Mởt số b i toĂn ựng dửng
Chữỡng 2 Mởt số bián thº cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy v ựng dửng.
Tiáp cên giĂ trà ban Ưu
Trữớng hủp khi e if l ở o àa phữỡng, R n
ành lỵ 2.1 Náu f : R n → R thọa mÂn (2.1) v e if l o ữủc àa phữỡng Lebesgue, thẳ tỗn tÔi c ∈ R n , sao cho: f(x) = c.x, ∀x ∈ R n
Chùng minh: p dửng h m số: t 7→ e it , t ∈ R trản cÊ hai vá cừa (2.1), ta cõ: e if(x+y) = e if(x) e if (y) , vợi tĐt cÊ x, y ∈ R n Cho I l mởt siảu lêp phữỡng bĐt kẳ khi e it l o ữủc.
LĐy bĐt kẳ y ∈ R n v x ∈ I v sỷ dửng h m số: t 7→ e if (x) e if(y) , x ∈ I l o ữủc trản I
Tôi thấy rằng, nếu lỗ tràn bọt cạnh sao của I và R có thể được ôi dính như hợp âm giữa các sao của I, thì không ảnh hưởng đến lỗ tràn R.
Theo ảnh lẵn lời tiáng vã tẵnh liản tửc của ống cĐu o ữủc giữa hai nhóm bĐt kẳ (°c biằt, giữa một nhóm compact và nhóm ưỡng trỏn), suy ra ống cĐu o ữủc e if liản tửc.
Vẳ Ênh cừa nõ ró r ng ữủc chựa trong ữớng trỏn ỡn và cừa ph¯ng phực C, cho thĐy rơng e if l mởt °c số (cử thº l , mởt ỗng cĐu liản tửc tứ R n án ữớng trỏn ỡn và trong C).
Theo mởt kát quÊ nời tiáng vã nhõm °c trững cừa R n ữa ra rơng tỗn t¤i c ∈ R n sao cho: e if (x) = e icãx , ∀x ∈ R n (2.2)
Bơng cĂch khĂc, ta cõ thº suy ra (2.2) m khổng cƯn theo ành lỵ ữủc trẳnh b y bơng cĂch dũng giợi hÔn dỹa v o chuội Fourier.
Dựa vào điều kiện (2.2), chúng ta cần tìm hàm số f(x) = c.x + 2πk(x) với mọi x thuộc Rn Hàm f phải thỏa mãn điều kiện (2.1) và (2.1) là tuyến tính, do đó chúng ta có thể kết luận rằng hàm f sẽ thỏa mãn điều kiện (2.1) Điều này dẫn đến việc hàm f sẽ tiếp tục mở rộng và không bị giới hạn trong khoảng 0 một cách nhanh chóng.
GiÊ sỷ rơng iãu n y khổng úng, cử thº l k(x) 6= 0 , vợi x cố ành Thẳ theo (2.1) (vợi k thay thá f ), ta cõ: k x m
= k(x) m , vợi bĐt kẳ số nguyản dữỡng m °c biằt, iãu n y úng cho m > 2|k(x)| , mƠu thuăn.
Vẳ 0 < | k(x) m | < 0.5 < 1 nh÷ng k x m l số nguyản.
Do õ, k ≡ 0 v f (x) = c.x , vợi mồi x ∈ R n Cuối cũng, thỷ lÔi nhanh thĐy rơng f cõ dÔng tuyán tẵnh n y, văn thọa m¢n (2.1).
Sau Ơy l mởt số nhên x²t vã ành lỵ (2.1):
Nhên x²t 2.1 iãu kiằn chẵnh quy bưt buởc trản f l k²m ng°t hỡn o ữủc ỡn thuƯn.
Thêt vêy, náu f l o ữủc thẳ e if cụng vêy giống nhữ sỹ hủp th nh cừa f vợi h m số mụ phực: t 7→ e if , t ∈ R, l liản tửc.
Nõi cĂch khĂc, dũ e if l ỗng cĐu liản tửc (thuƯn nhĐt) thẳ chẵnh f khổng cƯn l o ữủc.
Vẵ dử ỡn giÊn nhữ sau: vợi mồi số nguyản m , cho A m l têp khổng o ữủc cừa [m, m+1) , v cho f : R → R ữủc ành nghắa bơng: f (x) := 2πm náu x ∈ A m v f (x) := −2π(m + 1) náu x ∈ [m, n + 1] \ A m
Vẵ dử khĂc, cõ l³ thú và hỡn l f (x) := 2π[g(x)], x ∈ R khi [t] l số nguyản lợn nhĐt khổng vữủt quĂ số thỹc t v g l nghiằm bĐt kẳ khổng tuyán tẵnh cừa (2.1).
Thể vầy, nếu A là một tập hợp khổng lồ các dữ liệu trong không gian, và nếu B là một tập hợp con, thì A sẽ mở rộng thành một tập hợp dày đặc hơn Theo định lý Kormes, suy ra rằng các biến thể trong không gian này có thể dẫn đến những kết quả bất ngờ Do đó, việc xác định hàm số h: R → R và tập hợp con trong không gian dữ liệu là rất quan trọng để hiểu rõ hơn về cấu trúc và tính chất của các dữ liệu này.
A m := {x : h(x) ∈ [m, n + 1)} vợi số nguyản m , bði vẳ h m o ữủc l hỳu hÔn hƯu hát mồi nỡi v do õ ∪ m∈ Z A m tián án têp o ữủc 0, to n bở khổng gian), suy ra rơng f khổng o ữủc.
Nhên x²t 2.2 iãu kiằn chẵnh quy e if l o ữủc (Â xuĐt hiằn trong cuốn sĂch cừa Kac nôm 1937).
Ph²p tẵnh gƯn úng giĂ trà ban Ưu
Trong phƯn n y, mởt chựng minh khĂc cừa ành lỵ (2.1) ữủc trẳnh b y.
Mởt siảu hẳnh hởp õng ữủc tÔo bði mởt v i cỡ sð l têp:
X k=1 t k u k : (t k ) n k=1 ∈ [0, 1] n }, vợi {u 1 , , u n } l cỡ sð  cho cừa R n v u 0 ∈ R n l iºm  cho.
Mởt nỷa siảu hẳnh hởp mð l tƠp:
Cỡ sð {u 1 , , u n } ữủc gồi l cỡ sð chuân tưc náu mội k ∈ {1, , n} hủp th nh thự k cừa u k bơng 1 v hủp th nh cĂc thự cỏn lÔi cừa nõ bơng
0 Dắ nhiản, mởt siảu hẳnh hởp ữủc tÔo bði cỡ sð chuân tưc l mởt siảu lêp phữỡng.
Bờ ã 2.1 Cho I ⊂ R n là một siêu hình hợp  cho tập hợp bì cỡ sð U: {u 1 , , u n } của R n Giả sử rơng h: R n → C thỏa mãn h(x + u k) = h(x) với mọi x ∈ R n và mọi k ∈ {1, , n} Nếu h là tích phân Lebesgue trên I, thì với mọi y ∈ R n, việc chuyển hy: R n → R được định nghĩa bởi h y(x) := h(x + y) với mọi x ∈ R n là tích phân Lebesgue trên I.
Việc chứng minh một nhấn thực những nỗ lực cần thiết trong kỹ thuật là rất quan trọng Để thực hiện điều này, quá trình chứng minh được chia thành các bước cụ thể Tuy nhiên, cần lưu ý rằng các biến y ∈ R n  cũng phải được cố định.
Dạ thĐy rơng I l nỷa mð bản trĂi bði vẳ m°t bản phÊi cừa I (nghắa l , cĂc têp hủp
I j := {u 0 + u j + X k∈{1, ,n}\{j} t k u k : t k ∈ [0, 1]∀k ∈ {1, , n} \ {j}} trong õ j ∈ {1, , n} ) cõ ở o khổng v do õ viằc thảm bợt chúng khổng gõp phƯn tÔo cĂc tẵch phƠn ữủc x²t.
