luận văn thạc sĩ về phương trình hàm cauchy và ứng dụng

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o NGUY™N THÀ MŠN V— PH×ÌNG TRœNH H€M CAUCHY V€ ÙNG DÖNG THI NGUY–N, 5/2017 download by : skknchat@gmail.com „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o NGUY™N THÀ MN V PHìèNG TRNH HM CAUCHY V NG DệNG Chuyản ngnh: Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp M số: 60 46 01 13 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC GIO VI–N HìẻNG DN TS TRN XUN QUị THI NGUYN, 5/2017 download by : skknchat@gmail.com Mửc lửc M Ưu Chữỡng Phữỡng trẳnh hm Cauchy 1.1 Phữỡng trẳnh hm Cauchy mët bi¸n 1.1.1 Và phữỡng trẳnh hm Cauchy cëng t½nh 1.1.2 Phữỡng trẳnh hm cởng tẵnh trản khổng gian phực 1.1.3 Phữỡng trẳnh hm Cauchy mụ 1.1.4 Phữỡng trẳnh hm Cauchy Logarit 1.1.5 Phữỡng trẳnh hm Cauchy nhƠn tẵnh 1.2 Phữỡng trẳnh Cauchy nhiÃu bián 1.2.1 Phữỡng trẳnh Cauchy cởng tẵnh nhiÃu bián 1.2.2 Phữỡng trẳnh hm Cauchy nhƠn tẵnh nhiÃu bián 1.2.3 Hai phữỡng trẳnh hm Cauchy nhiÃu bián khĂc 1.3 M rởng cừa phữỡng tr¼nh h m Cauchy 1.4 Mët sè b i to¡n ¡p döng 6 11 14 17 18 23 23 27 28 29 35 Chữỡng Mởt số ựng dửng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy 37 2.1 Têng c¡c lơy thøa cõa sè nguy¶n 2.1.1 Tờng cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản 2.1.2 Têng bẳnh phữỡng cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản 2.1.3 Tờng lụy thứa k cừa n số tỹ nhiản Ưu ti¶n 2.2 Têng lơy thøa cõa c¡c sè dÂy cĐp số cởng 2.3 Số cp câ thº rót tø n ph¦n tû 2.4 Tờng cừa chuội hỳu hÔn 37 38 39 39 42 43 44 Kát luên 47 Ti liằu tham khÊo 48 download by : skknchat@gmail.com M Ưu Phữỡng trẳnh hm l mởt nhĂnh cừa toĂn hồc hiằn Ôi, tứ nôm 1747 án 1750 nh toĂn hồc J D'Alembert  cổng bố bi bĂo liản quan và phữỡng trẳnh hm, Ơy ữủc xem l cĂc kát quÊ Ưu tiản và phữỡng trẳnh hm Mc dũ phữỡng trẳnh hm  ữủc nghiản cựu trản 260 nôm, nõ thỹc sỹ ữủc nghiản cựu mÔnh cĂc lắnh vỹc lỵ thuyát v ùng dưng cõa to¡n håc ch¿ kho£ng 100 n«m trð lÔi Ơy Ưu thá k 20, ká tiáp nhỳng õng gõp quan trồng cừa D Hilbert lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn,  lm cho lỵ thuyát phữỡng trẳnh hm tr nản rĐt quan trồng v thu ữủc nhiÃu kát quÊ thú v, chng hÔn nhữ S Pincherle (1906, 1912); E Picard (1928); G Hardy, J.E Littlewood and G Polya (1934); M Ghermanescu (1960); J.Ac
zel (1966); and M Kuczma (1968) GƯn Ơy, phữỡng trẳnh hm ữủc rĐt nhiÃu nh ToĂn hồc nời tiáng cừa thá giợi nghiản cựu, v cõ nhỳng õng gõp lợn lao cho cÊ toĂn lỵ thuyát v toĂn ựng dửng, chng hÔn nhữ qua cĂc cuèn s¡ch cõa A.N Sarkovskii and G.P.Reljuch (1974); J Ac
zel and Z Da
