Bài toán điều khiển được hệ phương trình vi phân tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - - PHẠM NGỌC HẢI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƢỢC HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - - PHẠM NGỌC HẢI BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN ĐƢỢC HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH VŨ NGỌC PHÁT Thái Nguyên – 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu trích dẫn có nguồn gốc rõ ràng, kết luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Phạm Ngọc Hải Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Mục lục ii Một số kí hiệu tốn học dùng luận văn iii LỜI MỞ ĐẦU Chƣơng CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 Hệ phƣơng trình vi phân 1.1.1 Hệ phương trình vi phân 1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm 1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm 1.2 Bài tốn điều khiển đƣợc hệ phƣơng trình vi phân 1.2.1 Bài toán điều khiển hệ liên tục 1.2.2 Bài toán điều khiển hệ rời rạc Chƣơng BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƢỢC HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 12 2.1 Bài tốn điều khiển đƣợc hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính 12 2.2 Bài tốn điều khiển đƣợc hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính có hạn chế biến điều khiển 25 KẾT LUẬN… 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ iii MỘT SỐ KÍ HIỆU TỐN HỌC DÙNG TRONG LUẬN VĂN R : Tập số thực không âm R n : Không gian véc tơ n- chiều với kí hiệu tích vơ hướng , R n r : Không gian ma trận ( n r ) - chiều C ([a, b], R n ) : Tập hàm liên tục [a, b] nhận giá trị R n L2 ([a, b], R m ) : Tập hàm khả tích bậc hai [a, b] lấy giá trị R m A : Ma trận chuyển vị ma trận A I : Ma trận đơn vị A : Ma trận nghịch đảo ma trận A rank A : Hạng ma trận A Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết điều khiển toán học lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Lý thuyết điều khiển khởi xướng ý tưởng kết quan trọng nhà toán học R Kalman từ năm 60, chứng minh điều kiện đại số tính điều khiển hệ tuyến tính đơn giản Trải qua kỷ, lý thuyết điều khiển ngày phát triển mạnh mẽ chuyên ngành độc lập toán học ứng dụng với kết hợp toán học điều khiển kỹ thuật Hiện lý thuyết nhiều nhà toán học giới nước quan tâm nghiên cứu như: R Kalman, RP Agarwal, V Korobov, Vũ Ngọc Phát, Nguyễn Khoa Sơn,…và thu nhiều kết quả, tính chất quan trọng Một vấn đề quan trọng toán điều khiển hệ thống tính điều khiển được, tức xác định điều khiển chấp nhận cho hệ thống chuyển từ vị trí tới vị trí khác thời gian hữu hạn Bài toán điều khiển liên quan chặt chẽ đến toán khác toán điều khiển tối ưu, tốn ổn định ổn định hóa, tốn quan sát được,… Như biết cơng cụ để nghiên cứu vấn đề lý thuyết điều khiển tốn học mơ hình phương pháp toán học ứng dụng để giải vấn đề định tính hệ thống điều khiển Trong luận văn này, tập trung nghiên cứu mơ hình động lực mơ tả hệ phương