Bài toán ổn định hóa phản hồi đầu ra hệ phương trình vi phân tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  VŨ TRỌNG ĐẠI BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HĨA PHẢN HỒI ĐẦU RA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TỐN HỌC THÁI NGUN - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1 i MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chương 1: CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 Phương trình vi phân 1.2 Lý thuyết ổn định phương trình vi phân .6 1.3 Phương pháp hàm Lyapunov 13 1.4 Bài tốn ổn định hóa 17 1.4.1 Ổn định hóa phản hồi trạng thái 17 1.4.2 Ổn định hóa phản hồi đầu 24 1.5 Một số bổ đề 26 Chương 2: ỔN ĐỊNH HÓA PHẢN HỒI ĐẦU RA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 27 2.1 Điều kiện cần đủ cho ổn định hóa phản hồi đầu tiếp cận bất đẳng thức ma trận .27 2.2 Ổn định hóa phản hồi đầu phản hồi trạng thái hệ tuyến tính có trễ 31 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2 ii MỘT SỐ KÝ HIỆU     ;   : tập số thực;      0;   : tập số thực không âm;   nr : không gian ma trận n  r chiều ;  n : không gian véc tơ tuyến tính thực n chiều với ký hiệu tích vơ hướng , chuẩn véc tơ ;    a; b  ,  n  : tập tất hàm liên tục  a; b  nhận giá trị  n  L2  a; b  ,  m  : tập tất hàm khả tích bậc hai  a; b  lấy giá trị  m  AT : ma trận chuyển vị ma trận A , ma trận A coi đối xứng A  AT ;  I : ma trận đơn vị ;    A  : tập giá trị riêng ma trận A ;  max  A   max Re  :     A  ;  min  A  Re  :     A ;  A  : ma trận A xác định dương ;  A  : ma trận A xác định không âm ;  A B: A B 0 ; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điều khiển toán học lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng xuất phát triển thập kỷ gần Tính ổn định tính chất quan trọng lí thuyết định tính hệ động lực sử dụng nhiều lĩnh vực học, vật lý toán, kỹ thuật, kinh tế, Một hệ thống gọi ổn định trạng thái cân nhiễu nhỏ kiện cấu trúc ban đầu hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân Bài toán ổn định hệ thống bắt đầu nghiên cứu từ cuối kỉ XIX nhà toán học V.Lyapunov, từ năm 60 kỉ XX, song song với phát triển lý thuyết điều khiển nhu cầu nghiên cứu tính chất chất định tính hệ thống điều khiển người ta bắt đầu nghiên cứu tính chất ổn định hệ thống điều khiển hay cịn gọi ổn định hóa hệ Trải qua trình nghiên cứu phát triển, đến lý thuyết ổn định, ổn định hóa hệ phương trình vi phân nghiên cứu phát triển lý thuyết toán học độc lập ứng dụng nhiều lĩnh vực toán học ứng dụng, điều khiển kỹ thuật, kinh tế, Trong thực tế, nhiều toán đề cập vấn đề kĩ thuật, điều khiển thường liên quan đế hệ động lực mơ tả phương trình tốn học với thời gian liên tục hay rời rạc dạng: x  t   f  t , x  t  , u  t   , t  x  k  1  f  k , x  k  , u  k   , k  0,1, 2, x . biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u . biến điều khiển mô tả đối tượng đầu vào hệ thống Các đối tượng điều khiển mơ hình điều khiển hệ thống mơ tả liệu đầu vào có tác động Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4 mức độ hay mức độ khác làm ảnh hưởng đến vận hành đầu hệ thống Một mục đích quan trọng của tốn điều khiển hệ thống tìm điều khiển đầu vào cho hệ thống đầu có tính chất mong muốn Vấn đề ổn định hóa hệ thống điều khiển tìm hàm điều khiển phản hồi (feedback controls) cho hệ thống cho ứng với điều khiển trở thành hệ thống ổn định trạng thái cân Đề tài có tính thời sự, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số điều kiện đảm bảo tính ổn định ổn định