Phương trình vi phân cấp phân thứ tuyến tính

Mưc lưc C¡c kh¡i ni»m cì b£n 1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n v· ma trªn 1.2 C¡c kh¡i ni»m cì b£n v· chuyºn êi Laplace 1.3 Mët sè h m °c bi»t 1.3.1 H m Gamma 1.3.2 H m Beta 1.3.3 H m Mittag-Lefler 4 7 10 Ôo hm cĐp phƠn thự kiu Riemann-Liouville v Caputo 15 2.1 Kiu Riemann-Liouville 2.1.1 Tẵch phƠn cĐp phƠn thự kiu Riemann-Liouville 2.1.2 Mởt số quy tưc cừa tẵch phƠn cĐp ph¥n thù RiemannLiouville 2.1.3 Ôo hm cĐp phƠn thự Riemann-Liouville 2.1.4 Mởt số quy tưc cừa Ôo hm cĐp phƠn thù RiemannLiouville 2.2 To¡n tû ph¥n sè Caputo 2.2.1 Ôo hm cĐp phƠn thự Caputo 2.2.2 Mởt số quy tưc Ôo hm cĐp phƠn thự cõa Caputo 2.3 So s¡nh ph¥n thùc Riemann-liouville v  Caputo Ph÷ìng trẳnh vi phƠn cĐp phƠn thự tuyán tẵnh 15 15 16 26 27 32 33 34 39 42 3.1 Bi¸n ời Laplace v Laplace ngữủc cừa toĂn tỷ phƠn thự 42 3.2 T¼m nghi»m óng cõa mët sè phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp phƠn thự tuyán tẵnh bơng c¡ch sû dưng bi¸n êi Laplace 46 3.3 Mët v i v½ dư 48 Ti liằu tham khÊo 50 1 Sỹ cƯn thiát cừa à ti Mé U Ôo hm cĐp phƠn thự  thu hút nhiÃu nh khoa hồc vẳ mởt số ựng dửng , k thuêt, kinh tá v nhiÃu lắnh vỹc khĂc Hỡn nỳa, nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp phƠn thự ữủc tẳm dỹa vo nhiÃu cĂc phữỡng phĂp giÊi tẵch nhữ phữỡng phĂp bián ời Laplace, phữỡng phĂp bián ời Fourier, phữỡng phĂp lp bián phƠn v h m green º t¼m hiºu mët c¡ch câ h» thèng cĂc khĂi niằm v phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp phƠn thự dÔng tuyán tẵnh, tổi chồn à ti "Phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp phƠn thự tuyán tẵnh" l à ti khõa luên tốt nghiằp cừa mẳnh Mưc ti¶u cõa · t i · t i nghi¶n cùu v· mởt số dÔng toĂn và hằ phữỡng trẳnh v cĂc phữỡng phĂp giÊi nhanh hằ phữỡng trẳnh nhơm giúp sinh viản nưm vỳng cĂc kián thực và hằ phữỡng trẳnh v giÊi tốt cĂc dÔng õ Nởi dung nghiản cựu sau:  Ôt ữủc nởi dung trản, à ti cõ nhiằm vử lm ró nhỳng vĐn à Trản cì sð nghi¶n cùu c¡c t i li»u, n¶u c¡c kián thực chuân b giÊi hằ phữỡng trẳnh vi phƠn Hằ thống hõa kián thực v kắ nông cƯn thiát  nưm vỳng và hằ phữỡng trẳnh Tữ v tẳm tỏi lới giÊi hằ phữỡng trẳnh Phữỡng phĂp nghiản cựu Nghiản cựu lỵ luên: Nghi¶n cùu tø mët sè t i li»u, s¡ch, b¡o hay truy cªp v o c¡c Website º thu thªp thỉng tin, nghiản cựu cĂc à ti cõ liản quan trỹc tiáp án à ti cừa nhõm nhơm lm ró cĂc khĂi niằm cụng nhữ kián thực cỡ bÊn, ban Ưu Tứ õ, hẳnh thnh cỡ s lỵ luên cho à ti Nghiản cựu thỹc tá: Tián hnh phọng vĐn, trao ời trỹc tiáp  iÃu tra tẳnh hẳnh dÔy v hồc và chuyản à hằ phữỡng trẳnh vi phƠn ối tữủng v phÔm vi nghiản cựu - ối tữủng nghiản cựu cừa à ti l hằ phữỡng trẳnh chữỡng trẳnh bêc Ôi Hồc - PhÔm vi nghiản cùu