Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của phương trình vi phân cấp phân thứ

LỜI CẢM ƠN Khóa luận “Sự tồn tính nghiệm phương trình vi phân cấp phân thứ” hoàn thành Khoa Khoa học Tự nhiên – Trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn Th.S Lê Anh Minh Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới dẫn thầy Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giảng dạy cảm ơn tất bạn bè giúp đỡ nhiệt tình người Tôi xin cảm ơn tới Khoa Khoa học Tự nhiên – Trường Đại học Hồng Đức tạo điều kiện tốt cho tơi hồn thành khóa luận Thanh Hóa, tháng năm 2019 Kí tên Lê Thị Mai i MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: Các khái niệm Chương 2: Tích phân vi phân Riemann-Liouville 2.1 Tích phân Riemann Liouville 2.2 Vi phân Riemann - Liouville 17 2.3 Mối quan hệ tích phân vi phân Riemann- Liouville 25 Chương 3: Sự tồn tính nghiệm phương trình vi phân cấp phân thứ kiểu Riemann- Liouville 28 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 ii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình vi phân cấp phân thứ nội dung quan trọng phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp phân thứ áp dụng nhiều thực tiễn Để giải toán liên quan đến nghiệm phương trình vi phân cấp phân thứ địi hỏi người học phải trang bị kỹ năng, kiến thức cần thiết Đã có nhiều đề tài, cơng trình sáh chun khảo phương trình vi phân cấp phân thứ Tuy nhiên, việc xét tồn tính nghiệm phương trình vi phân cấp phân thứ cịn hạn chế Việc nghiên cứu cách hệ thống cần thiết Vi vậy, tơi chọn đề tài khóa luận “ Sự tồn tính nghiệm phương trình vi phân cấp phân thứ” Đối tượng nghiên cứu Phương trình vi phân cấp phân thứ Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài nghiên cứu ổn định tính nghiệm phương trình vi phân cấp phân thứ Phạm vi nghiên cứu Sử dụng kiến thức biết để xét ổn định tính nghiệm phương trình vi phân cấp phân thứ Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu, seminar mơn, nhóm hướng dẫn người hướng dẫn khoa học Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Khóa luận tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên người bắt đầu tiếp cận, nghiên cứu ổn định tính nghiệm phương trình vi phân cấp phân thứ Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm ba chương Chương 1: Các khái niệm Chương 2: Tích phân vi phân Riemann-Liouville Chương 3: Sự tồn tính nghiệm phương trình vi phân cấp phân thứ kiểu Riemann- Liouville Chương Các khái niệm Định lý 1.A (Định lý giải tích cổ điển) Cho f :[a, b]  hàm liên tục giả sử F :[a, b]  định nghĩa x F ( x) :  f (t )dt a Khi đó, F khả vi F '  f Do đó, chúng tơi có mối quan hệ chặt chẽ tốn tử vi phân tốn tử tích phân Đây mục tiêu phép tính phân số để trì mối quan hệ ý nghĩa tổng quát phù hợp Do cần phải nói tốn tử tích phân phân thức, thực hữu ích để thảo luận tốn tử vi phân phân thức (và để có câu trả lời câu hỏi de L’Hospital) Nó chứng minh thuận tiện để sử dụng quy ước giới thiệu định nghĩa sau Định