Phương trình sai phân hệ số hằng và một vài ứng dụng

✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆● ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✖✖✖✖✖ ❱➹ ❚❍➚ ❍×❮◆● P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❙❆■ P❍❹◆ ❍➏ ❙➮ ❍➀◆● ❱⑨ ▼❐❚ ❱⑨■ Ù◆● ❉Ö◆● ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ✣➔ ◆➤♥❣✱ ✷✵✷✶ ✷ ✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆● ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✖✖✖✖✖ ❱➹ ❚❍➚ ❍×❮◆● P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❙❆■ P❍❹◆ ❍➏ ❙➮ ❍➀◆● ❱⑨ ▼❐❚ ❱⑨■ Ù◆● ❉Ö◆● ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ▼➣ sè✿ ✽✹✻✵✶✵✷ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ữợ ❚❙✳ ▲➊ ❍❷■ ❚❘❯◆● ✣➔ ◆➤♥❣✱ ✷✵✷✶ ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ❚♦➔♥ ❜ë ♥ë✐ ❞✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tê♥❣ q✉❛♥ ❝õ❛ tỉ✐✱ ✤÷đ❝ t ữợ sỹ ữợ ❚r✉♥❣✳ ◆❤ú♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ tê♥❣ ❤đ♣ tø ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✤→♥❣ t✐♥ ❝➟②✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤à✉ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠ ✈ỵ✐ ♥❤ú♥❣ ❧í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❚→❝ ❣✐↔ ❱ã ❚❤à ❍÷í♥❣ ▲❮■ ❈❷▼ ❒◆ ▲í✐ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ t❤➛② ❣✐→♦ ữợ r t t ữợ ❞➝♥ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤➸ t→❝ ❣✐↔ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤÷đ❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❚→❝ ❣✐↔ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ♥❤➜t ✤➳♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❞↕② ❜↔♦ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t õ ỗ tớ t ụ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❝→❝ ❛♥❤ ❝❤à ❡♠ tr♦♥❣ ❧ỵ♣ ❚♦→♥ ●✐↔✐ t➼❝❤ ❑✸✾ ✲ ✣➔ ◆➤♥❣ ✤➣ ♥❤✐➺t t➻♥❤ ❣✐ó♣ ✤ï t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ t ợ ó ữớ ệ ệ ❈❍×❒◆● ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✶✳ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ s❛✐ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✷✳ P❤➙♥ ❧♦↕✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ♠ët ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✸✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ❝❛♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✸✳✶✳ ❍➔♠ ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ♣❤ö t❤✉ë❝ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ✣à♥❤ t❤ù❝ ❑❛③♦r❛t✐✳ ❉➜✉ ❤✐➺✉ ♥❤➟♥ ❜✐➳t ♣❤ö t❤✉ë❝ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✸✳✷✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ n t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✳ ✶✻ ✶✳✸✳✸✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❤➺ sè ❤➡♥❣ ✷✷ ✶✳✸✳✹✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤ỉ♥❣ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✳ ✷✼ ✶✳✸✳✺✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤ỉ♥❣ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❤➺ sè ❤➡♥❣ ✈ỵ✐ ✈➳ ♣❤↔✐ ✤➦❝ t❤ò ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷ ❈❍×❒◆● ✷✳ ▼❐❚ ❱⑨■ Ù◆● ❉Ư◆● ❈Õ❆ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❙❆■ P❍❹◆ ❍➏ ❙➮ ❍➀◆● ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ ✷✳✶✳ Ù♥❣ t tờ số tr ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ ✷✳✷✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ✈➟t ỵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶ ✷✳✸✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ s✐♥❤ ❤å❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✻ ✷✳✹✳ ▼ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ❦❤→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✽ ✶ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✸ ◗❯❨➌❚ ✣➚◆❍ ●■❆❖ ✣➋ ❚⑨■ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ é ỵ ❞♦ ❧ü❛ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ❈â ♥❤✐➲✉ ❤✐➺♥ t÷đ♥❣ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❦ÿ t❤✉➟t tr♦♥❣ t❤ü❝ t✐➵♥ ♠➔ ✈✐➺❝ t➻♠ ❤✐➸✉ ♥â t❤÷í♥❣ ❞➝♥ ✤➳♥ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥✱ ❝â t❤➸ ❦➸ ✤➳♥ ♥❤÷ ♠ỉ ❤➻♥❤ ❞➙♥ sè✱ ♠ỉ ❤➻♥❤ ❧➣✐ s✉➜t✱✳ ✳ ✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ❝á♥ ❧➔ ♠ët ❝ỉ♥❣ ❝ư ❣✐ó♣ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ✤↕♦ ❤➔♠ ✈➔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕✐ sè ❝➜♣ ❝❛♦✳ ❙ü r❛ ✤í✐ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ❝ô♥❣ ①✉➜t ♣❤→t tø ✈✐➺❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ t❤✐➳t ❧➟♣ ❜ð✐ ♠ët ❜➯♥ ❧➔ ♠ët ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ ❜✐➳♥ t❤✐➯♥ rí✐ r↕❝ ✭✤÷đ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❜ð✐ ❤➔♠ f (n) ✈ỵ✐ n ∈ Z+ ✮✳ ✣è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣ t❤➻ ♥❣❤✐➺♠ ❝â t❤➸ ❧➔ ♠ët ❣✐→ trà sè ✭sè t❤ü❝✱ sè ♣❤ù❝✱✳ ✳ ✳ ✮✳ ❈á♥ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ♠ư❝ t✐➯✉ ❧➔ t➻♠ r❛ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ❝õ❛ ❤➔♠ ❝❤÷❛ ✤÷đ❝ ❜✐➳t ♥❤➡♠ t❤ä❛ ♠➣♥ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ✤➲ r❛✳ ❚❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣ ✤â s➩ ❧➔ ♠ët ❤å ❝→❝ ❤➔♠ sè ✈ỵ✐ s❛✐ ❧➺❝❤ ❜ð✐ ♠ët ❤➡♥❣ sè c ♥➔♦ ✤â✳ ❍➔♠ ♥➔② s➩ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❦❤✐ ❝â t❤➯♠ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❜❛♥ ✤➛✉✱ ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥✳ ❱ỵ✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ♠ët ❧➽♥❤ ✈ü❝ tr♦♥❣ ❚♦→♥ ❤å❝ ❝â ù♥❣ ❞ö♥❣ rë♥❣ r➣✐ tr♦♥❣ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ tỹ t ữủ sỹ ủ ỵ t ữợ r tổ ỹ t➔✐ ✏P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤➺ sè ❤➡♥❣ ✈➔ ♠ët ✈➔✐ ù♥❣ ❞ö♥❣✑ ❝❤♦ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝ s➽ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ▼ö❝ t✐➯✉ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤➺ sè ❤➡♥❣ ✈➔ ♠ët ✈➔✐ ù♥❣ ❞ư♥❣✳ ✣➸ ✤↕t ✤÷đ❝ ♠ư❝ t✐➯✉ tr➯♥ ✤➲ t➔✐ s➩ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ú♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ s❛✉✿ ✲ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ s❛✐ ♣❤➙♥✳ ✲ P❤➙♥ ❧♦↕✐ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥✳ ✸ ✲ ▼ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤➺ sè ❤➡♥❣✳ ✲ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ✤÷đ❝ ❞ü ✤à♥❤ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ✷ ❝❤÷ì♥❣✿ ❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð ❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ▼ët ✈➔✐ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤➺ sè ❤➡♥❣ ✸✳ ✣è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤➺ sè ❤➡♥❣✳ ✹✳ P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤➺ sè ❤➡♥❣ ✈➔ ♠ët ✈➔✐ ù♥❣ ❞ư♥❣✳ ✺✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❚❤✉ t❤➟♣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ s÷✉ t➛♠ ✤÷đ❝✱ ❝→❝ s→❝❤ ✈ð ❝â ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ỹ ỵ tt ữỡ tr s ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ✣↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤✱✳ ✳ ✳ ✻✳ Þ ♥❣❤➽❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ t❤ü❝ t✐➵♥ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ✣➲ t õ tr t ỵ tt õ t sû ❞ö♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔♠ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❞➔♥❤ ❝❤♦ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ♥❣➔♥❤ ❚♦→♥ ✈➔ ♥❤ú♥❣ ✤è✐ t÷đ♥❣ ❝â ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥✳ ✼✳ ❈➜✉ tró❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯ ❈❤÷ì♥❣ ■✳ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❒ ❙Ð ✶✳✶✳ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ s❛✐ ♣❤➙♥ ✶✳✷✳ P❤➙♥ ❧♦↕✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ♠ët ✶✳✸✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ❝❛♦ ✶✳✸✳✶✳ ❍➔♠ ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ♣❤ö t❤✉ë❝ t✉②➳♥ t➼♥✳ ✣à♥❤ t❤ù❝ ❑❛③♦r❛t✐✳ ❉➜✉ ❤✐➺✉ ♥❤➟♥ ❜✐➳t ♣❤ư t❤✉ë❝ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✶✳✸✳✷✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ n t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✶✳✸✳✸✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❤➺ sè ❤➡♥❣ ✶✳✸✳✹✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤ỉ♥❣ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✺✵ 15, 000)✳ ❉♦ ✤â✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥✿ ∆Pn = k(3, 000, 000 − P )(P − 15, 000) ợ k số ữỡ ổ õ t ố ữ ỵ r ữỡ tr t÷ì♥❣ tü ❧✐➯♥ tư❝ ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ y = k(3, 000, 000 − y)(y − 15, 000)✳ r õ t ỵ s tữớ ữủ sỷ [X] = ỗ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❂ sè ♠♦❧ ❝õ❛ ❳ ❧ó❝ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ CX ❂ ❧÷đ♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ❳ ❂ sè ♠♦❧ ❳ t❤➯♠ ✈➔♦ ❞✉♥❣ ❞à❝❤ tr➯♥ ✶ ❧➼t✳ pX = − log[X]✳ ❼ Kw ❂ ❤➡♥❣ sè tü ♣❤➙♥ ❣✐↔✐ ữợ 1.01Ã104 õ tữớ ữủ ❧➔♠ trá♥ t❤➔♥❤ 10−14 Ka ❂ ❤➡♥❣ sè ♣❤➙♥ ❧② ❛①✐t✳ Kb ❂ ❤➡♥❣ sè ♣❤➙♥ ❧② ❜❛③ì✳ ◆❤ỵ ❧↕✐ r Kb = Kw Ka t ỗ ✐♦♥ ❤②❞r♦ [H+] tr♦♥❣ ❤➺ ❛①✐t✲❜❛③ì✱ ✈➜♥ ✤➲ t❤÷í♥❣ ✤➦t r❛ ❧➔ t➻♠ ❣✐→ trà ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ✤ë♥❣ ❧ü❝✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥✱ ❦❤✐ ❤á❛ t❛♥ ❛①✐t ❝❧♦❤✐✤r✐❝ ❍❈❧ ✈➔♦ ữợ t õ HCl H + + Cl H2 O H + + OH − [H + ] ✤➳♥ tø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➛✉ t✐➯♥ ❧➔ ❜➡♥❣ CHCl ✳ õ ữủ tờ ỗ H + ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ sû ❞ư♥❣ ❝→❝ ❣✐→ trà ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❧✐➯♥ t✐➳♣✳ ❳➜♣ ①➾ t❤ù ♥❤➜t✿ [H + ]1 = CHCl ❳➜♣ ①➾ t❤ù ❤❛✐✿ [H + ]2 = CHCl + Kw /[H + ]1 ✱ ❳➜♣ ①➾ t❤ù ❜❛✿ [H + ]3 = CHCl + Kw /[H + ]2 ✱✳✳✳ ✣✐➲✉ ♥➔② t↕♦ r❛ ❤➺ ✤ë♥❣ ❧ü❝ [H + ]n+1 = CHCl +Kw /[H + ]n ✈ỵ✐ ❣✐→ trà ❜❛♥ ✤➛✉ ❧➔ CHCl ✳ ✣✐➸♠ ❝è ✤à♥❤ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ t➻♠ t❤➜② ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ [H + ] = CHCl +Kw /[H + ] ❝❤♦ [H + ]✳ ❱➼ ❞ư✱ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❣✐→ trà CHCl = 10−7 ✈➔ Kw = 10−14 ✱ ❝❤ó♥❣ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ [H + ] = 1.61810−7 ✱ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà pH ❧➔ 6.7910✳ ❱➼ ❞ö ✷✳✹✳✹✳ ❈❤♦ ❞➣② sè an : a0 = 0; a1 = an+1 = 2an − an−1 + ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿ 4an+2 an + ❧➔ sè ❝❤➼♥❤ ♣❤÷ì♥❣ (n ≥ 1)✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳❚❤❡♦ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ✤➣ ❜✐➳t t❛ t➻♠ g(n) = an2 s❛♦ ❝❤♦ g(n + 1) − ✺✶ 2g(n) + g(n − 1) = ✳ ●✐↔✐ r❛ t❛ ❝â g(n) = ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ bn+1 = 2bn − bn−1 ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② t❛ ❝â bn = n n2 ⇒ an = ✳ ✣➦t bn = an − n2 t❛ ❝â n(n+1) ❉♦ ✤â 4an+2 an + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = (n2 + 3n + 1)2 ✭✤♣❝♠✮✳ ✺✷ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❙❛✉ ♠ët t❤í✐ ❣✐❛♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✧P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤➺ sè ❤➡♥❣ ✈➔ ♠ët ✈➔✐ ù♥❣ ❞ư♥❣✧ ✤➣ ✤↕t ✤÷đ❝ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ♥❤÷ s❛✉✿ ✶✮ ❍➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð tr♦♥❣ ❧➼ t❤✉②➳t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ♥❤÷✿ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ s❛✐ ♣❤➙♥❀ P❤➙♥ ❧♦↕✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ♠ët ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ❝❛♦✳ ✷✮ ▼ỉ ♣❤ä♥❣ ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ t❤ü❝ t➳ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ♥❤÷✿ Ù♥❣ ❞ư♥❣ t➼♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ❞➣② sè tr ỗ k tr t ỵ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ s✐♥❤ ❤å❝ ✈➔ ♠ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ❦❤→❝✳ ✸✮ ❙û ❞ư♥❣ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ✤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❝→❝ ♠ỉ ❤➻♥❤ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✷✱ tø ✤â ❝â ♥❤ú♥❣ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❞ü ✤♦→♥ ♣❤ị ❤đ♣✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ r➜t ♥é ❧ü❝ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤ó♥❣ ❤↕♥✳ ❚✉② ✈➟② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✈➝♥ ❦❤æ♥❣ t❤➸ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sõt t rt ố ữủ ỳ ỵ õ õ qỵ qỵ t ổ ❜➧ ✈➔ ❝→❝ ✤ë❝ ❣✐↔ q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ✺✸ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ❬✶❪ ◆❣✉②➸♥ ▼✐♥❤ ❈❤÷ì♥❣ ✭❈❤õ ❜✐➯♥✮ ✭✷✵✵✷✮✱ ✧ ●✐↔✐ t➼❝❤ sè✧✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❞ư❝✳ ❬✷❪ ▲➯ ✣➻♥❤ ❚❤à♥❤ ✭✷✵✵✹✮✱ ✧P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s❛✐ ♣❤➙♥✧✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ q✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✸❪ ▲➯ ❍↔✐ ❚r✉♥❣ ✭✷✵✶✾✮✱ ●✐→♦ tr➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✕ s❛✐ ♣❤➙♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✣➔ ◆➤♥❣✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ❚❤æ♥❣ t✐♥ ✈➔ ❚r✉②➲♥ t❤æ♥❣✳ ❬✹❪ ▲➯ ✣➻♥❤ ❚❤à♥❤✱ ✣➦♥❣ ✣➻♥❤ ❈❤➙✉✱ P❤↕♠ ❱➠♥ ❍↕♣ ✭✷✵✵✸✮✱ ✧P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ✈➔ ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣✧✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❞ö❝ ❍➔ ◆ë✐✳ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❬✺❪ ❘❛✈✐ P✳❆❣❛r✇❛❧ ✭✷✵✵✵✮✱ ✧❉✐❢❢❡r❡♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛♥❞ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s t❤❡♦r②✱ ▼❡t❤♦❞s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✧✱ ▼❛r❝❡❧ ❉❡❦❦❡r✱ ■♥❝✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✲❇❛s❡❧✳ ❬✻❪ ❙❤❛r❦♦✈s❦② ✭✶✾✾✸✮✱ ✧❉✐❢❢❡r❡♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛♥❞ ✐ts ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✳✧✱ ❙♣r✐♥❣❡r P✉❜❧✐s❤❡r✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✳ ❬✼❪ ❙❛❜❡r ❊❧❛②❞✐ ✭✷✵✵✺✮✱ ✧❆♥ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❞✐❢❢❡r❡♥❝❡ ❊q✉❛t✐♦♥s✧✱ ❙♣r✐♥❣❡r P✉❜❧✐s❤❡r✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✳ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Phương trình sai phân hệ số vài ứng dụng Ngành: Tốn giải tích Lớp K39.TGT Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2036/QĐ-ĐHSP Ngày 28 tháng 10 năm 2021 Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021 Danh sách thành viên Hội đồng: HỌ VÀ TÊN STT CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG TS Phạm Quý Mười Chủ tịch TS Lương Quốc Tuyển Thư ký TS Nguyễn Thị Thùy Dương Phản biện PGS.TS Kiều Phương Chi Phản biện TS Nguyễn Đức Hiền a Thành viên có mặt: _ Ủy viên b Thành viên vắng mặt: Thư ký Hội đồng báo cáo trình học tập, nghiên cứu học viên cao học đọc lý lịch khoa học (có văn kèm theo) Học viên cao học trình bày luận văn Các phản biện đọc nhận xét nêu câu hỏi (có văn kèm theo) Học viên cao học trả lời câu hỏi thành viên Hội đồng 10 Hội đồng họp riêng để đánh giá 11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết 12 Kết luận Hội đồng a) Kết luận chung: Đề Nghị Hiệu trưởng Trường ĐHSP-ĐHĐN công nhận kết bảo vệ cấp Thạc sĩ Toán học chuyên ngành Tốn Giải tích cho học viên Võ Thị Hường b) Yêu cầu chỉnh, sửa nội dung: - Đề nghị học viên kiểm tra trùng lặp với số Luận văn trước ứng dụng PTSP - Chỉnh sửa luận văn theo yêu cầu hai phản biện Hội đồng c) Các ý kiến khác: Không d) Điểm đánh giá: Bằng số: 8.4 Bằng chữ: Tám điểm tư 13 Tác giả luận văn phát biểu