Ứng dụng tích descartes trong dạy học một số dạng toán tiểu học (KLTN k41)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC ====== NGUYỄN BÍCH PHƯỢNG ỨNG DỤNG TÍCH DESCARTES TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN TIỂU HỌC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn phương pháp dạy học Toán HÀ NỘI, 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC ====== NGUYỄN BÍCH PHƯỢNG ỨNG DỤNG TÍCH DESCARTES TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TỐN TIỂU HỌC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán phương pháp dạy học Toán Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào HÀ NỘI, 2019 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới giảng viên khoa Giáo dục Tiểu học - trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tạo môi trường học tập tốt để em rèn luyện đạt kết đến thời gian Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào tận tình bảo, hướng dẫn em để hồn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Ứng dụng tích Descartes dạy học số dạng tốn Tiểu học” Trong q trình hồn thành khóa luận, em nhận nhiều ý kiến đóng góp số bạn sinh viên để đề tài em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Nguyễn Bích Phượng LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài nghiên cứu khóa luận kết nghiên cứu thân em hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào Các tài liệu tham khảo, trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc trung thực Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Nguyễn Bích Phượng MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Giả thuyết khoa học Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục khóa luận CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số vấn đề lịch sử 1.2 Một số khái niệm kí hiệu tập hợp.; 1.3 Cách xác định tập hợp 1.3.1 Liệt kê phần tử 1.3.2 Chỉ dấu hiệu đặc trưng phần tử thuộc tập hợp 1.4 Khái niệm Tích Descartes 1.5 Lũy thừa Descartes CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH DESCARTES TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN TIỂU HỌC 2.1 Ứng dụng tích Descartes dạy học số toán số học 2.2 Ứng dụng tích Descartes dạy học số tốn hình học .34 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chúng ta biết rằng, cấp độ học sinh tiểu học khởi đầu cho phát triển trí tuệ cho trẻ Ở cấp học này, em học sinh làm quen với khái niệm, cơng thức tốn học thơng qua toán dạng đơn giản, dễ hiểu Tuy nhiên, sịnh viên đào tạo ngành Giáo dục Tiểu học thường nghĩ kiến thức toán học cao cấp khơng có nhiều ứng dụng việc dạy học tốn Tiểu học Thực chất, cơng thức, khái niệm lấy từ lý thuyết, quy tắc bậc học cao Để minh chứng cho suy nghĩ mang tính khơng chuẩn xác đó, định hướng người hướng dẫn, em muốn giới thiệu tích Descartes ứng dụng lý thuyết việc dạy số dạng toán Tiểu học, để hồn thành khóa luận chun ngành tốn Tiểu học em chọn đề tài: “Ứng dụng tích Descartes dạy học số dạng toán tiểu học” với hai mục đích (i) Sử dụng lý thuyết