Quan niệm của giáo viên và học sinh trung học phổ thông về khái niệm hàm số liên tục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thu Hảo QUAN NIỆM CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thu Hảo QUAN NIỆM CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC Chuyên ngành : Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN ANH DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Lời xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Anh Dũng, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô: PGS TS Lê Văn Tiến, PGS TS Lê Thị Hoài Châu, PGS TS Nguyễn Chí Thành, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, TS Nguyễn Thị Nga truyền đạt cho kiến thức thú vị didactic Tốn học bổ ích nghề nhà giáo Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến giáo sư: GS Claude Comiti, GS Annie Besot, GS Alain Birebent lời góp ý bổ ích cho luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn: - Ban lãnh đạo chuyên viên phòng SĐH trường ĐHSP TP.HCM tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ chúng tơi q trình học tập trường - Ban giám hiệu thầy cô em học sinh trường: THPT Ngô Gia Tự, THPT Phan Bội Châu nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình thực luận văn - Tập thể lớp Lí luận phương pháp dạy học mơn Tốn K24 đồng hành thời gian học tập trường Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới người thân gia đình giúp đỡ động viên tơi nhiều suốt q trình học tập NGUYỄN THỊ THU HẢO MỤC LỤC MỤC LỤC DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT DANH MỤC CÁC BẢNG DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài câu hỏi xuất phát Lý thuyết tham chiếu Mục tiêu câu hỏi nghiên cứu 3.1 Mục tiêu nghiên cứu 3.2 Câu hỏi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Tổ chức luận văn Chương TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU VỀ KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 10 1.1 Những quan niệm đặc trưng trình hình thành phát triển khái niệm HSLT lịch sử 10 1.1.1 Các đặc trưng khoa học luận khái niệm hàm số liên tục 10 1.1.2 Những chướng ngại khoa học luận 12 1.1.3 Quan niệm nguyên thủy (QNT) 12 1.1.4 Quan niệm hình học Descartes (QHD) 12 1.1.5 Quan niệm hình học Euler (QHE) 13 1.1.6 Quan niệm số hoá Cauchy (QSC) 13 1.1.7 Quan niệm số hoá Weierstrass (QSW) 15 1.1.8 Quan niệm Baire (QNB) 15 1.1.9 Quan niệm tôpô (QT) 16 1.2 Một số nghiên cứu quan niệm GV HS THPT khái niệm HSLT 16 1.2.1 Một số kết luận án tiến sĩ Habiba El Bouazzaoui (1988) 16 1.2.2 Một số kết luận án tiến sĩ Bridgers L C (2007) 28 1.3 Kết luận chương 40 Chương NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH GIẢNG DẠY CỦA GIÁO VIÊN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC 42 2.1 Những quan niệm đặc trưng khái niệm HSLT SGK Việt Nam hành 42 2.2 Nghiên cứu thực hành giảng dạy GV THPT khái niệm HSLT 49 2.3 Kết luận chương giả thuyết nghiên cứu 61 Chương MỐI QUAN HỆ CÁ NHÂN CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC 62 3.1 Bộ câu hỏi điều tra học sinh (lớp 10 lớp 11) 62 3.1.1 Phân tích tiên nghiệm câu hỏi điều tra học sinh 68 3.1.2 Phân tích hậu nghiệm câu hỏi điều tra học sinh 76 3.2 Bộ câu hỏi điều tra giáo viên 91 3.2.1 Phân tích tiên nghiệm câu hỏi điều tra giáo