Quan niệm của giáo viên và học sinh về khái niệm vô hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HIHIHIHI QUAN NIỆM CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH VỀ KHÁI NIỆM VÔ HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành : LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN Mã số : 60.14.10 Người hướng dẫn: TS LÊ VĂN TIẾN Người thực hiện: NGUYỄN THỊ PHƯƠNG MAI Thành phố Hồ Chí Minh – 2005 Lời Cảm Ơn Tôi xin chân thành cảm ơn lãnh đạo chuyên viên Phòng Khoa học công nghệ – Sau đại học, Ban chủ nhiệm giảng viên khoa Toán–Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu đồng nghiệp tổ Toán trường THPT Nguyễn Chí Thanh giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi động viên hoàn thành luận văn Đặc biệt, xin gởi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến : Tiến só Lê Văn Tiến, người tận tình hướng dẫn mặt nghiên cứu khoa học, động viên giúp có đủ niềm tin nghị lực suốt trình thực luận văn Phó giáo sư Tiến só Lê Thị Hoài Châu, Tiến só Lê Văn Tiến, Tiến só Đoàn Hữu Hải, Phó giáo sư Tiến só Annie Bessot, Tiến só Alain Biberent, Phó giáo sư Tiến só Claude Comiti, nhiệt tình giảng dạy, giải đáp thắc mắc, dẫn dắt tìm hiểu nghiên cứu chuyên ngành thú vị – Didactique Toán Tiến só Nguyễn Xuân Tú Huyên giúp dịch luận văn sang tiếng Pháp Thầy Trần Anh Dũng- hiệu trưởng, thầy cô tổ Toán em học sinh khối 10, 11 - trường THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai, Thầy cô tổ Toán trường TH Thực hành trường THPT Bình Long- Bình Phước nhiệt tình giúp đỡ hợp tác tiến hành phần thực nghiệm luận văn Các bạn lớp Thư Hương, Anh Dũng, Hữu Tài gia đình nâng đỡ mặt Đặt vấn đề ĐẶT VẤN ĐỀ Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Khái niệm vô hạn sử dụng thường xuyên đời sống thường ngày nhiều ngành khoa học khác Triết học, Vật lí, Thiên văn,… Tuy nhiên, “vô hạn” dường khái niệm không định nghóa Người ta dùng thao tác tỉ tồn hiển nhiên rõ ràng! Trong phạm vi môn toán trường phổ thông, khái niệm vô hạn đối tượng giảng dạy Tuy nhiên lại tác động ngầm ẩn hay tường minh việc học tập nhiều nội dung khác trải dài từ cấp tiểu học đến cấp trung học phổ thông : xây dựng tập số tự nhiên, xây dựng khái niệm chu vi đường tròn diện tích hình tròn, tập hợp số thực, biến thiên hàm số, Đặc biệt, phạm vi Giải tích, nhiều nghiên cứu khoa học luận sư phạm cho thấy nảy sinh phát triển khái niệm Giới hạn tách rời khái niệm “Vô hạn” (“vô cực”, “vô cùng”, “vô tận”,…), vô hạn yếu tố quan trọng cấu thành nên nghóa khái niệm Giới hạn Chúng tự hỏi : Làm giáo viên học sinh tiếp cận khái niệm có vai trò quan trọng lại không giảng dạy cách tường minh ? Họ hiểu thao tác khái niệm việc dạy học đối tượng toán học khác? Vì lại đối tượng giảng dạy tường minh ? Những gợi hỏi dẫn tới câu hỏi khởi đầu cho nghiên cứu sau : ∗ Khái niệm vô hạn có lịch sử phát triển nào? Những quan điểm vô hạn tồn lịch sử ? ∗ Khái niệm vô hạn xuất tác động toán học giảng dạy trường phổ thông ? Trong tình ? Đặc biệt, tác động tình dạy học khái niệm giới hạn ? ∗ Giáo viên học sinh hiểu vô hạn ? Họ ứng xử tình có tác động đối tượng vô hạn? Luận văn Thạc só: Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Đặt vấn đề Tìm câu trả lời cho câu hỏi trên, theo thực cần thiết có nhiều lợi ích, cho phép hiểu rõ điều kiện ràng buộc không thân khái niệm vô hạn mà với đối tượng toán học khác gắn liền với khái niệm Phạm vi lý thuyết tham chiếu câu hỏi nghiên cứu Mục đích nghiên cứu tìm câu trả lời cho câu hỏi nêu Để làm điều đó, đặt nghiên cứu phạm vi Didactique Toán Cụ thể hơn, khái niệm mối quan hệ thể chế mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức (trong lí thuyết nhân chủng học), khái