Bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC: BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH CẤP MỘT LUẬN VĂN THẠC SĨ Năm: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Chuyên ngành: : Mã số: : LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn TS 1 PHẦN MỞ ĐẦU Hàm biến đổi chậm trường hợp riêng hàm phân quy có nhiều ứng dụng xác xuất thống kê Một ứng dụng lý thuyết giá trị cực trị Sự liên hệ chúng đề cập nhà toán học Feller (1971), Sidney (1987), Bingham et al (1989), De Haan Ferreira (2006), Hơn nữa, việc nghiên cứu nhớ dài (hay phụ thuộc tầm xa) q trình ngẫu nhiên thơng qua mơ hình hoá hàm biến đổi chậm lĩnh vực quan trọng xác suất thống kê Ngoài chúng cịn có ứng dụng định thuỷ học, tài hay mơ hình viễn thơng 943 2 Các vành nhóm Ánh xạ ε : RG → R cho ε( X g rg g) = X rg ánh xạ mở rộng g Iđêan ∇(RG) = ker(ε) gọi iđêan mở rộng Định lý Cho G nhóm hữu hạn với cấp + 2n R ∆U -vành Khi RG ∆U -vành iđêan mở rộng ∇(RG) ∆U -vành Chứng minh Đặt ∇ = ∇(RG) Giả sử G nhóm hữu hạn có cấp 1+2n R ∆U -vành Theo Mệnh đề 47, ta có ∈ ∆(R), 1+2n ∈ U (R) Khi RG có biểu diễn RG = ∇⊕H với H ∼ = R theo [4] Đặt ∇ = eRG H = (1 − e)RG Rõ ràng e phần tử tâm RG Nếu RG ∆U -vành, ∇ = eRG ∆U -vành theo Mệnh đề 48 Ngược lại, giả sử ∇ = eRG ∆U -vành Vì H ∼ = R nên H ∆U -vành Theo Bổ đề ??, RG ∆U -vành Một nhóm gọi hữu hạn địa phương nhóm sinh hữu hạn phần tử hữu hạn Bổ đề Nếu G 2-nhóm hữu hạn địa phương R ∆U -vành với ∆(R) lũy linh, ∇(RG) ⊆ ∆(RG) Chứng minh Giả sử G 2-nhóm hữu hạn địa phương R ∆U -vành ¯ Suy Khi R¯ := R/J(R) ∆U -vành Từ ∆(R) lũy linh, ∈ N (R) ¯ ⊆ N (RG) ¯ ¯ ∇(RG) theo [4, Hệ quả, trang 682] Do đó, ∇(RG) iđêan lũy ¯ linh chứa J(RG) Ta kiểm tra J(R)G ⊆ J(RG), J((R/J(R))G) ∼ = J(RG/J(R)G) = J(RG)/J(R)G Do ∇(RG) ⊆ J(RG) ⊆ ∆(RG) Định lý Cho R ∆U -vành G 2-nhóm hữu hạn địa phương Nếu ∆(R) lũy linh, RG ∆U -vành Chứng minh Lấy u ∈ U (RG) Khi ε(u) = + ε(u − 1) ∈ U (R) theo Bổ đề (1) áp dụng cho ánh xạ mở rộng ε i Vì R ∆U -vành nên tồn j ∈ ∆(R) thỏa mãn ε(u) = + j Theo Bổ đề (1) ta có ε(u − + j) = hay u − + j ∈ ∇(RG) ⊆ ∆(RG) Do u ∈ − j + ∆(RG) suy u ∈ + ∆(RG) Hệ Cho R vành hoàn chỉnh phải trái G 2-nhóm hữu hạn địa phương Khi đó, R ∆U -vành RG ∆U -vành 3.1 Một số đặc biệt hóa Jacobson vành Biểu diễn ∆(R) tính chất Trong mục này, khảo sát tập ∆(R) =: {r ∈ R|r+U (R) ⊆ U (R)} vành R Tập vành có quan hệ chặt chẽ với Jacobson R Ta ∆(R) vành Jacobson lớn R đóng với phép tốn nhân phần tử khả nghịch R Các tính chất ∆ cấu trúc vành nghiên cứu, trình bày số họ vành mà ∆(R) = J(R) Các phương pháp cấu trúc vành với ∆(R) ̸= J(R) mô tả Bổ đề Cho R vành bất kỳ, ta có (1) ∆(R) = {r ∈ R | ru + ∈ U (R), ∀u ∈ U (R)} = {r ∈ R | ur + ∈ U (R), ∀u ∈ U (R)}; (2) Với r ∈ ∆(R) u ∈ U (R), ur, ru ∈ ∆(R); (3) ∆(R) vành vành R; (4) ∆(R) idêan R ∆(R) = J(R); Y Y (5) Với họ vành Ri , i ∈ I , ∆( Ri ) = ∆(Ri ) i∈I i∈I Chứng minh (1) Cho r ∈ ∆(R) u thuộc U (R), r + u ∈ U (R) tương đương ru−1 + ∈ U (R) tương đương u−1 r + ∈ U (R) (2) Ta có ruu′ + ∈ U (R), ∀u, u′ ∈ U (R) r ∈ ∆(R), suy ru ∈ ∆(R) Tương tự ur ∈ ∆(R) (3) Lấy r, s ∈ ∆(R) Khi −r + s + U (R) ⊆ −r + U (R) = −r − U (R) ⊆ U (R), hay ∆ nhóm với phép cộng R