việc định hướng tìm lời giải số dạng tốn Tiểu học (ii) Từ sở định hướng phần trên, em đưa số phương pháp hướng dẫn giải phù hợp với nhận thức học sinh cấp độ Mục đích nghiên cứu Đưa cách giải toán hữu hiệu ứng dụng tích Descartes việc giải số tốn bậc Tiểu học Bên cạnh nhằm rèn luyện tư sáng tạo, khả phát giải vấn đề học sinh tiểu học giải toán thuộc dạng Đối tượng nghiên cứu Tích Descartes số tốn bậc Tiểu học ứng dụng tích Descartes Giả thuyết khoa học Đề tài giúp giáo viên phát hiện, đưa cách giải toán hiệu học sinh ứng dụng tích Descartes, nhằm nâng cao hiệu dạy học Nghiên cứu việc ứng dụng tích Descartes việc dạy số dạng tốn tiểu học Phạm vi nghiên cứu Ứng dụng tích Descartes việc dạy số dạng toán bậc tiểu học Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu Phương pháp phân tích, tổng hợp Bố cục khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, đề tài gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Ứng dụng tích Descartes việc dạy số dạng toán Tiểu học CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số vấn đề lịch sử René Descartes (1596–1650) triết gia, nhà khoa học, nhà tốn học người Pháp Ơng có nhiều đóng góp quan trọng nhiều lĩnh vực khác nhau, lĩnh vực tốn học Đóng góp quan trọng Descartes với tốn học việc hệ thống hóa hình học giải tích, hệ trục tọa độ vng góc mang tên ơng Ơng nhà toán học phân loại đường cong dựa theo tính chất phương trình tạo nên chúng Ơng cịn có đóng góp quan trọng vào lý thuyết đẳng thức Descartes người dùng chữ cuối bảng chữ x,y,z để ẩn số dùng chữ bảng chữ a,b,c để giá trị biết Ông sáng tạo hệ thống ký hiệu để mô tả lũy thừa số (chẳng hạn biểu thức x ) Hơn nữa, ơng thiết lập phương pháp, gọi phương pháp dấu hiệu Descartes, để tìm số nghiệm âm, dương phương trình đại số 1.2 Một số khái niệm kí hiệu tập hợp Tập hợp hiểu lớp như: số vật thể; đối tượng tốn học đó; với tính chất chung để xác định đối tượng hay vật thể Người ta ký hiệu tập hợp chữ in hoa A,B,X,Y, Các vật thể hay đối tượng tập hợp ký hiệu chữ thường a,b,x,y, gọi “ph n t ” tập hợp Hai phần tử x y tập hợp X giống ta viết x y nói “ x trùng y ” Tập hợp X gồm phần tử x,y,z, viết X Ký hiệu x X t p h p X ” “ x ủ t p h p X ” Nếu phần tử x không thuộc tập hợp X ta ký ph n t hiệu Xlà x đọc “ x {x;y; } z; ph n t thuộ Ta nói tập hợp A tập hợp B viết A B hai tập hợp có phần tử Trong trường hợp, có phần tử thuộc tập hợp A khơng thuộc tập hợp B có phần tử thuộc tập hợp B lại không thuộc tập hợp A ta nói hai tập hợp khác viết A B 1.3 Cách ác định tập hợp Có hai cách thơng thường để xác định tập hợp sau 1.3.1 Liệt kê phần tử Một tập hợp coi xác định ta liệt kê phần tử tập hợp Ví dụ Các tập hợp sau xác định với liệt kê phần tử sau A {1, } 3,5,7 B {0,2, , 8} 4, Ví dụ Tập hợp X chữ in hoa để viết tên bạn Lan X {L,A, } N 1.3.2 Chỉ dấu hiệu đặc trưng phần tử thuộc tập hợp Một phận A tập hợp X mà phần tử thỏa mãn tính chất (gọi thuộ tính đặ trưng t p h p A ) ký hiệu x A X : xcó tính chất Ví dụ Tập hợp tự nhiên ch n C tập