V½ dö 2.4.1. N¸u mët ng÷íi ¦u t÷ 1000 æ la v o mët t i kho£n vîi l¢i su§t h ng n«m l 5 ph¦n tr«m, h¢y t¼m sè ti·n trong t i kho£n sau 3 n«m n¸u t½nh l¢i: a) h ng n«m, b) li¶n töc.
Líi gi£i. a) 1000 · 1.053 = 1157.625 b) 1000e.05·3 = 1161.834. L÷u þ r¬ng .05 kh¡ g¦n vîi 0 n¶n sü kh¡c bi»t giúa hai gi¡ trà khæng lîn lm. Công l÷u þ r¬ng sè ti·n s³ kh¡c nhau nhi·u hìn n¸u sè n«m ÷ñc · cªp lîn hìn ho°c l¢i su§t h ng n«m lîn hìn.
B¥y gií h¢y xem x²t mët h» ëng lüc câ gi¡ trà d÷ìng ban ¦u a0 ÷ñc x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh:
an+1 = kan+b
vîi k l h¬ng sè t l» thuªn. Chóng ta h¢y kþ hi»u l¤i k−1 vîi r. Ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n mæ t£ h» n y l ∆an = an+1 − an = kan + b − an = (k −1)an + b = ran + b. Nghi»m c¥n b¬ng l a = −rb. Sü ên ành s³ l¤i phö thuëc v o d§u cõa r. Chóng ta ph¥n bi»t hai tr÷íng hñp.
t«ng l¶n khæng câ giîi h¤n.
Mët v½ dö v· t¼nh huèng câ thº ÷ñc mæ h¼nh hâa bði h» thèng ëng lüc håc nh÷ vªy l mët t i kho£n ng¥n h ng câ l¢i su§t h ng th¡ng r > 0 (do â k = 1 +r > 1), tr¶n â mët sè ti·n cè ành b ÷ñc gûi v o méi th¡ng.
2. N¸u r < 0 (0 < k < 1) th¼ câ nghi»m c¥n b¬ng. Tr¼nh tü ang gi£m d¦n v· ph½a b
−r = 1−bk.
V½ dö 2.4.2. Gi£ sû r¬ng mët cæng ty ang theo dãi mùc ë s£n xu§t £nh h÷ðng nh÷ th¸ n o ¸n lñi nhuªn.
1. Lñi nhuªn trð th nh 0 n¸u nâ gi£m xuèng d÷îi mùc hi»u döng tèi thiºu l 150,000 æ la.
2. N¸u lñi nhuªn cao hìn mùc hi»u qu£ tèi thiºu, th¼ mùc t«ng tr÷ðng bà giîi h¤n bði 3,000,000 æ la.
3. N¸u lñi nhuªn tr¶n 3,000,000 æ la th¼ nâ s³ gi£m xuèng gi¡ trà 3,000,000 æ la.
Coi lñi nhuªn P l mët h m cõa mët sè n m°t h ng ÷ñc s£n xu§t (do â nâ phö thuëc v o mùc s£n xu§t. M°c dò h» thèng n y câ thº ÷ñc mæ h¼nh hâa b¬ng mët ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, nh÷ng mët mæ h¼nh ríi r¤c s³ thüc t¸ hìn ch¿ v¼ sè l÷ñng m°t h ng ÷ñc s£n xu§t l mët sè nguy¶n d÷ìng. Do â, chóng ta câ thº mæ t£ t¼nh huèng n y b¬ng mët ph÷ìng tr¼nh sai kh¡c. Gåi P = Pn l lñi nhuªn khi s£n xu§t n m°t h ng. Chóng ta câ thº sû döng mët ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n tü trà vîi c¡c nghi»m c¥n b¬ng Pn = 15,000 v P = 3,000,000. C¡c i·u ki»n x¡c ành ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: 1. N¸u P0 < 15,000 th¼ Pn gi£m v· 0. Do â ∆Pn < 0. 2. N¸u 15,000< P0 < 3,000,000th¼ Pn s³ t«ng theo h÷îng 3,000,000. Do â ∆Pn > 0. 3. N¸u P0 > 3,000,000 th¼ Pn s³ gi£m v· 3,000,000. Do â ∆Pn < 0. C¡c i·u ki»n n y ÷ñc thäa m¢n èi vîi s£n ph©m(3,000,000−P)(P−
15,000). Do â, ta nhªn ÷ñc ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n: ∆Pn = k(3,000,000−P)(P −15,000)
vîik l h¬ng sè d÷ìng, mæ h¼nh hâa t¼nh huèng ¢ cho. L÷u þ r¬ng ph÷ìng tr¼nh t÷ìng tü li¶n töc l mët ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n y0 = k(3,000,000−
y)(y −15,000).