nghĩa 1.1 (a) Ta kí hiệu ánh xạ vi phân hàm số đạo hàm nó, tức Df  x  : f '  x  (b) Ta kí hiệu tốn tử J a ánh xạ f , phép lấy tích phân khoảng đóng [a, b] , vào nguyên hàm a, tức J a f  x  :  f  t  dt với a  x  b x a (c) Với n , ta sử dụng ký hiệu D n J an để n lần lặp lại D J a , tương ứng, tức ta đặt D1 : D, J a1 : J a Dn : DDn1 J an : J a J an1 với n  Câu hỏi là: Làm mở rộng Định nghĩa 1.1 (c) cho n với n ? Lưu ý Định lý 1.A , ký hiệu DJ a f  f Dn J an f  f nghĩa với n , tức D n nghịch đảo trái J an không gian phù hợp hàm Tuy nhiên, khơng có nghĩa đơn giản khái quát điều kiện Định lý 1.A cho trường hợp phân thứ n theo cách vậy, thứ giữ nguyên cách dễ dàng Đó lỗi xảy thường xuyên Bổ đề 1.1 Giả sử f có tích phân Riemann [a, b] Khi đó, với a  x  b n , ta có J an f ( x)  Bổ đề 1.2 Cho m, n x x( x  t )n1 f (t )dt  (n  1)! a cho m  n f hàm có đạo hàm cấp n liên tục khoảng  a, b Thì Dn f  Dm J amn f Chứng minh Theo (1.1), ta có f  Dmn J amn f Tác động D n cho hai vế phương trình sử dụng kết Dn Dmn  Dm , ta kết cần chứng minh Định nghĩa 1.2 Hàm:  :  0,    , xác định    x  :  t x1et dt gọi hàm Gamma Euler (hoặc tích phân Euler loại hai) Định lý 1.1 Với n , ta có  n  1!    n  Định nghĩa 1.3 Giả sử    1, k   p Lp  a, b :  f : a, b  ; f đo  a, b  b a  f  x  dx   p L  a, b :  f : a, b  ; f đo bị chặn  a, b },   H   a, b : f : [ a, b]  ; c  0, x, y  a, b  : f  x   f  y   c | x  y | , C k  a, b : { f :  a, b  ; f có đạo hàm cấp k liên tục}, C  a, b : C  a, b, H  a, b : C  a, b Nói cách khác, Lp  a, b (với  p   ) không gian Lebesgue thông thường, H   a, b không gian Holder không gian Lipschitz bậc  Ta sử dụng ký hiệu L p thay Lp  a, b Định nghĩa 1.4 Theo H * H *  a, b ta kí hiệu tập hợp hàm f :  a, b   với tính chất tồn số số L  cho f  x  h   f  x   L h ln h với h  1 x, x  h   a, b  Rõ ràng, tập hợp lớn chút so với H1 Định lý 1.2 (Định lý không gian Lebesgue) Giả sử f  L1  a, b Khi đó, J a f vi phân hầu khắp nơi  a, b DJ a f  f cố định hầu khắp nơi  a, b Định nghĩa 1.5 An An  a, b kí hiệu tập hợp hàm có vi phân cấp  n  1 liên tục, tức với hàm f tồn hàm g  L1  a, b cho f ( n1)  x   f ( n1)  a    g  t  dt x a Trong trường hợp này, g gọi đạo hàm cấp n f viết g  f ( n ) Từ định nghĩa này, hàm số f  A1 có (hầu khắp nơi) đạo hàm f  L1 Tuy nhiên điều ngược lại khơng Chương Tích phân vi phân Riemann-Liouville 2.1 Tích phân Riemann Liouville Định nghĩa 2.1 Cho n   Toán tử J an , xác định L1  a, b J an f  x  : x n 1 x  t  f  t  dt     n a với a  x  b, gọi tốn tử tích phân phân thứ Riemann- Liouville có bậc n Với n  , ta đặt J a0 : I toán tử đồng Định lý 2.1 Cho f  L1  a, b n  Khi đó, tồn tích phân J an f  x  với hầu hết x   a, b Hơn nữa, J an f  L1  a, b Chứng minh Ta có a  x  t  x n1  f  t  dt   1  x  t  2  t  dt  Khi u n1  u  b  a 1 (u )   ,   f (u ) a  u  b 0 2 (u )   Bằng cách xây dựng,  j  L1 ( ) với j 1,2 , theo phép lấy tích phân Lebesgue ta có điều phải chứng minh Định lý 2.2 Cho m, n    L1  a, b Khi đó, J