Định lý tồn tại và duy nhất của bài toán ba điểm biên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Ấn ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA BÀI TOÁN BA ĐIỂM BIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Ấn ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA BÀI TOÁN BA ĐIỂM BIÊN Chun ngành : Tốn Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, xin vô cảm ơn PGS.TS Lê Hồn Hố, TS Nguyễn Văn Đơng TS Lê Thị Phương Ngọc cung cấp tài liệu, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Giảng Viên thuộc hai trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh nhiệt tình giảng dạy, hướng dẫn suốt trình học tập Xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Chuyên Viên thuộc Phịng Khoa Học Cơng Nghệ-Sau Đại Học trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi hồn thành khố học Cuối cùng, xin cảm ơn bạn học viên lớp gắn bó, giúp đỡ tơi hồn thành nhiệm vụ Tp.Hồ Chí Minh, tháng năm 2009 Tác giả, Nguyễn Ngọc Ấn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương : GIỚI THIỆU BÀI TOÁN Chương : SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BA ĐIỂM BIÊN 2.1 Giới thiệu toán 2.2 Kiến thức bổ trợ 2.3.Sự tồn nghiệm 2.4.Sự nghiệm 14 2.5.Ví dụ 20 Chương 3: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM DƯƠNG CỦA BÀI TOÁN BA ĐIỂM BIÊN 21 3.1 Giới thiệu toán 21 3.2 Kiến thức bổ trợ 22 3.3 Sự tồn nghiệm dương 31 3.4 Sự tồn vô số nghiệm dương 39 3.5 Sự tồn nghiệm dương 41 3.6.Ví dụ 44 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 MỞ ĐẦU Phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng có nhiều ứng dụng thực tiễn, áp dụng nhiều lĩnh vực y học, xây dựng, kiến trúc, điện tử … Bài toán ba điểm biên nhiều nhà toán học quan tâm Sự tồn nghiệm toán ba điểm biên nghiên cứu A.R.Aftabizadeh - Chaitan P.Gupta - Jian-Ming Xu, D.Krajcinovic, D.J O’Regan nhà toán học khác.Về nghiệm dương toán ba điểm biên có nghiên cứu tác giả nước Yongping Sun, Xiaoling Han, Nguyễn Thành Long-Lê Thị phương Ngọc-Lê Xuân Trường Từ việc nghiên cứu tài liệu trên, luận văn thiết lập kết điều kiện tồn nghiệm toán ba điểm biên Sau xét tồn nghiệm dương dạng toán ba điểm biên Mục đích nghiên cứu luận văn áp dụng định lý liên tục LeraySchauder để chứng minh tồn nghiệm toán ba điểm biên điều kiện nghiệm Sau đó, áp dụng định lý điểm bất động Guo- Krasnoselskii thuật toán lặp đơn để chứng minh tồn nghiệm dương nhiều nghiệm dương Cuối cùng, luận văn trường hợp tồn nghiệm dương tốn ba điểm biên Nội dung luận văn gồm có phần mở đầu, ba chương nội dung phần kết luận Cụ thể sau : Phần mở