hợp số tự nhiên lẻ viết tương ứng x C : x chia hết cho l x : x chia cho dư 1.4 Theo trên, có tất cách để nam nữ ngồi xen kẽ hàng ghế 2 1 72 (cách) b) Cho cặp nam, nữ a,x ngồi vào chỗ thứ chỗ thứ hai Khi đó, C1,2 thuộc tập hợp C1, {a,x ; với C1,2 } Tiếp đến, C thuộc tập hợp {b,c, C x, z}; với C C thuộc tập hợp {c, y, z} ; với C C4 C thuộc tập hợp C5 C thuộc tập hợp {c, z}; với C C {z}; với C Bây giờ, cho cặp nam, nữ ngồi vào chỗ thứ hai chỗ thứ ba Khi C1 C4 2 C5 C 1 Tương tự, cặp nam, nữ A, B ngồi vào chỗ thứ ba chỗ thứ tư, thứ năm thứ sáu Theo trên, ta biết có tất cách để ba nam ba nữ ngồi xen kẽ có người nam A, người nữ B phải ngồi kề hàng ghế 2 1 40 (cách) c)Số cách chọn để cặp nam, nữ khơng ngồi kề số cách chọn tùy ý trừ số cách chọn để cặp nam, nữ ngồi kề 72 40 32(cách) Bài toán 19 Cần xếp ba người A, B, C lên hai toa tàu (mỗi toa chứa ba người) Hỏi có cách xếp? Hướng dẫn Cách 1: Phương pháp liệt kê Học sinh liệt kê cách xếp ba người A,B,C lên hai toa tầu theo yêu cầu toán cho Mỗi toa chứa ba người Học sinh tiến hành sau Toa thứ Toa thứ hai A B, C B A, C C A,B A, B C A, C B B, C A A, B, C 0 A, B, C Bằng cách liệt kê trên, học sinh tìm cách xếp ba người A,B,C lên hai toa tàu thỏa mãn yêu cầu toán Cách 2: Áp dụng tích Descartes Học sinh chưa đọc kĩ đề mà dẫn đến lời giải sai Toa tàu thứ có ba cách chọn người Toa tàu thứ hai có ba cách chọn người Do 3 (cách) Sai chỗ toa thứ có nhiều cách chọn (không chọn chọn người, chọn người, người) Đồng thời chọn người A toa thứ khơng thể chọn người A Giáo viên cần hướng dẫn để học sinh có lời giải đúng: Việc xếp ba người lên tàu gồm ba bước Chọn toa cho người A , A thuộc tập hợp A {toa 1; toa 2} ; với A Sau đó, chọn toa cho người B , đó, B thuộc tập hợp B {toa 1; toa 2}; với B Cuối cùng, chọn toa cho người C , C thuộc tập hợp C {toa 1; toa 2}; với C Theo đó, có tất cách xếp ba người A,B,C lên hai toa tàu 2 8(cách) Bài tốn 20 Một toa tàu có bốn toa đỗ sân ga Có bốn hành khách bước lên tàu Hỏi a) Có trường hợp cách chọn toa bốn hành khách? b) Có trường hợp mà toa có người lên? c) Có trường hợp mà toa có ba người lên, toa có người lên hai toa cịn lại khơng có lên? Hướng dẫn a) Ta kí hiệu bốn hành khách là: K1,K2,K 3,K Kí hiệu bốn toa tàu là: T1,T2,T 3,T Khi đó, K1 thuộc tập hợp K1 {T1,T2,T3,T4}; với K1 K2 thuộc tập hợp K2 K thuộc tập hợp {T1,T ,T 3,T 4}; với K2 K3 {T1,T ,T 3,T 4}; với K K4 4}; {T1,T ,T 3,T K thuộc tập hợp với K 4 Vậy, có tất trường hợp cách chọn toa bốn hành khách 4 4 256 (cách) b) K1 thuộc tập hợp K2 thuộc tập hợp với K1 K1 , {T1,T T3,T4}; K2 {T1,T,T 3,T 4} \ {K1}; với K2 K thuộc tập hợp K {T1,T ,T 3,T 4} \ {K1,K2}; với K K thuộc tập hợp K {T1,T ,T 3,T 4} \ {K1,K2,K3}; với K Vậy, có tất trường hợp mà toa có người lên 24(trường hợp) c) Chia bốn người thành hai nhóm Nhóm I: có ba người Nhóm II: có người (Ta chia cách chọn người ba người lại cho vào nhóm) Vậy, có bốn cách chia nhóm Với cách chia nhóm, ta xếp hai nhóm vào bốn toa Nhóm I thuộc tập hợp Nhóm I= {T1,T2,T3,T4}; với