am J an  J amn hầu khắp nơi  a, b Nếu   C  a, b m  n  1, đẳng thức  a, b Chứng minh Ta có J am J an ( x)  (m)(n) a  x  t  x m1  t    t a n 1    d dt Theo Định lý 2.1, tích phân tồn theo định lý Fubini, thay đổi thứ tự lấy tích phân Khi x x m 1 n 1 x  t t      d dt     (m)(n) a  x x m 1 n 1    x  t t   dtd        (m)(n) a J am J an ( x)  Thay t    s  x    , ta x x m 1 n 1    (  ) x    s s ( x   ) ( x   )dsd           a 0  (m)(n) a x x m  n 1 m 1 n 1     (  ) x    s s dsd       a 0 (m)(n) a J am J an ( x)  Mà 0 1  s  m1 s n1ds    m    n  /   n  m  , J am J an  x   x m n 1    x    d  J amn  x   a   m  n hầu khắp nơi  a, b Theo định lý tích phân tham số,   C  a, b J an  C  a, b , J am J am  C  a, b J amn  C  a, b Như vậy, hai hàm liên tục hầu khắp nơi nên chúng đồng nơi Cuối cùng,   L1  a, b m  n  ta có, J am J an  J amn  J amn1J a1 hầu khắp nơi Vì J a1 liên tục, ta có J amn  J amn1J a1 liên tục, lần kết luận hai hàm số hai vế phương trình liên tục nơi; chúng phải nơi Hệ 2.3 Nếu giả thiết Định lý 2.2 J am J an  J an J am   Định lý 2.4 Các toán tử J an : L1  a, b  L1  a, b; n  tạo thành nửa nhóm giao hốn có tốn tử đồng J a0 phần tử trung hòa nhóm Định lý 2.5 Giả sử   H   a, b với   0,1 cho  n  Khi J an  x    a   n  1  x  a n   x với hàm  thỏa mãn   x  O  x  a m n  x  a Hơn nữa,  H   n  a, b      H *  a, b    H1  a, b    n  1,   n  1,   n  Chứng minh Ta có J an  x    (a)  ( n) a  x  t  x n 1 dt  x  (t )   (a) dt (n) a ( x  t )1n Khi ( x)  x  (t )   (a) dt (n) a ( x  t )1n Do   H  , x L | t  a | L x n 1 | ( x) | dt  (t  a)   x  t  dt  n    ( n) a ( x  t )  ( n) a L n 1  ( x  a)  n  s  1  s  dt  O  ( x  a )   n   ( n) Đặt g  x  :   x     a   /   n  Giả sử h  x, x  h  a, b Ta có, Dan1 Dan2 f  D[n1 ] Ja[n1 ]n1 Jan1  D[n1 ] Jan1 ta sử dụng tính chất nửa nhóm phép lấy tích phân cấp phân thứ Ta có Dan1 Dan2 f   Chứng minh Dan1 n2 f   tương tự Định lý chứng minh Định lý 2.14 Cho n  Khi đó, với f  L1 [a, b] , Dan Jan f  f hầu khắp nơi Chứng minh Trường hợp n  tầm thường Dan J an tốn tử đồng Với n  , ta chứng minh tương tự định lý 2.13: cho m   n  Theo định nghĩa Dan , tính chất nửa nhóm tích phân cấp phân thứ, ta có Dan Jan f ( x )  Dm Jamn Jan f ( x )  Dm Jam f ( x )  f ( x ) Định lý 2.15 Cho n  Giả sử  fk k 1 dãy hàm liên tục, hội tụ   [a, b] , Dan fk tồn với k Hơn nữa, giả sử Dan fk   k 1 hội tụ [a   , b] với   Khi đó, với x (a, b] , ta có  lim D f ( x)   D lim f (x) k  n a k n a k  k Chứng minh   Ta nhớ lại Dan  D n Jan n Theo Định lý 2.7, dãy Ja n   n fk  k hội tụ thay đổi thứ tự phép lấy giới hạn tích phân phân thứ Theo giả sử, vi phân cấp  n  dãy hội tụ tập (a, b] Do đó, ta thay đổi thứ tự toán tử giới hạn toán tử vi phân a  x  b 19 Hệ 2.16 Cho f giải tích (a  h, a  h) với h  cho n  0, n  Khi  n  ( x  a) k  n k D f ( x)    D f ( x ) với a  x  a  h / k   k  ( k   n)  n a ( x  a) k  n k D f (a) với a  x  a  h  ( k   n ) k 0  Dan f ( x )   Hay Dan f giải tích (a, a  h) n Ở đây, hệ số nhị thức   với n  , k  k xác định  n  n(n  1)(n  2) (n  k  1)   : k! k Chứng minh Sử dụng hệ 2.8 định nghĩa toán tử Dan , Dan f ( x )  D[n] Ja[n]n f ( x )  n  Ta có: k !