Hỡn nỳa, dạ d ng giÊ sỷ rơng u 0 = 0, bði náu chúng ta biát kh¯ng ành úng cho u 0 = 0 Từ đó, vợi tẵch phƠn  thỹc hiằn thổng qua I(0) := { P n k=1 t k u k : (tk) n k=1 ∈ [0, 1) n } cho thấy sự tồn tại của một hệ thống mở v i Ăp dửng cừa kh¯ng ành n y Dữợi Ơy, Ưu tiản vợi y + u 0 v thự hai vợi u 0, cÊ hai thay v o y cũng vợi mởt v i ựng dửng cừa cổng thực ời bián cho ph²p bián ời, ngử ỵ mong muốn kát luên.
Bữợc 1 : Vẳ U l mởt cỡ sð , chúng ta cõ y = P n k=1 y k u k , tÔi õ y k ∈ R vợi mồi k ∈ {1, , n} ữủc xĂc ành duy nhĐt.
Cho z ∈ I y := I + y, ta cõ z = x + y cho mởt v i x ∈ I
Ta có thể viết: x = P n k=1 x k u k và v z = P n k=1 z k u k, với điều kiện: (biến vẳ, u 0 = 0 theo cách luận) x k ∈ [0, 1] và v z k ∈ R Giá trị rỗng: y k ∈ [0, 1), với mọi k ∈ {1, , n} Trường hợp tường quét l mởt hằ quÊ ỡn giÊn cừa trường hợp đặc biệt n y (Bước 9 dưới Ơy) Bước 2:
Với z k = x k + y k, ta có điều kiện z k ∈ [0, 2) và vẳ z k ∈ [0, 1) hoặc z k ∈ [1, 2) cho mọi k ∈ {1, , n} Định nghĩa hàm σ: [0, 2) → {0, 1} như sau: σ(t) = 0 nếu t ∈ [0, 1) và σ(t) = 1 nếu t ∈ [1, 2) Hàm φ: I y → {0, 1} n được xác định bởi φ(z) = (σ(z k )) n k=1 với z ∈ I y Chúng ta sẽ sử dụng điều kiện của z tương ứng với cỡ sð U Đối với mỗi s ∈ {0, 1} n, ta có R s := φ −1 (s) Nếu φ là hàm một-một, R s cũng sẽ là một tập hợp cho mọi s ∈ {0, 1} n Thực tế, mỗi R s là tập hợp rỗng nếu y k = 0 cho mọi k ∈ {1, , n}, và với s ∈ {0, 1} n, thì phân phối thực k là 1.
CĐu trúc trản suy ra rơng: I y = S s∈{0,1} n R s v R s ∩ R p = ∅, với s ≠ p, s, p ∈ {0, 1} n Hiện nay, chúng ta liên kết mọi R s với một bên sao biến đổi nhất định của nó, đồng thời hiểu rõ R 0 s Cụ thể, cho s ∈ {0, 1} n, định nghĩa R 0 s := R s − s.U, trong đó s.U := P n k=1 s k u k ∈ R n Trong bước tiếp theo, chúng ta sẽ thấy rằng R s 0 có thể được coi là một phân hoạch rõ ràng của I.
Bữợc 4: Ưu tiản ta thĐy R s 0 ữủc chựa trong I vợi mội s ∈ {0, 1} n Thêt vêy, cho x ∈ R 0 s , ta cõ: x = z − s.U , vợi mởt v i z ∈ R s Bơng sỹ xĂc ành R s v h m σ , chúng ta cõ σ(z k ) = s k , vợi mồi k ∈ {1, , n}.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một hàm số k thuộc tập {1, , n} Nếu s_k = 0, thì theo định nghĩa σ, ta có z_k nằm trong khoảng [0, 1) Khi so sánh với cỡ s của U, ta nhận thấy rằng x_k = z_k - s_k, và do đó z_k cũng thuộc [0, 1) Ngược lại, nếu s_k = 1, theo định nghĩa của σ, z_k sẽ nằm trong khoảng [1, 2), dẫn đến x_k = z_k - s_k vẫn thuộc [0, 1) Qua đó, cho bất kỳ k tùy ý, ta luôn có x ∈ I.
Bữợc 5: é Ơy ta ch¿ ra: R 0 s ∩ R 0 p = ∅, vợi s, p ∈ {0, 1} n , s 6= p Thêt vêy, giÊ sỷ phÊn chựng rơng tỗn tÔi x ∈ R 0 s ∩ R 0 p vợi hai iºm khĂc nhau p v s trong {0, 1} n Vẳ s 6= p , tỗn tÔi mởt ch¿ số k ∈ {1, , n} , sao cho s k 6= p k Bði vẳ x ∈ R 0 p , ta cõ x = z − s.U , vợi mồi z ∈ R s Bði vẳ x ∈ R 0 s , ta cõ: x = ˜ z − p.U , vợi mởt v i z ˜ ∈ R p °c biằt, z k − s k = x k = ˜ z k − p k Bơng ành nghắa cừa h m σ v cừa R s v R p , chúng ta cõ σ(z k ) = s k v σ(˜ z k ) = p k GiÊ sỷ rơng s k = 0 thẳ x k = z k − 0 Thảm v o õ, bði z ∈ R s ⊆ I y , ta câ v ∈ I , sao cho: z = v + y
Viát v = P n j=1 v j u j , v j ∈ R, ta thĐy rơng v j ≥ 0 vợi mồi j ∈ {1, , n} v do â v k ≥ 0 v x k = z k = v k + y k ≥ y k (2.3)
BƠy giớ, vẳ p k 6= s k , ta cõ p k = 1 Tứ iãu n y v thỹc tá z ˜ ∈ R p , theo ành nghắa cừa σ , suy ra z k ∈ [1, 2) Thảm v o õ, bði vẳ z ˜ ∈ R p ⊆ I y cõ ˜ v ∈ I, sao cho v ˜ = ˜ v + y Bơng cĂch viát v ˜ = P n j=1 v ˜ j u j , v ˜ j ∈ R, ta thĐy v ˜ j < 1 vợi mồi j ∈ {1, , n}
Do õ v ˜ k < 1 v z ˜ k < 1 + y k Vẳ thá x k = ˜ z k − p k < 1 + y k − 1 = y k iãu n y trĂi vợi (2.3).
Trữớng hủp s k = 1 , cử thº l p k = 0 ữủc ã cêp tữỡng tỹ v suy ra iãu trĂi vợi giÊ thiát tữỡng tỹ Ta kát luên rơng R 0 s ∩ R 0 p = ∅ nhữ nhên x²t
Bữợc 6: é Ơy, ta ch¿ ra rơng: ∪ s∈{0,1} n R 0 s = I Thêt vêy: ∪ s∈{0,1} n R s 0 ⊆ I bði Bữợc 4 M°t khĂc, cho x ∈ I bĐt ký thẳ x k ∈ [0, 1) , vợi mồi k ∈ {1, , n} ành nghắa s = s(x) ∈ {0, 1} n nhữ sau: Cho k ∈ {1, , n} , náu x k ∈
Để chứng minh rằng x + s.U thuộc R s, chúng ta cần xem xét các điều kiện của các biến x k và s k Nếu x k nằm trong khoảng [y k , 1), thì s k sẽ được gán giá trị 0; ngược lại, nếu x k không nằm trong khoảng đó, s k sẽ bằng 1 Điều này cho thấy rằng tổng của x k và s k sẽ luôn thuộc R s Hơn nữa, để khẳng định rõ ràng rằng σ(x k + s k) = s k cho mọi k trong tập {1, , n}, chúng ta cần đảm bảo rằng các yếu tố này tương thích với định nghĩa của không gian R s và hàm σ.