Hơn rs = r(s+1)−r ∈ ∆(R) r(s + 1) ∈ ∆(R) theo (2) (4) Rõ ràng J(R) ⊆ ∆(R) Ta giả sử ∆(R) iđêan R r ∈ R Khi rx + ∈ U (R), với x thuộc ∆(R) ∆(R) ⊆ J(R) hay ∆(R) = J(R) Chiều ngược lại dễ thấy Hệ Cho R vành: (1) ∆(R) đóng với phép nhân phần tử lũy linh; (2) Nếu ∈ U (R), ∆(R) đóng với phép nhân phần tử lũy đẳng Định lý Cho R vành có đơn vị T vành R sinh U (R) Khi đó: (1) ∆(R) = J(R) ∆(S) = ∆(R), với S vành R thỏa T ⊆ S ; (2) ∆(R) vành Jacobson lớn chứa R đóng với phép nhân phần tử khả nghịch R Chứng minh (1) T vành sinh U (R) nên T vành bao gồm tất tổng hữu hạn đơn vị R Do đó, theo (2) Bổ đề ??, ∆(T ) iđêan T Theo (4) Bổ đề ??, ∆(T ) = J(T ) Nếu r ∈ ∆(R), r + U (R) ⊆ U (R) Điều có nghĩa r biểu diễn thành tổng hai đơn vị Do r ∈ T , suy ∆(R) ⊆ T Giả sử S vành R thỏa mãn T ⊆ S Khi U (S) = U (R), ∆(S) = {r ∈ S | r + U (S) ⊆ U (S)} = {r ∈ S | r + U (R) ⊆ U (R)} = S ∩ ∆(R) = ∆(R), ∆(R) ⊆ T ⊆ S (2) Theo (1), ∆ vành Jacobson R theo Bổ đề ?? (2) ∆(R) đóng với phép nhân phần tử khả nghịch phía trái phải R Bây giờ, ta giả sử S vành Jacobson chứa R đóng với phép nhân phần tử khả nghịch Nếu s ∈ S u ∈ U (R), su ∈ S = J(S) Do su quasi-regular S + su ∈ U (R) Theo Bổ đề ?? (1) s ∈ ∆(R) hay S ⊆ ∆(R) Hệ Giả sử R vành mà phần tử biểu diễn thành tổng đơn vị Khi ∆(R) = J(R) Hệ Giả sử R vành đại số trường F Nếu dimF R < |F |, ∆(R) vành lũy linh Mệnh đề Giả sử R vành có đơn vị Khi (1) Cho S vành R thỏa U (S) = U (R) ∩ S Khi ∆(R) ∩ S ⊆ ∆(S) [ = U (R) ∩ ∆(R) [; (2) U (∆(R)) (3) Cho I iđêan R thỏa I ⊆ J(R) Khi ∆(R/I) = ∆(R)/I Chứng minh (1) suy từ định nghĩa ∆ (2) Nếu r ∈ ∆(R), v = + r ∈ U (R) v −1 = − rv −1 ∈ [ ∩ U (R), −rv −1 ∈ ∆(R), Bổ đề ?? ∆(R) [ = ∆(R), nghĩa ∆ Hệ Cho R vành có đơn vị, ∆(∆(R)) tốn tử đóng Hệ ∆(R) ∩ Z(R) ⊆ ∆(Z(R)) Hệ Cho R vành (1) ∆(Tn (R)) = Dn (∆(R)) + Jn (R); (2) ∆(R[x]/(xn )) = ∆(R)[x]/(xn ); (3) ∆(R[[x]]) = ∆(R)[[x]] Hệ Cho R vành, ∆(R) = J(R) ∆(R/J(R)) = Định lý ∆(R) = J(R) R thỏa mãn điều kiện sau (1) R/J(R) đẳng cấu với phép nhân vành ma trận division rings (2) R vành nửa địa phương (3) R clear ring thỏa ∈ U (R) (4) R U J -vành, nghĩa U (R) = + J(R) (5) R có stable range (6) R = F G nhóm đại số trường F Bổ đề Giả sử G nhóm R Khi G đóng với phép nhân phần tử khả nghịch đóng với phép nhân phần tử quasi-invertible R Định lý Giả sử R vành có đơn vị G nhóm phép cộng R Khi điều kiện sau tương đương (1) G = ∆(R) (2) R vành Jacobson lớn đóng với phép nhân phần tử quasi-invertible R (3) G nhóm lớn R phép cộng bao gồm phần tử quasi-invertible đóng với phép nhân phần tử quasi-invertible R 3.2 Mở rộng toán tử ∆ cho vành khơng có đơn vị Bổ đề Cho R vành khơng thiết phải có đơn vị, ta có ∆◦ (R) = ∆◦ (R1 ) = ∆(R1 ) Mệnh đề Cho R vành bất kỳ, ta có điều sau (1) Cho e2 = e thỏa mãn e∆(R)e ⊆ ∆(R) Khi e∆(R)e ⊆ ∆(eRe) (2) ∆(R) không chứa phần tử lũy đẳng khác không (3) ∆(R) không chứa phần tử unit regular khác không Hệ Cho R vành có unit regular, ∆(R) = Hệ 10 Giả sử ∈ U (R) Khi e∆(R)e ⊆ ∆(eRe) với e phần tử lũy đẳng R Mệnh đề Giả sử R vành 2-primal Khi ∆(R[x]) = ∆(R)+J(R[x]) Biểu diễn ∆(R) tính chất Bổ đề Cho R vành bất kỳ, ta có (1) ∆(R) = {r ∈ R | ru + ∈ U (R), ∀u ∈ U (R)} = {r ∈ R | ur + ∈ U (R), ∀u ∈ U (R)}; (2) Với r ∈ ∆(R) u ∈ U (R), ur, ru ∈ ∆(R); (3) ∆(R) vành vành R; (4) ∆(R) iđêan R ∆(R) = J(R); Y Y (5) Với họ vành Ri , i ∈ I , ∆( Ri ) = ∆(Ri ) i∈I i∈I Chứng minh (1) Cho r ∈ ∆(R) u thuộc U (R), r + u ∈ U (R) ru−1 + ∈ U (R) u−1 r + ∈ U (R) (2) Ta có ruu′ + ∈ U (R), ∀u, u′ ∈ U (R) r ∈ ∆(R), suy ru ∈ ∆(R) Tương tự ur ∈ ∆(R) (3) Lấy r, s ∈ ∆(R) Khi −r + s + U (R) ⊆ −r + U (R) = −r − U (R) ⊆ U (R), hay ∆(R) nhóm với phép cộng R Hơn rs = r(s + 1) − r ∈ ∆(R) r(s + 1) ∈ ∆(R) theo (2) (4) Rõ ràng J(R) ⊆ ∆(R) Ta giả sử ∆(R) iđêan R r ∈ R Khi rx + ∈ U (R), với x thuộc ∆(R) suy ∆(R) ⊆ J(R) hay ∆(R) = J(R) Chiều ngược Y Y lại hiển nhiên Y Y Y (5) Lấy ri ∈ ∆( Ri ) Khi ri + U ( Ri ) ⊆ U ( Ri ) Vì Y U( i∈IY Ri ) = i∈I U (Ri )) ⊆ i∈I U (Ri ) nên i∈I Y Y ri + i∈I Yi∈I i∈I Y i∈I i∈I U (Ri ) ⊆ U (Ri ) hay U (Ri ), suy ri +U (Ri ) ⊆ U (Ri ), ∀i ∈ I nên i∈I i∈IY Y i∈I ri ∈ (ri + Yi∈I ∆(Ri ) i∈I Chiều ngược lại tương tự Cho e phần tử lũy đẳng vành R Khi phần tử − 2e khả nghịch R Từ Bổ đề ?? (2) ta suy hệ sau Hệ 11 Cho R vành (1) ∆(R) đóng với phép nhân phần tử lũy linh; (2) Nếu ∈ U (R), ∆(R) đóng với phép nhân phần tử lũy đẳng Định lý Cho R vành có đơn vị T vành R sinh U (R) Khi (1) ∆(R) = J(T ) ∆(S) = ∆(R), với S vành tùy ý R thỏa mãn T ⊆ S ; (2) ∆(R) Jacobson lớn chứa R đóng với phép nhân phần tử khả nghịch R Chứng minh (1) T vành sinh U (R) nên phần tử T viết thành tổng hữu hạn phần tử khả nghịch R Do đó, theo Bổ đề ?? (2) suy ∆(T ) iđêan T Theo Bổ đề ?? (4) suy ∆(T ) = J(T ) Hơn ∆(T ) = ∆(R) nên ∆(R) = J(T ) Nếu r ∈ ∆(R), r + U (R) ⊆ U (R) Điều có nghĩa r biểu diễn thành tổng hai phần tử khả nghịch Do r ∈ T , suy ∆(R) ⊆ T Giả sử S vành R thỏa mãn T ⊆ S Khi U (S) = U (R), ∆(S) = {r ∈ S | r + U (S) ⊆ U (S)} = {r ∈ S | r + U (R) ⊆ U (R)} = S ∩ ∆(R) = ∆(R), ∆(R) ⊆ T ⊆ S (2) Theo (1), ∆(R) Jacobson R theo Bổ đề ?? (2) ∆(R) đóng với phép nhân phần tử khả nghịch trái phải R Bây giờ, ta giả sử S Jacobson chứa R đóng với phép nhân phần tử khả nghịch Ta phải S ⊆ ∆(R) Thật vậy, s ∈ S u ∈ U (R), su ∈ S = J(S) Do su tựa khả nghịch S nên + su ∈ U (R) Theo Bổ đề ?? (1) s ∈ ∆(R) hay S ⊆ ∆(R) Từ đặt trưng ∆(R) Định lý ?? (2) ta có hệ sau Hệ 12 Giả sử R vành mà phần tử biểu diễn thành tổng phần tử khả nghịch Khi ∆(R) = J(R) Định lý cổ điển Amitsur nói Jacobson F -đại số R trường F lũy linh, với điều kiện dimF R < |F | Áp dụng Định lý ?? (1) ta thu hệ sau Hệ 13 Giả sử R vành đại số trường F Nếu dimF R < |F |, ∆(R) vành lũy linh Cho R vành không thiết phải có đơn vị S vành R, ta ký hiệu Sˆ vành R sinh S ∪ {1} 59 Mệnh đề 39 Cho nhóm nhị diện Dn = ⟨r, s | rn = s2 = 1, s−1 rs = r−1 ⟩ với n ⩾ 3, H nhóm nhóm Dn Khi H nhóm sau Rk = ⟨rk ⟩, Tl = ⟨rl s⟩, Ui,j = ⟨ri , rj s⟩ với k|n, ⩽ k ⩽ n, ⩽ l ⩽ n − 1, i|n, ⩽ i ⩽ n − 1, ⩽ j ⩽ i − Cho nhóm quaternion suy rộng Q4n = ⟨r, s | r2n = 1, s2 = rn , s−1 rs = r−1 ⟩ với n ⩾ Ký hiệu Rk , Ui,j nhóm Q4n có dạng sau Rk = ⟨rk ⟩, Ui,j = ⟨ri , rj s⟩ với ⩽ k ⩽ 2n, ⩽ i ⩽ 2n, ⩽ j ⩽ 2n − Sau số tính chất nhóm quaternion suy rộng, xem [?] Mệnh đề 40 Cho nhóm quaternion suy rộng Q4n với n ⩾ Khi 2n , d = (2n, k), với ⩽ k ⩽ 2n; d 4n (ii) Ui,j nhóm quaternion suy rộng cấp , d = (n, i), d