Luận văn thạc sĩ toán học bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Kettavong Chinnalone BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 B[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Kettavong Chinnalone BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Kettavong Chinnalone BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu của được thực hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Anh Tuấn Nội dung của luận văn có tham khảo sử dụng số thơng tin, tài liệu từ nguồn sách, tạp chí được liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn của mình Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2018 Học viên thực KETTAVONG Chinnalone LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn người tận tình hướng dẫn suốt trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù bận nhiều công việc thầy dành nhiều thời gian để hướng dẫn tơi hồn thành luận Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy khoa Toán – Tin cán nhân viên của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học tập làm luận văn trường Và xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh chị em, bạn bè gần xa người thân gia đình ln khuyến khích, động viên giúp đỡ suốt trình học tập KETTAVONG Chinnalone MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các ký hiệu MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bài tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.2 Phương pháp biến thiên số, công thức Cauchy 12 1.3 Tính xấp xỉ nghiệm của tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính 13 1.4 Một liên hệ giữa ổn định xấp xỉ 18 Chương BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 26 2.1 Định lý tồn nghiệm của toán biên tổng quát 26 2.2 Định lý xấp xỉ nghiệm của tốn biên tởng qt 40 Chương BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 46 3.1 Các tiêu chuẩn cho tồn nghiệm của toán (3.1), (3.2) 46 3.2 Các tính chất đại số của toán (3.1), (3.2) 51 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 CÁC KÝ HIỆU  R  (, ); R   0,   ; R    ,0  x  R,  x     ik – Kronecker tức là: x x x x ,  x   2 1 i = k, ik   0 i  k  x   x i i1 vectơ cột n - chiều, n   R n  x   x i i1 x i  R, i  1,n , n x   xi  n i 1 Trên R n ta trang bị chuẩn n x   xi , i 1 x  max x i i 1,n  Ký hiệu X   x ik mn – ma trận cấp m  n   Đặt R mn  X   x ik mn x ik  R, i  1,m,k  1,n Trên R mn ta có chuẩn sau tương đương Nếu X   x ik   R mn thì m n x   x ik hoặc x  max x ik i 1,m i 1 k 1  k 1,n Cho X   x ik mn , Y   yik mn  R mn Ta nói: X  Y  x ik  yik , i  1,m , k  1,n  X   xik mn , X   xik  mn  Cho I  R Ta gọi ánh xạ X : I  R mn X  t    x ik  t  mn t  ma trận hàm cấp m  n Ma trận hàm X  t    xik  t  mn gọi liên tục, bị chặn, liên tục tuyệt đối, khả tích, khả vi I tất hàm x ik  t  , i  1,m; k  1,n có tính chất I  Cho ma trận hàm X  t    xik  t  mn Đặt X  t   dx   xik  t  mn dt   X  d   x  d        ik  I I  mn  C  I, R mn  không gian ma trận hàm cấp m  n liên tục bị chặn I với chuẩn X  C    sup X  t  : t  I Nếu I  a,b, C a,b,R mn  không gian ma trận hàm X  t    x ik  t   liên tục a,b với chuẩn X   C  max X  t  : t   a, b  C  max x ik  t  C , i  1, m, k  1, n hoặc X    C a,b,R mn  không gian ma