Hàm khả vi liên tục phi acsimet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Như Hằng HÀM KHẢ VI, LIÊN TỤC PHI ACSIMET Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình, trách nhiệm PGS.TS.Mỵ Vinh Quang Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn đến PGS.TS.Mỵ Vinh Quang Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học khóa 18 trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh, BGH trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh, Phịng Khoa học Cơng nghệSau Đại học trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ tác giả trình học nghiên cứu luận văn Luận văn hồn thành thiếu chia sẻ, khích lệ gia đình tác giả Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn đến gia đình tác giả Tác giả MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC KÍ HIỆU MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Định nghĩa (Chuẩn trường) 1.1.2 Ví dụ 1.1.3 Ví dụ 1.1.4 Mệnh đề 1.1.5 Định nghĩa (Đặc số trường K) 1.1.6 Mệnh đề (Nguyên lý tam giác cân) 1.1.7 Mệnh đề 1.1.8 Mệnh đề 1.1.9 Mệnh đề 1.1.10 Mệnh đề 1.1.11 Mệnh đề 1.1.12 Định nghĩa (dãy cauchy) 1.1.13 Định nghĩa (hội tụ) 1.1.14 Định nghĩa (dãy hàm hội tụ điểm) 1.1.15 Định nghĩa (dãy hàm hội tụ đều) 1.1.16 Định nghĩa (hàm liên tục) 1.1.17 Định nghĩa (hàm liên tục đều) 1.1.18 Định nghĩa (hàm khả vi) 1.1.19 Định nghĩa 1.1.20 Mệnh đề (tích khơng gian Banach) 10 1.2 Trường số p-adic 10 Chương 2: HÀM KHẢ VI LIÊN TỤC BẬC VÀ BẬC 15 2.1 Hàm khả vi liên tục 15 2.2 Hàm khả vi liên tục bậc (hàm C1) 17 2.3 Một số kết hàm C1 19 2.4 Hàm khả vi liên tục bậc hai 25 Chương 3: HÀM KHẢ VI LIÊN TỤC BẬC n 36 3.1 Hàm khả vi liên tục bậc n 36 3.2 Một số tính chất hàm khả vi liên tục bậc n 37 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 DANH MỤC TỪ KHOÁ 59 T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T P T P T T T T T T T T T T T T T P T P T T KÍ HIỆU Ν ={0,1, } Ν * ={1, 2,3 } {0, ±1, ±2, } Ζ= Q: trường số hữu tỉ Q p :trường số p-adic R RP P Zp= { x∈ Qp, x ≤ R R R } vành số nguyên p-adic R K trường giá trị phi Acsimet đầy đủ, chứa Q p trường R R X tập khác rỗng K không chứa điểm cô lập = ∆n X = ∇n X {( x, x, , x), x ∈ X } {( x , x , , x ), x ∈ X , x n i i ≠ x j ∀i ≠ j} C n ( X → K ) : tập hàm khả vi liên tục bậc n từ X vào K BC n ( X → K ) : tập hàm khả vi liên tục bị chặn bậc n từ X vào K Φ n f : sai phân bậc n f MỞ ĐẦU Các số p-adic xây dựng kỉ giải tích p-adic phát triển mạnh mẽ trở thành chuyên ngành độc lập lý thuyết số khoảng 40 năm Trong giải tích thực phức, hàm khả vi liên tục đóng vai trị quan trọng, cách tự nhiên đặt cho ta vấn đề