Giả jacobian và tối ưu liên tục

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN VIẾT MINH GIẢ JACOBIAN VÀ TỐI ƯU LIÊN TỤC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - 2011 2 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phan Nhật Tĩnh Phản biện 1 : TS. Lê Hải Trung Phản biện 2 : TS. Hoàng Quang Tuyến Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 30 tháng 6 năm 2011. * Có thể tìm hiểu luận văn tại : - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng. 3 Mở ñầu 1. Lý do chọn ñề tài Bài toán tối ưu hóa là hình thức là làm tối ưu (nhỏ nhất hoặc lớn nhất) một hàm mục tiêu với các ràng buộc nhất ñịnh. Công cụ chính ñể nghiên cứu bài toán là phép tính vi phân của các hàm khả vi ñược xây dựng bởi Leibnitz và Newton vào thế kỉ 17. Trong những năm ñầu của thế kỉ 21, hai nhà toán học V. Jeyakumar và Đ.T. Luc ñã ñề xuất khái niệm giả Jacobian như là một mở rộng của khái niệm Jacobian cho các hàm vectơ liên tục. Đây ñược xem như là một công cụ hiệu quả cho việc nghiên cứu các bài toán tối ưu liên tục. Như vậy, các vấn ñề về phép tính các giả Jacobian và các ứng dụng của chúng trong bài toán tối ưu liên tục thực sự là một vấn ñề hiện ñại trong lý thuyết tối ưu, nó vừa mang tính thời sự, ñồng thời lại mang tính kế thừa sâu sắc và ñạt ñến một trình ñộ khái quát cao. Từ những lí do ñó, chúng tôi quyết ñịnh chọn ñề tài với tên: Giả Jacobian và tối ưu liên tục ñể tiến hành nghiên cứu. 2. Mục ñích nghiên cứu Mục ñích của luận văn là trình bày một cách có hệ thống, các kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về giả Jacobian. Chứng minh chặt chẽ, chi tiết các ñịnh lí, mệnh ñề về mối quan hệ giữa Jacobian và các loại ñạo hàm suy rộng khác ñồng thời xét một số ví dụ ñiển hình của giả Jacobian trong tối ưu hóa. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: ñề tài nghiên cứu về giả Jacobian và tối ưu liên tục 4 Phạm vi nghiên cứu: nghiên cứu các tài liệu về giải tích lồi, giả Jacobian trong và ngoài nước 4. Phương pháp nghiên cứu Thu thập các bài báo khoa học, các tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan ñến Giả Jacobian và tối ưu liên tục Tham khảo thêm các tài liệu liên quan ñến ñề tài có trên mạng Internet 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của ñề tài Luận văn ñã trình bày một cách có hệ thống về một dạng ñạo hàm suy rộng cho lớp các hàm vectơ liên tục, ñó là giả Jacobian. Đây là một dạng ñạo hàm suy rộng có tính tổng quát cao. Ngoài ra luận văn còn ñưa ra các ñiều kiện cực trị cho các bài toán tối ưu. Do ñó, luận văn có thể xem như là một tài liệu tham khảo cho sinh viên sư phạm và hệ cử nhân toán. 6. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở ñầu và kết luận, luận văn ñược chia làm 3 chương. Chương 1 sẽ trình bày những kiến thức cơ bản về giả Jacobian. Trong chương này, ngoài việc chỉ ra các ñạo hàm suy rộng thường gặp như Jacobian suy rộng Clarke, dưới vi phân của hàm lồi vô hướng, dưới vi phân Michel-Penot là những trường hợp riêng của giả Jacobian, chúng tôi cũng chứng tỏ rằng dưới vi phân của hàm vectơ lồi cũng là một giả Jacobian của hàm vectơ ñó. Đây là kiến thức bổ trợ cho chương 2 và chương 3. Chương 2 ñề cập ñến các quy tắc tính toán trong giả Jacobian, ñịnh lí giá trị trung bình, khai triển Taylor và một số tính chất cơ bản của nó. Chương 3 sẽ trình bày các ñiều kiện cực trị (ñiều kiện tối ưu cấp một, ñiều kiện tối ưu cấp hai) cho các bài toán quy hoạch với các ràng buộc khác nhau (ràng buộc ñẳng thức, ràng buộc bất ñẳng thức,…). 5 Chương 1 Ma trận giả Jacobian Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức ñã biết có liên quan ñến giải tích lồi, giải tích vectơ ñồng thời nghiên cứu về khái niệm giả Jacobian, một dạng ñạo hàm suy rộng của hàm vectơ liên tục. Bố cục chương này như sau. Trong mục 1.1 chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức ñã biết và ñưa ra ñịnh nghĩa giả Jacobian, sau ñó là các tính chất cơ bản của nó. Mục 1.2 nêu lên mối quan hệ giữa giả Jacobian và một số ñạo hàm suy rộng khác cũng trong mục này ñưa ra khái niệm giả Hessian của hàm vô hướng khả vi liên tục. Các khái niệm giả Jacobian lùi xa và giả Jacobian riêng ñược nêu ở mục 1.3. Mục 1.4 dành cho việc nghiên cứu một số tính chất của ánh xạ giả Jacobian 1.1. Định nghĩa và một số tính chất cơ bản Cho ( ) , n m L   là không gian ma trận thực cấp m n× , mỗi ma trận M là một toán tử tuyến tính từ n m →  , vì vậy với mỗi vectơ n x∈  có một ma trận ( ) m M x ∈  . Ma trận chuyển vị của M kí hiệu là tr M và cũng coi như là một toán tử tuyến tính từ m n →  , ñôi khi ta viết vM, với m v∈  thay vì viết ( ) tr M v . Chúng ta trang bị trên ( ) , n m L   với chuẩn tuyến tính như sau 1 ( ) x M Sup M x ≤ = . Chuẩn ở ñây tương ñương với chuẩn Euclide 22 2 1 2 . n M M M M = + + + , trong ñó 1 2 , , , m n M M M … ∈  là n cột của ma trận M . Hình cầu ñóng ñơn vị của không gian ( ) , n m L   ñược kí hiệu bằng mn B . 6 Cho : n φ →  là một hàm số và , n x u ∈  . Đạo hàm theo hướng Dini trên của φ tại x theo hướng u kí hiệu ( ) , x u φ + , ñược xác ñịnh bởi ( ) ( ) ( ) 0 , lim sup t x tu x x u t φ φ φ + ↓ + − = . Tương tự như vậy, ñạo hàm theo hướng Dini dưới của φ tại x theo hướng u kí hiệu ( ) , x u φ − ; ñược xác ñịnh bởi ( ) ( ) ( ) 0 , lim inf t x tu x x u t φ φ φ − ↓ + − = . Các giới hạn trên có thể nhận giá trị thực mở rộng ∞- và ∞+ . Khi ( ) ( ) , , x u x u φ φ + − = , thì các giá trị ñó ñược kí hiệu chung là ( ) / , x u φ và gọi là ñạo hàm theo hướng của φ tại x theo hướng u . Nếu ñiều này ñúng với mọi hướng u thì hàm φ ñược gọi là khả vi theo hướng tại x . 