viên 94 3.2.2 Phân tích hậu nghiệm câu hỏi điều tra giáo viên 96 3.3 Kết luận chương 103 KẾT LUẬN 104 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Từ viết tắt Từ đầy đủ HS học sinh HSLT hàm số liên tục GV giáo viên SGK sách giáo khoa THPT trung học phổ thông tr Trang DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1 Bảng tóm tắt tiến triển đặc trưng khoa học luận khái niệm hàm số liên tục (Trích theo Bouazzaoui H E [15, tr 126]) 11 Bảng 2.1: Các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm hàm số liên tục (trích theo [3, tr.100-101-102]) 47 Bảng 2.2: Bảng thống kê sáu thời điểm tổ chức toán học GV lựa chọn tiết dạy 59 Bảng 3.1: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 1) 77 Bảng 3.2: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 1) 77 Bảng 3.3: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 1) 78 Bảng 3.4: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 1) 78 Bảng 3.5: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 1) 82 Bảng 3.6: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 1) 82 Bảng 3.7: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 2) 84 Bảng 3.8: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 2) 84 Bảng 3.9: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 2) 85 Bảng 3.10: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 2) 85 Bảng 3.11: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 2) 87 Bảng 3.13: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 2) 88 Bảng 3.15: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 2) 89 Bảng 3.16: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 2) 89 Bảng 3.17: Kết trả lời câu hỏi 10 (bộ câu hỏi 2) 90 Bảng 3.18: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 3) 96 Bảng 3.19: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 3) 97 Bảng 3.20: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 3) 98 Bảng 3.22: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 3) 98 Bảng 3.23: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 3) 99 Bảng 3.24: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 3) 99 Bảng 3.25: Kết trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 3) 100 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 3.1: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi 1-2 (bộ câu hỏi 1) 78 Hình 3.2: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 1) .80 Hình 3.3: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 1) .82 Hình 3.4: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi 5-6 (bộ câu hỏi 1) 83 Hình 3.5: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi 2-3 (bộ câu hỏi 2) 84 Hình 3.6: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 2) .85 Hình 3.7: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 2) .87 Hình 3.8: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 2) .87 Hình 3.10: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 2) .88 Hình 3.12: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 2) .89 Hình 3.13: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi 10 (bộ câu hỏi 2) 90 Hình 3.14: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 3) .97 Hình 3.15: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 3) .98 Hình 