đầu Chương : Giới thiệu tốn Chương : Trình bày tồn nghiệm tốn ba điểm biên Chương : Trình bày thêm tồn nghiệm dương nêu lên trường hợp có nghiệm dương tốn ba điểm biên Phần kết luận Chương GIỚI THIỆU BÀI TOÁN Trong luận văn này, phần đầu xét tồn nghiệm toán giá trị biên ba điểm phi tuyến sau : u''' + f(u').u'' = g(x,u,u',u'') + e(x) u'(0) = u'(1) = u(η) = 0, 0≤ η ≤ : u''' = g(x,u,u',u'') + e(x) u'(0) = u''(1) = u(η) = 0, 0≤ η ≤ Trong đó, f  C ( , ) g : [0;1] ×  thỏa điều kiện Carathéodory cho trước Chúng áp dụng định lý liên tục Leray-Schauder để tồn nghiệm chứng minh nghiệm toán Trong phần tiếp theo, xét thêm tồn nghiệm dương toán giá trị biên 3-điểm sau: x′′(t) = f(t,x(t)), < t < x′(0) = 0, x(1)= αx(η) Trong đó, < α, η < hàm số f cho trước thỏa số điều kiện thích hợp Sau đó, chúng tơi chứng minh tồn nghiệm dương toán giá trị biên 3-điểm sau: u" + h(t) = 0, 0≤t≤1 u(0) = u(1) = αu(η), với < α, η < Chúng áp dụng định lý điểm bất động Guo- Krasnoselskii dùng thuật toán lặp đơn để tồn nghiệm dương nhiều nghiệm dương toán Để chứng minh tồn nghiệm dương, giải trực tiếp phương trình sử dụng thêm tính chất hàm số lõm Trong phần, chúng tơi trình bày tường minh giả thiết phần định nghĩa, trình bày kiến thức chuẩn bị Sau vào giải phần nội dung đề tài tồn nghiệm nghiệm Cuối cùng, chúng tơi có trình bày thêm ví dụ minh hoạ Chương SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BA ĐIỂM BIÊN 2.1 Giới thiệu toán Trong phần này, xét tồn nghiệm toán giá trị biên ba điểm phi tuyến sau : u''' + f(u').u'' = g(x,u,u',u'') + e(x) (2.1) u'(0) = u'(1) = u(η) = 0, 0≤ η ≤ (2.2) u''' = g(x,u,u',u'') + e(x) (2.3) u'(0) = u''(1) = u(η) = 0, 0≤ η ≤ (2.4) : đó, f  C ( , ) g : [0;1] × thỏa điều kiện Carathéodory,  nghĩa : (i) Với x  [0 ; 1] h.k.n, hàm u  (ii) Với u   g(x, u)  , hàm x  [0;1]  g(x, u)  liên tục đo (iii) Với r > 0, tồn hàm số thực gr(x)  L1[0;1] cho với x  [0;1] h.k.n, | g(x ,u) | ≤ gr(x) với ║u ║ ≤ r 2.2 Kiến thức bổ trợ 2.2.1.Định nghĩa 2.2.1 ║u ║∞= sup | u(x) | ║u ║ 22 =  u ( x)dx 0 x 1 2.2.2.Bổ đề 2.2.2 Nếu u(x)  C1[0;1] u(0) = : ║u ║ 22 ≤ ( 4/ π2) ║u′║ 22 ( xem chứng minh [6] ) 2.2.3.Bổ đề 2.2.3 Nếu u(x)  C1[0;1] u(0) = u(1) = : ║u ║ 22 ≤ ( 1/ π2) ║u′║ 22 ( xem chứng minh [6] ) 2.2.4.Bổ đề 2.2.4 Đặt Mη= max { η, 1– η }, ≤ η ≤ Nếu u(η ) = : ║u ║ 22 ≤ ( 4/ π2) M 2 ║u′║ 22 Chứng minh Vì u(η ) = 0, Bổ đề 2.2.2, ta có :  u ( x ) dx    u ( x ) dx     [u ( x )] dx  (1   )  [u ( x )] dx Do : u ( x ) dx      [u ( x )] Suy : dx  u ( x ) dx    (1   )  [u ( x )]  M   [u ( x )] dx  2  2 dx M   [u ( x )]2 dx ║u ║ 22 ≤ ( 4/ π2) M 2 ║u′║ 22  