hóa phản hồi đầu hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Trình bày tổng quan hệ thống kết toán ổn định hóa phương trình vi phân tuyến tính gồm ổn định hóa phản hồi trạng thái ổn định hóa phản hồi đầu - Trình bày số kết ổn định hóa phản hồi đầu hệ phương trình vi phân tuyến tính Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp lý thuyết điều khiển lý thuyết ổn định - Kế thừa phương pháp kết Lyapunov Bố cục luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương tài liệu tham khảo Cụ thể là: Chương 1: Cơ sở tốn học Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5 Chương 2: Ổn định hóa phản hồi đầu hệ phương trình vi phân tuyến tính Chương trình bày số kiến thức phương trình vi phân, ổn định phương trình vi phân tuyến tính, phương pháp hàm Lyapunov đặc biệt toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính gồm ổn định hóa phản hồi trạng thái ổn định hóa phản hồi đầu Trong chương hai xin giới thiệu chứng minh số định lý điều kiện cần đủ cho ổn định hóa phản hồi đầu phương thức tiếp cận bất đẳng thức ma trận, ổn định hóa phản hồi trạng thái ổn định hóa đầu cho hệ tuyến tính có trễ Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo GS TSKH Vũ Ngọc Phát, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Viện Tốn học trường Đại học sư phạm Thái Nguyên tận tình giảng dạy em trình học cao học Tơi xin cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Tốn, khoa sau đại học trường Đại học sư phạm Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tạo điều khiện cho tơi hồn thành kế hoạch học tập Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp cổ vũ động viên suốt trình làm luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hồn chỉnh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6 Chương CƠ SỞ TỐN HỌC Trong chương trình bày số kiến thức hệ phương trình vi phân, lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân, phương pháp hàm Lyapunov, toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính phương trình vi phân tuyến tính có trễ dựa tài liệu 1 ,   ,   1.1 Phương trình vi phân  Xét phương trình vi phân có dạng :  x  f  t , x  , t  I  t0 , t0  b  ,  n  x  t0   x0 , x   , t0  1.1 f  t , x  : I  D   n , D   x   n : x  x0  a Nghiệm phương trình vi phân 1.1 hàm số x  t  khả vi liên tục thỏa mãn: i,  t , x  t    I  D , ii, x  t  thỏa mãn phương trình vi phân 1.1 Giả sử hàm f  t , x  liên tục I  D , nghiệm x  t  cho t dạng tích phân sau: x  t   x0   f  s, x  s   ds t0 Định lý sau khẳng định tồn nghiệm phương trình vi phân 1.1 1.1.1 Định lý (Định lý Picard - Lindeloff) Xét phương trình vi phân 1.1 giả sử hàm f  t, x  : I  D  n liên tục theo t thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7 K  : f  t , x1   f  t , x2   K x1  x2 , t  Khi với  t0 , x0   I  D tìm số d  cho 1.1 ln có nghiệm khoảng t0  d , t0  d  Hay nói cách khác, qua điểm  t0 , x0   I  D có đường cong tích phân chạy qua Định lý sau đây, với giả thiết nhẹ hơn, cho tồn nghiệm lớp hệ phương trình vi phân tương đối phổ biến có nhiều ứng dụng lý thuyết điều khiển 1.1.2 Định lý (Định lý Caratheodory) Giả sử f  t , x  hàm đo theo t  I liên tục theo x  D tồn hàm khả tích m  t   t0 , t0  b  cho f  t , x   m  t  ,   t , x   I  D Khi hệ 1.1 có nghiệm khoảng t0 , t0    Định lý Caratheodory khẳng định tồn nghiệm không Bây ta xét số trường hợp đặc biệt phương trình vi phân:  Hệ phương trình vi phân tuyến tính tơ nơm Hệ phương trình vi phân tuyến tính tơ nơm dạng:  x  Ax  g  t  , t  0,   x  