luận văn thạc sĩ phương trình hàm cauchy và một số biến thể của nó

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o BỊI THÀ HNG PH×ÌNG TRNH HM CAUCHY V MËT SÈ BIN TH CÕA NÂ LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN, 2017 download by : skknchat@gmail.com I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o BỊI THÀ HNG PH×ÌNG TRNH HM CAUCHY V MËT SÈ BIN TH CÕA N Chuyản ngnh: Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp MÂ số: 60 46 01 13 LUN VN THC S TON HÅC NGìI HìẻNG DN KHOA HC: TS NGUYN NH BNH THI NGUYN, 2017 download by : skknchat@gmail.com i LÍI CM ÌN Luên vôn ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ô hồc ThĂi Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn cõa TS.NGUYN NH BNH T¡c gi£ xin tr¥n trång b y tọ lỏng kẵnh trồng v biát ỡn sƠu sưc tợi TS.NGUYN NH BNH, thƯy Â tên tẳnh ch bÊo, hữợng dăn, ởng viản khẵch lằ v tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu luên vôn Qua bÊn luên vôn ny, tĂc giÊ xin gỷi lới cÊm ỡn tợi cĂc thƯy cổ trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ô hồc ThĂi Nguyản nõi chung v cĂc thƯy cổ khoa ToĂn - Tin hồc nõi riảng Â dÔy bÊo v d¼u dt t¡c gi£ st thíi gian qua T¡c giÊ cụng xin cÊm ỡn gia ẳnh, bÔn b, ỗng nghiằp v tĐt cÊ mồi ngữới Â quan tƠm, ởng vi¶n v gióp ï º t¡c gi£ câ thº ho n thnh luên vôn cừa mẳnh TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, thĂng 06 nôm 2017 Hồc viản Bịi Thà H¬ng download by : skknchat@gmail.com ii Mưc lưc Mé U Phữỡng trẳnh hm Cauchy 1.1 Tờng quan vÃ phữỡng trẳnh hm 1.2 Phữỡng trẳnh hm Cauchy 1.3 Phữỡng trẳnh hm Cauchy têng qu¡t 13 1.4 Mët sè b i to¡n ùng döng 14 Mởt số bián th cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy v ựng dửng 25 2.1 Tiáp cên giĂ tr ban ¦u 25 2.1.1 Tr÷íng hđp eif l ë o àa ph÷ìng, Rn 26 2.1.2 Php tẵnh gƯn úng giĂ tr ban Ưu 29 2.1.3 Tr÷íng hủp eif l o ữủc, hẳnh xuyán Topo 39 2.2 Phữỡng trẳnh Cauchy trản miÃn hÔn ch¸ 42 2.3 Mởt số bián th cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy 45 2.3.1 Phữỡng trẳnh Jensen 45 2.3.2 Phữỡng trẳnh Cauchy nhƠn tẵnh 46 2.3.3 Phữỡng trẳnh Cauchy luƠn phiản 47 2.3.4 Phữỡng trẳnh Pexider 48 2.3.5 T½nh ên ành 49 Mët sè v½ dư minh håa 53 2.4 KT LUN T i li»u tham kh£o download by : skknchat@gmail.com 55 57 luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no Mé U Lỵ chồn Ã ti Mởt phữỡng trẳnh ữủc nhiÃu ngữới biát án v l phữỡng trẳnh cỡ bÊn lỵ thuyát phữỡng trẳnh hm l phữỡng trẳnh hm Cauchy Phữỡng trẳnh h m Cauchy l mët nhúng l¾nh vüc hay v khâ cõa to¡n håc c§p, nâ câ nhi·u ùng dửng lỵ thuyát phữỡng trẳnh hm v cĂc lắnh vỹc toĂn hồc v khoa hồc khĂc, bao gỗm hẳnh hồc giÊi tẵch, nghiản cựu giÊi tẵch, giÊi tẵch phực, xĂc xuĐt thống kả, giÊi tẵch hm, ởng lỹc hồc, phữỡng trẳnh vi phƠn, cỡ hồc cờ in, cỡ hồc thống kả v kinh tá hồc Phữỡng trẳnh hm Cauchy Â ữủc giợi thiằu sĂch cừa tứ nôm 1821 Cauchy Â phƠn tẵch cht ch phữỡng trẳnh õ tứ cĂc giÊ thuyát rơng hm số f bĐt kẳ l mởt hm số liản tửc tứ R án R v c¡c bi¸n x, y câ thº l c¡c số thỹc bĐt kẳ Gauss cụng Â nghiản cựu phữỡng trẳnh hm Cauchy sĂch cừa tứ nôm 1809, sỹ nghiản cựu ny khổng cht ch v cụng khổng ró rng Tr lÔi nhỳng nôm trữợc nỳa, nôm 1794, ta cõ th tẳm thĐy sĂch cừa Legendre, phƯn dnh cho sỹ nghiản cựu t số diằn tẵch cừa cĂc hẳnh chỳ nhêt, cÊ ựng dửng v phƠn tẵch cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy, nhiản chúng văn chữa cht ch v khổng ró rng Do õ nõ Â thu hút sỹ ỵ cừa cĂc tĂc giÊ khoÊng thới gian di Kannappan Â viát: CĂc nh nghiản cựu Â am mả