V½ dö 2.4.3. Trong Hâa håc ph¥n t½ch, kþ hi»u sau th÷íng ÷ñc sû döng: [X] = nçng ë c¥n b¬ng = sè mol cõa X lóc c¥n b¬ng. CX= l÷ñng ph¥n t½ch cõa X = sè mol X th¶m v o dung dàch tr¶n 1 l½t. pX = −log[X]. Kw= h¬ng sè tü ph¥n gi£i cõa n÷îc=1.01·10−4 ð 25 ë C. Nâ th÷íng ÷ñc l m trán th nh 10−14.Ka= h¬ng sè ph¥n ly axit. Kb= h¬ng sè ph¥n ly bazì. Nhî l¤i r¬ng Kb = Kw
Ka.
Khi t½nh nçng ë ion hydro [H+] trong h» axit-bazì, v§n · th÷íng °t ra l t¼m gi¡ trà c¥n b¬ng cõa h» ëng lüc.
Ch¯ng h¤n, khi háa tan axit clohiric HCl v o n÷îc, ta câ HCl →
H++Cl− v H2O H++OH−
[H+]¸n tø ph÷ìng tr¼nh ¦u ti¶n l b¬ng CHCl. º câ ÷ñc têng nçng ë cõa H+, chóng ta câ thº sû döng c¡c gi¡ trà g¦n óng li¶n ti¸p.
X§p x¿ thù nh§t: [H+]1 = CHCl
X§p x¿ thù hai: [H+]2 = CHCl +Kw/[H+]1, X§p x¿ thù ba: [H+]3 = CHCl+ Kw/[H+]2,...
i·u n y t¤o ra h» ëng lüc [H+]n+1 = CHCl+Kw/[H+]n vîi gi¡ trà ban ¦u l CHCl. iºm cè ành câ thº ÷ñc t¼m th§y b¬ng c¡ch gi£i ph÷ìng tr¼nh[H+] = CHCl+Kw/[H+]cho[H+]. V½ dö, vîi c¡c gi¡ trà CHCl = 10−7 v Kw = 10−14, chóng ta thu ÷ñc [H+] = 1.61810−7, vîi gi¡ trà pH l 6.7910. V½ dö 2.4.4. Cho d¢y sè an : a0 = 0;a1 = 1 an+1 = 2an−an−1 + 1. Chùng minh r¬ng: 4an+2an + 1 l sè ch½nh ph÷ìng (n ≥ 1).
2g(n) +g(n−1) = 1 . Gi£i ra ta câ g(n) = n22 . °t bn = an − n2
2 ta câ ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n bn+1 = 2bn −bn−1.
Gi£i ph÷ìng tr¼nh n y ta câ bn = n2 ⇒ an = n(n2+1)
Do â 4an+2an + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n+ 3) + 1 = (n2 + 3n + 1)2 (pcm).
KT LUN
Sau mët thíi gian nghi¶n cùu, luªn v«n "Ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n h» sè h¬ng v mët v i ùng döng" ¢ ¤t ÷ñc mët sè k¸t qu£ nh÷ sau:
1) H» thèng l¤i c¡c ki¸n thùc cì sð trong l½ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n nh÷: Kh¡i ni»m v· sai ph¥n; Ph¥n lo¤i ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n c§p mët v ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n c§p cao.
2) Mæ phäng mët sè ùng döng thüc t¸ b¬ng ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n nh÷: Ùng döng t½nh têng cõa d¢y sè truy hçi c§p k; Ùng döng trong vªt lþ, ùng döng trong sinh håc v mët sè ùng döng kh¡c.
3) Sû döng c¡c ki¸n thùc v· ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n º gi£i quy¸t c¡c mæ h¼nh ÷ñc tr¼nh b y trong ch÷ìng 2, tø â câ nhúng k¸t luªn v dü o¡n phò hñp.
Trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n v ho n th nh luªn v«n t¡c gi£ ¢ r§t né lüc v ho n thi»n luªn v«n óng h¤n. Tuy vªy trong luªn v«n v¨n khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, t¡c gi£ r§t mong muèn nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp quþ b¡u cõa quþ th¦y cæ, b¤n b± v c¡c ëc gi£ quan t¥m ¸n nëi dung cõa luªn v«n.
TI LIU THAM KHO
Ti¸ng Vi»t
[1] Nguyºn Minh Ch÷ìng (Chõ bi¶n) (2002), " Gi£i t½ch sè", NXB Gi¡o döc.
[2] L¶ ¼nh Thành (2004), "Ph÷ìng ph¡p sai ph¥n", NXB ¤i håc quèc gia H Nëi.
[3] L¶ H£i Trung (2019), Gi¡o tr¼nh ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n sai ph¥n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m N®ng, Nh xu§t b£n Thæng tin v Truy·n thæng.
[4] L¶ ¼nh Thành, °ng ¼nh Ch¥u, Ph¤m V«n H¤p (2003), "Ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n v mët sè ùng döng", NXB Gi¡o döc H Nëi.
Ti¸ng Anh
[5] Ravi P.Agarwal (2000), "Difference equations and inequalities theory, Methods and Applications", Marcel Dekker, Inc, New York-Basel. [6] Sharkovsky (1993), "Difference equations and its application.",
Springer Publisher, New York.
[7] Saber Elaydi (2005), "An Introduction to difference Equations", Springer Publisher, New York.
