D'Alembert  cổng bố 3 bi bĂo liản quanvà phữỡng trẳnh hm, Ơy ữủc xem l cĂc kát quÊ Ưu tiản và phữỡngtrẳnh hm.Mc dũ phữỡng trẳnh hm  ữủc nghiản cựu trản 260 nôm, nhữngnõ thỹc sỹ ữủc ngh
Phữỡng trẳnh h m Cauchy mởt bián
Vã phữỡng trẳnh h m Cauchy cởng tẵnh
PhƯn n y giợi thiằu vã phữỡng trẳnh h m Cauchy cởng tẵnh v xĂc ành nghiằm cừa nõ (ữủc trẵch tứ t i liằu[7]).
Hàm số f: R → R được gọi là hàm khả tích nếu thỏa mãn phương trình hàm Cauchy f(x + y) = f(x) + f(y) với mọi x, y ∈ R Phương trình này đã được nghiên cứu từ lâu, với các nhà toán học như A.M Legendre (1791) và C.F Gauss (1809), nhưng A.L Cauchy (1821) là người đã phát triển nó trong bối cảnh hàm liên tục Hàm số f: R → R được gọi là hàm tuyến tính khi tồn tại một hằng số c sao cho f(x) = cx với mọi x ∈ R Hàm tuyến tính f(x) = cx có dạng đồ thị đi qua gốc tọa độ, cho thấy tính chất tuyến tính của nó Các câu hỏi đặt ra là liệu có tồn tại hàm nào khác thỏa mãn phương trình hàm Cauchy hay không?
Định lý Cauchy khẳng định rằng mọi hàm số liên tục trên tập số thực đều là hàm tuyến tính Kết quả này được chứng minh bởi Cauchy vào năm 1821 Cụ thể, cho hàm f: R → R là hàm liên tục, nếu f thỏa mãn phương trình Cauchy, thì f phải là một hàm tuyến tính, nghĩa là f(x) = cx với c là hằng số bất kỳ.
Chựng minh Trữợc tiản ta cố ành x rỗi lĐy tẵch phƠn hai vá cừa phữỡng trẳnh (1.1) theo bián y ta ữủc f (x) =
Vẳ h m số f liản tửc nản suy ra f 0 (x) = f (1 + x) − f (x) (1.2)
Tứ tẵnh cởng tẵnh cừa f ta cõ f (1 + x) = f (1) + f (x) (1.3)
Thay (1.3) vào (1.2) ta có f(0) = f(1) = c Suy ra f(x) = cx + d, thay vào (1.1) suy ra d = 0 Trong hình 1.1, ta sử dụng tính liên tục của f để kết luận rằng f khái niệm tách Tính tách phân của f bắt buộc nghiêm ngặt f của phương trình.
Cauchy cởng tẵnh l tuyán tẵnh, thể hiện rằng sự khÊ tẵch của phữỡng trẳnh Cauchy cởng tẵnh cũng là tuyán tẵnh Định nghĩa 1.3: Một hàm f: R → R được gọi là khÊ tẵch khi và chỉ khi nó là tẵch phƠn trản mồi khoÊng hỳu hÔn.
Theo định lý Cauchy, hàm số f được xác định trên các số thực và thỏa mãn điều kiện f(x + y) = f(x) + f(y) với mọi x, y ∈ R là một hàm đồng nhất Bằng cách áp dụng phương pháp chứng minh của Shapiro (1973), ta có thể khẳng định rằng f là một hàm tuyến tính Do đó, tồn tại một hằng số k sao cho f(x) = kx với mọi x ∈ R, cho thấy tính chất tuyến tính của hàm số này.
Với điều kiện \(f(xy) = xf(y)\) cho mọi \(x, y \in \mathbb{R}\), ta có thể suy ra rằng nếu \(x \neq 0\), thì \(f(x) = cx\) với \(c\) là một hằng số Khi đặt \(x = 0\) và \(y = 0\), ta nhận được \(f(0) = 0\) Do đó, hàm \(f\) là một hàm tuyến tính trên tập hợp các số thực \(\mathbb{R}\).
M°c dũ chựng minh cừa ành lỵ 1.1 ngưn gồn v ch¿ gỗm cĂc ph²p tẵnh vi phƠn, tẵch phƠn những nõ lÔi khổng hiằu quÊ cao v cõ nhiãu kián thực Giớ ta s³ trẳnh b y mởt cĂch chựng minh khĂc s³ giúp ta hiºu hỡn vã nghiằm cừa phữỡng trẳnh Cauchy cởng tẵnh.
Hàm số f: R → R được gọi là thuần nhất hữu tỷ khi thỏa mãn điều kiện f(rx) = rf(x) với mọi x ∈ R và mọi số hữu tỷ r Điều này cho thấy mối liên hệ giữa hàm số và phương trình Cauchy, xác định tính chất thuần nhất hữu tỷ của hàm Hơn nữa, nếu hàm f là nghiệm của phương trình Cauchy, thì f cũng sẽ là thuần nhất hữu tỷ, đồng thời f còn tuyên bố tính chất liên tục trên tập hợp số hữu tỷ Q.
Chùng minh Thay x = 0, y = 0 v o (1.1) ta th§y f (0) = f (0) + f (0) v ta câ f (0) = 0 (1.5)
Thay y = −x trong (1.1) v dũng (1.5), ta thĐy f l h m l´ trản R nghắa l f (−x) = −f (x) vợi mồi x ∈ R (1.6)
Như vậy, ta có thể rút ra rằng nghiệm của phương trình Cauchy có tính chất đồng nhất Cụ thể, với mọi x ∈ R, ta có f(2x) = f(x + x) = f(x) + f(x) = 2f(x) Điều này cho thấy rằng hàm số f là một hàm đồng nhất, và từ đó, chúng ta có thể mở rộng nghiệm của phương trình Cauchy trong không gian số thực.
Têng qu¡t hìn, ta câ f (nx) = nf (x) (1.7) vợi mồi số nguyản dữỡng n Náu n l mởt số nguyản Ơm khi õ −n l số nguyản dữỡng v tứ (1.7) v (1.6) ta ữủc f (nx) = f (−(−n)x)
Đối với hàm số f(nx) = nf(x) với mọi số nguyên n và mọi số thực x ∈ R, ta có thể xác định rằng nếu x²t là số hữu tỉ và thỏa mãn r = k l, thì k là số nguyên (khác không), l là số nguyên dương Chúng ta có kx = l(rx) Sử dụng tính chất thuần nhất của hàm số f, ta có kf(x) = f(kx) = f(l(rx)), nghĩa là f(rx) = k l f(x) = rf(x).