nhỳng phữỡng trẳnh ny [Phữỡng trẳnh hm Cauchy v kiu tữỡng ữỡng], v sỹ Êo tững ny s tiáp tửc v dăn án nhiÃu thnh quÊ thú v hỡn. Hữợng i chung cừa viằc nghiản cựu phữỡng trẳnh hm Cauchy l sỷ dửng nhiÃu loÔi iÃu kiằn thổng thữớng trản hm số bĐt kẳ Nõ ch luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no rơng trữớng hủp c biằt f : R → R, méi i·u ki»n n y suy sỹ tỗn tÔi cừa c R, cho f (x) = cx, vỵi måi x ∈ R, v thüc tá ny Â ữủc chựng minh bơng nhiÃu cĂch Vẵ dử, Cauchy Â giÊ sỷ f liản tửc Darboux Â chựng minh rơng f cõ th ữủc giÊ thiát hoc ìn i»u ho°c bà ch°n tr¶n mët kho£ng, Fr²chet, Blumberg, Banach, Sierpinski, Kac, Alexiewicz-Orlicz, v Figiel Â giÊ thiát rơng f l o ữủc Lebesgue, Kormes Â giÊ thiát rơng f b chn trản têp o ữủc dữỡng, Ostrowski v Kestelman Â giÊ thiát rơng f b chn tứ mởt trản têp o ữủc dữỡng, v Mehdi Â giÊ thiát rơng f b chn trản trản têp nhõm Baire Mt khĂc, Hamel Â nghiản cựu phữỡng trẳnh hm Cauchy khổng cõ bĐt kẳ iÃu kiằn khĂc cừa f B¬ng vi»c sû dưng cì sð Hamel, ỉng ta Â suy rơng cõ nhiÃu nghiằm khổng tuyán tẵnh tứ phữỡng trẳnh hm Cauchy v Â tẳm tĐt cÊ chúng Phữỡng trẳnh hm Cauchy Â ữủc khĂi quĂt hõa hay bờ sung theo nhiÃu hữợng Mởt hữợng in hẳnh l lĐy miÃn xĂc nh v miÃn giĂ tr cừa f thnh cĂc nhõm cừa loÔi no õ, vẵ dử (compact a phữỡng) nhõm Polish, v chựng minh rơng náu f thọa mÂn mởt iÃu kiằn bĐt kẳ cừa giÊ thuyát o ữủc (Baire, Haar, hay Christensen), v cõ th l cĂc giÊ thuyát cởng tẵnh, thẳ nõ phÊi liản tửc (Chú ỵ: thay vẳ nõi phữỡng trẳnh hm Cauchy, ta nõi l hm thuƯn nhĐt hoc cởng tẵnh) Mởt hữợng khĂc l lủi dửng cĂc giÊ thuyát tứ tẵnh o ữủc Chữa hữợng i tờng quĂt n o l thay êi ành ngh¾a mi·n x¡c ành cõa f m s khổng cõ mởt cĐu trúc Ôi số àp nỳa, m l s ch ỡn thuƯn l têp no õ cừa miÃn xĂc nh chẵnh thực, vẵ dử mởt têp lỗi, phƯn bũ cừa têp o ữủc 0, vv Sỹ bián ời ny l thay ời miÃn giĂ tr cừa phữỡng trẳnh, vẵ dử, giÊ sỷ rơng f thọa mÂn phữỡng trẳnh hm Cauchy ch vợi cp (x, y) thuởc vo têp cừa R2n , vẵ dử a tÔp (v f cõ th ữủc nh nghắa trản ton khổng gian hoc trản têp cừa nõ) Trong tĐt cÊ cĂc trữớng hủp ny, ta cõ th kát luên sỹ tỗn tÔi nghiằm khổng tuyán tẵnh cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy (mc dũ cĂc iÃu kiằn Ãu mÔnh) hoc (trong trữớng hủp f ữủc giÊ nh nh nghắa trản ton bở khổng gian) f phÊi thọa mÂn nõ vợi tĐt cÊ cĂc cp (x, y) cõ th Bi toĂn phữỡng trẳnh hm Cauchy v mët sè bi¸n thº cõa nâ l cỉng luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no cử giÊi quyát rĐt nhiÃu bi toĂn phữỡng trẳnh hm hay v khõ, nõ xu§t hi»n nhi·u c¡c · thi håc sinh giäi nữợc v quốc tá v thữớng l mởt thĂch thùc èi vỵi håc sinh Nhi·u t i li»u v c¡c Ã ti vÃ phữỡng trẳnh hm Cauchy Â ữủc biản soÔn v thỹc hiằn Tuy nhiản mội ti liằu ch trẳnh by mởt số vĐn Ã v cĂc ựng dửng, chữa bao quĂt ữủc Ưy ừ Vẳ vêy, cĂc vĐn Ã vÃ phữỡng trẳnh hm Cauchy văn cỏn rĐt phong phú Mửc ẵch Mửc ẵch cừa luên vôn l nghiản cựu cĂc vĐn Ã liản quan án phữỡng trẳnh hm, phữỡng trẳnh hm Cauchy v mởt số bián th cừa nõ, xem xt khÊ nông giÊi ữủc v sỹ ờn nh tữỡng ối cừa nõ ối vợi cĂc têp cừa khổng gian Euclide a chiÃu Mởt số loÔi iÃu kiằn mợi ữủc trẳnh by, chng hÔn nhữ mởt phữỡng trẳnh õ mởt số mụ phực tÔp cĂc hm chữa biát CĂc phƠn tẵch ữủc m rởng án mởt số bián th cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy c biằt l ựng dửng cĂc lỵ thuyát ny viằc giÊng dÔy v bỗi dữùng kián thực toĂn hồc cho håc sinh THPT v l t i li»u tham kh£o cho sinh viản ngnh ToĂn hồc ối tữủng v phÔm vi nghiản cựu ối tữủng nghiản cựu cừa luên vôn l phữỡng