Phân rã đa thức của nghiệm đủ tốt của phương trình vi phân nửa tuyến tính cấp phân thứ có điều kiện ban đầu không địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– VŨ THỊ BÍCH PHƯỢNG PHÂN RÃ ĐA THỨC CỦA NGHIỆM ĐỦ TỐT CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH CẤP PHÂN THỨ CĨ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— VŨ THỊ BÍCH PHƯỢNG PHÂN RÃ ĐA THỨC CỦA NGHIỆM ĐỦ TỐT CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH CẤP PHÂN THỨ CĨ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 Người hướng dẫn khoa học: TS ĐỖ VĂN LỢI THANH HÓA, 2019 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số · · · /QĐĐHHĐ ngày · · · tháng 11 năm 2019 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Chức danh Học hàm, học vị, Họ tên Cơ quan công tác hội đồng GS TSKH Chủ tịch PGS TS Phản biện PGS TS Phản biện PGS TS Ủy viên PGS TS Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày tháng 11 năm 2019 (ký, ghi rõ họ tên) TS Đỗ Văn Lợi * Có thể tham khảo luận văn Thư viện trường Bộ môn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành tác giả hướng dẫn khoa học TS Đỗ Văn Lợi Các kết trình bày luận văn trung thực, nội dung luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Vũ Thị Bích Phượng ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn TS Đỗ Văn Lợi Ngoài dẫn mặt khoa học, thầy động lực giúp tác giả tự tin say mê nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn kính trọng thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, phòng Quản lý Đào tạo Sau đại học, thầy cô giáo bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi trình học tập, nghiên cứu khoa học hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, mơn tốn trường THPT Chu Văn An - nơi tác giả công tác tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình cơng tác giảng dạy để có thời gian hợp lý hồn thành khóa học luận văn thạc sĩ Trong trình viết chỉnh sửa thảo luận văn, tác giả nhận quan tâm góp ý nhà khoa học, bạn bè đồng nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Thanh Hóa, tháng 10 năm 2019 Vũ Thị Bích Phượng iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Một số hàm đặc biệt giải tích phân thứ 1.1.1 Hàm Gamma hàm Beta 1.1.2 Hàm Mittag - Leffler Phép biến đổi Laplace phương trình vi phân thường 1.2.1 Định nghĩa số tính chất 1.2.2 Các ví dụ Phép biến đổi Laplace phương trình vi phân cấp phân thứ 12 1.3.1 Đạo hàm cấp phân thứ Caputo 12 1.3.2 Các ví dụ 13 Độ đo không compact 14 1.4.1 Các khái niệm 14 1.4.2 Độ đo không compact khơng gian C([0, T ]; X) 15 Tốn tử quạt tính quy nửa nhóm sinh toán tử quạt 17 Chương Phân rã đa thức nghiệm đủ tốt phương trình vi phân