Để chứng minh rằng hàm số f liên tục tại điểm x = 1, ta cần xác định giá trị của hàm tại điểm này là f(1) = c Điều này dẫn đến việc f(r) = cr với mọi số hữu tỉ r ∈ Q Do đó, f là một hàm liên tục trong khoảng này và chúng ta phải thực hiện các bước để chứng minh tính chất này.
B¥y gií ta ÷a ra c¡ch chùng minh thù hai cõa ành lþ 1.1.
Chứng minh rằng hàm f là nghiệm của phương trình Cauchy có tính liên tục Với x ∈ R, tồn tại một dãy {r_n} các số hữu tỉ hội tụ về x Hàm f thỏa mãn phương trình Cauchy có tính liên tục Từ định lý 1.2, ta có f là tuyến tính, tức là f(r_n) = cr_n với mọi n.
BƠy giớ dũng tẵnh liản tửc cừa h m f ta ữủc f (x) = f ( lim n→∞ r n )
Ta cần chứng minh rằng nếu \( f \) là một hàm liên tục trên khoảng [a, b] và \( f \) có đạo hàm trên (a, b), thì hàm \( f \) có thể được tích phân Riemann Theo định lý Darboux (1875), điều này cho thấy rằng mọi hàm liên tục đều có thể được tích phân, và nếu \( f \) là một hàm Cauchy, thì nó cũng thỏa mãn điều kiện tích phân trên tập hợp các điểm thuộc R.
Chựng minh GiÊ sỷ f liản tửc tÔi t v x l mởt iºm bĐt ký do õ ta câ lim y→t f (y) = f (t) Tiáp theo ta s³ chựng minh rơng f liản tửc tÔi x X²t y→x lim f (y) = lim y→x f (y − x + x − t + t)
Để chứng minh tính chất của hàm số f(x), ta bắt đầu từ định nghĩa và các điều kiện của nó Nếu hàm f liên tục tại một điểm x0, thì f cũng liên tục tại mọi x ∈ R Nếu hàm f thỏa mãn phương trình Cauchy (1.1), thì f là hàm tuyến tính, tức là f(x) = cx cho mọi x ∈ R Nếu f là một hàm liên tục và có giá trị tại một nửa khoảng, thì nó cũng sẽ là hàm tuyến tính Cuối cùng, nếu f là một hàm liên tục và có giá trị tại một khoảng, thì f sẽ là hàm tuyến tính trên toàn bộ miền xác định.
[a, b] thẳ nõ l tuyán tẵnh nghắa l tỗn tÔi mởt hơng số c sao cho f (x) = cx vợi mồi x ∈ R.
Phữỡng trẳnh h m cởng tẵnh trản khổng gian phực 11 1.1.3 Phữỡng trẳnh h m Cauchy mụ
é phƯn n y ta trẳnh b y lÔi mởt số kát quÊ cõ liản quan án h m cởng tẵnh vợi giĂ trà phực trong khổng gian phực ữủc trẵch tứ t i liằu [7].
Mởt h m bĐt ký f : C → C cõ thº viát f (z) = f 1 (z) + if 2 (z), (1.8) khi f 1 : C → R v f 2 : C → R ữủc cho bði f 1 (z) = Ref (z) v f 2 (z) = Imf (z) (1.9)
Náu f l cởng tẵnh thẳ tứ (1.8) v (1.9) ta cõ f 1 (z 1 + z 2 ) = Ref (z 1 + z 2 )
Đối với hàm phức \( f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \), nếu \( \text{Imf}(z_1) + \text{Imf}(z_2) = f_2(z_1) + f_2(z_2) \), thì hàm này có tính chất liên quan đến tính liên tục Cụ thể, nếu \( f \) là một hàm liên tục và có dạng \( f(z) = f_{11}(\text{Re}z) + f_{12}(\text{Im}z) + if_{21}(\text{Re}z) + if_{22}(\text{Im}z) \), thì nó thể hiện sự liên quan đến dòng của hàm phức Hơn nữa, nếu \( f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) là một hàm liên tục và có dạng \( f(z) = c_1 z + c_2 \overline{z} \), với \( z \) là số phức, thì hàm này cũng mang đặc tính liên tục trong miền phức.
Chứng minh rằng hàm số phức f(z) có dạng f(z) = f11(Re z) + f12(Im z) + if21(Re z) + if22(Im z), trong đó fkj : R → R (k, j = 1, 2) là các hàm số thực Hàm f là một hàm số phức, và các hệ số ckj cũng là các số thực Do đó, ta có thể biểu diễn f(z) dưới dạng f(z) = c11 Re z + c12 Im z + ic21 Re z + ic22 Im z.
= a Re z + b Im z Khi a = c 11 + ic 21 , b = c 12 + ic 22
Ró r ng rơng khổng giống h m cởng tẵnh nhên giĂ trà thỹc xĂc ành trản têp số thỹc h m nhên giĂ trà phực cởng tẵnh liản tửc trản m°t ph¯ng phực khổng tuyán tẵnh Một hàm số f: C → C được gọi là giải tách khi và chỉ khi f khái vị trản C Nếu f: C → C là hàm giải tách cởng tẵnh thì tồn tại một số phức sao cho f(z) = cz; nghĩa là f là tuyán tẵnh.
Chựng minh Vẳ f l giÊi tẵch nản f l khÊ vi Ôo h m f (z 1 + z 2 ) = f (z 1 ) + f (z 2 ) (1.11) theo bián z 1 , ta ữủc f 0 (z 1 + z 2 ) = f 0 (z 1 ) vợi mồi z 1 v z 2 trong C Vẳ thá ta chồn z 1 = 0 v z 2 = z ta ữủc f 0 (z) = f (0) = c.