trận hàm cấp m  n X:a,b  R mn liên tục tuyệt đối a,b với chuẩn b X C  X  a    X  t  dt a  Cloc  I,R mn  tập ma trận hàm cấp m  n liên tục tuyệt đối tập compắc của I  L  I,R mn  không gian ma trận hàm cấp m  n khả tích bậc  I với chuẩn X  L       X  t  dt  I   với     Lloc  I, R mn  không gian ma trận hàm cấp m  n khả tích bậc  tập compắc của I  E – ma trận đơn vị   – ma trận không 1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết toán biên xuất từ kỷ XVIII đến phát triển mạnh mẽ có ứng dụng sâu sắc vật lý, học, khí, sinh học Bài toán cho hệ phương trình vi phân tuyến tính vào điều kiện biên khác tuần hoàn, đối xứng, phản đối xứng, nhiều điểm được xem xét Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính có nhiều ứng dụng vật lý học Chính vì tơi chọn đề tài “bài tốn biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính” Ý nghĩa luận văn Luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên học viên cao học nghiên cứu toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyết tính Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu tồn nghiệm của toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính, nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm, tính bị chặn cho tốn biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Nội dung luận văn Chương1: Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta xây dụng điền kiện đủ cho việc tồn nghiệm của tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm của tốn Chương 2: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tún tính Trong chương này, xây dựng điền kiện đủ cho việc tồn nghiệm của tốn biên tởng qt cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Hơn nữa, ta cịn xem xét tính xấp xỉ nghiệm của tốn Chương 3: Bài toán biên hai đìểm cho hệ phương trình vi phân tún tính 2 Mục đích của chương áp dụng kết của chương chương để xây dựng điều kiện cần đủ cho việc tồn nghiệm cho toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Ngồi ra, nghiên cứu số tính chất đại số cho nghiệm của toán biên hai điểm toán biên thuần tương ứng có nghiệm khác tầm thường 3 Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Giả sử I  R khoảng (đoạn, bán đoạn, khoảng hữu hạn hay vô hạn) P  Lloc  I, R nn  ,q  Lloc  I, R n  Xét hệ phương trình vi phân thường tuyến tính: dx  P  t  x  q  t  dt (1.1) Véctơ hàm x : I  R n được gọi nghiệm của hệ (1.1) , hầu khắp nơi I có: dx (t)  P  t  x  t   q  t  , x  Cloc  I,R n  dt Với t  I, C0  R n cố định Bài toán tìm nghiệm x(t) của hệ (1.1) thỏa điều kiện đầu: x  t   C0 (1.2) gọi toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Bổ đề 1.1 Giả sử p,q  Lloc  I,R  , t  I,C0  R hàm số x  Cloc  I, R  hầu khắp nơi I thỏa bất đẳng thức:  x  t   p  t  x  t   q  t   sign  t  t   (1.3) x  t   C0 (1.4) Khi t t  t  x  t   exp  p  s  ds  C0   exp  p  s  ds  q  τ  dτ , t  I t  t0 τ  0  Xem chứng minh [1] (1.5) Bổ đề 1.2 Giả sử p,q  Lloc  I, R   , t  I, C0  R  , x  Cloc  I, R   t x  t   C0    p  τ  x  τ   q  τ  dτ , t  I (1.6) t0 Khi t  I ta có:  t  t t  x  t   C0 exp  p  s  ds    exp  p  s  ds  q  τ  dτ t  t  τ    (1.7) Xem chứng minh [1] Định lý 1.1 Nếu P  Lloc  I, R nn  , q  Lloc  I, R n  , t  I, C0  R n thì tốn Cauchy (1.1), (1.2) có nghiệm nghiệm Chứng minh Trước hết ta nhận thấy x(t) nghiệm của (1.1), (1.2) dx (t)  P  t  x  t   q  t  , dt x  t   C0 chỉ x(t) nghiệm của phương trình: t x  t   C0    P  τ  x  τ   q  τ   dτ , t  I (1.8) t0 Phương trình (1.8) phương trình tích phân dạng Volter  Ta chứng minh tồn nghiệm của (1.8) xấp xỉ Picard Xét dãy vectơ hàm x k  t k 1 xác định sau:  x  t   C0 , t x k  t   C0    P  τ  x k 1  τ   q  τ   dτ ,  k  1,2, t0 (1.9) Dễ thấy x k  Cloc  I, R n  , k  N Ta chứng minh dãy x k  t k 1 hội tụ I cách chứng  minh chuỗi:  C0    x k  t   x k 1  t   (1.10) k 1 hội tụ I Ta có: t x1  t   x  t   C0    P  τ  C0  q  τ   dτ  C0 t0  x1  t   x  t   t  P  τ .C  q  τ   dτ t0 t   P  τ C  q  τ  dτ =ξ  t  , t  I, (1.11) t0 với ξ  t   t  P  τ .C  q  τ  dτ t0 Với k > thì: t x k  t   x k 1  t   P  τ   x k 1  τ   x k 2  τ   dτ t0 Do (1.11) ta có: x  t   x1  t   t  P  τ  ξ  τ  dτ t0  ξ  t  ξ  t  , t  I, với ξ  t   t  P  τ  dτ t0 (1.12) Vậy k  1,2 thì x k  t   x k 1  t   ξ  t  ξ  t  k 1  k  1! , t  I (1.13) Giả sử (1.13) với số tự nhiên k Ta chứng minh với k+1 Từ (1.12) ta có: x k 1  t   x k  t   t  P  τ  x  τ   x  τ  dτ k 1 k t0 k 1 ξ  τ    ξ   τ   ξ  τ  dτ  k  1! t0 t (Do ξ  t   đơn điệu tăng theo t  t ) k 1 ξ  τ    ξ  t  ξ  τ   dτ  k  1! t0 t ξ  t    ξ0  t   k! k , t  I Vậy theo nguyên lý qui nạp (1.13) với k  N Do chuỗi k 1 ξ  t   C0  ξ  t    k 1  k  1!  (1.14) hội tụ I hàm C0  ξ  t .expξ  t  Nên theo dấu hiệu Weirstrass chuỗi (1.10) hội tụ hàm x(t) I Hay x  t   lim x k  t  I k  Chuyển (1.9) qua giới hạn ta có: t x  t   C0  lim   P  τ  x k 1  τ   q  τ   dτ k  t0 t  C0    lim P  τ  x k 1  τ   q  τ   dτ  k   t t  C0    P  τ  x  t   q  τ   dτ , t  I t0 Vậy x(t) – nghiệm của (1.8) nghiệm của toán (1.1), (1.2)  Ta chứng minh toán (1.1), (1.2) có nghiệm Giả sử x(t), y(t) – nghiệm của (1.1), (1.2) Theo (1.8) ta có: t x  t   y  t   P  τ   x  τ   y  τ   dτ t0 hay x t  yt  t  P  τ  x  τ   y  τ  dτ t0 Áp dụng bổ đề 1.2 với q  t   0, C  ta có: x  t   y  t   , t  I hay x  t   y  t  , t  I Định lý được chứng minh Xét hệ phương trình tuyến tính : dx (t )  P  t  x  t   q  t  dt    (1.1)  với P  Lloc I,R nn , q  Lloc I,R n Khi q  t   θ thì (1.1) thành: dx  P  t .x dt (1.15) gọi hệ phương trình tuyến tính thuần của (1.1) Ta biết tập nghiệm của hệ (1.15) làm thành không gian vectơ (1.15) Hệ 1.1 Giả sử X(t) ma trận (là hệ nghiệm bản) của hệ (1.15) Khi nghiệm x của hệ (1.15) có thể viết dạng: x  t   X  t  C, (1.16) với C  R n ngược lại, với C  R n , vectơ x(t) cho công thức (1.16) nghiệm của hệ (1.15) Trong đại số tuyến tính ta định nghĩa: z  R nn thì  k z k 1 k! exp  z   E   Định lý 1.2 Giả sử t  I hầu khắp nơi I ta có: t  t  P  t   P  s  ds    P  s  ds  P  t  t  t  0  0  (1.17) Khi ma trận t X  t   exp P  s  ds (1.18) t0 ma trận của hệ (1.15) Chứng minh Do (1.17) nên theo kết đại số tuyến tính ta có: k t  t  d  P  s  ds   k.P  t   P  s  ds   t  dt  t  0  k 1 tích phân vế ta có: k t t  τ   P  s  ds   k P  τ   P  s  ds  t  t  t0 0  0  Theo (1.18) ta có: k 1 dτ , t  I (1.19) k   t m    X  t   lim E    P  s  ds   m      k 1 k!  t    hội tụ hội tụ I (nên ta có thể chuyển qua dấu tích phân) Ta có: k  m τ   E  P  τ  X  τ  dτ  E  P  τ  lim E    P  s  ds   dτ m     k 1 k!  t t0 t0    t t k  m τ    E  lim   P  τ    P  τ    P  s  ds   dτ m   t   k 1 k! t0 0    t k t  t τ m     E  lim P  τ  dτ    P  τ   P  s  ds  dτ  m  t   k 1 k! t 0    t0 k+1  t m t    lim  E  P  τ  dτ    P  τ  dτ   m     k 1  k+1!  