Thêt vêy, Cho k ∈ {1, , n} : +) Náu x k ∈ [0, y k ) thẳ s k = 1 v do vêy 1 ≤ x k + s k < y k + 1 < 2 , nản tứ ành nghắa cừa σ ta suy ra σ(x k + s k ) = 1 = s k +) Náu x k ∈ [y k , 1) thẳ s k = 0 Do õ x k + s k ∈ [y k , 1) ⊆ [0, 1) v σ(x k + s k ) = 0 = s k
Mởt quan sĂt hỳu ẵch: h(z) = h(z − s.U ) , vợi mồi z ∈ R n Thêt vêy, Ơy l l hằ quÊ trỹc tiáp tứ tẵnh tuƯn ho n cừa h tữỡng ựng vợi cỡ sð U
Bữợc 8 : é Ơy ta ch¿ ra rơng cĂc tẵch phƠn ữủc ỏi họi l bơng nhau khi y k ∈ [0, 1) vợi mội k ∈ {1, , n} Ưu tiản ta quan sĂt rơng: vẳ h ữủc xĂc ành trản R n v khÊ tẵch trản
Bài viết này trình bày về việc phân tích biến động của hàm khối lượng (density function) trong không gian I, thông qua việc sử dụng vectơ và các phân phối xác suất trong U Chúng tôi đã chỉ ra rằng R n có thể được xem như một miền ẩm ướt bên trong không gian I, từ đó suy ra rằng hàm khối lượng trong R n phụ thuộc vào các yếu tố như tán xạ và cấu trúc của các biến ngẫu nhiên Đặc biệt, I y là tập hợp các biến ngẫu nhiên được mô tả trong không gian ∪ s∈{0,1} n (I + s.U) của 2 n biến ngẫu nhiên trong không gian I, cho thấy sự tương tác giữa các yếu tố này ảnh hưởng đến hàm khối lượng trong I y.
Bây giờ, bóng đá trở thành một phần không thể thiếu trong đời sống xã hội, với sự phát triển mạnh mẽ của các giải đấu và sự quan tâm của người hâm mộ Tình cảm của người dân dành cho môn thể thao này ngày càng tăng, đặc biệt là trong các sự kiện lớn Hơn nữa, sự kết nối giữa các cầu thủ và người hâm mộ thông qua mạng xã hội cũng góp phần làm tăng cường sức hấp dẫn của bóng đá hiện nay.
Bữợc 9: é Ơy ta kát thúc chựng minh bơng x²t trữớng hủp cừa bĐt kẳ y ∈ R n
Sỷ dửng h m số nguyản lợn nhĐt ta cõ thº viát: y = n
([y k ] + ˆ y k )u k , trong õ: y ˆ k = y k − [y k ] ∈ [0, 1) , vợi mồi k ∈ {1, , n} Vẳ thá, kẵ hiằu y ˆ := P n k=1 y ˆ k u k v [y] := P n k=1 [y k ]u k v sỷ dửng iãu kiằn h m h l tuƯn ho n, theo cỡ sð U
Ta cõ: h(x + y) = h(x + ˆ y + [y]) = h(x + ˆ y) , vợi mồi x ∈ R n Vêy h y = h y ˆ v vẳ thá, tứ Bữợc 8 (vợi y ˆ thay bơng y ), ta kát luên rơng h y khÊ tẵch trản I v R
Bờ ã 2.2 cho hàm g: R^n → R với miền I ⊂ R^n, giả sử hàm g là Lebesgue đo được trên I Các hàm số u_1, , u_n là các vectơ chuẩn tĩnh và thỏa mãn g(x + u_k) = g(x) với mọi x ∈ R^n và mọi k ∈ {1, , n} Nếu g thỏa mãn điều kiện (2.1), thì hàm này đạt cực tiểu toàn cục.
Nhữ Â giÊi thẵch ð mửc 2.1.1, vẳ e ig l o ữủc trản siảu lêp phữỡng
I , nõ l o dữủc trản R n v do õ bĐt kẳ siảu lêp phữỡng n o ãu ữủc chùa trong R n
Nõ ữủc biát án nhiãu v dạ d ng suy ra tứ (2.1) rơng: g(αx) = αg(x) vợi mội số thỹc α v mội x ∈ R n
Tứ cổng thực ời bián, suy ra rơng: h α := e iαg l o ữủc trản R n v bà ch°n, nõ l tẵch phƠn Lebesgue trản I Cho α > 0 l số hỳu t¿ thọa mÂn: R
Nõ s³ ch¿ ra rơng hiằn tÔi α tỗn tÔi Cố ành y ∈ R n Theo (2.1), ta câ: e iαg(x+y) = e iαg(x) e iαg(y) , i.e., h α (x + y) = h α (x)e iαg(y)
Bơng viằc sỷ dửng tẵnh tuƯn ho n cừa h α , Bờ ã 2.1 , v R
I h α (x)dx 6= 0 , ta kát luên rơng: 1 = e iαg(y) Phữỡng trẳnh n y úng vợi mồi y ∈ R n Vẳ vêy, αg(y) ∈ {2πk : k ∈ Z } , vợi mồi y ∈ R.
GiÊ sỷ phÊn chựng rơng: αg(y ) 6= 0 cho mởt v i y °t k 0 ∈ Z, thọa mÂn: 2πk 0 = αg(y 0 ) Vẳ k 0 6= 0 v vẳ g(qy 0 ) = qg(y 0 ) cho mội số hỳu t¿ q , ta cõ: αg y 0
Ta cỏn cƯn chựng minh rơng: R
I e iαg(x) dx 6= 0 , vợi số số hỳu t¿ dữỡng α Náu iãu n y khổng úng, thẳ: R
I e iαg(x) dx = 0 úng vợi mồi α ∈ (0, 1] Nhữ mởt hằ quÊ:
Vợi mội số hỳu t¿ α ∈ (1, 0] bơng cổng thực ời bián.
Vẳ vêy, cho trữợc: y ∈ R n v α ∈ (0, 1] hỳu t¿, ta cõ:
S e ig(x) dx = 0 , vợi bĐt ký S l mởt bÊn sao nhà nguyản cừa
I , tực l ta thu ữủc S tứ I bơng viằc chia t¿ lằ I bði 2 −m , vợi m l số nguyản khổng Ơm v bián ời nõ bơng mởt vecto cõ dÔng: y = n
2 m u k , m k ∈ Z iãu trản úng ngay cÊ khi ta bọ v i phƯn cừa biản cừa cĂc bÊn sao nhà nguyản cừa I , l m chúng trð th nh nỷa - mð.
Cử thí dụ: S = ∪ ∞ m=1 S m trong đó S m là bên sau nhà nguyển nỷa - mð cừa I với mọi m ∈ N và S m ∩ S p = ∅, m ≠ p Dựa vào tính chất hợp với tẵnh cởng ám ữủc của tẵch phƠn, suy ra với mọi têp mð khĂc rộng S, ta có:
Mởt số bián thº cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy
Phữỡng trẳnh Jensen
Trong không gian R^n, xét hai điểm x, y thuộc R^n hoặc một tập con của R^n Giả sử S là một tập con mở của R^n và f: S → R là một hàm số thỏa mãn điều kiện (2.7) Với mọi x, y thuộc S, nếu tồn tại một hằng số c ∈ R và một hằng số b, sao cho f(x) = cx + b với x thuộc S, thì hàm số f có tính chất tuyến tính trong tập S.
2 ∈ S , nản (2.1) ho n to n ữủc xĂc ành.
Khi xét một hàm số f: R → R thỏa mãn (2.1) và một hằng số b ∈ R sao cho f(x) = g(x) + b với mọi x ∈ S, ta có thể xem xét sự tồn tại của các phần tử trong S và các điều kiện khác nhau của S Nếu tồn tại một siêu lớp phương thức chứa trong S, thì ta có e^ig = e^(-bi) khi xét hàm số này.
Vẳ thá tỗn tÔi c ∈ R n , sao cho g (x) = cx , vợi x ∈ R n Vêy, f (x) = cx + b vợi mồi x ∈ S , v mởt sỹ kiºm tra ngay lêp tực ch¿ ra h m n y thọa mÂn (2.7), vợi mồi (x, y) ∈ S 2
Phữỡng trẳnh Cauchy nhƠn tẵnh
Hàm số f(x + y) = f(x)f(y) trong không gian R²n cho thấy nếu f(x₀) = 0 tại một điểm x₀ ∈ Rn, thì f(x) = 0 với mọi x ∈ Rn Điều này dẫn đến kết luận rằng hàm số f phải đồng nhất bằng không Hơn nữa, nếu f(x) có dạng f(x) = f(x²), thì nó cũng phải thỏa mãn tính chất này.