Tứ õ ta thĐy rơng f (z) = cz + b Trong õ b l mởt số phực Thay biºu thực cừa f (z) v o (1.11) ta ữủc b = 0
Chú ỵ 1.1 cho thấy ảnh hưởng khổng lồ của ánh sáng trong một phòng phức, đặc biệt là với sự mở rộng của tường và cửa sổ Theo Kamke (1927), một tường ống dẫn ánh sáng là một yếu tố quan trọng, tạo ra sự tương tác giữa ánh sáng tự nhiên và không gian nội thất, từ đó ảnh hưởng đến cả tính chất vật lý và cảm nhận của con người trong không gian đó.
Trong cuốn Cours D'Analyse, Cauchy (1821) đã nghiên cứu ba phương trình hàm khác nhau: \( f(x + y) = f(x)f(y) \), \( f(xy) = f(x) + f(y) \), và \( f(xy) = f(x)f(y) \) Ông cũng đưa ra phương trình cơ bản \( f(x + y) = f(x) + f(y) \) với mọi \( x, y \in \mathbb{R} \) Trong các phần tiếp theo, chúng ta sẽ giải quyết ba phương trình hàm Cauchy này Nghiên cứu sẽ giúp xác định được tính chất của phương trình hàm dựa trên các hàm cơ bản Cuối cùng, chúng ta sẽ sử dụng những kết quả này để thu được nghiệm tổng quát cho mỗi phương trình hàm đã nêu.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét phương trình hàm (1.12), được gọi là phương trình hàm Cauchy Chúng ta sẽ xác định nghiệm của hàm số Cauchy (1.12) trong bối cảnh các điều kiện chính quy như tính liên tục, tính chẵn hay tính khả vi của hàm f Đặc biệt, nếu hàm số f: R → R thỏa mãn f(x + y) = f(x)f(y) với mọi x, y, thì nghiệm của phương trình (1.12) có thể được biểu diễn dưới dạng f(x) = e^(A(x)) và f(x) = 0 ∀x ∈ R, trong đó A: R → R là một hàm có tính chất liên tục.
Chựng minh Dạ thĐy f (x) = 0 vợi mồi x ∈ R l nghiằm cừa (1.12).
Ta x²t f (x) khổng ỗng nhĐt bơng 0 Ta s³ chựng minh rơng f (x) 6=
0 ∀x ∈ R GiÊ sỷ iãu ngữủc lÔi tỗn tÔi số y 0 sao cho f (y 0 ) = 0 Tứ (1.12) ta câ f (y) = f ((y − y 0 ) + y 0 )
= f (y − y 0 )f (y 0 ) = 0 vợi mồi y ∈ R iãu n y mƠu thuăn vợi giÊ thiát l f (x) khổng ỗng nhĐt bơng 0 Do õ f (x) 6= 0 ∀x ∈ R.
2 = y trong (1.12) ta th§y f (t) = f t 2 2 vợi mồi t ∈ R Vêy f (x) > 0 vợi mồi x ∈ R LĐy loga cỡ số e hai vá cừa (1.12) ta ữủc ln f (x + y) = ln f (x) + ln f (y).
X²t Ănh xÔ A : R → R vợi A(x) = ln f (x) ta ữủc
Ta cõ hằ quÊ sau l kát quÊ hiºn nhiản cừa ành lỵ trản.
Hằ quÊ 1.1 Náu h m số f : R → R thọa mÂn f (x + y) = f (x)f (y), vợi mồi x, y thẳ nghiằm tờng quĂt liản tửc cừa (1.12) ữủc cho bði f (x) = e cx v f (x) = 0 ∀x ∈ R , (1.18) vợi c l mởt hơng số tũy ỵ.
Cho một số nguyên dương n, giả sử có phương trình hàm f(x + y + nxy) = f(x)f(y) thỏa mãn với x > -1 và y > -1 Khi n → 0, phương trình này trở thành phương trình hàm Cauchy Phương trình này đã được nghiên cứu bởi Thielman vào năm 1949 Đối với mỗi nghiệm f của phương trình hàm f(x + y + nxy) = f(x)f(y), với mọi x, y > -1, có thể có hai dạng f(x) = 0 hoặc f(x) = e^(A(ln(1+nx))) với A: R → R là hàm liên tục.
Chựng minh Ta cõ phữỡng trẳnh h m (1.19) tữỡng ữỡng vợi f
= f (x)f (y) (1.21) °t 1 + nx = e u v 1 + ny = e v Suy ra u = ln(1 + nx) v v = ln(1 + ny) Viát lÔi (1.21) ta ữủc f e u+v − 1 n
Trong phương trình (1.23), chúng ta có φ(u + v) = φ(u)φ(v) với mọi u, v ∈ R Theo hình lý 1.10, ta có φ(x) = e^A(x) hoặc φ(x) = 0 ∀x ∈ R, với A: R → R là hàm liên tục Từ (1.23) và (1.25), chúng ta thu được f(x) = 0 hoặc f(x) = e^A(ln(1+nx)), với A: R → R là hàm liên tục.
Tứ õ ta cõ hằ quÊ sau.
Hằ quÊ 1.2 Mồi nghiằm liản tửc f cừa phữỡng trẳnh h m (1.19) vợi mồi số thỹc x > − 1 n v mồi y > − 1 n câ d¤ng l f (x) = 0 ho°c f (x) = (1 + nx) k , (1.26) trong õ k l mởt hơng số tũy ỵ.
Phữỡng trẳnh h m Cauchy Logarit
Bài viết này thảo luận về phương trình Cauchy và các đặc điểm của nó Cụ thể, phương trình (1.13) được xem như một dạng đặc biệt của phương trình Cauchy logarit Nếu xét phương trình (1.13), ta có thể thấy rằng với mọi x, y thuộc R \ {0}, phương trình f(xy) = f(x) + f(y) dẫn đến sự tồn tại của một hàm f(x) = A(ln|x|) cho mọi x thuộc R \ {0}, trong đó A là một hằng số thực.
Chựng minh Ưu tiản ta thay x = t v y = t v o phữỡng trẳnh (1.13) ta ữủc f (t 2 ) = 2f (t).
T÷ìng tü thay x = −t v y = −t v o (1.13) ta câ f (t 2 ) = 2f (−t).