nghiên cứu hàm khả, vi liên tục giải tích phi Acsimet Vì chọn đề tài nghiên cứu hàm khả vi, liên tục phi Acsimet Trong luận văn giới thiệu đầy đủ cách xây dựng định nghĩa hàm khả vi liên tục bậc 1, 2, khái quát lên cho trường hợp bậc n tính chất Bên cạnh đó, chúng tơi đưa số ví dụ cụ thể cho trường hợp Luận văn gồm phần sau: Chương I: Trình bày kiến thức số p-adic giải tích pU U adic Chương II: Hàm khả vi, liên tục phi Acsimet bậc bậc U U Xây dựng nghiên cứu tính chất hàm khả vi liên tục phi Acsimet bậc bậc cho số ví dụ cụ thể Chương III: Hàm khả vi, liên tục phi Acsimet bậc n U U Xây dựng nghiên cứu tính chất hàm khả vi liên tục phi Acsimet bậc n cho ví dụ minh hoạ Mặc dù thân cố gắng trình độ thời gian có hạn nên cịn thiếu sót Kính mong q thầy q độc giả góp ý để luận văn hồn thiện Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Định nghĩa (Chuẩn trường) Cho K trường, chuẩn K ánh xạ : K → R thỏa: i) ∀x ∈ K , x ≥ 0, x = ⇔ x = ii) x + y ≤ x + y ∀x, y ∈ K (bất đẳng thức tam giác) iii) xy = x y ∀x, y ∈ K Cặp (K, ) gọi trường giá trị Trong định nghĩa trên, ta thay ii) ii’) sau: x + y ≤ max { x , y } ∀x, y ∈ K (K, ) gọi trường giá trị phi Acsimet ( ii’) gọi bất đẳng thức tam giác mạnh) Mêtric cảm sinh chuẩn phi Acsimet gọi siêu mêtric Trong luận văn này,(nếu khơng nói thêm) ta nghiên cứu trường giá trị K phi Acsimet 1.1.2 Ví dụ Mọi trường K với chuẩn tầm thường trường giá trị phi Acsimet 1.1.3 Ví dụ Ta xét trường số hữu tỉ Q với chuẩn p :Q → R xây dựng sau: p số nguyên tố, với n ∈ Z, ta định nghĩa ord p n số tự nhiên i cho R R pi chia hết n pi+1 không chia hết n P P P P a b x ∈ Q, x= , a,b ∈ Z, ta định nghĩa ord p x= ord p a- ord p b Khi p định nghĩa: R R R R R R 0, x=0 x p =  -ordp x , x≠0 p Trường Q với chuẩn p trường giá trị phi Acsimet 1.1.4 Mệnh đề i) − x =x ii) 1 = x x iii) 1K = 1, 1K phần tử đơn vị trường K 1.1.5 Định nghĩa (Đặc số trường K) Trường K gọi trường có đặc số n ∈ N cho n 1K =0 n=0 Kí hiệu: char(K)=0 Trường K gọi trường có đặc số p p số tự nhiên nhỏ (khác 0) cho p 1K =0 (ta chứng minh p số nguyên tố) Kí hiệu: char(K)=p 1.1.6 Mệnh đề (Nguyên lý tam giác cân) ∀x, y ∈ K mà x ≠ y x+y = max { x , y } 1.1.7 Mệnh đề B − (a, r ) = { x ∈ K , x − a < r} B (a, r ) = { x ∈ K , x − a ≤ r} cầu tâm a, bán kính r, vừa tập đóng vừa tập mở Mọi điểm thuộc cầu tâm cầu 1.1.8 Mệnh đề Hai cầu chứa rời 1.1.9 Mệnh đề Nếu K trường hữu hạn có chuẩn chuẩn tầm thường 1.1.10 Mệnh đề Hai chuẩn trường K gọi tương đương chúng cảm sinh tôpô 1.1.11 Mệnh đề Mọi chuẩn không tầm thường Q tương đương với chuẩn trị tuyệt đối thông thường tương đương với chuẩn p-adic 1.1.12 Định nghĩa (dãy cauchy) Dãy { xn } ⊂ K dãy Cauchy lim xn +1 − xn = 1.1.13 Định nghĩa (hội tụ) X ⊂ K , f : X → K , a điểm tụ X, b ∈ K lim f ( x) = b ⇔ ∀ε > ∃ δ >0: 0< x-a < δ f ( x) − b < ε x→a 1.1.14 Định nghĩa (dãy hàm hội tụ điểm) Dãy hàm f1 , f , : X → K hội tụ điểm f , kí hiệu lim f n = f lim f n (= x) f ( x) ∀x ∈ X 1.1.15 Định nghĩa (dãy hàm hội tụ đều) Dãy hàm f1 , f , : X → K hội tụ f , kí hiệu lim f n = f ∀ε > 0, ∃m ∈ N : ∀n > m ∀x ∈ X ta có f ( x) − f n ( x) < ε 1.1.16 Định nghĩa (hàm liên tục) X ⊂ K , f : X → K , f liên tục a ∈ X thỏa mãn điều kiện sau: i) Với lân cận U f (a) f -1(U) tập mở P P ii) ∀ε > ∃ δ >0: 0< x-a < δ f ( x) − f (a) < ε iii) Nếu a , a ,… = lim f (an ) f (a ) ∈ X, lim an a= iv) a điểm cô lập X v) lim f ( x) = f (a ) R R R R x→a 1.1.17 Định nghĩa (hàm liên tục đều) X ⊂ K , f : X → K , f liên tục X ∀ε > ∃δ >0: ∀x,y ∈ X mà x-y < δ ⇒ f ( x) − f ( y ) < ε 1.1.18 Định nghĩa (hàm khả vi) X ⊂ K , f : X → K , f khả vi a ∈ X đạo hàm f tồn f ' (a ) := lim x→a f ( x) − f (a) x−a f khả vi X khả vi a thuộc X Hàm f khả vi liên tục f khả vi đạo hàm liên tục 1.1.19 Định nghĩa Cho X ⊂ K Ánh xạ g: X → K đẳng mêtry g ( x ) − g ( y ) = x − y ∀x, y ∈ X Nếu g(X) khơng gian Banach X không gian Banach Ánh xạ h: X → K phép đồng dạng ∃α ∈ K , α ≠ : h ( x ) − h ( y ) = α x − y ∀x, y ∈ X , < α < h phép co Nếu h phép co X K khơng gian Banach h có điểm bất động X 1.1.20 Mệnh đề (tích không gian Banach) Cho E1 , , En K-khơng gian Banach với chuẩn E1 × × En K-không gian Banach với chuẩn ( x1 , , xn ) = x1 ∨ ∨ xn , , n : E1 × × En → R xác định x1 ∨ ∨ xn n = max { x1 , , x1 n } n 1.2 Trường số p-adic Q p bao đủ Q theo chuẩn p-adic gọi trường số p-adic R R Kí hiệu S tập dãy số Cauchy thuộc Q theo chuẩn p-adic p R , S ta R xác định quan hệ tương đương ~ sau: {x n }~{y n } lim (x n -yn )=0 (theo chuẩn p-adic) R R R R R R R R Phần tử Q p lớp tương đương theo quan hệ ~ với phép cộng R R phép nhân Q p định nghĩa sau: R R { xx } + { yn } ={ xn + yn } { xx }{ yn } = { xn yn } Q p với phép cộng phép nhân định nghĩa lập thành R R trường gọi trường số p-adic Q xem trường Q p với ánh xạ nhúng i: Q → Q p biến R R phần tử a ∈ Q thành {a} ∈ Q p Q dày đặc Q p R RP Với phần tử a ∈ Q p suy a= {an } a = lim an Q p trường đầy đủ khơng đóng đại số R R Q p tập compac địa phương không tập compac R R 1.2.1 Mệnh đề (Khai triển p-adic) U U x ∈ Q p , x biểu diễn dạng chuỗi sau: Trường hợp n=1, ta biết chương trước Giả sử mệnh đề trường hợp n-1 Ta chứng minh mệnh đề trường hợp n n a ∈ X bất kì, f hàm C a ∈ X nên tồn lân cận U (a,…,a) P P cho Φ n f bị