1.1.1. Giả Jacobian Định nghĩa 1.1.1. Cho : n m f →   là hàm vectơ liên tục. Tập ñóng ( ) ( ) , n m f x L ∂ ⊆   gồm các ma trận cấp m n× ñược gọi là giả Jacobian của f tại x nếu với mọi n u ∈  và với mọi m v ∈  , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) , sup , M f x vf x u v M u + ∈ ∂ ≤ . (1.1) trong ñó vf là hàm thực xác ñịnh bởi 1 : , m i i i vf v f v f = = = ∑ . Mỗi phần tử của ( ) f x∂ ñược gọi là một ma trận giả Jacobian của f tại x . Nếu dấu ñẳng thức ở (1.1) xảy ra thì ( ) f x∂ ñược gọi là giả Jacobian chính quy của f tại x . Mệnh ñề 1.1.2. (i) Một tập ñóng ( ) ( ) , n m f x L∂ ⊆   là một ma trận giả Jacobian của f tại x nếu và chỉ nếu với mọi n u∈  và với mọi m v∈  , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ; inf , M f x vf x u v M u − ∈ ∂ ≥ . (1.2) (ii) Nếu ( ) ( ) , n m f x L∂ ⊆   là giả Jacobian của f tại x , thì mọi tập con ñóng ( ) , n m A L⊆   chứa ( ) f x∂ ñều là giả Jacobian của 7 f tại x . (iii) Nếu ( ) { } 1 ( , ) n m i i f x L ∞ = ∂ ⊆   là một dãy giảm các giả Jacobian bị chặn của f tại x , thì 1 ( ) i i f x ∞ = ∂I cũng là một giả Jacobian của f tại x . 1.1.2. Đạo hàm Gâteaux, ñạo hàm Fréchet và ñạo hàm chặt Giả sử rằng : n m f →  , ta nói rằng f khả vi Gâteaux tại x nếu có một ma trận M cấp m n× sao cho với mọi n u∈  , ta có 0 ( ) ( ) lim ( ) t f x tu f x M u t ↓ + − = . Khi ñó M ñược gọi là ñạo hàm Gâteaux của f tại x . Nếu f khả vi Gâteaux tại x thì ñạo hàm Gâteaux M của nó trùng với ma trận Jacobian ( )f x∇ của f tại x. Khi ma trận M thỏa mãn 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 u f x u f x M u u → + − − = . Nó ñược gọi là ñạo hàm Fréchet của f tại x và f gọi là khả vi Fréchet tại x . Mệnh ñề 1.1.3. Cho : n m f →  là hàm vectơ liên tục, khả vi Gâteaux tại x , khi ñó { } ( )f x∇ là một giả Jacobian của f tại x . Ngược lại, nếu f là một giả Jacobian tại x chỉ gồm một phần tử thì f khả vi Gâteaux tại ñiểm ñó và ñạo hàm Gâteaux của nó trùng với ma trận giả Jacobian này. Mệnh ñề 1.1.4. Cho : n m f →  là hàm vectơ liên tục, khả vi Gâteaux tại x và ( )f x∂ là một giả Jacobian bị chặn của f tại x , khi ñó với mỗi m v∈  có ma trận M của bao lồi co ( )f x∂ sao cho [ ] ( ) ( ) ( ) tr tr f x v M v∇ = . Trong trường hợp riêng khi m = 1 ta có ( ) co ( )f x f x∇ ∈ ∂ . 1.1.3. Jacobian suy rộng Clarke Hàm : n φ →   ñược gọi là Lipschitz gần x nếu tồn tại lân cận U của x và một hằng số k > 0 sao cho 1 2 1 2 ( ) ( )x x k x x φ φ − ≤ − với mọi 1 2 , x x U∈ 8 Cho n u∈  , ñạo hàm Clarke theo hướng của hàm số φ tại x theo hướng u ñược ký hiệu ( ) o ; x u φ và xác ñịnh bằng ( ) ( ) ( ) 0 ' ' ' ; : limsup o t x x x tu x x u t φ φ φ ↓ → + − = . Dưới vi phân Clarke của φ tại x ñược kí hiệu ( ) C x φ ∂ và xác ñịnh bởi ( ) ( ) { o : , ; , C n x u x u φ ξ ξ φ ∂ = ∈ ≤  với } n u∈  . Một chú ý của tính chất dưới vi phân này là một tập lồi, compact trong n  và ( ) o ; x u φ thỏa mãn ( ) o ( ) ; max , C x x u u ξ φ φ ξ ∈∂ = với mọi n u∈  . Giả sử : n m f →   là hàm Lipschitz gần x. Khi ñó Jacobian suy rộng Clarke của f tại x, kí hiệu là ( ) C f x∂ và xác ñịnh bởi ( ) { } : co lim ( ): , C i i i i f x f x x x x →∞ ∂ = ∇ ∈Ω → , trong ñó Ω là tập tất cả các ñiểm của U mà tại ñó f khả vi. Tập hợp ( ) { } : lim ( ): , B i i i i f x f x x x x →∞ ∂ = ∇ ∈Ω → , ñược gọi là B-dưới vi phân của f tại