Phương trình hàm cauchy mở rộng và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN ĐĂNG THI PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN ĐĂNG THI PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số 8460113 : LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS TS LƯƠNG ĐĂNG KỲ Bình Định - 2020 Mục lục Mục lục Lời nói đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình hàm Cauchy cộng tính 1.2 Phương trình hàm Cauchy nhân tính số phương trình khác Phương trình hàm Cauchy mở rộng 2.1 Phương trình Cauchy cộng tính nhiều biến 2.2 Phương trình Cauchy nhân tính nhiều biến 13 2.3 Hai phương trình Cauchy nhiều biến khác 15 2.4 Phương trình hàm Cauchy đoạn 16 Ứng dụng 26 3.1 Giới thiệu chung 26 3.2 Xây dựng công thức 27 3.3 3.4 3.2.1 Diện tích hình chữ nhật 27 3.2.2 Định nghĩa logarit 29 3.2.3 Công thức lãi đơn lãi kép 31 3.2.4 Sự phân rã phóng xạ 32 Đặc trưng phân phối 33 3.3.1 Đặc trưng phân phối hình học 33 3.3.2 Đặc trưng phân phối chuẩn rời rạc 36 Tính tổng 39 3.4.1 Tổng lũy thừa số nguyên 39 3.4.2 Tổng lữu thừa số hạng cấp số cộng 44 3.4.3 3.5 Tổng dãy số hữu hạn 45 Ứng dụng vào giải toán sơ cấp 47 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 Lời mở đầu Phương trình hàm lĩnh vực nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu toán học đại toán sơ cấp Một lớp phương trình hàm giảng dạy nghiên cứu phổ biến tốn sơ cấp phương trình hàm Cauchy Hiện nay, nhà trường phổ thông, kiến thức phương trình hàm Cauchy chưa đề cập nhiều Phần lớp học sinh tiếp cận với phương trình hàm Cauchy học sinh lớp chun Tốn, cịn học sinh đại trà lĩnh vực xa lạ, khó mà tiếp cận Đa số học sinh tìm hiểu phương trình hàm cảm thấy khó dạng tốn địi hỏi người học phải vận dụng nhiều kiến thức giải, có khả tư tốt, khả khái qt hóa, phán đốn vấn đề cao, Mặt khác, tài liệu đề cập phương trình hàm cịn chưa có tài liệu trình bày đầy đủ khía cạnh phương trình hàm; đặc biệt, phương trình hàm Cauchy lại có nhiều dạng phương trình hàm Cauchy cộng tính, phương trình hàm Cauchy nhân tính, phương trình hàm Cauchy nhiều biến, ; vấn đề liên quan đến việc mở rộng phương trình hàm Cauchy từ miền xác định nhỏ đến miền xác định rộng lại phức tạp Do đó, việc giúp học sinh tiếp cận với lớp phương trình hàm Cauchy dễ dàng hiểu rõ phương trình hàm Cauchy mở rộng để giải số toán ứng dụng phương trình hàm Cauchy yêu cầu cấp thiết Vì tơi chọn đề tài "Phương trình hàm Cauchy mở rộng ứng dụng" Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận bao gồm ba chương có nội dung sau: Chương trình bày kiến thức sở phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Cauchy cộng tính, phương trình hàm Cauchy nhân tính, hàm cộng tính mặt phẳng phức, phương trình Cauchy mũ, phương trình Cauchy log1 arit số tính chất nghiệm