  x; y làătamăth c b căhaiăđ i v i x g i tam th c b c haiăđóălàă P  x Ta c n ch ng minh P  x  v i m i x vàăm i y ă ch ng a P  x  minh P  x  v i m i x theoăbàiătoánă1ătaăc n ch ng minh  (*)   P x    Suyăraăđ ch ng minh P  x  x, y ta c n ch ng minh h (*)ăđúngăv i m i y Ví d Cho b  c  d ăHãyăch ng minh b tăđ ng th c a  b  c   ac  bd  (1)ăđúngăv i m i a Gi i: (1)  (a  b  c)  8(ac  bd )   a  2(b  d  3c)a  (b  c  d )2  8bd  t VT(2) = f  a  f  a  làăm t tam th c b c hai n a cóăh s a f  x =1 Do v yăđ ch ng minh (1) ta ch c n ch ng minh , f a   Th t v y , f  a   (b  d  3c)  (b  c  d )  8bd    8c(b  c  d )  8bd   8(b  c)(c  d ) Do b  d  c  b  c  0, c  d  , f  a   74 Suyăraăđi u ph i ch ng minh BƠi toán Ch ng minh r ng B2  AC  ( ho c B '2  AC  ) Ph ng pháp gi i: ch ng minh B2  AC  taăđiăch ng minh PT Ax2  Bx  C  ( ho c PT Ax2  Bx  C  )ăcóănghi m ( Ch ng minh B '2  AC  ta ch ng minh PT Ax2  B ' x  C  ho c PT Ax2  B ' x  C  cóănghi m ) Ví d Cho a , b th aămãnăđi u ki n a  b2  Hãyăch ng minh r ng:  ăac ă  ăbd ă – ă1ă   ă ăa  ăb – ă1ă  ăc  ăd – ă1ă  (*) Gi i: Khi a  b2  (*) hi nănhiênăđúngă Khi a  b2   a  ăb2 – ă1ă  ă0 t ac ă  ăbd ă – ă1ă  ăB , a  ăb2 – ă1ă  ăAă  ă0 , c  ăd – ă1ă  ăC , (*)  B2  AC  Ta l p tam th c b c hai: f  x  Ax2  Bx  C ch ng minh B2  AC  ta ch c n ch ng minh f  x cóănghi m Th t v y 75 Thang Long University Libraty f  x  (a  b  1) x2  2(ac  bd  1) x  (c  d  1)  (ax - c)  (bx  d )  ( x  1)   taăcóă f    f 1  (a  c)2  (b  d )2   A f 1  suy  x0 : f  x0    f  x   u ph i ch ng minh BƠi toán Ch ng minh r ng B2  AC  ( ho c B '2  AC  ) Ph ng pháp gi i: ch ng minh r ng B2  AC  ( ho c B '2  AC  ) ta ch ng minh Af  x  x trongăđóă f  x  Ax2  Bx  C ( ho c f  x  Ax2  Bx  C ho c f  x  Ax2  B ' x  C ho c f  x  Ax2  B ' x  C ) Ví d ( B t đ ng th c Bunyakovsky) Cho a1, a2 , , an ; b1, b2 , , bn làăhaiăb n s th c Ch ng minh b tăđ ng th c (a1b1  a 2b2   a nbn )2  (a12  a 22   a n2 )(b12  b22   bn2 ) vàăd u b b b đ ng th c x y    n a1 a an Gi i: t n n a b  B , a i 1 i i i 1 i  A, n b i 1 i  C  ta c n ch ng minh B2  AC  Bx  C Ta coi B2 – ăAC làăbi t th c  , c a tam th căbâcăhaiă f  x  Ax ch ng minh B2  AC ta c n ch ng minh f  x  x Taăcó 76 n n n i 1 i 1 i 1 f  x  ( a i2 ) x2  ( a ibi ) x   bi2 n   (a i2 x2  2a i bi x + bi2 ) i 1 n   (a i x  bi )  i 1 n n n    ( aibi )  ( a ) ( bi2 ) , i 1 i 1 2 i i 1 D uăđ ng th c x y x  bi  i  1, n  4.2.2.2 b1 b2 b    n a1 a an ng d ng đa th c b c ba ch ng minh b t đ ng th c Choăđaăth c P  x  x3  mx2  nx  p N uăđaăth c P  x cóăbaănghi m x1, x2 , x3 thìătaăcó  x1  x2  x3   m   x1 x2  x2 x3  x3 x1  n  x x x   p  Ng c l i v i ba s th c a ,b,c b tăkìăthìăchúngălàănghi m c aăđaăth c f  x  x3  mx2  nx  p V i m    a  b  c  ; n  ab  bc  ca ; p  abc Xétăph ngătrìnhă x3  mx2  nx  p  (*) t x y Ph m m2 2m3  9mn  27 p ;   n;   3 27 ngătrìnhă(*)ătr thànhă