x. Mệnh ñề 1.1.5. Cho : n m f →   là hàm Lipschitz gần x. Khi ñó Jacobian suy rộng Clarke ( ) C f x∂ của f tại x là một giả Jacobian của f tại ñiểm này. 1.2. Giả vi phân và giả Hessian của những hàm vô hướng Định nghĩa 1.2.1. Cho : n f →   là hàm liên tục. Ta nói rằng tập con ñóng ( ) n f x∂ ⊆  là một giả vi phân của hàm f tại x nếu xem như một tập con của ( ) , n L   thì nó là một giả Jacobian của f tại x. Như vậy ( ) f x∂ là một giả vi phân của hàm f tại x khi và chỉ khi ( ) ( ) , sup , f x f x u u ξ ξ + ∈∂ ≤ và ( ) ( ) , inf , , f x f x u u ξ ξ − ∈∂ ≥ n u∀ ∈  . 1.2.1. Dưới vi phân của hàm lồi Cho { } : n f → ∪ ∞   là một hàm vô hướng có giá trị thực mở rộng. Miền xác ñịnh hữu hiệu của f là tập 9 { } ( ) : ( ) n dom f x f x= ∈ < +∞  và trên ñồ thị của nó là một tập hợp ( ) { } ( ) , : ( ) n epi f x t f x t= ∈ × ≤   . Dưới vi phân của f (theo ñịnh nghĩa của giải tích lồi) là một tập ( ) ( ) { / : , ; , ca n f x u f x u ξ ξ ∂ = ∈ ≤  với mọi } n u∈  . Mệnh ñề 1.2.2. Cho f là hàm lồi, x 0 là một ñiểm trong của miền xác ñịnh hữu hiệu của f , khi ñó i) f Lipschitz gần x 0 . ii) Đạo hàm theo hướng của hàm f tại x 0 theo hướng n u∈  tồn tại và ñược xác ñịnh bởi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 / 0 0 0 ; lim inf t t f x tu f x f x tu f x f x u t t ↓ > + − + − = = . Mệnh ñề 1.2.3. Giả sử rằng { } : n f → ∪ ∞  là một hàm lồi và cho x là ñiểm thuộc miền xác ñịnh hữu hiệu của f . Dưới vi phân ( ) ca f x∂ của f tại x trùng với tập của vectơ n ξ ∈  xác ñịnh ( ) ( ) ,u f x u f x ξ ≤ + − , với mọi n u∈  . Dưới vi phân này cũng trùng với dưới vi phân của Clarke. Do ñó dưới vi phân ( ) ca f x∂ cũng là một giả vi phân của f tại x. 1.2.2. Dưới vi phân Michel-Penot Cho : n f →   là hàm liên tục. Đạo hàm theo hướng Michel- Penot trên của f tại x theo hướng u ñược xác ñịnh bởi ( ) ( ) ( ) o 0 ; : sup limsup n t z f x tz tu f x tz f x u t ↓ ∈ + + − + =  và ñạo hàm theo hướng Michel-Penot dưới của f tại x theo hướng u ñược xác ñịnh bởi ( ) ( ) ( ) o 0 ; : inf liminf n t z f x tz tu f x tz f x u t ↓ ∈ + + − + =  . Dưới vi phân Michel-Penot của f tại x là tập hợp 10 ( ) { ( ) o : : ; , n MP f x f x u u ξ ξ ∂ = ∈ ≥  với mọi } n u∈  . Mệnh ñề 1.2.4. Cho : n f →   là một hàm Lipschitz gần x. Khi ñó tập hợp ( ) MP f x∂ là một giả vi phân của hàm f tại ñiểm này. 1.2.3. Giả Hessian Định nghĩa 1.2.5. Cho : n f →   là hàm khả vi liên tục. Ánh xạ ñạo hàm f∇ là hàm vectơ liên tục từ n  vào n  . Tập con ñóng ( ) ( ) 2 , n n f x L∂ ⊆   gồm các ma trận vuông cấp n ñược gọi là một giả Hessian của hàm f tại x nếu nó là một giả Jacobian của f∇ tại ñiểm này. Giả Hessian cũng có các tính chất như giả Jacobian. Mệnh ñề 1.2.6. Cho : n f →   là hàm khả vi liên tục. Khi ñó (i) Nếu ( ) ( ) 2 , n n f x L∂ ⊆   là một giả Hessian của hàm f tại x , thì mọi tập con ñóng ( ) , n n A L⊆   chứa ( ) 2 f x∂ là một giả Hessian của hàm f tại x . (ii) Nếu f là khả vi Gâteaux hai lần tại x thì ma trận ( ) { } 2 f x∇ là một giả Hessian của hàm f tại x. Hơn nữa, f là khả vi Gâteaux hai lần tại x nếu và chỉ nếu nó có một giả Hessian chỉ gồm một phần tử tại x . 