cấp phân thứ với điều kiện ban đầu không địa phương 19 2.1 Đặt vấn đề 19 2.2 Sự tồn nghiệm đủ tốt phân rã 19 2.3 Ví dụ 28 iv Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình vi phân nói chung, phương trình vi phân cấp phân thứ với điều kiện biên ban đầu khơng địa phương nói riêng mơ tả tượng vật lý [1], sinh học, xảy tự nhiên Nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân cho câu trả lời vật tượng mà mơ tả Với ý nghĩa đó, dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân dành quan tâm nhà tốn học ngồi nước Keyantuo, Lizama, Warma [2] nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa cấp phân thứ nửa tuyến tính có điều kiện biên ban đầu cổ điển Gần đây, [3] tác giả nghiên cứu tồn tính phân rã nghiệm số phương trình vi phân nửa tuyến tính cấp phân thứ có điều kiện biên khơng địa phương Việc nghiên cứu cách hệ thống đạo hàm cấp phân thứ, ứng dụng giải tích phân thứ vật lý, sinh học tồn tính chất phân rã đa thức nghiệm phương trình vi phân nửa tuyến tính cấp phân thứ ln mang tính thời sự, cấp thiết Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài “Phân rã đa thức nghiệm đủ tốt phương trình vi phân nửa tuyến tính cấp phân thức có điều kiện ban đầu khơng địa phương” Đối tượng nghiên cứu Phương trình vi phân cấp phân thứ với đạo hàm kiểu Caputo điều kiện biên khơng địa phương Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tồn nghiệm đủ tốt tính phân rã đa thức nghiệm đủ tốt phương trình vi phân nửa tuyến tính cấp phân thứ có điều kiện ban đầu không địa phương Phạm vi nghiên cứu Sự tồn nghiệm đủ tốt tính phân rã đa thức nghiệm Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu, seminar môn, nhóm hướng dẫn người hướng dẫn khoa học Ý nghĩa luận văn Luận văn góp phần bổ sung kết nghiên cứu tính chất định tính nghiệm phương trình vi phân cấp phân thứ Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên trung học, sinh viên học viên chuyên ngành Toán học Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương • Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm, kết sử dụng luận văn gồm: Một số hàm đặc biệt; đạo hàm cấp phân thứ; phép biến đổi Laplace ứng dụng phương trình vi phân thường, phương trình vi phân cấp phân thứ; định nghĩa tính chất độ đo khơng compact, tốn tử quạt, • Chương 2: Phân rã đa thức nghiệm đủ tốt phương trình vi phân nửa tuyến tính cấp phân thức có điều kiện ban đầu khơng địa phương Trong chương chúng tơi trình bày, chứng minh chi tiết tồn phân rã đa thức nghiệm đủ tốt phương trình vi phân nửa tuyến tính cấp phân thức có điều kiện ban đầu khơng địa phương phần phi tuyến không Lipschitz Chương 1.1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Một