t0   x0 , t0  1.2  A n  n  ma trận số, g  t  :  0,    n hàm khả tích hệ 1.2  ln có nghiệm cho công thức Cauchy sau x t   e A t t0  t x0   e A t  s  g  s  ds, t  t0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8  Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng tơ nơm Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng tơ nơm dạng  x  A  t  x  g  t  , t  0,   x  t0   x0 , t0  1.3 A  t  n  n  ma trận hàm đo liên tục theo t At   m t , t  m  t  hàm khả tích g  t  hàm khả tích, hệ 1.3  có nghiệm Tuy nhiên nghiệm hệ không biểu diễn công thức nghiệm Cauchy mà thông qua ma trận nghiệm   t , s  hệ nhất: x  A  t  x, t  0, x  t0   x0 , 1.4  nghiệm hệ 1.3  cho bởi: t x  t     t , t0  x0     t , s  g  s  ds, t  t0   t , s  ma trận nghiệm cở hệ 1.4  thỏa mãn phương trình ma trận d    t , s   A  t    t , s  , t  s,  dt   t , t   I , t   1.2 Lý thuyết ổn định phương trình vi phân 1.2.1 Xét hệ thống mơ tả phương trình vi phân  x  f  t , x  , t    x  t0   x0 , t0  1.5 x  t    n véc tơ trạng thái hệ, f :     n   n hàm véc tơ cho trước Giả thiết f  t , x  hàm thỏa mãn điều kiện cho nghiệm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn9 toán Cauchy hệ 1.5  với điều kiện ban đầu x  t0   x0 , t0  ln có nghiệm Khi dạng tích phân nghiệm cho công thức t x  t   x0   f  s , x  s   ds, t  t0 t0 1.2.1.1 Định nghĩa Nghiệm x  t  hệ 1.5  gọi ổn định với số   , t0  tồn số   (phụ thuộc vào  ,t0 ) cho nghiệm y  t  , y  t0   y0 hệ thỏa mãn y0  x0   nghiệm bất đẳng thức y  t   x  t    , t  t0 Nói cách khác nghiệm x  t  ổn định nghiệm khác hệ có giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu x  t  đủ gần suốt thời gian t  t0 Giả sử x . nghiệm ổn định 1.5 , xét phương trình x  x  f  t , x   f  t , x  Đặt y  x  x phương trình trở thành y  g  t , y  1.6  g  t , y  : f  t , y  x   f  t , x  g  t ,0   Ta nhận thấy x . nghiệm 1.5 x .  x . nghiệm 1.6  Mặt khác lại có x .  x . nghiệm 1.5  nên y    nghiệm 1.6  dễ dàng kiểm tra x . nghiệm ổn định 1.5  y .  nghiệm ổn định 1.6  Do từ sau ta xem xét ổn định nghiệm y .  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn10 25   x  t   f t , x  t  , k g  x  t    ổn định tiệm cận Đối với hệ tuyến tính  x  t   Ax  t   Bu  t    y  t   Cx  t  1.19  hệ ổn định hóa tồn ma trận F  lm cho với điều khiển phản hồi đầu u  Fy hệ x  Ax  BFCx ổn định tiệm cận Ví dụ 1.10 Xét hệ x  Ax  BFCx  1  1  3 , B   , C   A   , F   k1 k2           2k  2k2  BFC    2 k1  2k 3k1  k2  3k1  k   k  2k2  3k1  k2    A  BFC     2k1  2k 3k1  k   lấy k1  k2   5   A  BFC     3   5     A  BFC    I        5  3       3  Re       A  BFC    A  BFC  ma trận ổn định hệ ổn định tiệm cận với điều khiển phản hồi đầu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn28 26  y t   u  Fy  1 1    y2  t    y1  t   y2  t  1.5 Một số bổ đề 1.5.1 Bổ đề  4 (Bổ đề Finsler) Hãy xem xét ma trận thực mn F  mn cho   T F dịng có hạng đầy đủ F  trực giao bổ sung F (có thể nhất) xác định ma trận cột với bậc lớn thỏa mãn FF   F T F   Khi đó, phát biểu sau tương đương: Có tồn vector   t    n cho  T  t    t   F  t   Có tồn đại lượng vô hướng   cho    F T F  ; Điều kiện sau có hiệu lực: F T F   1.5.2 Bổ đề  4 (Bất đẳng thức Jensen): Với số R  0,  , ta có bất đẳng thức sau: T      1 x s Rx s ds  x s ds R x s ds             0    0  0  T Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn29 27 Chương ỔN ĐỊNH HÓA PHẢN HỒI ĐẦU RA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH Vấn đề thơng tin phản hồi vấn đề nghiên cứu nhiều lý