1.3. Ma trận giả Jacobian lùi xa và giả Jacobian riêng 1.3.1. Ma trận giả Jacobian lùi xa Cho n A ⊆  là một tập không rỗng. Nón lùi xa của tập hợp A kí hiệu A ∞ và ñược xác ñịnh bởi { } : lim : , 0 i i i i A t a a A t ∞ = ∈ ↓ . Mỗi phần tử của A ∞ gọi là một hướng lùi xa của tập hợp A . Giả sử rằng : n m f →   là hàm vectơ liên tục. Cho ( ) f x∂ là giả Jacobian của f tại x. Khi ñó nón lùi xa của ( ) f x∂ , kí hiệu là ( ) ( ) f x ∞ ∂ 11 ñược gọi là giả Jacobian lùi xa của f tại x. Mỗi phần tử của ( ) ( ) f x ∞ ∂ ñược gọi là một ma trận giả Jacobian lùi xa của f tại x. Mệnh ñề 1.3.1. Bổ ñề 1.3.2. Bây giờ giả sử rằng : n m f →   liên tục. Gọi ( ) f x∂ là giả Jacobian của hàm f tại x. Khi ñó ( ) ( ) f x ∞ ∂ biểu thị như một nón lùi xa của ( ) f x∂ . Phần tử của ( ) ( ) f x ∞ ∂ gọi là ma trận lùi xa của ( ) f x∂ . Mệnh ñề 1.3.3. Giả sử rằng ( ) f x∂ là một giả Jacobian của hàm f tại x. Khi ñó (i) ( ) f x∂ bị chặn nếu và chỉ nếu ( ) ( ) { } 0f x ∞ ∂ = ; (ii) Nếu ( ) f x∂ là tập lồi thì ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x ∞ ∂ = ∂ + ∂ ; (iii) Nếu ( ) f x∂ là tập lồi và ( ) 0 f x∈∂ thì ( ) ( ) ( ) f x f x ∞ ∂ ⊂ ∂ . 1.3.2. Giả Jacobian riêng Giả sử rằng 1 2 : n n m f × →    là một hàm vectơ liên tục theo cả hai biến 1 2 ( , ) n n x y ∈ ×   . Giả Jacobian ( ) ( ) 1 , , n m x f x y L∂ ⊂   của hàm ( ) ,x f x y→ với 2 n y∈  không ñổi ñược gọi là giả Jacobian riêng của f tại (x,y) theo biến x, và ( ) ( ) 2 , , n m y f x y L∂ ⊂   của hàm ( ) ,y f x y→ ñược gọi là giả Jacobian riêng của f tại (x,y) theo biến y. Cho tập con ( ) 1 2 , n n m Q L⊂ ×    , ta kí hiệu ( ) { 1 Proj : , : n m x Q M L= ∈   sao cho ( ) ( ) } 2 , , n m N MN Q∃ ∈ ∈   , ( ) { 2 Proj : , : n m y Q N L= ∈   sao cho ( ) ( ) } 1 , , n m M MN Q∃ ∈ ∈   . Mệnh ñề 1.3.4. Cho 1 2 : n n m f × →    là một hàm vectơ liên tục. Nếu ( ) ( ) 1 2 , , n n m f x y L∂ ⊂ ×    là một giả Jacobian của hàm f tại (x,y) thì ( ) Proj , x f x y∂ là một giả Jacobian riêng của f tại (x,y) theo biến x, và ( ) Proj , y f x y∂ là một giả Jacobian riêng của f tại (x,y) theo biến y. 12 Mệnh ñề 1.3.5. Cho 1 2 : n n m f × →    là một hàm vectơ liên tục và cho ( ) ( ) 1 2 , , n n m f x y L∂ ⊂ ×    là một giả Jacobian của f tại (x,y). Khi ñó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) Proj , Proj , x x f x y f x y ∞ ∞ ∂ ⊂ ∂ ; ( ) ( ) ( ) ( ) Proj , Proj , y y f x y f x y ∞ ∞ ∂ ⊂ ∂ . 