2 , ∀x ∈ R n , iãu õ xÊy ra khi f khổng l h m hơng 0, thẳ f(x) > 0, ∀x
Khi cặp (x, y) thuộc vào một tập con của R^n, ta có thể thấy rằng nó không chỉ ra rõ ràng mối quan hệ giữa các yếu tố trong (2.8) mà còn ảnh hưởng đến tính chất dữ liệu của f Giả sử S là một tập con của R^n và A là một tập con thỏa mãn điều kiện S ∪ (S + S) ⊆ A Khi đó, f: A → R là một hàm dữ liệu thỏa mãn điều kiện (2.8) với mọi cặp (x, y) thuộc S^2.
Với giếng sỉ, một tập con lỗi có trong không gian R^n được xác định bởi hàm f(x) = e^(cx) cho mọi x thuộc S Điều này cho thấy rằng tồn tại một hàm số f trong R^n sao cho hàm này thỏa mãn điều kiện trên.
Vẳ f l dữỡng, h m số g : A → R xĂc ành bði g := ln(f ) cụng xĂc ành trản A v lĐy logarit cừa (2.8) ta thĐy rơng g l cởng tẵnh.
Vẳ f i = exp(i ln(f)) = e ig ữủc giÊ sỷ l o ữủc trản S ho°c I
Tứ ành lỵ 2.5 ho°c ành lỵ 2.3, suy ra tỗn tÔi c ∈ R n sao cho: g(x) = cx, ∀x ∈ R n
Vẳ vêy: f(x) = e cx , ∀x ∈ S Vêy, f thọa mÂn (2.8).
Phữỡng trẳnh Cauchy luƠn phiản
Hàm nhiễu, đặc ký nghiệm của phương trình Cauchy (2.1) là nghiệm của (2.9), nhưng ngữ cảnh lại không rõ ràng; do đó, chúng ta chỉ có thể suy ra quan hệ f(x + y) = ±(f(x) + f(y)) (đúng, điều này phụ thuộc vào cặp (x, y)).
Tuy nhiản, mồi nghiằm cừa (2.9) ữủc xĂc ành trản mởt nỷa nhõm S cừa R n phÊi l cởng tẵnh.
Từ các công thức đã cho, ta có thể suy ra rằng hàm số f: S → R thỏa mãn điều kiện f(x) = cx cho mọi x thuộc tập S Điều này cho thấy rằng hàm f là một hàm tuyến tính với hệ số c, và nó có thể được áp dụng cho các điểm trong không gian R^n.
Phữỡng trẳnh Pexider
Trong bài viết này, chúng ta nghiên cứu về phương trình hàm Cauchy và mối liên quan của nó với ba hàm biến số: f(x + y) = g(x) + h(y) trong không gian (x, y) thuộc R²n hoặc một tập con của R²n Đặc biệt, cho S ⊆ Rn là một nửa nhóm với 0 ∈ S, chúng ta giả sử rằng f, g, h đều thỏa mãn phương trình (2.10) với mọi (x, y) ∈ S² Nếu S sinh ra Rn và chứa một hình lập phương, thì tồn tại c ∈ Rn và các hằng số a, b ∈ R sao cho f(x) = c.x + a + b, g(x) = c.x + a và h(x) = c.x + b với mọi x ∈ S.
Cho a := g(0), b := h(0) v cho p : S −→ R ữủc xĂc ành bði: p(x) := f (x) − a − b, vợi mồi x ∈ S Hiºn nhiản, ta cõ: f (x) = p(x) +a + b, g(x) = p(x) +a, h(x) = p(x) + b , vợi mồi x ∈ S v p l cởng tẵnh.
Vẳ số mụ phực cừa (2.1), cĂc h m f, g ho°c h ữủc giÊ sỷ l o ữủc cừa tƠm hẳnh lêp phữỡng, biºu diạn trản suy ra rơng e ip l o ữủc cừa tƠm hẳnh lêp phữỡng.
Tứ õ, mởt nỷa nhõm sinh ra mởt nhõm giao hoán thỹc sỹ mÔnh tÔo ra nõ Kát quÊ trỹc tiáp tứ ành nghắa 2.1 và S + S ⊆ S, với A := S, suy ra tồn tại c ∈ R n sao cho: p(x) = c.x với mọi x ∈ S Không ành sau dạ d ng kiºm tra rơng nhên ữủc bởi ba f, g, h thu ữủc l nghiằm phữỡng trẳnh (2.10).
Mởt số vẵ dử minh hồa
Trong chữỡng n y, tĂc giÊ trẳnh b y ành nghắa, tẵnh chĐt cừa phữỡng trẳnh h m Trong õ, tĂc giÊ i sƠu vã nghiản cựu phữỡng trẳnh h m Cauchy v mởt số b i toĂn ựng dửng.
Nởi dung chẵnh ữủc tham khÊo tÔi cĂc t i liằu [1], [2], [3].
1.1 Tờng quan vã phữỡng trẳnh h m. ành nghắa 1.1 Phữỡng trẳnh h m l phữỡng trẳnh m ân l cĂc h m số GiÊi phữỡng trẳnh h m tực l tẳm cĂc h m số chữa biát õ.
Tiáp cên phữỡng trẳnh h m là một quá trình mà mỗi người có thể áp dụng các cỡ sð và phữỡng phĂp khác nhau Tuy nhiên, dựa vào °c trững cừa cĂc h m, ta có thể xây dựng được một số ành hữợng cụ thể.
Thá cĂc giĂ trà bián phũ hủp là một khái niệm quan trọng trong xác suất và thống kê HƯu hát cĂc giĂ trà ban Ưu cõ thº thá v o l, với các giá trị x = 0, x = 1, giúp xác định các tính chất quan trọng của biến ngẫu nhiên Thông qua việc phân tích các giá trị đặc biệt của hàm phân phối, chúng ta có thể hiểu rõ hơn về hành vi của biến ngẫu nhiên và các mối quan hệ thống kê liên quan.
Quy nạp toán học là phương pháp sử dụng giá trị f(x) và cách quy nạp với n ∈ N để chứng minh f(n) Sau đó, ta có thể chứng minh f(n+1) và f(e) Phương pháp này thường áp dụng trong bài toán mà đòi hỏi xác định trần Q, từ đó mở rộng trần các tập số lớn hơn.
3 Sỷ dửng phữỡng trẳnh Cauchy v kiºu Cauchy.
5 Tẳm iºm cố ành ho°c giĂ trà 0 cừa cĂc h m.
6 Nghiản cựu tẵnh ỡn Ănh v to n Ănh cừa cĂc h m lụy thứa trong phữỡng trẳnh.
7 Dỹ oĂn h m v dũng phữỡng phĂp phÊn chựng º chựng minh iãu dü o¡n óng.
8 TÔo nản cĂc hằ thực truy hỗi.
9 Miảu tÊ tẵnh chĐt chđn, l´ cừa h m số.
Tứ mởt số ành hữợng nảu trản, tĂc giÊ tƠm ưc phƯn phữỡng trẳnh h m Cauchy nản  i sƠu v o nghiản cựu nõ.
1.2 Phữỡng trẳnh h m Cauchy. ành nghắa 1.2 Phữỡng trẳnh h m Cauchy l phữỡng trẳnh h m cõ dÔng: f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R , (1.1) trong õ, f (x) l h m xĂc ành trản R.
H m f thọa mÂn phữỡng trẳnh f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R , ữủc gồi l h m cởng tẵnh. ành lỵ 1.1 H m số liản tửc f(x) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.1) khi v ch¿ khi: f (x) = ax, ∀x ∈ R ,trong õ, a l hơng số tũy ỵ.