trình tuyến tính có cấu trúc đơn giản Luận văn giới thiệu cách tổng quan toán điều khiển hệ động lực mô tả phương trình điều khiển với thời gian liên tục rời rạc khác Nội dung luận văn gồm 36 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1: Cơ sở tốn học Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính, tốn điều khiển hệ điều khiển tuyến tính liên tục Cuối chương, chúng tơi trình bày tốn điều khiển hệ điều khiển với thời gian rời rạc Chương 2: Bài tốn điều khiển hệ phương trình vi phân tuyến tính Trong chương này, chúng tơi trình bày điều kiện đủ tính điều khiển hệ phương trình vi phân tuyến tính số ví dụ minh họa Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn chân thành đến GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, người thầy tận tình bảo, hướng dẫn tơi suốt q trình làm luận văn Đồng thời, xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy khoa Tốn, khoa Sau đại học, trường Đại học Sư Phạm – Đại học Thái Nguyên, trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ, bảo trình học tập, nghiên cứu trường Cuối xin cảm ơn người thân, bạn bè, đồng nghiệp, người ủng hộ, động viên chỗ dựa tinh thần cho suốt trình học tập, làm việc, nghiên cứu sống Mặc dù thân cố gắng nhiều, thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức trình độ cịn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Tơi mong nhận bảo, góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn! Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chƣơng CƠ SỞ TỐN HỌC Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm tốn học sở hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính, nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính, lý thuyết điều khiển hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.1 Hệ phƣơng trình vi phân 1.1.1 Hệ phƣơng trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân có dạng: x (t ) f (t , x(t )), t t0 , x(t0 ) x0 , t0 x(t ) R n , f :  (1.1.1) 0,  n , với t t0 n Hàm khả vi liên tục x(t ) thỏa mãn hệ phương trình (1.1.1) gọi nghiệm hệ phương trình vi phân ký hiệu x(t , x0 ) Cơng thức nghiệm dạng tích phân hệ (1.1.1) t x(t , x0 ) x0 f ( s, x( s ))ds t0 Các định lý sau khẳng định tồn nghiệm hệ phương trình vi phân (1.1.1) (xem [2]) Định lý 1.1.1 (Định lý Picard – Lindeloff) Xét hệ phương trình vi phân (1.1.1) giả sử f : I D I t0 , t0 b K Rn liên tục theo t thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x: 0: f (t , x1) Số hóa trung tâm học liệu f (t , x2 ) K x1 x2 , t http://lrc.tnu.edu.vn/ Khi đó, với D tìm số d (t0 , x0 ) R phương trình (1.1.1) có nghiệm khoảng x0 cho hệ d , x0 d Hay nói cách khác, qua điểm (t0 , x0 ) I D có đường cong tích phân chạy qua Định lý 1.1.2 (Định lý Caratheodory) Giả sử f (t , x) hàm đo theo t I liên tục theo x D Nếu tồn hàm khả tích m(t ) t0 , t0 b cho f (t , x) m(t ), (t , x) I D, hệ (1.1.1) có nghiệm khoảng t0 , t0 Với số giả thiết thêm hàm f (t , x) nghiệm x(t , x0 ) xác định 0, (xem [2]) Đặc biệt, hệ phương trình vi phân tuyến tính x (t ) A(t ) x(t ) g (t ), t A(t ) Rn n , t , g (t ) : R 0, R n hàm liên tục ln ln tồn nghiệm x(t , x0 ) xác định toàn khoảng 0, 1.1.2 Hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính ơtơnơm Hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm có dạng : x (t ) A x(t ) g (t ), t x(t0 ) x0 , t0 R , (1.1.2) 0, A n n - ma trận số, g : R R n hàm liên tục Nghiệm hệ phương trình biểu diễn cơng thức CauChy t x(t , x0 ) e A ( t t0 ) e A( t x0 s) g ( s )ds, t t0 1.1.3 Hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm có dạng: Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ x (t ) A(t ) x(t ) g (t ), t x(t0 ) x0 , t0 R , (1.1.3) 0, A(t ) n n - ma trận hàm số liên tục R , g : R R n hàm liên tục Nghiệm hệ phương trình (1.1.3) biểu diễn ma trận nghiệm (t , s ) hệ x (t ) A(t ) x(t ), t 0, (1.1.4) cho cơng thức tích phân t x(t ) (t , t0 ) x0 (t , s) g ( s) ds, t 0, t0 (t , s ) ma trận nghiệm thỏa mãn: d (t , s ) A (t ) (t , s ), t dt ( s, s ) I Định lý 1.1.3.[1] Cho s, (t , s ) ma trận nghiệm hệ (1.1.4) Khi i) Mọi nghiệm hệ (1.1.2) với x(t0 ) x(t ) x0 (t , t0 ) x0 ii) Nếu (t , t0 ) ma trận nghiệm khác hệ (1.1.2) (t , t0 ) 1(t , t0 )C, t t0 , C ma trận số iii) Nếu C ma trận nghiệm (t , t0 )C ma trận nghiệm Chứng minh: i) Suy từ công thức nghiệm Cauchy Để chứng minh ii) ta ký hiệu (t , t0 ) (t ) Ta đặt (t ) 1(t ) Số hóa trung tâm học liệu (t ) http://lrc.tnu.edu.vn/ 22 Bổ đề 2.1.2 Cho fi (.) :[t0 , t1] Rm , i 1,2, , n hàm véc tơ khả vi liên tục theo t tới bậc ( n 1) Khi hệ fi (t ) độc lập tuyến tính có t2 [t0 , t1] cho rank[ F (t2 ), F (t2 ), , F n 1(t2 )] n (2.1.12) Chứng minh: Ta giả sử phản chứng hệ fi (t ) phụ thuộc tuyến tính điều kiện (2.1.12) thỏa mãn Khi tìm véc tơ a R n , a cho a F (t ) 0, t [t0 , t1] Điều có nghĩa là, lấy đạo hàm đẳng thức tới bậc ( n 1) , ta a [ F (t ), F (t ), , F n 1(t )] 0, t [t0 , t1] Từ suy mâu thuẫn với điều kiện (2.1.12) Như Bổ đề 2.1.1, 2.1.2 cho ta điều kiện kiểm tra hệ fi (t ) độc lập tuyến tính hay khơng, với giả thiết thêm tính trơn hàm fi (t ) có điều kiện kiểu hạng Kalman, xong Bổ đề (2.1.2) cho ta điều kiện đủ mà Bổ đề sau khẳng định (2.1.12) điều kiện cần fi (t ) hàm giải tích Bổ đề 2.1.3 Giả sử hàm fi (t ) , i 1,2, , n hàm giải tích [t0 , t1] Hệ fi (t ) độc lập tuyến tính điều kiện (2.1.11) (2.1.12) thỏa mãn Định lý 2.1.2 cho tiêu chuẩn điều khiển hồn tồn hệ khơng ơtơnơm (2.1.8) dạng ma trận điều khiển tích phân khơng suy biến Một câu hỏi đặt hệ khơng ơtơnơm (2.1.8) liệu có tiêu chuẩn hạng Kalman hay không? Dựa vào bổ đề chứng Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 23 minh định lý sau tính điều khiển hoàn toàn cho hệ (2.1.8) dạng tiêu chuẩn hạng Kalman Định lý 2.1.3 Giả sử ma trận A(t ), B (t ) hàm giải tích [t0 , ] Hệ (2.1.8) điều khiển hoàn toàn t2 [t0 , ) :rank[M (t2 ), M1(t2 ), , M n 1(t2 )] n (2.1.13) đó, M (t ) B(t ) M k 1(t ) A(t )M k (t ) d M k (t ), dt k 0,1, , n Chứng