t t0    k  t m 1 t    lim  E  P  s  ds    P  s  ds   m      k  k!  t t0     X  t  Vậy: t X  t   E  P  τ  X  τ  dτ hầu khắp nơi I t0 hay X  t   P  t .X  t  hầu khắp nơi I X  t   E Vậy X(t) ma trận của hệ (1.15) (1.20) 10 Định lý 1.3 Giả sử X : I  R nn ma trận hàm mà cột của nghiệm của hệ (1.15) Khi t, t  I ta có: t  det  X  t    det  X  t   exp  tr  P  s   ds  t  0  (1.21) Định nghĩa 1.1 Ma trận hàm C: I2  R nn gọi ma trận Cauchy của hệ (1.15) với τ  I ma trận hàm C  , τ  : I  R nn ma trận của hệ (1.15) thỏa điều kiện đầu: C  τ, τ   E (1.22) Định lý 1.4 Ma trận Cauchy của hệ (1.15) tồn Hơn nữa có dạng: C  t, τ   X  t  X1  τ  (1.23) Trong X(t) – ma trận tùy ý của hệ (1.15) Chứng minh  Tồn hiển nhiên  Ta chứng minh tính nhất: Giả sử C  t, τ  – ma trận Cauchy của hệ (1.15) Giả sử X0  t  – ma trận tùy ý của hệ (1.15) Do với τ  I, C  t, τ  – ma trận nên C  t, τ   X  t  C0  τ  Do E  C  τ, τ   X  τ  C0  τ  nên C0  τ   X01  τ  Suy C  t, τ   X0  t  X01  τ  Và đó: C  t, τ   X0  t .X01  τ   X  t .X 1  τ  Định lý được chứng minh (1.24) 11 Định lý 1.5 Với t  I , nghiệm của hệ (1.15) có dạng: x  t   C  t, t  x  t  (1.25) với C  t, τ  – ma trận Cauchy của (1.15) Chứng minh Do với t  I cố định C  t,t  ma trận nên với nghiệm của hệ (1.15) có dạng: x  t   C  t, t  C0 , C0  R n (1.26)  x  t   E.C0  C0  x  t  Vậy x  t   C  t, t  x  t  Ta có điều phải chứng minh Định lý 1.6 Giả sử t  I khắp nơi I thỏa: t  t  P  t   P  s  ds    P  s  ds  P  t  t  t  0  0  (1.27) Khi ma trận t  C  t, τ   exp  P  s  ds  τ  (1.28) ma trận Cauchy của hệ (1.15) Chứng minh t  Do (1.27) nên ma trận X  t   exp  P  s  ds  ma trận của hệ t  0  (1.24) 12 t   C  t, τ   X  t  X  τ   exp  P  s  ds  τ  1 Định lý được chứng minh Hệ 1.2 Nếu P  R nn thì ma trận Cauchy của hệ phương trình vi phân dx  P.x dt (1.29) C  t, τ   exp  P  t  τ   (1.30) có dạng: 1.2 Phương pháp biến thiên số, cơng thức Cauchy Xét tốn Cauchy:  dx  P  t  x  q  t  dt (1.1) x  t   C0 (1.2)  với P  Lloc I,R nn , q  Lloc (I,R n ) Theo định lý 1.1 tốn (1.1), (1.2) có nghiệm Ta tìm cơng thức nghiệm của theo phương pháp biến thiên số Lagrange Gọi X(t) – ma trận của hệ thuần dx  P  t .x  t  dt (1.15) Ta tìm nghiệm của toán (1.1), (1.2) dạng: x  t   X  t  y  t  (1.31) y(t) cần xác định để (1.31) nghiệm, ta có: x  t   X  t .y  t   X  t .y  t   P  t .X  t .y  t   X  t .y  t  Thay vào (1.1) ta có: (1.32) ... toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính, nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm, tính bị chặn cho toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Nội dung luận văn Chương1:... xem xét Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính có nhiều ứng dụng vật lý học Chính vi? ? tơi chọn đề tài ? ?bài tốn biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính? ??... đủ cho vi? ??c tồn nghiệm của toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm của tốn Chương 2: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính