Luận văn lý thuyết điểm bất động và ứng dụng vào giải một số bài toán sơ cấp

Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Nguyễn Thị Thu Hương i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Văn Lương Trong trình làm luận văn, Thầy người hướng dẫn mặt khoa học mà Thầy cịn ln động viên, khích lệ tác giả khắc phục khó khăn để hồn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn bày tỏ kính trọng, lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giảng dạy lớp K12 cao học Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Hồng Đức Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý q báu mơi trường thuận lợi để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng quản lý đào tạo, Phòng quản lý sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa KHTN, Bộ mơn Giải tích PPGD Toán khoa KHTN trường ĐH Hồng Đức tạo điều kiện tốt để tác giả hồn thành thời hạn luận văn Xin cảm ơn bạn bè người thân động viên giúp đỡ Thanh Hóa, tháng năm 2021 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hương ii Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số 1.1.1 Một số khái niệm ví dụ 1.1.2 Sự hội tụ dãy số 1.2 Hàm số 10 Chương Một số định lý điểm bất động 13 2.1 Định lý ánh xạ co Banach hệ 13 2.2 Định lý điểm bất động Presic mở rộng 21 Chương Ứng dụng giải số toán sơ cấp 30 3.1 Các toán giới hạn dãy số 30 3.1.1 Dãy truy hồi dạng xn+1 = f (xn ) 30 3.1.2 Dãy truy hồi dạng xn+k = f (xn , xn+1 , · · · , xn+k−1 ) 43 3.1.3 Cặp dãy truy hồi dạng xn+1 = f (xn , yn ) yn+1 = f (yn , xn ) 47 3.2 Một số tốn hệ phương trình 50 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động vấn đề cổ điển toán học với nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực toán học ngành khoa học khác Hiện lý thuyết điểm bất động nhận quan tâm nhiều nhà toán học giới Việc mở rộng định lý điểm bất động cho phép mở rộng phạm vi ứng dụng chúng Nguyên lý ánh xạ co phát biểu cụ thể năm 1922 luận án Banach trở thành kết quan trọng với nhiều ứng dụng Kết sau nhiều nhà toán học mở rộng theo nhiều hướng khác Các kết mở rộng bật kể đến định lý điểm bất động Edelstein, Kannan, Presic, Perov, Bhaskar - Lakshmikantham, Các định lý điểm bất động quan trọng không chỗ chúng tồn điểm bất động ánh xạ thoả mãn điều kiện cụ thể mà cịn phương pháp lặp tìm điểm bất động Cụ thể, chứng minh định lý thường xây dựng dãy lặp hội tụ tới điểm bất động ánh xạ Điều cho phép ta đưa ứng dụng định lý điểm bất động vào nghiêm cứu hội tụ dãy số tìm giới hạn dãy số Ngoài tồn điểm bất động cho phép ta áp dụng kết lý thuyết điểm bất động vào giải phương trình, hệ phương trình Để tìm hiểu số định lý điểm bất động ứng dụng chúng vào giải số tốn sơ cấp, chúng tơi lựa chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động ứng dụng vào giải số toán sơ cấp Mục tiêu nghiên cứu Tìm hiểu số định lý điểm bất động áp dụng chúng vào giải số toán sơ cấp bao gồm toán tồn giới hạn dãy số truy hồi giải hệ phương trình đối xứng Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tương nghiên cứu: Dãy số, hệ phương trình, định lý điểm bất động • Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn điểm bất động ánh xạ tập số thực, phép lặp, giới hạn dãy số, nghiệm hệ phương trình Phương pháp nghiên cứu • Phân tích tổng hợp tài liệu, hệ thống hố • Phân tích, đánh giá phát triển kết liên quan Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu, trình bày số kiến thức dãy số thực • Trình bày phát biểu, chứng minh ví dụ minh hoạ số định lý điểm bất động • Tìm tịi, đưa số ứng dụng sơ cấp số định lý điểm bất động Cấu trúc luận văn Ngoài Lời cảm ơn, Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, phần nội dung luận văn chia thành ba chương Chương 1: Trình bày số kiến thức dãy số, hàm số Chương 2: Trình bày phát biểu, chứng minh ví dụ minh hoạ số định lý điểm bất động như: Định lý điểm bất động Banach, Presic, Chương 3: Trình bày số ứng dụng định lý điểm bất động vào giải số tốn giới hạn hệ phương trình Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số Trong phần chúng tơi trình bày số khái niệm kết liên quan tới dãy số Nội dung trình bày phần tìm thấy tài liệu Giải tích Tốn cao cấp 1.1.1 Một số khái niệm ví dụ Khái niệm dãy số thực thường định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.1 Một dãy số ánh xạ u từ tập số tự nhiên N vào tập số thực R u: N→R n 7→ u(n) = un thường kí hiệu {un }n≥0 {un }∞ n=0 đơn giản {un } Ví dụ (i) Dãy cộng: Một dãy {un } R gọi dãy cộng (hoặc cấp số cộng) tồn r ∈ R cho: un+1 = un + r, ∀n ∈ N Khi ta có un = u0 + rn với n ∈ N (ii) Dãy nhân: Một dãy {un } R gọi dãy nhân (hoặc, cấp số nhân) tồn r ∈ R cho: un+1 = run , ∀n ∈ N Khi ta có un = u0 rn với n ∈ N Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi ánh xạ tăng nghiêm ngặt σ : N −→ N hàm trích Với dãy {un } cho trước, dãy {uσ (n) } với σ (n) hàm trích gọi dãy {un } Định nghĩa 1.1.3 Cho {un } dãy thực Ta nói (i) {un } tăng un ≤ un+1 với n ∈ N (ii) {un } giảm un+1 ≤ un với n ∈ N (iii) {un } tăng nghiêm ngặt un < un+1 với n ∈ N (iv) {un } giảm nghiêm ngặt un+1 < un với n ∈ N (v) {un } đơn điệu dãy tăng giảm (vi) {un } đơn điệu nghiêm ngặt tăng nghiêm ngặt giảm nghiêm ngặt Nhận xét 1) Nếu {un } {vn } tăng (tương ứng giảm) {un +vn } tăng (tương ứng giảm) 2) Nếu {un } {vn } tăng (tương ứng giảm) số hạng thuộc R+ {un } tăng (tương   ứng giảm) {n3 } dãy tăng Ví dụ i) Các dãy − n     1 ii) Các dãy dãy giảm n n2 iii) Các dãy {(−1)n }, {cos(nπ /3)}, {n1/n } dãy không đơn điệu Định nghĩa 1.1.4 Cho {un } dãy thực Ta nói (i) dãy {un } bị chặn tồn số thực M cho un ≤ M với n (ii) dãy {un } bị chặn tồn số thực m cho un ≥ m với n (iii) dãy {un } bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn 1.1.2 Sự hội tụ dãy số Định nghĩa 1.1.5 Số l gọi giới hạn dãy số {un } với số ε > 0, nhỏ tùy ý, tồn số tự nhiên T cho với n > T ta có | un − l |< ε Ta kí hiệu: lim un = l un → l n → ∞, khơng có nhầm lẫn, ta n→∞ kí hiệu un → l Nếu dãy un có giới hạn l, ta bảo un hội tụ l Nếu un khơng hội tụ ta bảo phân kỳ Chú ý dãy {un } hội tụ đến l dãy {un − l} hội tụ đến Mệnh đề 1.1.6 Giới hạn dãy số (nếu có) Ví dụ   1) Dãy hội tụ đến n n≥1 √ + n2 + n + 1 2) Dãy{un } xác định un = hội tụ đến 2n + Nhận xét Nếu hai dãy số trùng kể từ thứ tự trở đi, chúng có chất nhau, nghĩa hội tụ dãy kéo theo hội tụ dãy Nói cách khác ta khơng làm thay đổi chất dãy số (hội tụ, phân kỳ) ta thay đổi phần tử đến thứ tự cho trước Định nghĩa 1.1.7 Cho {un } dãy thực (i) Ta nói {un } tiến tới +∞ (hoặc nhận +∞ làm giới hạn) với A > 0, tồn N ∈ N cho un ≥ A với n ≥ N Khi ta kí hiệu: un → +∞ n → ∞ hay lim un = +∞ n→∞ (ii) Ta nói {un } tiến tới −∞ (hoặc nhận −∞ làm giới hạn) với B < 0, tồn n ∈ N cho un < B với n ≥ N Khi ta kí hiệu: un → −∞ n → ∞ hay lim un = −∞ n→∞ Nhận xét Tất dãy thực có giới hạn +∞ −∞ phân kỳ Mệnh đề 1.1.8 (i) Mọi dãy hội tụ bị chặn (ii) Mọi dãy thực tiến tới +∞ bị chặn (iii) Mọi dãy thực tiến tới −∞ bị chặn Nhận xét Tồn dãy bị chặn không hội tụ Nếu dãy thực tiến tới +∞, khơng bị chặn trên, điều ngược lại không Mọi dãy khơng bị chặn phân kỳ Mệnh đề 1.1.9 Cho {un } dãy thực hội tụ có giới hạn l a, b ∈ R i) Nếu a < l tồn N1 ∈ N cho: a < un , ∀n ≥ N1 (ii) Nếu l < b tồn N2 ∈ N cho: un < b, ∀n ≥ N2 (iii) Nếu a < l < b tồn N ∈ N cho: a < un < b, ∀n ≥ N Ngược lại, ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.1.10 Cho {un } dãy thực hội tụ, l giới hạn a, b ∈ R (i) Nếu tồn N1 ∈ N cho un ≥ a với n ≥ N1 , l ≥ a (ii) Nếu tồn N2 ∈ N cho un ≤ b với n ≥ N2 , l ≤ b (iii) Nếu tồn N ∈ N cho a ≤ un ≤ b với n ≥ N, a ≤ l ≤ b Từ hai mệnh đề trên, ta có kết quan trọng sau Mệnh đề 1.1.11 (Nguyên lý kẹp) Cho {un }, {vn } {wn } ba dãy thực cho tồn N ∈ N thoả mãn un ≤ ≤ wn với n ≥ N dãy {un } {wn } có giới hạn l Khi đó, {vn } hội tụ đến l n n Ví dụ Xét dãy {un } xác định un = ∑ với n ∈ N∗ Với n ≥ 1, ta có n + k k=1 n un ≤ n2 n = ∑ n2 + k=1 n + n un ≥ n n ∑ n2 + n = n + k=1 n2 n → → n → ∞, nên ta kết luận un → Vì n +1 n+1 n → ∞ Mệnh đề 1.1.12 Cho hai dãy thực {un } {vn } Giả sử un → +∞ n → ∞ tồn N ∈ N cho un ≤ với n ≥ N Khi đó, → +∞ n → ∞ Mệnh đề 1.1.13 Cho λ , l, l ′ ∈ R dãy {un }, {vn } Khi đó, (i) Nếu un → l n → ∞, |un | → |l| n → ∞ (ii) Nếu un → l → l ′ n → ∞ , un + → l + l ′ n → ∞ (iii) Nếu un → l n → ∞, λ un → λ l n → ∞ (iv) Nếu un → n → ∞ {vn } bị chặn un → n → ∞ (v) Nếu un → l → l ′ n → ∞, un → ll ′ n → ∞ (vi) Nếu un → l, → l ′ n → ∞ un un xác định → vn l l′ n → ∞ Mệnh đề 1.1.14 Nếu dãy {un } hội tụ đến l, dãy {un } hội tụ đến l Nhận xét Phần đảo mệnh  phép chứng minh dãy  đề 1.1.14 cho n phân kỳ dãy có hai dãy định phân kỳ Chẳng hạn (−1)n n +     2n 2n + 2n 2n+1 (−1) (−1) hội tụ đến giới hạn khác 2n + 2n + Mệnh đề sau đơn giản thường có ích Mệnh đề 1.1.15 Cho {un } dãy số thực l ∈ R Để {un } hội tụ đến l, điều kiện cần đủ {u2n } {u2n+1 } hội tụ đến l Định lý 1.1.16 (i) Mọi dãy thực tăng bị chặn hội tụ (ii) Mọi dãy thực giảm bị chặn hội tụ n Với n ∈ N∗ ta có n + k k=1 Ví dụ Cho un = ∑ un+1 − un = 1 1 + − = > 2n + 2n + n + (2n + 1)(2n + 2) Vậy {un } tăng ≤ ∀n ∈ N∗ , (un )n bị chặn Theo Định lý n+1 1.1.16 ta kết luận (un )n hội tụ Mặt khác, un ≤ n Điều vô lý chứng tỏ f có điểm bất động (2.11) thoả mãn Nhận xét 2.2.6 Định lý 2.2.5 mở rộng Định lý 2.2.3 điều kiện (2.6) suy điều kiện (2.10) (2.11) Ví dụ sau điều kiện (2.11) không thoả mãn f có nhiều điểm bất động Ví dụ Cho E = [0, 1] ∪ [2, 3] f : E → E xác định  x+y   (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1],    x+y (x, y) ∈ [2, 3] × [2, 3], f (x, y) = +    x+y   − (x, y) ∈ [0, 1] × [2, 3] hoặc(x, y) ∈ [2, 3] × [0, 1] Khi đó, với x, y ∈ [0, 1], ta có f (x, y) = z ∈ [0, 1] với x, y ∈ [2, 3], ta có f (x, y) = z ∈ [2, 3] Do đó, với x, y ∈ [0, 1] x, y ∈ [2, 3], ta có x + y y + z − | f (x, y) − f (y, z)| = 4 x − y