niệm hợp đồng didactic lí thuyết tình công cụ chủ yếu cho nghiên cứu Ngoài ra, câu hỏi dẫn tới cần thiết thực nghiên cứu khoa học luận đối tượng vô hạn Trong phạm vi lí thuyết chọn, câu hỏi khởi đầu trình bày lại sa u : a) Những đặc trưng khoa học luận khái niệm vô hạn, quan điểm khái niệm làm rõ qua phân tích khoa học luận lịch sử hình thành phát triển đối tượng ? b) Mối quan hệ thể chế với đối tượng vô hạn hình thành tiến triển hệ thống dạy học toán trường phổ thông ? Những quy tắc đặc biệt hợp đồng didactic gắn liền với đối tượng làm rõ ? Mối quan hệ cá nhân giáo viên học sinh khái niệm vô hạn có đặc trưng ? Mối quan hệ thể chế tương ứng ảnh hưởng mối quan hệ cá nhân ? c) Phương pháp tổ chức nghiên cứu là: Để đạt mục đích đề ra, phương pháp nghiên cứu mà chọn • Thực phân tích tổng hợp số công trình nghiên cứu khoa học luận biết khái niệm vô hạn để làm rõ đặc trưng nảy sinh tiến triển khái niệm này, quan điểm tồn lịch sử Luận văn Thạc só: Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Đặt vấn đề Kết nghiên cứu sở cho phân tích • Phân tích chương trình sách giáo khoa toán bậc học, đặc biệt bậc THCS THPT để làm rõ đặc trưng mối quan hệ thể chế với khái niệm vô hạn tiến triển qua cấp lớp • Xây dựng tình thực nghiệm cho phép nghiên cứu mối quan hệ cá nhân giáo viên học sinh đối tượng vô hạn, ảnh hưởng mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân Đặc biệt, thực nghiệm có mục đích đưa vào kiểm chứng tính thoả đáng giả thuyết nghiên cứu sau Những giả thuyết hình thành từ kết nghiên cứu khoa học luận nghiên cứu thể chế • Giả thuyết (về phía học sinh) : Tồn học sinh “đại số vô cực” Nói cách khác, học sinh giải thích mong đợi giáo viên quyền thực phép toán kiểu đại số vô cực (thỏa thuận ngầm ẩn hợp đồng didactique) • Giả thuyết (về phía giáo viên) : Có phân hóa quan hệ cá nhân giáo viên "đại số vô cực" Cụ thể, có phận giáo viên không chấp nhận đại số này, ngược lại có giáo viên thừa nhận tồn • Giả thuyết :Tồn nhóm định lí công nghệ gắn liền với đối tượng vô hạn, mặt sách giáo khoa, vận dụng giáo viên học sinh việc giải kiểu nhiệm vụ tính giới hạn Tổ chức luận văn Luận văn tổ chức gồm phần sau : Phần mở đầu, chương1, chương 2, chương phần kết luận chung Phần đặt vấn đề trình bày ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Từ đó, đề xuất mục đích nghiên cứu luận văn tìm hiểu mối quan hệ cá nhân giáo viên học sinh tri thức cụ thể – khái niệm vô hạn Trong chương 1, việc phân tích tổng hợp từ công trình nghiên cứu khoa học luận biết khái niệm vô hạn, làm rõ đặc trưng khoa học luận lịch sử Luận văn Thạc só: Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Đặt vấn đề khái niệm Đặc biệt, rút quan điểm vô hạn tồn lịch sử Ở chương 2, sở kết chương 1, nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm vô hạn dạy học Toán trường phổ thông Việt Nam việc phân tích chương trình sách giáo khoa Từ kết chương chương đưa giả thuyết nghiên cứu thực nghiệm tương ứng Chương chương thực nghiệm Chúng đưa hai câu hỏi, dành cho giáo viên tham gia giảng dạy toán khối 11, lại dành cho học sinh hai khối lớp 10 11 Trong chương này, sâu vào phân tích chi tiết thực nghiệm để từ rút đặc trưng mối quan hệ cá nhân giáo viên học sinh với khái niệm vô hạn, ảnh hưởng mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân Đồng thời qua thực nghiệm khẳng định tính xác đáng giả thuyết thực nghiệm nêu lên chương trước Phần kết luận nêu lên cách tổng quát kết đạt từ việc phân tích khoa học luận, từ việc phân tích chương trình sách giáo khoa thể chế dạy học Việt Nam, từ thực nghiệm dành cho giáo viên học sinh Luận văn Thạc só: Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Chương 1- Đặc trưng khoa học luận