số hàm đặc biệt giải tích phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa tính chất số hàm đặc biệt thường xuất giải tích phân thứ Các kết mục trích dẫn từ [9] 1.1.1 Hàm Gamma hàm Beta Định nghĩa 1.1.1 ([9]) Hàm Gamma Γ(z) tích phân Z∞ Γ(z) = e−t t z−1 dt, ∀z : Rez > 0 Sau đây, số tính chất hàm Gamma Định lý 1.1.2 ([9]) Γ(1) = Chứng minh Theo định nghĩa hàm Gamma, ta có Z∞ Γ(1) = e−t dt ZB = lim B→∞ e−t dt = lim (1 − e−B ) = B→∞ Định lý 1.1.3 ([9]) Γ(z + 1) = zΓ(z) Chứng minh Ta có Z∞ Γ(z + 1) = t z e−t dt      u = tz  du = zt z−1 suy Đặt    dv = e−t dt  v = −e−t (1.1) Định nghĩa 1.1.7 Với hai số phức z, w thỏa mãn Rez > 0, Rew > 0, ta định nghĩa hàm Beta sau Z1 B(z, w) = t z−1 (1 − t)w−1 dt 1.1.2 Hàm Mittag - Leffler Định nghĩa 1.1.8 Hàm Mittag - Leffler hai tham số định nghĩa chuỗi zk Eα,β (z) = ∑ , α > 0, β > Γ(αk + β ) k=0 ∞ Từ định nghĩa ta có ∞ k z zk = ∑ Γ(k + 1) ∑ k! = ez k=0 k=0 ∞ E1,1 (z) = 1.2 1.2.1 (1.2) Phép biến đổi Laplace phương trình vi phân thường Định nghĩa số tính chất Trong phần này, chúng tơi trình bày khái niệm phép biến đổi Laplace ứng dụng việc giải số dạng phương trình vi phân Định nghĩa 1.2.1 Cho f hàm giá trị thực (hay phức) theo biến thời gian t > s tham số thực (hay phức) Biến đổi Laplace hàm f F(s) = L ( f (t)) = Z∞ e−st f (t)dt = lim Zτ τ→∞ 0 giới hạn vế phải tồn hữu hạn Ví dụ 1.2.2 Nếu f (t) ≡ với t > 0, ta có L ( f (t)) = Z∞ e−st 1dt τ  e−st = lim τ→∞ −s  −sτ  e = lim + τ→∞ −s s = s  e−st f (t)dt Do với s > s Ví dụ 1.2.3 Tương tự, với f (t) ≡ t n (t > 0) n = 1, 2, , ta có L (1) = L (t n ) = n! sn+1 (1.3) Định nghĩa 1.2.4 Một hàm f gọi liên tục khúc [0, ∞) (i) lim f (t) = f (0+ ) t→0+ (ii) f liên tục khoảng hữu hạn (0, b) trừ số hữu hạn điểm τ1 , τ2 , , τn thuộc (0, b) mà f gián đoạn bước nhảy Định nghĩa 1.2.5 Một hàm f gọi bị chặn mũ cấp α tồn số M > α cho với t0 > đó, | f (t)| Meαt , t > t0 Ví dụ 1.2.6 Hàm mũ eat bị chặn mũ cấp α = a, hàm t n bị chặn mũ cấp α với α > tùy ý Định lý sau tồn biến đổi Laplace ta giả sử tồn biến đổi Laplace hàm số xét luận văn Định lý 1.2.7 ([10]) Nếu f liên tục khúc [0, ∞) bị chặn mũ cấp α, biến đổi Laplace f tồn với Re(s) > α Định nghĩa 1.2.8 Nếu L ( f (t)) = F(s), biến đổi Laplace ngược f định nghĩa L −1 (F(s)) = f (t), t > ánh xạ biến biến đổi Laplace hàm trở thành Ví dụ 1.2.9 Từ ví dụ 1.2.2 1.2.3, ta có   L −1 = s L −1  sn+1  tn = n! (1.4) Định lý 1.2.10 ([10]) Giả sử hàm f (t), f (t), , f (n−1) (t) liên tục (0, ∞) bị chặn mũ, f (n) (t) liên tục khúc [0, ∞) Khi L ( f (n) (t)) = sn L ( f (t)) − sn−1 f (0+ ) − sn−2 f (0+ ) − − f (n−1) (0+ ) (1.5) Định lý 1.2.11 (Định lý dịch chuyển thứ nhất, [10]) Nếu F(s) = L ( f (t)) với Re(s) > 0, F(s − a) = L (eat f (t)) (a số thực đó, Re(s) > a) Ví dụ 1.2.12 Do L (t) = nên L (teat ) = (Re(s) > 0) s2 (Re(s) > a) (s − a)2 Tổng quát, ta có L (t n eat ) = n! (Re(s) > a) (s − a)n+1 Từ đó, suy L −1  (s − a)n+1  = n at t e , n! t > (1.6) Định lý 1.2.13 (Định lý dịch chuyển thứ hai, [10]) Nếu F(s) = L ( f (t)), L (ua (t) f (t − a)) = e−as F(s) ua (t) =   1 t >a  0 t Định lý 1.2.15 (Định lý tích chập, [10]) Cho g, h hàm liên tục khúc [0, ∞) bị chặn mũ cấp α Khi L [(g ∗ h)(t)] = L (g(t)).L (h(t)) (h ∗ g)(t) = Zt h(τ)g(t − τ)dτ Nhận xét 1.2.16 Ta dễ dàng kiểm tra L −1 [L (h(t)).L (g(t))] = L −1 L [(h ∗ g)(t)] = (h ∗ g)(t) (1.8) 1.2.2 Các ví dụ Tiếp theo, ta sử dụng phép biến đổi Laplace đề giải phương trình vi phân thường theo bước sau: • Tác động phép biến đổi Laplace lên vế phương trình vi phân xét • Ta phương trình L (y) = F(s), F(s) biểu thức đại số theo biến s • Tác động phép biến đổi Laplace ngược lên đẳng thức thu bước trên, suy nghiệm y = L −1 (F(s)) Ví dụ 1.2.17 Giải phương trình vi phân y000 + y00 = et + t + với điều kiện ban đầu y(0) = y0 (0) = y00 (0) = Lời giải Lấy phép biến đổi Laplace hai vế phương trình cho ta L (y000 ) + L (y00 ) = L (et ) + L (t) + L (1), Sử dụng (1.5) ta 3  s L (y) − s2 y(0) − sy0 (0) − y00 (0)   + s2 L (y) − sy(0) − y0 (0) = 1 + 2+ s−1 s s Theo ra, ta 2s2 − s L (y) + s L (y) = s (s − 1) hay 2s2 − L (y) = s (s + 1)(s − 1) Ta phân tích 2s2 − A B C D E F = + + + + + s4 (s + 1)(s − 1) s s2 s3 s4 s + s − Đồng hệ số hai vế đẳng thức ta 1 A = 0, B = −1,C = 0, D = 1, E = − , F = 2 10 hay 2s2 − 1 1 =− 2+ 4− + s (s + 1)(s − 1) s s 2(s + 1) 2(s − 1) Tác động Laplace ngược lên hai vế đẳng thức vừa thu được, ta suy   1 1 y = L −1 − + − + s s 2(s + 1) 2(s − 1) hay 1 y = −t + t − e−t + et 2 Ví dụ 1.2.18 Giải phương trình vi phân y00 + y = e−t với y(0) = y0 , y0 (0) = y1 Lời giải Tác động phép biến đổi Laplace lên hai vế phương trình y00 + y = e−t sử dụng (1.5) ta s2 L (y) − sy(0) − y0 (0) + L (y) = L (e−t ), hay L (y) = sy0 y1 + + (s + 1)(s2 + 1) s2 + s2 + Từ đó, ta có     s 1 1 L (y) = + y0 − + y1 + 2 2s+1 s +1 s +1 Suy ra,     −t 1 y = e + y0 − cost + y1 + sint 2 hay, tổng quát y = A cost + B sint + e−t Ví dụ 1.2.19 Giải hệ phương trình vi phân    dx = −y dt dy   =x dt với điều kiện ban đầu x(0) = 1, y(0) = 11 Lời giải Tác động biến đổi Laplace lên hai vế phương trình vi phân hệ, ta có L (x0 ) = −L (y) hay sL (x) − = −L (y) L (y0 ) = −L (x) hay sL (y) = L (x) (ở đây, ta có sử dụng điều kiện x(0) = 1, y(0) = 0) Khi đó, s2 L(x) − s = −sL (y) = −L (x) hay L (x) = s s2 + Tác động biến đổi Laplace ngược lên đẳng thức ta x = cost Từ y = −x0 suy y = sint Ví dụ 1.2.20 Giải