Tiáp theo giÊ sỷ phữỡng trẳnh h m (1.13) úng vợi mồi x > 0 v y > 0 X²t x = e s v y = e t (1.29) suy ra s = ln x v t = ln y (1.30)
Chú ỵ s, t ∈ R do x, y ∈ R + trong õ R + = {x ∈ R |x > 0} Tứ (1.29) v (1.13) ta câ f (e s+t ) = f (e s ) + f (e t ). °t
Sỷ dửng phữỡng trẳnh cuối cũng ta cõ
A(s + t) = A(s) + A(t) vợi mồi s, t ∈ R Tứ (1.31) ta cõ f (x) = A(ln x) ∀x ∈ R + (1.32)
Do f (t) = f (−t) nản nghiằm tờng quĂt cừa (1.13) l f (x) = A(ln |x|) ∀x ∈ R \ {0}.
Theo ành lỵ trản ta cõ cĂc hằ quÊ sau.
Hằ quÊ 1.3 Nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh h m f (xy) = f (x) + f (y) vợi mồi x, y ∈ R + l f (x) = A(ln x), (1.33) vợi A : R → R l mởt h m cởng tẵnh.
Hằ quÊ 1.4 Nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh h m f (xy) = f (x) + f (y) vợi mồi x, y ∈ R l f (x) = 0 ∀x ∈ R (1.34)
Hằ quÊ 1.5 Nghiằm liản tửc tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh h m f (xy) = f (x) + f (y) vợi mồi x, y ∈ R \ {0} ữủc cho bði f (x) = c ln |x| ∀x ∈ R \ {0}, (1.35) vợi c l mởt hơng số thỹc tũy ỵ.
Phữỡng trẳnh h m Cauchy nhƠn tẵnh
Phương trình Cauchy cuối cùng (1.14) là một phương trình phức tạp, bao gồm ba phương trình được xác định trong chữ n y Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần sử dụng khái niệm hàm dấu hiệu, trong đó hàm dấu hiệu được định nghĩa như sau: sgn(x).
Phương trình hàm Cauchy được định nghĩa qua phương trình hàm nhân tính, trong đó một hàm số f được gọi là nhân tính khi thỏa mãn điều kiện f(xy) = f(x)f(y) với mọi x, y Nếu một hàm số liên tục f là nhân tính, thì nó sẽ có dạng tuyến tính Các trường hợp cụ thể của phương trình hàm nhân tính bao gồm: f(x) = 0, f(x) = 1, f(x) = e^{A(ln|x|)} |sgn(x)|, và f(x) = e^{A(ln|x|)} sgn(x), với A: R → R là một hàm liên tục.
Chựng minh Thay x = 0 = y v o phữỡng trẳnh (1.14) ta thu ữủc f (0)[1 − f (0)] = 0 khi õ cõ hai khÊ nông xÊy ra f (0) = 0 ho°c f (0) = 1 (1.41)
Tữỡng tỹ thay x = 1 = y trong phữỡng trẳnh (1.14) ta cõ f (1)[1−f (1)] =
0 khi õ cõ hai khÊ nông xÊy ra f (1) = 0 ho°c f (1) = 1 (1.42) X²t x > 0 Khi õ tứ phữỡng trẳnh (1.14) ta cõ f (x) = f ( √ x) 2 ≥ 0 (1.43)
GiÊ sỷ tỗn tÔi mởt x 0 ∈ R , x 0 6= 0 sao cho f (x 0 ) = 0 Cho x ∈ R l mởt số thỹc tũy ỵ Khi õ tứ (1.14) ta cõ f (x) = f x 0 x x 0
= 0 vợi mồi x ∈ R v ta thu ữủc nghiằm (1.37).
Tứ Ơy ta giÊ sỷ rơng f (x) 6= 0 vợi mồi x ∈ R \ {0}
Tứ (1.41) ta cõ ho°c f (0) = 0 ho°c f (0) = 1 Náu f (0) = 1 thay y = 0 trong phữỡng trẳnh (1.14) ta thu ữủc f (0) = f (x)f (0) v do â f (x) = 1 vợi mồi x ∈ R
Vêy ta cõ nghiằm xĂc ành (1.38).
Trong trường hợp hàm số f(x) có giá trị f(0) = 0, ta có thể kết luận rằng f(x) khác 0 với mọi x thuộc R \ {0} Nếu y 0 thuộc R \ {0} và f(y 0) = 0, thì khi thay y = y 0 vào phương trình (1.14), ta sẽ có f(xy 0) = f(x)f(y 0) = 0, dẫn đến f(x) = 0 với mọi x thuộc R \ {0} Do đó, hàm số f không thể đồng thời bằng 0 nếu f(x) khác 0 với mọi x thuộc R \ {0} Từ đó, ta có thể khẳng định rằng f(x) > 0 khi x > 0.
Ta x²t x = e s v y = e t (1.45) hay s = ln x v t = ln y (1.46) Chú ỵ rơng s, t ∈ R do õ x, y ∈ R + Thay (1.45) v o (1.14) ta thu ữủc f (e (s+t) = f (e s )f (e t ).
Do õ f (t) > 0 vợi mồi t > 0 lĐy loga cỡ số e hai vá cừa phữỡng trẳnh n y ta ữủc
A(s) = ln f (e s ) ∀s ∈ R (1.47) Vẳ vêy A l mởt h m cởng tẵnh Tứ (1.47) v (1.46) ta cõ f (x) = e A(ln|x|) ∀x ∈ R + (1.48)
Tứ (1.42) ta thĐy rơng ho°c f (1) = 0 ho°c f (1) = 1 Náu f (1) = 0 thay y = 1 v o (1.14) ta nhên ữủc f (x) = 0 ∀x ∈ R \ {0}.
TrĂi lÔi giÊ thiát f l h m ỗng nhĐt khổng trản R \ {0} do õ f (1) = 1 Cho x = −1 = y trong phữỡng trẳnh (1.14) ta ữủc f (1) = f (−1) 2 suy ra f (−1) = 1 ho°c f (−1) = −1 (1.49) Náu f (−1) = 1 ta thay y = −1 v o (1.14) ữủc f (−x) = f (x)f (−1) = f (x) vợi mồi x ∈ R \ {0}.
Vêy (1.48) thu ữủc f (x) = e A(ln|x|) vợi mồi x ∈ R \ {0}.
