Sự xác định duy nhất và đa thức duy nhất cho các đường cong chỉnh hình trên trường không acsimet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Tơn Thị Yến Anh SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT VÀ ĐA THỨC DUY NHẤT CHO CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH TRÊN TRƯỜNG KHƠNG ACSIMET LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Tơn Thị Yến Anh SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT VÀ ĐA THỨC DUY NHẤT CHO CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH TRÊN TRƯỜNG KHƠNG ACSIMET Chun ngành: Hình học tơpơ Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN TRỌNG HÒA Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến: Tiến sĩ NGUYỄN TRỌNG HỊA định hướng cho tơi nghiên cứu đa thức đường cong chỉnh hình trường khơng Acsimet, vấn đề mang tính thời nhiều nhà tốn học quan tâm Thầy người trực tiếp hướng dẫn thực luận văn Các thầy giáo tổ Tốn- Tin hướng dẫn tơi nghiên cứu toán học hai năm học tập trường Các bạn đồng mơn lớp Hình Học Tơpơ khóa 24 giúp đỡ tơi tận tình Gia đình hiểu, chia động viên suốt q trình tơi thực đề tài Một lần xin chân thành cảm ơn! MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p − adic 1.2 Hàm chỉnh hình, hàm phân hình trường số phức p − adic 1.3 Lý thuyết Nevanlinna 15 Chương LÝ THUYẾT PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ NEVANLINNA P-ADIC TRÊN CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH 24 2.1 Đường cong chỉnh hình  n ( p ) 24 2.2 Định lí thứ thứ hai đường cong chỉnh hình 27 Chương SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT VÀ ĐA THỨC DUY NHẤT CHO CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH TRÊN TRƯỜNG KHƠNG ACSIMÉT 33 3.1 Định lí cho đường cong chỉnh hình p-adic khác 33 3.2 Đa thức tập xác định cho đường cong chỉnh hình p − adic khơng suy biến đại số 42 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU Một ứng dụng sâu sắc lí thuyết phân bố giá trị Nevanlinna xây dựng vấn đề xác định cho hàm phân hình khác mặt phẳng phức Năm 1926, Nevanlinna chứng minh hai hàm phân hình phức khác chung giá trị phân biệt trùng Hai hàm f , g gọi chung giá trị a f −1 (a ) = g −1 (a ) Năm 1971, Adams Strau [1] chứng minh định lí sau Định lí A Cho f , g hai hàm nguyên p − adic khác cho với hai giá trị a, b (hữu hạn) phân biệt ta có f ( x) = a ⇔ g ( x) = a f ( x) = b ⇔ g ( x) = b Khi f ≡ g Xét hàm phân hình p − adic, Adams Straus [1] cho kết tương tự kết Nevanlinna Định lí B Cho f , g hai hàm phân hình p − adic khác cho với bốn giá trị a1 , a2 , a3 , a4 phân biệt ta có f ( x) =⇔ g ( x) = , i = 1, 2,3, Khi f ≡ g Ru [10] Hu Yang [6, Định lí 6.33] mở rộng định lí B đến đường cong chỉnh hình p − adic Trước hết, nhắc lại khái niệm sau Định nghĩa C Một đa thức P ∈  p [ z ] gọi đa thức với hàm phân hình p − adic (viết tắt UPM) P( f ) = P( g ) f = g với hàm phân hình khác f , g  p Tương tự, ta thấy đa thức mạnh với hàm phân hình p − adic (viết tắt SUPM) với hàm phân hình khác f , g  p thỏa mãn = P ( f ) cP ( g ), c ≠ kéo theo c = f = g Tương tự đa thức P biến z1 , z2 ,, z n+1 gọi đa thức (viết tắt UPC) cho đường cong chỉnh hình với đường cong chỉnh hình đại số không suy biến f g từ  p vào  n ( p ) có biểu diễn rút gọn tương ứng f g , từ điều kiện P ( f ) = P ( g ) kéo theo f = g Một đa thức P biến z1 , z2 ,, z n+1 gọi đa thức mạnh (viết tắt SUPC) cho đường cong chỉnh hình với đường cong chỉnh hình đại số khơng suy biến f g từ  p vào  n ( p ) có biểu diễn rút gọn tương ứng f g thỏa mãn = P ( f ) cP ( g ) , c ≠ kéo theo c = f = g Trong năm gần vần đề UPM, UPC, SUPC nhiều nhà Toán học giới quan tâm nhiều cơng trình cơng bố (xem [2],[3],[6],[9]) Vì vậy, chúng tơi chọn vấn đề Sự xác định đa thức cho đường cong chỉnh hình trường khơng Acsimet làm đề tài luận văn thạc sĩ Nội dung luận văn trình bày kết báo [5]Uniqueness theorems and Uniqueness polinomials for p − adic Holomorphic curves hai tác giả Vũ Hoài An Trần Đình Đức cơng bố năm 2008 Kết đưa số định lí đường cong chỉnh hình tồn lớp đa thức mạnh cho đường cong chỉnh hình đại số khơng suy biến p − adic Điều cho thấy X mặt hypebolic qua đa thức lớp này, X miền xác định cho đường cong chỉnh hình đại số không suy biến p − adic Luận văn bao gồm ba chương với phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p − adic 1.2 Hàm chỉnh hình hàm phân hình trường số phức p − adic 1.3 Lí thuyết Nevanlinna p − adic Chương 2: Lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna p − adic đường cong chỉnh hình 2.1 Đường cong chỉnh hình Ρ n ( p ) 2.2 Định lí thứ thứ hai đường cong chỉnh hình Chương 3: Sự xác định đa thức cho đường cong chỉnh hình trường khơng Acsimet Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương trình bày kiến thức chuẩn bị cho nội dung chương Đó khái niệm trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p − adic, hàm chỉnh hình, hàm phân hình, lý thuyết Nevanlinna 1.1 Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p − adic Trước tiên ta nhắc lại trường số phức, số thực, số hữu tỉ kí hiệu ; ;  kí hiệu vành số nguyên  Nếu κ tập  , ta kí hiệu κ + ={ x ∈ κ x ≥ 0} , κ + ={ x ∈ κ x  0} Với a, b ∈ κ cho a ≤ b ta kí hiệu κ [a, b] = { x ∈ κ a ≤ x ≤ b} Cho κ trường kí hiệu nhóm nhân κ \ {0} κ ∗ Định nghĩa Chuẩn (giá trị tuyệt đối) trường κ hàm : κ → = [0, +∞) thỏa mãn điều kiện: + 1) x = x = 0; 2) xy = x y với x, y ∈ κ ; 3) x + y ≤ x + y với x, y ∈ κ ; Nếu thỏa mãn thêm điều kiện : 4) x + y ≤ max { x , y } với x, y ∈ κ ; gọi chuẩn không Acsimet κ Một trường với chuẩn không Acsimet gọi trường định chuẩn không Acsimet Một chuẩn κ cảm sinh hàm khoảng cách (metric) d định nghĩa d ( x, y )= x − y với x, y ∈ κ ; chuẩn cảm sinh tôpô κ Hai chuẩn trường κ gọi tương đương cảm sinh tôpô κ Nếu chuẩn khơng Acsimet metric d tương ứng thỏa mãn d ( x, y ) ≤ max {d ( x, z ), d ( z , y )} với x, y, z ∈ κ gọi siêu metric Ví dụ 1.1.1: Cho κ trường, xét hàm κ → + 1: x ∈ κ ∗ x x = 0: x = Khi chuẩn không Acsimet κ metric cảm sinh d d :κ ×κ → y+ 1: (x, y )  d ( x, y ) =  0 : x≠ y x= y siêu metric gọi metric tầm thường Định nghĩa Với số thực dương r điểm x ∈ κ ta định nghĩa cầu đóng mở tâm x bán kính r sau κ ( x, r ) = { y ∈ κ d ( x, y) < r} , κ [x, r ] = { y ∈ κ d ( x, y ) ≤ r} , r} = κ [x, r ] \κ (x, r ) kí hiệu đường tròn κ x, r = { y ∈ κ d ( x, y ) = Nếu chuẩn không Acsimet tập con= Oκ κ= [0,1] {x x ≤ 1} vành κ gọi vành định giá Mệnh đề 1.1.2 Cho κ trường định chuẩn khơng Acsimet ta có: 1) Nếu y ∈ κ ( x, r ) κ ( x, r ) = κ ( y, r ) ; 2) Hình cầu κ ( x, r ) vừa tập mở vừa tập đóng; 3) Hai hình cầu mở (đóng) rời chứa Định nghĩa Một trường hợp riêng chuẩn không Acsimet chuẩn p − adic xác định sau: Cho p ∈  , p nguyên tố Khi số nguyên a biểu diễn dạng a = pυ a ' , p không ước a ' , a ' ∈  \ {0} Với p a số nguyên υ xác định ta có hàm υ p : ∗ →  +=  ∩ [0, +∞) xác định= ;υ p (0) Ta mở rộng hàm υ lên  sau: υ p (a ) υ= Với x= υ (a ) − υ p (b) : x ≠ a ∈  , đặt υ p ( x) =  p :x = b  +∞ Với số p nguyên tố xét p :  →  ∪ { + ∞} , x  x p = p −υ υ = υ p ( x) Khi p chuẩn không Acsimet gọi chuẩn p-adic Giá trị tuyệt đối thông thường  xem chuẩn p-adic p vơ cực kí hiệu ∞ := hiển nhiên không Acsimet Mệnh đề 1.1.3 (Ostrowski): Mọi chuẩn không tầm thường  tương đương với chuẩn p với p số nguyên tố p = ∞ Từ mệnh đề suy chuẩn  chuẩn trị tuyệt đối thông thường chuẩn p-adic p với p số nguyên tố Vì x ∈  ta có ∏x p ≤∞ Trong ∏x p ≤∞ p p =1 = nghĩa lấy tích x p với tất số nguyên tố p  bao gồm p = ∞ 37 Suy q  q ki − m +  k m(n + 1) log r + O (1) − 2n + m − 1 H f (r ) ≤ ∑ i N m≤k, f ( H i , r ) − ∑ ki + i ki +  i 1=  i  Định lí 3.1.3 Cho f , g :  p → : n hai đường cong chỉnh hình khác hằng, k1 ,, kq ∈ ∗ H1 ,, H q siêu phẳng  n vị trí tổng quát cho f ( p ) ⊂ H i , g ( p ) ⊂ H i , i = 1,, q Giả sử f ( z ) = g ( = z ) với z q  E f ( H i , ≤ k= i ) z i =1 q Nếu q ≥ 2n + n + + ∑ i =1 q E i =1 g ( H i , ≤ ki ) (3.2) n , (3.3) f ≡ g ki + Chứng minh: Giả sử ngược lại f ≡ g Khi tồn h, l ∈{1,, n + 1}, h ≠ l cho f h gl − fl g h ≡ Do f , g khác hằng, f đường cong chỉnh hình k - khơng suy biến tuyến tính g đường cong chỉnh hình m - khơng suy biến tuyến tính với k , m , ≤ k ≤ n ≤ 2n − k < q,1 ≤ m ≤ n ≤ 2n − m < q Theo bổ đề 3.1.2 theo (3.2) ta có q  q ki − k +  k k (n + 1) − 2n + k − 1 H f (r ) ≤ ∑ i N k≤,kfi ( H i , r ) − log r + O (1) ∑ ki + i ki + =  i 1=  q kk k (n + 1) ≤ ∑ i N1,≤kf i ( H i , r ) − log r + O(1) i =1 ki + k (n + 1) log r + O (1) k (n + 1) ≤ kn ( H f (r ) + H g (r ) ) − log r + O (1) ≤ knN fh gl − fl gh (r ) − Suy (3.4) q k ( n + 1)   k + k  H f (r ) ≤ kn( H f (r ) + H g (r )) − log r + O(1) ,  q − 2n − − ∑ i =1 ki +   Và tương tự ta có (3.5) q m ( n + 1)   m + m  H g (r ) ≤ mn ( H f (r ) + H g (r ) ) − log r + O (1)  q − 2n − − ∑ i =1 ki +   38 Khơng tính tổng qt giả sử ≤ m ≤ k Từ (3.4) (3.5) ta có q k ( n + 1)   k + m  H f (r ) ≤ kn ( H f (r ) + H g (r ) ) − log r + O (1) ,  q − 2n − − ∑ i =1 ki +   q m ( n + 1)   k + m  H g (r ) ≤ mn ( H f (r ) + H g (r ) ) − log r + O (1)  