thuyết điều khiển ứng dụng Trong dạng đơn giản liên quan đến hệ tuyến tính hữu hạn chiều, vấn đề tìm kiếm thơng tin phản hồi đầu đạt mong muốn định vấn đề khó khăn Một lý để thông tin phản hồi đầu nhận nhiều ý đại diện cho điều khiển khép kín đơn giản mà thực thực tế Trong chương trình bày điều kiện cần đủ tính ổn định hóa phản hồi đầu ổn định cách tiếp cận bất đẳng thức ma trận Ta biết hệ tuyến tính đơn giản với trễ đặt khó khăn hạn chế cho việc thiết kế điều khiển đầu ổn định Một câu hỏi làm để thiết kế thông tin phản hồi đầu tĩnh (SOF) đầu động (DOF) để ổn định hệ thống với trễ trạng thái/đầu vào chưa biết Trong mục 2.2 trình bày phương pháp ổn định hóa phản hồi đầu cho hệ tuyến tính có trễ, dựa báo 5,6,3 2.1 Điều kiện cần đủ cho ổn định hóa phản hồi đầu tiếp cận bất đẳng thức ma trận Bây ta xét hệ tuyến tính hữu hạn chiều  mô tả :  x  Ax  Bu :  y  Cx  2.1 x   n vector trạng thái, u   r vector điều khiển, y   m vector đầu ra, A   nn , B   nm , C   ln ma trận số Tất hệ thống xem xét giả định ổn định hóa phản hồi trạng thái Ổn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn30 28 định hóa phản hồi đầu vấn đề tìm thơng tin phản hồi đầu u  Fy, F   ml cho hệ thống khép kín c : x   A  BFC  x ổn định tiệm cận 2.1.1 Định lý  6 Hệ  2.1 ổn định hóa phản hồi đầu u  Fy khi: i, Hệ  2.1 ổn định hóa tồn ma trận L   nl cho ma trận  A  LC  ổn định ii, Tồn ma trận thực F G cho FC  B T P  G ma trận P đối xứng xác định không âm thỏa mãn phương trình ma trận sau: AT P  PA  PBBT P  C T C  GT G  Chứng minh : Để chứng minh điều kiện cần, giả sử có A  BFC ổn định cho F Khi  A, B  ổn định hóa từ A  BK ổn định K  FC  A, C  nhận từ A  LC ổn định ta cần lấy L  BF Bây thử lại  i,  Vì A  BFC ổn định, tồn ma trận đối xứng không âm P cho : T  A  BFC  P  P  A  BFC   C T C  C T F T FC   2.2  Viết lại  2.2  ta : T AT P  PA  PBBT P  C T C   FC  BT P   FC  BT P   từ xác lập G  FC  BT P kéo theo  ii,  chứng minh Để chứng minh điều kiện đủ, giả sử có  i ,   ii,  Thay  ii,  vào  2.2  ta thấy thỏa mãn Từ  i,  với  A, C  nhận Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn31 29 thấy kéo theo A  LC ổn định với L Viết được: C  A  LC   A  BFC    L  B     LC  từ P đối xứng không âm, kết hợp với  2.2  kết luận A  BFC ổn định Định lý chứng minh 2.1.2 Định lý  6  ổn định hóa phản hồi đầu tồn ma trận P  F thỏa mãn bất đẳng thức ma trận sau : T AT P  PA  PBBT P   BT P  FC   BT P  FC    2.4  Chứng minh : Điều kiện đủ Ta có : T  A  BFC  P  P  A  BFC  T   A  BFC  P  P  A  BFC   C T F T FC T  AT P  PA  PBB T P   BT P  FC   B T P  FC   Từ định lý ổn định Lyapunov, biết  c ổn định Để chứng minh điều kiện cần, giả sử  c ổn định với điều kiện đầu F Khi tồn P  cho: T  A  BFC  P  P  A  BFC   Rất dễ dàng tìm thấy đại lượng vơ hướng   cho: T  A  BFC  P  P  A  BFC   T T C F FC  2 tức là: T     A P  PA   PBB P    BT P  FC    BT P  FC         T T Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn32 30 rõ ràng phương trình  2.4  tương đương với T  AT P   PA   PBBT P    BT P  FC    BT P  FC   Bằng cách thay  P cho P , ta có bất đẳng thức  2.4  2.1.3 Hệ    ổn định hóa phản hồi đầu tồn hai ma trận P  F thỏa mãn bất đẳng thức ma trận sau: T AT P  PA  PBBT P   BT P  FC   BT P  FC    P  2.1.4 Hệ  ổn định hóa phản hồi đầu tồn hai ma trận Q  F thỏa mãn bất đẳng thức ma trận sau: T QAT  AQ  QC T CQ   BF  CQ  BF  CQ   Do dấu âm  PBBT P  2.4  xét thiết kế bổ xung : 2.1.5 Định lý  6  ổn định hóa phản hồi đầu tồn ma trận P  0, X  F thỏa mãn bất đẳng thức: AT