l  mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i nhanh h» ph÷ìng trẳnh chữỡng trẳnh bêc Ôi Hồc Bố cửc cừa à ti: à ti gỗm chữỡng Chữỡng 1: C¡c kh¡i ni»m cì b£n Ch÷ìng 2: Riemann-Liouville v Caputo toĂn tỷ phƠn số Chữỡng 3: Phữỡng trẳnh vi phƠn phƠn oÔn tuyán tẵnh Chữỡng CĂc khĂi niằm cỡ bÊn Trong chữỡng ny, tổi nghiản cùu ng­n gån mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ cỡ bÊn và ma trên, bián ời Laplace v mởt sè h m °c bi»t quan trång nh÷ h m Gamma, h m Beta v  h m Mittage-Leffler ang âng vai trá trung t¥m giÊi phĂp cừa cĂc phữỡng trẳnh v hằ phữỡng trẳnh vi phƠn 1.1 CĂc khĂi niằm cỡ bÊn và ma nh nghắa 1.1 Cho A Mn.Vecto x ∈ Mn,1 kh¡c vecto khỉng ÷đc gåi l  mët vecto riảng cừa A náu Ax = x, ối vợi mởt số vổ hữợng Số ữủc gồi l giĂ tr riảng cừa A v x l vecto riảng tữỡng ựng vợi nh nghắa 1.2 Cho A = [aij ] ∈ Mm,n v  B = [bi,j ] ∈ Mp,q Khi õ tẵch trỹc tiáp cừa A v B ữủc nh nghắa bi [1,6] (1.1) nh nghắa 1.3 Cho A = [ai,j ] ∈ Mn v  B = [bi,j ] ∈ Mn Khi â têng trüc ti¸p cõa A v B ữủc nh nghắa bi:[6] A B = [ai,j B] ∈ Mmp,nq A M B = (A O In ) + (Im Trong â In l  mët ma trªn ìn O B) ∈ Mm,n (1.2) nh lỵ 1.1 Cho A,B,C v D l ma tữỡng thẵch theo thự tỹ Khi õ [6] (1.3) (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) (1.8) ành ngh¾a 1.4 Cho A = [ai,j ] ∈ Mn,m Khi â to¡n tû vecto cõa A ành ngh¾a bði (a)α(A ⊕ B) = (αA) ⊗ B = A ⊗ (αB) (b)A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C (c)(A ⊗ B)T = AT ⊗ B T (d)A ⊗ (B + C) = (A ⊗ B) + (A ⊗ C) (e)(A ⊗ B)(C ⊗ D) = AC ⊗ BD (f )(A ⊗ B)−1 ⊗ B −1 , V ec(A) = [a11 , a21, an1 , a12 22, an2 , a1m , anm ]T Mnm,1 (1.9) Lữu ỵ rơng, náu A, B ∈ Mm,n v  α, β l  h¬ng sè Khi õ: (1.10) Mối quan hằ giỳa cĂc tẵch trỹc tiáp v toĂn tỷ vecto ữủc ữa nhữ kát quÊ sau: nh lỵ 1.2 Cho A Mm,n, B ∈ Mp,q v  X ∈ Mn,p Khi â:[6] V ec(AXB) = (B T ⊗ A)V ec(X) (1.11) H» qu£ 1.1 Cho A ∈ Mn, B ∈ Mm v  X ∈ Mn,m â [1] (a) V ec(AX) = (Im ⊗ A)V ec(X) (b) V ec(XB) = (B T ⊗ In)V ec(X) (C) V ec(AX + XB) = (B T ⊕ A)V ec(X) ành ngh¾a 1.5 Cho A = [ai,j ] v B = [bi,j ] l hai ma cĐp m × n Khi â h m hđp A v  B ữủc nh nghắa bi V ec(A + B) = V ec(A) + βV ec(B) A ◦ B = [aij bij ] Mm,n (1.12) nh lỵ 1.3 Cho A, B, C ∈ Mm,n v  α ∈ R Khi â: (a) A ◦ B = B ◦ A (b) (A ◦ B) ◦ C = A ◦ (B ◦ C) (c) A ◦ (B + C) = A ◦ B + A ◦ C (d) α(A ◦ B) = (αA) ◦ B = A ◦ (αB) Mèi quan hằ giỳa tẵch trỹc tiáp v tờng trỹc tiáp cừa ma vuổng A, B ữủc ữa bi: SnT (A ⊗ B)Sn = A ◦ B (1.13) Trong â, [e1 en+2 e2n+3 en ] ∈ Mn ×n v  ek l mởt vecto cởt n2 ì vợi phƯn tû ìn ð tr½ thù k v  khỉng ð nìi kh¡c ành ngh¾a 1.6 Cho A = diag(a11, a12, , ann) Mn l ma ữớng cho Khi õ vecto ữớng cho cừa ma A ữủc xĂc nh bi: 2 (1.14) tÔo thnh mởt vecto cởt bao gỗm cĂc phƯn tỷ ữớng cho cừa ma