loại phương trình Chương trình bày chi tiết phương trình hàm Cauchy giới thiệu Chương mở rộng lên phương trình hàm Cauchy cộng tính nhiều biến, phương trình hàm Cauchy nhân tính nhiều biến, phương trình hàm Cauchy đoạn trình bày dạng nghiệm tổng quát loại phương trình nêu Chương trình bày cách xây dựng cơng thức, đặc tính phân phối, tính tổng dãy số số tốn ứng dụng phương trình hàm Cauchy mở rộng Tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Lương Đăng Kỳ, người thầy nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ suốt thời gian thực luận văn Đồng thời, xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy cô, gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành khóa luận Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên thực Nguyễn Đăng Thi Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương điểm qua kiến thức sở phương trình hàm Cauchy tìm hiểu nghiệm tổng quát Tài liệu tham khảo chương [6] 1.1 Phương trình hàm Cauchy cộng tính Đầu tiên chúng tơi giới thiệu số kiến thức cần thiết phương trình hàm Cauchy cộng tính nghiệm tổng qt Cho f : R → R, R tập số thực, hàm thỏa mãn phương trình hàm f (x + y) = f (x) + f (y), (1.1) với x, y ∈ R Phương trình hàm gọi phương trình hàm Cauchy cộng tính Phương trình hàm (1.1) nghiên cứu A.M Legendre (1791) C.F Gauss (1809) A.L Cauchy người tìm nghiệm tổng quát Phương trình (1.1) có vị trí quan trọng tốn học Nó cạnh tranh hầu hết lĩnh vực toán học Định nghĩa 1.1 Một hàm f : R → R gọi hàm cộng tính thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính f (x + y) = f (x) + f (y) với x, y ∈ R Định nghĩa 1.2 Một hàm f : R → R gọi hàm tuyến tính có dạng f (x) = cx (∀x ∈ R), c số Định lý 1.1 Cho f : R → R hàm liên tục thỏa phương trình hàm Cauchy cộng tính (1.1) Khi f tuyến tính; có nghĩa f (x) = cx, c số tùy ý Định nghĩa 1.3 Một hàm f : R → R nói hữu tỉ f (rx) = rf (x) (1.2) với x ∈ R số hữu tỉ r Định lý 1.2 Cho f : R → R nghiệm phương trình Cauchy cộng tính Khi f hữu tỉ Hơn nữa, f tuyến tính tập số hữu tỉ Q Định lý 1.3 Cho f nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính (1.1) Nếu f liên tục điểm, liên tục điểm Định lý 1.4 Cho f nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính (1.1) Nếu f liên tục điểm, f tuyến tính; có nghĩa là, f (x) = cx với x ∈ R Trên tính chất liên quan đến nghiệm tuyến tính phương trình hàm Cauchy cộng tính Bây ta điểm qua số định nghĩa tính chất liên quan đến nghiệm khơng tuyến tính phương trình Cauchy cộng tính với tính chất khác Định nghĩa 1.4 Đồ thị hàm f : R → R tập G = {(x, y) | x ∈ R, y = f (x)} Định lý 1.5 Đồ thị nghiệm khơng tuyến tính f : R → R phương trình hàm Cauchy cộng tính trù mật khắp nơi R2 Định nghĩa 1.5 Cho S tập số thực B tập S Khi B gọi sở Hamel S số S phần tử tổ hợp tuyến tính