Cho x = y , ta câ: f (2x) = 2f (x) Bơng cĂch quy nÔp theo n , ta s³ chựng minh: f (nx) = nf (x), ∀n ∈ N , x ∈ R
Thêt vêy, Vợi n = 1 v n = 2 hằ thực cƯn chựng minh l úng.
Gi£ sû: f(kx) = kf (x), k ≥ 1 Khi â: f ((k + 1)x) = f (x + kx) = f (x) + f (kx) = f (x) + kf (x) = (k + 1)f (x).
Cho x = y = 0 , suy ra: f(0) = 0 Tiáp theo, thay x = −y , ta ữủc:
Náu n < 0 , thẳ: f (nx) = f ((−n).(−x)) = −nf (−x) = nf (x) Vêy f (nx) = nf (x), ∀n ∈ Z.
Do â ta câ : n→∞ lim r n = α v α x = lim n→∞ (r n x).
Vẳ f liản tửc nản: f (αx) = lim n→∞ f (r n x) = lim n→∞ r n f (x) = αf (x) (1.2) °t a = f(1) thẳ f (x) = f (x.1) = xf (1) = ax Vêy f (x) = ax, ∀x ∈ R , a ∈ R cho trữợc.
Ngữủc lÔi, náu f(x) = ax, ∀x ∈ R , a ∈ R thẳ dạ thĐy rơng f l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh Cauchy. iãu kiằn liản tửc cừa h m f tữỡng ữỡng vợi mởt trong cĂc iãu kiằn sau:
Bờ ã 1.1 Cho f : R → R l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh Cauchy (1.1) khổng ỗng nhĐt bơng 0 Khi õ, cĂc mằnh ã sau l tữỡng ữỡng:
(4) f ỡn iằu thỹc sỹ trản mởt khoÊng trong R,
(5) f bà ch°n trản mởt khoÊng (ho°c mởt oÔn) trong R.
Tứ ph²p chựng minh cừa ành lỵ 1.1, ta cõ: f (rx) = rf (x), ∀x ∈ R , r ∈ Q
Tứ (1) suy ra (2) v tứ (2) suy ra (3) l hiºn nhiản.
Ta chùng minh: (3) suy ra (1) Thêt vêy, ∀x 0 ∈ R, f (x) = f(x − x 0 + x 0 ) = f (x − x 0 ) + f (x 0 ).
Náu lim n→∞ (x n ) = x 0 thẳ: n→∞ lim f (x n ) = lim n→∞ [f (x n − x 0 ) + f (x 0 )] = f (0) + f (x 0 ) = f (x 0 ).Vêy f liản tửc tÔi x
Chựng minh: tứ (1) suy ra (4).
Theo ành lỵ 1.1: f (x) = ax, ∀x ∈ R , a l hơng số.
Vẳ f khổng ỗng nhĐt bơng 0 nản a 6= 0
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ f ỡn iằu trản mởt khoÊng I ⊂ R Ta giÊ thiát, f ỡn iằu tông.
Gi£ sû: lim n→∞ x n = x 0 Vợi mồi δ > 0 , chồn n 0 ∈ N sao cho: x 0 − ε n 0
Vêy f liản tửc tÔi x 0 nản f liản tửc.
Chùng minh: (1) ⇔ (5) Ta ch¿ c¦n chùng minh (5) suy ra (1) GiÊ sỷ f bà ch°n trản khoÊng I ⊂ R.
L§y x 0 ∈ I, ε > 0 , sao cho: (x 0 − ε, x 0 + ε) ⊂ I Vợi mồi x ∈ (−ε, ε) : f(x) = f (x + x 0 ) − f (x 0 ) vợi x + x 0 ∈ I
Do õ, f bà ch°n trản (−ε, ε) Hay, tỗn tÔi M > 0 , sao cho: |f (x)| ≤ M , vợi |x| < ε
Vợi mồi δ > 0 , chồn n 0 ∈ N sao cho:
Vêy lim n→∞ f (x n ) = 0 = f (0) nản f liản tửc tÔi 0.
Tứ ành lỵ 1.1 v Bờ ã 1.1 , suy ra h m f thọa mÂn mởt trong cĂc iãu kiằn cừa Bờ ã l nghiằm cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy khi v ch¿ khi: f (x) = ax, ∀x ∈ R , vợi a l hơng số.
Ta cõ mởt số hằ quÊ sau:
Hằ quÊ 1.1 H m số f liản tửc trản R l nghiằm cừa phữỡng trẳnh h m f (x + y) = f(x).f (y), ∀x, y ∈ R , (1.4) khi v ch¿ khi f (x) = b x , ∀x ∈ R , b > 0 l hơng số.
Náu cõ x 0 ∈ R, sao cho: f(x 0 ) = 0 , thẳ: f (x) = f(x − x 0 + x 0 ) = f (x − x 0 )f (x 0 ) = 0, ∀x ∈ R
Ta giÊ thiát f (x) 6= 0, ∀x ∈ R Hay f (x) khổng ỗng nhĐt bơng 0 Khi â, f (x) = f x
Hằ thực (1.4) tữỡng ữỡng vợi: ln[f (x + y)] = ln[f (x)f (y)] = lnf (x) + lnf (y), hay g(x + y) = g(x) + g(y), trong â: g (x) = ln[f (x)] Theo ành lỵ 1.1, ta cõ: g(x) = ax, a ∈ R Vêy f (x) = e ax = b x , b = e a > 0.
Hằ quÊ 1.2 H m số f liản tửc trản R {0} l nghiằm cừa phữỡng trẳnh h m f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R {0} , khi v ch¿ khi: f (x) = a ln|x|, ∀x ∈ R {0}
⇔ g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ R trong õ, g (u) = f (e u ) liản tửc trản R. p dửng ành lỵ 1.1, ta cõ: g(u) = a u Suy ra: f (x) = g(lnx) = a lnx, ∀x ∈ R + +) Vợi x < 0 , ta cõ: f x 2
Hằ quÊ 1.3 H m số f liản tửc trản R l nghiằm cừa phữỡng trẳnh h m f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R {0} , khi v ch¿ khi f (x) = |x| α , ∀x ∈ R {0} , α l hơng số.
Phữỡng trẳnh trản cõ nghiằm l : g(t) = a t , ∀t ∈ R.
Vẳ x = e t , tữỡng ữỡng t = ln x , nản: f (x) = g(ln x) = a ln x = e ln a ln x
X²t x, y ∈ R − , khi â −x, −y ∈ R + Náu x = y , ta nhên ữủc: f x 2
= f 2 (x) > 0 Vẳ x 2 > 0 , theo chựng minh trản f x 2
Suy ra f(x) = ±|x| α Vêy nghiằm cừa phữỡng trẳnh  cho l :
1.3 Phữỡng trẳnh h m Cauchy tờng quĂt
Cho phương trình hàm: f(x) + f(y) − f(x + y) = g(H(x, y)) (1.5), trong đó f và g là các hàm phải xác định, H là hàm đã cho Khi g ≡ 0, phương trình (1.5) trở thành phương trình hàm Cauchy Các hàm số được xét là hàm số thực, và tập xác định của chúng là R hoặc tập con của R.
Sau Ơy ta x²t mởt số trữớng hủp °c biằt cừa (1.5).
+ H(x, y) = xy , khi â (1.5) trð th nh: f (x) + f (y) − f (x + y) = g(xy) (1.6)
+ H(x, y) = xy(x + y) x 2 y 2 + xy v g = f : (1.5) trð th nh: f(x) + f(y) − f (x + y) = f xy(x + y) x 2 + y 2 + xy
Ta nhên thĐy rơng, cĂc phữỡng trẳnh (1.6)-(1.8) l nhỳng dÔng b i toĂn quen thuởc trong lỵ thuyát phữỡng trẳnh h m.
+ Náu g(x) = c ( g l h m hơng) thẳ vợi bĐt cự h m H Â cho n o, (1.5) ãu tữỡng ữỡng vợi: f(x) + f(y) − f (x + y) = c.
Ró r ng nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh trản l : f (x) = A(x) + c, trong õ, A(x) l mởt h m cởng tẵnh bĐt ký, hay A(x) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh Cauchy (1.1).
