Ứng dụng tích descartes trong dạy học một số dạng toán tiểu học

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC ====== NGUYỄN BÍCH PHƢỢNG ỨNG DỤNG TÍCH DESCARTES TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN TIỂU HỌC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn phƣơng pháp dạy học Toán HÀ NỘI, 2019 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC ====== NGUYỄN BÍCH PHƢỢNG ỨNG DỤNG TÍCH DESCARTES TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TỐN TIỂU HỌC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán phƣơng pháp dạy học Toán Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào HÀ NỘI, 2019 LỜI CẢM ƠN Em xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới giảng viên khoa Giáo dục Tiểu học - trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, tạo môi trƣờng học tập tốt để em đƣợc rèn luyện đạt kết đến thời gian Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào tận tình bảo, hƣớng dẫn em để hồn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Ứng dụng tích Descartes dạy học số dạng tốn Tiểu học” Trong q trình hồn thành khóa luận, em nhận đƣợc nhiều ý kiến đóng góp số bạn sinh viên để đề tài em đƣợc hoàn thiện nhƣ Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Nguyễn Bích Phƣợng LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài nghiên cứu khóa luận kết nghiên cứu thân em dƣới hƣớng dẫn TS Nguyễn Văn Hào Các tài liệu tham khảo, trích dẫn khóa luận đƣợc rõ nguồn gốc trung thực Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Nguyễn Bích Phƣợng MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu Giả thuyết khoa học Phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Bố cục khóa luận CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số vấn đề lịch sử 1.2 Một số khái niệm kí hiệu tập hợp.; 1.3 Cách xác định tập hợp 1.3.1 Liệt kê phần tử 1.3.2 Chỉ dấu hiệu đặc trƣng phần tử thuộc tập hợp 1.4 Khái niệm Tích Descartes 1.5 Lũy thừa Descartes CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH DESCARTES TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN TIỂU HỌC 2.1 Ứng dụng tích Descartes dạy học số toán số học 2.2 Ứng dụng tích Descartes dạy học số tốn hình học 34 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chúng ta biết rằng, cấp độ học sinh tiểu học khởi đầu cho phát triển trí tuệ cho trẻ Ở cấp học này, em học sinh đƣợc làm quen với khái niệm, cơng thức tốn học thơng qua toán dạng đơn giản, dễ hiểu Tuy nhiên, sịnh viên đƣợc đào tạo ngành Giáo dục Tiểu học thƣờng nghĩ kiến thức toán học cao cấp khơng có nhiều ứng dụng việc dạy học tốn Tiểu học Thực chất, cơng thức, khái niệm đƣợc lấy từ lý thuyết, quy tắc bậc học cao Để minh chứng cho suy nghĩ mang tính khơng chuẩn xác đó, đƣợc định hƣớng ngƣời hƣớng dẫn, em muốn giới thiệu tích Descartes ứng dụng lý thuyết việc dạy số dạng toán Tiểu học, để hồn thành khóa luận chun ngành tốn Tiểu học em chọn đề tài: “Ứng dụng tích Descartes dạy học số dạng toán tiểu học” với hai mục đích (i ) Sử dụng lý thuyết việc định hƣớng tìm lời giải số dạng toán Tiểu học (ii ) Từ sở định hƣớng phần trên, em đƣa số phƣơng pháp hƣớng dẫn giải phù hợp với nhận thức học sinh cấp độ Mục