Sự tồn tại và tính chính quy của nghiệm đối với một lớp phương trình vi tích phân có điều kiện ban đầu không địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– HOÀNG THỊ LAN SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN CĨ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HÓA, NĂM 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– HỒNG THỊ LAN SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN CĨ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng THANH HÓA, NĂM 2022 Danh sách Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ khoa học Theo Quyết định số 1240/QĐ-ĐHHĐ ngày 13 tháng năm 2022 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức Học hàm, học vị, Họ tên Chức danh Cơ quan công tác hội đồng TS Hoàng Nam Trường Đại học Hồng Đức Chủ tịch HĐ GS TSKH Vũ Ngọc Phát Viện Toán học - Viện HLKHCNVN UV Phản biện TS Đỗ Văn Lợi Trường Đại học Hồng Đức UV Phản biện PGS TS Trần Đình Kế Trường ĐHSP Hà Nội Ủy viên TS Mai Xuân Thảo Hội Toán học Việt Nam UV Thư ký Xác nhận Người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng Ngày 18 tháng năm 2022 GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Hồng Thị Lan i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Ngoài dẫn mặt khoa học, thầy động lực giúp tác giả tự tin say mê nghiên cứu Tác giả bày tỏ lịng biết ơn kính trọng thầy Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, phịng QLĐTSĐH, mơn Giải tích - PPGD Tốn, TS Lê Anh Minh, thầy giáo bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập, nghiên cứu khoa học hoàn thành luận văn Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, mơn Tốn trường THPT Bỉm Sơn - nơi tác giả công tác tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình cơng tác giảng dạy để có thời gian hợp lý hồn thành khóa học luận văn thạc sĩ Trong trình viết chỉnh sửa thảo luận văn, tác giả nhận quan tâm góp ý nhà khoa học, bạn bè đồng nghiệp Tác giả chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Thanh Hóa, tháng năm 2022 Hồng Thị Lan ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Chữ viêt tắt ký hiệu iv Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn 3 1.2 Một số khái niệm tơ pơ hình học khơng gian định chuẩn 1.3 Tốn tử tuyến tính 1.4 1.5 Nửa nhóm liên tục mạnh Nửa nhóm tích phân Chương Sự tồn tính quy nghiệm số lớp phương trình vi tích phân có điều kiện ban đầu khơng địa phương 12 2.1 Trường hợp miền xác định toán tử A trù mật 12 2.1.1 2.1.2 2.2 Họ toán tử giải 12 Sự tồn tính quy nghiệm 14 2.1.3 Ví dụ 26 Trường hợp miền xác định tốn tử A khơng trù mật 27 2.2.1 2.2.2 Họ tốn tử giải tích phân 28 Sự tồn tính quy nghiệm 32 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 iii CHỮ VIẾT TẮT, KÝ HIỆU N: Tập số tự nhiên R: Tập số thực C: Tập số phức X : Khơng gian Banach D(A): miền xác định tốn tử tuyến tính A C([a, b]; X): khơng gian hàm nhận giá trị X liên tục [a, b] C ([a, b]; X): không gian hàm nhận giá trị X khả vi liên tục [a, b] iv MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Điều kiện không địa phương hệ động lực đóng vai trị quan trọng toán vật lý Điều kiện mang đến nhiều ứng dụng thực tiễn điều kiện ban đầu cổ điển u(0) = u0 Chẳng hạn, ta cần xác