ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NĂM 2021 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, MỘT SỐ ỨNG DỤNG Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Mỹ Thanh, 18S[.]
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA: TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NĂM 2021 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, MỘT SỐ ỨNG DỤNG Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Mỹ Thanh, 18ST, khóa 2018 Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hồng Trí ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA: TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NĂM 2021 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, MỘT VÀI ỨNG DỤNG Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Mỹ Thanh, 18ST, khóa 2018 Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hồng Trí MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Những kiến thức 1.1 Không gian metric, hội tụ không gian metric 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Dãy hội tụ, dãy Cauchy Hình cầu mở hình cầu đóng 1.2.1 Hình cầu mở 1.2.2 Hình cầu đóng 1.3 Ánh xạ liên tục 1.4 Không gian metric đầy đủ 1.5 Tập Compact 1.6 Không gian định chuẩn 1.7 Hàm Lipschitz địa phương 1.8 Ánh xạ co, điểm bất động 1.9 Nghiệm toán giá trị ban đầu 1.2 Định lí tồn nghiệm phương trình vi phân i 2.1 Chứng minh mệnh đề cần sử dụng 2.2 Định lí Picard - Lindelof 12 2.3 Sự phụ thuộc Lipschitz vào điều kiện ban đầu 14 Ứng dụng Định lý tồn nghiệm vào phương trình vi phân tuyến tính 3.1 17 Một số ứng dụng Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân vào phương trình vi phân tuyến tính cấp 3.2 17 Một số ứng dụng Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân vào phương trình vi phân tuyến tính cấp 23 KẾT LUẬN 31 Tài liệu tham khảo 32 MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu Tìm hiểu hàm Lipschitz, ánh xạ co, nguyên lý ánh xạ co để chứng minh tồn nghiệm tốn Cauchy Từ đó, ứng dụng để chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính Lý chọn đề tài, mục tiêu nhiệm vụ đề tài Lí chọn đề tài: Trong tốn học, phương trình vi phân chuyên ngành phát triển có tầm quan trọng có nhiều ứng dụng thực tế lĩnh vực khoa học kỹ thuật, kinh tế, vật lý Chính việc nghiên cứu phương trình vi phân nói chung ln nhiệm vụ cần thiết Đặc biệt năm gần đây, có nhiều người nghiên cứu lý thuyết ứng dụng phương trình vi phân Trong việc nghiên cứu tồn nghiệm cho tốn giá trị ban đầu phương trình vi phân cần thiết để tạo tiền đề sở lí thuyết vững cho toán ứng dụng sau Chính lí trên, hỗ trợ giảng viên TS Lê Hồng Trí, tơi định chọn đề tài nghiên cứu: "Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân vài ứng dụng " cho khóa luận tốt nghiệp Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nội dung tập trung vào việc trình bày lại số kiến thức bản, chứng minh toán Cauchy tồn nghiệm ứng dụng Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân vào phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, cấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Bài toán Cauchy phương trình vi phân tuyến tính Phạm vi nghiên cứu: Các lý thuyết liên quan đến phương trình vi phân tuyết tính tốn Cauchy Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức không gian metric, ánh xạ co để xem xét chứng minh mệnh đề liên quan đến nghiệm tốn Cauchy, từ chứng minh tồn nghiệm toán Cauchy Nội dung cấu trúc đề tài Nội dung gồm chương: + Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị + Chương 2: Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân + Chương 3: Ứng dụng Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân vào phương trình vi phân tuyến tính cấp cấp 2 Chương Những kiến thức 1.1 1.1.1 Không gian metric, hội tụ không gian metric Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Không gian metric cặp (X, d) X tập hợp d : X × X → R hàm xác định X × X thỏa mãn điều kiện sau: a Với x, y ∈ X : d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = ⇔ x = y b Với x, y ∈ X : d(x, y) = d(y, x) c Với x, y, z ∈ X : d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Hàm d gọi metric X Mỗi phần tử X gọi điểm không gian X , d(x, y) gọi khoảng cách hai điểm x, y 1.1.2 Dãy hội tụ, dãy Cauchy Giả sử với dãy (xn )n = (xn )n∈N khơng gian metric (X, d), ta nói: a (xn )n dãy hội tụ tồn x ∈ X cho d(xn , x) → n → ∞ b (xn )n dãy Cauchy với > 0, tồn p ∈ N cho d(xn , xm ) < với n, m > p 1.2 1.2.1 Hình cầu mở hình cầu đóng Hình cầu mở Định nghĩa 1.2.1 Giả sử (X, d) không gian metric, x ∈ X r > Tập hợp B(x, r) = {y ∈ X : d(y, x) < r} , gọi hình cầu mở tâm x bán kính r 1.2.2 Hình cầu đóng Định nghĩa 1.2.2 Giả sử (X, d) không gian metric, x ∈ X r > Tập hợp B(x, r) = {y ∈ X : d(y, x) ≤ r} , gọi hình cầu đóng tâm x bán kính r 1.3 Ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.3.1 Cho (X, dX ) (Y, dY ) hai không gian metric, ánh xạ f : X → Y gọi liên tục điểm x0 ∈ X với số dương tồn số dương δ cho với x ∈ X , dX (x, x0 ) < δ dY (f (x), f (x0 )) < Ta nói ánh xạ f liên tục X liên tục điểm x ∈ X 1.4 Không gian metric đầy đủ Định nghĩa 1.4.1 Không gian metric (X, d) gọi không gian metric đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ Định lý 1.4.1 Mọi dãy hội tụ không gian metric dãy Cauchy 1.5 Tập Compact Định nghĩa 1.5.1 Tập K ⊂ (X, d) gọi tập compact dãy (xn )n = (xn )n∈N ⊂ K có dãy hội tụ đến phần tử K 1.6 Khơng gian định chuẩn Định nghĩa 1.6.1 Cho X không gian vector trường số R Hàm k.k : X → R+ gọi chuẩn X nếu: a kxk = x = b kλxk = |λ| kxk với λ ∈ R x ∈ X c kx + y k ≤ kxk + ky k với x, y ∈ X Khi đó, (X, k.k) gọi khơng gian định chuẩn 1.7 Hàm Lipschitz địa phương Định nghĩa 1.7.1 Hàm f : D → Rn tập D ⊂ R × Rn gọi Lipschitz địa phương theo biến x với tập compact K ⊂ D, tồn số L > cho kf (t, x) − f (t, y)k L kx − yk (1.1) với (t, x), (t, y) ∈ K Định nghĩa 1.7.2 Cho hàm x : I → Rn tập I ⊂ Rk gọi Lipschitz tồn L > cho |x(t) − x(s)| ≤ L |t − s| với t, s ∈ I 1.8 Ánh xạ co, điểm bất động Định nghĩa 1.8.1 Ánh xạ T : X → X không gian metric (X, d) gọi ánh xạ co tồn λ ∈ (0, 1) cho d(T (x), T (y)) ≤ λd(x, y) với x, y ∈ X Định nghĩa 1.8.2 Với (X, d) khơng gian metric, ta nói x0 ∈ X điểm bất động phép biến đổi T : X → X T (x0 ) = x0 Với T : X → X , ∀x ∈ X , định nghĩa T = x; T = T ; T = T ◦ T ; ; T n = T ◦ T n−1 ∀n ≥ 1.9 Nghiệm toán giá trị ban đầu Cho hàm f : D → Rn với D ⊂ R × Rn tập mở, xét phương trình có dạng x0 = f (t, x), (1.2) Định nghĩa 1.9.1 Hàm x : (a, b) → Rn thuộc lớp C (với a ≥ −∞ b ≤ +∞) gọi nghiệm phương trình (1.2) nếu: a (t, x(t)) ∈ D với t ∈ (a, b) b x0 (t) = f (t, x(t)) với t ∈ (a, b) Hình 1.1: Nghiệm x = x(t) phương trình x0 = f (t, x) Ví dụ 1.9.1 Xét phương trình x0 = −x + t (1.3) Nếu x = x(t) nghiệm, x0 (t) + x(t) = t ⇔ et (x0 (t) + x(t)) = et t ⇔ et x0 (t) + et x(t) = et t ⇔ (et x(t))0 = et t Lấy nguyên hàm vế ta et x(t) = et (t − 1) + c với c ∈ R Do đó, nghiệm (1.3) thu x(t) = t − + ce−t , t ∈ R (1.4) với t ∈ I i = 1, Bây ta xét trường hợp t ≥ t0 , trường hợp t ≤ t0 thực tương tự Ta xét hàm y : I → Rn định nghĩa y(t) = x1 (t) − x2 (t) Với t ≥ t0 , từ (2.19) ta ky(t)k ≤ kx1 − x2 k + t Z kf (s, x1 (s)) − f (s, x2 (s))k ds t0 ≤ kx1 − x2 k + L Z t ky(s)kds, t0 với L số (vì f Lipzchits Giả sử ( u(t) v(t) c địa phương theo biến x) = ky(t)k = L = kx1 − x2 k theo định lý (2.3.1) trên, ta Z t u(t) ≤ c exp v(s)ds = kx1 − x2 k eL(t−t0 ) t0 với t ∈ I ∩ [t0 ; +∞) Định lý chứng minh 16 ... nghiệm vào phương trình vi phân tuyến tính 3.1 17 Một số ứng dụng Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân vào phương trình vi phân tuyến tính cấp 3.2 17 Một số ứng dụng. .. vào vi? ??c trình bày lại số kiến thức bản, chứng minh toán Cauchy tồn nghiệm ứng dụng Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân vào phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, cấp Đối tượng phạm vi nghiên... ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA: TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NĂM 2021 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, MỘT VÀI ỨNG DỤNG Sinh vi? ?n thực hiện: Nguyễn Thị Mỹ Thanh, 18ST, khóa 2018 Người