đích nghiên cứu Đƣa đƣợc cách giải toán hữu hiệu ứng dụng tích Descartes việc giải số tốn bậc Tiểu học Bên cạnh nhằm rèn luyện tƣ sáng tạo, khả phát giải vấn đề học sinh tiểu học giải toán thuộc dạng Đối tƣợng nghiên cứu Tích Descartes số tốn bậc Tiểu học đƣợc ứng dụng tích Descartes Giả thuyết khoa học Đề tài giúp giáo viên phát hiện, đƣa đƣợc cách giải toán hiệu học sinh ứng dụng tích Descartes, nhằm nâng cao hiệu dạy học Nghiên cứu việc ứng dụng tích Descartes việc dạy số dạng toán tiểu học Phạm vi nghiên cứu Ứng dụng tích Descartes việc dạy số dạng toán bậc tiểu học Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu Phƣơng pháp phân tích, tổng hợp Bố cục khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, đề tài gồm chƣơng Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng 2: Ứng dụng tích Descartes việc dạy số dạng tốn Tiểu học CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số vấn đề lịch sử René Descartes (1596–1650) triết gia, nhà khoa học, nhà toán học ngƣời Pháp Ơng có nhiều đóng góp quan trọng nhiều lĩnh vực khác nhau, lĩnh vực tốn học Đóng góp quan trọng Descartes với tốn học việc hệ thống hóa hình học giải tích, hệ trục tọa độ vng góc đƣợc mang tên ơng Ơng nhà tốn học phân loại đƣợc đƣờng cong dựa theo tính chất phƣơng trình tạo nên chúng Ơng cịn có đóng góp quan trọng vào lý thuyết đẳng thức Descartes ngƣời dùng chữ cuối bảng chữ x, y, z để ẩn số dùng chữ bảng chữ a,b, c để giá trị biết Ông sáng tạo hệ thống ký hiệu để mô tả lũy thừa số (chẳng hạn biểu thức x ) Hơn nữa, ơng thiết lập phƣơng pháp, gọi phƣơng pháp dấu hiệu Descartes, để tìm số nghiệm âm, dƣơng phƣơng trình đại số 1.2 Một số khái niệm kí hiệu tập hợp Tập hợp đƣợc hiểu lớp nhƣ: số vật thể; đối tƣợng tốn học đó; với tính chất chung để xác định đƣợc đối tƣợng hay vật thể Ngƣời ta ký hiệu tập hợp chữ in hoa A, B, X,Y , Các vật thể hay đối tƣợng tập hợp đƣợc ký hiệu chữ thƣờng a,b, x, y, đƣợc gọi “ph n t ” tập hợp Hai phần tử x y tập hợp X giống ta viết x y nói “ x trùng y ” Tập hợp X gồm phần tử x, y, z, đƣợc viết X Ký hiệu x ph n t x {x ; y; z; } X đọc “ x ph n t thuộ t p h p X ” “ x ủ t p h p X ” Nếu phần tử x không thuộc tập hợp X ta ký hiệu X Ta nói tập hợp A tập hợp B viết A B hai tập hợp có phần tử nhƣ Trong trƣờng hợp, có phần tử thuộc tập hợp A nhƣng khơng thuộc tập hợp B có phần tử thuộc tập hợp B nhƣng lại không thuộc tập hợp A ta nói hai tập hợp khác viết A B 1.3 Cách ác định tập hợp Có hai cách thơng thƣờng để xác định tập hợp nhƣ sau 1.3.1 Liệt kê phần tử Một tập hợp coi nhƣ đƣợc xác định ta liệt kê đƣợc phần tử tập hợp Ví dụ Các tập hợp sau đƣợc xác định với liệt kê phần tử nhƣ sau A {1, 3,5,7} B {0,2, 4,6, 8} Ví dụ Tập hợp X chữ in hoa để viết tên bạn Lan X {L, A, N } 1.3.2 Chỉ dấu hiệu đặc trƣng phần tử thuộc tập hợp Một phận A tập hợp X mà phần tử thỏa mãn tính chất (gọi thuộ tính đặ trưng t p h p A ) đƣợc ký hiệu A X : x có tính chất x Ví dụ Tập hợp tự nhiên ch n C tập hợp số tự nhiên lẻ đƣợc viết tƣơng ứng x C : x chia hết cho l x : x chia cho dƣ 1.4 a) Nam, nữ ngồi xen kẽ? b) Nam, nữ ngồi xen kẽ có ngƣời nam A, ngƣời nữ B phải ngồi kề ? c) Nam, nữ ngồi xen kẽ có ngƣời nam C, ngƣời nữ D không đƣợc