với ⩽ i ⩽ 2n, ⩽ j ⩽ 2n − (i) Rk nhóm xiclíc cấp Mệnh đề 41 Cho nhóm Quaternion suy rộng Q4n với n ⩾ Khi CQ4n (1) = CQ4n (rn ) = Q4n , CQ4n (ri ) = R1 , CQ4n (rj s) = Un,j với ⩽ i ⩽ 2n − 1, i ̸= n, ⩽ j ⩽ 2n − Mệnh đề 42 Cho nhóm quaternion suy rộng Q4n với n ⩾ 2, H nhóm Q4n Khi H nhóm sau Rk = ⟨rk ⟩, Ui,j = ⟨ri , rj s⟩ với k|2n, ⩽ k ⩽ 2n, ⩽ i ⩽ n, i|n, ⩽ j ⩽ i − Cho nhóm giả nhị diện n n−1 SD2n = ⟨r, s | r2 = s2 = 1, s−1 rs = r2 −1 ⟩ với n ⩾ 60 Ký hiệu Rk , Tl , Ui,j nhóm nhóm giả nhị diện SD2n có dạng sau Rk = ⟨rk ⟩, Tl = ⟨rl s⟩, Ui,j = ⟨ri , rj s⟩ với ⩽ k ⩽ 2n , ⩽ l ⩽ 2n − 1, ⩽ i ⩽ 2n − 1, ⩽ j ⩽ 2n − Sau số tính chất nhóm giả nhị diện, xem [?] Mệnh đề 43 Cho nhóm giả nhị diện SD2n với n ⩾ Khi (i) Rk nhóm xiclíc cấp 2n d = (2n , k), với ⩽ k ⩽ 2n ; d (ii) Tl nhóm xiclíc cấp l chẵn, cấp l lẻ với ⩽ l ⩽ 2n − 1; (iii) Ui,j nhóm giả nhị diện i lẻ với ⩽ i ⩽ 2n − 1, ⩽ j ⩽ 2n − 1; Ui,j nhóm nhị diện i chẵn j chẵn, nhóm quaternion tổng quát i chẵn j lẻ với ⩽ i ⩽ 2n − 1, i ̸= 2n−1 , ⩽ j ⩽ 2n − 1; Với i = 2n−1 , Ui,j nhóm xiclíc cấp j lẻ, Ui,j ∼ = C2 × C2 j chẵn 2n+1 Trong tất trường hợp nhóm Ui,j có cấp d d = (2n , i) Mệnh đề 44 Cho nhóm giả nhị diện SD2n với n ⩾ Khi CSD2n (1) = CSD2n (r2 n−1 ) = SD2n , CSD2n (ri ) = R1 , CSD2n (rj s) = U2n−1 ,j với ⩽ i ⩽ 2n − 1, i ̸= 2n−1 , ⩽ j ⩽ 2n − Mệnh đề 45 Cho nhóm giả nhị diện SD2n với n ⩾ 3, H nhóm SD2n Khi nhóm H SD2n nhóm sau (i) Rk = ⟨rk ⟩ với ⩽ k ⩽ 2n ; (ii) Tl = ⟨rl s⟩ với ⩽ l ⩽ 2n − l chẵn, ⩽ l ⩽ 2n−1 − l lẻ; (iii) Ui,j với ⩽ i ⩽ 2n−2 , i|2n , ⩽ j ⩽ i−1, U2n−1 ,j với ⩽ j ⩽ 2n−1 − 1, j chẵn 61 18 Các khái niệm Định nghĩa Cho tập hợp R khác rỗng, R ta trang bị hai phép toán mà ta gọi phép cộng phép nhân thỏa mãn: R nhóm aben với phép tốn cộng, R nửa nhóm với phép toán nhân phép toán nhân phân phối với phép toán cộng, nghĩa x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = zx + yz, với x, y, z ∈ R Phần tử trung hòa phép cộng ký hiệu (thường gọi phần tử không) Phần tử đơn vị phép nhân có ký hiệu Nếu vành có nhiều phần tử có đơn vị ̸= Định nghĩa Tập A vành R gọi vành R A vành hai phép toán cộng nhân R (bao gồm tính đóng hai phép toán A) Định nghĩa 10 Iđêan trái (phải) vành R vành A thỏa mãn điều kiện ∈ A(ar ∈ A), a ∈ A, r ∈ R Vành I R vừa iđêan trái, vừa iđêan phải gọi iđêan vành R Cho I iđêan vành R, ta ký hiệu R/I =: {r + I|r ∈ R} gọi tập thương R theo I Trên tập thương R/I ta xây dựng hai phép toán (x + I) + (y + I) = (x + y) + I, (x + I)(y + I) = (xy) + I, với x, y ∈ R Định nghĩa 11 Tập thương R/I với hai phép toán xác định lập thành vành gọi vành thương R theo I Định nghĩa 12 Cho R vành có đơn vị 1R Một R-môđun phải M bao gồm (M, +) nhóm aben tốn tử · : M × R → M thỏa mãn 62 (1) (x + y) · r = x · r + y · r, (2) x · (r + s) = x · r + x · s, (3) (xr) · s = x · (rs), (4) x · 1R = x, r, s ∈ R x, y phần tử tùy ý M Lúc R gọi vành sở, M R-môđun phải ta thường ký hiệu MR Tương tự ta đinh nghĩa R-môđun trái Cho R, S hai vành Nhóm aben (M, +) song môđun R-bên phải S -bên trái (ký hiệu S MR ) a) M R-môđun phải M S -mơđun trái b) Ta phải có (sx)r = s(xr), (r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M ) Định nghĩa 13 Cho M R-môđun phải