hệ phương trình vi phân   x + y0 + x + y =  x0 + y = et với điều kiện ban đầu x(0) = −1, y(0) = Lời giải Tác động biến đổi Laplace lên phương trình thứ nhất, ta sL (x) + + sL (y) − + L (x) + L (y) = (1.9) s Tương tự, từ phương trình thứ hai, ta có sL (x) + + L (y) = (1.10) s−1 Từ (1.9) (1.10) ta có −s2 + s + L (x) = s(s − 1)2 hay L (x) = − + s s − (s − 1)2 Từ đó, lấy biến đổi Laplace ngược ta có x(t) = − 2et + tet , suy y(t) = 2et − tet 12 1.3 1.3.1 Phép biến đổi Laplace phương trình vi phân cấp phân thứ Đạo hàm cấp phân thứ Caputo Định nghĩa 1.3.1 Cho hàm f ∈ CN (R+ ; X), đạo hàm Caputo cấp α với giới hạn định nghĩa  Rt    (t − s)N−α−1 f (N) (s)ds, α ∈ (N − 1, N), Γ(N−α) Dα0 f (t) =    f (N) (t), α = N Sau đây, ta nhắc lại số tính chất đạo hàm Caputo Định lý 1.3.2 Cho α > tùy ý, k số Ta có Dα0 k = (1.11) Chứng minh Với α > tồn N ∈ N cho N − < α ≤ N Hiển nhiên, k(N) = nên suy Dα0 k = Định lý 1.3.3 Cho N ∈ N, giả sử N − < α < N Khi    Γ(β + 1) t β −α , β > N − Γ(β − α + 1) Dα0 t β =  0 β ≤ N −
(N) = ta suy Dα0 t β = Chứng minh Khi β ≤ N − 1, t β Khi β > N − 1, ta có Dα0 t β = Γ(N − α) = Γ(N − α) Zt (1.12) (t − s)N−α−1 f N (sβ )ds Zt (t − s)N−α−1 Γ(β + 1) β −N s ds Γ(β − N + 1) Sử dụng phép đổi biến s = tu, ta Dα0 t β Γ(β + 1) = Γ(N − α)Γ(β − N + 1) Z1 [(1 − t)u]N−α−1 (tu)β −N tdu Γ(β + 1) t β −α B (β − N + 1, N − α) Γ(N − α)Γ(β − N + 1) Γ(β + 1) Γ(β − N + 1)Γ(N − α) Γ(β + 1) β −α = t β −α = t Γ(N − α)Γ(β − N + 1) Γ(β − α + 1) Γ(β − α + 1) = 13 Định lý 1.3.4 Cho N ∈ N, giả sử N − < α < N a ∈ R Khi Dα0 eat = aN t N−α E1,N−α+1 (at) (1.13) Chứng minh Ta có Dα0 eat = t −α E1,1−α (at) − N−1 t k−α ∑ Γ(k + − α) ak k=0 N−1 akt k−α (at)kt −α − ∑ ∑ k=0 Γ(k + − α) k=0 Γ(k + − α) ∞ = akt k−α = ∑ k=N Γ(k + − α) ∞ ak+N t k+N−α ∑ Γ(k + N + − α) = aN t N−α E1,N−α+1(at) k=0 ∞ = Lúc này, với N − < α < N, theo [9] (Công thức 2.253) ta có L N−1 (Dα0 α f (t)) = s F(s) − ∑ sα−k−1 f (k)(0) (1.14) k=0 1.3.2 Các ví dụ Tiếp theo, ta trình bày số ví dụ sử dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân cấp phân thứ với đạo hàm dạng Caputo Ví dụ 1.3.5 Cho < α < 2, giải phương trình Dα0 x(t) + ax(t) = 0, x(0) = C, x0 (0) = D Lời giải Lấy phép biến đổi Laplace phương trình cho ta có L (Dα0 x(t)) + aL (x(t)) = Sử dụng (1.14) ta s L (x) − ∑ sα−k−1 x(k) (0) + aL (x) = α k=0 hay sα L (x) − sα−1 x(0) − sα−2 x0 (0) + aL (x) = 14 Suy ra, sα−1 sα−2 L (x) = C α +D α s +a s +a Lấy phép biến đổi Laplace ngược (1.15) ta (1.15) x(t) = C.Eα,1 (−at α ) + D.tEα,2 (−at α ) Ví dụ 1.3.6 Cho < α < 2, giải phương trình x00 (t) − aDα0 x(t) − bx(t) = c, x(0) = 0, x0 (0) = Lời giải Lấy phép biến đổi Laplace phương trình cho ta có
