hàm khả vi, liên tục phi acsimet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Như Hằng HÀM KHẢ VI, LIÊN TỤC PHI ACSIMET LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Như Hằng HÀM KHẢ VI, LIÊN TỤC PHI ACSIMET Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, trách nhiệm của PGS.TS.Mỵ Vinh Quang. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn của mình đến PGS.TS.Mỵ Vinh Quang. Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học khóa 18 trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh, BGH trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh, Phòng Khoa học Công nghệ-Sau Đại học trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học và nghiên cứu luận văn này. Luận văn không thể hoàn thành nếu thiếu sự chia sẻ, khích lệ của gia đình tác giả. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn của mình đến gia đình tác giả. Tác giả MỤC LỤC 0TLỜI CẢM ƠN0T 3 0TMỤC LỤC0T 4 0TKÍ HIỆU0T 5 0TMỞ ĐẦU0T 6 0TCHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN0T 7 0T1.1 Các khái niệm cơ bản0T 7 0T1.2 Trường các số p-adic0T 10 0TCHƯƠNG 2: HÀM KHẢ VI LIÊN TỤC BẬC 1 VÀ BẬC 20T 14 0T2.1 Hàm khả vi liên tục0T 14 0T2.2 Hàm khả vi liên tục bậc 1 (hàm CP 1 P)0T 16 0T2.3 Một số kết quả về hàm CP 1 P0T 18 0T2.4 Hàm khả vi liên tục bậc hai0T 23 0TCHƯƠNG 3: HÀM KHẢ VI LIÊN TỤC BẬC n0T 33 0T3.1 Hàm khả vi liên tục bậc n0T 33 0T3.2 Một số tính chất của hàm khả vi liên tục bậc n0T 34 0T3.3 Công thức Taylor cho các hàm CP n P0T 43 0T3.4 Một số kết quả của hàm CP n P0T 45 0TKẾT LUẬN0T 52 0TTÀI LIỆU THAM KHẢO0T 53 0TDANH MỤC TỪ KHOÁ0T 54 KÍ HIỆU { } 0,1,2 Ν= { } * 1,2,3 Ν= { } 0, 1, 2, Ζ= ± ± Q: trường các số hữu tỉ Q R p RP : Ptrường các số p-adic Z R p R= { x ∈ QR p R, 1x ≤ } là vành các số nguyên p-adic K là trường giá trị phi Acsimet đầy đủ, chứa Q R p Rnhư trường con X là tập con khác rỗng của K và không chứa điểm cô lập { } { } 12 ( , , , ), ( , , , ), , n n ni i j X xx x x X X xx x x Xx x i j ∆= ∈ ∇ = ∈ ≠ ∀≠ ( ) n CX K→ : tập các hàm khả vi liên tục bậc n từ X vào K ( ) n BC X K→ : tập các hàm khả vi liên tục bị chặn bậc n từ X vào K n fΦ : sai phân bậc n của f MỞ ĐẦU Các số p-adic đã được xây dựng hơn một thế kỉ nay nhưng giải tích p-adic chỉ mới phát triển mạnh mẽ và trở thành chuyên ngành độc lập trong lý thuyết số khoảng 40 năm. Trong giải tích thực và phức, các hàm khả vi liên tục đóng vai trò quan trọng, do đó một cách tự nhiên đặt ra cho ta vấn đề nghiên cứu các hàm khả, vi liên tục trong giải tích phi Acsimet. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu về các hàm khả vi, liên tục phi Acsimet. Trong luận văn này chúng tôi giới thiệu khá đầy đủ cách xây dựng định nghĩa các hàm khả vi liên tục bậc 1, 2, khái quát lên cho trường hợp bậc n và những tính chất của nó. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đưa ra một số ví dụ cụ thể cho từng trường hợp. Luận văn gồm những phần như sau: UChương IU: Trình bày các kiến thức cơ bản về các số p-adic và giải tích p-adic. UChương IIU: Hàm khả vi, liên tục phi Acsimet bậc 1 và bậc 2 Xây dựng và nghiên cứu các tính chất cơ bản của các hàm khả vi liên tục phi Acsimet bậc 1 và bậc 2 và cho một số ví dụ cụ thể. UChương IIIU: Hàm khả vi, liên tục phi Acsimet bậc n Xây dựng và nghiên cứu các tính chất cơ bản của các hàm khả vi liên tục phi Acsimet bậc n và cho ví dụ minh hoạ. Mặc dù bản thân đã rất cố gắng nhưng do trình độ và thời gian có hạn nên có thể vẫn còn thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và quý độc giả góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các khái niệm cơ bản U1.1.1 Định nghĩaU (Chuẩn trên trường) Cho K là một trường, chuẩn trên K là ánh xạ : K → R thỏa: i) , 0, 0 0xKx x x∀∈ ≥ = ⇔ = ii) x, y Kxy x y+≤+ ∀ ∈ (bất đẳng thức tam giác) iii) x, y Kxy x y= ∀∈ Cặp (K, ) gọi là trường giá trị Trong định nghĩa trên, nếu ta thay ii) bởi ii’) như sau: { } ax , x, y Kxy m xy+≤ ∀ ∈ thì khi đó (K, ) gọi là trường giá trị phi Acsimet và ( ii’) gọi là bất đẳng thức tam giác mạnh) Mêtric cảm sinh bởi chuẩn phi Acsimet gọi là siêu mêtric. Trong luận văn này,(nếu không nói gì thêm) ta chỉ nghiên cứu các trường giá trị K là phi Acsimet. U1.1.2 Ví dụ Mọi trường K cùng với chuẩn tầm thường là trường giá trị phi Acsimet. U1.1.3 Ví dụ Ta xét trường số hữu tỉ Q với chuẩn p :Q → R được xây dựng như sau: p là số nguyên tố, với mỗi n ∈ Z, ta định nghĩa ordR p Rn là số tự nhiên i sao cho pP i P chia hết n và p P i+1 P không chia hết n. x ∈ Q, x= a b , a,b ∈ Z, ta định nghĩa ordR p Rx= ordR p Ra- ordR p Rb Khi đó p được định nghĩa: p -ord 0, x=0 p , x 0 x p x   =  ≠   Trường Q cùng với chuẩn p là trường giá trị phi Acsimet. U1.1.4 Mệnh đề i) xx−= ii) 11 xx = iii) K 1 1, 1 K = là phần tử đơn vị của trường K U1.1.5 Định nghĩaU (Đặc số của trường K) Trường K gọi là trường có đặc số 0 nếu n ∈ N sao cho n K 1 =0 thì n=0. Kí hiệu: char(K)=0 Trường K gọi là trường có đặc số p nếu p là số tự nhiên nhỏ nhất (khác 0) sao cho p K 1 =0 (ta chứng minh được p là số nguyên tố). Kí hiệu: char(K)=p U1.1.6 Mệnh đềU (Nguyên lý tam giác cân) { } x, y K mà x thì x+y ax ,y m xy∀∈ ≠ = U1.1.7 Mệnh đề { } (,) , B ar x K x a r − = ∈ −< và { } (,) , Bar x K x a r= ∈ −≤ là các quả cầu tâm a, bán kính r, vừa là tập đóng vừa là tập mở. Mọi điểm thuộc quả cầu đều là tâm của quả cầu đó. U1.1.8 Mệnh đề Hai quả