q − 2n − − ∑ i =1 ki +   Chuyển vế cộng vế theo vế bất đẳng thức ta có q   ( n + 1) (k + m)log r ≤ O(1) k + m − kn − mn  ( H f (r ) + H g (r ) ) +  q − 2n − − ∑ i =1 ki +   q Từ suy q − 2n − − ∑ i =0  q  i =1 Xét ϕ (k , m) = k  −∑ k − kn − (n − 1)m < ki +  − n  + (1 − n)m + q − 2n − ki +  q Từ ≤ m ≤ k ≤ n −∑ i =1 − n < − n ≤ ki + q (3.3), ϕ (k , m) ≥ ϕ (n, n) = q − 2n − n − − ∑ i =1 n ≥ (mâu thuẫn giả thiết) ki + Do f ≡ g Bổ đề 3.1.4 sau cho ta mối liên hệ độ cao hai đường cong chỉnh hình khác chúng chung ảnh ngược tính bội n + siêu phẳng vị trí tổng quát Bổ đề 3.1.4 Cho f , g :  p → : n hai đường cong chỉnh hình khác , X i siêu mặt bậc d  n , Yi siêu mặt bậc l vị trí tổng quát cho ảnh f g không chứa X i , Yi tương ứng, = i 1,, n + Giả sử E f= X i ), i 1,, n + Khi ( X i ) Eg (= dH = lH g (r ) + O (1) f (r ) Chứng minh: 39 Trước chứng minh ta nhắc lại Định lí khơng điểm Hilbert [14]: Giả sử Q1 ,, Qn+1 đa thức bậc d ≥ có nghiệm chung (0,,0) Khi tồn số nguyên dương mk ≥ d cho n +1 xkm = ∑ Ai ( x1 ,, xn+1 )Qi ( x1 ,, xn+1 ) k i =1 k ≤ i, k ≤ n + 1, Ai đa thức bậc mk − d với hệ số  p k Bây ta chứng minh bổ đề 3.1.4: Giả sử X i , Yi định nghĩa qua phương trình tương ứng sau 0,= Pi ( x1 ,, xn+= i 1,, n + , 1) Qi ( x1 ,, xn+= i 1,, n + 0,= 1) Theo định lí khơng điểm Hilbert số ngun k ,1 ≤ k ≤ n + tồn số nguyên mk ≥ d , lk ≥ l cho n +1 mk k x = ∑ ( x1 ,, xn+1 ) Pi ( x1 ,, xn+1 ) , k i =1 n +1 xkl = ∑ bi ( x1 ,, xn+1 )Qi ( x1 ,, xn+1 ) , k i =1 k ( x1 ,, xn+1 ), bi ( x1 ,, xn+1 ),1 ≤ i ≤ n + 1,1 ≤ k ≤ n + đa thức k k với hệ số  p có bậc mk − d , lk − l Do f km = k g kl = k n +1 ∑a ik i =1 n +1 ∑b i =1 ik ( f1 ,, f n+1 ) Pi ( f1 ,, f n+1= ), k 1,, n + ( f1 ,, f n+1 )Qi ( f1 ,, f n+1 ),= k 1,, n + Từ suy H f mk= (r ) mk H fk (r ) ≤ (mk − d ) H f (r ) + max H P a f (r ) + O (1), 1≤i ≤ n +1 k i H g lk= (r ) lk H gk (r ) ≤ (lk − l ) H g (r ) + max H Q a f (r ) + O (1) k Do 1≤i ≤ n +1 i 40 dH f (r ) ≤ max H P a f (r ) + O(1) 1≤i ≤ n +1 i (3.6) lH g (r ) ≤ max H Q a f (r ) + O (1) 1≤i ≤ n +1 i Mặt khác ∀i 1,, n + H P  f (r ) ≤ dH f (r ) + O (1), = (3.7) i ∀i 1,, n + H Q  f (r ) ≤ lH g (r ) + O (1), = i Từ (3.6) (3.7) suy = dH f (r ) max H P a f (r ) + O(1), 1≤i ≤ n +1 i (3.8) = lH g (r ) max H Q a f (r ) + O (1) 1≤i ≤ n +1 i Từ E f (= X i ) Eg ( X i ), = ∀i 1,, n + , suy Pi  f hàm nguyên không Qi  g f a Q g , a ∈  , a ≠ 0, = aa ∀i 1,, n + Suy có khơng điểm Do Pi= i i i p i = H P aa max max H Q f (r ) + O(1) f ( r ) 1≤i ≤ n +1 i 1≤i ≤ n +1 (3.9) i Từ (3.8) (3.9) ta có dH = lH g (r ) + O (1) f (r )  Sau định lí 3.1.5 chúng tơi đưa định lí cho đường cong chỉnh hình khác mà giả thiết xuất ảnh ngược tính bội n+1 siêu phẳng ảnh ngược khơng tính bội vị trí tổng qt Định lí 3.1.5 Cho f , g :  p → : n hai đường cong chỉnh hình khác , X i siêu mặt bậc d , H j siêu phẳng vị trí tổng quát  n cho ảnh f g không chứa X i , H j với = i 1,, n + j = 1,, q Giả sử E f= ( X i ) Eg (= X i ), i 1,, n + f ( z ) = g (= z ) với z q Nếu q ≥ 2n + n + + ∑ i =1 n f ≡ g ki + q E i =1 f ( H i , ≤ ki ) 41 Chứng minh: Giả sử ngược lại f ≡ g Khi tồn h, j ∈{1,, n + 1}, h ≠ j cho f h g j − f j g h ≠ Do f khác f đường cong chỉnh hình k − khơng suy biến tuyến tính với ≤ k ≤ n ≤ 2n − k < q Theo định lí 3.1.3 ta có q  q ki − k +  k k (n + 1) − 2n + k − 1 H f (r ) ≤ ∑ i N k≤,kfi ( H i , r ) − log r + O (1) ∑ ki + i ki +  i 1=  q kk k (n + 1) ≤ ∑ i N1,≤kf i ( H i , r ) − log r + O (1) i =1 ki + k (n + 1) log r + O (1) k (n + 1) ≤ nk ( H f (r ) + H g (r ) ) − log r + O (1) ≤ nkN fh g j − f j gh (r ) − Mặt khác từ E f= X i ), i 1,, n + , theo bổ đề 3.1.4 ta có ( X i ) Eg (= dH = dH g (r ) + O (1) hay H= H g (r ) + O (1) , f (r ) f (r )  q ki − k +  n +1 − 2n + k − − 2nk  H f (r ) + k log r ≤ O (1) ∑  i=1 ki +  Do  q  i =1 Suy k 1 − ∑  − 2n  + q − 2n − < ki +   q  i =1 Xét ϕ (k )= k 1 − ∑ q Do − ∑ i =1  − 2n  + q − 2n − ki +  q n ta − 2n < 0, giả thiết q ≥ 2n + n + + ∑ ki + i =1 ki + q có ϕ (k ) ≥ ϕ (n) = q − 2n − n − − ∑ i =1 Do f ≡ g n ≥ (mâu thuẫn) ki + 42 3.2 Đa thức tập xác định cho đường cong chỉnh hình p − adic không suy biến đại số 1, xét đa thức P ( z ) = Cho n ∈ ∗ , n ≥ 2m + 8, m ≥ 2, ( m, n ) = z n − az n−m + b an nn a, b ∈  p a ≠ 0, b ≠ m ≠ m n−m b m (n − m) Đặt (z ,z ) = P z1n − az1n−m z2m + bz2n Ta định nghĩa quy nạp (z ,z ) = P1 ( z1 , z2 ) = P z1n − az1n−m z2m + bz2n , (  ( z , z ), P (z ,z ) P2 ( z1 , z2 , z3 ) = P1 P 2 ) ( )  ( z , z ) ,, P (z ,z ) = , s 3, 4,( ∗) Ps ( z1 , z2 ,, zs+1 ) = Ps−1 P s s +1 Khi đó, Ps đa thức có bậc n s Bổ đề 3.2.1 Với giả thiết trên, P ( z ) UPM Chứng minh: Trước chứng minh ta nhắc lại số khái niệm tính chất [6, tr 84] Cho n ∈  + ta kí hiệu tập khơng điểm z n −  p Ω n (  p ) Cho m, n ∈  + , n > m, d = ( m, n ) : Khi Ωn (  p ) ∩ Ωm (  p ) = Ωd (  p ) Bây ta chứng minh bổ đề 3.2.1 Cho f , g hai hàm phân hình khác  p cho P ( f ) = P( g ) Cần chứng minh f = g Thật vậy: Đặt h = f Ta có: g 43 P ( f ) = P( g ) ⇔ f n − af n−m + b = g n − ag n−m + b ⇔ f n − af n−m = g n − ag n−m ⇔ ( hg ) − a ( hg ) n n−m = g n − ag n−m ⇔ ( hg ) = − g n a ( hg ) n n−m − ag n−m ⇔ gn = ( hn − 1) ag n−m ( hn−m − 1) h n−m − ⇔ gm = a n h −1 ( *) Do ( m, n ) = nên Ω n ( {{ p ) ∩ Ωm ( p ) ={1} Nếu h khác hàm với b ∈ Ω n ( { p ) \ {1} : N  r ,    = h−b  Thật vậy: n Giả sử tồn z cho h ( z ) = b Khi ( h ( z ) )= b= h ( z ) ≠ n Mặt khác Ω n ( {{ p ) ∩ Ωm ( p ) ={1} nên ( h ( z ) ) ≠ m  Do g ( z ) = ∞ (vơ lí) Vậy N  r ,  =  h−b  Khi đó:    N  r,     h −b  = limsup b δ = −  ∑ h ( ) b∈Ω∑k −  T ( r, h )  b∈Ω n ( k )−{1} n( ) { }  r →∞     ∑ {1} = b∈Ω n ( k )−{1} n − ≥ 11 Điều vơ lí Vì h hàm Nếu h ≠ (*) ta suy g hàm (trái với giả thiết f , g hàm khác ) Vậy h = hay f = g Định lí 3.2.2 Ps định nghĩa ( ∗) SUPC Chứng minh: Cho f g hai đường cong chỉnh hình đại số khơng suy biến từ  p vào  s (  p ) với biểu diễn thu gọn tương ứng f = f1 ,, f s+1 ) , g ( g1 ,, g s+1 ) (= 44 Trước tiên chứng minh định lí với trường hợp s = = Lấy f f1 , f ) , g ( g1 , g ) cho (=  ( f , f ) = cP  ( g , g ) với c ∈ { \ {0} Cần P p 2 chứng minh f = g Thật vậy: Ta có: (g , g )  ( f , f ) = cP P 2 ⇔ f1n − af1n−m f 2m + bf 2n − cg1n + cag1n−m g 2m − cbg 2n = (3.1) n ⇔ bf 2n + f1n−m ( f1m − af 2m ) − cbg = g1n−m ( cg1m − cag 2m ) Xét đường cong chỉnh hình F từ  p vào  (  p ) với biểu diễn thu gọn  = F ( bf n ) , f1n−m ( f1m − af 2m ) , bg 2n Giả sử F khơng suy biến tuyến tính Xét siêu phẳng vị trí tổng quát  (  p ) H1 : x1 0;= H : x2 0;= H : x3 0; = H : x1 + x2 − cx3 = Áp dụng định lí 3.1.1 ( 3.1) H F (r ) ≤ ∑ N 2,F ( H i , r ) − 3log r + O (1) i =1 =N 2,bf n ( r ) + N 2, f n−m (f m m − af )( r ) + N 2,bg ( r ) + N 2,bf n ≤ N f ( r ) + N f ( r ) + N 2, f ( m m − af ≤ 4H f ( r ) + 4H g ( r ) + N f m m − af )( n n−m + f1 (f m m − af r ) + N g ( r ) + N 2, g n−m (r ) + Ng m m − ag (g )−bcg n m m − ag ( r ) − 3log r + O (1) )( r ) − 3log r + O (1) ( r ) − 3log r + O (1) ≤ ( m + ) ( H f ( r ) + H g ( r ) ) − 3log r + O (1) Mặt khác nH f ( r ) ≤ H F ( r ) + O (1) Suy nH f ( r ) ≤ ( m + ) ( H f ( r ) + H g ( r ) ) − 3log r + O (1) (3.2) Xét đường cong chỉnh hình G từ  p vào  (  p ) với biểu diễn thu gọn  = G ( bg , g ( g n n−m m ) − ag 2m ) , bf 2n Giả sử G khơng suy biến tuyến tính, tương tự chứng minh (3.2) ta có 45 nH g ( r ) ≤ ( m + ) ( H f ( r ) + H g ( r ) ) − 3log r + O (1) (3.3) Từ (3.2) (3.3) suy ( n − 2m − 8) ( H f ( r ) + H g ( r ) ) + 6log r ≤ O (1) Do n < 2m + mâu thuẫn với giả thiết n ≥ 2m + Vì F G suy biến tuyến tính Khơng tính tổng quát ta giả sử F suy biến tuyến tính Khi tồn số C1 , C2 , C3 cho ( C1 , C2 , C3 ) ≠ ( 0,0,0 ) C1bf 2n + C2 f1n−m ( f1m − af 2m ) + C3bg 2n = (3.4) Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu C3 = , từ (3.4) ta có C1bf 2n + C2 f1n−m ( f1m − af 2m ) = (3.5) f khác ( C1 , C2 ) ≠ ( 0,0 ) nên mâu thuẫn Vậy C3 ≠ Trường hợp 2: Nếu C2 = , từ (3.4) ta có g 2n = − C1 n f2 C3 Kết hợp với (3.1) ta có  cC  m b 1 +  f 2n + f1n−m ( f1m − af = cg1n−m ( g1m − ag 2m ) ) C3   Giả sử + cC1 ≠ Xét đường cong chỉnh hình F1 từ  p vào 1 (  p ) C3 với biểu diễn thu gọn  =  f n−m ( f m − af m ) , b 1 + cC1  f n  F   1  C3     Do f khác nên F1 khác Xét ba điểm (1,0 ) , ( 0,1) , (1,1) 1 (  p ) Áp dụng định lí 3.1.1 46 nH f ( r ) ≤ H F ( r ) + O (1) ≤ N1, f n−m (f m m − af )( r ) + N1, f n ( r ) + N1,g n−m ≤ N1, f ( r ) + N f (g m m − ag )( r ) − log r + O (1) ( r ) + N1, f ( r ) + N1,g ( r ) + N g −ag ( r ) − log r + O (1) ≤ N f ( r ) + N f ( r ) + N f −af ( r ) + N g ( r ) + N g −ag ( r ) − log r + O (1) ≤ ( m + ) H f ( r ) + ( m + 1) H g ( r ) − log r + O (1) m m − af 1 m m 1 m m 1 m m Vì nH f ( r ) ≤ ( m + ) H f ( r ) + ( m + 1) H g ( r ) − log r + O (1) (3.6) Tương tự ta có nH g ( r ) ≤ ( m + ) H g ( r ) + ( m + 1) H f ( r ) − log r + O (1) (3.7) Từ (3.6) (3.7) ta có n ( H f ( r ) + H g ( r ) ) ≤ ( 2m + 3) ( H f ( r ) + H g ( r ) ) − 2log r + O (1) Suy ra: ( n − 2m − 3) ( H f ( r ) + H g ( r ) ) + 2log r ≤ O (1) Trái với giả thiết n ≥ 2m + Do + Từ điều g 2n = − cC1 C = hay c + = C3 C1 C1 n f ta f 2n = cg 2n C3 Trường hợp 3: Nếu= C1 0, C2 ≠ Từ (3.4) ta có C2 f1n−m ( f1m − af 2m ) = −C3bg 2n n  f   f  Suy ra: C2   − C2 a    f2   f2  n−m n g  = −C3b    f2  (3.8) Từ giả thiết n ≥ 2m + 8, m ≥ ta có phương trình C2 z n − C2 az n−m = có nghiệm z1 = 0, z2 , z3 Do f khác nên i = 1, 2,3 tất không điểm g2 khác Theo (3.8), với f2 f1 − zi có bội ≥ n Theo [10, Định lí f2   3.10] ta có 1 −  < Suy n < Trái với giả thiết n ≥ 2m + Vậy C1 ≠ n   47 Trường hợp 4: C1 ≠ 0, C2 ≠ 0, C3 ≠ Xét đường cong chỉnh hình F2 từ  p vào 1 (  p ) với biểu diễn thu gọn  = F (C f ( f n−m m ) − af 2m ) ,C1 bf 2n Do f khác nên F2 khác Xét ba điểm (1,0 ) , ( 0,1) , (1,1) 1 (  p ) Áp dụng định lí 3.1.1 nH f ( r ) ≤ H F ( r ) + O(1) ta có nH f ( r ) ≤ H F ( r ) + O (1) ≤ N1,C n−m f1 (f m m − af )( r ) + N1,C bf n ( r ) + N1,C f n−m ≤ N f (r ) + N f (r ) + N f (f m m − af )+C bf n ( r ) − log r + O (1) ( r ) + N g ( r ) − log r + O (1) ≤ ( m + ) H f ( r ) + H g ( r ) − log r + O (1) m m − af Vì vậy: nH f ( r ) ≤ ( m + ) H f ( r ) + H g ( r ) − log r + O (1) Từ (3.4) ta có: f1n−m ( f1m − af 2m ) = − g 2n − bC C2 (3.9) bC1 n f2 C2 Kết hợp với (3.1) ta có: A1bg 2n + A2 g1n−m ( g1m − ag 2m ) + A3bf 2n = Nếu số A1 , A2 , A3 ta lập luận tương tự Nếu A1 ≠ 0, A2 ≠ 0, A3 ≠ Xét đường cong chỉnh hình G2 từ  p vào 1 (  p ) với biểu diễn thu gọn  G = (A g (g n−m m ) − ag 2m ) , A1bg 2n Do g khác nên G2 khác Tương tự áp dụng (3.9) cho F2 ta có bất đẳng thức sau cho G2 nH g ( r ) ≤ ( m + ) H g ( r ) + H f ( r ) − log r + O (1) (3.10) Từ (3.9) (3.10) ta có n ( H f ( r ) + H g ( r ) ) ≤ ( m + 3) ( H f ( r ) + H g ( r ) ) − 2log r + O (1) Suy ra: ( n − m − 3) ( H f ( r ) + H g ( r ) ) + 2log r ≤ O (1) 48 Từ ta có n < m + (mâu thuẫn n ≥ 2m + ) Vậy C1C2C3 =  ( f , f ) = cP  ( g ,g ) , ta có Từ trường hợp ta có f 2n = cg 2n Từ f 2n = cg 2n P 2  f  g  P   = P    f2   g2  Do n ≥ 2m + 8, m ≥ 2, ( m, n ) = 1, theo Bổ đề 3.2.1 ta có f = g Vậy định lí với trường hợp s = Bây ta tiếp tục chứng minh định lí 3.2.2 Xét Ps ( f1 ,= , f s+1 ) cPs ( g1 ,…, g s+1 ) Lí luận tương tự trường hợp s = ta Pk −1 ( f1 ,, f k ) Pk −1 ( f ,, f k +1 ) = = , k 2,, s − Pk −1 ( g1 ,, g k ) Pk −1 ( g ,, g k +1 ) Từ P1 ( f1 , f ) P1 ( f , f ) suy = P1 ( g1 , g ) P1 ( g , g ) f g1 f f g2 g2 = = , Do đó:  P1 ( f1 , f ) = c1 P1 ( g1 , g )   P1 ( f , f ) = c1 P1 ( g , g ) f3 g3 Tương tự: f i+1 f i+2 fi f = = , i 1, 2,, s − = i+1 gi+1 gi+2 gi g i+1 Do f = g  3.2.3 Định lí: Cho f , g hai đường cong chỉnh hình khơng suy biến đại số từ  p vào  s X siêu mặt  s xác định Ps = Nếu E f ( X ) = Eg ( X ) f ≡ g Ps  f cPs  g , c ∈ { p \ {0} Chứng minh: Từ E f ( X ) = Eg ( X ) suy ra= Theo định lí 3.2.2 Ps SUPC, Ps  f = cPs  g kéo theo f ≡ g  49 KẾT LUẬN Như luận văn nghiên cứu vấn đề tập xác định cho đường cong chỉnh hình p − adic Thiết lập số tập xác định lớp đa thức cho đường cong chỉnh hình p − adic Cụ thể: - Thiết lập số định lí cho đường cong chỉnh hình khác hằng, xây dựng lớp đa thức siêu mặt xác định cho đường