khái niệm vô hạn Chương ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM VÔ HẠN I Mục đích phân tích Trong chương này, phân tích tổng hợp kết có từ số công trình nghiên cứu khoa học luận lịch sử khái niệm vô hạn nhằm làm rõ đặc trưng khái niệm Cụ thể, mục đích chủ yếu tìm câu trả lời cho câu hỏi sau: • Khái niệm vô hạn xuất phát triển qua thời kì nào? Trong phạm vi kiểu toán nào? • Những đối tượng, khái niệm toán học có mối quan hệ với khái niệm vô hạn, đặt điều kiện hay ràng buộc cho nảy sinh phát triển ? • Những quan điểm khái niệm vô hạn xuất hiện? Chúng tiến triển sao? Điểm tựa cho tổng hợp phân tích tài liệu [3], [6], [15], [17] – [22], II Đặc trưng khoa học luận khái niệm vô hạn Lịch sử hình thành khái niệm vô hạn thời Hylạp cổ đại có đời lý thuyết vô hạn G Cantor vào cuối kỷ XIX Lịch sử chia thành ba giai đoạn chủ yếu sau đây: • Giai đoạn 1: Từ Hy lạp cổ đại đến kỷ XVII • Giai đoạn 2: Từ kỷ XVII đến kỷ XIX • Giai đoạn 3: Từ kỷ XIX trở sau Giai đoạn 1: Từ thời Hy lạp cổ đại đến kỷ XVII – Vô hạn tiềm Cho đến vết tích buổi đầu văn minh đề cập bàn luận khái niệm vô hạn Vì thế, nghiên cứu khoa học luận Hy lạp cổ đại Thời kì đánh dấu xuất khái niệm vô hạn nhiều phạm vi khác mà đề cập ™ Phạm vi triết học : Anaximandre (610 – 546 TCN), nhà triết học vật trường phái Milet cho nguồn gốc giới vật chất xác định nước đất mà phải vật chất không xác định – mà ông gọi làVô hạn Luận văn Thạc só : Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Chương 1- Đặc trưng khoa học luận khái niệm vô hạn (Apeiron) Từ Apeiron vừa vô hạn, vừa không xác định Ông cho vô hạn vónh viễn, không sinh không Vô hạn bắt đầu kết thúc Vô hạn luôn vận động không ngừng nghỉ Trong trình vận động muôn thû giới hình thành Như vậy, với mong muốn giải thích nguồn gốc giới, lần khái niệm vô hạn dùng để dạng vật chất không xác định Đó sở giới Dạng vật chất hiểu tưởng tượng không xác định trừu tượng ™ Phạm vi vật lý: Liên quan đến không gian, thời gian chất liệu có hai quan niệm trái ngược Một vài trường phái cho không gian, thời gian chất liệu chia nhỏ cách vô hạn Với họ, vô hạn hiểu “quá trình”gắn liền với việc “chia” liên tục, điểm kết thúc Chính khả nhận thức bề chia nhỏ vô tận mở ý tưởng nhỏ vô trình vô hạn Ý tưởng thể rõ ràng phạm vi toán học mà ta đề cập phần sau Tuy nhiên có quan niệm ngược lại - quan niệm nguyên tử cho không gian, thời gian vật chất có yếu tố ban đầu chia nhỏ Zenon (495 – 430 TCN) đưa nghịch lý nhằm vạch rõ mâu thuẫn hai quan niệm Chẳng hạn, để tính phi lý quan điểm liên tục, ông đưa nghịch lí Achilis đuổi rùa : trước xuất phát, Rùa trước Achilis khoảng đó, không Achilis đuổi kịp rùa Theo ông, Achilis thua trước vượt qua rùa, Achilis phải chạy đến điểm xuất phát ban đầu Rùa Nhưng chạy đến chỗ Rùa đoạn điều tái lập lần Nếu ta cho vũ trụ thời gian chia đến vô tận quan điểm liên tục, bất chấp điều này, thực tế Achilis chiến thắng Rùa, kết thúc việc bắt kịp Rùa, tiến phía Rùa mức độ gần mà muốn Ông đưa nghịch lý “ chia đôi” để vạch rõ phi lí quan điểm nguyên tử : “ Cái vận động đến đích trước hết phải qua phân nửa đường đến đích Còn phân nửa lại, trước hết phải qua phân nửa phân nửa ấy…một cách Luận văn Thạc só : Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Chương 1- Đặc trưng khoa học luận khái niệm vô hạn vô cùng”1 (theo [15] trang tr.41) Suy chuyển động kể từ lúc bắt đầu Những nghịch lý hoàn toàn ý định giải mâu thuẫn hai quan niệm trên, mặt chúng ẩn chứa trình vô hạn, mặt khác chúng gây lo lắng cho nhà toán học thời Chính họ tìm cách lẩn tránh vấn đề liên quan tới khái niệm vô hạn ™ Phạm vi toán học : Đầu tiên, muốn đề cập đến lónh vực số xem lónh vực khởi điểm toán học Vào kỷ III trước CN, bước tiến quan trọng phát triển khái niệm số tự nhiên nhận thức tính vô hạn dãy số Tính vô hạn dãy số tự nhiên hình dung việc “đếm” số dãy số tự nhiên “đếm” hết Vô hạn hiểu qua hình ảnh nối dài vô tận dãy số tự nhiên Về dãy số nguyên tố, Euclide chứng minh số lượng số nguyên tố vô hạn phương pháp kỳ diệu – phương pháp phản chứng Cách chứng minh sau: Trước hết ông giả thiết số lượng số nguyên tố hữu hạn, tức có số nguyên tố sau đây: 2, 3, 5, …, p.