nhóm I = Nhóm II thuộc tập hợp Nhóm II = {T1,T2,T3,T4}\ {nhóm I}; với nhóm II = Như vậy, có tất cách xếp cho cách chia nhóm 12(cách) Mà tất lại có bốn nhóm, nên, có tất trường hợp mà toa có ba người lên, toa có người lên hai toa cịn lại khơng có lên 12 48(cách) Ứng dụng tích Descartes dạy học số tốn hình học Bài tốn Cho hai tam giác ABC DEF , biết ba điểm sáu điểm A,B,C,D,E,F khơng thẳng hàng Hỏi nối đoạn thẳng từ đỉnh tam giác ABC đến đỉnh tam giác DEF ? Hướng dẫn Bằng trực quan, giáo viên vẽ hai tam giác thỏa mãn yêu cầu đề hướng dẫn em nối đỉnh tam giác ABC đến đỉnh tam giác DEF đếm đoạn thẳng Nhưng với ngơn ngữ tập hợp kiến thức tích Descartes mà thầy có, ta thấy Ta có: X Y {A,B, }; với X C {D,E, }; với Y F 3 Khi đó, đoạn thẳng tương ứng với phần tử tích Descartes X Y số đoạn thẳng tìm X Y X Y 3 9(đoạn) Ngoài ra, học sinh giải theo cách khác Ta có sơ đồ sau A D B E C F Dựa vào sơ dồ ta đếm số đoạn thẳng 3 9(đoạn) Bài toán Cho điểm phân biệt A,B,C,D Hỏi vẽ đường thẳng? Hướng dẫn A B D C Bằng cách nối điểm cho lại với nhau, học sinh dễ dàng nhận thấy, qua điểm A điểm B,C,D có ba đườngAB,AC,AD Qua điểm B điểm C , D có hai đường thẳng BC, BD (không qua A) Qua điểm C D cịn lại có đường thằng CD (khơng qua A ) Vậy với bốn điểm A,B,C,D ta có đường thẳng AB,AC,AD,BC,BD,CD Giải tốn theo tích Descartes Một đường thẳng tạo hai điểm bốn điểmA,B,C,D Khi đó, điểm thứ thuộc tập hợp Điểm thứ = {A,B,C,D}; với điểm thứ = Điểm thứ hai thuộc tập hợp Điểm thứ hai = {B,C,D}; với điểm thứ hai = Khi đó, ta có số đường thẳng 12(đường thẳng) Do số đoạn thẳng lặp lại hai lần Ví dụ: AB, BA đường thẳng Vậy, với bốn điểm A,B,C,D ta lập số đường thẳng là: 12 6: (đoạn) Bài tốn Cho hình vẽ bên duới Hỏi hình vẽ có tất hình tam giác nhận ba sáu điểm A,B,C,D,E,F làm đỉnh ? Hướng dẫn B A F C E D Bằng cách trực quan, học sinh đếm nêu số tam giác nhận ba sáu điểm A,B,C,D,E,F làm đỉnh là: ABC, ACD, ADE, AEF, ABD, ACE, ADF, BCD, BDE, BEF, BFA, BCE, BDF, BEA, CBF, CEF, CDE, DEF, DEB, DFB Vậy, có tất 20 tam giác nhận ba sáu điểm A,B,C,D,E,F làm đỉnh Áp dụng lý thuyết tích Descartes vào tốn Vì tam giác tạo ba điểm Nên đó, điểm thứ thuộc tập hợp Điểm thứ = {A,B,C,D,E,F}; với điểm thứ = Điểm thứ hai thuộc tập hợp Điểm thứ hai = {A,B,C,D,E,F}\ {điểm thứ nhất} ; với điểm thứ hai = Điểm thứ ba thuộc tập hợp Điểm thứ ba = {A,B,C,D,E,F} {điểm thứ nhất, điểm thứ hai} ; với điểm thứ \ ba = Số tam giác tạo nên 120(tam giác) Do số tam giác lặp lại sáu lần Ví dụ: ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, DCA tam giác Vậy, số tam giác tạo nên từ ba sáu điểm A,B,C,D,E,F 120 : 620 (tam giác) KẾT LUẬN Mơn Tốn mơn học quan trọng, thiếu việc đào tạo bậc phổ thơng nói chung học sinh Tiểu học nói riêng Tốn khơng đơn mơn học với số Mơn Tốn giúp học sinh có tư logic, rành mạch Việc giảng dạy mơn tốn cịn giúp ích cho học sinh tiếp cận lĩnh vực khác thực tiễn sống Giải tốn nói chung giải tốn bậc Tiểu học nói riêng hoạt động quan trọng, thiếu việc dạy học