ngồi kề ? Hƣớng dẫn a) Ta kí hiệu ba nam a,b, c ba nữ x, y, z Các chỗ kí hiệu lần lƣợt C 1,C 2,C 3,C 4,C5,C6 Khi đó, C thuộc tập hợp {a,b, c, x, y, z}; với C C1 Tiếp đến, chọn ngƣời khác phái ngồi vào C Khi đó, C thuộc tập hợp {b, c, x, y, z}; với C C2 C thuộc tập hợp C3 {b, c, y, z}; với C C thuộc tập hợp C4 {c, y, z}; với C C thuộc tập hợp C5 {c, z}; với C C thuộc tập hợp C6 {z}; với C 28 Theo trên, có tất cách để nam nữ ngồi xen kẽ hàng ghế 2 1 72 (cách) b) Cho cặp nam, nữ a, x ngồi vào chỗ thứ chỗ thứ hai Khi đó, C 1,2 thuộc tập hợp C 1,2 {a, x } ; với C 1,2 Tiếp đến, C thuộc tập hợp C3 {b, c, x, z}; với C C thuộc tập hợp C4 {c, y, z} ; với C C thuộc tập hợp C5 {c, z}; với C C thuộc tập hợp C6 {z}; với C Bây giờ, cho cặp nam, nữ ngồi vào chỗ thứ hai chỗ thứ ba Khi C1 C4 C5 C6 29 Tƣơng tự, cặp nam, nữ A, B ngồi vào chỗ thứ ba chỗ thứ tƣ, thứ năm thứ sáu Theo trên, ta biết có tất cách để ba nam ba nữ ngồi xen kẽ có ngƣời nam A, ngƣời nữ B phải ngồi kề hàng ghế 2 1 40 (cách) c)Số cách chọn để cặp nam, nữ khơng ngồi kề số cách chọn tùy ý trừ số cách chọn để cặp nam, nữ ngồi kề 72 40 32 (cách) Bài toán 19 Cần xếp ba ngƣời A, B, C lên hai toa tàu (mỗi toa chứa đƣợc ba ngƣời) Hỏi có cách xếp? Hƣớng dẫn Cách 1: Phƣơng pháp liệt kê Học sinh liệt kê cách xếp ba ngƣời A, B,C lên hai toa tầu theo yêu cầu tốn cho Mỗi toa chứa đƣợc ba ngƣời Học sinh tiến hành nhƣ sau Toa thứ Toa thứ hai A B, C B A, C C A,B A, B C A, C B B, C A A, B, C 0 A, B, C 30 Bằng cách liệt kê nhƣ trên, học sinh tìm đƣợc cách xếp ba ngƣời A, B,C lên hai toa tàu thỏa mãn yêu cầu tốn Cách 2: Áp dụng tích Descartes Học sinh chƣa đọc kĩ đề mà dẫn đến lời giải sai Toa tàu thứ có ba cách chọn ngƣời Toa tàu thứ hai có ba cách chọn ngƣời Do 3 (cách) Sai chỗ toa thứ có nhiều cách chọn (khơng chọn chọn ngƣời, chọn ngƣời, ngƣời) Đồng thời chọn ngƣời A toa thứ chọn ngƣời A đƣợc Giáo viên cần hƣớng dẫn để học sinh có lời giải đúng: Việc xếp ba ngƣời lên tàu gồm ba bƣớc Chọn toa cho ngƣời A , A thuộc tập hợp A {toa 1; toa 2} ; với A Sau đó, chọn toa cho ngƣời B , đó, B thuộc tập hợp B {toa 1; toa 2}; với B Cuối cùng, chọn toa cho ngƣời C , C thuộc tập hợp C {toa 1; toa 2}; với C 31 Theo đó, có tất cách xếp ba ngƣời A, B,C lên hai toa tàu 2 (cách) Bài tốn 20 Một toa tàu có bốn toa đỗ sân ga Có bốn hành khách bƣớc lên tàu Hỏi a) Có trƣờng hợp cách chọn toa bốn hành khách? b) Có trƣờng hợp mà toa có ngƣời lên? c) Có trƣờng hợp mà toa có ba ngƣời lên, toa có ngƣời lên hai toa cịn lại khơng có lên? Hƣớng dẫn a ) Ta kí hiệu bốn hành khách lần lƣợt là: K 1, K 2, K 3, K Kí hiệu bốn toa tàu lần lƣợt là: T 1,T 2,T 3,T Khi đó, K thuộc tập hợp K1 {T1,T2,T3,T4}; với K K2 {T 1,T 2,T 3,T 4}; với K K3 {T 1,T 2,T 3,T 4}; với K K4 {T 1,T 2,T 3,T 4}; với K 4 K thuộc tập hợp K thuộc tập hợp K thuộc tập hợp 32 Vậy, có tất trƣờng hợp cách chọn toa bốn hành khách 4 4 256 (cách) b ) K thuộc tập hợp K1 {T1,T2,T3,T4}; với K K thuộc tập hợp {T 1,T 2,T 3,T 4} \ {K 1}; với K K2 K thuộc tập hợp {T 1,T 2,T 3,T 4} \ {K1, K 2}; với K K3 K thuộc tập hợp K4 {T 1,T 2,T 3,T 4} \ {K 1, K 2, K 3}; với K Vậy, có tất trƣờng hợp mà toa có ngƣời lên 24 (trƣờng hợp) c ) Chia bốn ngƣời thành hai nhóm