Vêy nghiằm cừa (1.5) trong trữớng hủp n y l : f (x) = A(x) + c, v g(x) = c.
+ Tữỡng tỹ trong trữớng hủp H (x, y) = c , cổng thực nghiằm cừa (1.5) l : f (x) = A(x) + g(c) v g l h m b§t ký. trong õ, A(x) l h m cởng tẵnh tũy ỵ.
Chúng ta gồi nghiằm (f, g) cừa phữỡng trẳnh (1.5) l tƯm thữớng náu f l afin, tực l f (x) = A(x) + c , trong õ A(x) l cởng tẵnh v c l hơng số.
+ º ỵ rơng cĂc phữỡng trẳnh (1.6)-(1.8) l dÔng phữỡng trẳnh (1.5) vợi H(x, y) câ d¤ng sau:
Vẳ dạ thĐy (1.6)-(1.8) tữỡng ựng vợi viằc chồn: φ(x) = x 2 , ln x, x −1 v ψ(u) = −u
2 , e −u , u −1 BƠy giớ ta x²t mởt trữớng hủp °c biằt cừa (1.5) cõ dÔng nhữ sau f (x) + f (y) − f (x + y) = g(φ(x) + φ(y) − φ(x + y)) (1.10)
Ró r ng, náu φ l afin thẳ vợi mồi g phữỡng trẳnh (1.10) ãu cõ nghiằm f l afin, tực l (1.10) cõ nghiằm tƯm thữớng.
Vẳ vêy chúng ta x²t φ khổng afin v kỵ hiằu I l (α, +∞) , (ho°c [α, +∞) , (−∞, +∞) , (−∞, −α] , (−∞, −α) ), trong â α ≥ 0
1.4 Mởt số b i toĂn ựng dửng
Tứ cỡ sð lỵ thuyát  nảu ð phƯn trản, sau Ơy tĂc giÊ s³ trẳnh b y ựng dửng cừa phữỡng trẳnh Cauchy º giÊi quyát mởt số b i toĂn.
B i toĂn 1.1 XĂc ành h m số f (x) ỡn iằu trản R v thọa mÂn (1.1).
Vẳ f (x) thọa mÂn (1.1) nản: f(x) = a x, ∀x ∈ R, vợi a = f(1) ∈ R tũy ỵ Ta ch¿ ra, náu f ỡn iằu thẳ: f (x) = a x, ∀x ∈ R.
Ta chựng minh trữớng hủp f khổng giÊm, cỏn trữớng hủp f khổng tông thẳ chựng minh tữỡng tỹ.
GiÊ sỷ, f khổng giÊm trản R Khi õ, a = f (1) ≥ f (0) = 0 Vợi mội x ∈ R bĐt kẳ, ta x²t hai dÂy số hỳu t¿ s n giÊm v q n tông cũng cõ giợi hÔn l x Khi â, ∀n ∈ N, ta câ:
( f (s n ) = a s n , f(q n ) = a q n M°t khĂc, f khổng giÊm trản R nản: a s n ≥ f(s n ) ≥ f (x) ≥ f (q n ) = a q n , ∀n ∈ N LĐy giợi hÔn hai vá khi n → +∞ , ta cõ: lim n→+∞ as n ≥ f (x) ≥ lim n→+∞ aq n ,
Vêy f (x) = ax , những x ∈ R bĐt kẳ nản f (x) = ax, ∀x ∈ R.
Từ tính chất phản xạ của hàm số f tại điểm x = 0, ta có thể suy ra f(x) = x f(1), ∀x ∈ R Điều này cho phép chúng ta quy về tính chất tuyến tính của hàm số f Đây là kết quả quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán về hàm số và phương trình hàm.
+ Náu thay giÊ thiát f ỡn iằu bði: f(x) > 0, ∀x ∈ R v f thọa mÂn (1.1) thẳ suy ra f l h m khổng giÊm trản R, do õ: f(x) = ax, ∀x ∈ R v a ≥ 0 Náu f (x 2n ) = [f(x)] 2n , n ∈ N ∗ , suy ra: f (x) ≡ 0 ho°c f (x) = x, ∀x ∈R.
Cỏn náu, f (x) ≤ 0, ∀x ≥ 0 suy ra: h m f khổng tông trản R, hay f (x) = ax, ∀x ∈ R, vợi a ≤ 0
B i toĂn 1.2 Tẳm cĂc h m số f (x) xĂc ành trản R v thọa mÂn (1.1) v bà ch°n trản oÔn [c, d] vợi c < d bĐt kẳ.
Lới giÊi: GiÊ sỷ f l h m thọa mÂn b i toĂn.
Do f thọa mÂn (1.1) nản: f (x) = ax, ∀x ∈ Q, trong õ: a = f (1)
Thêt vêy, lĐy x ∈ R bĐt ký.
Khi õ, vợi mội n ∈ N tỗn tÔi r n ∈ Q (phử thuởc v o n v x ), sao cho: nx − d ≤ r n ≤ nx − c.
Suy ra, f (nx − r n ) bà ch°n, do c ≤ nx − r n ≤ d
Suy ra, |f(nx − r n )| + |a(nx − r n )| ≥ n|f (x) − ax| M°t khĂc, |a(nx − r n )| ≥ max{|ac|, |ad|} , v f(nx − r n ) bà ch°n vợi mồi n ∈ N.
Do õ, n|f (x) − ax| cụng bà ch°n vợi mồi n ∈ N. iãu n y ch¿ xÊy ra khi: f (x) − ax = 0 Vêy f (x) = ax, ∀x ∈ R.
B i toĂn 1.3 XĂc ành h m số f (x) liản tửc trản R thọa mÂn f x + y + z
Do vêy, vợi x, y ∈ R ta cõ g(x + y) = g
Vẳ f(x) liản tửc nản g(x) liản tửc.
Theo kát quÊ vã phữỡng trẳnh Cauchy ta cõ: g(x) = ax, hay f (x) = ax + b, b = f(0)
B i toĂn 1.4 Cho h m số f ỡn iằu trản R v thọa mÂn f(x + y) = f (x) + f (y) + 2xy, ∀x, y ∈ R (1.11)
Líi gi£i: °t g(x) = f(x) − x 2 thẳ phữỡng trẳnh(1.11) trð th nh g(x + y) + (x + y) 2 = g(x) + g(y) + x 2 + y 2 + 2xy.
Suy ra: g(x + y) = g(x) + g(y) Theo phữỡng trẳnh Cauchy cõ: g(x) = ax v f (x) = x 2 + ax Thỷ lÔi, ta thĐy f (x) thọa mÂn phữỡng trẳnh (1.11).
B i toĂn 1.5 Tẳm tĐt cÊ cĂc h m số f : R + → R {0} thọa mÂn f
= f (x)f (y), ∀x, y > 0 (1.12) Lới giÊi: Thay y = 1 , v o phữỡng trẳnh (1.12) ta ữủc: f
Tứ (1.12) v (1.13), ta ữủc: af (xy) = f (x)f (y).
Suy ra f (xy) a = f (x) a f (y) a Vêy g(xy) = g(x)g(y), ∀x, y > 0, trong â g(x) = f (x) a Vẳ f liản tửc trản R + nản g cụng liản tửc trản R +
Tứ mởt hằ quÊ cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy, ta cõ: g(x) = x α , ∀x ∈ R + , 0 6= α ∈ R
Vêy f (x) = ax α , ∀x ∈ R + Thỷ lÔi ta thĐy f (x) = ax α , ∀x ∈ R + , thọa mÂn (1.12).
B i toĂn 1.6 Tẳm c°p f, g xĂc ành v liản tửc trản (1, +∞) sao cho f (xy) = xg(y) + yg(x), ∀x, y > 1 (1.14)
Cho x = y , thay v o (1.14) ta câ: f(x 2 ) = 2xg(x).