vuổng A nh nghắa 1.7 Cho A Mn l mởt ma ữớng cho Khi õ V ecd(A) = [a11 , a22 , , ann ]T V ecd(A) = SnT V ec(A) (1.15) V ec(A) = Sn V ecd(A) (1.16) v Lữu ỵ, cĂc cởt cừa ma n2 ì n l trỹc giao tỹ nhiản: (1.17) Mối quan h» ìn gi£n giúa têng trüc ti¸p v  vecto ữớng cho ữủc ữa bi kát quÊ sau nh lỵ 1.4 Cho A, B, Y Mn l ma ữớng cho Khi õ SnT Sn = In V ecd(AY B) = (B T ◦ A)V ecd(Y ) (1.18) 1.2 C¡c kh¡i ni»m cì b£n v· chuyºn ời Laplace nh nghắa 1.8 Bián ời Laplace cừa hm f (x) ÷đc x¡c ành bði F (s) = L {f (x)} = ∞ Z f (x)e−sx dx, x > 0 (1.19) Vợi iÃu kiằn l tẵch phƠn tỗn tÔi Ta nõi f (x) = L1 {F (s)} l bián ời Laplace ngữủc ( nhĐt ) cừa F (s) nh nghắa 1.9 Tẵch chêp cừa hai hm f(x) v  g(x) ÷đc x²t bði: f (x) ∗ g(x) = x Z f (x t)g(t)dt (1.20) nh lỵ 1.5 N¸u L {f (x)} = F (s), L {g(x)} = G(s), α, β ∈ R v  n ∈ N Khi â: (a)L {αf (x) + βg(x)} = αF (s) + βG(s) (b)L {f (x) ∗ g(x)} = F (s)G(s), L−1 {F (s)G(s)} = f (x) ∗ g(x) n−1 n o X (n) n (c)L f (x) = s F (s) − sn−k−1 [f (k) (x)]x=0 (1.21) (1.22) (1.23) k=0 1.3 Mët sè h m °c bi»t Ð ¥y ta nghi¶n cùu mët sè h m °c bi»t quan trång sau: H m Gamma,h m Beta v  h m Mittage-Leffer, nhúng h m sè n y õng vai trỏ chẵnh php tẵch phƠn cĐp phƠn thù 1.3.1 H m Gamma H m Gamma l  mët nhúng h m quan trång ÷đc coi l  têng qu¡t hâa h m giai thứa cho bĐt kẳ số thỹc no v nõ cõ th ữủc trẳnh by nhiÃu cổng thực nhữ sau: ành ngh¾a 1.10 H m Gamma: (0, ∞) → R ÷đc x¡c ành bði: ∞ Z Γ(x) = tx−1 e−t dt (1.24) ành ngh¾a 1.11 Cho x ∈ R cho x 6= 0, −1, −2, Khi â h m Gamma Γ(x) ÷đc x¡c ành bði: n!nx Γ(x) = lim n→∞ x(x + 1)(x + 2) (x + n) (1.25) BƠy giớ, tổi s trẳnh by mởt số tẵnh chĐt quan trồng cừa chực nông Gamma nhữ sau: nh lỵ 1.6 (a)(x+ 1) = x(x), x > (b)Γ(x) = (x − 1)!, x ∈ N Γ(x + 1) (c)Γ(x) = x π (d)Γ(x)Γ(1 − x) = sin(πx) Z ∞ dn (e) n Γ(x) = tx−1 e−t (lnt)n dt, x > dx (1.26) (1.27) (1.28) (1.29) (1.30) Lữu ỵ rơng tứ nh lỵ trản, câ: √ (a)Γ( ) = π 3 1 3√ π (b)Γ( ) = Γ( ) = Γ( ) = 2 2 2 Γ(− 32 + 1) Γ(− 21 ) Γ( 21 ) 4√ (c)Γ(− ) = = = = π − 32 − 32 − 32 − 12 ành ngh¾a 1.12 H m Gamma khỉng hon chnh dữợi (s, x) ữủc xĂc nh bi: x Z γ(s, x) = ts−1 e−t dt (1.31) v hm gamma khổng hon chnh trản (s, x) ữủc x¡c ành bði: ∞ Z Γ(s, x) = ts−1 e−t dt x Mèi quan h» giúa chùc n«ng gamma v  chực nông Gamma chữa hon chnh ữủc ữa (a)(s, x) = ∞ X ∞ X xs e−x xk xk s −x = x Γ(s)e s(s + 1) (s + k) Γ(s + k + 1) k=0 k=0 (1.32) (1.33) (b) lim γ(s, x) = Γ(s) x→∞ (c)γ(s, x) + Γ(s, x) = Γ(s) ành ngh¾a 1.13 H m Digamma ψ(x)÷đc x¡c ành bði: d Γ0 (x) ψ(x) = lnΓ(x) = dx Γ(x) (1.34) 1.3.2 H m Beta ành ngh¾a 1.14 H m Beta B(x, y) ÷đc x¡c ành bði: Z B(x, y) = tx−1 (1 − t)y−1 dt, x > 0, y > 0 (1.35) H m Beta B(x, y) câ c¡c thuëc t½nh sau: (a) H m Beta èi xùng câ ngh¾a l  