y3   y    (**) 77 Thang Long University Libraty S nghi m c aăph ngătrìnhă(**)ălàăs giaoăđi m c aăđ th hàmăs g  y   y3   y   v i tr căhoành Taăcóă g'  y   y2   N u   thìă g'  y  v i y nênăph ngătrìnhă(**)ăcóănghi m nh t Suyăraăđaăth c f  x cóănghi m nh t N u   thìăph ngătrìnhă(**)ăcóănghi m b i b că3ăhayăđaăth c f  x cóă nghi m b i b c N u   thìă g'  y  cóăhaiănghi m y1   g  y1    , y2   ; 2  2    ,g  y2     3 3 Suy g  y1  g  y2     4 27   4  27 27 Doăđóăđaăth c f  x cóăbaănghi m (cóăth b ngănhau)ăkhiăvàăch khiăph ngă trìnhă(**)ăcóăbaănghi măphânăbi tăkhiăvàăch g  y1  g  y2    4  27   Hay 27 p  2m3  9mn  m  3n  (1) Ví d Cho a , b, c làăcácăs th căkhôngăđ ng th i b ng th aămãnă a  b  c  Ch ng minh r ng: 13a 2b 2c  2abc   2   a b c   78 Gi i: t n  ab  bc  ca , p  abc Suy a , b, c làăbaănghi m c aăph Theoă(1)ătaăcóă p   ngătrìnhă x3  nx  p  27 n  n3   p 27 27 1  p    p  1  Suy 13 p  p   2n  13 p  p   2  Nênătaăcóă13 p  p   2n3 Suy 13a 2b 2c  2abc   2  ab  bc  ca  Màătaăcóă   a  b  c   a  b  c   ab  bc  ca     ab  bc  ca   a  b2  c2  ,  13a 2b 2c  2abc   a  b2  c2   13a 2b 2c  2abc   Suy  a  b2  c2  p  hay a , b, c làănghi m c aăph D uă“=”ăx y   n  3 ngătrìnhă x 1 x3  3x     x  1  x       x  2 Suy d uă“=”ăx y  a ; b; c   1;1; 2  vàăcácăhoánăv c aănó 79 Thang Long University Libraty Ví d Choăcácăs th c a , b, c th aămãnă a  b  c   ab  bc  ca  ăTìmăgiáătr nh nh t c a bi u th c : P  abc  a  b  c    abc  Gi i : t m    a  b  c  , n  ab  bc  ca, p  abc Suy a , b, c làăbaănghi m c aăph ngătrìnhă t  mt  nt  p  T gi thi t a  b  c   ab  bc  ca    a  b  c    ab  bc  ca  m2 Suy m  4n  n  T u ki n 27 p  2m3  9mn  m  3n  taăcóă 3 m3 m   108 p  m3  m3  p  54 p  m3    pm3  54 p 27 p  4 Suy P  pm3  1 2 2 27 p 27 p  54 p   27 p  27 p    27 p4 p4 p4 p4 D uă«ă= »ăx y 80  m4 n      27 p  (*) p  54 p  m3   Gi i h (*)ătaăđ c hai nghi mălàă 1    p   p   3     3 m  18 vàă m   18   3 n  972 n  972   4  p     * V i m  18 thìă a , b, c làănghi m c aăph  n  972  ngătrìnhă 3  972 18   4 3  t    t  t  18 3t  t      3    3 18 ,c  Suyăraăgiáătr nh nh t c a P b ng 27 a  b   vàăcácăhoánă v c aănó 81 Thang Long University Libraty  p      * V i m   18 thìă a , b, c làănghi m c aăph  n  972  t  18 3t  3 972 t  V yăgiáătr nh nh t c a P b ng 27 82 ngătrìnhă K T LU N Lu năv nă“M t s d ngătoánăv đaăth c”ăg mă4ăch ng:ăCh ngă1ăh th ng l iăcácăki n th căc ăb n v đaăth c ch ngă2ătrìnhăb yăcácăd ngătoánăv nghi m c aă đaă th c,ă ch ngă 3ă trìnhă b y ba d ngă toánă v xácă đ nhă đaă th c, ch ngă4ătrìnhăbàyăcácăd ngătoánăv chia h t c aăđaăth c, ng d ngăđaăth căvàoă gi i h ph ngătrìnhăđ i x ngăvàăch ng minh b tăđ ng th c m i d ngătoán,ătácăgi đ uănêuăph ngăphápăgi iăvàăcácăvíăd minh h a.ă c bi t sau m t s víăd ,ătácăgi cóănêuăm t s nh năxét v cáchăgi i,ăđ aă cácăbàiătoánăt ngăt , bàiătoánăt ngăquát.