3.16: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 3) .99 Hình 3.17: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 3) 100 Hình 3.18: Hình minh hoạ câu trả lời câu hỏi (bộ câu hỏi 3) 102 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài câu hỏi xuất phát Theo Trần Anh Dũng (2013), luận án tiến sĩ “Dạy học khái niệm liên tục trường trung học phổ thông” [3]: Hàm số liên tục (HSLT) đối tượng giải tích Nó cơng cụ nghiên cứu nhiều đối tượng khác như: đạo hàm, vi phân, tích phân, phương trình vi phân,…; sở cho việc xây dựng hình học phương pháp tiên đề chủ đề nghiên cứu Tôpô [3, tr.13] Ở Việt Nam có nhiều cơng trình nghiên cứu khái niệm HSLT Chẳng hạn, luận văn thạc sĩ “Khái niệm liên tục nghiên cứu khoa học luận didactic” tác giả Trần Anh Dũng (2005) Tác giả nghiên cứu đặc trưng khoa học luận khái niệm liên tục Đồng thời, tác giả thực nghiên cứu thể chế Tốn trung học phổ thơng (THPT) dựa chương trình chỉnh lí hợp năm 2000 với khái niệm liên tục giai đoạn ngầm ẩn tường minh Cuối cùng, tác giả đưa giả thuyết thực nghiệm kiểm chứng tồn ngầm ẩn quy tắc hợp đồng didactic liên quan đến kiểu nhiệm vụ vẽ đồ thị hàm số cấp độ trước lớp 11 kiểu nhiệm vụ chứng minh tồn nghiệm phương trình khoảng (ở lớp 11) Theo Trần Anh Dũng (2013), [3], tác giả thực nghiên cứu dạy học khái niệm HSLT quan điểm so sánh thể chế dạy học khác ảnh hưởng lựa chọn chuyển hóa sư phạm Việt Nam học sinh (HS) Nghiên cứu lựa chọn cách tiếp cận khái niệm HSLT theo đường tắt, bỏ qua đặc trưng khoa học luận khái niệm ảnh hưởng quan niệm HS Ở đây, “quan niệm” hiểu theo nghĩa mà Habiba El Bouazzaoui (1988) đề xuất luận án “Quan niệm học sinh giáo viên khái niệm tính liên tục hàm số” [15]: Quan niệm” tập hợp qui tắc, thực tiễn, kiến thức nói chung cho phép giải loại tình vấn đề cách thỏa mãn, tình khác quan niệm thất bại [15] Conceptions des élèves et des professeurs propos de la notion de continuité d’une fonction Chẳng hạn, “hàm số liên tục hàm số xác định biểu thức nhất”, “miền liên tục hàm số miền xác định” quan niệm theo nghĩa H E Bouazzaoui Võ Thị Vân Thuỷ (2014), luận văn thạc sĩ “Một nghiên cứu dạy học hàm số liên tục bậc trung học phổ thông”, thực nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối tượng HSLT thể chế Đại số Giải tích 11 hành Đồng thời, so sánh với thể chế dạy học bậc cao đẳng Mỹ: Giáo trình “Caculus: Early Transcendentals” James Stewart Từ đó, tác giả tiến hành thực nghiệm nhằm kiểm chứng quan niệm HS mối quan hệ tính liên tục tính khả vi hàm số phương diện đồ thị Tiếp đó, tiểu đồ án tổ chức với mơi trường đồ thị nhằm mục đích làm rõ mối quan hệ tính liên tục tính khả vi hàm số Như vậy, khái niệm HSLT đối tượng nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Tuy nhiên Việt Nam, việc tìm hiểu quan niệm giáo viên (GV) HS giai đoạn ngầm ẩn tường minh khái niệm HSLT chưa trọng Nghiên cứu [3] để ngỏ vấn đề này, đặc biệt việc tìm hiểu quan niệm HS GV quyền hạn GV hợp đồng dạy học dự đoán, ảnh hưởng thể chế dạy học đến quan niệm GV HS Ở nước ngoài, việc nghiên cứu quan niệm GV HS khái niệm HSLT hình thành nên chủ đề quan trọng Chẳng hạn, luận án tiến sĩ thuộc khối Pháp ngữ Habiba El Bouazzaoui (1988) thực Đại học Laval (Canada) với chủ đề “Quan niệm học sinh giáo viên khái niệm tính liên tục hàm số” Luận án thực theo trường phái Didactic Toán, thể chế dạy học THPT Maroc Trong luận án, tác giả nghiên cứu quan niệm GV HS khái niệm HSLT so sánh quan niệm GV HS Tuy nhiên việc nghiên cứu thực chương trình sách giáo khoa giai đoạn 1945 đến 1976, có nhiều khác biệt so với Luận án tiến sĩ thuộc khối Anh ngữ Bridgers L C (2007) thực đại học Syracuse, New York với đề tài “Khái niệm tính liên tục: Một nghiên cứu đối ………………………………………………………………… Câu Cho hàm số f :  →   sin x  f ( x) =  x 0  nê' u x ≠ nê' u x = Hỏi hàm số f có liên tục x = không ? Tại ? ………………………………………………………………… Nháp ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… Câu Khoanh tròn vào đáp án cho điền chúng vào dấu “…” để mệnh đề đúng: “Mỗi hàm số liên tục …” Đối với đáp án không chọn, giải thích ? g) có đồ thị liền nét h) biểu diễn cơng thức i) khả vi j) có giới hạn số thực k) có giới hạn điểm miền xác định l) xác định số thực ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… Nháp Câu 10 “Giả sử học sinh lớp 10 nhìn thấy sách tốn em hỏi: hàm số liên tục ? Em trả lời ?” (Chú ý: HS lớp 10 chưa học giải tích) ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………… ………………………………………………………………… Xin chân thành cảm ơn em ! Nháp Phụ lục Kính thưa quý Thầy Cô! Để chuẩn bị cho luận văn tốt nghiệp cao học, em cần số thông tin việc dạy học khái niệm hàm số liên tục (HSLT) trường THPT Em mong nhận đóng góp ý kiến từ q Thầy Cơ Em xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô ! Em Nguyễn Thị Thu Hảo Mọi thông tin cá nhân q Thầy Cơ luận văn giữ bí mật mã hóa nhằm đảm bảo riêng tư q Thầy Cơ Xin Thầy (Cơ) vui lịng cho biết thơng tin thân: Tuổi: ……… Số năm giảng dạy: ………… năm Số năm giảng dạy giải tích: ………… năm Phụ lục Phiếu thực nghiệm số (dành cho GV) Số thứ tự: Câu Xin Thầy (Cơ) vui lịng cho biết giảng dạy khái niệm HSLT, Thầy (Cô) lựa chọn cách dẫn nhập vào theo cách ?  dẫn nhập theo hướng mà SGK đưa Ghi chú: “dẫn nhập theo hướng mà SGK đưa ra” hiểu GV sử dụng phần giới thiệu sau mục đề 8, Đại số Giải tích 11 Nâng cao, tr.168: “Trong định nghĩa giới hạn hàm số điểm, ta không giả thiết hàm số xác định điểm Hơn hàm số xác định điểm xét giới hạn (nếu có) giá trị hàm số điểm khơng thiết phải nhau.Tuy nhiên với hàm số thường gặp hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỉ, hàm số lượng giác…giới hạn giá trị hàm số điểm mà xác định Các hàm số có tính chất vừa nêu đóng vai trị quan trọng Giải tích ngành toán học khác Người ta gọi chúng hàm số liên tục.”  Cho hàm số y = f (x) biểu diễn hai cơng thức Tính f (x ), lim f ( x) (nếu có) so sánh giá trị (với x giá trị cụ thể) Từ dẫn nhập vào x → x0  Cho hàm số y = f (x) biểu diễn hai công thức Vẽ phác thảo đồ thị hàm số, minh họa liên tục hay không liên tục điểm x (với x giá trị cụ thể) Từ dẫn nhập vào  Cho hàm số y = f (x) biểu diễn hai cơng thức Tính f (x ), lim f ( x) (nếu có) so sánh giá trị (với x giá trị cụ thể) Vẽ phác thảo đồ thị x → x0 hàm số, minh họa liên tục hay không liên tục điểm x Từ dẫn nhập vào  Ý kiến khác: Xin Thầy (Cơ) vui lịng cho biết ? ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… Câu “Không tồn hàm số thỏa mãn: hàm số xác định điểm thuộc tập số thực hai công thức hàm số không liên tục điểm nào.” Xin Thầy (Cơ) vui lịng cho biết ý kiến phát biểu HS lí Thầy (Cơ) cho ví dụ minh họa Thầy (Cô) đánh dấu vào ô sai  Đúng  Sai ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… Câu “Không tồn hàm số thỏa mãn: hàm số liên tục điểm thuộc tập số thực hàm số khơng có đạo hàm điểm nào.” Xin Thầy (Cơ) vui lịng cho biết ý kiến phát biểu HS lí Thầy (Cơ) cho ví dụ minh họa Thầy (Cơ) đánh dấu vào ô sai  Đúng  Sai ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… Câu Cho toán: “f hàm số xác định  cho công thức: f (x) = 2x Hỏi hàm số f có liên tục  khơng ? Vì ?” Sau lời giải HS lớp 11: “Với ∀x0 ∈  , ta có lim f (= x) lim ( 2= x ) 2= x0 f ( x0 ) x → x0 x → x0 Vậy hàm số liên tục  ” Xin Thầy (Cơ) cho biết Thầy (Cơ) có nhận xét lời giải ?  Đúng  Sai ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ) Câu Cho toán sau: “Chứng minh hàm số f ( x= − x liên tục [-2; 2].” Sau lời giải hai HS lớp 11 HS A: “+ TXĐ: D = [-2; 2] + Lấy ∀x0 ∈ ( −2; 2) , ta có lim f (= x) lim − = x f ( x0 ) Suy hàm số f (x) liên x→ x x→ x 0 tục (-2; 2) + lim f ( x) =lim − x =0 =f (−2) x →−2+ x →−2+ + lim f ( x) =lim − x =0 =f (2) x → 2− x → 2− KL: Vậy hàm số f ( = x) − x2 liên tục [-2; 2].” HS B: “Ta có y = f ( x) = y ≥ y ≥ − x2 ⇔  ⇔ 2  y =4 − x  x + y =4 Vậy đồ thị hàm số f ( = x) − x2 nửa đường tròn x2+y2=4 phía Ox Nửa đường trịn hiển nhiên đường liền nét Vậy hàm số f ( = x) y f(x) = x2 O − x2 x liên tục [-2; 2].” Xin Thầy (Cơ) vui lịng cho điểm giải (theo thang điểm 10); Thầy (Cô) mong đợi lời giải HS xin Thầy (Cơ) cho biết ? HS A: ……… điểm; HS B: ……… điểm ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… Câu Xin Thầy (Cô) vui lịng cho biết Thầy (Cơ) nghĩ HS gặp phải điều khó khăn liên quan đến khái niệm hàm số liên tục ?  a HS gặp khó khăn việc tìm tập xác định hàm số cần xét tính liên tục  b Học sinh có khó khăn việc xác định khoảng, đoạn hay nửa khoảng mà hàm số liên tục  c HS gặp khó khăn việc tính giá trị hàm số điểm cần xét tính liên tục hàm số biểu diễn dạng nhiều công thức  d HS gặp khó khăn việc tính lim f ( x) hàm số biểu diễn dạng nhiều công x → x0 thức  e HS gặp khó khăn việc xác định giới hạn trái hay phải hàm số điểm mútkhi xét tính liên tục hàm số đoạn hay nửa khoảng  f HS gặp khó khăn việc liên hệ liên tục hay gián đoạn hàm số với đồ thị  g Học sinh gặp khó khăn trường hợp tốn ngược: “xác định tính liên tục hàm số mà đồ thị cho sẵn biểu thức hàm số” Trong nhiều trường hợp, HS gặp khó khăn vận dụng định nghĩa hàm số liên tục điểm  Ý kiến khác: Với khó khăn mà Thầy (Cơ) dự đốn, xin Thầy (Cơ) vui lịng cho biết theo Thầy (Cơ) nguyên nhân gì? Câu Xin Thầy (Cơ) vui lịng cho biết Thầy (Cơ) có lời khuyên cho GV dạy giải tích vào năm tới để truyền thụ cách khoa học sư phạm khái niệm hàm số liên tục ? ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… Xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô ! Phần để vẽ hình (nếu có) Phụ lục Biên ghi âm tiết dạy “Khái niệm hàm số liên tục” 1.GV kiểm tra cũ Bài Cho hàm số f ( x) = x Tính f(1), so sánh với lim f ( x) (nếu có) x →1 3 Bài g ( x) =   x + , nê' u x < , nê' u x ≥ Tính g (1), so sánh với lim g ( x) (nếu có) x →1 Bài  2x2 − 2x , nê' u x ≠  Cho hàm số h( x) =  x − 1 , nê' u x =  Tính h (-1) so sánh với lim h( x) (nếu có) x →1 HS lên bảng trình bày làm HS1: f (1) = lim f ( x) = = f (1) x →1 HS2: g(1) = lim g ( x) = , lim+ g ( x) = Suy không tồn lim g ( x) x →1− x →1 x →1 HS3: h(1) = x ( x − 1) x2 − x = lim = lim = 2x x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 f ( x) lim lim= x →1 Ta thấy lim h( x) ≠ h(1) x →1 GV sửa HS dẫn nhập vào HSLT + Ta thấy hàm số f (x), lim f ( x) = f (1) Ta nói hàm số f (x) liên tục x = x →1 + Ta thấy hàm số h (x), lim h( x) ≠ h(1) , ta nói hàm số h (x) không liên tục x = x →1 + Ta thấy hàm số g (x), Không tồn lim g ( x) , ta nói hàm số g (x) khơng liên tục x →1 x = Để cụ thể ta vào hàm số liên tục Ta qua 4.GV vào Tiết 68 HÀM SỐ LIÊN TỤC 1- Hàm số liên tục điểm Định nghĩa: Cho hàm số f (x) xác định khoảng (a; b) x0 ∈ (a; b) Hàm số f (x) gọi liên tục điểm x lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 Hàm số f (x) không liên tục điểm x ta nói gián đoạn điểm x GV: Muốn xét tính liên tục hàm số điểm x ta làm nào? HS: Tính f (x ), lim f ( x) , so sánh x → x0 GV: x không thuộc khoảng xác định hàm số ta có tính giá trị hàm số x không ? Một số HS: không GV: không, rồi.Nếu x không thuộc khoảng xác định hàm số ta khơng tính giá trị hàm số x Vì ta khơng thể so sánh lim f ( x) f (x ) Do hàm số khơng liên tục x → x0 Các e nhớ nha, hàm số không xác định x hàm số khơng liên tục x Tiếp theo GV nhắc lại bước tiến hành xét tính liên tục hàm số x : B1: Kiểm tra x có thuộc khoảng xác định hàm số không B2: Xét lim f ( x) x → x0 B3: Tính f (x ) B4: So sánh kết luận 10 GV: xét tính liên tục hàm số f ( x) = x x = Dũng nào, lên bảng làm cho Cô 11 HS:TXĐ: D =  f (0)= 0= lim f ( x)= lim x = 0= f (0) x →0 x →0 Vậy hàm số liên tục x = 12 Trong HS lên bảng làm bài, GV hỏi HS lớp cách vẽ đồ thị hàm số f ( x) = x HS không nhớ nên GV vào hình vẽ giải thích cho HS GV nhấn mạnh thêm rằng: đồ thị hàm số qua điểm x = đường liền nét 13 GV sửa làm Tiếp theo cho HS làm hoạt động  x + nê' u x ≤ HĐ2: Xét tính liên tục hàm số f ( x) =  điểm x = '  x − nê u x > y x + , với x > 1, đồ thị hàm số 14 GV giải thích hình vẽ: với x ≤ , đồ thị hàm số parabol = đường thẳng y = x – Các em ý nha, ta có dấu mũi tên đây, tức đường thẳng (ý đường thẳng y = x – 1) không lấy điểm x = Sau GV gọi HS lên bảng trình bày lời giải 15 HS: Hàm số có tập xác định: D =  x = 1∈ D f(1) = lim f = ( x) lim− ( x += 1) x →1− x →1 x) lim+ ( x −= lim f (= 1) x →1+ x →1 lim f ( x) ≠ lim+ f ( x) ⇒ ∃ lim f ( x) Hàm số gián đoạn x = x →1− x →1 x →1 16: GV sửa làm HS 17: GV: Trong hồi (tức HĐ1), hàm số liên tục x = ta thấy đồ thị đường liền qua x = Nhưng với đồ thị (GV vừa nói vừa vào hình vẽ HĐ2), x = đồ thị hàm số bị tách thành phần rời hàm số không liên tục x = 18 GV qua mục 2.Hàm số liên tục khoảng, đoạn Định nghĩa: + Cho hàm số f (x) xác định khoảng J (J khoảng hợp khoảng).Ta nói hàm số f (x) liên tục J liên tục điểm thuộc J + Hàm số f (x) liên tục đoạn [a; b] liên tục điểm thuộc khoảng (a; b) và: = lim+ f ( x) f= (a); lim− f ( x) f (b) x→a x →b Ví dụ: Xét tính liên tục hàm số f ( x= ) − x [-1; 1] 19 GV hướng dẫn HS tìm tập xác định hàm số: Điều kiện xác định thức ? 