Tập A M gọi môđun M (ký hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR ), A R-môđun phải với phép toán cộng nhân hạn chế A Định nghĩa 14 (1) Môđun MR gọi đơn M ̸= với A ≤ M A = A = M , nghĩa M ̸= M có hai mơđun M (2) Vành R gọi đơn R ̸= với A ≤R RR A = A = 0, nghĩa R ̸= R có hai iđêan hai phía R (3) Mơđun A ≤ M gọi môđun cực tiểu môđun M A ̸= với B ≤ M thỏa mãn B < A B = (4) Tương tự, môđun A ≤ M gọi môđun cực đại A ̸= M với B ≤ M thỏa mãn B > A B = M Bổ đề 17 MR đơn M ̸= ∀m ∈ M, m ̸= M = mR Cho MR N ≤ MR Vì N nhóm nhóm cộng aben M nên nhóm thương M/N nhóm aben (theo phần lý thuyết nhóm) Các 63 phần tử M/N lớp ghép x + N N M phép toán cộng (x + N ) + (y + N ) = x + y + N Ta cần xây dựng phép nhân môđun để M/N trở thành môđun phải Định lý 24 Cho MR N ≤ M (i) Quy tắc M/N × R → M/N cho (m + N, r) → (m + N )r = mr + N phép nhân mơđun (ii) Nhóm aben M/N với phép tốn nhân mơđun trở thành R-môđun phải Định nghĩa 15 M/N xác định Định lý ?? gọi môđun thương môđun M môđun N 19 19.1 Một số đặc biệt hóa Jacobson vành Biểu diễn ∆(R) tính chất Trong mục này, khảo sát tập ∆(R) =: {r ∈ R|r+U (R) ⊆ U (R)} vành R Tập vành có quan hệ chặt chẽ với Jacobson R Ta ∆(R) vành Jacobson lớn R đóng với phép toán nhân phần tử khả nghịch R Các tính chất ∆ cấu trúc vành nghiên cứu, trình bày số họ vành mà ∆(R) = J(R) Các phương pháp cấu trúc vành với ∆(R) ̸= J(R) mô tả Bổ đề 18 Cho R vành bất kỳ, ta có (1) ∆(R) = {r ∈ R | ru + ∈ U (R), ∀u ∈ U (R)} = {r ∈ R | ur + ∈ U (R), ∀u ∈ U (R)}; (2) Với r ∈ ∆(R) u ∈ U (R), ur, ru ∈ ∆(R); (3) ∆(R) vành vành R; (4) ∆(R) idêan R ∆(R) = J(R); Y Y (5) Với họ vành Ri , i ∈ I , ∆( Ri ) = ∆(Ri ) i∈I i∈I 64 Chứng minh (1) Cho r ∈ ∆(R) u thuộc U (R), r + u ∈ U (R) tương đương ru−1 + ∈ U (R) tương đương u−1 r + ∈ U (R) (2) Ta có ruu′ + ∈ U (R), ∀u, u′ ∈ U (R) r ∈ ∆(R), suy ru ∈ ∆(R) Tương tự ur ∈ ∆(R) (3) Lấy r, s ∈ ∆(R) Khi −r + s + U (R) ⊆ −r + U (R) = −r − U (R) ⊆ U (R), hay ∆ nhóm với phép cộng R Hơn rs = r(s+1)−r ∈ ∆(R) r(s + 1) ∈ ∆(R) theo (2) (4) Rõ ràng J(R) ⊆ ∆(R) Ta giả sử ∆(R) iđêan R r ∈ R Khi rx + ∈ U (R), với x thuộc ∆(R) ∆(R) ⊆ J(R) hay ∆(R) = J(R) Chiều ngược lại dễ thấy Hệ 37 Cho R vành: (1) ∆(R) đóng với phép nhân phần tử lũy linh; (2) Nếu ∈ U (R), ∆(R) đóng với phép nhân phần tử lũy đẳng Định lý 25 Cho R vành có đơn vị T vành R sinh U (R) Khi đó: (1) ∆(R) = J(R) ∆(S) = ∆(R), với S vành R thỏa T ⊆ S ; (2) ∆(R) vành Jacobson lớn chứa R đóng với phép nhân phần tử khả nghịch R Chứng minh (1) T vành sinh U (R) nên T vành bao gồm tất tổng hữu hạn đơn vị R Do đó, theo (2) Bổ đề ??, ∆(T ) iđêan T Theo (4) Bổ đề ??, ∆(T ) = J(T ) Nếu r ∈ ∆(R), r + U (R) ⊆ U (R) Điều có nghĩa r biểu diễn thành tổng hai đơn vị Do r ∈ T , suy ∆(R) ⊆ T Giả sử S vành R thỏa mãn T ⊆ S Khi U (S) = U (R), ∆(S) = {r ∈ S | r + U (S) ⊆ U (S)} = {r ∈ S | r + U (R) ⊆ U (R)} = S ∩ ∆(R) = ∆(R), ∆(R) ⊆ T ⊆ S (2) Theo (1), ∆ vành Jacobson R theo Bổ đề ?? (2) ∆(R) đóng với phép nhân phần tử khả nghịch phía trái phải R 65 Bây giờ, ta giả sử S vành Jacobson chứa R đóng với phép nhân phần tử khả nghịch Nếu s ∈ S u ∈ U (R), su ∈ S = J(S) Do su quasi-regular S + su ∈ U (R) Theo Bổ đề ?? (1) s ∈ ∆(R) hay