Hay : 2.2.5.Bổ đề 2.2.5 Nếu u(0) = u(1) = ║u ║∞  0 Chứng minh Ta có : | u(x) | = | x x 0  u(t )dt |   |u′(t)|dt | u′(x) | dx  35 Do bổ đề 3.2.4, tồn dãy  x n k   x  cho : n lim xnk  x1*  P[ R1 , R2 ] (3.29) k    Mặt khác, từ giả thiết (H ), dễ thấy T : P[ R1 , R2 ] → P[ R1 , R ] không giảm Hơn nữa, :  x1 (t )  x1  R2  xo (t ), t  [0,1] nên ta có Tx1 ≤ Txo nghĩa x2 ≤ x1 Giả sử có : xn+1 ≤ xn , với n   Do T không giảm nên ta có: Txn+1 ≤ Txn, tức xn+2 ≤ xn+1 Vậy ta có : xn+1 ≤ xn , với n = 1,2,… (3.30) Kết hợp (3.29), (3.30), thu : lim xn  x1* (3.31) n   * * * Từ (3.28), cho n → +∞ ta : Tx1  x1 Vậy x điểm bất * động T hay x1 nghiệm dương toán (3.3)-(3.5) Đặt : xˆ o ( t )  R1 , t  [0,1] xˆ n   T xˆ n  T n  xˆ o , n = 1,2,… Ta có xˆ  P[ R1 , R ] nên xˆ n  P[ R , R ] (3.32) , với n      xˆ  cho : Do bổ đề 3.2.4, tồn dãy xˆ n k n lim xˆ nk  x2*  P[ R1 , R2 ] (3.33) k   Mặt khác, T : P[ R1 , R ] → P[ R1 , R ] không giảm Sử dụng thêm (3.27) bổ đề 3.2.2, ta có :  xˆ1 ( t )  T xˆ o ( t )   G ( t , s ) g ( s , cR ) ds   M 0 R1  R1  xˆ o ( t ) ,  t [0,1] M 0 36 Hay xˆ1  xˆ o Do T không giảm nên ta có : T xˆ  T xˆ o , tức xˆ  xˆ1 Giả sử có : xˆ n 1  xˆ n , với n   Vì T khơng giảm nên ta có : T xˆ n   T xˆ n tức xˆ n   xˆ n 1 Vậy ta có : xˆ n   xˆ n , với n = 1,2,… (3.34) Kết hợp (3.33), (3.34), thu : lim xˆ n  x2* (3.35) n   * * * Từ (3.32), cho n → +∞ ta : Tx2  x2 Vậy x điểm bất * động T hay x nghiệm dương toán (3.3)-(3.5) Định lý 3.3.2 chứng minh  Chúng ta ký hiệu : f (t , x) f (t , x) , f   limsup max t[0,1] x x x  t[0,1] x  0 f (t , x) f (t , x) f o  liminf f , liminf   x  t[0,1] x 0 t[0,1] x x f o  limsup max 3.3.3.Hệ 3.3.3 Giả sử (H1)- (H2) Khi tốn biên (3.3)-(3.5) có nghiệm dương trường hợp sau : o (i) f   (ii) fo  1 o f  ( đặc biệt f   , f   ), M o c M M o c Chứng minh Trường hợp (i) :  f    ( đặc biệt fo , f  2 ) M 37 Vì f ≤   nên tồn số R1 > cho với < x ≤ R1, ta có : M f(t,x) ≤ x (    Do đó, f(t,x) + β2 x  Vì f  M o c Đặt L = xlim   x ) hay f(t,x) + β2 x  M M R1 , (t , x)  [0,1]  [cR1 , R1 ] M nên xlim   f (t , x )  (đúng với t  [0,1] ) x M 0 c f (t , x ) (L  ) Khi với   , tồn M 0 c x số R2 , cR2 > R1 cho với x ≥ cR2, ta có : f (t , x )  L |≤ 2 | x Ta đến : f(t,x) + β2x ≥ Lx , ≥  f (t , x )   x  Do : x  [cR2 , R2 ] cR2 , x  [cR2 , R2 ] M o c R2 , x  [cR2 , R2 ] M o R2 ,  (t, x )  [0,1]  [cR2 , R2 ] M o Như tồn < R1 < cR2 giả thiết (3.21) định lý 3.3.1 thỏa mãn Trường hợp (ii) : Vì f o  Đặt L = lim x  0 M o c nên xlim  0 f (t , x )  (đúng với t  [0,1]) x M 0 c f (t , x ) (L  ) Khi đó, với   , tồn số x M 0 c dương R1 cho