minh: Trước tiên ta nhận xét hệ thức sau thỏa mãn d k (t0 , t ) B(t ) dt k (t0 , t ) M k (t ), k 1, , n (t0 , t ) ma trận nghiệm hệ (2.1.8) Từ với tùy ý t0 , ta có t2 (t0 , t2 )[M (t2 ), M1(t2 ), , M n 1(t2 )] = d (t0 , t2 ) B (t2 ), (t0 , t ) B (t ) dt t dn t2 , , n (t0 , t ) B (t ) dt t t2 (2.1.14) [F (t2 ), F (t2 ), , F n 1(t2 )] , ký hiệu F (t ) (t0 , t ) B(t ) Gọi hàng ma trận F (t ) hàm fi (t ) , i 1,2, , n Bây ta giả sử hệ (2.1.8) GC ,thì theo định lý 2.1.2 ma trận khơng suy biến với t1 t0 Từ bổ đề 2.1.1 suy hệ (t0 , t1) fi (t ) độc lập tuyến tính [t0 , t1] Mặt khác, A(t ), B (t ) hàm giải tích nên hàm fi (t ) khả vi liên tục cấp vô hạn lần, áp dụng bổ đề 2.1.2, có t2 [t0 , t1] cho (2.1.14) thỏa mãn Theo đẳng thức (2.1.14) ta có Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 24 rank (t0 , t2 )[M (t2 ), M1(t2 ), , M n 1(t2 )] n Vì ma trận (t0 , t2 ) không suy biến nên (2.1.13) thỏa mãn, điều kiện cần định lý chứng minh Để chứng minh điều kiện đủ, ta giả thiết có điều kiện (2.1.13) Từ đẳng thức (2.1.14) suy rank[F (t2 ), F&(t2 ), , F n- 1(t2 )]= n Áp dụng bổ đề 2.1.3, 2.1.1, ma trận (t0 , t1) không suy biến điều khẳng định suy từ định lý (2.1.2) Định lý chứng minh Ví dụ 2.1.5 Xét hệ (2.1.8) A(t ) t2 t B (t ) t t t2 t Ta có M (t ) M1 (t ) t t2 B (t ) A(t ) M (t ) t t3 d M (t ) dt t 3t t t t3 t Vì rank[M (t ), M1(t )] 2, t [0, ) , nên theo định lý (2.1.3) hệ ĐKĐHT Ví dụ 2.1.6 Xét hệ (2.1.8) A(t ) t3 t B (t ) t t2 Ta có M (t ) M1 (t ) B (t ) A(t ) M (t ) t2 d M (t ) dt Số hóa trung tâm học liệu 2t t 2t http://lrc.tnu.edu.vn/ 25 Vì rank[M (t ), M1(t )] 2, t [0, ) nên theo định lý (2.1.3) hệ ĐKĐHT 2.2 Bài tốn điều khiển đƣợc cho hệ phƣơng trình vi phân có hạn chế điều khiển Trong phần trước chứng minh điều kiện tính điều khiển cho hệ tuyến tính khơng có hạn chế biến điều khiển, u (t ) L2 [0, ], R m Trong mục ta nghiên cứu tốn điều khiển cho hệ có hạn chế điều khiển dạng x (t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ), t (2.2.1) Rm , u (t ) x(t ) R n - véc tơ trạng thái, tập cho trước không gian biến điều khiển R m u (t ) L2 ([0, T ], R m ), T U 0, u (t ) Ký hiệu hàm số sau H ( y ) sup y, u hàm tựa y R m u t J (t , x0 , y) H ( B ( s) (t , s) y)ds , (t ,0) x0 , y (t , s ) ma trận nghiệm hệ tuyến tính x (t ) A(t ) x(t ) Định lý sau cho ta tiêu chuẩn ĐKĐV hệ (2.2.1) Định lý 2.2.1 Xét hệ (2.2.1) tập Trạng thái x0 R m lồi, compact R n điều khiển sau thời gian T J (T , x0 , y) 0, y Rn Số hóa trung tâm học liệu (2.2.2) http://lrc.tnu.edu.vn/ 26 Chứng minh: Theo định nghĩa tính ĐKĐHT 0, trạng thái x0 điều khiển sau thời gian T RT ( x0 ) (2.2.3) RT ( x0 ) tập đạt hệ từ x0 sau thời gian T xác định : T n RT ( x0 ) x R ,x (T ,0) x0 Rn (t , s ) B( s )u ( s )ds, u U tập lồi, compact yếu L2 [0, T ], R m , Vì U RT ( x0 ) (T ,0) x0 + lT (U ) , tốn tử lT : L2 Rn xác định T lT u (T , s) B( s)u ( s)ds, tốn tử tuyến tính liên tục, tập RT ( x0 ) tập lồi, đóng giới nội nên compact R n Theo định