20 HS: Biểu thức không âm + TXĐ: D = [-1; 1] 21 GV: Muốn xét tính liên tục hàm số đoạn [-1; 1] trước hết ta xét tính liên tục hàm số khoảng (-1; 1) Sau ta xét giới hạn trái phải hai điểm đầu mút Mà muốn xét tính liên tục khoảng ta phải xét tính liên tục điểm khoảng Lấy ∀x0 ∈ (−1;1) , ta nhỉ, bạn đứng chỗ tính cho Cơ nào, mời em 22 HS: ta có lim f ( = x) lim − x= f ( x0 ) x → x0 x → x0 23 GV: Suy hàm số f (x) liên tục (-1; 1) 24 GV: ta làm ? Các em nhìn vào định nghĩa này, ta tính giới hạn phải giới hạn trái điểm đầu mút Em, cho Cô biết “ - 1” giới hạn phải hay giới hạn trái, đứng chỗ tính cho Cơ x) lim+ − = x2 25 HS: Thưa Cô, “ - 1” giới hạn phải lim+ f (= x →−1 x →−1 26 em tính cho Cô giá trị hàm số f “-1” ? 27 HS: f (-1) = 28 GV: lim+ f ( x) =lim+ − x =0 =f (−1) x →−1 x →−1 29 GV: tương tự vậy, e tính giới hạn điểm mút so sánh giá trị hàm số f “1” cho Cô ? 30 HS: lim− f ( x) =lim− − x =0 =f (1) x →1 x →1 31 GV: KL: Vậy hàm số f ( x= ) − x liên tục [-1; 1] 32 GV: em nhìn vào hình vẽ, [-1; 1], đồ thị hàm số đường liền nét Việc chứng minh hàm số liên tục ta vừa làm xong Các em nhớ nha, hàm số liên tục [-1; 1], đồ thị đoạn đường liền nét 33 GV đưa nhận xét: + Đồ thị hàm số liên tục khoảng, đoạn đường liền nét + Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm (trong trường hợp thương, giá trị mẫu số điểm phải khác 0) + Hàm đa thức hàm phân thức hữu tỉ (thương hai đa thức) liên tục tập xác định chúng (tức liên tục điểm thuộc tập xác định chúng) 34 GV: hàm số y = liên tục đâu ? x 35 HS: hàm hàm phân thức, có tập xác định D =  \ {0} nên hàm số liên tục  \ {0} 36 GV nêu nhận xét tiếp theo: +Các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx liên tục tập xác định chúng 37 GV: Hàm số y = sinx, y = cosx liên tục tập ? 38 HS: đoạn [-1; 1] 39 GV hướng dẫn: em xem hàm số sinx, cosx xác định cung x xác định, tức x thuộc đâu ? 40 HS: x ∈  41 GV: Hàm số y = sinx, y = cosx liên tục tập số thực  42 GV: Tiếp tục, hàm số y = tanx liên tục đâu ?  trừ họ phần tử ? 43 HS: π + kπ , k ∈  π  44 GV: hàm số y = tanx liên tục tập  \  + kπ , k ∈   2  45 GV: Hàm số y = cotx liên tục tập  \ {kπ , k ∈ } 46 GV cho ví dụ dẫn vào tính chất hàm số liên tục − x3 + 3x + liên tục [1;3] có đồ thị Ví dụ: Cho hàm số f ( x) = hình vẽ a Tính f (-1), f (3) So sánh f (-1) f (3) f(x) = x3 + 3·x2 + b Với M = nằm f (-1) f (3) Tìm c ∈ (1;3) cho f (c) = M 47 HS: a f (-1) = 5; f (3) = 48 GV thử lại cách thay x = -1 x = vào hàm số cho kết -1 tương tự: f (-1) > f (3) 49 GV: b f (c) = M, tức f (c) = Làm để tìm c ? HS khơng có ý kiến gì, GV hướng dẫn thêm − x3 + 3x + , suy f (c) = −c3 + 3c + , M = 3, ta có: 50 Các em xem f ( x) = −c + 3c + = ⇔ c − 3c + = Từ em giải phương trình bậc tìm c khơng ? 51 HS: có c =  52 GV: c − 3c + =0 ⇔ ( c − 1) ( c − 2c − ) = c =1 +  c = − 53 GV hướng dẫn HS nhìn vào hình vẽ giải thích kết tìm tốn GV bổ sung thêm: Nếu Cơ lấy M nằm f (-1) f (3) ta ln tìm giá trị c ∈ (1;3) cho f (c) = M (GV vừa nói vừa lên hình) Đây tính chất quan trọng HSLT, ta qua mục 3.Tính chất hàm số liên tục Định lí (Định lí giá trị trung gian hàm số liên tục): Cho hàm số liên tục [a;b], f (a ) ≠ f (b) với số thực M nằm f (a) f (b), tồn điểm c ∈ (a; b) cho f (c) = M Ý nghĩa hình học định lí: hàm số f liên tục đoạn [a; b] M số thực nằm f (a) f (b) đường thẳng y = M cắt đồ thị hàm số y = f (x) điểm có hồnh độ c ∈ ( a; b ) 54 GV: hình minh họa này, f (x) liên tục đoạn [a; b], đồ thị đường liền nét [a; b] Đường thẳng thẳng y = M cắt đồ thị hàm số y = f (x) điểm 55 GV: ta lấy f (a) f (b) trái dấu M = Theo định lí ta có tồn tại điểm c ∈ (a; b) cho f (c) = Đây nội dung hệ Hệ quả: hàm số f liên tục đoạn [a; b] f (a ) f (b) < tồn tại điểm c ∈ (a; b) cho f (c) = Ý nghĩa hình học hệ quả: Nếu hàm số f liên tục đoạn [a; b] f (a ) f (b) < đồ thị hàm số y = f (x) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ c ∈ (a; b) 56 GV: Ta sử dụng hệ để chứng minh phương trình có nghiệm Ví dụ: chứng minh phương trình x + x − = có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) 57 GV hướng dẫn: Để giải tốn ta cần làm ? + ta chọn hàm số f (x) hàm số ? + hàm số f liên tục đoạn [a; b] f (a ) f (b) < ? + dựa vào hệ ta có kết luận toán 58 GV: ta xét hàm số đoạn ? 59 HS: xét hàm số f ( x) = x + x − đoạn [0; 1] 60 GV: Hàm số có liên tục đoạn khơng ? 61 HS: có 62 GV: Hàm số f (x) liên tục [0; 1] f (0) = -1, f (1) = Do đó: f (0).f (1) < Do đó, phương trình x + x − = có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) 63 GV cho ví dụ: Ví dụ: chứng minh phương trình x + x − =0 có nghiệm 64 GV hướng dẫn: Để giải toán ta cần làm ? + ta chọn hàm số f (x) hàm số ? + đề cho [a, b] trước chưa em ? chưa, ta phải chọn số a, b thỏa f (a ) f (b) < hàm số f liên tục đoạn [a; b] + dựa vào hệ ta có kết luận toán 65 GV: Bây ta chọn a, b ? 66 HS: ta thử f (0) = -1, f (1) = f (0).f (1) < 66 GV: Vậy ta xét hàm số đoạn [0; 1] GV ghi bảng: Xét hàm số f ( x)= x + x − đoạn [0; 1] Hàm số có liên tục đoạn khơng ? 68 HS: có 69 GV: Hàm số f (x) liên tục [0; 1] f (0) = -1, f (1) = Do đó: f (0).f (1) < Do đó, phương trình x + x − =0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) 70 GV cho HS làm tập 46, câu b,c hai HS lên bảng trình bày  x − 3x + nê' u x ≠ 2,  71 HS: Chứng minh hàm số f ( x) =  x − 1 nê' u x =  liên tục điểm x = TXĐ: D =  , x = ∈ D x − 3x + = lim( x − = 1) x→2 x→2 x−2 lim f ( x= ) lim x→2 f (2) = Suy lim f ( x) = f (2) Vậy hàm số liên tục x = x→2  x3 − nê' u x ≠ 1,  72 HS: Chứng minh hàm số f ( x) =  x − 2 nê' u x =  Gián đoạn điểm x = TXĐ: D =  , x = ∈ D ( x − 1) ( x + x + 1) x3 − lim f = ( x) lim = lim = lim ( x + x + = 1) x →1 x →1 x − x →1 x →1 x −1 f (1) = Ta thấy lim f ( x) ≠ f (1) Vậy hàm số gián đoạn x = x →1 73 GV gọi HS lên bảng làm 49 Trong HS làm GV sửa tập 46 74 HS: Chứng minh phương trình x cos x + x sin x + = có nghiệm thuộc khoảng (0; π ) Xét hàm số f ( x) = x cos x + x sin x + [0; π ] Hàm số f (x) liên tục [0; π ] f (0) = 1, f (π ) =−π + < Do đó: f (0).f ( π ) < Do đó, phương trình x cos x + x sin x + = có nghiệm thuộc khoảng (0; π ) 75.GV sửa tập nhắc nhở HS nhà làm tập lại Tiết dạy kết thúc ... Một số lời giải dự kiến: Hàm số liên tục vì: - “nếu x ≤ , hàm số liên tục x> 1, hàm số liên tục, Vậy hàm số liên tục  ” (E12) - ? ?hàm số liên tục  , hàm số liên tục   , hàm số liên tục ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thu Hảo QUAN NIỆM CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC Chuyên ngành... tính liên tục để học sinh họ có quan niệm trực giác Các giáo viên chuyển tải hai quan niệm hàm số liên tục sách giáo khoa thức quan niệm trực giác theo ngôn ngữ thông thường QNT QHD Đa số giáo viên