BIÊN BẢN
HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ
1. Tên đề tài: Phương trình sai phân hệ số hằng và một vài ứng dụng
2. Ngành: Toán giải tích Lớp K39.TGT
3. Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2036/QĐ-ĐHSP Ngày 28 tháng 10 năm 2021
4. Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021
5. Danh sách các thành viên Hội đồng:
STT HỌ VÀ TÊN CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG
1. TS. Phạm Quý Mười Chủ tịch
2. TS. Lương Quốc Tuyển Thư ký
3. TS. Nguyễn Thị Thùy Dương Phản biện 1
4. PGS.TS. Kiều Phương Chi Phản biện 2
5. TS. Nguyễn Đức Hiền Ủy viên
a. Thành viên có mặt: 5_______________ b. Thành viên vắng mặt: 0
6. Thư ký Hội đồng báo cáo quá trình học tập, nghiên cứu của học viên cao học và đọc lý lịch khoa học (có văn bản kèm theo)
7. Học viên cao học trình bày luận văn
8. Các phản biện đọc nhận xét và nêu câu hỏi (có văn bản kèm theo) 9. Học viên cao học trả lời các câu hỏi của thành viên Hội đồng 10. Hội đồng họp riêng để đánh giá
11. Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết quả 12. Kết luận của Hội đồng
a) Kết luận chung:
b) Yêu cầu chỉnh, sửa về nội dung:
- Đề nghị học viên kiểm tra sự trùng lặp với một số Luận văn trước đây về ứng dụng của PTSP
- Chỉnh sửa luận văn theo yêu cầu của hai phản biện và của Hội đồng
c) Các ý kiến khác:
Không
d) Điểm đánh giá: Bằng số: 8.4 Bằng chữ: Tám điểm tư 13. Tác giả luận văn phát biểu ý kiến
14. Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG
Lương Quốc Tuyển
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
CÂU HỎI VÀ TRẢ LỜI
Kèm theo Biên bản họp Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Của học viên Võ Thị Hường
Câu hỏi 1. (Cô Nguyễn Thị Thùy Dương)
Hãy trình bày về nghiệm riêng của phương trình sai phân với hệ số hằng với vế phải là đa thức nhân với n trong đó không phải là nghiệm của PTĐT.
Học viên đã trả lời được Câu hỏi 1.
Câu hỏi 2. (Thầy Kiều Phương Chi)
Có thể tính được gần đúng số hay không? Học viên mới trả lời được ý tương của câu hỏi.
Câu hỏi 3. (Thầy Kiều Phương Chi)
Cho ví dụ về phương trình sai phân có trong Chương trình THPT. Học viên đã trả lời được Câu hỏi 3.
Câu hỏi 4. (Thầy Phạm Quý Mười)
Em có tham khảo các luận văn nào khác đã từng bảo vệ rồi hay không? Học viên đã trả lời
Câu hỏi 5. (Thầy Phạm Quý Mười) Hãy giải phương trình: z(t+1) + 4z(t) = 0. Học viên đã trả lời được Câu hỏi 5.
THƯ KÝ HỘI ĐỒNG
BIÊN BẢN KIỂM PHIẾU
CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ
Cho học viên: Võ Thị Hường
Về đề tài: Phương trình sai phân hệ số hằng và một vài ứng dụng
Bảo vệ tại: Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng Thời gian: 13 giờ 30 ngày 28 tháng 11 năm 2021
Tham gia kiểm phiếu gồm:
1 TS. Phạm Quý Mười Chủ tịch Hội đồng
2 TS. Lương Quốc Tuyển Uỷ viên Thư ký
Kết quả kiểm phiếu:
- Số phiếu phát ra: 05 - Số phiếu thu về: 05 - Tổng số điểm: 42
- Điểm trung bình: 8.4 (Tám điểm tư)
THƯ KÝ HỘI ĐỒNG
LƯƠNG QUỐC TUYỂN
Đà Nẵng, ngày 28 tháng 11 năm 2021
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
HỒ SƠ HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ
Học viên: Võ Thị Hường
1 Biên bản Hội đồng
2 Bảng điểm của học viên cao học
3 Lý lịch khoa học của học viên
4 Biên bản kiểm phiếu
5 Phiếu ghi nội dung câu hỏi và trả lời của học viên
6 Nhận xét 7 Phiếu chấm điểm STT HỌ VÀ TÊN TRÁCH NHIỆM TRONG HỘI ĐỒNG NHẬN XÉT Bản nhận xét Phiếu điểm 1. TS. Phạm Quý Mười Chủ tịch HD X X
2. TS. Lương Quốc Tuyển Thư ký HD X X
3. TS. Nguyễn Thị Thùy Dương Phản biện 1 X X
4. PGS.TS. Kiều Phương Chi Phản biện 2 X X
5. TS. Nguyễn Đức Hiền Uỷ viên X X
6. TS. Lê Hải Trung Người hướng dẫn X
Đà Nẵng, ngày 28 tháng 11 năm 2021
Thư ký Hội đồng