B(x, y) = B(y, x) (b) Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) (1.36) (Sinθ)2x−1 (cosθ)2y−1 dθ, x > 0, y > (1.37) B(x, y) = (c) Z B(x, y) = π (d) B(x, y) = B(x, y + 1) + B(x + 1, y) (1.38) (e) B(x + 1, y) = B(x, y) x x+y (1.39) ành ngh¾a 1.15 h m Beta khỉng ho n ch¿nh Bτ (x, y) ÷đc x¡c ành bði: Z τ Bτ (x, y) = tx−1 (1 − t)y−1 dt, < τ < (1.40) 1.3.3 H m Mittag-Lefler H m Mittag-Lefler l  mët nhúng h m °c bi»t quan trång ÷đc coi l  têng qu¡t hâa cõa h m sè mơ v  th÷íng ÷đc sû dưng vi»c gi£i cĂc phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp phƠn thự v hằ phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp phƠn thự nh nghắa 1.16 C¡c h m Mittage-Lefler câ mët v  hai tham sè ÷đc x¡c ành t÷ìng ùng bði: Eα (x) = ∞ X xk , α > Γ(αk + 1) k=0 ∞ X Eα,β (x) = k=0 xk , α > 0, β > Γ(αk + β) Trong tr÷íng hđp °c bi»t, n¸u α = v  β ∈ N â 10 (1.41) (1.42) Nh÷ng Dk [xβ ]x=0 cho k n − < β c n−1 Γ(β + 1) β−p X xk−p Γ(β + 1) β−p D x = x − (0) = x Γ(β − p + 1) Γk + − p Γ(β p + 1) k=0 p nh lỵ 2.15 (Quy t­c h m mô ) Cho n − < p < n, n ∈ N, a ∈ R Khi â c Dp eax = an xn−p E1,n−p+1 (ax) (2.72) Chùng minh: B¬ng c¡ch sû dưng mèi quan h» giúa cĂc Ôo hm cĐp phƠn thự Caputo v Riemann-Liouville nhữ (2.69) v sỷ dửng Ôo hm cĐp phƠn thự Riemann-Liouville cho trữớng hủp nhữ (2.44), thẳ câ: c p ax D e p ax =D e − n−1 X k=0 xk−p Dk [eat ]x=0 Γ(k + − p) −p = x E1,1−p (ax) − = = = ∞ X k=0 ∞ X n−1 X xk−p ak Γ(k + − p) k=0 n−1 X (ax)k x−p ak xk−p − Γ(k + − p) k=0 Γ(k + − p) ak xk−p Γ(k + − p) k=n ∞ X k=0 ak+n xk+n−p = an xn−p E1,n−p+1 (ax) Γ(k + n + − p) nh lỵ 2.16 (Quy tưc Sin v Cosine) Cho n − < p < n, n ∈ N, a ∈ R Khi â (a)c Dp sin(ax) = − i(ia)n xn−p [E1,n−p+1 (iax) − (−1)n E1,n−p+1 (−iax)] (2.73) (b)c Dp coss(ax) = (ia)n xn−p [E1,n−p+1 (iax) + (−1)n E1,n−p+1 (−iax)] (2.74) 36 Chùng minh: (a) B¬ng c¡ch sû dưng cỉng thùc sau: sinx = e −e2i , v sỷ dửng Ôo hm cĐp phƠn thự cừa Caputo theo cĐp số nhƠn (2.72), ta cõ: ix c p c D sin(ax) = D iax pe −ix − e−iax 2i = (c Dp eiax −c Dp e−iax ) = ((ia)n xn−p E1,n−p+1 (iax) − (−ia)n xn−p E1,n−p+1 (−iax)) 2i = − i(ia)n xn−p [E1,n−p+1 (iax) − (−1)n E1,n−p+1 (−iax)] (b) B¬ng c¡ch sû dưng cỉng thùc:cos = e ix +e−ix v  chùng minh nhữ cƠu (a) nh lỵ 2.17 (Quy tưc sinh v  cosh) Cho n − < p < n, n ∈ N, a ∈ R Khi â (a)c Dp sinh(ax) = − an xn−p [E1,n−p+1 (ax − (−1)n )E1,n−p+1 (−ax)] (2.75) (b)c Dp cosh(ax) = − an xn−p [E1,n−p+1 (ax + (−1)n )E1,n−p+1 (−ax)] (2.76) Trữớng hủp b: Ôo hm cĐp phƠn thự cừa Caputo dữợi hÔn dữợi khĂc nh lỵ 2.18 t n − < p < n, n ∈ N, a, β ∈ R v  β > n − Khi â 37 (a)c Dcp xβ = c Dcp eax Γ(β + 1) x−c xβ−p Bτ (n − p, β − n + 1), τ = ,c > Γ(β − n + 1)Γ(n − p) x n ac n−p = a e (x − c) E1,n−p+1 (a(x − c)) −i (c)c Dcp sin(ax) = (ia)n (x − c)n−p iac [e E1,n−p+1 (ia(x − c)) − (−1)n e−iac E1,n−p+1 (−ia(x − c))] (d)c Dcp cos(ax) = (ia)n (x − c)n−p iac [e E1,n−p+1 (ia(x − c)) + (−1)n e−iac E1,n−p+1 (−ia(x − c))] (e)c Dcp sinh(ax) = (a)n (x − c)n−p ac [e E1,n−p+1 (a(x − c)) − (−1)n e−ac E1,n−p+1 (−a(x − c))] (f )c Dcp cosh(ax) = (a)n (x − c)n−p ac [e E1,n−p+1 (a(x − c)) + (−1)n e−ac E1,n−p+1 (−a(x − c))] (b) (2.77) (2.78) (2.79) (2.80) (2.81) (2.82) Chùng minh: (a)c Dcp xβ = = = = (b)c Dcp eax Z x (x − t)n−p−1 Dn tβ dt Γ(n − p) c Z x Γ(β + 1) β−n (x − t)n−p−1 t dt Γ(n − p) c Γ(β − n + 1) Γ(β + 1) Dc−(n−p) xβ−n Γ(β − n + 1) Γ(β + 1) xβ−p Bτ (n − p, β − n + 1) Γ(β − n + 1)Γ(n − p) Z x = (x − t)n−p−1 Dn eat dt Γ(n − p) c Z x (x − t)n−p−1 an eat dt = Γ(n − p) c = an Dc−(n−p) eax = an eac (x − c)n−p E1,n−p+1 (a(x − c)) 38 c (c) Dcp sin(ax) c = iax p e Dc [ − e−iax ] 2i [(ia)n (x − c)n−p eiac E1,n−p+1 (ia(x − c)) 2i − (−ia)n (x − c)n−p e−iac E1,n−p+1 (−ia(x − c))] −i = (ia)n (x − c)n−p [eiac E1,n−p+1 (ia(x − c)) − (−1)n e−iac E1,n−p+1 (−ia(x − c))] = T÷ìng ùng, ta chùng minh(d,e,f) theo cæng thùc sau: cosx = e +e , sinhx = e −e v  coshx = e +e2 2 v lêp luên tữỡng tỹ nhữ chựng minh cõa ph¦n (c) ix −ix x −x x −x Chó þ 2.10 Mèi quan h» húu ½ch kh¡c giúa h m Mittag-Lefler v Ôo hm Caputo l: (a)c Dp (Ep (xp )) = λEp (λxp ) (b)c Dp (Ep (Axp )) = AEp (Axp ) (2.83) (2.84) Trong â Ep(Axp) l  ma hm Mittag-Lefler Chú ỵ 2.11 Bián ời Laplace cừa Ôo hm phƠn oÔn Caputo cĐp p,n < p < n, n ∈ N ÷đc cho bði: c p p L { D f (x)} = s F (s) − n−1 X sp−k−1 f (k) (0) (2.85) k=0 2.3 So s¡nh ph¥n thùc Riemann-liouville v  Caputo Nhi·u mối quan hằ giỳa Ôo hm cĐp phƠn thự Riemann-Liouville v Caputo ữủc thÊo luên trản nh nghắa cừa Caputo và tẵch hủp phƠn số giống nhữ nh nghắa Riemann- Liouville, mửc tiảu chẵnh phƯn ny l so sĂnh giỳa cĂc nh nghắa cừa chúng và Ôo hm cĐp phƠn thự CĂc nh nghắa cừa Caputo v Riemann-Liouville và Ôo hm cĐp phƠn thự l tữỡng ữỡng hai trữớng hủp sau Ơy cõ th thu ữủc tứ mối quan hằ (3,69) 39 Trữớng hủp 1: Náu f (a) = f (a) = = f n−1(a) = 0,khi â Dapf (x) =c Dap f (x) Tr÷íng hủp 2: Trong trữớng hủp giợi hÔn dữợi l () Cổng thực tữỡng tỹ thu ữủc cho cÊ Ôo hm Riemann-Liouville v  Caputo ,cö thº l : c p D−∞ f (x) = p D−∞ f (x) = Γ(n − p) Z x (x − t)n−p−1 f (n) (t)dt −∞ (2.86) Chú ỵ 2.12 Trản thỹc tá, sỹ khĂc biằt giúa cỉng thùc Caputo v  Riemann- Liouville èi vỵi c¡c Ôo hm cĐp phƠn thự dăn án nhỳng khĂc biằt sau: * Ôo hm cĐp phƠn thự Caputo cừa mởt hơng số bơng Ôo hm phƠn số Riemann-Liouville cừa mởt hơng số khổng bơng * Tẵnh khổng giao hoĂn, Ôo hm cĐp phƠn thự cừa Caputo, chóng ta câ: c Dap (c Dam f (x)) =c Dap+m f (x) 6=c Dam (c Dap f (x)), Trong â n − < p < n, n ∈ N, m = 0, 1, 2, Trong èi vỵi Riemann-Liouville (2.87) (2.88) Trong â n − < p < n, n ∈ N, m = 0, 1, 2, Lữu ỵ, cĂc cổng thực nhữ (2.87)v  (2.88) trð th nh c¡c ¯ng thùc theo c¡c i·u ki»n bê sung sau: Dam (Dap f (x)) = Dap+m f (x) 6= Dap (Dam f (x)), f (s) (a) = 0, s = n, n + 1, , m − Cho cDap f (s) = 0, s = 0, 1, 2, , m − Cho Dap * Bián ời Laplace cừa Ôo hm phƠn oÔn Riemann-Liouville ữủc cho bði: p p L {D f (x)} = s F (s) − n−1 X sk [Dp−k−1 f (x)]x=0 , n − p < n k=0 40 (2.89) Trong php bián ời Laplace cừa Ôo hm cĐp phƠn thự Caputo ữủc ữa bi: p p L {D f (x)} = s F (s) − n−1 X sp−k−1 f (k) (0), n − p < n (2.90) k=0 Lữu ỵ rơng cĂc cổng thực nhữ (2.89) v (2.90) cho thĐy php bián ời Laplace cừa Ôo hm cĐp phƠn thự Riemann - Liouville cho php sỷ dửng cĂc iÃu kiằn ban Ưu cừa cĐp phƠn số cõ th gƠy vĐn à vợi sỹ giÊi thẵch và mt vêt lỵ cừa chúng Ngữủc lÔi, php bián ời Laplace cừa Ôo hm cĐp phƠn thự Caputo cho ph²p sû dưng c¡c i·u ki»n ban ¦u cừa cĐp số nguyản vợi sỹ giÊi thẵch c biằt vêt lỵ õ l dÔng bián ời Laplace cừa Ôo hm cĐp phƠn thự Caputo l mởt khĂi quĂt cừa bián ời Laplace cừa cĐp số nguyản, i·u t÷ìng tü khỉng óng cho tr÷íng hđp Riemann-Liouville * Quy tưc Leibniz cho Ôo hm cĐp phƠn thự Riemann-Liouville ÷đc ÷a bði: ∞  X p Dap (f (x)g(x)) = n  Dap−n f (x)g (n) (x) (2.91) n=0 Trong quy tưc Leibniz cho Ôo hm cĐp phƠn thự Caputo ữủc ữa bi:  X p c p Da (f (x)g(x)) = n n=0 n−1 X − n=0  Dap−n f (x)g (n) (x) xn−p ((f (x)g(x))(n) (0)) Γ(n + − p) 41 (2.92) (2.93) Chữỡng Phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp phƠn thự tuyán tẵnh 3.1 Bián ời Laplace v Laplace ngữủc cừa toĂn tỷ phƠn thự Trong phƯn ny,chúng ta nghiản cựu mởt quy tưc liằt kả cĂc bián ời Laplace v Laplace ngữủc ang õng vai trỏ trung tƠm cĂch giÊi cừa mởt số phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp phƠn thự tuyán tẵnh Tổi bưt Ưu vợi bÊng sau Ơy cho thĐy mởt số bián ời Laplace  biát cừa mët sè h m quan trång B£ng (4.1) f(x) F(s)=L {f (x)} Conditions xα eax sin(ax) xβ−1 Eα,β (axα ) k xαK+β−1 Eα,β (axα ) Γ(α+1) sα+1 s−a a s2 +a2 sα−β sα −a sα−β k! (sα −a)k+1 α > −1, s > s>a |s| > |a| sα > |a| s>|a| Bờ à 3.1 Bián ời Laplace cừa tẵch phƠn cĐp phƠn thự Riemann-Liouville cĐp p > ữủc cho bði:  F (s) L D−p f (x) = p s Trong â,F (s) = L {f (x)} 42 (3.1) Chùng minh: L D−p f (x) = L   Γ(p) Z x  (x − t)p−1 f (t)dt =  L (xp−1 ) f (x) (p) Bơng cĂch sỷ dửng bián ời Laplace nhữ (1.22) v sỷ dửng phƯn Ưu ti¶n cõa b£ng (3.1) ta câ: =  1 |Gamma(p) F (s) L xp−1 L {f (x)} = F (s) = Γ(p) Γ(p) sp sp Bê · 3.2 Ph²p bián ời Laplace cừa Ôo hm cĐp phƠn thự RiemannLiouville cõa bªc p, n − < p < n, n ∈ N ÷đc cho bði: p p L {D f (x)} = s F (s) − n−1 X sk [Dp−k−1 f (x)]x=0 (3.2) k=0 Chùng minh: B¬ng c¡ch sû dưng c¡c cỉng thùc (1.23): n L f (n) n−1 