lý tách tập lồi R n , điều kiện (2.2.3) tương đương với điều kiện sup y, x 0, y Rn x RT ( x0 ) Vậy để chứng minh định lý ta cần chứng minh đẳng thức sup y, x J (T , x0 , y) x RT ( x0 ) Mặt khác, theo định nghĩa tập đạt RT ( x0 ) , để chứng minh đẳng thức ta cần chứng minh điều kiện T T H ( B (s) (T , s ) y )ds sup (T , s ) B ( s )u ( s ), y ds (2.2.4) u (.) uT Trước chứng điều kiện (2.2.4), ta nhận xét ánh xạ u  lT (u), y , với y Rn cố định tuyến tính liên tục, U Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 27 compact yếu L2 [0, T ], R m nên đạt cực đại tại điểm u* U cho sup lT (u ), y lT (u* ), y u (.) uT Đặt I 0, T , I n Với tùy ý v u (t ) R:t n I n t xác định điều khiển chấp nhận u u * (t ), t I \ In , v, t In U Khi dễ thấy u* ( s),( B (s) (T , s) y) ds In Gọi v,( B (s) (T , s) y ) ds In ( I n ) độ đo Lebeagues I n , ta có u* ( s),( B ( s) (T , s) y) ds (In ) I v,( B ( s) (T , s) y) ds (In ) I n n , với t [0,T ] : Cho n u* (t ),( B (t ) (T , t ) y ) v,( B (t ) Vì bất đẳng thức với v u* (t ),( B (t ) (T , t ) y) Mặt khác, u* (t ) H (T , t ) y ) , ta có v,( B (t ) (T , t ) y) , suy với t [0,T ] sup B (t ) (T , t ) y, u u* (t ),( B (t ) (T , t ) y) u Kết hợp hai bất đẳng thức cuối ta nhận u* (t ),( B (t ) Số hóa trung tâm học liệu (T , t ) y) H v,( B (t ) (T , t ) y) , t [0, T ] http://lrc.tnu.edu.vn/ 28 Bây lấy tích phân hai vế từ đến T ta nhận điều kiện (2.2.4) Định lý cho ta tiêu chuẩn để trạng thái cho điều khiển sau thời gian cố định cho trước Vấn đề cần nghiên cứu tìm điều kiện để hệ điều khiển hoàn toàn Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cần tìm R m lồi, compact Định lý 2.2.2 Xét hệ (2.2.1) tập Hệ (2.2.1) điều khiển hoàn toàn H B (t ) y(t ) dt , (2.2.5) với nghiệm không tầm thường y (t ) hệ tuyến tính liên hợp y (t ) A (t ) y(t ) (2.2.6) Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử hệ ĐKĐHT điều kiện (2.2.5) không thỏa mãn, tức tồn số (t ) , nghiệm (2.2.6) cho H B (t ) (t ) dt Đặt x0 (0) (0) ta chứng tỏ trạng thái x0 không điều khiển sau thời gian t , từ mâu thuẫn với tính ĐKĐHT hệ, suy điều kiện cần Do ta cần t , y0 Thật vậy, với t Rn , y0 0: J (t , x0 , y0 ) 0 tùy ý lấy y0 1(t ) (2.2.7) Ta có t J (t , x0 , y0 ) x0 , (t ,0) (t ) H ( B ( s) (t , s) mặt khác, ta có (t , s) Số hóa trung tâm học liệu 1(t ) 1( s), t s, http://lrc.tnu.edu.vn/ 1(t ))ds , 29 s ta có t J (t , x0 , y0 ) x0 , (0) H ( B (s) ( s )) ds Suy (2.2.7) Điều kiện cần chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử có điều kiện (2.2.5), hệ khơng ĐKĐHT R n dãy số Theo định lý (2.2.1), tìm trạng thái x0 tk , yk R n cho 0, yk J (tk , x0 , yk ) 0, k 1,2 Đặt (tk ,0) yk (tk ,0) yk k Ta thấy k ln xác định yk biến Nhận thấy 0, k ma trận (tk ,0) không suy 1, tồn dãy kn hội tụ đến Ta có t kn J (tkn , x0 , ykn ) x0 , H ( B ( s) (tkn , s) ykn )ds (tkn ,0) ykn Vì (tkn , s) (0, s) (tkn ,0) , nên tkn H ( B ( s) (0, s) (tkn ,0) ykn )ds x0 , (tkn ,0) ykn Chia hai vế bất đẳng thức cho (tkn ,0) ykn ta nhận t kn H ( B ( s) (0, s) kn )ds x0 , kn Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ (2.2.8) 30 Bây ta xét nghiệm hệ liên hợp  (t ) A (t ) (t ), (0) gọi thường, (t ) nghiệm không tầm Chú ý (0, s) cho n nghiệm hệ (t ) (0) 0, ( s) , 1(0) từ bất đẳng thức (2.2.5) ta có H B (s) 1(s) , ds từ suy điều mâu thuẫn với điều kiện (2.2.5) Định lý chứng minh Như để kiểm tra tính điều khiển hệ có ràng buộc hạn chế điều khiển, ta tính tích phân vơ hạn H B (t ) y (t ) dt nghiệm không tầm thường hệ liên hơp Nếu tích phân phân kỳ hệ ĐKĐHT 0, hội tụ nghiệm khơng tầm thường hệ khơng ĐKĐHT Xét hệ điều khiển dừng có hạn chế x (t ) Ax(t ) Bu (t ), t (2.2.9) Rm u (t ) x(t ) R n , tập lồi, , A, B ma trận số Xác định tập điều khiển hệ (2.2.9) sau: - Tập đạt được: R  Rt , t t Rt x e A(t s) B u ( s )ds, u (.) U - Tập điều khiển 0: C  Ct , t Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 31 t Ct x e As Bu ( s )ds, u (.) U Nhận xét: Ta dễ dàng kiểm tra số tính chất sau tập R C sau: P1 R C tập lồi R, C P2 Ct1 P3 t Ct2 , t2 0, e At R t1 R, e At C C Định lý sau cho ta tiêu chuẩn tính điều khiển hệ (2.2.9) Định lý 2.2.3 Giả sử tập lồi, hệ (2.2.9) đạt địa phương (ĐĐĐP) i) rank[ B, AB, , An 1B] n ii) Không tồn véc tơ riêng ma trận A , ứng với giá trị riêng thực, nằm nón đối cực dương ( B ) x R n , x, u (B ) u (B ) Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử hệ ĐĐĐP Khi hệ (2.2.9) với R m ĐĐHT Do định lý (2.1.1) , hệ khơng có hạn chế điều khiển ĐĐHT tương đương với điều kiện hạng Kalman i) Để điều kiện ii), giả sử phản chứng tồn véc tơ x ( B ) cho x0 A x0 R x0 , Vì hệ ĐĐĐP, tồn lân cận V (0) R , R tập đạt hệ (2.2.9) Từ suy với x Rn có x R tìm thời gian T u (.) U cho , điều khiển chấp nhận cho T e A(T x s) Bu ( s )ds Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 32 Vì x0 ( B ) , ta có x0 , x 1T x0 , x x0 , e A(T s) Bu ( s ) ds = T e (T s ) x0 , Bu ( s ) ds 0, 0 với x Rn Điều xảy chi ta nhận x0 , x x0 , mâu thuẫn với x0 Điều kiện đủ: Giả sử có điều kiện i) ii) Ta chứng minh hệ ĐĐĐP Trước tiên ta int R Thật vậy, từ điều kiện hạng Kalman i) suy hệ tuyến tính dừng khơng có hạn chế điều khiển: x (t ) Ax Bu , t u (t ) R k sp , x(t ) R n , k 0, (2.2.10) m n, ĐĐHT Do từ định lý phạm trù Baire, hệ ĐĐHT sau thời gian T Xét ánh xạ tuyến tính liên tục lT : L2 [0, T ], R k R n xác định T e A(T lT u s) Bu ( s )ds Vì tập đạt hệ (2.2.10), R(2.2.10) trùng với R n , nên ta có Im lT Rn , suy ánh xạ lT (.) ánh xạ tràn, theo định lý ánh xạ mở, ánh xạ mở Vì tập xét khơng gian R k sp tập lồi có phần không rỗng, kéo theo tập điều khiển chấp nhận UT u (t ) L2 [0,T ], Rk : u (t ) , t [0,T ] có phần khơng rỗng Do ta có int lT (UT ) Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 33 Vì lT (UT ) R - tập đạt hệ (2.2.9) với hạn chế u (t ) , nên ta , suy điều phải chứng minh Để kết thúc chứng minh định lý có int R làm sau: ký hiệu K R = x : x R, nón sinh tập đạt R Vì R theo P1, tập lồi nên nón K nón lồi Ngoài