1.4. Ánh xạ giả Jacobian nửa liên tục trên 1.4.1. Ánh xạ ña trị nửa liên tục trên Một ánh xạ ña trị F từ n  vào m  , kí hiệu là : n m F   là một ánh xạ từ n  vào họ tất cả các tập con của m  Đồ thị của ánh xạ ña trị F là tập hợp ( ) graph n m F ⊂ ×  ñược xác ñịnh bởi ( ) ( ) ( ) { } graph : , : n m F x y y F x= ∈ × ∈   . Tập hợp ( ) ( ) Im : n x F F x ∈ =  U , ñược gọi là ảnh của ánh xạ ña trị F. F ñược gọi là bị chặn ñịa phương tại n x∈  nếu tồn tại lân cận U của x sao cho tập hợp ( ) ( ) x U F U F x ∈ = U là tập bị chặn. Ánh xạ ña trị F ñược gọi là nửa liên tục trên tại x nếu với mọi 0 ε > , tồn tại số 0 δ > sao cho ( ) ( ) n m F x B F x B δ ε + ⊆ + . Khi F là ánh xạ ñơn trị thì tính nửa liên tục trên theo ñịnh nghĩa trên chính là tính liên tục theo nghĩa thông thường. Cho : n m F   là một ánh xạ ña trị. Giới hạn trên Kuratowski- Painleve của F tại x ñược xác ñịnh bởi ( ) ( ) { ' lim sup ' : lim : , i i i i x x F x y y F x x x → = ∈ → khi } i → ∞ . Giới hạn trên này ñược kí hiệu  ( ) F x . Từ các ñịnh nghĩa trên cho ta thấy rằng  ( ) F x là một tập ñóng. Mệnh ñề 1.4.1. Cho : n m F   là một ánh xạ ña trị nhận giá trị compact và nửa liên tục trên. Khi ñó nếu A là một tập compact trong n  thì ( ) ( ) x A F A F x ∈ = U cũng là tập compact trong m  . 13 Mệnh ñề 1.4.2. Giả sử rằng F là bị chặn ñịa phương tại x, khi ñó ánh xạ ña trị G xác ñịnh bởi ( ) ( )  ( ) ' ' ' ' F x x x G x F x x x  ≠  =  =   neáu neáu là nửa liên tục trên tại x. Hơn nữa, nếu F bị chặn ñịa phương thì ánh xạ ña trị  F là nhỏ nhất theo quan hệ bao hàm trong lớp các ánh xạ ña trị nửa liên tục trên nhận giá trị ñóng và chứa F. 1.4.2. Ánh xạ giả Jacobian Định nghĩa 1.4.3. Cho : n m f →  là một hàm vectơ liên tục và ( ) f x∂ là một giả Jacobian cho trước của f tại x, với mọi n x∈  . Khi ñó ánh xạ ña trị ( ) x f x∂a ñược gọi là ánh xạ giả Jacobian của f . Định lí 1.4.4. Cho f∂ là một ánh xạ giả Jacobian của f . Khi ñó các khẳng ñịnh sau ñúng. (i)Nếu f∂ là bị chặn ñịa phương tại x thì ánh xạ giả Jacobian fI xác ñịnh bởi ( ) ( )  ( ) ' ' ' ' f x x x f x f x x x  ∂ ≠  =  ∂ =   neáu neáu I là nửa liên tục trên tại x. (ii) Nếu f∂ là bị chặn ñịa phương, thì  f∂ là nhỏ nhất trong tất cả các ánh xạ giả Jacobian nửa liên tục trên chứa f∂ . Mệnh ñề 1.4.5. Cho : n m f →  là Lipschitz ñịa phương . Nếu f∂ là một ánh xạ giả Jacobian nửa liên tục trên của f sao cho ( ) ( ) f x f x∇ ∈∂ khi f∇ tồn tại, khi ñó ( ) ( ) B f x f x∂ ⊆ ∂ với mọi n x∈  . 14 Chương 2 Các quy tắc tính toán trên giả Jacobian 2.1. Quy tắc cơ bản 2.1.1. Tích vô hướng và tổng Định lí 2.1.1. Cho f và : n m g →  là các hàm vectơ liên tục. Nếu ( ) ( ) và f x g x∂ ∂ lần lượt là các giả Jacobian của và f g tại x thì (i) ( ) f x α ∂ là giả Jacobian của f tại x với mọi α ∈  ; (ii) ( ) ( ) ( ) cl f x g x∂ + ∂ là giả Jacobian của f g+ tại x. Mệnh ñề 2.1.2. Giả sử rằng f và g là hai hàm Lipschitz ñịa phương từ n  vào  . Khi ñó với mỗi n x∈  , ta có ( )( ) ( ) ( ) C C C f g x f x g x∂ + ⊆ ∂ + ∂ . 