chặn U ∩ ∇ n +1 X Giả sử lân cận đó, Φ n f bị chặn M Khi tồn δ để ( x1 , , xn , y1 , , yn ) ∈∇ n X cho xi − a < δ , yi − a < δ ∑(x n yn ) Φ n −1 f ( x1 , x2 , , xn ) − Φ n −1 f ( y1 , , = j =1 j − y j )Φ n f ( y1 , y j , x j , , xn ) suy Φ n −1 f ( x1 , , xn ) − Φ n −1 f ( y1 , , yn ) ≤ M δ ⇒ lim Φ n −1 f ( w ) tồn w →a Theo giả thiết quy nạp suy ⇒ f ∈ C n −1 ( X → K ) ~ Theo mệnh đề 3.2.5, tồn Φ n f mở rộng liên tục Φ n f X n +1 \ ∆ ~ n +1 Φ n f ( a1 , , an +1 ) , ( a1 , , an +1 ) ∈ X \ ∆ Xây dựng Φ n f ( a1 , , an +1 ) =  Φn f (v ) , a = ( a, , a ) lim v→a Dễ thấy Φ n f mở rộng liên tục Φ n f X n +1 Suy f ∈ C n ( X → K ) Chiều thuận mệnh đề hiển nhiên 3.2.8 Hệ U f : X → K , n ∈ N * Giả sử X có phủ mở U i cho f thu hẹp U i hàm C n Khi f hàm C n X ( f ∈ C n ( X → K ) ) Đặc biệt, hàm địa phương hàm C ∞ 3.2.9 Mệnh đề U f :X →K Nếu Φ n f bị chặn với n f hàm C ∞ Chứng minh U Do Φ n f bị chặn nên với a thuộc X tồn δ để ( x1 , , xn , y1 , , yn ) ∈∇ n X cho xi − a < δ , yi − a < δ theo mệnh đề ta có: Φ n −1 f ( x1 , x2 , , xn ) − Φ n −1 f ( y1 , , yn ) = ∑(x n j =1 j − y j )Φ n f ( y1 , y j , x j , , xn ) ≤ M δ Suy lim Φ n −1 f ( w ) tồn w →a Vậy f ∈ C n −1 ( X → K ) Do Φ n f bị chặn với n nên ta suy f ∈ C n −1 ( X → K ) với n, f hàm C ∞ 3.3 Công thức Taylor cho hàm Cn P P 3.3.1 Mệnh đề U Cho f ∈ C n ( X → K ) , Dn f ( a ) = Φ n f ( a, a, , a ) Khi đó: n −1 ∀x, y ∈ X ta có: f ( x= ) f ( y ) + ∑ ( x − y ) D j f ( y ) + ( x − y ) Φ n f ( x, y, , y ) j n j =1 Chứng minh U Với n=1 f ( x= ) f ( y ) + ( x − y ) Φ1 f ( x, y ) (biểu thức đúng) Giả sử biểu thức cho trường hợp n-1, tức là: Nếu f ∈ C n −1 ( X → K ) n−2 f ( x= ) f ( y) + ∑ ( x − y) Dj f ( y) + ( x − y) j n −1 j =1 Φ n −1 f ( x, y, , y ) Ta chứng minh cho trường hợp n Vì f ∈ C n ( X → K ) nên f ∈ C n −1 ( X → K ) , theo giả thiết quy nạp ta có: n−2 f ( x= ) f ( y) + ∑ ( x − y) Dj f ( y) + ( x − y) j n −1 Φ n −1 f ( x, y, , y ) n −1 Φ n −1 f ( x, y, , y ) j =1 n−2 = f ( y) + ∑ ( x − y) Dj f ( y) + ( x − y) j j =1 − ( x − y) n −1 Dn −1 f ( y ) n−2 = f ( y) + ∑ ( x − y) Dj f ( y) + j j =1 ( x − y) n −1 Φ n −1 f ( x, y, , y ) − Dn −1 f ( y )  + Φ n −1 f ( x, y, , y )   n −1 = f ( y ) + ∑ ( x − y ) D j f ( y ) + ( x − y ) Φ n f ( x, y, , y ) j n j =1 3.3.2 Mệnh đề U Cho f ∈ C n ( X → K ) , đó: f ( j ) j ! D j f , f khả vi n lần= 1≤ j≤ n Chứng minh U Trước hết, ta chứng minh Dn −1 f hàm C1 ( Dn −1 f ) ' = nDn f P P Thật vậy, ta có: f ∈ C n ( X → K ) nên f ∈ C n −1 ( X → K ) ∀x, y ∈ X , x ≠ y thì: Dn −1 f ( x ) − Dn −1 f ( y ) Φ1 Dn −1 f ( x, y ) = x− y = = Φ n −1 f ( x, , x ) − Φ n −1 f ( y, , y ) x− y ( x − y ) Φ n f ( x, y, , y ) + ( x − y ) Φ n f ( x, x, y , y ) + + x− y + ( x − y ) Φ n f ( x, , x, y ) x− y = Φ n f ( x, y, , y ) + Φ n f ( x, x, y , y ) + + Φ n f ( x, , x, y ) hàm liên tục nên Dn −1 f hàm C1 P P Trong đẳng thức trên, cho y → x ta được: Φ1 Dn −1 f ( x, y ) → ( Dn −1 f ) ( x ) ' Φ n f ( x, y, , y ) + Φ n f ( x, x, y , y ) + + Φ n f ( x, , x, y ) → nΦ n f ( x, , x ) Vậy ( Dn −1 f ) ' =nΦ n f =nDn f Thay n j (1 ≤ j ≤ n ) , ta được: (D j −1 f ) ' =j Φ j f =jD j f Vì vậy: j !Dj f = = ( D1 f ) ( j − 1)!( D j −1 f ) = ( j − 1)!( jD j f ) = ( j −1) ' = f( ) j 3.3.3 Hệ U Nếu char(K)=p f ∈ C p ( X → K ) f ( p ) = 3.4 Một số kết hàm Cn P Trong phần chúng tơi chứng minh tính đầy đủ không gian hàm khả vi liên tục bị chặn bậc n, đưa ví dụ chứng minh số hàm Cn P P 3.4.1 Mệnh đề ( Tính đầy đủ khơng gian hàm Cn bị chặn) U U P P ( BC ( X → K ) , ) K-không gian Banach n n Chứng minh U Ta có B ( X → K ) , B ( X → K ) , , B ( X n → K ) K-không gian Banach nên B ( X → K ) × B ( X → K ) × × B ( X n → K ) K-không gian Banach Xây dựng ánh xạ ψ sau: ψ : BC n ( X → K ) → B ( X → K ) × × B ( X n → K ) ( ψ biến f thành f , Φ1 f , , Φ n f ) Khi ψ đẳng mêtry, thật vậy: Với f , g ∈ BC n ( X → K ) , ta có: f − g n= f − g ∞ ∨ Φ1 ( f − g ) ∞ ∨ ∨ Φ n ( f − g ) ∞= ψ ( f ) −ψ ( g ) Ta chứng minh BC n ( X → K ) khơng gian đóng Lấy f1 , f , dãy hội tụ BC n ( X → K ) , giả sử hội tụ f , lấy k ∈1, n , ta chứng minh Φ k f có mở rộng liên tục Φ k f Do Φ k f n → Φ k f nên ∀ε > 0, ∃n1 : ∀n > n1 ⇒ Φ k f n ( x1 , , xk ) − Φ k f ( x1 , , xk ) < ε Mặt khác Φ k f n → Φ k f điểm nên ∃δ : xi − yi < δ ⇒ Φ k f n ( x1 , , xk ) − Φ k f ( y1 , , yk ) < ε Vậy n > n1 xi − yi < δ thì: Φ k f ( x1 , , xk ) − Φ k f ( y1 , , yk ) ≤ Φ k f ( x1 , , xk ) − Φ n f ( x1 , , xk ) ∨ Φ k f n ( x1 , , xk ) − Φ k f ( y1 , , yk ) < ε Ta xây dựng Φ k f sau: k +1 Φ k f ( x1 , , xk +1 ) ; ( x1 , , xk +1 ) ∈∇ X Φ k f ( x1 , , xk +1 ) :=  , x : ( x1 , , xk +1 ) ∈ X k +1 \ ∇ k +1 X Φ k f ( y )= lim y→x Khi Φ k f mở rộng liên tục Φ k f nên f thuộc BC n ( X → K ) Vậy BC n ( X → K ) khơng gian đóng Vì ψ đẳng mêtry BC n ( X → K ) khơng gian đóng nên ψ ( BC n ( X → K ) ) tập đóng B ( X → K ) × B ( X → K ) × × B ( X n → K ) mà B ( X → K ) × B ( X → K ) × × B ( X n → K ) không gian Banach ψ ( BC n ( X → K ) ) không gian Banach Vậy ( BC n ( X → K ) , n ) K-không gian Banach 3.4.2 Mệnh đề U Hàm giải tích địa phương C ∞ Chứng minh U f : X → K hàm giải tích, khơng tính tổng quát, ta giả sử ∞ f= ( x) ∑ a j x j ( x ≤ r ); r ∈ K X j =0 Xét γ j : X → K , γ j ( x) = x j ( x ≤ r) r j − n ,0 ≤ n ≤ j (1) Ta chứng minh Φ n (γ j ) ∞ =  (2) 0 , n > j Có (2) mệnh đề 3.2.1 Ta chứng minh (1) Chứng minh Φ nγ j ( x , , x ) ≤ r j −n quy nạp ( n ≤ j ) n+1 Φ 0γ j ( x1 ) = γ j ( x1 ) = x1j Với n = Φ 0γ j ( x1 ) = x1j ≤ r j (đúng) Giả sử cho trường hợp n − (0 < n −1 < j ) Φ n −1γ j ( x1 , , xn ) ≤ r j − n +1 Ta chứng minh: Φ nγ j ( x1 , , xn +1 ) ≤ r j − n Ta có: Φ n γ j (x1 , , x n +1 ) = Φ n γ.