P  PA  XBBT P  PBBT X  XBBT X T   BT P  FC   BT P  FC    2.5 Chứng minh: Điều kiện đủ: Với X P số chiều ta ln có: T  X  P BBT  X  P   từ ta X T BBT P  PT BBT X  X T BBT X  PT BBT P ,  2.6  dấu xảy X  P , thay  2.6  vào  2.4  ta  2.5 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn33 31 Điều kiện cần: Giả sử  ổn định hóa phản hồi đầu tồn P  0, F cho T AT P  PA  PBBT P   BT P  FC   BT P  FC   (định lý 2.1.2) Luôn tồn số dương  cho: T AT P  PA  PBBT P   BT P  FC   BT P  FC    I  T Chọn X  BB đặt X  P  X mà X   X 1 ta có  P  X  BBT  P  X    I , bất phương trình  2.5  thỏa mãn 2.2 Ổn định hóa phản hồi đầu phản hồi trạng thái hệ tuyến tính có trễ Xét hệ điều khiển tuyến tính có trễ sau:  x  t   Ax  t   Ad x  t  d   Bd u  t  d  , t      :  x  t     t  , t   d ,0,   y  t   Cx  t  , t   2.7  x  t    n , u  t    m , y  t    p vector trạng thái, đầu quan sát, A, Ad , B, Bd , C ma trận số có số chiều thích hợp, d  độ trễ hằng, t    d ,0 , hàm ban đầu   t  là hàm liên tục d ,0 Giải toán phản hồi cho hệ  2.7  tìm phản hồi ngược đầu u  t   Ky  t  K ma trận điều khiển được áp dụng vào hệ thống khép kín:  x  t   Ac x  t   Adc x  t  d  , t    x  t     t  , t    d ,0   C1 Ac  A  BKC , Adc  Ad  Bd KC Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn34 32 Biểu diễn độ trễ d  rh  , r chọn số nguyên dương h chọn thể phân vùng trễ d với độ rộng tương đương Xây dựng hàm Lyapunov - Krasovskii với ma trận P1  0, R  0, Qj   j  1,2, , r  :  2.8 V  xt   xT  t  P1 x  t   V1  xt   V2  xt  Ở xt xác định xt    x  t    với  d    V1  xt   t x T  s  Rx  s  dsd ,    rh t  r t  j 1 h V2  xt    j 1  xT  s  Q j x  s  ds t  jh 2.2.1 Định lý 3 Đối với số nguyên dương cố định r , hệ  2.7  ổn định hóa với phản hồi đầu u  Ky tồn ma trận P1  0, P2  0, R  0, Q j   j  1, , r  vô hướng    thỏa mãn: 1  2T R2   J rT J r  d   *  S    J rT    0, 3   I   2.9   PT A  AT P  T1 PT Ad    1   * Q ;  * * T2   2   A  Ad  3  rd 1diag  R, , R ;  P P   P2 KC 0 P2  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn35 33 Q  diag Q2  Q1, Q3  Q2 , , Qr  Qr 1 R  diag dR, 1 /  P2  , T1  diag Q1 ,0  Q  C T K T P2 KC C T K T P2  T2   r ; *  P   B  A A ,  KC  I  A Ad   d  KC Bd   I  Chứng minh: Các đạo hàm V  xt   2.8 dọc theo nghiệm hệ thống    t xác định bởi: C1 V  xt   xT  t   P1 Ac  AcT P1  x  t   xT  t  P1 Adc x  t  d   V1  xt   V2  xt  V1  xt     rh  2.10   x T  t  Rx  t   x T  t    Rx  t     d r t  j 1h   rh  x T  t  Rx  t    j 1  x T  s  Rx  s  ds  2.11 t  jh   rh  x  t  Rx  t  T T  t  j 1h   t  j 1h  1  h    x  s  ds  R   x  s  ds   j 1   t  jh   t  jh    r r 1 V2  xt     xT  t  jh   Q j  Q j 1  x  t  jh   j 1  2.12   x  t  Q1 x  t   x  t  jh  Qr x  t  rh  T T Lưu ý bất đẳng thức Jensen (bổ đề 1.2) sử dụng để có  2.11 Thay  2.11  2.12  vào  2.10  , V  xt   Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn36 34 1  d 2T R2  t    T 0   t   3   2.13 t  r 1h t     t   col  x  t  , x  t  h  , , x  t  rh  ,  x  s  ds , ,  x  s  ds  t h t  rh    P1 Ac  AcT P1  Q1 P1 Adc    1   * Q ,  * * Qr   2   Ac Adc  , 3   rd 1dig  R, , R Theo cơng thức Newton - Leibniz ta có t x t   x t  h   x  s  ds  t h  t  r 1 h x  t   r  1 h   x  t  rh    x  s  ds  t rh tương đương  J r  I   t   Điều phù hợp với bất đẳng thức  2.13 , theo bổ đề Finsler tồn đại lượng vơ hướng 1  d 2T R2   J rT J r  d   *  S    J rT  0 3   I     cho:  2.14  Nếu S  d   cố định, hệ  c1  ổn định tiệm cận Bây chứng minh tương đương  S  d   cách định nghĩa B   B Bd  hai ma trận khơng kì