S ⊆ ∆(R) Hệ 38 Giả sử R vành mà phần tử biểu diễn thành tổng đơn vị Khi ∆(R) = J(R) Hệ 39 Giả sử R vành đại số trường F Nếu dimF R < |F |, ∆(R) vành lũy linh Mệnh đề 46 Giả sử R vành có đơn vị Khi (1) Cho S vành R thỏa U (S) = U (R) ∩ S Khi ∆(R) ∩ S ⊆ ∆(S) [ = U (R) ∩ ∆(R) [; (2) U (∆(R)) (3) Cho I iđêan R thỏa I ⊆ J(R) Khi ∆(R/I) = ∆(R)/I Chứng minh (1) suy từ định nghĩa ∆ (2) Nếu r ∈ ∆(R), v = + r ∈ U (R) v −1 = − rv −1 ∈ [ ∩ U (R), −rv −1 ∈ ∆(R), Bổ đề ?? ∆(R) [ = ∆(R), nghĩa ∆ Hệ 40 Cho R vành có đơn vị, ∆(∆(R)) tốn tử đóng Hệ 41 ∆(R) ∩ Z(R) ⊆ ∆(Z(R)) Hệ 42 Cho R vành (1) ∆(Tn (R)) = Dn (∆(R)) + Jn (R); (2) ∆(R[x]/(xn )) = ∆(R)[x]/(xn ); (3) ∆(R[[x]]) = ∆(R)[[x]] Hệ 43 Cho R vành, ∆(R) = J(R) ∆(R/J(R)) = Định lý 26 ∆(R) = J(R) R thỏa mãn điều kiện sau 66 (1) R/J(R) đẳng cấu với phép nhân vành ma trận division rings (2) R vành nửa địa phương (3) R clear ring thỏa ∈ U (R) (4) R U J -vành, nghĩa U (R) = + J(R) (5) R có stable range (6) R = F G nhóm đại số trường F Bổ đề 19 Giả sử G nhóm R Khi G đóng với phép nhân phần tử khả nghịch đóng với phép nhân phần tử quasi-invertible R Định lý 27 Giả sử R vành có đơn vị G nhóm phép cộng R Khi điều kiện sau tương đương (1) G = ∆(R) (2) R vành Jacobson lớn đóng với phép nhân phần tử quasi-invertible R (3) G nhóm lớn R phép cộng bao gồm phần tử quasi-invertible đóng với phép nhân phần tử quasi-invertible R 19.2 Mở rộng tốn tử ∆ cho vành khơng có đơn vị Bổ đề 20 Cho R vành khơng thiết phải có đơn vị, ta có ∆◦ (R) = ∆◦ (R1 ) = ∆(R1 ) Mệnh đề 47 Cho R vành bất kỳ, ta có điều sau (1) Cho e2 = e thỏa mãn e∆(R)e ⊆ ∆(R) Khi e∆(R)e ⊆ ∆(eRe) (2) ∆(R) không chứa phần tử lũy đẳng khác không (3) ∆(R) không chứa phần tử unit regular khác khơng Hệ 44 Cho R vành có unit regular, ∆(R) = 67 Hệ 45 Giả sử ∈ U (R) Khi e∆(R)e ⊆ ∆(eRe) với e phần tử lũy đẳng R Mệnh đề 48 Giả sử R vành 2-primal Khi ∆(R[x]) = ∆(R) + J(R[x]) 20 Khơng gian hữu hạn chiều Định nghĩa 16 (i) Một không gian vector E trường số thực gọi hữu hạn chiều bao gồm hữu hạn vector độc lập tuyến tính (ii) Số lớn vector độc lập tuyến tính khơng gian vector hữu hạn chiều E gọi chiều ký hiệu dimR E Hệ B ⊂ E sinh dimR E vector độc lập tuyến tính gọi sở Định lý 28 Giả sử E không gian vector hữu hạn chiều dimR E = n (i) Nếu B ⊂ E sở, B sinh E , cụ thể spanR B = E (ii) E Rn đẳng cấu tuyến tính (iii) Giả sử ∥.∥1 ∥.∥2 hai chuẩn E Khi (E, ∥.∥1 ) (E, ∥.∥2 ) đẳng cấu topo (iv) Giả sử ∥.∥ chuẩn E Khi (E, ∥.∥) (E ′ , ∥.∥E ′ ) đẳng cấu topo Theo tập trước, không gian định chuẩn hữu hạn chiều (E, ∥.∥) đẳng cấu topo với không gian Hilbert Rn Đây đặc trưng mạnh, khơng cịn cho không gian định chuẩn vô hạn chiều 21 Các cận cho độ giao hoán tương đối nhóm Mệnh đề sau cho ta cận cận cho độ giao hoán tương đối nhóm nhóm 68 Mệnh đề 49 Cho H nhóm G, p ước nguyên tố nhỏ |G| Khi |Z(G) ∩ H| p(|H| − |Z(G) ∩ H|) |Z(G) ∩ H| + |H| + ⩽ Pr(H, G) ⩽ |H| |H||G| 2|H| Chứng minh Đặt K = Z(G) ∩ H Khi theo Mệnh đề 36 ta có X X X |H||G| Pr(H, G) = |CG (x)| = x∈H |CG (x)| + x∈K = |K||G| + X |CG (x)| x∈H\K |CG (x)| x∈H\K Rõ ràng x ∈ H \ K {1} ⊊ CG (x) ⊊ G p ⩽ |CG (x)| ⩽ Do p(|H| − |K|) ⩽ X |CG (x)| ⩽ (|H| − |K|) x∈H\K |G| |G| Cho nên |K||G| + p(|H| − |K|) ⩽ |H||G| X |CG (x)| ⩽ |K||G| + (|H| − |K|) x∈H\K |G| Từ suy |K| p(|H| − |K|) |K| |H| − |K| + ⩽ Pr(H, G) ⩽ + , |H| |H||G| |H| 2|H| ta có cơng thức cần chứng minh Rõ ràng độ giao hốn tương đối nhóm nhóm giao hốn Kết sau cho ta cận cho độ giao hốn tương đối nhóm một nhóm khơng giao hốn Mệnh đề 50 Cho G nhóm khơng giao hốn H nhóm G Khi (i) Nếu H ⊆ Z(G) Pr(H, G) = Hơn nữa, H nhóm khơng giao hốn Pr(H, G) ⩽ (ii) Nếu H ⊈ Z(G) Pr(H, G) ⩽ 69 Chứng minh X (i) Vì H ⊆ Z(G) nên |CG (x)| = |H||G| Do x∈H Pr(H, G) = 1 X |CG (x)| = |H||G| = |H||G| |H||G| x∈H (ii) Giả sử H ⊈ Z(G) Khi dó Z(G) ∩ H ⊊ H , Cho nên |Z(G) ∩ H| ⩽ |H| Áp dụng Định lý ?? ta |H| + |H| |Z(G) ∩ H| + |H| Pr(H, G) ⩽ ⩽ = |H| |H| Giả sử H không nhóm giao hốn Khi theo Mệnh đề 17 ta có Pr(H) ⩽ Do đó, theo Định lý 38 ta có Pr(H, G) ⩽ Pr(H) ⩽ Vậy ta có điều phải chứng minh Kết sau mơ tả cấu trúc nhóm trường hợp đạt đươc cận Mệnh đề ?? Mệnh đề 51 Cho H nhóm nhóm G Khi đó: H/(Z(G) ∩ H) ∼ = Z2 ; (ii) Nếu Pr(H, G) = H khơng giao hốn H/(Z(G)∩H) ∼ = Z2 × Z2 (i) Nếu Pr(H, G) = Chứng minh (i) Giả sử Pr(H, G) = Khi đó, theo Định Lý ?? ta có |Z(G) ∩ H| + |H| |Z(G) ∩ H| = Pr(H, G) ⩽ = + 2|H| 2|H| Từ suy |H| ⩽ |Z(G) ∩ H| 70 |H| = |H| = |Z(G) ∩ H|, từ suy H ⊆ Z(G) Khi |Z(G) ∩ H| theo Mệnh đề ?? (i) ta có Pr(H, G) = Điều mâu thuẫn với giả |H| thiết Do = 2, H/(Z(G) ∩ H) ∼ = Z2 , ta có điều |Z(G) ∩ H| Nếu phải chứng minh (ii) Giả sử Pr(H, G) = Bằng cách lập luận tượng tự ta suy |H| ⩽ |Z(G) ∩ H| Vì Z(G) ∩ H ⩽ Z(H) nên H/Z(H) ⩽ H/(Z(G) ∩ H) Vì H khơng giao hốn nên H/Z(H) khơng nhóm xiclíc Do H/(Z(G) ∩ H) khơng nhóm xiclíc Từ suy |H| ⩾ |Z(G) ∩ H| Điều chứng tỏ |H| = 4, |Z(G) ∩ H| H/(Z(G) ∩ H) ∼ = Z2 × Z2 22 Mở rộng Dorroh mở rộng ∆U -vành Mệnh đề 52 Cho R vành Khi đó, điều kiện sau tương đương (1) R ∆U -vành (2) ∆(R) = U◦ (R) (3) Ánh xạ ε : (∆(R), ◦) → (U (R), ) cho ε(x) = − x đẳng cấu nhóm 71 Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử R ∆U -vành Mỗi x ∈ ∆(R), ta có − x ∈ U (R), x = − (1 − x) ∈ U◦ (R) Suy ∆(R) ⊆ U◦ (R) Ngược lại, y ∈ U◦ (R) − y ∈ U (R) = + ∆(R) Suy y ∈ ∆(R) hay ∆(R) = U◦ (R) (2) ⇒ (3) Hiển nhiên (3) ⇒ (1) Giả sử ánh xạ ε : (∆(R), ◦) → (U (R), ) cho ε(x) = − x đẳng cấu nhóm Khi u ∈ U (R), tồn x ∈ ∆(R) thỏa mãn u = ε(x) = − x Điều nghĩa U (R) ⊆ + ∆(R) hay U (R) = + ∆(R) Nếu R vành, mở rộng Dorroh vành có đơn vị Z ⊕ R, với phép toán cộng cộng theo thành phần phép nhân cho (n1 , r1 )(n2 , r2 ) = (n1 n2 , r1 r2 + n1 r2 + n2 r1 ) Chú ý Cho R vành có đơn vị Khi (1) u ∈ U (R) − u ∈ U◦ (R) (2) (1, u − 1) ∈ U (Z ⊕ R) với u ∈ U (R) (3) (1, −x)(1, −y) = (1, −x◦y) (−1, x)(−1, y) = (1, −x◦y) với x, y ∈ R Định lý 29 Cho R vành có đơn vị Khi điều kiện sau tương đương (1) Mở rộng Dorroh Z ⊕ R ∆U -vành; (2) R ∆U -vành Chứng minh (1) ⇒ (2) Lấy u ∈ U (R) Khi − u ∈ U◦ (R) Tồn v ∈ R thỏa mãn (1 − u) ◦ v = = v ◦ (1 − u) Khi ta có (1, u−1)(1, −v) = (1, −(1−u))(1, −v) = (1, −(1−u)◦v) = (1, 0) = (1, −v)(1, u−1) Điều nghĩa (1, u − 1) ∈ U (Z ⊕ R) Vì Z ⊕ R ∆U -vành, (1, u − 1) ∈ + ∆(Z ⊕ R) (0, u − 1) ∈ ∆(Z ⊕ R) Tiếp theo, ta U (R) = + ∆(R) Thật vậy, t ∈ U (R), ta có + t ∈ U◦ (R), (1 + t) ◦ s = = s ◦ (1 + t) với s ∈ R Khi (−1, + t)(−1, s) = (1, −(1 + t) ◦ s) = (1, 0) = (−1, s)(−1, + t) 72 Do (−1, + t) ∈ U (Z ⊕ R) Theo định nghĩa ∆, ta có (0, u − 1) + (−1, + t) ∈ U (Z ⊕ R) (−1, u + t) ∈ U (Z ⊕ R) Đặt x = u + t Khi đó, (−1, x) ∈ U (Z ⊕ R) (1, −x) ∈ U (Z ⊕ R) Suy tồn (1, −y) ∈ Z ⊕ R thỏa mãn (1, −x)(1, −y) = (1, 0) = (1, −y)(1, −x) Ta có x ◦ y = = y ◦ x nên x ∈ U◦ (R) Vì − x ∈ U (R) nên x − = u + t − ∈ U (R) Suy u + t − = (u − 1) + t ∈ U (R) với t ∈ U (R) Điều nghĩa u − ∈ ∆(R), u ∈ + ∆(R) (2) ⇒ (1) Giả sử R ∆U -vành Ta mở rộng Dorroh Z ⊕ R ∆U -vành, nghĩa U (Z ⊕ R) = + ∆(Z ⊕ R) Lấy ω ∈ U (Z ⊕ R) Khi đó, ω có dạng ω = (1, a) ω = (−1, b) với a, b ∈ R Trường hợp ω = (1, a) ∈ U (Z ⊕ R): Lấy x = −a, tồn (1, −y) Z ⊕ R thỏa mãn (1, −x)(1, −y) = (1, 0) = (1, −y)(1, −x) Điều có nghĩa x◦y = = y ◦x x ∈ U◦ (R), 1+a = 1−x ∈ U (R) Từ R ∆U -vành, 1+a ∈ 1+∆(R) Vì a ∈ ∆(R) a+U (R) ⊆ U (R) Tiếp theo ta chứng minh (1, a) ∈ + ∆(Z ⊕ R), nghĩa ta chứng minh (0, a) + U (Z ⊕ R) ⊆ U (Z ⊕ R) Với α ∈ U (Z ⊕ R), α có dạng (1, u) (−1, v) với u, v ∈ R Nếu α = (1, u), từ chứng minh ω ta có + u ∈ U (R) Từ a + U (R) ⊆ U (R), ta lấy a + + u ∈ U (R), −(a + u) ∈ U◦ (R) Lấy b ∈ R với (−(a + u)) ◦ b = = b ◦ (−(a + u)) Đặt c = −(a + u) Khi c ◦ b = b ◦ c (1, a + u)(1, −b) = (1, −c)(1, −b) = (1, −b ◦ c) = (1, 0) = (1, −b)(1, a + u) Ta suy (1, a + u) ∈ U (Z ⊕ R) Hơn nữa, ta có (0, a) + α = (1, a + u) ∈ U (Z ⊕ R), nghĩa (0, a) + U (Z ⊕ R) ⊆ U (Z ⊕ R) Nếu α = (−1, v) ∈ U (Z⊕R), (−1, v)(−1, d) = (1, 0) = (−1, d)(−1, v) với d ∈ R Ta suy v◦d = = d◦v = v ∈ U◦ (R), 1−v ∈ U (R) Khi đó, v − ∈ U (R) Từ a + U (R) ⊆ U (R), ta có a + v − ∈ U (R) − (a + v) ∈ U (R) Do đó, a + v ∈ U◦ (R) Nghĩa tồn e ∈ R thỏa mãn (a + v) ◦ e = = e ◦ (a + v), (−1, a + v)(−1, e) = (1, −(a + v) ◦ e) = = 73 (−1, e)(−1, a+v) Điều có nghĩa (−1, a+v) ∈ U (Z ⊕R) Hơn nữa, ta có (0, a) + α = (−1, a + v) ∈ U (Z ⊕ R) Do đó, (0, a) + U (Z ⊕ R) ⊆ U (Z ⊕ R) Trường hợp ω = (−1, a) ∈ U (Z ⊕ R): Tương tự Trường hợp Cho C vành vành D, tập hợp R[D, C] := {(d1 , , dn , c, c ) : di ∈ D, c ∈ C, n ≥ 1}, với phép cộng phép nhân định nghĩa theo thành phần gọi vành mở rộng đuôi ký hiệu R[D, C] Mệnh đề 53 R[D, C] ∆U -vành D C ∆U -vành Chứng minh (:⇒) Đầu tiên ta chứng minh D ∆U -vành Lấy u tùy ý thuộc U (D) Khi u¯ = (u, 1, 1, 1, ) ∈ U (R[D, C]) Theo giả thuyết, u¯ ∈ + ∆(R[D, C]), (u − 1, 0, 0, 0, ) + U (R[D, C]) ⊆ U (R[D, C]) Do đó, với v ∈ U (D), (u − + v, 1, 1, 1, ) = (u − 1, 0, 0, 0, ) + (v, 1, 1, 1, ) ∈ U (R[D, C]) Vì u − + v ∈ U (D), nghĩa u − ∈ ∆(D) u ∈ + ∆(D) Để C ∆U -vành, ta lấy v ∈ U (C) thỏa mãn v¯ = (1, , 1, v, v, ) ∈ U (R[D, C]) chứng minh (⇐:) Giả sử D C ∆U -vành Lấy u¯ = (u1 , u2 , , un , v, v, ) ∈ U (R[D, C]), ui ∈ U (D) với ≤ i ≤ n v ∈ U (C) ⊆ U (D) Ta u¯ ∈ ∆(R[D, C]) u¯ − + U (R[D, C]) ⊆ U (R[D, C]) Thật vậy, tất a¯ ∈ (a1 , a2 , , am , b, b, ) ∈ U (R[D, C]) ∈ U (D), ≤ i ≤ m b ∈ U (C) ⊆ U (D) Lấy k = max{m, n} Khi đó, ta có u1 , u2 , , un ∈ U (D), v ∈ U (C) ⊆ U (D) ta suy u1 − + U (D), u2 − + U (D), , un − + U (D) ⊆ U (D), v − + U (D) ⊆ U (D) v − + U (C) ⊆ U (C) Ta có u¯ − = (u1 − 1, u2 − 1, , un − 1, un+1 − 1, , uk − 1, v − 1, v − 1, ), với uj = v j ≥ k , a ¯ = (a1 , a2 , , am , am+1 , , ak , b, b, ),