Luận văn về phương trình hàm cauchy và ứng dụng

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o ận vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n Ѵ— ΡҺ×ὶПǤ TГœПҺ Һ€M ເAUເҺƔ Ѵ€ ὺПǤ DƯПǤ TҺ•I ПǤUƔ–П, 5/2017 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ ПǤUƔ™П TҺÀ MŠП Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 „I HÅC TH•I NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o ПǤUƔ™П TҺÀ MŠП n v n uả : ữ Ă T0Ă s Đ M số: 60 46 01 13 LU T S T0ã Iã0 I ìẻ D TS T U QUị TãI U, 5/2017 L lu un n v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ Ѵ— ΡҺ×ὶПǤ TГœПҺ Һ€M ເAUເҺƔ Ѵ€ ὺПǤ DƯПǤ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 „I HÅC TH•I NGUY–N Mử lử M Ưu ữ ữ ẳ m ເauເҺɣ ận ເҺ÷ὶпǥ Mëƚ sè ὺпǥ dưпǥ ừa ữ ẳ m au 37 2.1 Tờ Ă lơɣ ƚҺøa ເõa sè пǥuɣ¶п 37 2.1.1 Tờ ừa số ỹ iả Ưu iả 38 2.1.2 Tờ ẳ ữ ừa số ỹ iả Ưu iả 39 2.1.3 Tờ lụ ứa k ừa số ỹ iả Ưu iả 39 2.2 Tờ lụ ứa ừa Ă số d Рsố ເëпǥ 42 2.3 Sè ເ°ρ ເâ ƚҺº гόƚ гa ƚø п ρҺ¦п ƚû 43 2.4 Tờ ừa uội u Ô 44 Ká luê 47 T i liằu am kÊ0 48 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs 1.1 ữ ẳ m au mở iá 1.1.1 à ữ ẳ m au ẵ 1.1.2 ữ ẳ m ẵ ả kổ ia 11 1.1.3 ữ ẳ m au mụ 14 1.1.4 ữ ẳ m au L0ai 17 1.1.5 ữ ẳ m au Ơ ẵ 18 1.2 ữ ẳ au iÃu iá 23 1.2.1 ữ ẳ au ẵ iÃu iá 23 1.2.2 ữ ẳ m au Ơ ẵ iÃu iá 27 1.2.3 ữ ẳ m ເauເҺɣ пҺi·u ьi¸п k̟Һ¡ເ 28 1.3 Mð гëпǥ ເõa ữ ẳ m au .29 1.4 Mở sè ь i ƚ0¡п ¡ρ döпǥ 35 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Mð ¦u ận L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ữ ẳ m l mở Ă ừa 0Ă iằ Ôi, ứ ôm 1747 1750 ƚ0¡п Һåເ J D'Alemьeгƚ ¢ ເỉпǥ ьè ь i Ă0 liả qua à ữ ẳ m, Ơ ữủ em l Ă ká quÊ Ưu iả à ữ ẳ m M d ữ ẳ m  ữủ iả u ả 260 ôm, ữ õ ỹ sỹ ữủ iả u mÔ Ă lắ ỹ lỵ uá ὺпǥ dưпǥ ເõa ƚ0¡п Һåເ ເҺ¿ k̟Һ0£пǥ 100 п«m ƚгð lÔi Ơ Ưu k 20, ká iá õ õ qua ừa D ile lỵ uá ữ ẳ i Ơ,  l m lỵ uá ữ ẳ m ả Đ qua u ữủ iÃu ká quÊ , Ô ữ S ΡiпເҺeгle (1906, 1912); E Ρiເaгd (1928); Ǥ Һaгdɣ, J.E Liƚƚlew00d aпd Ǥ Ρ0lɣa (1934); M ǤҺeгmaпesເu (1960); J.Aເ zel (1966); ad M Kuzma (1968) Ư Ơ, ữ ẳ m ữủ Đ iÃu T0Ă ời iá ừa iợi iả u, õ õ õ lợ la0 Ê 0Ă lỵ uá 0Ă dử, Ô ữ qua Ă uố sĂ ừa A. Sak0skii ad Ǥ.Ρ.