roczy (1975); J Dhombres (1979) Ch½nh sü ph¡t trin mÔnh m cừa lỵ thuyát phữỡng trẳnh hm m cĂc kát quÊ cừa nõ  ữủc xem xt nghiản cùu cho èi t÷đng håc sinh trung håc phê thỉng Thº hi»n qua c¡c ký thi håc sinh giäi quèc gia, cĂc bi ton và phữỡng trẳnh hm luổn thu hút BTC quan tƠm v lỹa chồn Vẳ vêy, à ti luên vôn thÔc sắ phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp s têp trung vo lợp phữỡng trẳnh hm cỡ bÊn, õ l: Và phữỡng trẳnh hm Cauchy v ựng dửng Luên vôn ữủc trẳnh by hai chữỡng download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung Chữỡng 1: Phữỡng trẳnh hm Cauchy Chữỡng ny trẳnh by cĂc nh nghắa, nh lỵ, chựng minh và phữỡng trẳnh hm Cauchy v cĂc dÔng cừa nõ Tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh, phữỡng trẳnh hm Cauchy nhƠn tẵnh, phữỡng trẳnh hm Cauchy mụ v phữỡng trẳnh hm Cauchy Logarit Trẳnh by m rởng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy ữa mởt số bi toĂn vên dửng phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh º gi£i quy¸t Mët sè b i to¡n l  · thi hồc sinh giọi cĂc nữợc, ữủc trẵch tứ ti liằu [9] cõa t¡c gi£ Titu Andreescu v  Iurie Boreico Ch÷ìng 2: Mởt số ựng dửng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy Chữỡng ny trẳnh by ựng dửng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy tẵnh tờng lụy thứa cừa số nguyản (tờng cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản, tờng bẳnh phữỡng cừa n số tỹ nhiản Ơu tiản, tờng lụy thứa k cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản), tẵnh tờng lụy thứa cừa cĂc số dÂy cĐp số cởng, tẳm số cp cõ th rút tứ n phƯn tỷ, lỹc lữủng cừa mởt têp hủp v tờng cừa chuội hỳu hÔn  hon thiằn luên vôn trữợc hát tổi xin gỷi lới cÊm ỡn sƠu sưc tợi TS TrƯn XuƠn Quỵ  dnh thới gian hữợng dăn, Ănh giĂ, ch bÊo, tên tẳnh giúp ù quĂ trẳnh xƠy dỹng à ti v hon thiằn luên vôn Qua ¥y tỉi cơng xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tợi tĐt cÊ cĂc thƯy cổ, Ban giĂm hiằu, Khoa ToĂn - Tin - Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tÔo iÃu kiằn, giúp ù st qu¡ tr¼nh ho n th nh khâa håc Tỉi mong nhên ữủc sỹ gõp ỵ cừa thƯy, cổ v cĂc bÔn ThĂi Nguyản, ngy 05 thĂng nôm 2017 TĂc giÊ luên vôn Hồc viản Nguyạn Th Mên download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung Chữỡng Phữỡng trẳnh hm Cauchy Viằc nghiản cựu và hm cởng tẵnh cõ tứ thới A.M Legendre l ngữới Ưu tiản cố gưng tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y) vỵi måi x, y R Viằc nghiản cựu hằ thống phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh  ữủc xữợng bi A.L Cauchy cn s¡ch cõa ỉng "Coursd d'Analyse" n«m 1821 Mët phữỡng trẳnh bao gỗm mởt hm chữa biát v mởt hoc nhiÃu Ôo hm cừa nõ ữủc gồi l phữỡng trẳnh vi phƠn Vẵ dử nhữ f (x) + mx = v  00 f (x) + f (x) + sin(x) = CĂc phữỡng trẳnh gỗm tẵch phƠn cừa hm số chữa biát ữủc gồi l phữỡng trẳnh tẵch phƠn Mởt vi vẵ dử và phữỡng trẳnh tẵch phƠn Zx x f (x) = e ext f (t) dt, Z1 [1 − xcos(xt)]f (t)dt, f (x) = sin(x) + download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung v  Zx f (x) = [tf (t) 1]dt Phữỡng trẳnh hm l phữỡng trẳnh õ cĂc ân l cĂc hm số Vẵ dử và phữỡng trẳnh hm l f (x + y) = f (x) + f (y), f (x + y) = f (x)f (y), f (xy) = f (x)f (y), f (xy) = f (x) + f (y), f (x + y) = f (x)g(y) + g(x)f (y), f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) + 2f (y), f (x + y) = f (x) + f (y) + f (x)f (y), f (x + y) = g(xy) + h(x − y), f (x) − f (y) = (x − y)h(x + y), f (pr, qs) + f (ps, qr) = 2f (p, q) + 2f (r, s), g(f (x)) = g(x) + β, g(f (x)) = αg(x), α 6= v  f (t) = f (2t) + f (2t 1) PhÔm vi cừa phữỡng trẳnh hm bao gỗm cĂc phữỡng trẳnh vi phƠn, phữỡng trẳnh sai phƠn, phữỡng trẳnh tẵch phƠn CĂc phữỡng trẳnh hm l mởt lắnh vỹc cừa toĂn hồc trản 200 nôm tuời Hỡn 5000 bi bĂo  ữủc cổng bố lắnh vỹc ny Tuy nhiản ối vợi luên vôn thÔc sắ tổi ch têp trung nghiản cựu và phữỡng trẳnh hm Cauchy v mởt số ựng dửng cừa nõ Nôm 1747 v 1750, d'Alambert  cổng bố bi bĂo õ bi thự nhĐt l phữỡng trẳnh hm (xem Aczl (1966)) Phữỡng trẳnh hm ữủc nghiản cùu bði d'Alambert (1747), Euler (1768), Poisson (1804), Cauchy (1821), Darboux (1875) v  nhi·u nh  to¡n håc kh¡c Hilbert download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung (1902) · xu§t sỹ nối tiáp vợi vĐn à cừa l nh lỵ hm vi phƠn cung cĐp phữỡng phĂp àp v mÔnh  giÊi phữỡng trẳnh hm, õ giÊ thi¸t kh£ vi l  i·u ki»n khỉng thº thi¸u Nhí à xuĐt cừa Hilbert nhiÃu nghiản cựu và phữỡng trẳnh hm  xem xt vợi cĂc phữỡng trẳnh hm khĂc khổng cõ mởt vi hoc ẵt cĂc giÊ thiát Ãu Sỹ nộ lỹc ny  gõp phƯn phĂt trin nh lỵ hiằn Ôi và phữỡng trẳnh hm Lỵ thuyát cĂc dÔng quy tưc toĂn hồc hiằn Ôi cừa phữỡng tr¼nh h m ng y c ng ph¡t triºn nhanh châng ð cuèi thêp k GiÊi phữỡng trẳnh hm nghắa l tẳm tĐt cÊ cĂc hm số thọa mÂn phữỡng trẳnh hm º thu ÷đc mët nghi»m, c¡c h m sè ph£i bà giợi hÔn bi mởt t trững riảng (nhữ l giÊi tẵch, b chn, liản tửc, lỗi, khÊ vi, o ữủc hay ỡn iằu) 1.1 Phữỡng trẳnh hm Cauchy mởt bián 1.1.1 Và phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh PhƯn ny giợi thiằu và phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh v xĂc nh nghiằm cừa nõ (ữủc trẵch tứ ti liằu[7]) Cho f : R → R â R l  têp số thỹc, f l hm số thọa mÂn phữỡng tr¼nh h m f (x + y) = f (x) + f (y) (1.1) vợi mồi x, y R Phữỡng trẳnh hm ny  ữủc biát l phữỡng trẳnh hm Cauchy Phữỡng trẳnh hm (1.1) ữủc nghiản cựu Ưu tiản bði A.M Legendre (1791) v  C.F Gauss (1809) nh÷ng A.L Cauchy (1821) l ngữới Ưu tiản tẳm nghiằm lợp hm liản tửc Phữỡng trẳnh (1.1) cõ v trẵ quan trồng toĂn hồc nõ ữủc à cêp tợi hƯu hát cĂc khẵa cÔnh cừa toĂn hồc nh nghắa 1.1 Hm số f : R R ữủc gồi l hm cởng tẵnh náu nõ thọa mÂn phữỡng tr¼nh h m Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y) vỵi måi x, y ∈ R ành nghắa 1.2 Hm số f : R R ữủc gồi l hm tuyán tẵnh v ch nõ cõ dÔng f (x) = cx (x R), download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung â c l  mởt hơng số tũy ỵ ỗ th cừa hm tuyán tẵnh f (x) = cx l mởt ữớng khổng thng, i qua gốc õ nõ ữủc gồi l tuyán tẵnh Hm số tuyán tẵnh thọa mÂn phữỡng trẳnh hm Cauchy CĂc cƠu họi ữủc ữa l cõ hm no khĂc thọa mÂn phữỡng trẳnh hm Cauchy hay khổng? Ta thĐy rơng ch cõ nghiằm liản tửc cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy l tuyán tẵnh Ơy l kát quÊ ữủc chựng minh bi Cauchy vo nôm 1821 nh lỵ 1.1 Cho f : R → R l  li¶n tưc v thọa mÂn phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh (1.1) Khi õ f tuyán tẵnh, nghắa l f (x) = cx õ c l mởt hơng số tũy ỵ Chựng minh Trữợc tiản ta cố nh x rỗi lĐy tẵch phƠn hai vá cừa phữỡng trẳnh (1.1) theo bián y ta ÷đc Z1 f (x) = f (x)dy Z1 [f (x + y) − f (y)]dy = Z1+x Z1 f (u)du − = x f (y)dy, u = x + y V¼ h m sè f li¶n tưc n¶n suy f (x) = f (1 + x) − f (x) (1.2) Tø t½nh cëng t½nh cõa f ta câ f (1 + x) = f (1) + f (x) (1.3) Thay (1.3) v o (1.2) ta câ f (x) = f (1) = c Suy f (x) = cx + d thay v o (1.1) suy d = Trong nh lỵ 1.1 ta sỷ dửng tẵnh liản tửc cừa f  kát luên rơng f khÊ tẵch Tẵnh tẵch phƠn cừa f bưt buởc nghiằm f cừa phữỡng trẳnh download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung Cauchy cởng tẵnh l tuyán tẵnh Do õ mội nghiằm khÊ tẵch cừa phữỡng trẳnh Cauchy cởng tẵnh cụng tuyán tẵnh nh nghắa 1.3 Mởt hm f : R R ữủc gồi l khÊ tẵch a phữỡng v ch nõ l tẵch phƠn trản mồi khoÊng hỳu hÔn Theo trản mội nghiằm khÊ tẵch a phữỡng cừa phữỡng trẳnh Cauchy cởng tẵnh cụng l tuyán tẵnh Ta ữa mởt cĂch chựng minh ÷đc ÷a bði Shapiro 1973 Gi£ sû f l  mởt nghiằm khÊ tẵch a phữỡng cừa phữỡng trẳnh Cauchy cëng t½nh Do â f (x + y) = f (x) + f (y) óng vỵi måi x, y ∈ R Tứ õ sỷ dửng tẵnh khÊ tẵch a phữỡng cõa f ta ÷đc Zy f (x)dz yf (x) = Zy [f (x + z) − f (z)]dz = Zx+y Zy f (u)du − = x f (z)dz Zx+y Zx Zy = f (u)du − f (u)du − f (u)du 0 V¸ ph£i cõa ¯ng thực trản bĐt bián ta thay ời vai trỏ cõa x v  y tø â suy yf (x) = xf (y) vỵi måi x, y ∈ R Do õ vợi x 6= ta ữủc f (x) = c, x vợi c l mởt hơng bĐt ký iÃu n y suy f (x) = cx vỵi måi x ∈ R \ {0} Cho x = v  y = ð (1.1) ta ÷đc f (0) = Nhữ vêy f l mởt hm tuyán tẵnh trản R Mc dũ chựng minh cừa nh lỵ 1.1 ngưn gồn v ch gỗm cĂc php tẵnh vi phƠn, tẵch phƠn nõ lÔi khổng hiằu quÊ cao v cõ nhiÃu kián thực Giớ ta s trẳnh by mởt cĂch chựng minh kh¡c s³ gióp ta hiºu hìn v· nghi»m cõa phữỡng trẳnh Cauchy cởng tẵnh Ta xt nh nghắa sau download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung 34 Tr÷íng hñp Gi£ sû s0 + t0 thuëc [0, ) x²t m  n A(s + t) = A +s + +t 2  0 = A (m + n) + s + t   = (m + n)f + f (s0 + t0 )     1 + nf + f (s0 ) + f (t0 ) = mf 2     1 = mf + f (s ) + nf + f (t0 ) 2 = A(s) + A(t) Tr÷íng hđp Gi£ sû s0 + t0 thc [ , 1) th¼ s + t0 = + z0   tÔi õ z 0, Do vªy A(s + t) = = = = = = = =    n 0 A + s + + t = A (m + n) + s + t 2     1 0 A (m + n) + + z = A (m + n + 1) + z 2       1 (m + n + 1)f + f (z ) = (m + n)f +f + f (z ) 2       1 (m + n)f +f + z = (m + n)f + f (s0 + t0 ) 2   (m + n)f + f (s0 ) + f (t0 )     1 + f (s ) + nf + f (t0 ) mf 2 m  n  A + s0 + A + t0 2 A(s) + A(t) m Vêy A l cởng tẵnh tr¶n R download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung 35 1.4 Mët sè b i to¡n ¡p döng Trong möc n y ta ữa mởt số bi toĂn vên dửng phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh  giÊi quyát Mởt số bi toĂn l à thi hồc sinh giọi cĂc nữợc, ữủc tr½ch tø t i li»u [9] cõa t¡c gi£ Titu Andreescu v Iurie Boreico Bi toĂn 1.1 (AMM 2001) Tẳm tĐt c£ c¡c h m sè f : R → R thäa m¢n f (x2 + y + f (y)) = 2y + f (x) vỵi måi sè thüc x, y R Bi toĂn 1.2 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm sè f, g, h : R → R cho f (x + y) = f (x)g(y) + h(y) vỵi måi sè thüc x, y ∈ R B i to¡n 1.3 Chựng minh rơng mồi hm cởng tẵnh f trản R+ b chn dữợi (trản) trản mởt khoÊng R+ cõ dÔng f (x) = f (1)x vỵi måi x ∈ R+ Bi toĂn 1.4 (Tuymaada 2003) Tẳm tĐt cÊ cĂc h m sè f : R+ → R thäa m¢n 1 1 f (x + ) + f (y + ) = f (x + ) + f (y + ) x y y x vỵi måi x, y ∈ R+ B i to¡n 1.5 (Sankt-Petersburg) T¼m måi h m sè f : R → R thäa m¢n f (f (x + y)) = f (x) + f (y) vỵi måi sè thüc x, y ∈ R B i to¡n 1.6 Tẳm tĐt cÊ cĂc cp cừa hm số f, g : R → R thäa m¢n f (x) + f (y) = g(x + y) Bi toĂn 1.7 Tẳm tĐt c£ c¡c h m sè f : N → N thäa m¢n f (m2 + f (n)) = f (m)2 + n vỵi måi sè thüc m, n ∈ N download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung 36 B i to¡n 1.8 T¼m t§t c£ c¡c h m sèf : R → R thäa m¢n f (f (x) + yz) = x + f (y)f (z) vỵi måi sè thüc x, y, z ∈ R Bi toĂn 1.9 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số f : R → R cho f (f (x)2 + y) = x2 + f (y) B i to¡n 1.10 (Bulgaria 2004) Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số f : R → R thäa m¢n  (f (x) − f (y))f x+y x−y  = f (x) + f (y) vỵi måi sè thüc x, y ∈ R v  x 6= y Bi toĂn 1.11 (India 2003) Tẳm tĐt c£ c¡c h m sè f : R → R thäa m¢n f (x + y) + f (x)f (y) = f (x) + f (y) + f (xy) vỵi måi sè thüc x, y ∈ R download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung 37 Ch÷ìng Mët sè ùng dưng cõa phữỡng trẳnh hm Cauchy Trong phƯn ny, ta trẳnh by mởt vi ựng dửng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy ữủc trẵch tứ ti liằu [7] Sỷ dửng phữỡng trẳnh hm Cauchy cëng t½nh x¡c ành têng lơy thøa k cõa n số tỹ nhiản Ưu tiản vợi k = 1, 2, Ta chùng minh r¬ng sè c°p câ thº số n phƯn tỷ cõ th ữủc xĂc nh sỷ dửng phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh Hỡn nỳa, ta sỷ dửng phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh  tẳm tờng cừa chuội hỳu hÔn 2.1 Tờng cĂc lụy thøa cõa sè nguy¶n °t fk (n) = 1k + 2k + + nk (2.1) vỵi n l  sè nguyản dữỡng v k l số nguyản khổng Ơm fk (n) l kỵ hiằu cừa tờng lụy thứa thự k cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản Tẳm cổng thực cừa fk (n)  thu hút sỹ quan tƠm cừa nhi·u nh  to¡n håc kho£ng thíi gian hìn 300 n«m, b­t ¦u tø thíi cõa James Bernoulli (1655-1705) Câ nhi·u phữỡng phĂp khĂc  ữủc sỷ dửng  tẳm tờng fk (n) (chng hÔn Vakil (1996)) Trong luên vôn ny, ta s vên dửng phữỡng download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung 38 trẳnh hm Cauchy  tẵnh tờng fk (n) vỵi k = 1, 2, v  vỵi k tũy ỵ Chú ỵ rơng fk : N N l  h m sè â k = 0, 1, 2, 2.1.1 Têng cõa n sè tü nhi¶n Ưu tiản Cho hm f1 thọa mÂn f1 (m + n) = + + + + m + (m + 1) + + (m + n) = f1 (m) + (m + 1) + (m + 2) + + (m + n) (2.2) = f1 (m) + f1 (n) + mn vỵi måi m, n ∈ N X²t h m sè g1 : N → R x¡c ành bði g1 (x) = f1 (x) − x2 vỵi x ∈ N (2.3) Khi â, tø (2.2) ta câ g1 (m + n) = g1 (m) + g1 (n), vỵi m, n ∈ N (2.4) Nghiằm cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh (2.4) trản N ÷đc cho bði g1 (n) = cn, (2.5) â c l  mët h¬ng sè Tø (2.5) v  (2.3) ta câ f1 (n) = cn + n2 Do f1 (1) = ta câ 1=c+ â c=1− â l  (2.6) 1 = 2 n n2 + 2 n(n + 1) = f1 (n) = Vªy f1 (n) = + + + + n = n(n + 1) download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung 39 2.1.2 Tờng bẳnh phữỡng cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản Xt hm f2 thọa mÂn f2 (m + n) = 12 + 22 + + m2 + (m + 1)2 + + (m + n)2 = f2 (m) + [12 + 22 + + n2 ] + 2m[1 + + + n] + m2 n = f2 (m) + f2 (n) + 2mf1 (n) + m2 n = f2 (m) + f2 (n) + mn2 + m2 n + mn (2.7) vỵi måi m, n ∈ N ành ngh¾a g2 : N → R bði n2 n3 g2 (n) = f2 (n) − − , vỵi n ∈ N Tø phữỡng trẳnh (2.7) ta cõ g2 (m + n) = g2 (m) + g2 (n) vỵi måi m, n ∈ N Suy g2 (n) = cn hay f2 (n) = cn + n2 n3 + (2.8) Kát hủp vợi iÃu kiằn f2 (1) = ta câ 1=c+ 1 − =⇒ c = Suy ta cõ tờng cƯn tẳm l  n n2 n3 n + 3n2 + 2n3 n(n + 1)(2n + 1) f2 (n) = + + = = 6 2.1.3 Têng lôy thứa k cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản Vợi k tũy ỵ Ta sỷ dửng khai trin nh thực Newton xĂc nh hm, thiát lêp quan hằ truy hỗi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung 40 X²t h m fk nh÷ sau fk (n + m) = 1k + 2k + + nk + (n + 1)k + + (n + m)k = fk (n) + = fk (n) + = fk (n) + k X i=0 k X i=0 k X Cki ni 1k−i + + k X Cki ni mk−i i=0 Cki ni [1k−i + + mk−i ] Cki ni fk−i (m) i=0 = fk (n) + fk (m) + k X Cki ni fk−i (m) vỵi m, n, k ∈ N i=1 Do â, ta câ fk (m + n) − fk (m) − fk (n) = k X Cki ni fk−i (m) vỵi m, n, k ∈ N (2.9) i=1 Ta thu ữủc cổng thực truy hỗi (2.9) Ta s xt mởt vi trữớng hủp cử th ối vợi k Chú ỵ rơng fk (1) = vợi mồi k N v  f0 (m) = m (A) Tø cæng thùc (2.9), x²t n = Ta câ fk (m + 1) − fk (m) − fk (1) = k X Cki fk−i (m), i=1 ngh¾a l  k (m + 1) − = k X Cki fk−i (m) vỵi m N, i=1  Vợi k = ta ữủc m2 + 2m = 2f1 (m) + f0 (m) = 2f1 (m) + m hay f1 (m) = m(m + 1) download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung 41  Vợi k = ta ữủc m3 + 3m2 + 3m = 3f2 (m) + 3f1 (m) + f0 (m) 3m(m + 1) = 3f2 (m) + +m hay f2 (m) = m(m + 1)(2m + 1) (B) Trữớng hủp tờng quĂt Vá phÊi cừa (2.9) l ối xựng vợi tữỡng ựng cừa m v n Do â ta thu ÷đc k X Cki ni fk−i (m) = i=1 k X Cki mi fk−i (n) vỵi m, n N i=1 Thay thá vợi m = v  sû döng fk (1) = ta câ k X Cki ni fk−i (1) = i=1 k X Cki ni fk−i (n), i=1 ngh¾a l  k X Cki fk−i (n) = (1 + n)k − i=1 Tø â ta câ k kfk−1 (n) = (1 + n) − − k X Cki fk−i (n) vỵi n ∈ N i=2 hay fk−1 (n) = (1 + n)k − − Pk i i i=2 Ck n fk−i (n) k vỵi k, n ∈ N Sû dưng f0 (n) = n ta câ thº x¡c ành ÷đc fk n Chng hÔn vợi k = (2.10) ta câ n2 + 2n − f0 (n) n(n + 1) f1 (n) = = 2 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung (2.10) luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung 42 T÷ìng tü k = (2.10) cho n3 + 3n2 + 3n − 3f1 (n) − f0 (n) f2 (n) =   3 n = n + n + 2 = n(n + 1)(2n + 1) 2.2 Têng lơy thøa cõa c¡c sè d¢y cĐp số cởng Vợi số nguyản dữỡng n, k N v  h ∈ R ành ngh¾a sk (n, h) = 1k + (1 + h)k + + (1 + (n − 1)h)k ), (2.11) têng cõa c¡c sè tỹ nhiản bêc k cĐp số cởng Giống nhữ trữợc õ ta lĐy mởt quan hằ truy toĂn sk (m + n; h) = 1k + (1 + h)k + · · · + (1 + (n − 1)h)k +(1 + nh)k + · · · + (1 + (m + n − 1)h)k = sk (n; h) + (1 + nh)k + (1 + h + nh)k + · · · +(1 + (m − 1)h + nh)k k X = sk (n; h) + sk (m; h) + Cki sk−i (m; h)(nh)i ; i=1 ngh¾a l  sk (n, h) thọa mÂn phữỡng trẳnh hm sk (m + 1; h) − sk (n; h) + sk (m; h) + k X Cki sk−i (m; h)(nh)i ; (2.12) i=1 vỵi k ∈ N, h ∈ R, m, n = 1, 2, Chú ỵ rơng s0 (n, h) = n, sk (1, h) = ta x¡c ành s1 (n, h) v s2 (n, h) Ưu tiản cho n = (2.12) ta thu ÷đc sk (m + 1; h) − sk (m; h) = sk (1; h) + k X Cki sk−i (m; h)(h)i i=1 â k (1 + mh) = + k X Cki sk−i (m; h)(h)i i=1 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung (2.13) luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung 43 vỵi m = 1, 2, , h ∈ R, k ∈ N T÷ìng tü k = (2.13) cho m2 h2 + 2mh = 2s1 (m; h)h + s0 (m; h)h2 ; â  s1 (m; h) =  h h 1− m + m2 2 Cho k = (2.13) ta câ m3 h3 + 3m2 h2 + 3mh = 3s2 (m; h)h + 3s1 (m; h)h2 + s0 (m; h)h3 ; â  s2 (m; h) = h2 1−h+   h h2 m+h 1− m2 + m3  2.3 Sè c°p câ thº rót tứ n phƯn tỷ Cho f2 (n) l kẵ hi»u sè c°p câ thº rót tø n ph¦n tỷ Xt hai têp vợi n v m tữỡng ựng Khi â sè c°p câ thº rót m + n phƯn tỷ bơng số cp têp A cởng vợi số cp têp B cởng vợi mởt im tø méi tªp Do â ta câ f2 (m + n) = f2 (m) + f2 (n) + mn TÔi â gi£m xuèng g2 (m + n) = g2 (m) + g2 (n), â g2 (n) = f2 (n) − Do â f2 (n) = cn + n2 n2 V¼ f2 (2) = 1, ta câ = 2c + download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung 44 ho°c c=− Do â n(n − 1) = Cn2 N¸u f3 (n) l  k½ hi»u sè bë câ thº rót tø n ph¦n tû â ta s³ chùng minh rơng f3 (n) = Cn3 BƠy giớ, ta xem xt hai têp vợi n v m tữỡng ựng f3 (m + n) s³ l  sè bë ba cõa tªp A, cởng vợi số bở ba cừa têp B cởng vợi mởt số hÔng kát hủp cừa số bở ba vợi vi phƯn tỷ cừa mội têp vêy f2 (n) = f3 (m + n) = f3 (m) + f3 (n) + mf2 (n) + nf2 (m) = f3 (m) + f3 (n) + (mn2 + nm2 ) − mn ành ngh¾a g3 : N → R bði n3 n g3 (n) = f3 (n) − + vỵi n ∈ N, ta câ g3 (m + n) = g3 (m) + g3 (n) Do â f3 (n) = cn − n2 n3 + V¼ f3 (3) = 1, ta câ c= v  f3 (n) = n(n − 1)(n − 2) = Cn3 2.4 Tờng cừa chuội hỳu hÔn (i) Cho S(n) = 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) vỵi n ∈ N, download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung (2.14) luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung 45 â S : N → N â S(m + n) = S(n) + S(m) + mn2 + nm2 + 2mn Do â f (m + n) = f (m) + f (n), â n3 vỵi n ∈ N v  f : N → R Do â f l  cëng t½nh v  f (n) = cn Vªy f (n) = S(n) − n2 − S(n) = cn + n2 + n3 Do â S(1) = 2, ta câ S(n) = n(n + 1)(n + 2) (2.15) (ii) Cho t(n) = 1.3 + 2.5 + + n(n + 2) vỵi n ∈ N, (2.16) â t : N N Chú ỵ rơng t(1) = BƠy giớ t(m + n) = t(n) + t(m) + mn2 + nm2 + 3nm vợi m, n N nh nghắa