Vẳ f (0) = 0 nản ta cõ f (x) = e A(ln|x|) náu x ∈ R \ {0};
Ta chựng minh ữủc kh¯ng ành (1.49) Náu f (−1) = −1 khi õ thay y = −1 v o (1.14) ta câ f (−x) = f (x)f (−1) = −f (x) vợi mồi x ∈ R \ {0} Do õ tứ (1.48) ta ữủc f (x) = e A(ln|x|) náu x > 0
−e A(ln|x|) náu x < 0 vợi mồi x ∈ R \ {0} cũng vợi f (0) = 0 ta cõ f (x) =
Ta chựng minh ữủc kh¯ng ành (1.40).
Tứ ành lỵ trản ta cõ hằ quÊ sau.
Hằ quÊ 1.6 Nghiằm tờng quĂt liản tửc cừa phữỡng trẳnh h m f (xy) = f (x)f (y) , vợi mồi x, y ∈ R cho bði f (x) = 0, (1.50) f (x) = 1, (1.51) f (x) = |x| α , (1.52) v f (x) = |x| α sgn(x), (1.53) trong õ a l mởt hơng số dữỡng tũy ỵ.
Chựng minh Tứ ành lỵ 1.14 ta cõ ho°c f = 0 , ho°c f = 1 , ho°c f cõ dÔng (1.39) ho°c (1.40) vợi A : R → R l h m cởng tẵnh Vẳ f liản tửc
A cụng l h m liản tửc trản R do õ
A(t) = αt, trong õ α ∈ R l mởt hơng số tũy ỵ Vẳ vêy tứ (1.39) v (1.40) ta cõ f (x) = |x| α v f (x) = |x| α sgn(x).
Khi α > 0, ta có f(x) = 1 với x ≠ 0 và f(0) = 1 Điều này dẫn đến f = 1, và trong trường hợp này, không có sự thay đổi nào trong (1.51) Nếu α = 0, f(x) = 1 khi x > 0 và f(x) = -1 khi x < 0, cho thấy f không liên tục Nếu α < 0, f phải thỏa mãn các điều kiện trong (1.52) và (1.53), dẫn đến lim x→0+ f(x) = ∞, nghĩa là f không liên tục tại 0 Định nghĩa 1.6 mô tả hàm f: R → R được gọi là hàm nhân tính nếu thỏa mãn f(xy) = f(x)f(y) cho mọi x, y ∈ R.
Phữỡng trẳnh Cauchy nhiãu bián
Phữỡng trẳnh Cauchy cởng tẵnh nhiãu bián
Có thể chứng minh tính chất của hàm f: R^n → R thông qua phương trình f(x_1 + y_1, x_2 + y_2, , x_n + y_n) = f(x_1, x_2, , x_n) + f(y_1, y_2, , y_n), với (x_1, x_2, , x_n) ∈ R^n và (y_1, y_2, , y_n) ∈ R^n Đặc biệt, khi n = 2, ta có thể xác định hàm f thỏa mãn phương trình f(x_1 + y_1, x_2 + y_2) = f(x_1, x_2) + f(y_1, y_2) (FE) cho mọi x_1, x_2, y_1, y_2 ∈ R Kết quả cho thấy rằng hàm f: R^2 → R có thể được biểu diễn dưới dạng f(x_1, x_2) = A_1(x_1) + A_2(x_2), với A_1, A_2: R → R là các hàm liên tục.
Chùng minh Cho x 2 = y 2 = 0 thay v o (FE) ta câ f (x 1 + y 1 , 0) = f (x 1 , 0) + f (y 1 , 0) (1.55) X²t h m sè A 1 : R → R x¡c ành bði
T÷ìng tü cho x 1 = y 1 = 0 trong (FE) ta câ f (0, x 2 + y 2 ) = f (0, x 2 ) + f (0, y 2 ).
A 2 (x 2 + y 2 ) = A 2 (x 2 ) + A 2 (y 2 ), vẳ vêy A 2 : R → R l mởt h m cởng tẵnh Tiáp theo ta thay thá v o (FE) y 1 = 0 = x 2 ta ữủc f (x 1 , y 2 ) = f (x 1 , 0) + f (0, y 2 )
Đối với hàm f(x, y) = A1(x) + A2(y), khi x, y ∈ R, với A1, A2: R → R là hai hàm số khả vi, có thể biểu diễn hàm số hai biến này dưới dạng hàm số một biến Hình 1.15 minh họa cách mà hàm số hai biến có thể được biểu diễn thông qua hai hàm số một biến.
Hàm f(x, y) = A1(x) + A2(y) là một hàm số từ R² đến R, trong đó A1 và A2 là các hàm số từ R đến R Nếu hàm f: R² → R có dạng tổng của hai hàm số A1 và A2, thì nó được coi là hàm khả vi trên R² Điều này có thể suy ra từ các định nghĩa và tính chất của hàm số Hơn nữa, nếu f: R² → R là một hàm số tuyến tính, thì tồn tại các hằng số c1 và c2 sao cho f(x1, x2) = c1x1 + c2x2 cho mọi x1, x2 ∈ R.
Kát quÊ n y cõ thº trð nản mÔnh hỡn bơng cĂch thay iãu kiằn yáu hỡn vã tẵnh liản tửc cừa f : R 2 → R.
Bờ ã 1.1 Náu mởt h m cởng tẵnh f : R 2 → R liản tửc ối vợi mội bián thẳ nõ liản tửc.