ГeljuເҺ (1974); J Aເ zel aпd Z Da г0ເzɣ (1975); J D0mes (1979) ẵ sỹ Ă i mÔ m ừa lỵ uá ữ ẳ m mĂ ká quÊ ừa õ  ữủ em iả u ối ữủ Һåເ siпҺ ƚгuпǥ Һåເ ρҺê ƚҺæпǥ TҺº Һi»п qua ເ¡ເ k̟ý ƚҺi Һåເ siпҺ ǥiäi quèເ ǥia, ເ¡ເ ь i à ữ ẳ m luổ u T qua Ơm lỹa ẳ ê, à i luê ô Ô sắ ữ Ă 0Ă s Đ s ê u lợ ữ ẳ m Ê, õ l : à ữ ẳ m au dử Luê ô ữủ ẳ ƚг0пǥ Һai ເҺ÷ὶпǥ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 n TĂi uả, 05 Ă ôm 2017 TĂ iÊ luê ô iả uạ T Mê L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ ເҺ÷ὶпǥ 1: ữ ẳ m au ữ ẳ Ă ắa, lỵ, mi à ữ ẳ m au Ă dÔ ừa õ Tẳm iằm ừa ữ ẳ m au ẵ, ữ ẳ m au Ơ ẵ, ữ ẳ m au mụ ữ ẳ m au L0ai Tẳ m ừa ữ ẳ m au ữa a mở số i 0Ă ê dử ữ ẳ m au ẵ iÊi Mëƚ sè ь i ƚ0¡п l · ƚҺi Һåເ siпҺ iọi Ă ữợ, ữủ ẵ ứ i liằu [9] ເõa ƚ¡ເ ǥi£ Tiƚu Aпdгeesເu ѵ Iuгie Ь0гeiເ0 ເҺ÷ὶпǥ 2: Mở số dử ừa ữ ẳ m au ữ ẳ dử ừa ữ ẳ m au ẵ lụ ứa ừa số uả (ờ ừa số ỹ iả Ưu iả, ẳ ữ ừa số ỹ iả Ơu iả, lụ ứa k ừa số ỹ iả Ưu iả), ẵ lụ ứa ừa Ă số d Рsố ở, ẳm số õ a ứ Ư ỷ, lỹ lữủ ừa mở ê ủ ờừa uội u Ô iằ luê ô ữợ ổi i ỷi li Êm sƠu s- ợi TS TƯ uƠ Quỵ  d i ia ữợ dă, Ă iĂ, Ê0, ê ẳ i ù quĂ ẳ Ơ dỹ à i iằ luê ô Qua Ơ ổi ụ i ỷi li Êm Ơ ợi Đ Ê Ă ƚҺ¦ɣ ເỉ, Ьaп ǥi¡m Һi»u, K̟Һ0a T0¡п - Tiп - Tữ Ôi K0a - Ôi TĂi uả  Ô0 iÃu kiằ, i ù suố quĂ ẳ kõa Tổi m0 ê ữủ sỹ õ ỵ ừa Ư, ổ Ă Ô Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s c ữ ữ ẳ cs ĩ Һ m ເauເҺɣ ận vă n f (х + ɣ) = f (х) + f (ɣ) ѵỵi måi , . iằ iả u ằ ố ữ ẳ m au ẵ  ữủ ki ữợ i A.L ເauເҺɣ ƚг0пǥ ເп s¡ເҺ ເõa ỉпǥ "ເ0uгsd d'Aпalɣse" п«m 1821 Mở ữ ẳ a0 ỗm mở m ữa iá mở iÃu Ô0 m ừa õ ữủ ồi l ữ ẳ i Ơ ẵ dử ữ f J (х) + mх = ѵ JJ J f (х) + f (х) + siп(х) = ເ¡ເ ữ ẳ ỗm ẵ Ơ ừa m số ữa iá ữủ ồi lữ ẳ ẵ Ơ Mở i ẵ dử à ữ ẳ ẵ Ơ f () = eх − ∫x f (х) = siп(х) + ∫1 eх−ƚ f (ƚ) dƚ, L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c đạ ih ọc lu ậ n vă n th iằ iả u à m ẵ õ ứ i A.M Leede l ữi Ưu iả ố - ẳm iằm ừa ữ ẳ m au Lu Lu lu ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ [1 − хເ0s(хƚ)]f (ƚ)dƚ, ѵ х ∫ [f 2() 1]d f () = ữ ẳ m l ữ ẳ õ Ă â l Ă m số ẵ dử à ữ ẳ m l f (х + ɣ) = f (х) + f (ɣ), f (х + ɣ) = f (х)f (ɣ), f (хɣ) = f (х)f (ɣ), f (хɣ) = f (х) + f (ɣ), f (х + ɣ) = f (х)ǥ(ɣ) + ǥ(х)f (ɣ), f (х + ɣ) + f (х − ɣ) = 2f (х)f (ɣ), f (х + ɣ) + f (х − ɣ) = 2f (х) + 2f (ɣ), Lu ận ǥ(f (х)) = αǥ(х), α ƒ= ѵ f (ƚ) = f (2ƚ) + f (2ƚ 1) Ôm i ừa ữ ẳ m a0 ỗm Ă ữ ẳ i Ơ, ữ ẳ sai Ơ, ữ ẳ ẵ Ơ Ă ữ ẳ m l mở lắ ỹ ừa 0Ă ả 200 ôm uời 5000 i Ă0  ữủ ổ ố lắ ỹ Tu iả ối ợi luê ô Ô sắ ổi ê u iả u à ữ ƚг¼пҺ Һ m ເauເҺɣ ѵ mëƚ sè ὺпǥ dưпǥ ເõa õ ôm 1747 1750, d'Alame  ổ ố ь i ь¡0 ƚг0пǥ â ь i ƚҺὺ пҺ§ƚ l ữ ẳ m (em Azl (1966)) ữ ẳ m ữủ iả u i d'Alame (1747), Eule (1768), 0iss0 (1804), ເauເҺɣ (1821), Daгь0uх (1875) ѵ пҺi·u пҺ ƚ0¡п Һåເ k̟Һ¡ເ Һilьeгƚ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 th cs ĩ f (х + ɣ) = f (х) + f (ɣ) + f (х)f (ɣ), f (х + ɣ) = ǥ(хɣ) + Һ(х − ɣ), f (х) − f (ɣ) = (х − ɣ)Һ(х + ɣ), f (ρг, qs)+f (ρs, qг) = 2f (ρ, q) +2f (г, s), ǥ(f (х)) = ǥ(х) + β, (1902) à uĐ sỹ ối iá ợi Đ Ã ừa ổ l lỵ m i Ơ u Đ ữ Ă mÔ iÊi ữ ẳ m, õ iÊ iá kÊ i l iÃu kiằ kổ iáu à uĐ ừa ile iÃu iả u à ữ ẳ m  em ợi Ă ữ ẳ m kĂ au kổ õ mở i ẵ Ă iÊ iá Ãu Sỹ ộ lỹ  õ Ư Ă i lỵ iằ Ôi à ữ ẳ m Lỵ uá Ă dÔ qu - 0Ă iằ Ôi ừa ữ ẳ m Ă i a õ uối ê k iÊi ữ ẳ m ắa l ẳm Đ Ê Ă m số ọa m ữ ẳ m u ữủ mở iằm, Ă m số Êi iợi Ô i mở ữ iả (ữ l iÊi ẵ, , liả ử, lỗi, kÊ i, ữủ a iằu) n v n à ữ ẳ m au ເëпǥ ƚ½пҺ lu ậ 1.1.1 ận vă n đạ ih c Ư iợi iằu à ữ ẳ m ເauເҺɣ ເëпǥ ƚ½пҺ ѵ х¡ເ àпҺ пǥҺi»m ເõa пâ ( ữủ ẵ ứ i liằu[7]) f : Г → Г ƚг0пǥ â Г l ƚªρ sè ƚҺüເ, f l m số ọa m ữ ẳ m f (х + ɣ) = f (х) + f () (1.1) ợi mồi , ữ ẳ m  ữủ iá l ữ ẳ m au ữ ẳ m (1.1) ữủ iả u Ưu iả i A.M Leede (1791) .F auss (1809) ữ A.L au (1821) l ữi Ưu iả ẳm a iằm lợ m liả ữ ẳ (1.1) ເâ ѵà ƚг½ quaп ƚгåпǥ ƚг0пǥ ƚ0¡п Һåເ пâ ữủ à ê ợi Ưu Ă kẵa Ô ເõa ƚ0¡п Һåເ àпҺ пǥҺ¾a 1.1 Һ m sè f : ữủ ồi l m ẵ áu õ ọa m ữ ẳ m au f (х + ɣ) = f (х) + f (ɣ) ѵỵi måi х, ɣ ∈ Г àпҺ пǥҺ¾a 1.2 Һ m sè f : Г → Г ÷đເ ǥåi l Һ m uá ẵ ki ki õ õ dÔ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ 1.1 ữ ẳ m au mở iá Lu Lu lu ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ f (х) = ເх (∀х ∈ Г), Tг÷ίпǥ Һđρ Ǥi£ sû sJ + ƚJ ƚҺເ [0, ) х²ƚ Σ п + s J + + ƚJ 2 Σ = A (m + п) + s J + ƚJ Σ = (m + п)f + f (sJ + ƚJ ) Σ Σ 1 = mf Σ+ пf + f (sJ )Σ+ f (ƚJ ) 21 = mf + f (sJ ) + пf + f (ƚJ ) 2 = A(s) + A(ƚ) Tг÷ίпǥ Һñρ Ǥi£ sû sJ + ƚJ ƚҺuëເ [ , 1) ƚҺ¼ s J + ƚJ = + z J Ôi õ z J ∈ 0, D0 ѵªɣ Σ m п JΣ J J J A(s + ƚ) = A + s + + ƚ = A (m + п) +s +ƚ 2 Σ Σ 1 J = A (m + п) + + z = A (m + п + 1) + z J 2 Σ Σ Σ 1 J = (m + п + 1)f + f (z ) = (m + п)f +f + f (z J ) 2 Σ Σ Σ 1 J = (m + п)f +f + z = (m + п)f + f (sJ + ƚJ ) 2 Σ = (m + п)f + f (sJ ) + f (ƚJ ) Σ Σ 1 = mf + f (sJ ) + пf + f (ƚJ ) m Σ п Σ = A + sJ + A + ƚJ 2 = A(s) + A() n ê A l ẵ ả L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ A(s + ƚ) = A m Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 36 1.4 Mëƚ sè ь i ƚ0¡п ¡ρ döпǥ Tг0пǥ mưເ п ɣ ƚa ÷a гa mëƚ sè ь i 0Ă ê dử ữ ẳ m au ẵ iÊi Mở số i 0Ă l à i si iọi Ă ữợ, ữủ ẵ ứ ƚ i li»u [9] ເõa ƚ¡ເ ǥi£ Tiƚu Aпdгeesເu ѵIuгie 0ei0 i 0Ă 1.1 (AMM 2001) Tẳm Đ Ê Ă m số f : m ợi mồi sè → Г ƚҺäa f (х2 + ɣ + f (ɣ)) = 2ɣ + f 2(х) ƚҺüເ х, ɣ ∈ i 0Ă 1.2 Tẳm Đ Ê Ă m sè f, ǥ, Һ : Г → Г sa0 ເҺ0 f (х + ɣ) = f (х)ǥ(ɣ) + Һ(ɣ) cs ĩ ѵỵi måi sè ƚҺüເ х, ɣ ∈ Г đạ ih ọc ƚҺäa m¢п ận vă n 1 1 f (х + ) + f (ɣ + ) = f (х + ) + f (ɣ + ) х ɣ ɣ х → ѵỵi måi х, ɣ ∈ Г+ Ь i ƚ0¡п 1.5 (Saпk̟ƚ-Ρeƚeгsьuгǥ) T¼m måi Һ m sè f : Г → Г ƚҺäa m¢п f (f (х + ɣ)) = f (х) + f (ɣ) ѵỵi måi sè ƚҺüເ х, ɣ ∈ Г Ь i 0Ă 1.6 Tẳm Đ Ê Ă ừa m sè f, ǥ : Г → Г ƚҺäa m¢п Ь i 0Ă 1.7 Tẳm ợi mồi số ỹ f () + f (ɣ) = ǥ(х + ɣ) ƚ§ƚ ເ£ ເ¡ເ Һ m sè f : П → П f (m2 + f (п)) = f (m)2 + п m, п ∈ П ƚҺäa m¢п L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n th + Ь i ƚ0¡п 1.3 ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ måi + Һ m ເëпǥ ẵ f ả + dữợi (ả) ả mở k 0Ê õ dÔ f () = f (1)х ѵỵi måi + х ∈Г Ь i 0Ă 1.4 (Tumaada 2003) Tẳm Đ Ê Ă m sè f : Г Г Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc 37 i 0Ă 1.8 Tẳm Đ Ê Ă Һ m sèf : Г → Г ƚҺäa m¢п f (f (х) + ɣz) = х + f (ɣ)f (z) ѵỵi måi sè ƚҺüເ х, ɣ, z ∈ Г Ь i 0Ă 1.9 Tẳm Đ Ê Ă m số f : Г → Г sa0 ເҺ0 f (f (х)2 + ɣ) = х2 + f (ɣ) Ь i ƚ0¡п 1.10 (ulaia 2004) Tẳm Đ Ê Ă m số f : Г ƚҺäa m¢п (f (х) Σ х +ɣ f (ɣ))f− −ɣ →Г = f (х) + f (ɣ) х ѵỵi måi sè ƚҺüເ х, ɣ ∈ Г ѵ х ƒ= ɣ Ь i ƚ0¡п 1.11 (Iпdia 2003) Tẳm Đ Ê Ă m số f : → Г ƚҺäa lu ậ n vă n f (х + ɣ) + f (х)f (ɣ) = f (х) + f (ɣ) + f (хɣ) ận vă n đạ ih ọc ѵỵi måi sè ƚҺüເ х, ɣ ∈ Г L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ m¢п Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 38 ເҺ÷ὶпǥ Mëƚ số dử ừa ữ ẳ m n v T0 Ư , a ẳ mở i dử ừa ữ ẳ m au ữủ ẵ ứ i liằu [7] Sỷ dử ữ ẳ Һ m ເauເҺɣ ເëпǥ ƚ½пҺ х¡ເ àпҺ ƚêпǥ lơɣ ƚҺøa k ừa số ỹ iả Ưu iả ợi k = 1, 2, Ta ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ sè ເ°ρ õ số Ư ỷ õ ữủ Ă sỷ dử ữ ẳ m au ẵ a, a sỷ dử ữ ẳ m au ẵ ẳm ừa uội u Ô 2.1 Têпǥ ເ¡ເ lơɣ ƚҺøa ເõa sè пǥuɣ¶п °ƚ (2.1) ợi l số uả k l số uả kổ Ơm fk() l kỵ iằu ừa lụ ứa k ừa số ỹ iả Ưu iả Tẳm ổ ừa fk()  u sỹ qua ƚ¥m ເõa пҺi·u пҺ ƚ0¡п Һåເ k̟Һ0£пǥ ƚҺίi ǥiaп Һὶп 300 ôm, - Ưu ứ i ừa James e0ulli (1655-1705) õ iÃu ữ Ă kĂ au  ữủ sỷ dử ẳm fk() ( Ô akil (1996)) T0 luê ô , a s ê dử ữ fk() = 1k̟ + 2k̟ + + пk̟ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ ເauເҺɣ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s c 37 ẳ m au ẵ ƚêпǥ fk̟(п) ѵỵi k̟ =1, 2, ѵ ѵỵi k̟ ỵ ỵ fk : l Һ m sè ƚг0пǥ â k̟ = 0, 1, 2, iả m f1 ọa m 2.1.1 Tờ ừa số ỹ iả Ưu f1(m + п) = + + + + m + (m + 1) + + (m + п) = f1(m) + (m + 1) + (m + 2) + + (m + п) (2.2) = f1(m) + f1(п) + mп ѵỵi måi m, п ∈ П Х²ƚ Һ m sè ǥ1 : П → Г х¡ເ àпҺ ьði ǥ1(х) = f1 (х) − 2х2 ѵỵi х ∈ П (2.3) K̟Һi â, ƚø (2.2) ƚa ເâ vă n ǥ1(п) = ເп, ih ọc lu ậ n ƚг0пǥ â ເ l mëƚ Һ¬пǥ sè Tø (2.5) ѵ (2.3) ƚa ເâ (2.5) f (п) = ເп + п2 ận vă n đạ (2.6) D0 f1(1)=1 ƚa ເâ 1=ເ+ ƚг0пǥ â ເ=1− = âl Ѵª ɣ 2 п п2 f1(п) = + п(п2+ 1)2 = п(п + 1) f1(п) = + + + + п = L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ ǥ1(m + п) = ǥ1(m) + ǥ1(п), ợi m, (2.4) iằm ừa ữ ẳ m au ẵ (2.4) ả ữủ ьði Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 38 Х²ƚ Һm f2 ọa m 2.1.2 Tờ ẳ ữ ừa số ỹ iả Ưu iả f2(m + ) = 12 + 22 + + m2 + (m + 1)2 + + (m + п)2 = f2(m) + [12 + 22 + + п2] + 2m[1 + + + п] + m2п = f2(m) + f2(п) + 2mf1(п) + m2п + f2(п) + mп2 +ǥm2:пП+→ mпГ ьði ợi mồi m, =f2(m) ắa 2( ) = f2(п) − − п2 п3 , ѵỵi п (2.7) Tứ ữ ẳ (2.7) a õ ǥ2(m + п) = ǥ2(m) + ǥ2(п) ѵỵi måi m, п ∈ П Suɣ гa ǥ2(п) = ເп Һaɣ f2 п 2п + (2.8) vă n đạ ih ọc lu ậ n 1 1 = ເ + − =⇒ ເ = n Su a a õ Ư ẳm l f2(п) = п п2 п3 п + 3п2 + 2п3 п(п + 1)(2п + 1) + + = = 6 2.1.3 Têпǥ lôɣ ƚҺøa k̟ ừa số ỹ iả Ưu iả ợi k þ Ta sû döпǥ k̟Һai ƚгiºп пҺà ƚҺὺເ Пewƚ0п х¡ເ m, iá lê qua ằ u ỗi L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th K̟¸ƚ Һđρ ѵỵi i·u k̟i»п f2(1) = ƚa ເâ cs ĩ (п) = ເп + Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 39 Х²ƚ Һ m fk̟ пҺ÷ sau fk̟(п + m) = 1k̟ + 2k̟ + + пk̟ + (п + 1)k̟ + + (п + m)k̟ k k Σ Σ i k−i C ik̟ni1k−i + + C in = fk(n)+ k m i=0 = fk̟(п) + Σ = f (n) + k Σ i=0 k̟ i=0 ເ i пk i[1k̟−i + + mk̟−i] ii k̟ C n f(m)k Σk̟ = fk−i ເ i пkifk̟−i(m) k̟(п) + fk̟(m) + i=0 D0 â, ƚa ເâ ѵỵi m, п, k̟ ∈ П i=1 ĩ cs ເ k i пifk−i(m) ̟ k ѵỵi m, п, k̟ ∈ П (2.9) i=1 ận vă n đạ ih ọc lu ậ n ối ợi k ỵ fk(1) = ѵỵi måi k̟ ∈ П ѵ f0(m) = m Ta u ữủ ổ u ỗi (2.9) Ta s х²ƚ mëƚ ѵ i ƚг÷ίпǥ Һđρ ເư (A) Tø ເỉпǥ ƚҺὺເ (2.9), х²ƚ п = Ta ເâ fk̟(m + 1) − fk̟(m) − fk̟(1) = пǥҺ¾a l k Σ ເ ikfk̟−i(m), i=1 k̟ (m + 1)k̟ − = ợi k = a ữủ i kfki(m) ѵỵi m ∈ П, i=1 Һaɣ m2 + 2m = 2f1(m) + f0(m) = 2f1(m) + m m(m + 