với cR1 ≤ x ≤ R1, ta có : | f (t , x )  L | ≤ x 38 Ta đến : f(t,x) + β2x ≥ Lx , x  [cR1 , R1 ] Do : ≥ cR1 , x  [cR1 , R1 ] M o c  R1 , x  [cR1 , R1 ] M o f (t , x )   x  Vì f      M R1 , (t, x )  [0,1]  [cR1 , R1 ] M o nên tồn số R2, cR2 > R1 cho với cR2 ≤ x ≤ R2 ta có : f(t,x) ≤ x(    x ) hay f(t,x) + β2 x  M M Do đó, f(t,x) + β2 x  R2 , (t , x) [0,1][cR2 , R2 ] M Như tồn < R1 < cR2 giả thiết (3.22) định lý 3.3.1 thỏa mãn Áp dụng định lý 3.3.1, hệ 3.3.3 chứng minh  3.3.4.Hệ 3.3.4  Giả sử (H1), (H ) Hơn : lim inf sup f (t , x) f (t , x )    ) (3.36) inf sup    , (đặc biệt lim x  t[0,1] x x M : lim sup tinf [0,1] f (t , x ) f (t , x )    ) (3.37) , (đặc biệt lim sup tinf [ 0,1] x M o c x x   x   x   t[0,1] Khi tồn hai số dương R1 < R2 cho toán (3.3)-(3.5) có * * * nghiệm dương x , x , x x * trùng , với : R1  x1*  R2 lim T n x o  x1* với xo(t) = R2, t  [0,1] (3.38) n   R1  x 2*  R lim T n xˆ  x 2* với xˆ0 (t) = R1, t  [0,1] n   Chứng minh (3.39) 39 inf sup Vì lim x  t[0,1] f (t , x )    nên tồn số R2 > cho x = x M R2, ta có : sup t[0,1] Do : f (t , R2 )    R2 M sup ( f(t,R2) + β2 R2)  t[ ,1] R2 M sup g(t,R2)  R t[ ,1] M Hay : Vì lim su p tin[ 0f,1] x 0 f (t , x )  nên với   , tồn số R1 , < x M o c R1 < R2 cho với cR1 ≤ x ≤ R1, ta có : inf f (t , x)  2 x M oc inf f (t , cR1 )  2 cR1 M oc t[0,1] Do : Suy : Hay : t[0,1] inf ( f (t , cR1 )   cR1 )  t[ 0,1] inf g (t , cR1 )  t[ 0,1] cR1 M 0 c R1 M 0 Như vậy, tồn < R1 < R2 giả thiết (3.27) định lý 3.3.2 thỏa mãn Áp dụng định lý 3.3.2, hệ 3.3.4 chứng minh  3.4 Sự tồn vô số nghiệm dương Trong phần trình bày điều kiện đủ tồn vô số nghiệm dương Chúng ta giả thiết rằng, tồn dãy số cho < Rn < cRn+1 với n  , Rn n 1   40 (H3) : f(t,x) + β2 x  R n 1 , (t , x)  [0,1]  [cR2 n 1 , R2 n 1 ] M (H4) : f(t,x) + β2 x  R2 n ,  (t , x )  [0,1]  [c R2 n , R2 n ] M 0 3.4.1.Định lý 3.4.1 Giả sử (H1)-(H4) Khi tốn biên (3.3)-(3.5) có vơ số nghiệm dương  x n n  thoả điều kiện : R2 n 1  xn  R2 n , n  Chứng minh Đặt :  n   x  C [0,1] : x  R n  Khi   n  n  n   n 1 , n  Chúng ta rằng, với , Tx  x ,  x  P   n 1 , (3.40) T x  x ,  x  P   n (3.41) Trước tiên , với x  P   n 1 , s  [0,1], ta có : cR n 1  c x  x ( s )  x  R n 1 (3.42) Do dùng giả thiết (H3), g(t,x)  R n 1 M (3.43) G ( t , s ) g ( s , x ( s )) ds  R n 1  x , t  [0,1] Ta có : Tx  max t [ ,1]  Suy (3.40) Tiếp theo, với x  P    n , s  [0,1], ta có : cR2 n  x ( s )  R2 n Khi đó, dùng giả thiết (H4), với t  [0,1], ta có : (3.44) 41  0 Tx(t )   G (t , s ) g ( s, x ( s ))ds   G (t , s ) g ( s, x( s ))ds  R2 n  x Do (3.41) Các bất đẳng thức (3.40) (3.41) chứng tỏ T thỏa điều kiện (i) định lý 3.2.5 P  (  n \  n  ) Do T có điểm bất động xn  P  (  n \  n  ) Vậy, R n   x n  R n  3.5 Sự tồn nghiệm dương Trong phần này, xét tồn nghiệm dương toán giá trị biên ba điểm sau : u" + h(t) = 0, 0≤t≤1 u(0) = u(1) = αu(η), (3.45) (3.46) với < α,η < 3.5.1.