ăV iăcáchătrìnhăb yănh ăv y,ătácăgi hy v ng b năđ căcóăth n m v ngăđ căph ngăphápăgi i c a m i d ngătoánă c ngănh ăcóăth t mìnhăsángăt oăthêmăđ căcácăbàiătoánăkhácăhayăh n.ăTácă gi c ngăhyăv ng b n lu năv nănàyălàăm tătàiăli u tham kh o h uăíchăchoăgiáoă viênăvàăh căsinhăônăthiăh c sinh gi i M cădùăđãăcóănhi u c g ngănh ngădo h n ch v m t th iăgianăvàătrìnhă đ nênălu năv nănàyăkhôngătránhăkh i nh ng thi uăsót.ăTácăgi mong nh năđ c nh ngăýăki năđóngăgópăc aăcácăth yăcôăvàăb năđ căđ b n lu năv năđ căhoànă thi năh n 83 Thang Long University Libraty Danh m c tƠi li u tham kh o: I TƠi li u ti ng vi t 1) thi h c sinh gi i qu c gia, qu c t cácăn m 2) thiăOlympicăsinhăviênăcácăn m 3) Tr nă Namă D ng,ă V m t d ng ph ng trình hàm đa th c, http://diendantoanhoc.net , 2010 4) Nguy n H uă i n, a th c ng d ng,ăNXBăGiáoăd c,ăHàăN i, 2003 5) Phan Huy Kh i, a th c,ăNXBăGiáoăd c,ăHàăN i, 2006 6) Nguy năV năM u, Chuyên đ ch n l c v đa th c áp d ng,ăNXBăGiáoă d c,ăHàăN i, 2008 7) Nguy năV năM u, a th c đ i s phân th c h u t ,ăNXBăGiáoăd c, HàăN i, 2008 8) LêăHoànhăPhò,ăChuyên kh o đa th c,ăNXBă i h c qu c gia TP HCM, 2003 9) Nguy n T t Thu, ng d ng s t n t i nghi m c a ph ng trình b c ba vào ch ng minh b t đ ng th c, http://diendantoanhoc.net ,2014 10) D ngăQu c Vi t (Ch biên),ă àmăV năNh , C s lí thuy t s đa th c,ăNXBă 11) D Hà,ă i h căs ăph m,ăHàăN i, 2014 ngăQu c Vi t (Ch biên),ăNguy nă tă ngă ìnhăHanh,ă àoăNg căMinh,ăTr ng,ăLêăV nă ính,ăLêăTh ngăTh H ng Thanh, Phan Th Th y, Bài t p c s lí thuy t s đa th c,ăNXBă i h căs ăph m, HàăN i, 2014 12) T păchí toánăh căvàătu i tr cácăn mă2003-2015 II TƠi li u ti ng anh 13) DusˇanăDjukic´,ăVladimirăJankovic´,IvanăMatic´,ăNikolaăPetrovic,ăThe IMO Compendium A Collection of Problems Suggested for the International Mathematical Olympiads:1959–2009, Springer, 2010 84 [...]... A TH C 2.1.1 Tìm nghi m c a đa th c v i h s nguyên Ph ng pháp gi i: tìmănghi m h u t c a đa th c f  x  a n xn  a n1 xn1   a1 x  a 0   x Ta th c hi nănh ăsau: B c 1 : S d ngăđ nhălýă1.5 ta nh m nghi m c a đa th c f  x ; B c 2 : S d ngăs ăđ Hoocneăđ phânătích đa th c f  x thànhătíchăcác đa th c b c nh h n Chú Ủ :  N u t ngăcácăh s c a đa th c b ngă0ăthì đa th căcóănghi m x  1 ; ... làăm t đa th c b c n  0 trênăm tătr ng K vàă n ph n t a1, , a n  K ăKhiăđó,ăt n t iăcácăph n t 0 , , n  K đ P  x  0  1  x  a1   2  x  a1  x  a 2    n  x  a1   x  a n  9 Thang Long University Libraty CH NG 2 CỄC BĨI TOỄN V NGHI M C A A TH C Trongăch ngănàyătrìnhăbàyăhaiăd ng toán v nghi m c a đa th c: D ng 1ălàăcácăbài toán v s nghi m c a đa th c, d ngă2ălàăcácăbài toán v... xét : Bài toán trênăcóăth t ngăquátăthànhăbài toán sau : BƠi toán Cho đa th c P  x , Q  x   x vàă m, n, p  th aămãnă P  2n   p  2m  1  0 , Q  2 p  chia h t cho 2 Ch ng minh r ngăph ngă trìnhă Q  P  x   2q  1 vôănghi m ( q  ) Ví d 7 ( thi h c sinh