γ j−1 (x1 , , x n +1 ) n j−1 = ∑ Φ k γ (x1 , , x k +1 ).Φ n − k γ (x k +1 , , x n +1 ) k =0 = Φ γ ( x1 ) Φ n γ j−1 (x1 , , x n +1 ) + Φ1γ ( x1 , x ) Φ n −1γ j−1 (x , , x n +1 ) = x1Φ n γ j−1 (x1 , , x n +1 ) + Φ n −1γ j−1 (x , , x n +1 ) Suy Φ n γ j (x1 , , x n +1 ) ≤ r Φ nγ j −1 ( x1 , , xn +1 ) ∨ r j − n ≤ r.r Φ nγ j − ( x , , xn +1 ) ∨ r j −n ≤ … Tiếp tục sau j-n bước ta có Φ n γ j (x1 , , x n +1 ) ≤ r j − n Φ nγ n ( x1 , , xn +1 ) ∨ r j − n Do phần chứng minh mệnh đề 3.2.1 ta có Φ nγ n ( x1 , , xn +1 ) =1 Vậy Φ n γ j (x1 , , x n +1 ) ≤ r j − n Do Φ nγ j r j − n ,0 ≤ n ≤ j ≤ ∞ 0 ,n > j ∞ Suy Φ n f ∞ = ∑ a j Φ nγ j j =0 { sup { a ∞ ≤ sup a j r j − n : j ≥ n} ≤ j r j : j ≥ 0} < ∞ Vậy Φ n f bị chặn ∀n nên theo mệnh đề 3.2.9 ta có f ∈ C ∞ 3.4.3 Mệnh đề U ∞ = f ( x ) ∑ an x n ( x ∈ D) giải tích, D tập lồi mở chứa 0, n =0 an = Dn f (0,0, ,0) n = 0,1, 2, Chứng minh U Ta có: j ! D j f ⇔ j !D j f ⇔ Dj f (0, ,0) (0, ,0) (0, ,0) = f ( j ) (0, ,0) = j !a j = a j ( trường hợp char(K) =0) Với char(K) = p f ( j ) = ∀j ≥ p nên D j f (0, ,0) = a j ∀j < p 3.4.4 Mệnh đề U f : X → K , phát biểu sau tương đương f ∈ C n ( X → K ) D1 f= D2 f= = Dn f= lim ( x , y )→a f ( x) − f ( y ) = ∀a ∈ X ( x − y)n Nếu char(K)=0 (1) (2) tương đương với (3) f ∈ C n ( X → K ) f ' = Chứng minh U Ta chứng minh 2) suy 1) Lấy a ∈ X, ε > ∃δ cho f ( x) − f ( y ) < ε ∀x, y ∈ Ba(δ ) ∩ X ( x − y)n ( x ≠ y) { Chứng minh: Φ j f ( x1 , , x j +1 ) < ε d ( x1 , , x j +1})n − j ; j ≤ n, j ≥ ; x j ∈ Ba(δ ) Với j = n −1 Φ1 f ( x1, x2 ) < ε d ({ x1 , x2 })n −1 = ε x1 − x2 ⇔ f ( x1 ) − f ( x2 ) < ε (Đúng) ( x1 − x2 )n Giả sử cho trường hợp j= n − Φ n −1 f ( x1 , , xn ) < ε d ({ x1 , , xn })n −( n −1) < ε d ({ x1 , , xn }) Ta chứng minh: Φ n f ( x1 , , xn +1 ) < ε Φ n −1 f ( x1 , , xn ) − Φ n −1 f ( x1 , , xn −1 , xn +1 ) Φ n f ( x1 , , xn +1 ) = xn − xn +1 ) xn − xn +1 ( tính chất đối Khơng tính tổng quát ta giả sử d ({ x1 , , xn +1}= xứng Φ n f ) Φ n f ( x1 , , xn +1 ) ≤ ≤ Vì Φ n −1 f ( x1 , , xn ) Φ n −1 f ( x1 , , xn −1 , xn +1 ) ∨ d ({ x1 , , xn +1}) d ({ x1 , , xn +1}) ε d ({ x1 , , xn }) ε d ({ x1 , , xn −1 , xn +1}) d ({ x1 , , xn +1}) ∨ d ({ x1 , , xn +1}) d ({ x1 , , xn }) d ({ x1 , , xn −1 , xn +1}) ≤ 