Nhóm I: có ba ngƣời Nhóm II: có ngƣời (Ta chia cách chọn ngƣời ba ngƣời cịn lại cho vào nhóm) Vậy, có bốn cách chia nhóm Với cách chia nhóm, ta xếp hai nhóm vào bốn toa 33 Nhóm I thuộc tập hợp Nhóm I= {T1,T2,T3,T4}; với nhóm I = Nhóm II thuộc tập hợp Nhóm II = {T1,T2,T3,T4}\ {nhóm I}; với nhóm II = Nhƣ vậy, có tất cách xếp cho cách chia nhóm 12 (cách) Mà tất lại có bốn nhóm, nên, có tất trƣờng hợp mà toa có ba ngƣời lên, toa có ngƣời lên hai toa cịn lại khơng có lên 12 48 (cách) Ứng dụng tích Descartes dạy học số tốn hình học Bài tốn Cho hai tam giác ABC DEF , biết ba điểm sáu điểm A, B,C , D, E, F không thẳng hàng Hỏi nối đƣợc đoạn thẳng từ đỉnh tam giác ABC đến đỉnh tam giác DEF ? Hƣớng dẫn Bằng trực quan, giáo viên vẽ hai tam giác thỏa mãn yêu cầu đề hƣớng dẫn em nối đỉnh tam giác ABC đến đỉnh tam giác DEF đếm đoạn thẳng Nhƣng với ngơn ngữ tập hợp kiến thức tích Descartes mà thầy có, ta thấy Ta có: X {A, B,C }; với X Y {D, E, F }; với Y 34 Khi đó, đoạn thẳng tƣơng ứng với phần tử tích Descartes X Y số đoạn thẳng tìm đƣợc X Y X Y (đoạn) 3 Ngồi ra, học sinh giải theo cách khác Ta có sơ đồ nhƣ sau A D B E C F Dựa vào sơ dồ ta đếm đƣợc số đoạn thẳng 3 (đoạn) Bài toán Cho điểm phân biệt A, B,C , D Hỏi vẽ đƣợc đƣờng thẳng? Hƣớng dẫn A B C D 35 Bằng cách nối điểm cho lại với nhau, học sinh dễ dàng nhận thấy, qua điểm A điểm B,C , D có ba đƣờng AB, AC , AD Qua điểm B điểm C , D có hai đƣờng thẳng BC, BD (không qua A) Qua điểm C D cịn lại có đƣờng thằng CD (khơng qua A ) Vậy với bốn điểm A, B,C , D ta có đƣờng thẳng AB, AC , AD, BC , BD,CD Giải tốn theo tích Descartes Một đƣờng thẳng đƣợc tạo hai điểm bốn điểm A, B,C , D Khi đó, điểm thứ thuộc tập hợp Điểm thứ = {A,B,C , D}; với điểm thứ = Điểm thứ hai thuộc tập hợp Điểm thứ hai = {B,C , D}; với điểm thứ hai = Khi đó, ta có số đƣờng thẳng 12 (đƣờng thẳng) Do số đoạn thẳng đƣợc lặp lại hai lần Ví dụ: AB, BA đƣờng thẳng Vậy, với bốn điểm A, B,C , D ta lập đƣợc số đƣờng thẳng là: 12 : (đoạn) Bài tốn Cho hình vẽ nhƣ bên duới Hỏi hình vẽ có tất hình tam giác nhận ba sáu điểm A, B,C , D, E, F làm đỉnh ? 36 Hƣớng dẫn B A F C D E Bằng cách trực quan, học sinh đếm nêu đƣợc số tam giác nhận ba sáu điểm A, B,C , D, E, F làm đỉnh là: ABC, ACD, ADE, AEF, ABD, ACE, ADF, BCD, BDE, BEF, BFA, BCE, BDF, BEA, CBF, CEF, CDE, DEF, DEB, DFB Vậy, có tất 20 tam giác nhận ba sáu điểm A, B,C , D, E, F làm đỉnh Áp dụng lý thuyết tích Descartes vào tốn Vì tam giác đƣợc tạo ba điểm Nên đó, điểm thứ thuộc tập hợp Điểm thứ = {A, B,C , D, E, F }; với điểm thứ = Điểm thứ hai thuộc tập hợp Điểm thứ hai = {A,B,C,D,E,F}\ {điểm thứ nhất} ; với điểm thứ hai = Điểm thứ ba thuộc tập hợp 37 Điểm thứ ba = {A, B,C , D, E, F } \ {điểm thứ nhất, điểm thứ hai} ; với điểm thứ ba = Số tam giác đƣợc tạo nên 120 (tam giác) Do số tam giác đƣợc lặp lại sáu lần Ví dụ: ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, DCA tam giác Vậy, số tam giác đƣợc tạo nên từ ba sáu điểm A, B,C , D, E, F 120 : 20 (tam giác) 38 KẾT LUẬN Môn Tốn mơn học quan trọng, khơng thể thiếu việc đào tạo bậc phổ thông nói chung học sinh Tiểu học nói riêng Tốn không đơn môn học với số Mơn Tốn giúp học sinh có tƣ logic, rành mạch Việc