gi i t nhăPhúăYênăn mă2009-2010) Cho đa th c f  x  x4  2011x3   2010  a  x2  2009 x  a , a  Ch ng minh r ng đa th cănàyăkhôngăth... căkhôngăcóănghi m th cătaăphână tích đa th căđãăcho v d ng t ng cácăbi u th căluônăâmă(luônăd ng) ho cătíchă cácăbi u th căkhôngăâm Ph ng pháp 2: ch ng minh m t đa th căkhôngăcóănghi m th cătaăxâyă d ng m tădãyăvôăh n,ăđôiăm tăkhácănhauăcácănghi m th c c a đa th c T đâyă suyăraăđi uăvôălýă(M t đa th căkhácăkhôngăb c n cóăt i đa n nghi mătrênăm t tr ng) Ví d 1 Ch ngăminhăcác đa th căsauăkhôngăcóănghi m th... ngăminh đa th c P  x khôngăcóănghi m th c Gi i: Gi s đa th c P  x cóănghi m th c x0 Xétădãyă  xn  xácăđ nh b i :  x0  2  xn  2015 xn1  xn1  2016, n  1 B ngă ph ngă phápă quyă n pă toán h că taă cóă th ch ngă minhă đ c v i x0 làă nghi m c a đa th c P  x thìă xn c ngălàănghi m c a P  x v i n  1 Do xo  x1   xn  nên đa th c P  x cóăvôăs nghi m,ăđi uănàyăvôălý.ă V y đa th c... i s nghi m d ngăc a đa th călàă N Theo quy t c d uăDescartesăthìă N  2 vàă 2  N làăs ch nănênă N  0 ho c N  2 màă P  0.P 1  38  0 nên đa th căcóăítănh t m t nghi m thu c kho ng  0;1 Suy ra N  2 t c đa th c P  x cóăđúngăhaiă nghi măd ng Xét đa th c G  x  P   x   x5  3x4  x3  8 x2  10 x  2 Dãyăd uăcácăh s làă       nênăs l năđ i d uăcácăh s c a đa th c làă WG  3... 3 ăDo đa th c G  x cóă ítănh t m t nghi măd Ví d 3 ( ngănên đa th c P  x cóăítănh t m t nghi măâm thi h c sinh gi i qu c gia – VMO 2003) Choăhai đa th c P  x  4 x3  2 x2  15 x  9, Q  x  12 x3  6 x2  7 x  1 a) Ch ng minh r ng m i đa th căđã choăcóăbaănghi m th căphânăbi t ; b) Kýăhi u  ,  làănghi m l n nh t c a P  x vàă Q  x Ch ng minh r ng 2   2  4 Gi i: a) Taăcóăhai đa th... a đa th c  P  x  P   x Theoăđ nhălýăViéte taăcóă x1x2 x2016  a0  a1  0 nênă x2016  0 Suyăra đa th c  P  x  P   x cóă2016ănghi măd ng.ăM tăkhácă x2  2016 x  1  0 cóăm t nghi măd ng,ăm t nghi măâmănên đa th c Q  x  x2  2016 x  1   P  x  P   x  cóăđúngă2017ănghi măd ng   D ng 2 Ch ng minh đa th c không có nghi m th c Ph ng pháp gi i: Ph ng pháp 1: ch ng minh m t đa th... f  t  cóăb n nghi m  ; ; 2 4 2 Nh n xét : Khiătìmănghi m c a đa th c f  x taăcóăth đ t n ph t  px đ đ aăbài toán tìmănghi m c a đa th c bi n t v i h s đ năgi năh n,ăcóăth gi m b t vi c ki mătraăcácănghi m 2.1.2 a th c không có nghi m h u t Ph ng pháp gi i : ph ngăphápăch ng minh ph n ch ng Ta gi s đa th căcóănghi m h u t ch ng đa th că khôngă cóă nghi m h u t ta s d ng p q vàăs d ngătính ch... trongădãyăcácă h s khácăkhôngăc a đa th c P   x Th thìă W  P   N  P  vàă W  P   N  P  làăm t s ch n H qu 1.8.1 Cho đa th c P  x  a n xn  a n1 xn1   a1 x  a 0 v iăcácăh s th c, a n  0 N u a n ao  0 thìăs nghi măd ngăc a đa th c P  x (đ m c b i)ălàă s ch n, n u a n a0  0 thìăs nghi măd ngăc a đa th c P  x (đ m c b i)ălàă s l H qu 1.8.2 N uăcácăh s c a đa th c P  x đ i d uăđúngăm