cong chỉnh hình khơng suy biến đại số - Chứng minh số định lí cho đường cong chỉnh hình p − adic khác hằng, xây dựng lớp đa thức mạnh siêu mặt xác định cho đường cong chỉnh hình p − adic khơng suy biến đại số Vì thời gian lực thân có hạn nên luận văn chưa nghiên cứu đầy đủ ứng dụng lí thuyết Nevanlinna vấn đề Nếu có điều kiện hội tiếp tục nghiên cứu phát triển đề tài Trong luận văn chắn khơng tránh khỏi sai sót, kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để tơi hoàn thiện luận văn Xin chân thành cảm ơn 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO W W Adam and E G Straus (1971), “Non-Archimedean analytic functions taking the same values at the same points” , Illinois J.Math, (15), 418-424 T T H An , J T Y Wang and P.M Wong (2005), “Unique range sets and uniqueness polynomials in positive characteristic II” , Acta Arith, (116), 115-143 T T H An , J T Y Wang and P M Wong (2004) , “Strong uniqueness polynomials : the complex case” , Journal of Complex Variables and its Application, (49), 25-54 Vu Hoai An and Doan Quang Manh (2003), “On Unique Range Sets for PAdic Holomorphic Maps” , VietNam J.Math, (31) , 241-247 Vu Hoai An and Tan Dinh Duc (2008), “Uniqueness theorems and Uniqueness polinomials for p-adic Holomorphic curves”, Acta Math Vietnamica, No (33), pp 181-195 P C Hu and C C Yang (2000), Meromorphic functions over nonArchimedean fields, Kluwer Ha Huy Khoai (1983), “On p-adic meromorphic functions” , Duke Math J, (50), 695-711 Ha Huy Khoai and Vu Hoa An (2003), “Value distribution for p-adic hypersurfaces”, Taiwanese J.Math, (7), 51-67 Ha Huy Khoai and Ta Thi Hoai An (2001), “On uniqueness polynomials and Bi-URS for p-adic Meromorphic functions” , J.Numper Theory, (87), 211221 10 Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (1995), p-adic Nevanlinna-Cartan Theorem, Intl J.Math, (6), 719-731 51 11 M Ru (2001), “Uniqueness theorems for p-adic holomorphic curves”, Illinois J Math, No.2 (45), 487-493 12 M Shirosaki (1987), “On polynomials which determine holomorphic mapping”, J Math Soc Japan, (49), 289-298 13 Tran Van Tan (2005), “Uniqueness polynomials for entire curves into complex projective space”, Analysis, (25), 297-314 14 B L Van der Waerden (1991), Algebra, 2, 7-th ed., Springer-Verlag, New York ... P-ADIC TRÊN CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH 24 2.1 Đường cong chỉnh hình  n ( p ) 24 2.2 Định lí thứ thứ hai đường cong chỉnh hình 27 Chương SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT VÀ ĐA THỨC DUY NHẤT CHO. .. CHO CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMÉT 33 3.1 Định lí cho đường cong chỉnh hình p-adic khác 33 3.2 Đa thức tập xác định cho đường cong chỉnh hình p − adic không. .. GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Tơn Thị Yến Anh SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT VÀ ĐA THỨC DUY NHẤT CHO CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH TRÊN TRƯỜNG KHƠNG ACSIMET Chun ngành: Hình học