hữu tỉ B Định lý 1.6 Cho B cở sở Hamel R Nếu hai hàm cộng tính có giá trị giống phần tử B , chúng Định lý 1.7 Cho B cở sở Hamel R Đặt g : B → R hàm xác định B Khi tồn hàm cộng tính f : R → R cho f (b) = g(b) với b ∈ B Chú ý 1.1 Khơng có ví dụ cụ thể cho sở Hamel R biết đến; ta biết tồn Đồ thị hàm cộng tính khơng liên tục R khơng dễ để vẽ tập {f (x) | x ∈ R} trù mật R Định lý 1.8 Nếu hàm cộng tính f bị chặn phía đơn điệu tuyến tính Định lý 1.9 Nếu hàm cộng tính thực f bị chặn đoạn [a, b] tuyến tính; có nghĩa là, tồn số c cho f (x) = cx với x ∈ R Định nghĩa 1.6 Một hàm f gọi nhân tính f (xy) = f (x)f (y) với số x y Định lý 1.10 Nếu hàm cộng tính f nhân tính tuyến tính Tiếp theo chúng tơi trình bày vài kết liên quan đến hàm cộng tính mặt phẳng phức Định lý 1.11 Nếu f : C → C hàm cộng tính tồn hàm cộng tính fkj : R → R (k, j = 1, 2) cho f (z) = f11 (Rez) + f12 (Imz) + if21 (Rez) + if22 (Imz) Định lý 1.12 Nếu f : C → C hàm cộng tính liên tục tồn số phức c1 c2 cho f (z) = c1 z + c2 z, z số phức liên hợp z (1.3) Định nghĩa 1.7 Một hàm f : C → C nói giải tích f khả vi C Định lý 1.13 Nếu f : C → C hàm cộng tính giải tích tồn số phức c cho f (z) = cz, có nghĩa f tuyến tính 1.2 Phương trình hàm Cauchy nhân tính số phương trình khác Nghiên cứu nghiệm tổng quát phương trình hàm Cauchy mũ, phương trình hàm Cauchy logarit, phương trình hàm Cauchy nhân tính, ta có kết sau Định lý 1.14 Nếu phương trình hàm f (x + y) = f (x)f (y) thỏa mãn với số thực x y , nghiệm tổng qt cho f (x) = eA(x) f (x) = ∀x ∈ R, A : R → R hàm cộng tính Hệ 1.1 Nếu phương trình hàm f (x + y) = f (x)f (y) thỏa mãn với số thực x y , nghiệm tổng quát có dạng f (x) = ecx f (x) = ∀x ∈ R, c số thực Định nghĩa 1.8 Một hàm f : R → R gọi (giá trị thực) hàm mũ thỏa mãn f (x + y) = f (x)f (y) với x, y thuộc R Định lý 1.15 Mỗi nghiệm f phương trình hàm f (x + y + nxy) = f (x)f (y) thỏa mãn số thực x > − n1 y > − n1 có dạng f (x) = f (x) = eA(ln(1+nx)) , A : R → R hàm cộng tính 40 với m, n ∈ N Định nghĩa g1 : N → R với g1 (x) = f1 (x) − x2 , ∀x ∈ N (3.27) g1 (m + n) = g1 (m) + g1 (n), ∀m, n ∈ N (3.28) Khi (3.26) trở thành Nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính (3.28) N cho (3.29) g1 (n) = cn, c số Từ (3.29) (3.27), ta f1 (n) = cn + n2 (3.30) Vì f1 (1) = 1, nên ta 1=c+ c=1− Vì f1 (n) = 1 = 2 n(n + 1) n n2 + = 2 Như f1 (n) = + + + + n = n(n + 1) Cơng thức đươc thiết lập thủ thuật Gauss 3.4.1.2 Tổng bình phương n số tự nhiên Hàm f2 thỏa mãn f2 (m + n) = 12 + 22 + + m2 + (m + 1)2 + + (m + n)2 = f2 (m) + [12 + 22 + + n2 ] + 2m[1 + + + n] + m2 n = f2 (m) + f2 (n) + 2mf1 (n) + m2 n = f2 (m) + f2 (n) + mn2 + m2 n + mn với m, n ∈ N Định nghĩa g2 : N → R n2 n3 − , g2 (n) = f2 (n) − ∀n ∈ N (3.31) 41 ta thấy (3.31) trở thành g2 (m + n) = g2 (m) + g2 (n) với m, n ∈ N Như g2 (n) = cn f2 (n) = cn + n2 n3 + (3.32) Sử dụng điều kiện f2 (1) = 1, ta 1=c+ 1 − Vì c= Hay n n2 n3 + + 22 3 n + 3n + 2n = n(n + 1)(2n + 1) = f2 (n) = 3.4.1.3 Tổng lũy thừa bậc k n số tự nhiên Đối với k tùy ý, có sử dụng Định lý Nhị thức, cho phương trình hàm sau fk (n + m) = 1k + 2k + + nk + (n + 1)k + + (n + m)k k = fk (n) + i=0 k = fk (n) + i=0 k = fk (n) + i=0 k i k−i n1 + + i k i=0 k i k−i nm i k i k−i n [1 + + mk−i ] i k i n fk−i (m) i k = fk (n) + fk (m) + i=1 k i n fk−i (m), i 42 với m, n, k ∈ N Do ta có k k i n fk−i (m), ∀m, n ∈ N i fk (m + n) − fk (m) − fk (n) = i=1 (3.33) Có số cách để chứng minh (3.33) Chúng ta thảo luận số cách Lưu ý fk (1) = với k ∈ N f0 (m) = m (A) Trường hợp n = Đây trường hợp đơn giản tất trường hợp Thay n = vào (3.33), ta k fk (m + 1) − fk (m) − fk (1) = i=1 k fk−i (m), i đó, k k (m + 1) − = i=1 k fk−i (m), ∀m ∈ N i Với k = ta m2 + 2m = 2f1 (m) + f0 (m) = 2f1 (m) + m f1 (m) = m(m + 1) Với k = ta m3 + 3m2 + 3m = 3f2 (m) + 3f1 (m) + f0 (m) 3m(m + 1) = 3f2 (m) + +m hay 3f2 (m) = m(m + 1)(2m + 1) (B) Trường hợp tổng quát Vế trái (3.33) đối xứng với m n, ta k i=1 k i n fk−i (m) = i k i=1 k mi fk−i (n), ∀m, n ∈ N i Thay m = sử dụng giả thiết fk (1) = 1, ta k i=1 k i n fk−i (1) = i k i=1 k fk−i (n), i 43 hay, k i=1 k fk−i (n) = (1 + n)k − i Từ ta k k kfk−1 (n) = (1 + n) − − i=2 k fk−i (n), ∀n ∈ N i hay k (1 + n)k −1− i=2 fk−1 (n) = k k fk−i (n) i ∀k, n ∈ N, (3.34) tương tự Sử dụng f0 (n) = n, xác định phần cịn lại Ví dụ, thay k = vào (3.34), ta f1 (n) = n2 + 2n − f0 (n) n(n + 1) = 2 Tương tự, thay k = vào (3.34) n3 + 3n2 + 3n − 3f1 (n) − f0 (n) 3 n = n + n + 2 = n(n + 1)(2n + 1) f2 (n) = Bảng 3.1 Các hệ số tổng lũy thừa số nguyên Bảng có chứa hệ số cơng thức dạng đóng tương ứng Để tạo bảng nhập vào góc bên trái, f0 (n) = n, để trống phần lại hàng để biểu thị cho hệ số bậc cao Để điền phần lại hệ số bảng, ô đường chéo xuống (trong cột hàng tiếp theo) từ C(i − 1, j − 1) tính C(i, j) = C(i − 1, j − 1)(i/j) Bảng sau minh họa cho điều 44 Bảng 3.2 Quy tắc đường chéo Vì vậy, ta nhân với số hàng chia cho số mũ cột Tất ô trừ cột tạo trình đường chéo Để điền phần tử cột đầu tiên, cộng ô bên phải cột lấy trừ cho tổng Thủ thuật đơn giản tạo tất cơng thức tính tổng lũy thừa số nguyên 3.4.2 Tổng lữu thừa số hạng cấp số cộng Với số nguyên dương n, k ∈ N h ∈ R xác định sk (n; h) = 1k + (1 + h)k + + (1 + (n − 1)h)k , (3.35) tổng lũy thừa bậc k số hạng cấp số cộng Ta có sk (m + n; h) = 1k + (1 + h)k + + (1 + (n − 1)h)k +(1 + nh)k + + (1 + (m + n − 1)h)k = sk (n; h) + (1 + nh)k + (1 + h + nh)k + +(1 + (m − 1)h + nh)k k = sk (n; h) + sk (m; h) + i=1 k sk−i (m; h)(nh)i ; i nghĩa là, sk (n; h) thỏa mãn phương trình hàm k sk (m + n; h) = sk (n; h) + sk (m; h) + i=1 k sk−i (m; h)(nh)i