o X n (x) = s F (s) − sk f (n−k−1) (0) k=0 Ta câ: n o n o (p) n −(n−p) L D f (x) = L D [D f (x)] n−1 n o X −(n−p) =s L D f (x) − sk Dn−k−1 [D−(n−p) f (x)]x=0 n k=0 B¬ng c¡ch sû dưng bê · (3.1) ta nhên ữủc: = F (s) sn np s = sp F (s) − n−1 X sk [Dp−k−1 f (x)]x=0 k=0 n−1 X sk [Dp−k−1 f (x)]x=0 k=0 43 Bờ à 3.3 Bián ời Laplace cừa Ôo hm cĐp phƠn thự Caputo cừa bêc p, n < p < n, n ∈ N ÷đc ÷a bði: c p p L { D f (x)} = s F (s) − n−1 X sp−k−1 f (k) (0) (3.3) k=0 Chùng minh: B¬ng c¡ch sû dưng bê · (3.1) sau â sû döng (1.23),ta câ: n o −(n−p) n L { D f (x)} = L D [D f (x)] c p P n−k−1 (k) L {Dn f (x)} sn F (s) − n−1 f (0) k=0 s = = sn−p sn−p n−1 n−1 X X p sp−k−1 f (k) (0) − = s F (s) − k=0 k=0 Nhợ lÔi, biu thực L {f (x)} = F (s) hm f (x) ữủc gồi l bián ời Laplace ngữủc cừa F (s) v ữủc kẵ hiằu l f (x) = L {F (s)} BÊng sau Ơy ữa cĂc php bián ời Laplace ngữủc cừa mởt số hm quan trång phö thuëc v o b£ng (3.1) B£ng (3.2) F(x) f(s)=L−1 {F (s)} Conditions sa ax e (s+a)α sα −a (s−a)(s−b) Γ(α+1) sα+1 xα−1 Γ(α) xα−1 −ax Γ(α) e xα−1 Eα (axα ) ax bxx ) a−b (e − e α>0 α>0 α>0 α>0 a 6= b Bê · 3.4 °t α, β > 0, a ∈ R v  sα > |a| Khi â: L Ch÷ng minh: −1  sα−β sα + a  = xβ−1 Eα,β (−axα ) Tø, 44 (3.4) 1 sα−β = β α s + a s + saα Mð rëng, ta câ: L−1  α−β s sα + a  = L−1 (∞ ) X (−a)n sαn+β n=0 n αn+β−1 ∞ X (−a) x = Γ(αn + β) n=0 β−1 =x ∞ X (−axα )n = xβ−1 Eα,β (−axα ) Γ(αn + β) n=0 Bê · 3.5 Cho α ≥ β > 0, a ∈ R v  sα−β > |a| Khi â L −1  (sα + asβ )n+1  =x α(n+1)−1 ∞ X k=0  n+k (−a)k ( k Ta câ: ∞  n+k k  (−x)k Ta câ: n+1 1 = a n+1 sα + asβ (sα )n+1 (1 + sα−β )   ∞ X n+k (−a)k = k sk(α−β)+α(n+1) k=0 45 ) Γ(k(α − β) + α(n + 1)) Chùng minh: X = (1 + x)n+1 k=0  xk(α−β) (3.5) BƠy giớ, ta sỷ dửng phƯn Ưu tiản nhữ b£ng (3.2), ta câ: L−1  (sα + asβ )n+1  (∞  X n+k = L−1 k =x ∞ X k=0 (−a) sk(α−β)+α(n+1) k=0 α(n+1)−1 ) k  k  (−a) n+k k  Γ(k(α − β) + α(n + 1)) xk(α−β) Bê · 3.6 Vỵi α ≥ β > 0, α > γ, a ∈ R, sα−β > |a| v  |sα + asβ | > |b|, ta cõ bián ời Laplace ngữủc sau: s L s + asβ + b   = xα−γ−1 (−b)n (−a)k ∞ X ∞ X n=0 k=0  n+k k  Γ(k(α − β) + α(n + 1) − γ) xk(α−β)+αn (3.6) 3.2 T¼m nghi»m óng cõa mët sè phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp phƠn thự tuyán tẵnh bơng cĂch sỷ dửng bián ời Laplace Trong phƯn ny, ta trẳnh by cĂc nghiằm úng cừa mởt số phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp phƠn thự tuyán tẵnh theo nghắa Caputo bơng cĂch sỷ dửng phữỡng phĂp bián ời Laplace vợi mởt số vẵ dử minh hồa nh lỵ 3.1 Xt bi toĂn cõ iÃu kiằn ban Ưu tuyán tẵnh sau: Dp y(x) + ay(x) = 0, y(0) = c, y (0) = d, < p < (3.7) Nghi»m óng cõa (3.7) ÷đc ÷a bði: y(x) = cEp,1 (−axp ) + dxEp,2 (−axp ) Chùng minh: L§y ph²p bi¸n êi Laplace cõa c£ hai v¸ cõa (3.7), ta câ: 46 (3.8) L {Dp