định đại lượng vật lý toán hấp thụ nhiệt tượng khuếch tán khí ga ống mỏng Bài tốn tồn nghiệm số dạng phương trình vi phân (phương trình vi tích phân) có điều kiện ban ban đầu không địa phương nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước Tuy nhiên, kết cịn mang tính đơn lẻ chưa có hệ thống nhiều câu hỏi mở chưa giải đáp Do đó, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu luận văn “Sự tồn tính quy nghiệm lớp phương trình vi tích phân có điều kiện ban đầu không địa phương” Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu tồn tính quy nghiệm phương trình vi tích phân có điều kiện ban đầu không địa phương dạng  Zt     u′ (t) = Au(t) + B(t − s)u(s)ds + f (t, u(t)), với t ∈ [0, a],     u(0) = u0 + g(u), hai trường hợp • Tốn tử tuyến tính A có miền xác định trù mật toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh • Tốn tử tuyến tính A có miền xác định khơng trù mật thỏa mãn điều kiện Hille - Yosida Đối tượng nghiên cứu • Phương trình vi tích phân có điều kiện ban đầu khơng địa phương khơng gian Banach • Họ tốn tử giải, họ tốn tử giải tích phân Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tồn tính quy nghiệm phương trình vi tích phân khơng địa phương Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, seminar mơn, nhóm hướng dẫn người hướng dẫn khoa học Sử dụng phương pháp, kỹ thuật, kết giải tích hàm, phương trình vi phân Ý nghĩa luận văn Luận văn tổng hợp trình bày cách chi tiết, có hệ thống mở rộng số tính chất tồn tính quy nghiệm lớp phương trình vi tích phân Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho học viên cao học ngành Toán Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm hai chương • Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày hệ thống khái niệm kết sử dụng luận văn bao gồm: khơng gian định chuẩn, tốn tử tuyến tính khơng gian định chuẩn, • Chương Sự tồn tính quy nghiệm số lớp phương trình vi tích phân có điều kiện ban đầu khơng địa phương Chương nội dung luận văn Trong chương này, chúng tơi trình bày kết tồn tính quy nghiệm phương trình vi tích phân có miền xác định trù mật Sau đó, chúng tơi mở rộng, nghiên cứu tốn trường hợp miền xác định phần tuyến tính khơng trù mật Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất tốn tử tuyến tính khơng gian định chuẩn, nửa nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm tích phân 1.1 Khơng gian định chuẩn Trong luận văn này, ta ký hiệu tập số phức C, tập số thực R K tập số thực tập số phức Định nghĩa 1.1.1 ([7]) Cho X K - không gian véctơ Một chuẩn X hàm x 7→ ∥x∥ từ X vào R thỏa mãn điều kiện sau với x, y ∈ X , λ ∈ K (i) ∥x∥ ≥ 0, ∥x∥ = x = 0, (ii) ∥λx∥ = |λ| · ∥x∥, (iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ Định nghĩa 1.1.2 ([7]) Một dãy (xn )∞ n=1 phần tử thuộc X gọi hội tụ mạnh (hội tụ theo chuẩn) đến x ∈ X lim ∥xn − x∥ = n→∞ Định nghĩa 1.1.3 ([7]) Một dãy (xn )∞ n=1 phần tử thuộc X gọi dãy (dãy Cauchy) ∥xn − xm ∥ → m, n → ∞ Định nghĩa 1.1.4 ([7]) Nếu dãy gồm phần tử thuộc X hội tụ đến phần tử thuộc X , X gọi khơng gian Banach Ví dụ 1.1.5 (Ví dụ không gian Banach) Các không gian sau không gian Banach i) Không gian ℓp (1 ≤ p < ∞) gồm tất dãy số x = (xk )∞ k=1 thỏa mãn ∥x∥ = ∞ X k=1 !1/p |xk |p < ∞ Sử dụng Bổ đề Gronwall (Bổ đề 1.5.8) ta w(t) = u(t) với t ∈ [0, a] Như u khả vi liên tục [0, a] hàm t → f (t, u(t)) khả vi liên tục [0, a] Từ suy u nghiệm chặt phương trình (2.1) [0, a] Tiếp theo, ta chứng minh tồn nghiệm nhẹ với giả thiết yếu so với điều kiện Lipschitz Cụ thể, giả sử rằng: (H8 ): Với t > T (t) tốn tử compact (H9 ): Với t ∈ [0, a], hàm f (t, ) : X → X liên tục với u ∈ X , hàm f (., u) : [0, a] → X đo (H10 ): Tồn hàm liên tục ρ : [0, a] → R+ hàm liên tục không giảm Ω : R+ → R+ cho |f (t, u)| ≤ ρ(t)Ω(|u|) với t ∈ [0, a] u ∈ X (H11 ): Hàm g : C([0, a]; X) → X compact tồn N > cho |g(u)| ≤ N với u ∈ C([0, a]; X) Bổ đề 2.1.13 ([6]) Tồn số H = H(a) cho |R(s + h) − R(h)R(s)| ≤ Hh với < h ≤ s ≤ a Định lý 2.1.14 ([6]) Giả sử với t > T (t) compact Khi đó, tốn tử giải R(t) tương ứng phương trình (2.3) compact liên tục Định lý 2.1.15 ([8]) Giả sử điều kiện (H1 ) − (H4 ) điều kiện (H8 ) − (H11 ) thỏa mãn Khi đó, Za ρ(s)ds < Ma Z∞ ds , Ω(s) (2.7) tốn khơng địa phương (2.1) có nghệm nhẹ [0, a] Chứng minh Ta xét toán tử Q : C([0, a]; X) → C([0, a]; X) cho Zt (Qu)(t) = R(t) [u0 + g(u)] + R(t − s)f (s, u(s))ds với t ∈ [0, a] Sử dụng bổ đề Leray-Schauder (Bổ đề 1.3.7) ta Q có điểm bất động Cụ thể, ta chứng minh qua ba bước sau: 19 Bước Chứng minh ξ(Q) bị chặn Cho u ∈ ξ(Q) λ ∈ (0, 1) thỏa mãn u = λQu Khi Zt u(t) = λR(t) [u0 + g(u)] + λ R(t − s)f (s, u(s))ds với t ∈ [0, a] Từ giả thiết (H10 ) (H11 ), ta có |u(t)| ≤ Ma [|u0 | + N ] + Ma Zt ρ(s)Ω(|u(s)|)ds (2.8) Ta đặt z(t) := Ma [|u0 | + N ] + Ma Zt ρ(s)Ω(|u(s)|)ds Khi z ′ (t) = Ma ρ(t)Ω(|u(t)|) với t ∈ [0, a] z(0) = Ma [|u0 | + N ] Theo (2.8), ta có |u(t)| ≤ z(t) với t ∈ [0, a] Do z ′ (t) ≤ Ma ρ(t)Ω(z(t)) với t ∈ [0, a] Lấy tích phân hai vế [0, t] ta Zt z ′ (s)) ds ≤ Ω(z(s)) Zt Ma ρ(s)ds 0 tương đương với Ma Zz(t) ds ≤ Ω(s) Zt ρ(s)ds, z(0) Sử dụng công thức (2.7) ta suy Ma Zz(t) z(0) ds ≤ Ω(s) Za ρ(s)ds < Ma Z∞ ds Ω(s) Như vậy, tồn số dương ν không phụ thuộc a, ρ Ω cho |u(t)| ≤ v với u ∈ ξ(Q) Nói cách khác, ξ(Q) bị chặn 20 Bước Chứng minh Q liên tục C([0, a]; X) Giả sử (un )n∈N dãy phần tử thuộc C([0, a]; X) thỏa mãn lim un = u ∈ C([0, a]; X) Từ giả thiết (H9 ) ta suy n→∞ lim f (s, un (s)) = f (s, u(s)), với s ∈ [0, a] n→∞ Do đó,  |Qun − Qu| ≤ Ma |g (un ) − g(u)| + Za  |f (s, un (s)) − f (s, u(s))| ds Lúc này, tính liên tục g sử dụng định lý hội tụ trội Lesbegue, ta lim Qun = Qu ∈ C([0, a]; X), n→∞ có nghĩa Q liên tục C([0, a]; X) Bước Chứng minh Q biến tập bị chặn tùy ý thành tập compact Để chứng minh điều ta sử dụng Định lý Ascoli-Arzela Giả sử B ⊂ C([0, a]; X) tập bị chặn Khi a Tập {(Qu)(t) : u ∈ B} compact tương t ∈ [0, a] Khi t = 0, theo giả thiết (H11 ) ta thấy {(Qu)(0) : u ∈ B} = {u0 + g(u) : u ∈ B} tập compact tương đối Với < t ≤ a u ∈ B , ta có (Qu)(t) = (Q1 u) (t) + (Q2 u) (t), (Q1 u) (t) = R(t) [u0 + g(u)] Zt (Q2 u) (t) = R(t − s)f (s, u(s))ds Sử dụng giả thiết (H8 ) Định lý 2.1.14 ta Q1 toán tử compact Tiếp theo, sử dụng Bổ đề 1.3.6 ta có α ((Q1 B) (t)) = 21 Tiếp theo, ta Q2 toán tử compact Giả sử < ε < t Khi Zt−ε Zt R(t − s)f (s, u(s))ds (Q2 u) (t) = R(t − s)f (s, u(s))ds + t−ε Zt−ε [R(t − s) − R(ε)R(t − s − ε)]f (s, u(s))ds = Zt−ε Zt + R(ε) R(t − s − ε)f (s, u(s))ds + R(t − s)f (s, u(s))ds t−ε := (Q2,1 u) (t) + (Q2,2 u) (t) + (Q2,3 u) (t) Từ Bổ đề 2.1.13 giả thiết (H10 ) ta có Zt−ε |R(t − s) − R(ε)R(t − s − ε)||f (s, u(s))|ds |(Q2,1 u) (t)| ≤ Zt−ε ≤ εH ρ(s)Ω(|u(s)|)ds ≤ εHb1 , với b1 số Như vậy, sử dụng Bổ đề 1.3.6, ta α ((Q2,1 B) (t)) ≤ 2εHb1 Hơn nữa, R(ε) toán tử compact nên (Q2,2 B) (t) tập compact tương đối X , theo Bổ đề 1.3.6 ta thấy α ((Q2,2 B) (t)) = Từ giả thiết (H10 ) ta suy tồn số dương b2 cho |(Q2,3 u) (t)| ≤ Ma Zt ρ(s)Ω(|u(s)|)ds ≤ εb2 t−ε Suy ra, α((QB)(t)) ≤ α ((Q1 B) (t)) + α ((Q2,1 B) (t)) + α ((Q2,2 B) (t)) + α ((Q2,3 B) (t)) 22 ≤ 2εHb1 + 2εb2 Cho ε → 0, ta α((QB)(t)) = hay {(Qu)(t) : u ∈ B} tập compact tương đối X với t ∈ [0, b] b Tập {Qu : u ∈ B} đồng liên tục [0, a] Trước hết, ta thấy {Q1 u = R(.) (u0 + g(u)) : u ∈ B} , đồng liên tục [0, a] Thật vậy, với t = t′ > 0, ta có (Q1 u) (t′ ) − (Q1 u) (0) = (R (t′ ) − I) (u0 + g(u)) Do g compact, nên sử dụng Định lý Banach Steinhaus ta thấy R (t′ ) → I tập compact t′ → Với < t < t′ ≤ a, |(Q1 u) (t′ ) − (Q1 u) (t)| = |(R (t′ ) − R(t)) (u0 + g(u))| ≤ |(R (t′ ) − R(t)) (|u0 | + N )| Sử dụng tính liên tục mạnh toán tử giải R(.), ta |(Q1 u) (t′ ) − (Q1 u) (t)| → t′ → t Do {Q1 u = R(t) (u0 + g(u)) : u ∈ B} , đồng liên tục [0, a] Tiếp theo, ta   Zt   Q u = R(t − s)f (s, u(s))ds : u ∈ B   đồng liên tục Cho t = t′ > Khi |(Q2 u) (t′ ) − (Q2 u) (0)| ≤ Zt′ |R (t′ − s)| |f (s, u(s))|ds ≤ Ma Zt′ ρ(s)Ω(|u(s)|)ds 23 Do hàm s 7→ ρ(s)Ω(|u(s)|) thuộc L1 , nên |(Q2 u) (t′ ) − (Q2 u) (0)| hội tụ đến độc lập với u ∈ B t′ → Nói cách khác, {Q2 u : u ∈ B} đồng liên tục t = Với < t < t′ ≤ a ta có |(Q2 u) (t′ ) − (Q2 u) (t)| ≤ Zt′ |R (t′ − s)| |f (s, u(s))|ds t Z t + |(R (t′ − s) − R(t − s))| |f (s, u(s))|ds Do |R (t′ − s) − R(t − s)| → t′ → t với hầu hết s ̸= t hàm s 7→ R (t′ − s) f (s, u(s)) thuộc không gian L1 , nên sử dụng định lý hội tụ trội Lesbegue ta Zt |R (t′ − s) − R(t − s)| | f (s, u(s) | ds → t′ → t ˜ > cho Hơn nữa, tồn M Zt ˜ |R (t′ − s) − R(t − s)|·|f (s, u(s))|ds ≤ M Zt |R(t′ −s)−R(t−s)|ρ(s)ds 0 Do Zt sup u∈B |R (t′ − s) − R(t − s)| |f (s, u(s))|ds → t′ → t hay {Q2 u : u ∈ B} tập đồng liên tục Sử dụng định lý Arzela-Ascoli ta {Qu : u ∈ B} compact tương đối C([0, a], X) Như vậy, theo Bổ đề 1.3.7 tốn tử Q có điểm bất động thuộc vào B điểm bất động nghiệm nhẹ phương trình (2.1) [0, a] Tiếp theo, ta xét tốn khơng địa phương (2.1) với điều kiện khơng địa phương có dạng đặc biệt g(u) = p X i=1 24 Gi u (ti ) , Gi , i = 1, , p, toán tử từ X vào X thỏa mãn |Gi x − Gi y| ≤ κi |x − y| với x, y ∈ X, κi , i = 1, , p số dương đó, t1 < < số thực cho trước thuộc [0, a] Định lý 2.1.16 ([8]) Giả sử điều kiện (H5 ) thỏa mãn M Lf a < Hơn nữa, ta giả sử β < 0, β + M Lf < M p X κi e(β+M Lf )ti < i=1 Khi đó, tốn khơng địa phương (2.1) có nghiệm nhẹ [0, a] Chứng minh Cho v ∈ X Sử dụng định lý điểm bất động Banach, ta suy tồn hàm u(., v) : [0, a] → X thỏa mãn Zt u(t, v) = R(t)v + R(t − s)f (s, u(s, v))ds với t ∈ [0, a] Lúc này, ta xây dựng toán tử Λ : X → X công thức p X Λv = v0 + Gi u (ti , v) i=1 Ta Λ có điểm bất động Thật vậy, với v, v ′ ∈ X ta có p p X X ′ ′ |Λv − Λv | = Gi u (ti , v) − Gi u (ti , v )