2x Thay v o (1.14) ta câ f (xy) = xf(y 2 )
Vẳ g liản tửc nản h l h m liản tửc p dửng phữỡng trẳnh Jensen ta ữủc: h(x) = ax + b
⇒ g(x) = alnx + b trong õ a, b l cĂc hơng số.
Thỷ lÔi, ta thĐy f (x), g(x) thọa mÂn phữỡng trẳnh (1.14).
B i toĂn 1.7 Tẳm tĐt cÊ cĂc h m f(x) liản tửc trản R v thọa mÂn f (x + y) = f (x) + f (y) + f (x)f (y) (1.16)
Phữỡng trẳnh (1.16) tữỡng ữỡng vợi: f(x + y) + 1 = (f(x) + 1).(f (y) + 1). °t g(x) = f(x) + 1 Ta câ g(x + y) = g(x)g(y). p dửng hằ quÊ cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy, ta ữủc g(x) = a x Vêy: f(x) = a x − 1
B i toĂn 1.8 Cho a ∈ R, tẳm tĐt cÊ h m liản tửc f : R → R thọa mÂn f (x − y) = f (x) − f (y) + axy, ∀x, y ∈ R (1.17)
Thay x = 1, y = 0 v o phữỡng trẳnh (1.17), ta cõ: f(1) = f(1) − f(0).
Suy ra f(0) = 0 Thay x = 1, y = 1 v o phữỡng trẳnh (1.17) ta ữủc: a = 0 Vêy vợi a 6= 0 thẳ h m số f khổng tỗn tÔi.
Ta viát lÔi quan hằ h m f (x − y) = f (x) − f (y), ∀x, y ∈ R
Suy ra f(x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R. p dửng phữỡng trẳnh h m Cauchy, ta cõ: f (x) = cx, ∀x ∈ R , c l hơng số.
B i toĂn 1.9 Tẳm tĐt cÊ h m số f : R → R liản tửc v thọa mÂn f (x + y) + f (z) = f (x) + f(y + z), ∀x, y, z ∈ R (1.18)
Ta bián ời phữỡng trẳnh (1.18) tữỡng ữỡng vợi: f(x + y) − f (x) = f(y + z) − f (z), ∀x, y, z ∈ R (1.19)
Do vá phÊi cừa (1.19) khổng chựa x nản vá trĂi cừa (1.19) khổng phử thuởc v o x °t g(y) = f (x + y) − f (x) , ta câ: f (x + y) − f(x) = g(y), ∀x, y ∈ R Vợi x = 0 , ta cõ: f (y) = g (y) + f (0) = g(y) + a, a = f (0).
Khi õ phữỡng trẳnh (1.18) trð th nh: g(x + y) + a + g (z) + a
Do õ hằ thực (1.20) trð th nh: g(x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R (1.21)
Phữỡng trẳnh (1.21) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy nản ta câ: g(x) = cx, ∀x ∈ R , c l hơng số.
Vêy nghiằm cừa b i toĂn  cho l : f(x) = cx + a.
B i toĂn 1.10 (IMO 2002) Tẳm tĐt cÊ h m số f : R → R thọa mÂn iãu kiằn
Náu f ≡ c , thay v o (1.22) ta ữủc c = 0 ho°c c = 1
GiÊ sỷ tỗn tÔi h m số f(x) khĂc hơng số thọa mÂn yảu cƯu b i toĂn Thay x = z = 0 v o phữỡng trẳnh (1.22), ta ữủc:
2 , ∀y ∈ R , l iãu vổ lỵ (trĂi vợi giÊ thiát f (x) khĂc hơng số).
Vêy f (0) = 0 Thay y = 1, z = t = 0 v o phữỡng trẳnh (1.22), ta ữủc: f(x)f(1) = f (x), ∀x ∈ R
Vẳ f (x) 6= 0 nản f (1) = 1 Thay z = t = 0 v o phữỡng trẳnh (1.22), ta ữủc: f (x)f (y) = f (xy), ∀x, y ∈ R °c biằt, f(u) = (f ( √ u)) 2 ≥ 0, ∀u > 0 Tiáp tửc thá x = 0, y = t = 1 v o phữỡng trẳnh (1.22), ta ữủc:
Vêy f (x) l h m chđn nản ta ch¿ cƯn xĂc ành f (x) , vợi x > 0 X¡c ành h m sè g : R + → R, trong â: g(u) = f( √ u) ≥ 0
Khi â, ∀x, y > 0 ta câ: g(xy) = f ( √ xy) = f √ x √ y
M f l h m số chđn nản g(x 2 ) = f (x), ∀x ∈ R Thay z = y, t = x v o phữỡng trẳnh (1.22), ta ữủc: g(x 2 ) + g(y 2 ) 2
, ∀x, y ∈ R °t x 2 = a, y 2 = b , ta ữủc: g(a + b) = g(a) + g(b), ∀a, b ∈ R + Theo kát quÊ cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy, ta cõ: g(x) = cx, ∀x > 0.
B i toĂn 1.11 (VMO 1992) Cho h m số f : R → R thọa mÂn f (x + 2xy) = f(x) + 2f (xy), ∀x, y ∈ R (1.24) Biát f (1991) = a , hÂy tẵnh f (1992)
Thay x = 0 v o phữỡng trẳnh (1.24), ta ữủc: f (0) = 0 Thay y = −1 v o phữỡng trẳnh (1.24), ta ữủc: f (x) = −f(−x) Thay y = − 1
Vêy f l h m Cauchy: f (x) = cx, c l hơng số.
Theo giÊ thiát: f(1991) = a , suy ra c.1991 = a Do õ: c = a
B i toĂn 1.12 (VMO 2009) Tẳm h m số f : R → R liản tửc v thọa m¢n f (x − y).f (y − z).f (z − x) + 8 = 0, ∀x, y, z ∈ R (1.25)
Thay z = −x v y = 0 v o phữỡng trẳnh (1.25), ta ữủc: f 2 (x).f (−2x) = −8
Suy ra: f (x) = −2e g(x) Thay v o phữỡng trẳnh (1.25) ta cõ:
Trong (1.26), cho x = y = z = 0 Suy ra: g(0) = 0 Cho y = z = 0 , suy ra: g(x) = g(−x), ∀x ∈ R.
Do f liản tửc trản R, suy ra g liản tửc trản R.
Theo kát quÊ cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy ta cõ: g(x) = ax
Mởt số bián thº cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy v ựng dửng.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ nghiên cứu các khía cạnh liên quan đến phương trình Cauchy: f(x + y) = f(x) + f(y) Đây là một phương trình cơ bản trong lý thuyết phương trình hàm Chúng ta sẽ xem xét các giải pháp của nó và mối quan hệ của chúng với các tập con của không gian Euclid nhiều chiều Một số điều kiện cần thiết sẽ được giới thiệu, và chúng ta sẽ thảo luận về các điều kiện trong hàm số phức ở các phương trình Giải pháp của phương trình này cũng sẽ được xem xét, đặc biệt là sự tồn tại của hàm số thực (khác hàm hằng) với một tập không gian âm ủc của chu kỳ ở các biến số hữu tỉ Sẽ có sự phân tích các phương trình có liên quan như phương trình Jensen, phương trình Cauchy thuần nhất và phương trình Pexider.
Nởi dung chẵnh trong chữỡng n y ữủc tham khÊo t i liằu [4], [5].