y(x)} + aL {y(x)} = 0 sp Y (s) − sp−1 y(0) − sp−2 y (0) + aY (s) = dsp−2 cS p−1 + Y (s) = p s + a sp + a (3.9) p dửng bián ời Laplace ngữủc cho (3.9) v  sû döng bê · (3.4), sau â ta ữủc nghiằm úng nhữ (3.8) nh lỵ 3.2 Xt phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp phƠn thự tuyán tẵnh khổng thuƯn nhĐt sau Ơy: Dp y(x) ay(x) = h(x), n − < p < n, n ∈ N y (k) (0) = bk , k = 0, 1, , n − (3.10) Nghi»m óng cõa (3.10) ÷đc ÷a bði: y(x) = n−1 X k p Z bk x Ep,k+1 (ax ) + x (x − t)p−1 Ep,p (a(x − t)p )h(t)dt k=0 (3.11) Chùng minh; p s y(s) − n−1 X sp−k−1 y (k) (0) − aY (s) = H(s) k=0 p Y (s)(s − a) = H(s) + n−1 X sp−k−1 bk k=0 n−1 X sp−k−1 H(s) + p Y (s) = bk p (s − a) (s − a) k=0 (3.12) p dửng bián ời Laplace ngữủc cho (3.12) v sỷ dưng bê · (3.4), ta câ thº câ nghi»m óng nhữ (3.11) 47 nh lỵ 3.3 Xt phữỡng trẳnh dao ởng cĐp phƠn thự tờng hủp: 00 y (x) − aDp y(x) − by(x) = c, y(0) = y (0) = 0, < p < (3.13) Nghi»m óng cu£ (3.13) ÷đc ÷a bði: y(x) = cx  n−k bn ak ( k ∞ X ∞ X n=0 k=0  ) Γ(k(2 − p) + 2(n + 1) + 1) xk(2−p)+2n (3.14) Chùng minh: LĐy php bián ời Laplace cừa hai vá (3.13) ta câ: s2 Y (s) − asp Y (s) − bY (s) = Y (s) = c s cs−1 s2 − asp − b (3.15) p dưng bi¸n êi Laplace ng÷đc cho (3.15) v  sû dưng bê · (3.6) Ta cõ nghiằm úng nhữ (3.14) 3.3 Mởt vi vẵ dử VD 3.10: Xt phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp phƠn thự sau: D y(x) + y(x) = 0, y(0) = 1, y (0) = 0, < p < sỷ dửng nh lỵ (3.8) ta cõ: y(x) = E 23 (−x ) VD 3.11: X²t phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp phƠn thự khổng thuƯn nhĐt sau: d y(x) − 2y(x) = x2 , < p < 1, y(0) = 48 Sû dửng nh lỵ (3.8) ữủc ữa bi: Z y(x) = E 21 ,1 (2x ) + x 1 (x − t)− E 21 , 12 (2(x − t) )t2 dt Cho s = x − t â: Z y(x) = E 12 ,1 (2x ) + x 1 s− E 21 , 12 (2s )(x − s)2 ds Sû döng (1.56) ta câ y(x) = E 21 ,1 (2x ) + Γ(3)x E 12 , 27 (2x ) 49 T i li»u tham kh£o [1] Al-Zhour Z (2012),Efficient Solutions of Coupled Matrix and Matrix Differential Equations, Intelligent Control and Automation, (2012,3,176-187) [2] Balachandran K and Kokila J (2012), " On the Controllability of Fractional Dynamic Systems",Int.J.Appl Math Comput.Sci, Vol.22, No.3, pp.523-531 [3] Barnett S, (1975), Introduction to mathematical Control Theory, oxford University press, Oxford [4] Bonilla B and Rivero M.(2007), On Systems of liner fractional differential equations with constant coefficients,Applied Mathematics and Computation,(178(1)(2007)6878) [5] Crompton B (2011),An Introduction to fractional Calculus and the Fractional Diffusion-Wave Equation,unpublished Master Thesis, univerrsity of Massacchusetts Lowell [6] Graham A,(1981),Kronecker Products and Matrix Calculus with Applications, 1st sd Ellis Horwood Ltd, UK 50