cầu bất kì thì chứa nhau hoặc rời nhau. U1.1.9 Mệnh đề Nếu K là trường hữu hạn thì có duy nhất một chuẩn trên nó đó là chuẩn tầm thường. U1.1.10 Mệnh đề Hai chuẩn trên trường K được gọi là tương đương nếu chúng cảm sinh ra cùng một tôpô. U1.1.11 Mệnh đề Mọi chuẩn không tầm thường trên Q đều tương đương với chuẩn trị tuyệt đối thông thường hoặc tương đương với chuẩn p-adic. U1.1.12 Định nghĩaU (dãy cauchy) Dãy { } n xK⊂ là dãy Cauchy nếu 1 lim 0 nn xx + −= U1.1.13 Định nghĩaU (hội tụ) , : ,X Kf X K⊂→ a là điểm tụ của X, b ∈ K lim ( ) 0 >0: 0< x-a thì ( ) xa fx b fx b εδ δ ε → = ⇔∀ > ∃ < − < U1.1.14 Định nghĩa U(dãy hàm hội tụ từng điểm) Dãy hàm 12 , , :ff X K→ hội tụ từng điểm về f , kí hiệu lim n ff= nếu lim () () x X n f x fx= ∀∈ U1.1.15 Định nghĩa U(dãy hàm hội tụ đều) Dãy hàm 12 , , :ff X K→ hội tụ đều về f , kí hiệu lim n ff= đều nếu 0, : và x X ta có ( ) ( ) n m N n m fx f x εε ∀> ∃ ∈ ∀> ∀∈ − < U1.1.16 Định nghĩaU (hàm liên tục) , : ,X KfX K⊂→ f liên tục tại a ∈ X nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: i) Với mỗi lân cận U của f (a) thì f P -1 P(U) là tập mở ii) 0 >0: 0< x-a thì ( ) ( )fx fa εδ δ ε ∀> ∃ < − < iii) Nếu aR 1 R, aR 2 R,… ∈ X, lim thì lim ( ) ( ) nn a a fa fa= = iv) a là điểm cô lập của X v) lim ( ) ( ) xa fx fa → = U1.1.17 Định nghĩaU (hàm liên tục đều) , : ,X KfX K⊂→ f liên tục đều trên X nếu 0 >0: x,y X mà x-y ( ) ( )fx fy εδ δ ε ∀> ∃ ∀ ∈ < ⇒ − < U1.1.18 Định nghĩaU (hàm khả vi) , : ,X Kf X K⊂→ f khả vi tại a ∈ X nếu đạo hàm của f tồn tại và ' () () ( ): lim xa fx fa fa xa → − = − f khả vi trên X nếu khả vi tại mọi a thuộc X Hàm f khả vi liên tục nếu f khả vi và đạo hàm liên tục U1.1.19 Định nghĩa Cho XK⊂ Ánh xạ g: XK→ là một đẳng mêtry nếu ( ) ( ) ,gx g y x y xy X− =−∀ ∈ . Nếu g(X) là không gian Banach thì X là không gian Banach. Ánh xạ h: XK→ là một phép đồng dạng nếu ,0K αα ∃∈ ≠ : ( ) ( ) ,hx hy x y xy X α − = −∀ ∈ , nếu 01 α << thì h là phép co. Nếu h là phép co trên X và K là không gian Banach thì h có điểm bất động trên X. U1.1.20 Mệnh đề U(tích các không gian Banach) Cho 1 , , n EE là các K-không gian Banach lần lượt với chuẩn 1 , , n thì 1 n EE×× là K-không gian Banach với chuẩn 1 : n E ER×× → xác định bởi ( ) 11 1 , , nn n xx x x= ∨∨ trong đó { } 1 11 11 ax , , n nn x x mx x∨∨ = 1.2 Trường các số p-adic QR p R là bao đủ của Q theo chuẩn p-adic gọi là trường các số p-adic. Kí hiệu S là tập các dãy số Cauchy thuộc Q theo chuẩn p-adic R p R , trên S ta xác định quan hệ tương đương ~ như sau: {x R n R}~{yR n R} khi và chỉ khi lim (xR n R-yR n R)=0 (theo chuẩn p-adic) Phần tử của Q R p R là các lớp tương đương theo quan hệ ~ với phép cộng và phép nhân trên Q R p R được định nghĩa như sau: { } { } { } { }{ } { } x n nn x n nn x y xy x y xy +=+ = Q R p R cùng với phép cộng và phép nhân định nghĩa như trên lập thành một trường gọi là trường các số p-adic. Q được xem là trường con của Q R p R với ánh xạ nhúng i: p QQ→ biến mỗi phần tử { } p Q thành a Qa∈∈ . Q dày đặc trong Q R p RP Với mỗi phần tử p Qa∈ suy ra a= { } n a và lim n aa= Q R p R là trường đầy đủ nhưng không đóng đại số Q R p R là tập compac địa phương nhưng không là tập compac. U1.2.1 Mệnh đềU (Khai triển p-adic) p Qx∈ , x có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi như sau: j , m Z, 0 a j j jm x ap p ∞ = = ∈ ≤< ∑ Biểu diễn trên gọi là khai triển p-adic của x Trong khai triển này, nếu i là số nguyên nhỏ nhất để a R i R ≠ 0 thì i xp − = U1.2.2 Định nghĩaU (Số nguyên p-adic) { } p Q, 1 p Zx x=∈≤ là vành con của QR p R gọi là vành các số nguyên p-adic. [...]... tôi trình bày một số kết quả về hàm khả vi liên tục bậc 1 và bậc 2 trong giải tích phi Acsimet 2.1 Hàm khả vi liên tục Định lý giá trị trung bình trong giải tích thực nói rằng nếu hàm f khả vi liên tục trên đoạn [x,y] thì sẽ tồn tại c thuộc (x,y) sao cho f ( x) − f ( y = f ' (c) ( x − y ) ) Hàm khả vi liên tục như đã định nghĩa ở chương 1 là hàm khả vi và có đạo hàm liên tục, theo định lý giá trị trung... thực tế như trên, ta thấy định nghĩa hàm khả vi liên tục cũ đã không còn phù hợp trong điều kiện phi Acsimet, cần thiết phải có một định nghĩa tốt hơn về hàm khả vi liên tục phi Acsimet (Từ đây về sau, trong luận văn này nếu không nói gì thêm ta sẽ hiểu hàm khả vi liên tục chính là hàm khả vi liên tục phi Acsimet) 2.2.1 Định nghĩa ( hàm khả vi liên tục bậc 1) U U Cho f : X → K , a ∈ X f ( x) − f ( y)... là hàm hằng địa phương và f n ( x ) − f ( x ) < Vậy lim f n = f đều 1 n CHƯƠNG 2: HÀM KHẢ VI LIÊN TỤC BẬC 1 VÀ BẬC 2 Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày những điểm khác nhau về hàm khả vi liên tục giữa giải tích thực và giải tích p-adic, từ đó dẫn đến yêu cầu phải có một định nghĩa mới về hàm khả vi liên tục trong trường hợp phi Acsimet nhằm thỏa mãn một số tính chất nền tảng về hàm khả vi liên tục. .. f khả vi liên tục và f ' ( x ) = 1 ∀x ∈ Zp (1) Do đó, theo mệnh đề 1.3.12 ta có 1 n , ε =∃f n : Z p → Q p là hàm hằng địa phương sao cho f n ( x ) − f ( x ) < ε ∀x ∈ Z p , vậy f n → f đều f n là hàm hằng địa phương nên khả vi liên tục và f n' = 0∀n suy ra lim f n' = g =0 đều.