Ví dụ 1: Hãy thay các chữ số vào các chữ a, b để số là bội số của 180.
Ví dụ 2: Tôi nghĩ hai số tự nhiên liên tiếp, trong đó có một số chia hết cho 9. Tổng của hai số đó là một số có những đặc điểm sau:
a) Có 3 chữ số.
b) Là bội số của 5.
c) Tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là bội số của 9.
d) Tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục chia hết cho 4. Bạn hãy đoán xem tôi đã nghĩ ra hai số nào?
Ví dụ 4: Biết rằng vừa chia hết cho 7; cho 11 và cho 13. Tìm số đó?
Ví dụ 5: Hãy thay các chữ số vào các chữ x, y trong số N = sao cho N chia hết cho 13.
Ví dụ 1: Cho A = . Chứng minh rằng: n là số tự nhiên không chia hết cho 5 thì A chia hết cho 285.
Cho A = . Chứng minh rằng: A luôn chia hết cho 1480 với mọi n là số tự nhiên lẻ.
Ví dụ 2: Biết rằng a, b, c là các số cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Chứng minh rằng:
chia hết cho 24.
Ví dụ 3: Cho a, b, c, d là 4 số nguyên. Chứng minh rằng:
chia hết cho 12.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: A = 192021…7980 chia hết cho 1980.
Ví dụ 5: Cho a, b, c thỏa mãn đồng thời là các số chính phƣơng thì abc chia hết cho 30.
Nếu x, y, z là các số nguyên thỏa mãn: thì xyz
Ví dụ 6: Chứng minh rằng: Nếu chia hết cho m với mọi n > 0 (a, b, c, d ) thì chia hết cho m.
Ví dụ 7: Giả sử a, b, c, d là những số nguyên tố cùng nhau với m = ad - bc. Chứng minh rằng: Nếu ax + by chia hết cho m thì cx + dy cũng chia hết cho m.
Ví dụ 8: Giả sử m, n, k là các số nguyên dƣơng thỏa mãn và Chứng minh rằng: .
B = 1.2.3…n.
Chứng minh rằng: A chia hết cho B với m, n nguyên dƣơng.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên có n chữ số chia hết cho mà khi viết chỉ dùng các chữ số 1 và 2.
Ví dụ 4: Cho m, n là hai số nguyên dƣơng nguyên tố cùng nhau. Chứng minh có thể tìm đƣợc số tự nhiên sao cho chia hết cho m.
Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên k khác 0 sao cho: .
1) Chứng minh rằng: Luôn tồn tại số có dạng:
chia hết cho 2011.
2) Có tồn tại hay không một số nguyên dƣơng là bội của 1987 và có 4 chữ số tận cùng là 1988.
a) n + 2 chia hết cho n – 1.
b) 2n + 7 chia hết cho n + 1.
c) 2n + 1 chia hết cho 6 – n.
Ví dụ 2: Tìm n nguyên dƣơng để 1.2.3…(n - 1) chia hết cho n.
Tìm n N để:
1) chia hết cho 3.
2) chia hết cho 3.
3) chia hết cho 7.
4) chia hết cho 7.
5) chia hết cho 7.
Ví dụ 4: Với giá trị nào của n để chia hết cho 323 (n nguyên dƣơng).
Ví dụ 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 63 thỏa mãn tổng các chữ số của nó chia hết cho 63.
Ví dụ 6: Hãy tìm số n nguyên dƣơng để chia hết cho 5.
a) M chia 9 dƣ 1 và M chia 13 dƣ 1. Hỏi M chia 117 dƣ bao nhiêu?
b) M chia 17 dƣ 2 và M chia 20 dƣ 5. Hỏi M chia 340 dƣ bao nhiêu?
Ví dụ 2: Khi chia một số A cho 7 ta đƣợc số dƣ là 6, còn khi chia nó cho 13 ta đƣợc số dƣ là 3, hỏi khi chia A cho 91 thì số dƣ là bao nhiêu?
1) Tìm số tự nhiên n lớn nhất có 3 chữ số sao cho n chia 8 dƣ 7, n chia 31 dƣ 28.
chia cho 73 dƣ 69.
Hỏi a chia cho 73 dƣ bao nhiêu?
Ví dụ 4: Chứng minh rằng không chia hết cho 121 với mọi m nguyên.
1) A = (m – 3)(m + 8) + 22 = không chia hết cho 121.
2) B = (m + 5)(m – 17) + 77 = không chia hết cho 121.
1) C = (m + 2)(m + 15) + 52 = không chia hết cho 169.
2) D = (m – 12)(m + 22) - 51 = không chia hết cho 289.
Ví dụ 5: Giả sử x, y thỏa mãn . Chứng minh rằng tổng x + y không chia hết cho 4.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng với mỗi số n nguyên dƣơng thì
không chia hết cho n + 2.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ,ta có: .
Ví dụ 2: Tìm tất cả các số nguyên dƣơng n có tính chất sau: tập hợp { n, n + 1, n
+ 2, n + 3, n + 4, n + 5} có thể chia thành hai tập hợp con sao cho tích các phần tử của tập con này bằng tích các phần tử của tập con kia.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có số: A = luôn chia hết cho 22.
a = .