ý kiến 14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Lương Quốc Tuyển Phạm Quý Mười ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc CÂU HỎI VÀ TRẢ LỜI Kèm theo Biên họp Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Của học viên Võ Thị Hường Câu hỏi (Cô Nguyễn Thị Thùy Dương) Hãy trình bày nghiệm riêng phương trình sai phân với hệ số với vế phải đa thức nhân với  n  khơng phải nghiệm PTĐT Học viên trả lời Câu hỏi Câu hỏi (Thầy Kiều Phương Chi) Có thể tính gần số  hay không? Học viên trả lời ý tương câu hỏi Câu hỏi (Thầy Kiều Phương Chi) Cho ví dụ phương trình sai phân có Chương trình THPT Học viên trả lời Câu hỏi Câu hỏi (Thầy Phạm Quý Mười) Em có tham khảo luận văn khác bảo vệ hay không? Học viên trả lời Câu hỏi (Thầy Phạm Quý Mười) Hãy giải phương trình: z(t+1) + 4z(t) = Học viên trả lời Câu hỏi THƯ KÝ HỘI ĐỒNG Lương Quốc Tuyển CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BIÊN BẢN KIỂM PHIẾU CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Cho học viên: Võ Thị Hường Về đề tài: Phương trình sai phân hệ số vài ứng dụng Bảo vệ tại: Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng Thời gian: 13 30 ngày 28 tháng 11 năm 2021 Tham gia kiểm phiếu gồm: TS Phạm Quý Mười Chủ tịch Hội đồng TS Lương Quốc Tuyển Uỷ viên Thư ký Kết kiểm phiếu: - Số phiếu phát ra: 05 - Số phiếu thu về: 05 - Tổng số điểm: 42 - Điểm trung bình: 8.4 (Tám điểm tư) Đà Nẵng, ngày 28 tháng 11 năm 2021 THƯ KÝ HỘI ĐỒNG CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG LƯƠNG QUỐC TUYỂN PHẠM QUÝ MƯỜI ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ SƠ HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Học viên: Võ Thị Hường STT Biên Hội đồng  Bảng điểm học viên cao học  Lý lịch khoa học học viên  Biên kiểm phiếu  Phiếu ghi nội dung câu hỏi trả lời học viên  Nhận xét  Phiếu chấm điểm  HỌ VÀ TÊN TRÁCH NHIỆM TRONG HỘI ĐỒNG NHẬN XÉT Bản nhận xét Phiếu điểm Chủ tịch HD X X TS Phạm Quý Mười TS Lương Quốc Tuyển Thư ký HD X X TS Nguyễn Thị Thùy Dương Phản biện X X PGS.TS Kiều Phương Chi Phản biện X X TS Nguyễn Đức Hiền Uỷ viên X X TS Lê Hải Trung Người hướng dẫn X Đà Nẵng, ngày 28 tháng 11 năm 2021 Thư ký Hội đồng Lương Quốc Tuyển ... Ù♥❣ t tờ số tr ỗ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✶✳ ❉➣② u1 , u2 , , un , ữủ tr ỗ k tỗ t số a1 , a2 , , ak (ak = 0) s❛♦ ❝❤♦✿ un+k = a1 un+k−1 + a2 un+k−2 + + ak un (n ≥ 1) ữ t tr tr ỗ ộ số ❤↕♥❣✱ ✤÷đ❝... ♣❤↔✐ ✤➦❝ t❤ị✳ ❈❤÷ì♥❣ ■■✳ ▼❐❚ ❱⑨■ Ù◆● ❉Ư◆● ❈Õ❆ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❙❆■ P❍❹◆ ❍➏ ❙➮ ❍➀◆● ✷✳✶✳ Ù♥❣ ❞ư♥❣ t tờ số tr ỗ k tr t ỵ tr s✐♥❤ ❤å❝✳ ✷✳✹✳ ▼ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ❦❤→❝✳ ✺ ✶ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❒ ❙Ð ❈❍×❒◆● ✶✳✶✳ ❑❤→✐... sè ❣✐❛ ❝õ❛ ✤è✐ sè✱ ❝á♥ ∆y(t) ❝❤➼♥❤ ❧➔ sè ❣✐❛ ❝õ❛ ❤➔♠ sè t↕✐ ✤✐➸♠ t✳ ❚r♦♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ t❛ số h ỏ õ t ữợ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝➜♣ ❝❛♦ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❜✐➸✉ t❤ù❝✿ ∆n y(t) = ∆(∆n−1 y(t)) ✭✶✳✷✮ ❱➼ ❞ö