Chựng minh Vẳ h m số f : R 2 → R cởng tẵnh theo ành lỵ 1.16 ta cõ f (x, y) = A 1 (x) + A 2 (y) vợi mồi x, y ∈ R Vẳ f liản tửc vợi mội bián nản ta thĐy rơng A 1 v A 2 liản tửc do õ x→x lim 0
= A 1 (x 0 ) + A 2 (y 0 ) = f (x 0 , y 0 ). iãu n y ch¿ ra rơng f liản tửc. ành lỵ 1.18 Náu f : R 2 → R l mởt h m số cởng tẵnh trản R 2 v liản tửc theo mội bián thẳ tỗn tÔi cĂc hơng số c 1 , c 2 sao cho f (x 1 , x 2 ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 (1.60) vợi mồi x 1 , x 2 ∈ R
Chựng minh Chựng minh suy ra tứ ành lỵ 1.17 v Bờ ã 1.1 ành lỵ 1.15 cụng úng án n bĐt kẳ nghắa l náu f : R n → R thọa m¢n f (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , , x n + y n ) = f (x 1 , x 2 , , x n ) + f (y 1 , y 2 , , y n ) vợi mồi (x 1 , x 2 , , x n ), (y 1 , y 2 , , y n ) trản R n thẳ f (x 1 , x 2 , , x n ) = n
Ta cố ành a ∈ R v f : R 2 → R l h m số cởng tẵnh khi õ ta cõ f (x, y) = f (x, y) + 2f (a, a) − 2f (a, a)
Tiáp theo ta chựng minh rơng A 1 , A 2 l cĂc h m cởng tẵnh trản R x²t
Vẳ vêy A 1 l h m số cởng tẵnh tữỡng tỹ ta cõ
A 2 (x + y) = A 2 (x) + A 2 (y), hay A 2 l h m số cởng tẵnh vêy ta cõ f (x, y) = A 1 (x) + A 2 (y),vợi A 1 v A 2 l cĂc h m số cởng tẵnh.
Phữỡng trẳnh h m Cauchy nhƠn tẵnh nhiãu bián 27 1.2.3 Hai phữỡng trẳnh h m Cauchy nhiãu bián khĂc 28 1.3 Mð rởng cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy
Hàm số f(xy) = f(x)f(y) với x, y ∈ R cho thấy tính chất tường quát của hàm f Khi mở rộng cho n biến, ta có f(x₁y₁, x₂y₂, , xₙyₙ) = f(x₁, x₂, , xₙ)f(y₁, y₂, , yₙ) với (x₁, x₂, , xₙ) ∈ Rⁿ và (y₁, y₂, , yₙ) ∈ Rⁿ Để nghiên cứu tính chất tường quát của phương trình hàm n biến, ta xem xét trường hợp f(x₁, y₁, x₂, y₂) = f(x₁, x₂)f(y₁, y₂) cho mọi x₁, x₂, y₁, y₂ ∈ R Đặc biệt, hàm f: R² → R có thể được biểu diễn dưới dạng f(x₁, x₂) = M₁(x₁)M₂(x₂), với M₁, M₂: R → R là các hàm số liên tục.
Chùng minh Cè ành ph¦n tû a ∈ R v f : R 2 → R l h m sè nh¥n tẵnh vợi f (a, a) 6= 0 khi õ ta cõ f (x, y) = f (x, y)f (a, a)f (a, a) −2
Tiáp theo ta s³ chựng minh M 1 , M 2 l cĂc h m số nhƠn tẵnh trản R x²t
Vẳ vêy M 1 nhƠn tẵnh Tữỡng tỹ ta ch¿ ra ữủc rơng
M 2 (xy) = M 2 (x)M 2 (y) cho thấy M 2 là hàm số nhân tẵnh Khi đó, f (x, y) = M 1 (x)M 2 (y) với M 1 và M 2 là các hàm số nhân tẵnh Hình ảnh này chỉ ra rằng hàm số có thể viết dưới dạng dữ liệu dòng tách biệt của hai hàm số nhân tẵnh một biến Cũng có thể áp dụng với bất kỳ kẻ nghẽn nào là f: R^n → R, thỏa mãn f (x₁y₁, x₂y₂, , xₙyₙ) = f (x₁, x₂, , xₙ)f (y₁, y₂, , yₙ) với mỗi (x₁, x₂, , xₙ), (y₁, y₂, , yₙ) trong R^n, thỏa mãn f (x₁, x₂, , xₙ) = n.
1.2.3 Hai phữỡng trẳnh h m Cauchy nhiãu bián khĂc
Trong mũc này, chúng ta xem xét hai đồng khắp của phương trình hàm Cauchy nhiều biến Theo hình lệnh 1.15 và hình lệnh 1.19, chúng ta có thể xây dựng các kết quả như hình lệnh 1.20 Nghiệm tường quát f: R² → R của phương trình hàm f(x₁ + y₁, x₂ + y₂) = f(x₁, x₂)f(y₁, y₂) (FE₂) được xác định bởi f(x₁, x₂) = E₁(x₁)E₂(x₂), với E₁, E₂: R → R là các hàm số mũ.
Trong trữớng hủp tờng quĂt cĂc h m mụ f : R n → R cõ thº viát th nh f (x 1 , x 2 , , x n ) = n
E k (x k ) và E k : R → R (k = 1, 2, n) là các hàm số mũ Đặt R 0 = {x ∈ R | x ≠ 0} Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá mối liên hệ giữa hai hàm logarit hai biến trên R 2 0, từ đó có thể viết thành tường của hai hàm logarit một biến Nghiệm tường quát f : R 2 0 → R của phương trình hàm f (x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ) = f (x 1 , x 2 ) + f (y 1 , y 2 ) (F E3) có thể được xác định với bậc f (x 1 , x 2 ) = L 1 (x 1 ) + L 2 (x 2 ) (1.63), trong đó L 1 , L 2 : R 0 → R là các hàm logarit.
Tờng quĂt, mồi h m logarit f : R n 0 → R ãu cõ thº viát dữợi dÔng f (x 1 , x 2 x n ) = n
1.3 Mð rởng cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy
Têp tĐt cÊ cĂc giĂ trà cừa cĂc bián thọa mÂn phữỡng trẳnh h m ữủc gồi l miãn xĂc ành cừa phữỡng trẳnh h m Ch¯ng hÔn miãn cừa phữỡng trẳnh h m f (x + y) = f (x) + f (y) ∀x, y ∈ (0, ∞) (1.64) l R 2 + Mởt h m thọa mÂn phữỡng trẳnh h m trản miãn xĂc ành cho trữợc ữủc gồi l mởt nghiằm trản miãn õ Trong mửc n y chúng ta ch¿ x²t nhỳng b i toĂn vã mð rởng miãn xĂc ành cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy cởng tẵnh tứ mởt miãn xĂc ành nhọ "lản" mởt miãn xĂc ành rởng hỡn chựa miãn nhọ õ Ba phữỡng trẳnh h m Cauchy khĂc cụng cõ thº ữủc mð rởng tữỡng tỹ.