dị Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn37 35 G1  diag S , I , , I , S  , I 0  0 G2    0  0 0 I   0  I I  0 0  0   0  0 I  với 0  I S    KC I  Trước sau nhân  S  d   với diag G2T G1T , I  diag G1G2 , I  , tương ứng bất đẳng thức  2.9  thay đổi thành: G2T G1T  1  2T R2  J rT J r  G1G2  *  G2T G1T J rT  0 3  I  Biến đổi đại số ta được:  S T  PT A  AT P  T1  S S T PT Ad S    G2T G1T 1G1G2  G2T  * Q  G2   T * * S T S    P1 Ac  AcT P1  Q1 P1B  * 2 P2   *   *   Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Q * PB d   P2    Qr   *  P2  P1 Adc http://www.lrc-tnu.edu.vn38 36  1  *   BT P1   2 1  1 1 P2   T      2G1   AS A  c 0 B I  2T  G2T G1T 2T R2G1G2   T B   0 Adc 0   dR  I      I       d 2T R2     *   J r G1G2   J r Ad S  Bd   I    2   P2   d 2T RB 1  dBT RB   1  B I   I    1  4 P   1 2     Nói cách khác  S  d   tương đương với   d T R  J T J 2 r r 1    *    *    BT P1   7  d BT RB    3  * T  d 2T RB 3  P  3   J rT     0    3  I   đó, thực biến đổi đồng dạng tương đương với Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn39 37  BT P T      7   * d BT RB     3    d 2T RB    3  0 4  P2  3     Chú ý có ma trận đường chéo khối thấp phía bên trái bất đẳng thức phụ thuộc vào ma trận P2  Ở tồn P2  cho S  d   tương đương với  S  d   đảm bảo  S  d   Vậy định lý chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn40 38 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết tính ổn định hóa trạng thái ổn định hóa phản hồi đầu cho hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ Các kết luận văn là:  Giới thiệu cách tổng quan kiến thức sở lí thuyết ổn định hệ phương trình vi phân, phương pháp hàm Lyapunov việc xét tính ổn định, ổn định hóa phương trình vi phân tuyến tính  Trình bày số điều kiện cần đủ cho tốn ổn định hóa phản hồi đầu hệ phương trình vi phân tuyến tính tiếp cận bất đẳng thức ma trận hệ liên quan  Trình bày tiêu chuẩn ổn định hóa phản hồi đầu hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn41 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO I Tài liệu tiếng Việt 1 Nguyễn Thế Hồn - Phạm Chu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục, 2000 2  Vũ Ngọc Phát, Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 II Tài liệu tiếng Anh 3 Baozhu Du, James Lam and Zhan Shu, Stabilization for state input delay systems via static and integral output feedback, Automatica, Vol.46, 2010, 2000 - 2007 4  Keqin Gu, Vladimir L Kharitonov and Jie Chen, Stability of Time-Delay Systems, Birkhauser, Berlin, 2003 5 V.Kucera and C.E De Souza, A necessary and sufficient condition for output feedback stabilizability, Automatica, Vol.31, No 9, 1995, 1357 - 1359 6 Yong-Yan Cao, James Lam and You-Xiam Sun, Static output feedback stabilization: an ILMI approach, Automatica, Vol.34, No 12, 1998, 1641 - 1645 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn42 ... Trình bày tổng quan hệ thống kết toán ổn định hóa phương trình vi phân tuyến tính gồm ổn định hóa phản hồi trạng thái ổn định hóa phản hồi đầu - Trình bày số kết ổn định hóa phản hồi đầu hệ phương. .. phân, ổn định phương trình vi phân tuyến tính, phương pháp hàm Lyapunov đặc biệt toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính gồm ổn định hóa phản hồi trạng thái ổn định hóa phản hồi đầu. .. TOÁN HỌC Trong chương trình bày số kiến thức hệ phương trình vi phân, lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân, phương pháp hàm Lyapunov, tốn ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính phương