f : N → R bði f (n) = t(n) − n3 − n2 vỵi n ∈ N Quan h» truy to¡n tr¶n trð th nh f (m + n) = f (m) + f (n) vỵi m, n ∈ N â l  f l  cëng t½nh v  f (n) = cn vỵi n ∈ N Do t(1) = ta câ t(n) = n(n + 1)(2n + 1) vỵi n ∈ N (2.17) (iii) Têng cừa tẵch hộn tÔp s(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2), vỵi n ∈ N, download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung (2.18) luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung 46 Vỵi s : N N ỵ rơng s(1) = X²t m, n ≥ ta câ s(n + m − 1) = s(n − 1) + n(n + 1)(n + 2) + {(n + 1)(n + 2)(n + 3) + · · · + (n + m − 1)(n + m)(n + m + 1)} = s(n − 1) + (n3 + 3n2 + 2n) + (m − 1)n3 +n2 (6 + · · · + 3m) + · · · + n{[1 · + · · · + (m − 1)m] +[1 · + · · · + (m − 1)(m + 1)] +[2 · + m(m + 1)]} + s(m − 1) = s(n − 1) + s(m − 1) + mn3 + 3n2 (1 + + · · · + m) +n{[1 · + · · · + (m − 1)m] +[1 · + · · · + (m − 1)(m + 1)][1 · + · · · + m(m + 1)]} m(m + 1) = s(n − 1) + s(m − 1) + mn3 + 3n2 (m − 1)m(m + 1) m(m − 1)(2m + 5) +n +n + m(m − 1)(2m + 5) (m − 1)m(m + 1) +n n m(m + 1)(m + 2) +n (sû döng ¯ng thùc (2.15), (2.16)) 3 = s(n − 1) + s(m − 1) + mn3 + m2 n2 + m3 n 3 + n m + nm2 − mn 2 Nhữ nh nghắa trữợc f : N → R x¡c ành nh÷ sau n4 f (n) = s(n − 1) − − n + n vỵi n ∈ N 4 Cho f (m+n) = f (m)+f (n) (cëng t½nh) v  f (n) = cn Sû döng s(1) = 6, ta câ s(n − 1) = [n4 + 2n3 − n2 − 2n]; ngh¾a l  s(n) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) vỵi n ∈ N (2.19) download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung 47 K¸t luên Phữỡng trẳnh hm l mởt chừ à liản quan tợi hĐu hát cĂc khẵa cÔnh cừa ToĂn hồc Tuy nhiản vợi phÔm vi cừa luên vôn ThÔc sắ chuyản ngnh phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp tổi têp trung trẳnh by vÃ: "Phữỡng trẳnh hm Cauchy v ựng dửng" Luên vôn cõ nhỳng nởi dung sau: - Trẳnh by cĂc kián thực và phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh, phữỡng trẳnh hm Cauchy mụ, phữỡng trẳnh hm Cauchy logarit, phữỡng trẳnh hm Cauchy nhƠn tẵnh, phữỡng trẳnh hm Cauchy nhiÃu bián v m rởng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy - Trẳnh by và phữỡng trẳnh hm Cauchy Tẳm nghiằm cừa nõ trản têp số thỹc v số phực, ch nghiằm liản tửc cừa nõ l tuyán tẵnh, xĂc nh nghi»m têng qu¡t cõa h m sè mơ Cauchy m  khỉng cƯn iÃu kiằn chẵnh quy nhữ liản tửc, b chn hay khÊ vi Nghiản cựu nghiằm cừa cĂc dÔng phữỡng trẳnh hm Cauchy nhiÃu bián - Trẳnh by ựng dửng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy tẵnh tờng lụy thứa cừa số nguyản (tờng cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản, tờng bẳnh phữỡng cừa n số tỹ nhiản Ơu ti¶n, têng lơy thøa k cõa n sè tü nhi¶n Ưu tiản), tẵnh tờng lụy thứa cừa cĂc số dÂy cĐp số cởng, tẳm số cp cõ th rút tứ n phƯn tỷ, lỹc lữủng cừa mởt têp hủp v tờng cừa chuội hỳu hÔn download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung luan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dungluan.van.thac.si.ve.phuong.trinh.ham.cauchy.va.ung.dung