(n)(n  k )    (1)k (k   n) Khi k  J  n  n a  n   n   ( x  a)k  n n f (x)   Dk f ( x)  k  (k    n   n) k 0   Lấy vi phân  n  lần theo biến x , ta có  n  n  k  n n   Dan f ( x )    D n (  a)   D k f  ( x )  k  (k    n   n) k 0  Theo công thức Leibniz , ta có  n   n   n    n  n  j D f (x)        D   (  a)k [n ]n  ( x )D k  j f ( x )  k  (k    n   n) j 0  j  k 0    n  n   n   n      ( x  a)k  j n   Dk j f ( x)    k  j   j  ( k   j  n ) k 0   Theo định nghĩa,      ,   j Thay j   k ta có j   n a 20  n   n    n   ( x  a) n D f ( x )    D f (x)   k   k  (   n) k 0 k    n a  n   n    n   ( x  a) n    D f ( x)   k   k  (   n) 0 k 0   Mặt khác  n   n    n    n     k  k k 0       Vậy hệ chứng minh Định lý 2.17 Cho f1 f2 hai hàm xác định [a, b] thỏa mãn Dan f1 Dan f2 tồn hầu khắp nơi Cho c1 , c2  Khi đó, Dan (c1 f1  c2 f2 ) tồn hầu khắp nơi, Dan (c1 f1  c2 f2 )  c1Dan f1  c2 Dan f2 Định lý 2.A (Công thức Leibniz) Cho n  f , g  Cn [a, b] Khi n D [fg]     ( D k f )( D nk g) k 0  k  n n Định lý 2.18 (Cơng thức Leibniz cho tốn tử vi phân cấp phân thứ kiểu Riemann - Liouville) Cho n  , giả sử f g giải tích (a  h, a  h) với h  Khi  n   n  n D [fg]( x )    ( Dak f )( x )( Dank g)( x )     ( Dak f )( x )( J ak n g)( x ) k 0  k  k   n  1  k  n a với a  x  a  h / Chứng minh Theo Hệ 2.16, ta có  n  ( x  a) k  n k D [fg]( x )     D [fg]( x )  ( k   n ) k k 0    n a 21 Áp dụng công thức Leibniz cho Dk [fg]( x ) thay đổi thứ tự tổng Khi đó:   n  ( x  a)k  n k  k  j Dan [fg]( x )     D f ( x )D k  j g( x )    k   k  ( k   n ) j   j     n  ( x  a)k  n  k  j     D f ( x )D k  j g( x )   j  k  j  k  ( k   n )  j    n   D j f ( x )  j 0 0    ( x  a)  j  n   j     D g( x ) j  (  j   n )  j  Do  n   j   n  n  j           j  j   j   ta có  n    n  j  ( x  a)  j  n D [fg]( x )   D f ( x )     (  j   n ) D g ( x ) j j 0       n   n  n  j  ( x  a)  j  n    D j f ( x )   (  j   n ) D g ( x ) j j 0   0    n a j   n j  n  j  ( x  a)  j  n D f ( x )       (  j   n ) D g ( x ) j j   n  1   0    Định lý chứng minh Định lý 2.B (Công thức Faa` di Bruno) Nếu g f hàm có đạo hàm đến cấp mong muốn n  , D [g( f ())]( x )   ( D g)( f ( x ))  D  f ( x )  n n k b  1 tổng tất phân vùng {1,2, , n}và với phân vùng, k số khối b j số khối có xác phần tử j Định lý 2.19 (Cơng thức Faa` di Bruno Hay cho tốn tử vi phân cấp phân thứ kiểu Riemann - Liouville) Theo giả thiết phù hợp hàm f g ta có 22  n  k !( x  a)k n  D [f ( g())]( x )     ( D f )( g( x ))    ( k  n  1) k k 1   1 ( a1 , ,ak )Ak ,  n a   D r g( x )     r!  r 1 ar !  