Định lý 3.5.1 Cho   1, h  C[0,1] Khi tốn ba điểm biên (3.45)-(3.46) có nghiệm :  u (t )   G (t , s )h( s )ds  G ( , s )h( s )ds,    0  x(1  y ),  x  y  G ( x, y )    y (1  x),  y  x  với (3.47) (3.48) Chứng minh Từ (3.45) ta có u" = – h(t) Với t  [0,1] , lấy tích phân từ đến t, ta có : t u(t )    h( s )ds  B Tiếp tục, với t  [0,1] , lấy tích phân từ đến t, ta có : t x 0 u (t )    (  h( s )ds )dx  Bt  A, 42 Do tích phân phần, x t t  x    (  h( s)ds )dx    x  h( s )ds    xh( x)dx 0   x 0 t x t t t 0 =   th( s )ds   sh( s )ds    (t  s )h( s )ds t nên : u(t) =   (t  s )h( s )ds  Bt  A suy : u(0) = A, u(1) =   (1  s )h( s )ds  B  A ,  u(η) =   (  s )h( s )ds   B  A Từ giả thiết (3.46), lấy u(0) = u(1), ta có : B   (1  s )h( s )ds, lấy u(0) = αu(η), ta có :    A (1  s )h( s )ds  (  s )h( s )ds  1   0 Do đó, t 0 u (t )    (t  s )h( s )ds  t  (1  s )h( s )ds +    (1  s )h( s )ds  (  s)h( s )ds +  1   0 t t 0 t =   (t  s )h( s )ds   t (1  s )h( s )ds   t (1  s )h( s )ds + (3.49) 43      + (1  s ) h ( s ) ds  (1  s ) h ( s ) ds  (  s )h( s )ds     0      0 t t =  s (1  t )h( s )ds   t (1  s)h( s )ds     +  (1  s)h( s)ds s (1   )h( s)ds    0    t t =  G (t , s )h( s )ds   G (t , s)h( s)ds     + G ( , s )h( s )ds  G (  s )h( s )ds   0     G ( , s )h( s )ds =  G (t , s )h( s )ds     0 Vậy, tốn (3.45)-(3.46) có nghiệm :  u(t) =  G (t , s )h( s )ds  G ( , s )h( s )ds    0 Ký hiệu C+[0,1] tập hợp hàm số liên tục, không âm đoạn [0;1] Với u(t) định nghĩa Định lý 3.5.1, có định lý sau : 3.5.2.Định lý 3.5.2 Cho   (0,1), h  C  [0,1] Khi nghiệm tốn (3.45)-(3.46) khơng âm [0,1], h(t ) ≠ u(t) > với t  [0,1] Chứng minh Lấy y  C  [0,1] Ta có u(t )   y (t )  0, t  [0,1] nên u(t) hàm số lõm [0,1] Mặt khác, từ (3.46) (3.49), ta có : 44    u(1) = u(0) = (1  s ) y ( s ) ds  (  s ) y ( s )ds   0   0    = (1  s ) y ( s ) ds  [ (1  s )  (  s )] y ( s )ds      0    (1   ) =   (1 s ) y ( s ) ds sy ( s )ds       0 Vậy u (t )  0, t  [0,1], h(t ) ≠ u(0) = u(1) > nên u(t) > với t  [0,1]  3.6.Ví dụ Cho α, β   x   ( x)   x , x    [0; )  Xét hàm f : [0,1]× ρ :   → → cho định nghĩa :  f1 (t , x), R2 n2  x  cR2 n1 ,  f (t , x), cR  x  R ,  2 n 1 n 1 f (t , x)    f3 (t , x), R2 n1  x  cR2 n ,  f (t , x), cR2 n  x  R2 n , với c  (0;1) , n  , Ro= 0, f1 (t , x )  Rnn1   thoả