giảng dạy mơn tốn cịn giúp ích cho học sinh tiếp cận lĩnh vực khác thực tiễn sống Giải tốn nói chung giải tốn bậc Tiểu học nói riêng hoạt động quan trọng, thiếu việc dạy học Toán Việc giải toán Tiểu học giúp học sinh có hội vận dụng kiến thức học lớp, hình thành, rèn luyện phát triển số lực nhƣ : tƣ duy, phân tích, tổng hợp, khái qt hóa, trừu tƣợng hóa Vì vậy, không ngừng đổi nội dung lẫn phƣơng pháp, hình thức dạy học Tốn việc làm cần thiết Qua đề tài nghiên cứu, em rút đƣợc điều sau Phƣơng pháp giải toán cách vận dụng lý thuyết bậc cao giúp toán trở nên đơn giản dễ hiểu Một phƣơng pháp dạy tốn sử dụng để giải nhiều dạng toán khác Ứng dụng lý tích Descartes thực chất ứng dụng lý thuyết tốn cao cấp vào giải toán Tiểu học Việc vận dụng cách linh hoạt ý tƣởng toán cao cấp vào giải toán giúp trang bị cho học sinh tảng tốn học vững xác, để phục vụ em bậc học Việc sử dụng linh hoạt sáng tạo lý thuyết toán cao cấp vào dạy học giải tốn Tiểu học vơ cần thiết quan trọng giáo viên Tuy 39 nhiên việc đem kiến thức áp dụng cho học sinh cần đảm bảo tính hài hịa, cân đối vừa sức Nghiên cứu đề tài: “ Ứng dụng tích Descartes vào dạy học số dạng toán Tiểu học” để giúp giáo viên bậc tiểu học có cách nhìn nhận giải tốt tốn cấp độ tiểu học từ kiến thức toán học cao cấp Qua đó, học sinh tiếp thu học cách đơn giản dễ dàng 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Thành Công (2013), Hướng dẫn giải chi tiết Violympic Toán 4, Nhà xuất Tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh [2] Nguyễn Ngọc Giang (2018), Phương pháp sáng tạo toán Tiểu họ , hà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Trần Diên Hiển (2016), Bồi dưỡng họ sinh giỏi toán Tiểu họ , Nhà xuất Đại học Sƣ phạm [4] Đỗ Trung Hiệu – Đỗ Đình Hoan – Vũ Dƣơng Thúy – Vũ Quốc Chung (2010), Phương pháp dạy họ mơn Tốn Tiểu họ , Nhà xuất Đại học Sƣ phạm [5] Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) - Nguyễn Áng – Đỗ Tiến Đạt – Đỗ Trung Hiệu – Phạm Thanh Tâm (2014), Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [6] Vũ Dƣơng Thụy (Chủ biên) – Nguyễn Danh Ninh (2014), Toán nâng o ớp 4, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [7] Nguyễn Đình Thực (2016), Tốn nâng cao 2, Nhà xuất Đại học Sƣ phạm [8] Nguyễn Đình Trí - Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh (2009), Toán t p 1, Nhà xuất Giáo dục o ấp B Tài liệu tiếng Anh Nguyen Van Hao – Nguyen Thi Thanh Ha – Dao Thi To Uyen (2018), Descartes multiplication and application in primary mathematics, Ha Noi Metropolian University N0 27, p.7-11 ... thừa Descartes CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH DESCARTES TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TỐN TIỂU HỌC 2.1 Ứng dụng tích Descartes dạy học số toán số học 2.2 Ứng dụng tích Descartes dạy. .. thiệu tích Descartes ứng dụng lý thuyết việc dạy số dạng toán Tiểu học, để hồn thành khóa luận chun ngành tốn Tiểu học em chọn đề tài: ? ?Ứng dụng tích Descartes dạy học số dạng toán tiểu học? ?? với... nhằm nâng cao hiệu dạy học Nghiên cứu việc ứng dụng tích Descartes việc dạy số dạng toán tiểu học Phạm vi nghiên cứu Ứng dụng tích Descartes việc dạy số dạng toán bậc tiểu học Phƣơng pháp nghiên