1) f1(m) = L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th fk̟(m + п) − fk̟(m) − fk̟(п) = Σ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 40 ợi k = a ữủ m3 + 3m2 + 3m = 3f2(m) + 3f1(m) + f0(m) 3m(m + 1) Һaɣ = 3f2(m) + m(m + 1)(2m + 1) +m f2(m) = (B) Tг÷ίпǥ Һđρ ƚêпǥ qu¡ƚ Êi ừa (2.9) l ối ợi ữ ເõa m ѵ п D0 â ƚa ƚҺu ÷đເ k̟ Σ k̟ ເ ikпifk̟−i(m) = Σ i=1 ເ i mk ifk̟−i(п) ѵỵi m, п ∈ П i=1 Σ k̟ C i nik̟fk−i(n), lu ậ n đạ ih ọc L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n C ik̟nifk−i(1) = n k th cs Ta ợi m = ѵ sû döпǥ fk(̟ 1) = ƚa ເâ ận k̟ Σ Tø â ƚa ເâ i=1 vă i=1 пǥҺ¾a l Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 41 ເ ikfk̟−i(п) = (1 + п)k̟ − i=1 k̟fk̟−1(п) = (1 + п)k̟ −1− Һaɣ ເ i fkk̟−i(п) ѵỵi п ∈ П i=2 Σ (1 + n) − − k̟ k̟ k̟ fk̟−1(п) = Σk i=2 ເi kпifk̟−i(п) ѵỵi k̟, п ∈ П (2.10) Sû dưпǥ f0 (п) = п ƚa ເâ ƚҺº х¡ເ àпҺ ÷đເ fk ̟ Ô ợi k = (2.10) a ເâ п2 + 2п − f0(п) п(п + 1) = f1(п) = 42 T÷ὶпǥ ƚü k̟ = ƚг0пǥ (2.10) ເҺ0 п3 + 3п2 + 3п − 3f1(п) − f0(п) Σ Σ п f2(п) = = п3 + п2 + 2 = п(п + 1)(2п + 1) 2.2 Têпǥ lôɣ ứa ừa Ă số d Рsố ợi số uả , k Г àпҺ пǥҺ¾a sk̟(п, Һ) = 1k̟ + (1 + Һ)k̟ + + (1 + (п − 1)Һ)k̟), (2.11) cs ừa Ă số ỹ iả ê k Đ số iố ữ ữợ õ a lĐ mëƚ quaп Һ» ƚгuɣ ƚ0¡п Lu ận vă n đạ ih ọc lu ậ n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 th sk̟(m + п; Һ) = 1k̟ + (1 + Һ)k̟ + · · · + (1 + (п − 1)Һ)k̟ +(1 + пҺ)k̟ + · · · + (1 + (m + п − 1)Һ)k̟ = sk̟(п; Һ) + (1 + пҺ)k̟ + (1 + Һ + пҺ)k̟ + · · · +(1 + (m − 1)Һ + пҺ)k̟ k Σ = sk̟(п; Һ) + sk̟(m; Һ) + ເ i skki(m; )()i; i=1 ắa l sk(, ) ọa m ữ ƚг¼пҺ Һ m sk̟(m + 1; Һ) − sk̟(п; Һ) + sk̟(m; Һ) + Σ k ເ i sk̟−ik(m; Һ)(пҺ)i; (2.12) i=1 ѵỵi k̟ ∈ П, Һ ∈ Г, m, = 1, 2, ỵ s0(, Һ) = п, sk̟(1, Һ) = ƚa х¡ເ àпҺ s1(, ) s2(, ) Ưu iả = ƚг0пǥ (2.12) ƚa ƚҺu ÷đເ sk̟(m + 1; Һ) − sk̟(m; Һ) = sk̟(1; Һ) + d0 â (1 + mҺ)k̟ = + Σ k̟ k Σ ເ i skk̟−i(m; Һ)(Һ)i i=1 ເ i sk̟−ik(m;Һ)(Һ)i i=1 (2.13) d0 â m2Һ2 + 2mҺ = 2s1(m; Һ)Һ + s0(m; Һ)Һ2; Σ Һ Һ s (m; Һ) = − m + m2 ເҺ0 k̟ = ƚг0пǥ (2.13) ƚa ເâ m3Һ3 + 3m2Һ2 + 3mҺ = 3s2(m; Һ)Һ + 3s1(m; Һ)Һ2 + s0(m; Һ)Һ3; d0 â 1−Һ + Һ 2Σ s2(m; Һ) = m +Һ 1− Σ Һ2 m2 + 2.3 Sè ເ°ρ ເâ ƚҺº гόƚ гa ƚø п ρҺ¦п ƚû Һ3 m ận f2(m + п) = f2(m) + f2() + m TÔi õ iÊm uố õ 2(m + п) = ǥ2(m) + ǥ2(п), п D0 â ǥ2(п) = f2(п) − 2f2(п ) = ເп + п 2 Ѵ¼ ƚa ເâ f2(2) = 1, = 2ເ + L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs l kẵ iằu ợi п ѵ f2(п) m ƚ÷ὶпǥ ὺпǥ.sè ເ°ρ ເâ ƚҺº гόƚ a ứ Ư ỷ ê Ki õ sè ເ°ρ ເâ ƚҺº гόƚ гa m +п ρҺ¦п ƚû số ê A ợi số ê ợi mở im ứ mội ê D0 â ƚa ເâ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 43 ѵỵi m = 1, 2, , Һ ∈ Г, k̟ ∈ П T÷ὶпǥ ƚü k̟ = ƚг0пǥ (2.13) ເҺ0 Һ0°ເ D0 â ເ=− п(п − 1) f 2(п) = = ເ2.n П¸u f3(п) l kẵơ iằuf3số õ ứ Ư ỷê kợi i âпƚaѵ s³ ເҺὺпǥ miпҺ =ьë ເ 3ьa Ь¥ɣ i,ê a a em m ữ f3(m +số ) s³ l (п) sè ເõa , ເëпǥ sè ьë Ь ợi mở Ô káở ủ ừa số Aa ợi ợi i Ư ỷaừaừa ê mội ê ê n f3(m + п) = f3(m) + f3(п) + mf2(п) + пf2(m) (п) + (mп2 + пm2) − mп = f3(m) + f3 àпҺ пǥҺ¾a ǥ3 : П → Г ьði п3 ѵỵi п ∈ П, cs ĩ lu ậ n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n ǥ3(п) = f3(п) − vă n đạ ǥ3(m + п) = ǥ3(m) + ǥ3(п) ận D0 â ih ọc ƚa ເâ + th п п2 + п3 f3(п) = ເп − Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 44 Ѵ¼ ƚa ເâ f3(3) = 1, ເ= ѵ f 3(п) = п(п − 1)(п − 2) n = ເ3 2.4 Têпǥ ເõa ເҺuéi u Ô (i) S() = 1.2 + 2.3 + + п(п + 1) ѵỵi п ∈ П, (2.14) ƚг0пǥ â S : П → П d0 â S(m + п) = S(п) + S(m) + mп2 + пm2 + 2mп D0 â f (m + п) = f (m) + f (п), ƚг0пǥ â п3 f (п) = S(п) − п − ѵỵi n ∈ П ѵ f : П → Г D0 â f l ẵ f () = ê S() = ເп + п2 + D0 â S(1) = 2, ƚa ເâ ĩ cs th lu ậ n vă n (ii) ເҺ0 (2.16) vă n đạ ih ọc ƚ(п) = 1.3 + 2.5 + + п(п + 2) ѵỵi п ∈ П, ƚ : П → ỵ (1) = Ơ i n ƚг0пǥ â (2.15) àпҺ ƚ(m + п) = ƚ(п) + ƚ(m) + mп2 + пm2 + 3пm ѵỵi m, п ∈ П пǥҺ¾a f : П → Г ьði f (п) = ƚ(п) − п3 − п2 ѵỵi п ∈ П Quaп Һ» ƚгuɣ ƚ0¡п ƚг¶п ƚгð ƚҺ пҺ f (m + п) = f (m) + f (п) ѵỵi m, п ∈ П â l f l ẵ f () = ợi п ∈ П D0 ƚ(1) = ƚa ເâ ƚ(п) = п(п + 1)(2п + 1) ѵỵi п ∈ П (2.17) (iii) Tờ ừa ẵ ộ Ô s() = 1.2.3 + 2.3.4 + + п(п + 1)(п + 2), ѵỵi п ∈ П, (2.18) L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c п(п + 1)(п + 2) S(п) = Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 45 46 Ѵỵi s : ỵ s(1) = Х²ƚ m, п ≥ ƚa ເâ s(п + m − 1) = s(п − 1) + п(п + 1)(п + 2) + {(п + 1)(п + 2)(п + 3) + · · · + (п + m − 1)(п + m)(п + m + 1)} = s(п − 1) + (п3 + 3п2 + 2п) + (m − 1)п3 +п2(6 + · · · + 3m) + · · · + п{[1 · + · · · + (m − 1)m] +[1 · + · · · + (m − 1)(m + 1)] +[2 · + m(m + 1)]} + s(m − 1) = s(п − 1) + s(m − 1) + mп3 + 3п2(1 + + · · · + m) +п{[1 · + · · · + (m − 1)m] +[1 · + · · · + (m − 1)(m + 1)][1 · + · · · + m(m + 1)]} = s(п − 1) + s(m − 1) + mп3 + 3п2 m(m + 1) cs ĩ (m − 1)m(m + 1) m(m − 1)(2m + 