trẳnh hm Cauchy v mởt số bián th cừa nõ Mởt cĂch cử th, luên vôn s trẳnh by cĂc kát quÊ chẵnh cĂc ti liằu tham kh£o [1], [2], [3] v c¡c b i b¡o [4], [5] Phữỡng phĂp nghiản cựu Thu thêp cĂc bi bĂo khao håc v t i li»u cõa c¡c t¡c gi£ nghi¶n cựu liản quan án phữỡng trẳnh hm Cauchy v ựng dửng Trao ời qua email vợi thƯy hữợng dăn vÃ cĂc ựng dửng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy v mởt sè bi¸n thº cõa nâ luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no Bố cửc luên vôn TĂc giÊ tián hnh nghiản cựu hai nởi dung chẵnh tữỡng ựng vợi hai chữỡng: Chữỡng Phữỡng trẳnh hm Cauchy 1.1 Tờng quan vÃ phữỡng trẳnh hm 1.2 Phữỡng trẳnh hm Cauchy 1.3 Phữỡng trẳnh hm Cauchy tờng quĂt 1.4 Mởt số bi toĂn ựng dửng Chữỡng Mởt số bián th cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy v ựng dửng 2.1 Tiáp cên giĂ tr ban Ưu 2.2 Phữỡng trẳnh Cauchy trản miÃn hÔn chá 2.3 Mởt số bián th cừa phữỡng trẳnh Cauchy 2.4 Mởt số vẵ dử minh hồa luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no Chữỡng Phữỡng trẳnh hm Cauchy Trong chữỡng ny, tĂc giÊ trẳnh by nh nghắa, tẵnh chĐt cừa phữỡng trẳnh hm Trong õ, tĂc giÊ i sƠu vÃ nghiản cựu phữỡng trẳnh hm Cauchy v mët sè b i to¡n ùng dưng Nëi dung ch½nh ữủc tham khÊo tÔi cĂc ti liằu [1], [2], [3] 1.1 Tờng quan vÃ phữỡng trẳnh hm nh nghắa 1.1 Phữỡng trẳnh hm l phữỡng trẳnh m ân l cĂc hm số GiÊi phữỡng trẳnh hm tực l tẳm cĂc hm số chữa biát õ Tiáp cên phữỡng trẳnh hm, méi ng÷íi câ nhúng cì sð v ph÷ìng ph¡p kh¡c Tuy nhiản, dỹa vo c trững cừa cĂc hm ta cõ th xƠy dỹng ữủc mởt số nh hữợng nhữ sau: Thá cĂc giĂ tr bián phũ hủp: HƯu hát cĂc giĂ tr ban Ưu cõ th thá v o l : x = 0, x = 1, ; tø õ tẳm mởt tẵnh chĐt quan trồng no õ ho°c c¡c gi¡ trà °c bi»t cõa h m ho°c t¼m cĂch chựng minh hm số hơng Quy nÔp toĂn hồc: Ơy l phữỡng phĂp sỷ dửng giĂ tr f (x) v bơng cĂch quy nÔp vợi n N º t¼m f (n) Sau â t¼m f ( n1 ) v f (e) Ph÷ìng ph¡p n y th÷íng ¡p dưng bi toĂn m õ hm f Â ữủc x¡c ành tr¶n Q; tø â mð rëng tr¶n c¡c têp số rởng hỡn Sỷ dửng phữỡng trẳnh Cauchy v kiºu Cauchy luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no Nghiản cựu tẵnh ỡn iằu v tẵnh liản tửc cừa cĂc hm CĂc tẵnh chĐt ny Ăp dửng phữỡng trẳnh hm Cauchy hoc kiu Cauchy CĂc phữỡng trẳnh õ náu khổng cõ tẵnh ỡn iằu, liản tửc thẳ bi toĂn tr nản phực tÔp hỡn nhiÃu Tẳm iºm cè ành ho°c gi¡ trà cõa c¡c h m Nghiản cựu tẵnh ỡn Ănh v ton Ănh cừa cĂc hm lụy thứa phữỡng trẳnh Dỹ oĂn h m v dịng ph÷ìng ph¡p ph£n chùng º chùng minh iÃu dỹ oĂn úng TÔo nản cĂc hằ thực truy hỗi Miảu tÊ tẵnh chĐt chđn, l cừa hm số Tứ mởt số nh hữợng nảu trản, tĂc giÊ tƠm ưc phƯn phữỡng trẳnh hm Cauchy nản Â i sƠu vo nghiản cựu nõ 1.2 Phữỡng trẳnh hm Cauchy nh nghắa 1.2 Phữỡng trẳnh hm Cauchy l phữỡng trẳnh hm cõ dÔng: f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R, â, f (x) l h m x¡c ành tr¶n (1.1) R H m f thọa mÂn phữỡng trẳnh f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R, ÷đc gồi l hm cởng tẵnh nh lỵ 1.1 Hm số liản tửc f (x) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.1) v ch¿ khi: f (x) = ax, ∀x ∈ R, õ, a l hơng số tũy ỵ luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no 43 i·u n y v ành nghắa cừa F ữa án ng thực: F (x) = f (s) − f (t) = f (x) Cuèi còng, thĐy f cởng tẵnh, cho (x1 , x2 ) G2 bĐt kẳ Vẳ S sinh mÔnh G, tỗn tÔi: s1 , s2 , t1 , t2 S , thäa m¢n c¡c quan h»: x1 = s1 − t1 , x2 = s2 − t2 , s1 + s2 ∈ S, t1 + t2 ∈ S i·u n y v tẵnh giao hoĂn cừa G ữa án: x1 + x2 = (s1 + s2 ) − (t1 + t2 ) ∈ S − S i·u n y, ành ngh¾a cõa F , t½nh giao ho¡n cõa H v (2.6) suy iÃu khng nh ữủc yảu cƯu: F (x1 + x2 ) = f (s1 + s2 ) − f (t1 + t2 ) = f (s1 ) − f (t1 ) + f (s2 ) − f (t2 ) = F (x1 ) + F (x2 ) ành lỵ 2.3 GiÊ sỷ S S S (S + S) A t mởt siảu lêp phữỡng cho: Rn sinh mÔnh Rn Cho A Rn thọa mÂn: f : A → R v gi£ sû f thäa mÂn (2.6) Náu S chựa I , m õ eif o ữủc, thẳ tỗn tÔi c Rn , f (x) = c.x, ∀x ∈ S Chùng minh: Bơng Bờ Ã 2.4, tỗn tÔi mởt hm cởng tẵnh F : Rn R thọa mÂn: F (x) = f (x) vợi mồi x S Vẳ F cởng tẵnh v eiF = eif o ữủc trản I , ta suy tứ nh lỵ 2.1, rơng tỗn tÔi c Rn cho F (x) = c.x vợi mồi x Rn Khng nh ữủc suy vẳ f (x) = F (x) vợi mồi x S Nhên xt 2.5 CĂc hẳnh mău vÃ cĂc têp S cừa Rn m sinh mÔnh Rn v bao gỗm mởt siảu lêp phữỡng l cĂc giao lăn cừa cĂc nỷa khổng gian trỹc giao, cĂc nỷa khổng gian, v cĂc têp gỗm mởt têp sinh mÔnh Rn v cõ phƯn khĂc réng luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no 44 Ta câ, nûa nhâm S ⊆ Rn (tùc l S + S ⊆ S ) m sinh Rn °c bi»t, S : m=1 [2m, 3m] ừ mÔnh sinh R Cụng cõ nhiÃu vẵ dử vÃ têp S vợi giao khĂc rộng m sinh Rn khổng ph£i nûa nhâm Mët v½ dư ìn gi£n l sü dch chuyn cừa gõc phƯn tữ bi mởt vctỡ khổng thuởc vo gõc phƯn tữ Những khổng cõ cĂc vẵ dử ngoÔi lai nhữ: m m n n S : ∪∝ m=1 Sm , ð â Sm := [10 , 5.10 ) , m N, (Vẳ: Vợi x, y ∈ R , l§y ≤ m ∈ N cho kxk + ky| < 10m−1 ; chån pm := (2.10m )nk=1 l nhúng v²ctì cõa 2.10m , th¼: x = (pm + x) − pm ∈ Sm − Sm , y = (pm + y) − pm ∈ Sm − Sm , v x + y = (2pm + x + y) − 2pm ∈ Sm − Sm ) Lỵ tữỡng tỹ phƯn Chựng minh nh lỵ 2.3 cõ th ữủc sỷ dửng dng m rởng nõ hỡn nỳa Nhữ nh lỵ tiáp theo: nh lỵ 2.4 Cho S ⊆ Rn Cho A ⊆ Rn thäa m¢n S ∪(S +S) ⊆ A.Gi£ sû f :A→R thäa mÂn (2.6).GiÊ sỷ l o ữủc trản I S chựa mởt hẳnh lêp phữỡng I Náu eif v tỗn tÔi mởt hm cởng tẵnh (khổng cƯn l nhĐt) F : Rn → R, cho: F (x) = f (x), ∀x ∈ S f (x) = cx, ∀x ∈ S thẳ tỗn tÔi c Rn cho BƠy giớ, nh lỵ ữủc phĂt trin ti liằu cõ th ữủc sỷ dửng Vẳ vêy, ta cõ th cho S tợi bĐt ký khoÊng no trản R cõ l iºm d½nh cõa nâ v A := S + S Ta câ thº cho S tỵi mët quÊ cƯu cĐp số nhƠn cõ chiÃu im gốc l t¥m cõa nâ (v A := S + S ) iÃu ny thỹc sỹ xÊy tứ nh lỵ tiáp theo (trữớng hủp m rởng cừa mởt hm liản tửc, cởng tẵnh ữủc xĂc nh trản mởt oÔn ngưn) nh lỵ 2.5 Cho S n AR if Náu e thọa mÂn: l o ữủc Rn l mởt têp lỗi, cõ giao khĂc rộng Cho S (S + S) ⊆ A Gi£ sû f : A → R thọa mÂn (2.6) n trản S thẳ tỗn tÔi c ∈ R , cho f (x) = cx, ∀x ∈ S Chùng minh luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no 45 Cho u ∈ S + S l tũy ỵ Thá thẳ, u = s + t vợi mët v i s, t ∈ S v â tªp lỗi u s+t = S vẳ S l 2 u (2.6), i·u n y suy r¬ng: u f (u) =f , ∀u ∈ S + S 2 B¬ng c¡ch °t x = y = °c bi»t i·u n y óng cho u := x + y, x, y S Â ữủc cho Do õ, f x+y = f (x + y) f (x) + f (y) = , 2 ð ph÷ìng trẳnh cuối ữủc suy tứ (2.6) Suy tỗn tÔi c Rn v b R, cho: f (x) = cx + b, ∀x ∈ S Nhí sỹ õng kẵn cừa biu diạn (2.6), ta suy b = 2.3 Mët sè bi¸n thº cõa phữỡng trẳnh hm Cauchy Trong mửc ny, tĂc giÊ trẳnh by mởt số bián th cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy, nâ câ nhúng ùng dưng gi£i quy¸t mët sè bi toĂn 2.3.1 Phữỡng trẳnh Jensen L phữỡng trẳnh hm cõ dÔng: x+y f (x) + f (y) f = 2 (2.7) Trong â: x, y ∈ Rn hoc mởt têp cừa Rn nh lỵ 2.6 Cho S l mởt têp lỗi cừa Rn v gi£ sû ph¦n cõa f : S → R thọa mÂn (2.7) vợi mồi x, y S Náu eif S thẳ tỗn tÔi c Rn v b ∈ R, cho: f (x) = cx + b vỵi nâ l réng Gi£ sû l o ữủc trản x S luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no 46 Chùng minh: x+y ∈ S , n¶n (2.1) hon ton ữủc xĂc nh Khi õ tỗn tÔi mởt hm g : Rn R thọa mÂn (2.1) v mởt hơng số Vẳ S lỗi, b R cho: f (x) = g(x) + b vỵi mồi x S Vẳ eif l o ữủc trản S v phƯn cừa S khĂc rộng, eif o ữủc trản mởt siảu lêp phữỡng ữủc chựa S Vẳ vêy, eig = ebi ef o ữủc trản hẳnh siảu lêp phữỡng ny Vẳ thá tỗn tÔi c ∈ Rn , cho g(x) = cx, vỵi x ∈ Rn Vªy, f (x) = cx + b vỵi måi x ∈ S , v mët sü kiºm tra lªp tùc ch¿ h m n y thäa mÂn (2.7), vợi mồi (x, y) S 2.3.2 Phữỡng trẳnh Cauchy nhƠn tẵnh õ l phữỡng trẳnh cõ dÔng: (2.8) f (x + y) = f (x)f (y) â, c°p (x, y) thuëc mët tªp cõa R2n Mët nghi»m hiºn nhi¶n suy tứ (2.8) l f Nhữ Â biát, x²t to n bë khỉng gian, n¸u f (x0 ) = ð mët sè iºm x0 ∈ Rn , th¼: f (x) = f (x − x0 ).f (x0 ) = 0, ∀x ∈ Rn x 2 , ∀x ∈ Rn , i·u â x£y f Vẳ hm cởng tẵnh: f (x) = f khổng l hm hơng 0, thẳ f (x) > 0, ∀x Tuy nhi¶n, c°p (x, y) ch¿ phư thuởc vo mởt têp cừa R2n thẳ iÃu õ khổng ch ró rng tÔi mởt nghiằm cừa (2.8) cõ th dữỡng Vẳ vêy inh lỵ tiáp theo nõi vÃ tẵnh dữỡng cừa f ữủc giÊ nh Ã xuĐt nh lỵ 2.7 Cho S Rn Cho A ⊆ Rn thäa m¢n: S ∪(S + S) ⊆ A Gi£ sû, f :A→R V gi£ sû, S l mởt hm dữỡng thÊo mÂn (2.8), vợi mồi l mởt têp lỗi cõ im khĂc rộng v luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no download by : skknchat@gmail.com (x, y) ∈ S fi l o ữủc luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no 47 trản m S, fi S hoc ừ mÔnh sinh l o ữủc Khi õ, tỗn tÔi Rn v nõ chựa mởt hẳnh lêp phữỡng c Rn I cho: f (x) = ecx , ∀x ∈ S Chùng minh: V¼ f l d÷ìng, h m sè g : A → R x¡c ành bði g := ln(f ) cơng x¡c ành tr¶n A v lĐy logarit cừa (2.8) ta thĐy rơng g l cởng tẵnh Vẳ f i = exp(i ln(f )) = eig ữủc giÊ sỷ l o ữủc trản S hoc I Tứ nh lỵ 2.5 hoc nh lỵ 2.3, suy tỗn tÔi c Rn cho: g(x) = cx, x Rn Vẳ vêy: f (x) = ecx , ∀x ∈ S Vªy, f thọa mÂn (2.8) 2.3.3 Phữỡng trẳnh Cauchy luƠn phiản L phữỡng trẳnh hm cõ dÔng: (f (x + y))2 = (f (x) + f (y))2 (2.9) â, x, y Rn bĐt ký Hin nhiản, bĐt ký nghiằm no cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy (2.1) Ãu l nghiằm cừa (2.9), ngữủc lÔi l khổng úng; bi vẳ, Ưu tiản ta ch cõ th suy quan hằ f (x + y) = ±(f (x) + f (y)) (ð â, d§u phư thc v o c°p (x, y)) Tuy nhiản, mồi nghiằm cừa (2.9) ữủc xĂc nh trản mởt nûa nhâm S cõa Rn ph£i l cëng t½nh Tø nh lỵ 2.3 v Nhên xt 2.5 , ta suy nh lỵ sau: nh lỵ 2.8 GiÊ sỷ S l mët nûa nhâm cõa Rn m sinh Rn GiÊ sỷ m eif f :SR thọa mÂn (2.9) Náu tỗn tÔi hẳnh lêp phữỡng l o ữủc thẳ tỗn tÔi c Rn , cho: f (x) = cx, ∀x ∈ S luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no download by : skknchat@gmail.com I⊂S luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no 48 2.3.4 Phữỡng trẳnh Pexider õ l phữỡng trẳnh hm tờng quĂt hõa mởt phữỡng trẳnh hm Cauchy v liản quan án ba hm bián số: f (x + y) = g(x) + h(y), (2.10) â (x, y) ∈ R2n ho°c mët tªp cõa R2n ành lỵ tiáp theo m rởng kát quÊ ữủc biát án ối vợi tẵnh giÊi ữủc cừa (2.10) nh lỵ 2.9 Cho S ⊆ Rn l mët nûa nhâm, thäa m¢n ∈ S Gi£ sû: f : S −→ R, g : S −→ R, h : S −→ R (x, y) ∈ S Gi£ sû r¬ng S sinh Rn thọa mÂn(2.10), vợi mồi m số mơ phùc cõa mët c¡c h m l o ÷đc Khi õ, tỗn tÔi v hơng số a, b R h(x) = c.x + b vỵi måi cho: I c Rn v nõ chựa mởt hẳnh lêp ph÷ìng f (x) = c.x + a + b, g(x) = c.x + a v x ∈ S Chùng minh: Cho a := g(0), b := h(0) v cho p : S −→ R ÷đc x¡c ành bði: p(x) := f (x) − a − b, vỵi måi x ∈ S Hiºn nhi¶n, ta câ: f (x) = p(x)+a+b, g(x) = p(x)+a, h(x) = p(x)+b, vỵi måi x ∈ S v p l cởng tẵnh Vẳ số mụ phực cõa (2.1), c¡c h m f, g ho°c h ÷đc gi£ sỷ l o ữủc cừa tƠm hẳnh lêp phữỡng, biu diạn trản suy rơng eip l o ữủc cừa tƠm hẳnh lêp phữỡng Tứ õ, mởt nỷa nhõm sinh mởt