2.1.2. Tích Decartes Với hàm vectơ : n m f →  và : n l g →  , kí hiệu f g× ñược sử dụng ñể chỉ hàm vectơ từ n  vào m l +  , xác ñịnh bởi ( )( ) ( ) ( ) ( ) ,f g x f x g x× = . Định lí 2.1.3. Cho : n m f →  và : n l g →  là các hàm vectơ liên tục. Nếu ( ) ( ) , n m f x L∂ ⊆   và ( ) ( ) , n l g x L∂ ⊆   lần lượt là các giả Jacobian của hàm f và g tại x thì ( ) ( ) f x g x∂ ×∂ cũng là giả Jacobian của hàm f g× tại x. 2.1.3. Tích và thương Định lí 2.1.4. Cho , : n f g →  là hàm liên tục. Cho ( ) f x∂ và ( ) g x∂ lần lượt là các giả vi phân của f và g tại x. Nếu một trong các tập ( ) f x∂ và ( ) g x∂ bị chặn hoặc ít nhất một trong các giá trị ( ) f x và ( ) g x khác không khi cả hai tập ( ) f x∂ và ( ) g x∂ không bị chặn, thì bao ñóng của tập hợp ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x g x f x∂ + ∂ là giả vi phân của hàm tích fg tại x. 15 Định lí 2.1.5. Cho , : n f g →  là hàm liên tục với ( ) g x 0≠ . Cho , f g∂ ∂ lần lượt là các giả vi phân của và f g tại x. Khi ñó bao ñóng của tập ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 g x f x f x g x g x ∂ − ∂ ,là giả vi phân của hàm thương f g tại x. Mệnh ñề 2.1.6. Cho , : n f g →   là hàm Lipschitz ñịa phương. Thì ta có ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , 0. C C C C C C fg x f x g x g x f x g x f x f x g x f g x khi g x g x ∂ ⊆ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ⊆ ≠ 2.1.4. Hàm max và hàm min Định nghĩa 2.1.7. Cho , 1, ., i f i k= là các hàm liên tục trên n  . Khi ñó hàm max và hàm min của chúng là các hàm và : n f g →  lần lượt ñược xác ñịnh như sau: ( ) ( ) { } : max : 1, ., i f x f x i k= = và ( ) ( ) { } : min : 1, ., . i g x f x i k= = Kí hiệu ( ) I x là tập của tất cả các chỉ số { } 1, .,i k∈ sao cho ( ) ( ) i f x f x= và ( ) J x là tập của tất cả các chỉ số { } 1, ., ,j k∈ sao cho ( ) ( ) j f x g x= . Định lí 2.1.8. Giả sử rằng ( ) ( ) 1 , ., k f x f x∂ ∂ lần lượt là giả vi phân của hàm 1 , ., k f f tại x. Thì ( ) ( ) i i I x f x ∈ ∂ U là một giả vi phân của hàm f tại x. Mệnh ñề 2.1.9. Giả sử rằng 1 , ., n f f là hàm Lipschitz ñịa phương. Khi ñó ( ) ( ) ( ) co C C i i I x f x f x ∈   ∂ ⊆ ∂     U . 2.2. Định lí giá trị trung bình và khai triển Taylor 2.2.1. Định lí giá trị trung bình Định lí 2.2.1. Cho , n a b∈  và cho : n m f →   là hàm vectơ liên tục. Giả sử rằng với mỗi [ ] ,x a b∈ , ( ) f x∂ là một giả Jacobian của hàm f tại x. Khi ñó ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) { } co ,f b f a f a b b a− ∈ ∂ − , 16 ở ñây [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] { } , : , ,f a b b a M b a M f x x a b∂ − = − ∈∂ ∈ . Mệnh ñề 2.2.2. Cho , n a b∈  và : n m f →   là hàm vectơ liên tục, giả sử f∂ là ánh xạ giả Jacobian bị chặn và nửa liên tục trên của f trên ñoạn [ ] ,a b . Khi ñó ( ) ( ) [ ] ( ) { } ( ) co ,f b f a f a b b a− ∈ ∂ − . Mệnh ñề 2.2.3. Cho , n a b∈  và : n m f →   là hàm Lipschitz ñịa phương. Khi ñó ( ) ( ) [ ] ( ) { } ( ) co , C f b f a f a b b a− ∈ ∂ − . Mệnh ñề 2.2.4. Cho , n a b∈  và : n f →   là hàm liên tục. Giả sử rằng với mỗi [ ] ( ) , , x a b f x∈ ∂ là một giả vi phân của f tại x. Khi ñó tồn tại ( ) ,c a b∈ và dãy { } ( ) ( ) co k f c ξ ⊂ ∂ sao cho ( ) ( ) lim , k k f b f a b a ξ →∞ − = − . 