2.1 Tiáp cên giĂ trà ban Ưu
Phữỡng trẳnh h m Cauchy tữỡng ữỡng vợi 3 kiºu viát: f(x + y) = f (x).f (y) , f (xy) = f(x) + f(y), f(xy) = f (x).f (y)
Trong mực này, tác giả trình bày các khía cạnh liên quan đến án, bao gồm tình giới thiệu và tình hình ảnh của nó dưới những lời giải thích mới, và trình bày các phương pháp mới để phân tích nó Kết quả ưu tiên được chứng minh là như sau:
Náu f : R n → R (n ∈ N) có tính chất là một số mũ phức của f là ở ô nào đó trong không gian, nghĩa là, nếu ở ô Lebesgue tràn một không gian nào đó (vì đó tràn một siêu lớp phức compact bất kỳ chứa trong quỹ cứu n y), thì f phải tuyến tính Nói cách khác, tồn tại c ∈ R n sao cho f(x) = cx, ∀x ∈ R n Điều này có nghĩa là c.x được hiểu là tổng của các tích giữa các thành phần c k và x k Các điều kiện tổng quát này hoà toàn có thể được áp dụng cho một số bài toán cụ thể, nhưng điều hiển nhiên của nó có thể thấy trong bài viết của Kac Trong mục 2.1.2, kết quả tưởng tượng như vậy được chứng minh bằng cách sử dụng phép tính gần đúng thông qua việc xem xét (2.1) như một bài toán giải tích liên quan đến các biến ngẫu nhiên Hai tác động trong phép tính gần đúng này là liệu rằng tồn tại nghiệm phi tuyến của (2.1) có vô số tập hợp của các chu kỳ và các chu kỳ ở lớp tuyến tính tràn trữớng hữu tỉ và miền xác định của một số nghiệm của (2.1) được ánh nghĩa trong topo nhiều chiều Giải thích trước đó được mở rộng đến các định lý như: định lý Jensen, định lý Cauchy trong miền và hơn nữa thỏa mãn điều kiện Các định lý Cauchy thuần nhất, đồng nhất với định lý Cauchy, định lý Pexider và tính ổn định của định lý Cauchy.
2.1.1 Trữớng hủp khi e if l ở o àa phữỡng, R n ành lỵ 2.1 Náu f : R n → R thọa mÂn (2.1) v e if l o ữủc àa phữỡng Lebesgue, thẳ tỗn tÔi c ∈ R n , sao cho: f(x) = c.x, ∀x ∈ R n
Chùng minh: p dửng h m số: t 7→ e it , t ∈ R trản cÊ hai vá cừa (2.1), ta cõ: e if(x+y) = e if(x) e if (y) , vợi tĐt cÊ x, y ∈ R n Cho I l mởt siảu lêp phữỡng bĐt kẳ khi e it l o ữủc.
LĐy bĐt kẳ y ∈ R n v x ∈ I v sỷ dửng h m số: t 7→ e if (x) e if(y) , x ∈ I l o ữủc trản I
Theo ảnh lẵn lời tiáng vã tẵnh liản tửc của ống cĐu o ữủc giữa hai nhóm bĐt kẳ (cụ thể, giữa một nhóm compact và nhóm ứớng tròn), suy ra rằng ống cĐu o ữủc e if liản tửc.
Vẳ Ênh cừa nõ ró r ng ữủc chựa trong ữớng trỏn ỡn và cừa ph¯ng phực C, cho thĐy rơng e if l mởt °c số (cử thº l , mởt ỗng cĐu liản tửc tứ R n án ữớng trỏn ỡn và trong C).
Theo mởt kát quÊ nời tiáng vã nhõm °c trững cừa R n ữa ra rơng tỗn t¤i c ∈ R n sao cho: e if (x) = e icãx , ∀x ∈ R n (2.2)
Bơng cĂch khĂc, ta cõ thº suy ra (2.2) m khổng cƯn theo ành lỵ ữủc trẳnh b y bơng cĂch dũng giợi hÔn dỹa v o chuội Fourier.
Dựa vào (2.2), chúng ta có thể xác định hàm số f(x) = c.x + 2πk(x) với mọi x thuộc Rn Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện (2.1) và (2.1) là tuyến tính, chúng ta có thể kết luận rằng hàm f cũng thỏa mãn (2.1) một cách rộng rãi Điều này cho thấy tính liên tục của hàm f và khả năng mở rộng của nó đến vô hạn một cách nhanh chóng.
GiÊ sỷ rơng iãu n y khổng úng, cử thº l k(x) 6= 0 , vợi x cố ành Thẳ theo (2.1) (vợi k thay thá f ), ta cõ: k x m
= k(x) m , vợi bĐt kẳ số nguyản dữỡng m °c biằt, iãu n y úng cho m > 2|k(x)| , mƠu thuăn.
Vẳ 0 < | k(x) m | < 0.5 < 1 nh÷ng k x m l số nguyản.
Do õ, k ≡ 0 v f (x) = c.x , vợi mồi x ∈ R n Cuối cũng, thỷ lÔi nhanh thĐy rơng f cõ dÔng tuyán tẵnh n y, văn thọa m¢n (2.1).
Sau Ơy l mởt số nhên x²t vã ành lỵ (2.1):
Nhên x²t 2.1 iãu kiằn chẵnh quy bưt buởc trản f l k²m ng°t hỡn o ữủc ỡn thuƯn.
Thêt vêy, náu f l o ữủc thẳ e if cụng vêy giống nhữ sỹ hủp th nh cừa f vợi h m số mụ phực: t 7→ e if , t ∈ R, l liản tửc.
Nõi cĂch khĂc, dũ e if l ỗng cĐu liản tửc (thuƯn nhĐt) thẳ chẵnh f khổng cƯn l o ữủc.
Vẵ dử ỡn giÊn nhữ sau: vợi mồi số nguyản m , cho A m l têp khổng o ữủc cừa [m, m+1) , v cho f : R → R ữủc ành nghắa bơng: f (x) := 2πm náu x ∈ A m v f (x) := −2π(m + 1) náu x ∈ [m, n + 1] \ A m
Vẵ dử khĂc, cõ l³ thú và hỡn l f (x) := 2π[g(x)], x ∈ R khi [t] l số nguyản lợn nhĐt khổng vữủt quĂ số thỹc t v g l nghiằm bĐt kẳ khổng tuyán tẵnh cừa (2.1).
Thể vầy, nếu \( f \) là một hàm liên tục trong khoảng \( [a, b] \), và \( f \) đạt cực trị tại \( a \) hoặc \( b \), thì theo định lý Kormes, hàm \( f \) sẽ có ít nhất một điểm cực trị trong khoảng \( (a, b) \) Điều này dẫn đến việc hàm số \( f \) có thể được xem như là một hàm số liên tục từ \( R \) đến \( R \) và có các giá trị cực trị trong khoảng dữ liệu đã cho.
A m := {x : h(x) ∈ [m, n + 1)} vợi số nguyản m , bði vẳ h m o ữủc l hỳu hÔn hƯu hát mồi nỡi v do õ ∪ m∈ Z A m tián án têp o ữủc 0, to n bở khổng gian), suy ra rơng f khổng o ữủc.
Nhên x²t 2.2 iãu kiằn chẵnh quy e if l o ữủc (Â xuĐt hiằn trong cuốn sĂch cừa Kac nôm 1937).
Trong khi ổng giám sát rỗng f l o ữủc trần R, ổng hoàn toàn chỉ sử dụng tĩnh o ữủc cừa e if Tuy nhiên, tứ R án C vẫn thỏa mãn phương trình Cauchy, thuần nhất hơn là phương trình cường tĩnh Cauchy (2.1) Dù vậy, trong tất cả các chứng minh, dữ liệu vẫn cần được xác minh rõ ràng và không được bỏ qua.
2.1.2 Ph²p tẵnh gƯn úng giĂ trà ban Ưu
Trong phƯn n y, mởt chựng minh khĂc cừa ành lỵ (2.1) ữủc trẳnh b y.
Mởt siảu hẳnh hởp õng ữủc tÔo bði mởt v i cỡ sð l têp:
X k=1 t k u k : (t k ) n k=1 ∈ [0, 1] n }, vợi {u 1 , , u n } l cỡ sð  cho cừa R n v u 0 ∈ R n l iºm  cho.
Mởt nỷa siảu hẳnh hởp mð l tƠp:
Cỡ sð {u 1 , , u n } ữủc gồi l cỡ sð chuân tưc náu mội k ∈ {1, , n} hủp th nh thự k cừa u k bơng 1 v hủp th nh cĂc thự cỏn lÔi cừa nõ bơng
0 Dắ nhiản, mởt siảu hẳnh hởp ữủc tÔo bði cỡ sð chuân tưc l mởt siảu lêp phữỡng.