nhõm giao hoĂn thỹc sỹ mÔnh tÔo nõ (Ơy l kát quÊ trỹc tiáp tứ nh nghắa 2.1 v v¼ S + S ⊆ S , ành lỵ 2.3 (vợi A := S ), suy tỗn tÔi c Rn cho: p(x) = c.x, vợi méi x ∈ S Kh¯ng ành sau d¹ d ng kiºm tra rơng nhên ữủc bở ba f, g, h thu ữủc l nghiằm phữỡng trẳnh (2.10) luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no 49 2.3.5 Tẵnh ờn nh Xt dÔng xĐp x bián th cừa (2.1) |f (x + y) − f (x) − f (y)| ≤ (2.11) vỵi måi x, y ∈ Rn Vỵi l mët sè d÷ìng Mët h m f : Rn −→ R thäa mÂn (2.11) ữủc gồi l hm xĐp x cởng tẵnh hoc mởt hm - cởng tẵnh BĐt phữỡng trẳnh (2.11) l mởt bián th ữủc lm nhiạu cừa (2.1) v ta câ thº bi¸t câ hay khỉng h m - cởng tẵnh bĐt ký l ữủc xĂo trởn ẵt cừa mởt hm cởng tẵnh thuƯn tẵnh Hyers ữa cƠu trÊ lới cừa vĐn Ã trản l cõ tỗn tÔi nhĐt mởt hm g : Rn R thäa m¢n (2.1) v |f (x) − g(x)| ≤ , vợi mồi x Rn Hm số cởng tẵnh g thäa m¢n: f (mx) m−→∞ m (2.12) m x n Vỵi måi x ∈ R , biu diạn chung phờ bián l: g(x) = limm f 2m Thỹc tá, Hyers chựng minh nh lỵ cừa æng §y cho c¡c h m sè giúa c¡c g(x) = lim khổng gian Banach iÃu trản ữủc xƠy dỹng cho b§t cù h m f : S −→ X , ð â X l mët khæng gian Banach v S l mởt nỷa nhõm Kát quÊ vÃ tẵnh ờn nh cừa phữỡng trẳnh hm (trong trữớng hủp c biằt l cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy) v bi toĂn ân liản quan tợi nõ tr thnh phờ bián cuối thêp niản é Ơy, ta s têp trung nhĐt vo sỹ mð rëng i·u ki»n quen thuëc câ t½nh ·u °n( vẵ dử, f l o ữủc hoc b chn trản trản mởt têp dữỡng o ữủc) hm cởng tẵnh, kát hủp g cõ th liản tửc Trong tẳnh ny, kát quÊ liản quan tợi nh nghắa vÃ tẵnh ờn nh bao hm iÃu kiằn ữủc nõi án; bi vẳ, iÃu kiằn o ữủc khÊ tẵch l ữủc bao hm Tuy nhiản cĂc kát quÊ v cĂc phƯn chựng minh ữủc nõi án Ơy( trữớng hủp c biằt, i·u ki»n t½nh ên ành cõa f ) l kh¡c vợi mởt nhỳng iÃu ữa (Ănh xÔ tứ cĂc ữớng thng thỹc dữỡng vo chẵnh nõ) luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no 50 nh lỵ 2.10 Cho S ⊆ Rn l mët nûa nhâm m nâ sinh Rn v chựa mởt hẳnh lêp phữỡng I f : S R thọa mÂn (2.11) v tỗn tÔi mởt ∞ nhi¶n (mk )k=1 , cho méi h m hk : S C Náu dÂy số vổ hÔn cĂc sè tü hk (x) := eif (mk x)/mk , vỵi c ∈ Rn cho |f (x) − c.x|, vỵi ữủc xĂc nh bi mồi thẳ tỗn tÔi mồi x S l x S o ữủc trản I, Chựng minh Nhữ Â nõi án tữỡng tỹ (2.12), tỗn tÔi mởt hm cởng tẵnh g : S R thọa mÂn |f (x) g(x)| , vợi mồi x ∈ S Tø (2.12), ta câ: g(x) = lim k−→∞ f (mk x) mk vỵi måi k ∈ N v x ∈ S Nhí t½nh li¶n tưc cõa h m lơy thøa, ta câ: f (mk x) = lim hk x h(x) := exp(ig(x)) = lim exp i k−→∞ k−→∞ mk Vỵi måi x S Do õ, sỹ hÔn chá cừa h tợi I l nởi giợi hÔn cừa hm o ữủc v vẳ vêy nõ l o ữủc Vẳ g thọa mÂn (2.1) v vẳ nỷa nhõm sinh mởt nhõm giao hoĂn mÔnh sinh nõ ( nhữ Â nh nghắa 2.1) ta kát luên, tứ nh lỵ 2.3 (vợi A := S ) sỹ tỗn tÔi cừa c Rn , cho: g(x) = c.x, vợi tĐt cÊ x ∈ S v ta suy i·u ph£i chùng minh Nhên xt 2.6 Náu f l ở o ữủc a phữỡng thẳ x eif (mx)/x) l ở o a phữỡng vợi mồi m N v vẳ vêy iÃu kiằn cừa hm hk tứ nh lỵ 2.10 thọa mÂn v vẳ vêy g l ữủc Hay nõi cĂch khĂc, náu ta biát rơng eif l o ữủc thẳ nõ khổng ừ suy rơng g l o ữủc Thªt vªy, x²t h m f := 2π[g(x)], x ∈ R ỵ 2.1, õ g l mởt nghiằm phi tuyán tẵnh cừa (2.1) thẳ eif l liản tửc l vẳ õ l mởt hm hơng luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no 51 V¼ |t − [t]| ≤ vỵi måi t ∈ R, ta câ: |f (x) (2)g(x)| 2, vợi mồi x R BĐt phữỡng trẳnh ny, bĐt ng thực tam giĂc , v tẵnh cởng tẵnh cừa g , suy rơng f thọa mÂn (2.11), vợi := Vẳ 2g thọa mÂn (2.1), nh lỵ Hyers suy rơng nõ l mởt hm cởng tẵnh m - xĐp x f , v cơng suy r¬ng: f (mx) m−→∞ m vợi mồi x R ( giợi