i (3.36) với k ∈ N, h ∈ R, m, n = 1, 2, Lưu ý s0 (n; h) = n, sk (1; h) = Chúng ta xác định s1 (n; h) s2 (n; h) 45 Đầu tiên thay n = vào (3.36) ta k sk (m + 1; h) − sk (m; h) = sk (1; h) + i=1 k sk−i (m; h)hi ; i nghĩa là, k k sk−i (m; h)hi i k (1 + mh) = + i=1 (3.37) với m = 1, 2, , h ∈ R, k ∈ N Tương tự, thay k = vào (3.37) ta m2 h2 + 2mh = 2s1 (m; h)h + s0 (m; h)h2 ; tức là, s1 (m; h) = − h h m + m2 2 Thay k = vào (3.37) ta m3 h3 + 3m2 h2 + 3mh = 3s2 (m; h)h + 3s1 (m; h)h2 + s0 (m; h)h3 ; suy ra, s2 (m; h) = − h + 3.4.3 h2 h h2 m+h 1− m2 + m3 Tổng dãy số hữu hạn (i) Đặt S(n) = 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) ∀n ∈ N, S : N → N Do S(m + n) = S(n) + S(m) + mn2 + nm2 + 2mn Vì f (m + n) = f (m) + f (n), với f (n) = S(n) − n2 − n3 ∀n ∈ N, (3.38) 46 f : N → R Do f cộng tính f (n) = cn Như S(n) = cn + n2 + n3 Vì S(1) = 2, ta S(n) = n(n + 1)(n + 2) (3.39) (ii) Đặt t(n) = 1.3 + 2.5 + + n(n + 2), ∀n ∈ N (3.40) t : N → N Lưu ý t(1) = Ta t(m + n) = t(n) + t(m) + mn2 + m2 n + 3nm ∀m, n ∈ N Định nghĩa f : N → N cho f (n) = t(n) − n3 − n2 , ∀n ∈ N, chứng minh tương tự f (m + n) = f (m) + f (n), ∀m, n ∈ N Nghĩa là, f cộng tính f (n) = cn với n ∈ N Vì t(1) = 3, nên ta t(n) = n(n + 1)(2n + 1) ∀n ∈ N (3.41) (iii) Cuối ta tìm tổng dãy ba số tự nhiên liên tiếp s(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2), ∀n ∈ N, (3.42) 47 với s : N → N Lưu ý s(1) = Với m, n ≥ 2, s(n + m − 1) = s(n − 1) + n(n + 1)(n + 2) + { (n + 1)(n + 2)(n + 3) + + (n + m − 1)(n + m)(n + m + 1) } = s(n − 1) + (n3 + 3n2 + 2n) + (m − 1)n3 + n2 (6 + + 3m) +n { [1.2 + + (m − 1)m] + [1.3 + + (m − 1)(m + 1)] +[2.3 + + m(m + 1)] } + s(m − 1) = s(n − 1) + s(m − 1) + mn3 + 3n2 (1 + + + m) +n { [1.2 + + (m − 1)m] +[1.3 + + (m − 1)(m + 1)][1.2 + + m(m + 1)] } m(m + 1) = s(n − 1) + s(m − 1) + mn3 + 3n2 (m − 1)m(m + 1) m(m − 1)(2m + 5) +n +n m(m + 1)(m + 2) ) +n 3 3 = s(n − 1) + s(m − 1) + mn3 + m2 n2 + m3 n + n2 m + nm2 − mn 2 2 Như trước định nghĩa f : N → R f (n) = s(n − 1) − n4 − n + n , ∀n ∈ N 4 để có f (m + n) = f (m) + f (n) f (n) = cn Sử dụng s(1) = 6, ta s(n − 1) = [n4 + 2n3 − n2 − 2n]; đó, s(n) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3), ∀n ∈ N 3.5 (3.43) Ứng dụng vào giải toán sơ cấp Trong mục giải số tốn cách sử dụng phương trình hàm Cauchy Tài liệu tham khảo [6] Bài tốn Tìm tất nghiệm liên tục f : C → C phương trình hàm Cauchy cộng tính f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ C (3.44) 48 cách đưa cặp phương trình hàm có thay x = x1 + ix2 , y = y1 + iy2 , f (x) = g(x1 , x2 ) + ih(x1 , x2 ) Bài giải Cho x = y = 0, từ (3.44) ta f (0) = f (0) + f (0) suy f (0) = Với a ∈ C, cho x = y = a ta f (2a) = 2f (a) Ta chứng minh f (na) = nf (a) phương pháp quy nạp Thật vậy, giả sử f (na) = nf (a) với