c s2 L (x) − sx(0) − x0 (0) − a sα L (x) − sα−1 x(0) − sα−2 x0 (0) − bL (x) = s hay c s2 L (x) − asα L (x) − bL (x) = s Suy ra, cs−1 L (x) = s − asα − b Lấy phép biến đổi Laplace ngược ta k bm akCm+k t k(2−α)+2m x(t) = ct ∑ ∑ m=0 k=0 Γ (k(2 − α) + 2(m + 1) + 1) 1.4 ∞ ∞ Độ đo không compact Cho X không gian Banach thực Ta ký hiệu MX họ tập khác rỗng bị chặn X, NX họ tập compact tương đối X 1.4.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.4.1 Hàm µ : MX → R+ gọi độ đo không compact không gian X µ thỏa mãn điều kiện sau (i) Tập Ker µ = {E ∈ MX : µ(E) = 0} khác rỗng Ker µ ⊂ NX ; (ii) E ⊂ F ⇒ µ(E) µ(F); 15 (iii) µ(E) = µ(E); (iv) µ(convE) = µ(E); (v) µ (λ E + (1 − λ )F) λ µ(E) + (1 − λ )µ(F) với λ ∈ [0, 1]; (vi) Nếu {En } dãy tập đóng thuộc MX cho En+1 ⊂ En với n = 1, 2, · · · lim µ(En ) = E∞ = n→∞ ∞ T En khác rỗng n=1 Định nghĩa 1.4.2 Cho µ độ đo khơng compact khơng gian Banach X Ta nói µ là: (i) (homogeneous) µ(λ E) = |λ |µ(E), λ ∈ R; (ii) cộng tính µ(E + F) µ(E) + µ(F); (iii) tuyến tính µ cộng tính; (iv) có tính chất "max" µ(E ∪ F) = max {µ(E), µ(F)} Định nghĩa 1.4.3 Một độ đo tuyến tính khơng compact µ có tính chất "max" cho Ker µ = NX gọi độ đo quy Định nghĩa 1.4.4 Cho X không gian Banach, độ đo Hausdorff không compact χ xác định χ(E) = inf {ε > : E có ε − lưới hữu hạn X} 1.4.2 Độ đo không compact không gian C([0, T ]; X) Ta ký hiệu họ tập khác rỗng bị chặn X BX , chuẩn không gian C([0, T ]; X) k · k, với kuk = sup ku(t)k t∈[0,T ] Hơn nữa, ký hiệu χ(·) độ đo Hausdorff tập không compact định nghĩa sau χ(Ω) = inf{ε > : Ω có ε − lưới hữu hạn} (1.16) 16 với Ω ∈ BX Cho T > 0, χT độ đo Hausdorff tập không compact C([0, T ]; X) Ta có (xem [5]): với tập bị chặn D ⊂ C([0, T ]; X), ta có • χ(D(t)) ≤ χT (D) với t ∈ [0, T ], D(t) = {x(t) : x ∈ D} • Nếu D tập đồng liên tục [0, T ], χT (D) = sup χ(D(t)) t∈[0,T ] Xét không gian BC(R+ ; X) gồm hàm liên tục bị chặn R+ nhận giá trị X Ký hiệu πT toán tử rút gọn không gian này, tức πT (u) rút gọn u [0, T ] Khi
χ∞ (D) = sup χT πT (D) , D ⊂ BC(R+ ; X), (1.17) T >0 độ đo không compact Ta xây dựng độ đo khơng compact sau dT (D) = sup sup ku(t)k, (1.18) u∈D t≥T d∞ (D) = lim dT (D), (1.19) χ ∗ (D) = χ∞ (D) + d∞ (D) (1.20) T →∞ Khi đó, tính quy độ đo khơng compact χ ∗ chứng minh [3, Lem 2.6] Tiếp theo, ta cần số ước lượng độ đo không compact Với độ đo không compact Hausdorff χ thuộc X, ta định nghĩa độ đo không compact χ0 sau χ0 (Ω) = sup{χ(D) : D ∈ ∆(Ω)}, ∆(Ω) họ tập đếm Ω (xem [2]) Ta có χ(Ω) ≤ χ0 (Ω) ≤ χ(Ω), với tập bị chặn Ω ⊂ X Lúc này, Mệnh đề 1.4.5 Giả sử χ độ đo không compact Hausdorff không gian Banach X, Ω ∈ BX Khi đó, tồn dãy {xn }∞ n=1 ⊂ Ω cho
χ(Ω)62χ {xn }∞ (1.21) n=1 + ε, ∀ε >