Cho [a, b] là một khoảng trên R và f: [a, b] → R là một hàm cộng tính trên [a, b] thỏa mãn f(x+y) = f(x) + f(y) với mọi x, y, x+y ∈ [a, b] Câu hỏi đặt ra là tồn tại hay không hàm cộng tính A: R → R sao cho A(x) = f(x) với mọi x ∈ [a, b] (nghĩa là A|[a,b] = f)? Vấn đề này đã được chứng minh bởi Aczel và Erdős (1965) Thêm vào đó, nếu α ≥ 0 và f: [α, ∞) → R là một hàm cộng tính trên [α, ∞), thì có tồn tại hàm cộng tính A: R → R thỏa mãn điều kiện tương tự.
Chựng minh Cho h m A : R → R ữủc xĂc ành bði
A(x − y) = f (x) − f (y) (1.65) vợi mồi x ∈ [α, ∞) BƠy giớ ta s³ chựng minh rơng
(b) A l mởt Ănh xÔ mð rởng cừa h m cởng tẵnh f ; (c) A l mởt h m cởng tẵnh trản R.
Trữợc tiản ta chựng minh A : R → R l ho n to n xĂc ành Thêt vêy x²t x, u, y, v ∈ [α, ∞) v gi£ sû x − u = y − v (1.66)
Vẳ vêy A l ho n toĂn xĂc ành.
Tiáp theo ta chựng minh rơng A l mởt mð rởng cừa f Vợi bĐt ký t ∈ [α, ∞) tỗn tÔi x, y ∈ [α, ∞) thọa mÂn t = x − y.
Cuối cũng ta chựng minh rơng a l cởng tẵnh trản têp cĂc số thỹc R Thêt vêy vợi bĐt ký s, t ∈ R tỗn tÔi x, y, u, v ∈ [α, ∞) sao cho s = x − y t = u − v.
Chú ỵ rơng u + x, y + v ∈ [α, ∞) nản s + t = (x + u) − (y + v) cụng vêy do â
= A(s) + A(t) vợi mồi s, t ∈ R. ành lỵ n y ch¿ ra rơng nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh h mCauchy f (x + y) = f (x) + f (y) vợi mồi x, y ∈ [α, ∞) cụng giống phữỡng trẳnh h m Cauchy vợi mồi x, y ∈ R
Nhên x²t 1.1 Chú ỵ rơng miãn [α, ∞) l khổng bà ch°n v vẳ vêy náu x, y ∈ [α, ∞) thẳ x + y ∈ [α, ∞).
Tuy nhiên, với x, y ∈ [a, b], nếu x + y thuộc [a, b], thì chúng ta có thể chứng minh rằng hàm f: [0, 1] → R thỏa mãn điều kiện f(x + y) = f(x) + f(y) với mọi x, y sao cho x + y ∈ [0, 1] Kết quả này được chứng minh bởi Daroczy và Losonczi (1976), cho thấy rằng tồn tại một hàm cường độ A: R → R.
Chựng minh Cho x ∈ R bĐt ký Khi õ x cõ thº ữủc biºu diạn nhữ sau x = n
Ró r ng A l xĂc ành Vẳ vêy ta ch¿ cƯn chựng minh rơng (i) A(x) = f (x), ∀x ∈ [0, 1] ;
(ii) A l cởng tẵnh trong R. º chựng minh (i) ta cƯn x²t 3 trữớng hủp: (1) x ∈ [0, 1
2 ) thẳ n = 0 v x = x 0 vẳ vêy A(x) = A(x 0 ) = f (x 0 ) = f (x) vợi mồi x ∈ [0, 1
Trữớng hủp 3 GiÊ sỷ x = 1 thẳ n = 2 v x 0 = 0
Do õ ta chựng minh ữủc
A(x) = f(x) với x ∈ [0, 1] là một hàm số liên tục của f Tiếp theo, ta chứng minh rằng A: R → R là hàm số liên tục trên R Cho s và t là hai số thực bất kỳ, ta có thể biểu diễn chúng dưới dạng s = m.
2 ) B¥y gií ta ph£i x²t hai tr÷íng hủp phử thuởc trong õ tờng s 0 + t 0 l
Trữớng hủp 1 GiÊ sỷ s 0 + t 0 thuởc [0, 1
Trữớng hủp 2 GiÊ sỷ s 0 + t 0 thuởc [ 1
Mởt số ựng dửng cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy 37 2.1 Tờng cĂc lụy thứa cừa số nguyản
Tờng cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản
(2.2) vợi mồi m, n ∈ N X²t h m số g 1 : N → R xĂc ành bði g 1 (x) = f 1 (x) − 1
2 x 2 vợi x ∈ N (2.3) Khi õ, tứ (2.2) ta cõ g 1 (m + n) = g 1 (m) + g 1 (n), vợi m, n ∈ N (2.4)
Nghiằm cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy cởng tẵnh (2.4) trản N ữủc cho bði g 1 (n) = cn, (2.5) trong õ c l mởt hơng số Tứ (2.5) v (2.3) ta cõ f 1 (n) = cn + 1
Tờng bẳnh phữỡng cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản
= f 2 (m) + f 2 (n) + mn 2 + m 2 n + mn (2.7) vợi mồi m, n ∈ N ành nghắa g 2 : N → R bði g 2 (n) = f 2 (n) − n 2
Tứ phữỡng trẳnh (2.7) ta cõ g 2 (m + n) = g 2 (m) + g 2 (n) vợi mồi m, n ∈ N Suy ra g 2 (n) = cn hay f 2 (n) = cn + n 2
Kát hủp vợi iãu kiằn f 2 (1) = 1 ta cõ
6 Suy ra ta cõ tờng cƯn tẳm l f 2 (n) = n
Tờng lụy thứa k cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản
Ta thu ữủc cổng thực truy hỗi (2.9) Ta s³ x²t mởt v i trữớng hủp cử thº ối vợi k Chú ỵ rơng f k (1) = 1 vợi mồi k ∈ N v f 0 (m) = m (A) Tứ cổng thực (2.9), x²t n = 1 Ta cõ f k (m + 1) − f k (m) − f k (1) = k
(B) Trữớng hủp tờng quĂt Vá phÊi cừa (2.9) l ối xựng vợi tữỡng ựng cừa m v n Do õ ta thu ữủc k
Thay thá vợi m = 1 v sỷ dửng f k (1) = 1 ta cõ k
Sỷ dửng f 0 (n) = n ta cõ thº xĂc ành ữủc f k n Ch¯ng hÔn vợi k = 2 trong (2.10) ta cõ f 1 (n) = n 2 + 2n − f 0 (n)
Tờng lụy thứa cừa cĂc số trong dÂy cĐp số cởng
Vợi số nguyản dữỡng n, k ∈ N v h ∈ R ành nghắa s k (n, h) = 1 k + (1 + h) k + + (1 + (n − 1)h) k ), (2.11) tờng cừa cĂc số tỹ nhiản bêc k trong cĐp số cởng.