n ∈ N, ta có f [(n + 1)a] = f (na + a) = f (na) + f (a) = nf (a) + f (a) Suy f (na) = nf (a), ∀n ∈ N Cho x = na, y = −na, ta f (0) = f (na) + f (−na) ⇔ f (−na) = −f (na) = −nf (a) Vậy f (na) = nf (a), ∀n ∈ Z, ∀a ∈ C Ta có f (a) = f n a n = nf a n ⇒f a n = f (a), ∀n ∈ Z n Từ đó, ta suy f m a n = mf a n = m f (a), ∀m ∈ Z, ∀n ∈ N∗ n 49 Với x ∈ R, ∃xk → x, k → ∞, xk ∈ Q Do f (xk a) = xk f (a) nên lim f (xk a) = lim xk f (a) ⇔ f (xa) = xf (a), ∀ x ∈ R, a ∈ C k→∞ k→∞ Cho a = i ta f (xi) = xf (i), cho a = ta f (x) = xf (1) Vậy ∀z = x + iy, ∀x, y ∈ R, ta có f (z) = f (x + iy) = f (x) + f (iy) = xf (1) + yf (i) Đặt f (1) = z1 + iz2 , f (i) = z1 + iz2 , ta f (z) = x(z1 + iz2 ) + y(z1 + iz2 ) = (xz1 + yz1 ) + i(xz2 + yiz2 ) Bài tốn Tìm tất nghiệm liên tục f : C → C phương trình hàm f (x + y) + f (x − y) = 2f (x), ∀x, y ∈ C (3.45) cách đưa cặp phương trình hàm có thay x = x1 + ix2 , y = y1 + iy2 , f (x) = g(x1 , x2 ) + ih(x1 , x2 ) Bài giải Đặt X = x + y, Y = x − y Khi (3.45) trở thành f (X) + f (Y ) = 2f X +Y Đặt g(x) = f (X) − f (0), (3.46) 50 ta suy g(0) = Khi đó, từ (3.46) ta có g(x) + g(y) = 2g X +Y , suy g X +g Y =g X +Y g X +g Y =g X Y + 2 hay Vậy g hàm cộng tính Áp dụng Định lý 1.12 ta có g(x) = c1 x + c2 x, c1 , c2 số phức x liên hợp phức x Từ cách đặt, ta suy f (x) = c1 x + c2 x + f (0) với x ∈ C, c1 , c2 số phức x liên hợp phức x Bài toán Xác định hàm số f (x) xác định liên tục R thỏa phương trình hàm f (x + y) = f (x) + f (y) + f (x)f (y), ∀x, y ∈ R (3.47) Bài giải Đặt f (x) = g(x) − 1, ta có g(x + y) − = g(x) − + g(y) − + [g(x) − 1][g(y) − 1] hay g(x + y) = g(x)g(y), ∀x, y ∈ R (3.48) Do f (x) hàm liên tục R nên g(x) hàm liên tục R, suy (3.48) có nghiệm g(x) = eax Vì vậy, phương trình (3.47) có nghiệm f (x) = eax − f (x) = −1 51 Bài toán Xác định tất hàm số liên tục f : R → R thỏa mãn phương trình hàm f (x + y) + f (z) = f (x) + f (y + z), ∀x, y, z ∈ R Bài giải Đặt f (0) = a Trong phương trình đề cho z = 0, ta f (x + y) + f (0) = f (x) + f (y), ∀ x, y ∈ R Đặt f (x) − a = g(x), ∀x ∈ R Khi g(x) hàm số liên tục R g(x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R Suy g(x) = ax, ∀x ∈ R Vậy f (x) = ax + b, ∀x ∈ R, với a, b số tùy ý Thử lại, ta thấy f (x) = ax + b, ∀x ∈ R nghiệm phương trình hàm cho Bài tốn Tìm tất hàm số f (x) > xác định, liên tục đoạn [2, 5] thỏa mãn điều kiện f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y, x + y ∈ [2, 5] (3.49) Bài giải Đặt g(x) = ln f (x), ∀x ∈ [2, 5] Từ phương trình (3.49), ta có g(x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y, x + y ∈ [2, 5] Với α = 2, β = 5, ta có < β < α < β , nên theo Định lý (2.13), hàm số g(x) xác định g(x) =     ax + 2b , x ∈ [2, 3],    h(x),       ax + b, x ∈ [3, 4], x ∈ [4, 5], (3.50) 52 a, b số tùy ý h(x) hàm số tùy ý