(2) Từ (1) và (2) suy ra g ≠ f ' 2.2 Hàm khả vi liên tục bậc 1 (hàm C1) Với thực tế như trên, ta thấy định nghĩa hàm khả vi liên. .. kết quả quen thuộc trong giải tích thực là nếu hàm f có đạo hàm đồng nhất bằng 0 trên một đoạn thì f sẽ là hàm hằng trên đoạn đó Trong trường hợp phi Acsimet, định lí giá trị trung bình không còn đúng nữa Tồn tại hàm khả vi, có đạo hàm bằng 0 nhưng không phải hàm hằng 2.1.1 Ví dụ (Hàm khả vi, có đạo hàm bằng 0 nhưng không phải hàm hằng) U U  ∞  ∞ Cho hàm g : Z p → Q p được cho bởi công thức g  ∑... (b) = 0 2.4 Hàm khả vi liên tục bậc hai 2.4.1.Định nghĩa (Hàm khả vi liên tục bậc hai) U U f : X → K , sai phân bậc hai của f là hàm Φ 2 f : ∇3 X → K được cho bởi công thức: Φ1 f ( x, y ) − Φ1 f ( y, z ) Φ 2 f ( x, y , z ) = x−z 2 f là hàm khả vi liên tục bậc hai (viết gọn là hàm C ) tại a ∈ X nếu P lim ( x , y , z ) →( a , a , a ) P Φ 2 f ( x, y, z ) tồn tại 2 2 f là hàm C trên X nếu f là hàm C tại... , xn +1 ) = n +1 x1 − x2 Ta nói f khả vi liên tục bậc n ( viết tắt : f là hàm C n ) nếu Φ n f có thể mở rộng thành hàm liên tục Φ n f : X n +1 → K Nếu f là hàm khả vi liên tục bậc n, ta định nghĩa Dn f (a ) =)(a ∈ X ) Φ n f (a, a, a Tập tất cả các hàm C n từ X → K kí hiệu C n ( X → K ) ∞ ∩C C ∞ ( X → K ) := n ( X → K ) n =1 3.1.2 Nhận xét U Trường hợp khả vi liên tục bậc 1, bậc 2, đã trình bày ở chương... của hàm khả vi liên tục bậc 1) U U Cho f : X → K , các phát biểu sau tương đương 1) f là hàm C1 P 2) Hàm Φ1 f có thể mở rộng (duy nhất) thành hàm Φ1 f liên tục trên X × X 3) Tồn tại hàm liên tục R: X × X → K sao cho f ( x= f ( y ) + ( x − y ) R ( x, y ) , x,y ∈ X ) Chứng minh U Để chứng minh 1) suy ra 2) ta xây dựng Φ1 f như sau:  f ' ( x) ,x=y  Φ1 f ( x, y ) :=  Φ1 f ( x, y ) , x ≠ y  Sự liên tục. .. U Với mỗi tập mở U con X ta xây dựng hàm đặc trưng ξU như sau: 1, x ∈ U 0, x ∈ X\U ξU :=  Hàm ξU là hàm hằng địa phương 1.3.11 Mệnh đề U Nếu f là hàm hằng địa phương trên X thì X = ∪U i trong đó f là hàm hằng trên i mỗi U i R R Hàm hằng địa phương khả vi và có đạo hàm liên tục (đạo hàm đồng nhất 0) 1.3.12 Mệnh đề U Cho f : X → K liên tục, khi đó tồn tại dãy hàm hằng địa phương f1 , f 2 , : X → K... sẽ xem xét một tính chất quan trọng khác của hàm khả vi liên tục trong giải tích thực Trong giải tích thực ta cũng có tính chất sau: Dãy hàm f1 , f 2 , : (a, b) → R khả vi liên tục, lim f n = f đều, lim f n' = g đều thì f ' = g Trong giải tích phi Acsimet, tính chất trên không còn đúng nữa Ta xét phản ví dụ sau: 2.1.3 Ví dụ (tồn tại dãy hàm khả vi liên tục f1 , f 2 , hội tụ đều về f và U U f1' , f . 2: HÀM KHẢ VI LIÊN TỤC BẬC 1 VÀ BẬC 20T 14 0T2.1 Hàm khả vi liên tục0 T 14 0T2.2 Hàm khả vi liên tục bậc 1 (hàm CP 1 P)0T 16 0T2.3 Một số kết quả về hàm. 0T2.4 Hàm khả vi liên tục bậc hai0T 23 0TCHƯƠNG 3: HÀM KHẢ VI LIÊN TỤC BẬC n0T 33 0T3.1 Hàm khả vi liên tục bậc n0T 33 0T3.2 Một số tính chất của hàm khả