Giống nhữ trữợc õ ta lĐy mởt quan hằ truy toĂn s k (m + n; h) = 1 k + (1 + h) k + ã ã ã + (1 + (n − 1)h) k
C k i s k−i (m; h)(nh) i ; nghắa l s k (n, h) thọa mÂn phữỡng trẳnh h m s k (m + 1; h) − s k (n; h) + s k (m; h) + k
Chú ỵ rơng s 0 (n, h) = n, s k (1, h) = 1 ta xĂc ành s 1 (n, h) v s 2 (n, h) Ưu tiản cho n = 1 trong (2.12) ta thu ữủc s k (m + 1; h) − s k (m; h) = s k (1; h) + k
X C k i s k−i (m; h)(h) i (2.13) vợi m = 1, 2, , h ∈ R , k ∈ N Tữỡng tỹ k = 2 trong (2.13) cho m 2 h 2 + 2mh = 2s 1 (m; h)h + s 0 (m; h)h 2 ; do â s 1 (m; h) =
2 m 2 Cho k = 3 trong (2.13) ta câ m 3 h 3 + 3m 2 h 2 + 3mh = 3s 2 (m; h)h + 3s 1 (m; h)h 2 + s 0 (m; h)h 3 ; do â s 2 (m; h) =
Số c°p cõ thº rút ra tứ n phƯn tỷ
Cho f 2 (n) l kẵ hiằu số c°p cõ thº rút ra tứ n phƯn tỷ X²t hai têp vợi n v m tữỡng ựng.
Khi õ số c°p cõ thº rút ra m + n phƯn tỷ bơng số c°p trong têp A cởng vợi số c°p trong têp B cởng vợi mởt iºm tứ mội têp Do õ ta cõ f 2 (m + n) = f 2 (m) + f 2 (n) + mn.
Náu f 3 (n) là số bở 3 có thể rút ra từ n phần tỷ, khi chúng ta chứng minh rõ f 3 (n) = C n 3 Hiện tại, chúng ta sẽ xem xét hai tập với n và một tường ứng f 3 (m + n), là số bở ba của tập A, cùng với số bở ba của tập B, tương ứng với một số hằng khác của số bở ba Theo đó, tỷ lệ của mỗi tập sẽ được thể hiện qua f 3 (m + n) = f 3 (m) + f 3 (n) + mf 2 (n) + nf 2 (m).
2 (mn 2 + nm 2 ) − mn. ành nghắa g 3 : N → R bði g 3 (n) = f 3 (n) − n 3
Têng cõa chuéi húu h¤n
3 vợi n ∈ N v f : N → R Do õ f l cởng tẵnh v f (n) = cn Vêy
(ii) Cho t(n) = 1.3 + 2.5 + + n(n + 2) vợi n ∈ N , (2.16) trong õ t : N → N Chú ỵ rơng t(1) = 3 BƠy giớ t(m + n) = t(n) + t(m) + mn 2 + nm 2 + 3nm vợi m, n ∈ N ành nghắa f : N → R bði f (n) = t(n) − 1
2 n 2 vợi n ∈ N Quan hằ truy toĂn trản trð th nh f (m + n) = f (m) + f (n) vợi m, n ∈ N õ l f l cởng tẵnh v f (n) = cn vợi n ∈ N Do t(1) = 3 ta cõ t(n) = n(n + 1)(2n + 1)
(iii) Tờng cừa tẵch hộn tÔp. s(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2), vợi n ∈ N , (2.18)
Vợi s : N → N chú ỵ rơng s(1) = 6 X²t m, n ≥ 2 ta cõ s(n + m − 1) = s(n − 1) + n(n + 1)(n + 2) + {(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Nhữ ành nghắa trữợc f : N → R xĂc ành nhữ sau f (n) = s(n − 1) − n 4
Cho f (m+n) = f (m)+f (n) (cởng tẵnh) v f (n) = cn Sỷ dửng s(1) = 6 , ta câ s(n − 1) = 1
Phương trình hàm là một chủ đề quan trọng trong các khía cạnh của Toán học Tuy nhiên, với phạm vi của luận văn Thạc sĩ chuyên ngành phương pháp Toán, nội dung chính sẽ tập trung vào "Phương trình hàm Cauchy và ứng dụng" Luận văn sẽ đề cập đến những nội dung sau:
Bài viết này trình bày các khía cạnh của phương trình hàm Cauchy, bao gồm phương trình hàm Cauchy cơ bản, phương trình hàm Cauchy mức, phương trình hàm Cauchy logarit, phương trình hàm Cauchy nhân tính, phương trình hàm Cauchy nhiều biến và mở rộng của phương trình hàm Cauchy.
Trình bày về phương trình hàm Cauchy, bài viết khám phá mối liên hệ giữa các hàm số thực và số phức, đồng thời xác định tính chất của chúng trong không gian tuyến tính Nghiên cứu này không chỉ làm rõ các điều kiện cần thiết để tồn tại nghiệm mà còn phân tích các dạng phương trình hàm Cauchy với nhiều biến khác nhau.
Trình bày về ứng dụng của phương trình Hamilton trong tính toán lượng tử của số nguyên (tương ứng với n số thực ngẫu nhiên, tương ứng với phương trình của n số thực ngẫu nhiên, và tính toán lượng tử của k với n số thực ngẫu nhiên) cũng như tính toán lượng tử của các số trong dãy cấp số cộng, nhằm rút ra từ phân tỷ, lý luận của một tập hợp và tương ứng với chuỗi hữu hạn.