xác định liên tục [3, 4] cho h(3) = 3a + b h(4) = 4a + b Vậy nghiệm tổng quát phương trình (3.49) f (x) = eg(x) , g(x) hàm số xác định hệ thức (3.50) Bài tốn Tìm tất hàm số f (x) xác định, liên tục đoạn [1, 4] thỏa mãn điều kiện f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y, xy ∈ [1, 4] (3.51) Bài giải Đặt t = log2 x ∈ [0, 2], ∀x ∈ [1, 4] g(t) = f (2t ), ∀t ∈ [0, 2] Khi phương trình (3.51) tương đương với g(t + u) = g(t) + g(u), ∀t, u, t + u ∈ [0, 2] Vì ∈ [0, 2] nên theo Định lý (2.13), g(t) = at, ∀t ∈ [0, 2], với a ∈ R số Vậy nghiệm tổng quát phương trình (3.51) f (x) = a log2 x, ∀x ∈ [1, 4], với a số tùy ý Kết luận Trong khóa luận chúng tơi giới thiệu cách khái quát phương trình hàm Cauchy mở rộng với số tập ứng dụng liên quan, cụ thể: - Trình bày định nghĩa cơng thức nghiệm tổng qt phương trình hàm Cauchy cộng tính, nhân tính số phương trình Cauchy khác - Xem xét tồn mở rộng phương trình hàm Cauchy cộng tính từ miền nhỏ đến miền lớn hơn, trình bày định lý, chứng minh - Trình bày ứng dụng phương trình hàm Cauchy, bắt gặp phương trình hàm Cauchy cơng thức tính diện tích hình chữ nhật, xác định Logarit, cơng thức lãi đơn, lãi kép, phân rã phóng xạ, đặc trưng phân phối hình học, đặc trưng phân phối chuẩn rời rạc, tổng lũy thừa số nguyên, tổng lũy thừa số hạng cấp số cộng, tổng dãy số hữu hạn vài tập ứng dụng Đóng góp tác giả tập hợp, chọn lọc trình bày lại kết từ tài liệu [2] [6] số phương trình hàm Cauchy mở rộng Tuy nhiên lực thân thời gian nghiên cứu hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý thầy bạn để khóa luận hồn thiện 53 Tài liệu tham khảo [1] N V Mậu, Phương trình hàm, NXB Giáo dục, 1999 [2] N Sum, Phương trình hàm Cauchy đoạn, Trường ĐH Quy Nhơn, 2013 [3] J Aczél Lectures on Functional Equations and Their Applications Academic Press, New York, London, 1966 [4] H Anton Calculus with Analytic Geometry John Wiley - Sons, Inc., New York, 1992 [5] R Dasgupta Cauchy equation on discrete domain and some characterization theorems Theory Probab Appl., 38:520-524, 1993 [6] P K Sahoo and P Kannappan, Introduction to Functional Equations, CRC Press, Taylor and Francis Group, Boca Raton, London, New York, 2011 54 ... lớp phương trình hàm Cauchy dễ dàng hiểu rõ phương trình hàm Cauchy mở rộng để giải số toán ứng dụng phương trình hàm Cauchy yêu cầu cấp thiết Vì tơi chọn đề tài "Phương trình hàm Cauchy mở rộng. .. cập phương trình hàm cịn chưa có tài liệu trình bày đầy đủ khía cạnh phương trình hàm; đặc biệt, phương trình hàm Cauchy lại có nhiều dạng phương trình hàm Cauchy cộng tính, phương trình hàm Cauchy. .. thức chuẩn bị 1.1 Phương trình hàm Cauchy cộng tính 1.2 Phương trình hàm Cauchy nhân tính số phương trình khác Phương trình hàm Cauchy mở rộng 2.1 Phương trình Cauchy cộng tính