1, ≤1 d ({ x1 , , xn +1}) d ({ x1 , , xn +1}) Suy Φ n f ( x1 , , xn +1 ) ≤ ε Vậy lim Φ n f ( x1 , , xn +1 ) = ( x , , xn +1 )→( a, , a ) ⇒ f ∈Cn (X → K ) Kế đến ta chứng minh D1 f= D2 f= = Dn f= Ta chứng minh f ∈ C n ( X → K ) , áp dụng công thức Taylor f ( x) − f ( y ) = ( x − y ) D1 f ( y ) + ( x − y )2 D2 f ( y, y ) + ( x − y )n −1 Dn −1 f ( y, y ) + ( x − y )n Φ n f ( x, y , y ) Vì lim ( x, y )→a f ( x) − f ( y ) ∀a ∈ X = ⇒ D1 f (a) = x− y Tương tự ta có D j f (a) = ∀j =1, n Ta chứng minh 1) suy 2) Vì f ∈ C n , D1 f = == Dn f áp dụng cơng thức Taylor ta có f ( x) − f ( y ) =( x − y )n Φ n f ( x, y , y ) Nên f ( x) − f ( y ) = Φ n f ( x, y , y ) Lấy giới hạn vế (x, y) → a ( x − y)n Ta có lim ( x , y ) →( a , a ) f ( x) − f ( y ) = D= n f (a) n ( x − y) Ta chứng minh 1) tương đương 3) char(K)=0 Ta chứng minh 3) suy 1) Do 3) nên ta có f ∈ C n ( X → K ) f ' = 0, f ( n ) = 0∀n , mặt khác f ∈ C n ( X → K ) nên theo mệnh đề 3.3.2 ta có n ! Dn f = f ( n ) , char(K) khác nên từ đẳng thức n ! Dn f = f ( n ) f ( n ) = 0∀n suy Dn f = 0∀n Ta chứng minh 1) suy 3) Do 1) nên f ∈ C n ( X → K ) , mặt khác 1) tương đương với 2) nên ta có lim ( x , y )→a f ( x) − f ( y ) f ( x) − f ( y ) = ∀a ∈ X , lấy n=1 ta có lim = nên f ' =0 n ( x , y )→a ( x − y) ( x − y) 3.4.5 Mệnh đề U  ∞  ∞ Cho f : Z p → Q p xác định sau: f  ∑ a j p j  = ∑ a j p j! Khi f hàm   =j 0=j C ∞ Dn f= ∀n Chứng minh U Đầu tiên ta nhận xét x, y ∈ Z p x-y = p − j ⇒ f (x)-f (y) = p − j! Lấy n số tự nhiên bất kì, ta có: f ( x ) − f ( y ) p − j! = → j → ∞ n p − nj ( x − y) ( x → y) Theo mệnh đề 3.4.4 suy f ∈ C n ( X → K ) D1 f= D2 f= = Dn f= với n Suy f ∈ C ∞ ( Z p → Q p ) Dn f= ∀n 3.4.6 Mệnh đề U C ( Z p → Q p ) ⊃ C1 ( Z p → Q p ) ⊃ ⊃ C n ( Z p → Q p ) ⊃ Chứng minh U Chứng minh C ( Z p → Q p ) ⊂ C n −1 ( Z p → Q p ) n với số tự nhiên n  ∞  ∞ Xây dựng ánh xạ f : Z p → Q p sau f  ∑ a j p j  = ∑ a j p nj   =j 0=j Ta chứng minh f ∈ C f ( x) − f ( y) Thật vậy: = x− y ⇒ lim ( x , y ) →( a , a ) n −1 (Z p → Qp ) x− y n −1 = x− y x− y f ( x) − f ( y) = n −1 x− y n x− y lim = ( x , y ) →( a , a ) Do mệnh đề 3.4.4 nên ta có: f ∈ C n −1 ( Z p → Q p ) f ∉ C n ( Z p → Qp ) Giả sử f ∈ C n ( Z p → Q p ) , theo mệnh đề 3.3.2 ta có: n ! Dn f = f ( n ) Bên cạnh f ' = ⇒ f (n) = nên Dn f = với n ( D j f = 0∀j < n ) Mặt khác theo cơng thức Taylor ta có: n −1 f ( x= ) f ( y ) + ∑ ( x − y ) D j f ( y ) + ( x − y ) Φ n f ( x, y, , y ) j j =1 ⇔ f ( x= ) f ( y ) + ( x − y ) Φ n f ( x, y, , y ) n Lấy giới hạn vế x → y ta lim x→ y f ( x) − f ( y) = lim Φ n f ( x, y, , y ) n x→ y x− y ⇔1= (!) n Vậy f ∉ C n ( Z p → Q p ) KẾT LUẬN Tóm lại luận văn làm số vấn đề sau đây: -Đưa cần thiết phải có định nghĩa hàm khả vi liên tục chứng minh định nghĩa hợp lý trường hợp phi Acsimet -Định nghĩa hàm khả vi liên tục bậc bậc định nghĩa tương đương -Trình bày tính chất, kết hàm khả vi liên tục bậc bậc -Đưa ví dụ hàm khả vi liên tục bậc bậc 2, hàm khả vi liên tục bậc hàm khả vi liên tục bậc -Định nghĩa hàm khả vi liên tục bậc n định nghĩa tương đương -Trình bày tính chất, kết hàm khả vi liên tục bậc n cho ví dụ minh hoạ Về ứng dụng hàm khả vi liên tục phi Acsimet giải tích p-adic lý thuyết số cịn nhiều tốn mở Nếu điều kiện cho phép chúng tơi trở lại đề tài lần TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh Hu, D.C and Yang, C.C (2000) , Value distribution theory of p-adic meromorphic functions, Hong Kong K Mahler (1973), Introduction to p-adic numbers and their function, Cambridge university press Koblitz, Neal (1991), P-adic number, p-adic analysis and zeta-function, Springer-Verlag N.Koblitz (1980), P-adic analysis: a short course on recent work, Cambridge university press Serge Lang (1994), Algebraic number thoery, Springer Svetlanta Katok (2001) , Real and p-adic analysic course notes for math 497C MASS, USA W.H Schikhof (1984), Utrametric calculus, Cambridge university press Tiếng Việt Đậu Thế Cấp (1992), Giải tích hàm, Nhà xuất giáo dục Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, Nhà xuất giáo dục DANH MỤC TỪ KHOÁ BC ( X → K ) ,8 BC1 ( X → K ) ,17 BC ( X → K ) ,23 BC n ( X → K ) ,35 B ∪ C ( X → K ) ,8 C ( X → K ) ,8 C1 ( X → K ) ,16 C ( X → K ) , 23 C n ( X → K ) ,35 C ∞ ( X → K ) ,35 UC ( X → K ) ,8 Φ1 f , Φ1 f ,16 Φ f , Φ f , 23 Φ n f , Φ n f ,35 n , 17 , 36 Chuẩn,3 Đặc số trường,4 Đẳng mêtry, Định lý giá trị trung bình, 12 Giải tích, 10 Giải tích địa phương, 10 Hàm địa phương, 10 Hensel, 21 Hội tụ đều, Hội tụ điểm, Khả vi, Khai triển p-adic, Liên tục, Liên tục đều, Nguyên lý tam giác cân, Phép đồng dạng, Phép co, Số nguyên p-adic Taylor, 28, 46 ... Chương II: Hàm khả vi, liên tục phi Acsimet bậc bậc U U Xây dựng nghiên cứu tính chất hàm khả vi liên tục phi Acsimet bậc bậc cho số ví dụ cụ thể Chương III: Hàm khả vi, liên tục phi Acsimet bậc... phi Acsimet, cần thiết phải có định nghĩa tốt hàm khả vi liên tục phi Acsimet (Từ sau, luận văn khơng nói thêm ta hiểu hàm khả vi liên tục hàm khả vi liên tục phi Acsimet) 2.2.1 Định nghĩa ( hàm. .. nghĩa hàm khả vi liên tục trường hợp phi Acsimet nhằm thỏa mãn số tính chất tảng hàm khả vi liên tục biết Sau đó, chúng tơi trình bày số kết hàm khả vi liên tục bậc bậc giải tích phi Acsimet 2.1 Hàm