hÔn ny cõ th ữủc tẵnh toĂn) 2g(x) = lim Những g khổng o ữủc Ta cõ th nõi rơng: mc dũ eif l o ữủc tứ nh lỵ 2.10 ch¿ r¬ng vỉ sè h m: gm (x) := eif (mx)/m , x R ch cõ hỳu hÔn chúng cõ th l o ữủc Mởt số nhên xt: Nhên xt 2.7 CĂc hằ phữỡng trẳnh: nh lỵ 2.1 v c¡c k¸t qu£ kh¡c v· c¡c bi¸n thº cừa phữỡng trẳnh Cauchy (2.1) cõ th ữủc m rởng tợi cĂc hằ phữỡng trẳnh Cho vẵ dử, cho f : Rn Rm thọa mÂn(2.1), náu f = (f1 , f2 , , fm )v eifk l o ÷đc vợi mội k {1, , m} thẳ tỗn tÔi mởt ma C cĐp mìn, cho f (x) = Cx vợi mồi x Rn Ơy l kát quÊ ỡn giÊn cừa nh lỵ 2.1, bi vẳ fk : Rn R thọa mÂn (2.1), vợi mội k Nhên xt 2.8 Khổng gian vổ hÔn chi·u: Mët i·u thó l câ thº mð rëng kát quÊ ny tợi mởt khổng gian vổ hÔn chiÃu trản õ xĂc nh ữủc hm số o ữủc Nhên xt 2.9 CĂch chựng minh nh lỵ (2.1) sỷ dửng quy tưc giĂ tr xĐp x ban Ưu ữủc trẳnh by phƯn 2.1.3 gủi ỵ rơng iÃu kiằn v· quy tc câ thº ÷đc mð rëng hìn núa bi quan hằ khổng gian ở o vÃ khẵa cÔnh nõ bi mởt thự lỵ thuyát trứu tữủng hỡn Trong iÃu dữợi Ơy, ta nõi rơng mởt bở ba (A, B, F ) cõ tẵnh tẵch phƠn tuƯn hon náu nhỳng iÃu kiằn sau ữủc thọa mÂn: luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no 52 A l tªp hđp c¡c h m sè thüc x¡c ành tr¶n Rn ; B l tªp hđp c¡c h m sè chùa {eif : g ∈ A}; F : B → C l mët h m sè Vỵi måi β ∈ C thäa m¢n |β| = 1v måi h ∈ B ,ta câ βh ∈ B v F (βh) = βF (h); Hm số x c.x thuởc A vợi tĐt cÊ c Rn Têp A l õng dữợi php cởng v php nhƠn cừa số hỳu t dữỡng Tỗn tÔi mởt cỡ s {u1 , u2 , , un } cõa Rn cho vỵi måi g ∈ A thäa m¢n quan h» g(x + uk ) = g(x) vợi tĐt cÊ x Rn v k ∈ {1, , n} H m sè gy ÷đc x¡c ành bði gy (x) := g(x + y) vỵi méi x ∈ Rn l thc A vỵi méi y ∈ Rn v ta câ F (eigy ) = F (eig ); Vợi mội g A tỗn tÔi mởt vi sè húu t α > cho F (eiαg ) 6= Mët v½ dư v· mët bë ba (A, B, F ) l : A := {f : Rn −→ R : eif l ë o}, B := {eig : g ∈ A}, R F (v) := I v(x)dx vợi tĐt cÊ v A, õ I Rn l mởt hẳnh lêp phữỡng bĐt ký BƠy giớ gi£ sû r¬ng ta câ mët bë ba (A, B, F ) thọa mÂn tẵnh tẵch phƠn tuƯn hon Ta khng nh trữớng hủp ny, náu f A v náu f thọa mÂn (2.1) thẳ tỗn tÔi c ∈ Rn , cho f (x) = c.x, vỵi mồi x Rn Thêt vêy, phƯn chựng minh cụng tữỡng tỹ phƯn chựng minh cừa phƯn 2.1.3, Ơy cõ hai sỹ khĂc chẵnh: Thự nhĐt, tứ Bờ Ã 2.2 ta cƯn theo nhĐt hai oÔn ¦u Thù hai, sau ¡p dưng h m t 7−→ eiαt , t ∈ R (ð â α l mët số hỳu t dữỡng tứ tẵnh chĐt (8) trản) , ta ¡p dưng h m sè F cho c£ hai v¸ cừa phữỡng trẳnh: eig(x+y) = eig(x) eig(y) , v sỷ dửng tẵnh chĐt (7) trản viằc Ăp dửng tẵch phƠn G(v) := R I v(x)dx phữỡng trẳnh ny ( õ I l mởt siảu hẳnh hởp sinh luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no 53 bði cì sð {u1 , , un } v v l mët hm bĐt ký v nõ l tẵch phƠn trản I ), v sû dưng Bê · 2.1 mët c¡ch t÷ìng tỹ Thêt thú v cõ th tẳm ữủc mởt bở ba (A, B, F ) thọa mÂn tẵnh tuƯn hon tẵch phƠn cho A 6= {f : Rn → R : eif l o ÷đc} v F khỉng phÊi php toĂn tẵch phƠn (nghắa l, F khổng trũng vợi v R I v(x)dx hoc mởt sỹ bián ời nhà cừa php toĂn ny ) hoc cho thĐy rơng Ơy l iÃu khổng th iÃu quan tƠm l tẳm ẵt nhĐt mởt bở ba (A, B, F ) thọa mÂn tẵnh chĐt tẵch phƠn tuƯn hon sỹ iÃu chnh vổ hÔn chiÃu hoc ch khổng cõ mởt bở ba no tỗn tÔi Ta thỷ t F l mët hå c¡c h m sè Fj : B C Thổng thữớng, bi vẳ cõ nhỳng nghiằm phi tuyán tẵnh cừa (2.1), nhỳng nghiằm ny khổng thuởc A Do vêy, bĐt k A v F l gẳ , A khổng th l mởt têp hủp tĐt cÊ cĂc hm số thỹc Mởt sỹ bián ời tữỡng ựng cừa nhỳng gẳ ữủc viát cĂc cƠu v cĂc oÔn trản úng vợi mởt hẳnh xuyán topo Cuối cũng, nõ s³ r§t câ gi¡ trà º tê hđp c¡c i·u kiằn thữớng trứu tữủng ữủc Ã cêp trản vợi mởt nh lỵ tỗn tÔi cừa cĂc iÃu kiằn thữớng cừa phữỡng trẳnh hm 2.4 Mởt số vẵ dử minh hồa Vẵ dử 2.4.1 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số f (x), g(x), h(x) ∈ ς(R) thäa m¢n i·u ki»n f (x + y) = g(x) + h(y), ∀x, y R (2.13) (Phữỡng trẳnh ny gồi l phữỡng trẳnh Pexider m rởng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy) Lới giÊi: Thay y = vo phữỡng trẳnh (2.13), ta ữủc: g(x) = f (x) − h(0) = f (x) − b, b = h(0) Thay x = v o ph÷ìng trẳnh (2.13) v t a = g(0), ta ữủc: h(y) = f (y) a Thay cĂc kát quÊ trản v o (2.13), ta câ: f (x + y) = f (x) + f (y) − a − b, ∀x, y ∈ R luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no 54 °t F (x) = f (x) − a − b, â: F (x) ∈ ς(R) v thäa m¢n i·u ki»n F (x + y) = F (x) + F (y), x, y R Theo kát quÊ cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy, ta câ: F (x) = cx Suy ra: f (x) = cx + a + b g(x) = cx + a v h(x) = cx + b Vªy f (x) = cx + a + b, g(x) = cx + a, h(x) = cx + b l nghi»m cừa bi toĂn Â cho Vẵ dử 2.4.2 Tẳm t§t c£ c¡c h m sè f (x), g(x), h(x) x¡c nh v liản tửc trản R v thọa mÂn iÃu ki»n f (x + y) = g(x)h(y), ∀x, y ∈ R (2.14) Lới giÊi: Trong phữỡng trẳnh (2.14) lƯn lữủt thay x = 0, y = t v y = 0, x = t ta câ: N¸u g(0) 6= 0, h(0) 6= 0, th¼:  (   h(t) = f (t) , (a := g(0) 6= 0) f (t) = g(0).h(t) a ⇔ , ∀t ∈ R f (t)  f (t) = g(t).h(0)  g(t) = , (b := h(0) 6= 0) b Thay cĂc kát quÊ trản v o (2.14), ta ÷đc: f (x) f (y) a b f (x + y) f (x) f (y) ⇔ = , ∀x, y ∈ R ab ab ab f (x) Ta °t Φ(x) = , x ∈ R ab Khi â: Φ(x) ∈ ς(R) v Φ(x + y) = Φ(x).Φ(y), ∀x, y ∈ R Suy Φ(x) = ecx , c l h¬ng sè Tø â, ta câ: f (x + y) = luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no 55  cx   f (x) = abe g(x) = aecx   h(x) = becx â:a, b, c l cĂc hơng số Thỷ lÔi ta thĐy cĂc hm số trản thọa mÂn phữỡng trẳnh (2.14) Â cho N¸u a = 0, ta câ f (x) = 0, x R: + Náu g thẳ h(x) l hm số tũy ỵ + Náu tỗn tÔi x0 ∈ R cho g(x0) 6= th¼ (2.14), cho x = x0, ta ÷đc: = f (x0 + y) = g(x0 )h(y), ∀y ∈ R Suy ra: h(y) = 0, y R Thỷ lÔi, ta thĐy cĂc hm số trản thọa mÂn phữỡng trẳnh (2.14) N¸u b = 0, ta câ f (x) = 0, x R + Náu h thẳ g(x) l hm số tũy ỵ + Náu tỗn tÔi x0 ∈ R cho h(x0) 6= th¼ (2.14) cho x = x0, ta ÷đc: = f (x0 + y) = h(x0 )g(y), ∀y ∈ R Suy g(y) = 0, y R Thỷ lÔi, ta thĐy cĂc hm số trản thọa mÂn phữỡng trẳnh (2.14) Chú ỵ rơng, cĂc nghiằm trản Â bao hm cÊ nghiằm tƯm thữớng f 0, g 0, h Tõm lÔi, ta cõ cĂc kát quÊ sau:    cx  f (x) = abe  f ≡  f ≡0    ho°c g(x) = aecx ho°c g≡0 h≡0       h(x) = becx h(x) ∈ ς(R) g(x) ∈ ς(R) vỵi måi x ∈ R, v a, b, c l c¡c h¬ng sè luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no 56 KT LUN Trong luên vôn ny tĂc giÊ Â trẳnh by ữủc mởt số kát quÊ vÃ phữỡng trẳnh hm Cauchy Cử th l: Giợi thiằu tờng quan vÃ phữỡng trẳnh hm, phữỡng trẳnh hm Cauchy Trẳnh by v chựng minh cĂc nh lỵ, bờ Ã liản quan án phữỡng trẳnh hm Cauchy Trẳnh by v chựng minh mởt số bián th cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy nhữ: phữỡng trẳnh hm Jensen, phữỡng trẳnh Pexider, Dỹa vo cĂc kát quÊ Â trẳnh by trản, vên dửng vo giÊi c¡c b i to¡n IOM v c¡c b i to¡n li¶n quan Trong thới gian tợi, tĂc giÊ s tiáp tửc tẳm kiám, hồc họi v nghiản cựu hon thiằn cĂc kát quÊ trản; ỗng thới, trau dỗi thảm kián thực phửc vử cho quĂ trẳnh hồc têp v giÊng dÔy cõa m¼nh sau n y luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no luan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.noluan.van.thac.si.phuong.trinh.ham.cauchy.va.mot.so.bien.the.cua.no

Định dạng
Số trang	61
Dung lượng	567,52 KB