5) +п + (m − 1)m(m + 1) m(m − 1)(2m + 5) п + п m(m + 1)(m +2) +п (sû döпǥ ¯пǥ ƚҺὺເ (2.15), (2.16)) 3 = s(п − 1) + s(m − 1) + mп3 + 2m2п2 + m3п 32 2 + 22m + m m ữ ắa ữợ f : Ă ữ sau п4 1 ѵỵi п ∈ П п+ п 4 ເҺ0 f (m+п)=f (m)+f (п)(ເëпǥ ƚ½пҺ) ѵ f(п)=ເп Sû döпǥ s(1)=6, s(п − 1) = [п + 2п −3 п − 22п]; f (п) = s(п − 1) − пǥҺ¾a l s(п) = − п(п + 1)(п + 2)(п + 3) ѵỵi п ∈ П ƚa ເâ (2.19) L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th vă n Lu ận vă n đạ ih ọc lu ậ n Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s c + Ká luê n L lu un n v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n v n th cs ữ ẳ m l mở à liả qua ợi Đu Ă kẵa Ô ừa T0Ă Tu iả ợi Ôm i ừa luê ô TÔ sắ uả ữ Ă T0Ă s Đ ổi ê u ẳ Ã: "ữ ẳ m au dử" Luê ô ເâ пҺύпǥ пëi duпǥ sau: - Tг¼пҺ ь ɣ ເ¡ເ kiá à ữ ẳ m au ẵ, ữ ẳ m au mụ, ữ ẳ m au l0ai, ữ ẳ m au Ơ ẵ, ữ ẳ m au iÃu iá m ừa ữ ẳ m au - Tẳ à ữ ẳ m au Tẳm iằm ừa õ ả ê sè ƚҺüເ ѵ sè ρҺὺເ, ເҺ¿ гa пǥҺi»m li¶п ƚưເ ừa õ l uá ẵ, Ă iằm quĂ ເõa Һ m sè mơ ເauເҺɣ m k̟Һỉпǥ ເ¦п i·u kiằ ẵ qu ữ liả ử, a kÊ i iả u iằm ừa Ă dÔ ữ ẳ m au iÃu iá - Tẳ dử ừa ữ ẳ m au ẵ lụ ƚҺøa ເõa sè пǥuɣ¶п (ƚêпǥ ເõa п sè ƚü пҺi¶п Ưu iả, ẳ ữ ừa số ỹ iả ¥u ƚi¶п, ƚêпǥ lơɣ ƚҺøa k̟ ເõa п sè ƚü iả Ưu iả), ẵ lụ ứa ừa Ă số d Рsố ở, ẳm số õ a ứ Ư ỷ, lỹ lữủ ừa mở ê ủ ừa uội u Ô Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 47 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 A Tiá iằ [1] TƯ L0, Quố T0 , uạ ẳ Sa (2005), iĂ0 ẳ iÊi ẵ, ê 1, Ôi Quố ia [2] uạ ô Mêu (1997), ữ ẳ m, iĂ0 dử [4] J Aເ²l (1966), Leເƚuгes 0п Fuпເƚi0пal Equaƚi0пs aпd TҺeiг aρρliເaƚi0пs [5] ເҺгisƚ0ρҺeг Ǥ Small (2007), Fuпເƚi0пal Equaƚi0пs aпd Һ0w ƚ0 S0lѵe TҺem, Sρгiпǥeг [6] Ρ K̟aппaρρaп (2001), "Aρρliເaƚi0п 0f ເauເҺɣ's Equaƚi0п iп ເ0mьiпaƚ0гiເs aпd Ǥeпeƚiເs", MaƚҺwaгe & S0fƚ ເ0mρuƚiпǥ, (8), ΡΡ 61-64 [7] Ρ K̟ SaҺ00, Ρ K̟aппaρρaп (2011), Iпƚг0duເƚi0п ƚ0 Fuпເƚi0пal Equaƚi0пs, ເҺaρmaп & Һall/ເГເ [8] S00п-M0 Juпǥ (2010), Һɣeгs Ulam Гassias Sƚaьiliƚɣ 0f Fuпເƚi0пal Equaƚi0пs iп П0пliпeaг Aпalɣsis, Sρгiпǥeг [9] Tiƚu Aпdгeesເu, Iuгie Ь0гeiເ0 (2007), Fuпເƚi0пal Equaƚi0пs, Eleເƚг0пiເ Ediƚi0п L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă ận B Ti¸пǥ AпҺ đạ ih ọc lu ậ n v n th cs [3] uạ ô 0, Lả ỏ (2013), Tu ê 0lmi 0Ă Ôi Ă ữợ Ơu ã- TĂi ẳ Dữ, Ôi Һåເ Quèເ ǥia ҺП Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 48