(*) p số nguyên tố lớn Ông lấy tích tất số nguyên tố cộng thêm gọi kết A : A = 2.3.5.7 p + Vì A > nên A phải có ước nguyên tố q Dễ thấy số nguyên tố (*) ước A Vậy q số nguyên tố khác tất số nguyên tố (*) Điều trái với giả thiết Vậy số lượng số nguyên tố vô hạn (theo [6] trang 22,23) Ngoài việc khẳng định tính vô hạn dãy số nguyên tố, chứng minh ẩn chứa (ở giả thiết phản chứng) cách hiểu vô hạn: vô hạn phủ định hữu hạn Như vậy, thời điểm này, phạm vi lý thuyết số, vô hạn hiểu lớn tất số Vô hạn phủ định hữu hạn Trở lại nghịch lý Zenon, ta xem chúng gây “sóng gió”, khó khăn cho toán học Nghịch lý “chia đôi”: Nếu cắt đôi đối tượng, cách lặp qui trình cách vô hạn, mặt toán học lại đoạn Ngược lại mặt vật lý ta biết có thời điểm ta không cắt đôi (theo [17]) Khó khăn chỗ ta không Trích theo “Bút ký triết học”, Lênin toàn tập, t 29, NXB Tiến bộ, M.1981, tr.272 Luận văn Thạc só : Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Chương 1- Đặc trưng khoa học luận khái niệm vô hạn thể trừ số vô hạn độ dài ngày bé khó khăn để quan niệm tổng đại lượng hữu hạn Vào kỉ III trước công nguyên, Aristotle nghiên cứu đưa phê phán nghịch lý D Zenon, chẳng hạn, với nghịch lý “chia đôi” ông nói “…không gian thời gian phân chia đến vô hạn,….nhưng bị phân chia đến vô hạn”2 (theo [15]ø, tr.42) Phải “vô hạn” hình dung “một không đạt tới”? Tuy phê phán ông chưa giải thích thấu đáo sai lầm nghịch lý có nhiều liên quan đến hữu hạn, vô hạn trình vô hạn, ông cho vô hạn tồn tiềm năng, nghóa tồn ý nghó người Đó xây dựng trí óc cần thiết cho việc giải vấn đề toán học mà không tương ứng với thực 1 tế vật lý Theo ông, chuỗi − − − − ⋅⋅⋅ không để lại cả, thực tế lại bé Chính kiểu suy nghó sau 1 dẫn tới cách viết − − − − ⋅⋅⋅ = Như vậy, Aristotle xem vô hạn “vô hạn tiềm năng”, thực Trong phạm vi hình học, tiếp cận vô hạn gắn liền với nghịch lí nảy sinh suy nghó người Trung cổ Họ cho đường tròn lớn phải có nhiều điểm vòng tròn nhỏ, với hình vẽ sau chúng lại có tương ứng – Nếu trường phái Pytagore cho đoạn thẳng tập hợp yếu tố “không chia nhỏ được”, Zenon bác bỏ lập luận sau: “Giả sử đoạn thẳng gồm số vô hạn phần tử không chia nhỏ được, độ dài phần tử không (tức phần tử điểm) độ dài đoạn thẳng không Còn độ dài phần tử đại lượng độ dài đoạn thẳng phải vô lớn” (theo [3] ,tr.20) Lập luận mặt chứng tỏ không nên định nghóa độ dài đoạn thẳng tổng độ dài phần tử không chia nhỏ được, mặt khác thể quan điểm cho số đo độ dài nhận giá trị lớn thật trừu tượng, cụ thể Vô hạn gán cho giá trị vô lớn Bút ký triết học, sđd, tr.272 Luận văn Thạc só : Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô haïn ... động tình dạy học khái niệm giới hạn ? ∗ Giáo viên học sinh hiểu vô hạn ? Họ ứng xử tình có tác động đối tượng vô hạn? Luận văn Thạc só: Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Đặt vấn đề... niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Chương 1- Đặc trưng khoa học luận khái niệm vô hạn (Apeiron) Từ Apeiron vừa vô hạn, vừa không xác định Ông cho vô hạn vónh viễn, không sinh không Vô hạn. .. Thạc só : Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Chương 1- Đặc trưng khoa học luận khái niệm vô hạn thể trừ số vô hạn độ dài ngày bé khó khăn để quan niệm tổng đại lượng hữu hạn Vào kỉ III