k ar ( x  a)  n f ( g( x )) (1  n) với  a1 , , ak   Ak , có nghĩa k a1 , , ak  ,  r 1 r  k, k a r 1 Định lý 2.20 Cho f  C m [a, b] cho số m  r  Khi đó, lim Dan f  D m f n m (a, b] Sự hội tụ [a,b] f ( x )  O(( x  a)m ) với   x  a Chứng minh Ta có khai triển Taylor f f ( x )  Tm1 [f ; a]( x )  Rm1 [f ; a]( x ) m 1 Tm1 [f ; a]( x )   k 0 f ( k ) ( a) ( x  a) k k! Rm1 phần dư tương ứng Ta có Dan f ( x )  D m f ( x )  Dan Tm1 [f ; a]( x )  D m Tm1 [f ; a]( x )  Dan Rm1 [f ; a]( x )  D m Rm1 [f ; a]( x ) Vì Tm1 đa thức bậc m  , nên Dm Tm1 [f ; a]  Hơn nữa, m 1 f ( k ) ( a) D T [f ; a]( x )   ( x  a) k  n k  ( k   n) n a m 1 Do D f (x)  D f (x)  D J n a m m m n a m 1 f ( k ) ( a) Rm1 [f ; a]( x )   ( x  a) k  n k  ( k   n)  D m Rm1 [f ; a]( x ) Tổng đồng giả thiết f ( x )  O(( x  a)m ) 23 Do hàm Gamma hội tụ số nguyên không âm nên không cần giả thiết thêm ta hiệu triệt tiêu n tiến đến m khúc (a, b] Ta có Rm1 [f ; a]( x )  x f ( m ) (u)( x  u)m1 du  J am D m f ( x )  a (m) Do Dm Rm1 [f ; a]  Dm Jam Dm f  Dm f Đối với số hạng khác, ta viết Dan Rm1 [f ; a]  D m Jamn Rm1 [f ; a]  D m Jam n Jam D m f  D m Jam Jamn D m f  Jam n D m f Vì D m f liên tục [a, b] nên Ja0 Dm f  Dm f (a, b] Hơn nữa, f ( x )  O(( x  a)m ) Dm f ( x )  O(( x  a) ) )) x  a , đó, ta có hội tụ đoạn [a, b] Định lý hoàn toàn chứng minh Bổ đề 2.21 Cho n  0, n  , m  n  Giả sử f ( x )  Cm [a, b] x [a, b] Khi đó, Dan f ( x )  x ( x  t ) n1 f (t )dt  (n) a Chứng minh Theo định nghĩa, Dan f ( x )  Dm Jamn f ( x ) Jamn f ( x )  x ( x  t )mn1 f (t )dt  a (m n) Ta có x tx 1 m n m n ( x  t ) f '( t ) dt  ( x  t ) f ( t ) t a (m  n  1) a (m n  1)  ( x  a)m n f (a)  J am n1 f '( x ) ( m  n  1) Jam n f ( x )  24 Khi J m n a ( x  a) k  m  n f (x)   f ( k ) (a)  J a2 mn f ( m ) ( x ) k  ( k  m  n  1) m 1 Do D f (x)  D J n a m m n a ( x  a) k  n ( k ) f (x)   f (a)  J amn f ( m ) ( x ) k  (k  n  1) m 1 biểu thức vế phải đẳng thức  x a ( x  t ) n1 f (t )dt / (n) Bổ đề chứng minh 2.3 Mối quan hệ tích phân vi phân Riemann- Liouville Định lý 2.22 Cho n  Nếu tồn số   L1 [a, b] cho f  Jan Jan Dan f  f hầu khắp nơi Chứng minh Theo định nghĩa f Định lý 2.14, ta có Jan Dan f  Jan  Dan Jan   Jan  f Định lý 2.23 Cho n  0, m  n   Giả sử f thỏa mãn Jamn f  Am [a, b] Khi đó, ( x  a)nk 1 J D f (x)  f (x)   lim D mk 1 Jamn f (z) z a k  ( n  k ) m 1 n a n a hay với  n  , ta có ( x  a)n1 J D f (x)  f (x)  lim Ja1n f ( z) (n) za n a n a Chứng minh Giả sử tồn số   L1 cho Dm1 Jamn f  Dm1 Jamn f (a)  Ja1 Đây phương trình vi phân cổ điển có bậc m  với Jamn f ; ( x  a) k lim D k Jamn f ( z)  J ma  ( x ) z a k! k 0 m 1 Jamn f ( x )   25 Theo định nghĩa Dan Jan Dan f ( x )  J an D m J am n f ( x )  m 1 (  a)k   J D  lim D k J am n f ( z)  J ma   ( x )  k  k ! z a  m 1 J n D m (  a)k  ( x ) a   n m m  Ja D Ja  ( x )   lim D k J am n f ( z) z a k! k 0 n a m  Jan ( x ) Ta tác động toán tử Damn cho hai vế (2.7) ta có m 1 Dam n (  a)k  ( x ) k 0 k! m 1 Dam n (  a)k  ( x ) f ( x)    z a lim D k Jam n f ( z)  Da1 J a1m  n ( x ) z a  k! k 0 lim D k J am n f ( z)  Dam n J am ( x ) Lại có ( x  a) k  n  m f ( x)   lim D k Jamn f ( z)  J na  ( x ) z a k  ( k  n  m  1) m 1 Ta thay k tổng m  k  , ta có ( x  a)nk 1 J D f (x)  J (x)  f (x)   lim D mk 1 Jamn f ( z) z a k  ( n  k ) m 1 n a n a n a ta kết cần chứng minh Định lý 2.C (Taylor mở rộng) Các khẳng định sau tương đương (a) f  Am [a, b], (b) Với x, y [a, b] ( x  y )k k D f (y)  J ym D m f ( x ) k! k 0 m 1 f ( x)   Định lý 2.24 (Mở rộng phân số Taylor) Theo giả thiết Định lý 2.23, ta có f ( x)  ( x  a)n  m lim Jam n f ( z) (n  m  1) za ( x  a)k  n  m  lim Dak nm f ( z)  Jan Dan ( x ) z a k 1 ( k  n  m  1) m 1 26 Chứng minh Ta có ( x  a) k  n  m lim D k Jamn f ( z)  Jan Dan f( x ) z a k  ( k  n  m  1) m 1 f ( x)   Bây ta cho số hạng ứng với k = khỏi tổng; số hạng lại, ta áp dụng bổ đề 2.11 Định lý chứng minh 27 Chương Sự tồn tính nghiệm phương trình vi phân cấp phân thứ kiểu Riemann- Liouville Định lý 3.1 Với n  0, n  , m   n Giả sử K  0, h*  0, b1, , bm  Ta đặt G : {( x, y)  x m n :  x  h* , y  với x  m y   bk x mk / (n  k  1)  K giả sử hàm f : G  liên tục bị k 1 chặn G thỏa mãn điều kiện Lipschitz biến thứ hai, tức tồn số L  cho, với ( x, y1 ), ( x, y2 )  G , ta có: f ( x, y1 )  f ( x, y2 )  L y1  y2 Khi đó, phương trình vi phân D0n y( x )  f ( x, y( x )) với D0nk y(0)  bk (k  1,2, , m  1), lim J0mn y( z)  bm z0 có nghiệm liêu tục y  C(0, h] , 1/ m   *  (n  1) K    h : h , h,    M       với M : sup( x ,z )G f ( x, z) h số dương tùy ý thỏa mãn 1/ m  (2n  m  1)  h   (n  m  1)L  Bổ đề 3.2: Giả sử giả thiết định lý 3.1 cho h  Hàm số y  C(0, h] nghiệm phương trình vi phân D0n y( x )  f ( x, y( x )), với D0nk y(0)  bk (k  1,2, , m  1), lim J0mn y( z)  bm z0 nghiệm phương trình tích phân Volterra 28 bk x nk x y( x )    ( x  t )n1 f (t, y(t ))dt  (n) k 1 ( n  k  1) m Chứng minh Giả sử y nghiệm phương trình tích phân Ta viết lại phương trình dạng ngắn bk x nk y( x )    J0n f (, y())( x ) k 1 ( n  k  1) m Ta tác động toán tử vi phân D0n vào hai vế phương trình xét trường hợp  k  m  1, nk D m y( x )   j 1 bj D0nk ()n j ( x ) (n  j  1)  D0nk J0nk J0k f (, y())( x ) Do đó, theo Định lý 2.14, nk D bk D0nk ()nk (0) y(0)   J0k f (, y())(0) (n  k  1) Vì k  1, tích phân nên D0nk ()nk ( x )  (n  k  1) Do đó, D0nk y(0)  bk Cuối với k  m , ta tác động toán tử J0mn cho hai vế phương trình tích phân, z → 0, tất số hạng tổng ngoại trừ số hạng thứ m Tích phân J0mn J0n f (, y())(z)  J0m f (, y())(z) z → Vì vậy, lim J0mn y( z)  lim J0mn z 0 z 0 bm J0mn ()nm ( z)  bm (n  m  1) Do y thỏa mãn tốn cho y nghiệm liên tục toán giá trị ban đầu, ta có z( x ) : f ( x, y( x )) z hàm số liên tục z( x )  f ( x, y( x ))  D0n y( x )  Dm J0mn y( x ) Do đó, Dm J0mn y liên tục, tức J0mn y  Cm (0, h] Ta có: m y( x )  J D y( x )   ck x n n k 1 n k m  J f (, y())( x )   ck c nk 29 n k 1 với số xác định c1 , , cm , cho ck  bk (n  k  1) Bổ đề 3.3 Giả sử giả thiết Định lý 3.1 Khi đó, phương trình Volterra bk x nk x y( x )    ( x  t )n1 f (t, y(t ))dt  (n) k 1 ( n  k  1) m có nghiệm y  C(0, h] Chứng minh Ta đặt m   bk x mk m n B :  y  C(0, h] : sup x y( x )    K 0 x  h k 1 ( n  k  1)   tập hợp này, ta xác định toán tử A bk x nk x Ay( x ) :   ( x  t )n1 f (t, y(t ))dt  (n) k 1 ( n  k  1) m Chú ý với y  B, Ay hàm số liên tục (0, h] Hơn nữa, x m n bk x nk x m n x Ay( x )    ( x  t )n1 f (t, y(t ))dt  ( n ) k 1 ( n  k  1) m x x m n  M  ( x  t )n1 dt ( n ) x mn x n xmM  M  K (n) n (n  1) với x (0, h] Điều cho thấy Ay  B y  B , tức toán tử A ánh xạ từ B vào Ta xác định tập   B : y  C(0, h] : sup x mn y( x )   , 0 x  h tập hợp ta xác định chuẩn ||  ||B || y ||B : sup x mn y( x ) 0 x  h 30 B trang bị chuẩn nên không gian định chuẩn tuyến tính, B tập hợp đầy đủ khơng gian Ta sử dụng định nghĩa A để viết lại phương trình Volterra gọn y  Ay Do ta cần tốn tử A có điểm cố định Ta sử dụng định lý điểm bất động Weissinger’s Ta chứng minh với y, y  B j  Lh(n  m  1)  A yA y   yy B  (2n  m  1)  j j B Thật Ajy  Ajy B  sup x m n ( A j y( x )  A j y( x )) 0 x  h  sup x m n (AA j 1 y( x )  AA j 1 y( x )) 0 x  h x m n  x  h ( n )  sup  x ( x  t )n1  f (t, A j 1 y(t ))  f (t, A j 1 y(t))  dt x m n x  sup ( x  t )n1 f (t, A j 1 y(t ))  f (t, A j 1 y(t)) dt   x  h ( n ) x L  sup x m n  ( x  t )n1 A j 1 y(t )  A j 1 y(t) dt ( n )  x  h Theo định nghĩa toán tử A điều kiện Lipschitz f , ta có Ajy  Ajy x L sup x m n  ( x  t )n1 A j 1 y(t )  A j 1 y(t) dt B ( n )  x  h x L  sup x m n  ( x  t )n1 t nm t m n A j 1 y(t )  A j 1 y(t) dt ( n )  x  h x L  A j 1 y  A j 1 y sup x m n  ( x  t )n1 t nm dt B 0 x  h ( n ) L (n)(n  m  1) n  A j 1 y  A j 1 y sup x B 0 x  h (2 n  m  1) ( n )  Lh n (n  m  1) j 1  A y  A j 1 y (2 n  m  1) 31 B KẾT LUẬN Sau thời gian tìm tịi, nghiên cứu, đọc tài liệu, sưu tầm , hướng dẫn tận tình thầy giáo Lê Anh Minh, tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp theo kế hoạch đề Khóa luận thu số kết sau:  Nêu khái niệm phương trình vi phân cấp phân thứ  Trình bày số kiến thức tích phân Riemann Liouville, vi phân Riemann – Liouville mối quan hệ tích phân vi phân Riemann- Liouville  Trình bày số định lý chứng minh tồn tính nghiệm phương trình vi phân cấp phân thứ kiểu Riemann- Liouville Hy vọng nội dung khóa luận tiếp tục bổ sung hoàn thiện nữa, nhằm làm tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên, người quan tâm đến phương trình vi phân cấp phân thứ 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bramowitz,M.,stegun,I.A: Handbook of Mathematical Functions, 2nd printing with corrections National Bureau off Standards,Washington(1964); republished by Dover, New York (1965) [2] Agarwal, R.P., Benchohra, M., Hamani, S.: Asurvey on existence results for boundary value problems of nonlinear fractionnal differential equations and inclusions Acta Appl Math 109, 973-1033 (2010) [3] Ahmad, W.M., El –Khazali, R.: Fractional-order dynamical models of love Chaos Solitons Fractals 33, 1367-1375 (2007) [4] Audounet, J., Roquejoffre, J.-M.: An asymptotic fraction differential model of spherical flame IN: Matignon, D., Montseny, G (eds.) Fractional Differential Systems: Models, Methods and Applications, pp 15-27 SMAI, Paris (1998) 33