dễ kiểm tra int K e At K K, t [0,T ] Giả sử int R , theo định lý tách tập lồi suy K R n Áp dụng định lý Krein-Rutman cho hệ ma trận tự giao hốn e At , t [0, T ] tìm véc tơ chung e A t ssao cho x0 K , e A t x0 t x0 , t Lấy đạo hàm hai vế cho t x0 K , A x0 R, t [0,T ] ta có (0) x0 , (0) R Mặt khác, x0 (2.2.11) K , với x R ta có T x0 , e A(T s) Bu ( s ) ds 0, u (.) U s) Bu , s [0,T ] Từ suy x0 , e A(T 0, u Bây cho s T ta có x0 , Bu tức x0 0, u , ( B ) Kết hợp với (2.2.11) ta nhận điều mâu thuẫn với giả thiết ii) Vậy điều ta giả thiết int R sai, tức ta có int R , hệ ĐĐĐP Định lý chứng minh Ví dụ 2.2.1 Xét tính điều khiển hệ (2.2.9) Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 34 A , B 1 , ( x1, x2 ) R : x1 0, x2 R Ta có (B ) ( x1, x2 ) R : x1 R, x2 (B ) ( x1, x2 ) R : x1 0, x2 Do rank[ B, AB] 2, + Với ( A) 1 ta có 1 x1 x1 x2 x2 , suy x1 x2 x2 x1 x2 x2 x1 R Các véc tơ riêng A ứng với ( x1, x2 ) R : x2 + Với 0, x1 R ta có 1 x1 x1 x2 x2 , suy x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2 x2 R Các véc tơ riêng A ứng với ( x1, x2 ) R : x1 x2 , x2 R Như khơng có véc tơ riêng A ứng với ( A) nằm nón ( B ) Hệ ĐĐĐP Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 35 KẾT LUẬN Luận văn trình bày kiến thức hệ phương trình vi phân, kết tính điều khiển hệ phương trình vi phân tuyến tính Đóng góp luận văn là: Trình bày cách tổng quan toán điều khiển hệ điều khiển với thời gian liên tục rời rạc khác Các tiêu chuẩn điều kiện để hệ điều khiển từ đơn giản đến phức tạp điều khiển Phần nghiên cứu luận văn trình bày chương với kết quả: Đưa tiêu chuẩn điều khiển hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm (định lý 2.1.1) hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm (định lý 2.1.2, định lý 2.1.3), từ áp dụng vào toán điều khiển hệ liên tục rời rạc khác Đưa tiêu chuẩn điều khiển hệ phương trình vi phân tuyến tính có hạn chế biến điều khiển ( định lý 2.2.2, định lý 2.2.3) Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục, Hà Nội Tiếng Anh [3] J.Zabczyk(1992), Mathematical Control Theory: An Introduction, Birkhauser, Beclin [4] R.E.Kalman(1960), Contribution to the Theory of Optimal Control, Bol.Soc.Math Mexicana, vol.5, 102 – 119 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ... Bài toán điều khiển đƣợc hệ phƣơng trình vi phân 1.2.1 Bài toán điều khiển hệ liên tục 1.2.2 Bài toán điều khiển hệ rời rạc Chƣơng BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN ĐƢỢC HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN... CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 Hệ phƣơng trình vi phân 1.1.1 Hệ phương trình vi phân 1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm 1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính. .. SỞ TOÁN HỌC Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm tốn học sở hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính, nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính, lý thuyết điều khiển