Toán Việc giải toán Tiểu học giúp học sinh có hội vận dụng kiến thức học lớp, hình thành, rèn luyện phát triển số lực : tư duy, phân tích, tổng hợp, khái qt hóa, trừu tượng hóa Vì vậy, khơng ngừng đổi nội dung lẫn phương pháp, hình thức dạy học Tốn việc làm cần thiết Qua đề tài nghiên cứu, em rút điều sau Phương pháp giải toán cách vận dụng lý thuyết bậc cao giúp toán trở nên đơn giản dễ hiểu Một phương pháp dạy tốn sử dụng để giải nhiều dạng toán khác Ứng dụng lý tích Descartes thực chất ứng dụng lý thuyết toán cao cấp vào giải toán Tiểu học Việc vận dụng cách linh hoạt ý tưởng toán cao cấp vào giải toán giúp trang bị cho học sinh tảng toán học vững xác, để phục vụ em bậc học Việc sử dụng linh hoạt sáng tạo lý thuyết toán cao cấp vào dạy học giải tốn Tiểu học vơ cần thiết quan trọng giáo viên Tuy nhiên việc đem kiến thức áp dụng cho học sinh cần đảm bảo tính hài hịa, cân đối vừa sức Nghiên cứu đề tài: “ Ứng dụng tích Descartes vào dạy học số dạng toán Tiểu học” để giúp giáo viên bậc tiểu học có cách nhìn nhận giải tốt tốn cấp độ tiểu học từ kiến thức toán học cao cấp Qua đó, học sinh tiếp thu học cách đơn giản dễ dàng TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Thành Cơng (2013), Hướng dẫn giải chi tiết Violympic Tốn 4, Nhà xuất Tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh [2] Nguyễn Ngọc Giang (2018), Phương pháp sáng tạo toán Tiểu họ , hà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Trần Diên Hiển (2016), Bồi dưỡng họ sinh giỏi toán Tiểu họ , Nhà xuất Đại học Sư phạm [4] Đỗ Trung Hiệu – Đỗ Đình Hoan – Vũ Dương Thúy – Vũ Quốc Chung (2010), Phương pháp dạy họ mơn Tốn Tiểu họ , Nhà xuất Đại học Sư phạm [5] Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) - Nguyễn Áng – Đỗ Tiến Đạt – Đỗ Trung Hiệu – Phạm Thanh Tâm (2014), Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [6] Vũ Dương Thụy (Chủ biên) – Nguyễn Danh Ninh (2014), Toán nâng ớp o 4, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [7] Nguyễn Đình Thực (2016), Tốn nâng cao 2, Nhà xuất Đại học Sư phạm [8] Nguyễn Đình Trí - Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh (2009), Toán ấp t p 1, Nhà xuất Giáo dục o B Tài liệu tiếng Anh Nguyen Van Hao – Nguyen Thi Thanh Ha – Dao Thi To Uyen (2018), Descartes multiplication and application in primary mathematics, Ha Noi Metropolian University N0 27, p.7-11 ... niệm Tích Descartes 1.5 Lũy thừa Descartes CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH DESCARTES TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN TIỂU HỌC 2.1 Ứng dụng tích Descartes dạy học số toán số. .. thiệu tích Descartes ứng dụng lý thuyết việc dạy số dạng toán Tiểu học, để hồn thành khóa luận chun ngành tốn Tiểu học em chọn đề tài: ? ?Ứng dụng tích Descartes dạy học số dạng toán tiểu học? ?? với... tốn giảng dạy, áp dụng triệt để liên quan đến tích Descartes Em xin minh họa số toán để làm rõ luận điểm Ứng dụng tích Descartes dạy học số toán số học Bài toán Tìm liệt kê số có hai chữ số chia