2.2.2. Đặc trưng của hàm Lipschitz ñịa phương Như phần trước ñã nêu, ánh xạ ña trị ( ) : L , n n m G    ñược gọi là bị chặn ñịa phương tại x nếu tồn tại một lân cận U của x và một số dương α sao cho A α ≤ , với mọi ( ) A G U∈ . Rõ ràng, nếu G là nửa liên tục trên tại x và bị chặn, thì G là bị chặn ñịa phương tại x. Mệnh ñề 2.2.5. Cho : n m f →   là hàm vectơ liên tục. Khi ñó f có một ánh xạ giả Jacobian bị chặn ñịa phương tại x nếu và chỉ nếu f Lipschitz gần x. 2.2.3. Khai triển Taylor Định lí 2.2.6. Cho : n f →   là hàm khả vi liên tục trên n  và , n x y ∈  . Giả sử với mỗi [ ] ( ) 2 , , z x y f z∈ ∂ là giả Hessian của f tại ñiểm này. Khi ñó tồn tại ( ) ,c x y∈ sao cho ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 , co , 2 f y f x f x y x f c y x y x∈ + ∇ − + ∂ − − . Hệ quả 2.2.7. Cho : n f →   là hàm khả vi liên tục trên n  và , n x y ∈  . Giả sử với mỗi [ ] ( ) 2 , , z x y f z∈ ∂ là giả Hessian lồi của f tại ñiểm này. Khi ñó tồn tại ( ) ,c x y∈ và ( ) 2 M f c∈∂ sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , 2 f y f x f x y x M y x y x= + ∇ − + − − . 17 Chương 3 Một số ứng dụng giả Jacobian trong tối ưu Trong chương này, sử dụng các kết quả của những chương trước ñể nêu lên ñiều cần cực trị của các hàm vectơ liên tục. Bố cục chương này bao gồm các mục như sau. Mục 3.1 nêu lên các ñịnh lí ñiều kiện cần ñể hàm vectơ ñạt cực trị ñịa phương. Mục 3.2 ñiều kiện tối ưu cấp một sẽ ñược ñưa ra ñối với bài toán tối ưu với dữ kiện là một hàm vectơ liên tục. Mục 3.3 dành cho việc nêu lên ñiều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán tối ưu với dữ kiện là khả vi liên tục. 3.1. Điều kiện cần của cực trị của hàm vectơ liên tục Cho : n f →   là hàm vectơ liên tục. Điểm x 0 ñược gọi là cực tiểu ñịa phương của f nếu có một lân cận U của x 0 trong n  sao cho ( ) ( ) 0 f x f x≥ với mọi x U ∈ . Sau ñây là một số ñiều kiện cần cho cực tiểu ñịa phương. Định lí 3.1.1. Nếu x 0 là cực tiểu ñịa phương của f và ( ) 0 f x ∂ là một giả vi phân của f tại x 0 , thì ( ) 0 0 co f x ∈ ∂ . Mệnh ñề 3.1.2. Nếu x 0 là cực tiểu ñịa phương của f , thì (i) ( ) 0 0 f x ∇ = , khi f là hàm khả vi Gâteux tại x 0 ; (ii) ( ) 0 0 MP f x ∈∂ , khi f là hàm Lipschitz ñịa phương tại x 0 . Định lí 3.1.3. Cho C là một tập lồi khác rỗng trong n  và cho : n f →   là hàm vectơ liên tục. Nếu x C ∈ là ñiểm cực tiểu ñịa phương của f trên C và ( ) f x ∂ là một giả vi phân của f tại x, thì ( ) ( ) sup , 0, , f x u u T C x ξ ξ ∈∂ ≥ ∀ ∈ . Trong ñó ( ) ( ) { } , cl : , 0 T C x t c x c C t = − ∈ ≥ là nón tiếp xúc của C tại x 0 . 18 3.2. Điều kiện tối ưu cấp một 3.2.1. Bài toán với ràng buộc ñẳng thức Cho U là một tập con mở trong n  , cho 1 , , . : m f h h U →  là các hàm nhận giá trị thực. Ta xét bài toán quy hoạch với m ràng buộc ñẳng thức mà ñược kí hiệu là (PE): Min ( ) f x Với ñiều kiện ( ) 0, 1, ., i h x i m = = , Hàm vectơ với các thành phần 2 , , ., i m h h h ñược kí hiệu h . Hàm f ñược gọi là hàm mục tiêu và tập ràng buộc (hay tập chấp nhận ñược) của bài toán, kí hiệu là C ñược xác ñịnh bởi ( ) { } : 0, 1, ., i C x U h x i m = ∈ = = . Mỗi phần tử của C ñược gọi là ñiểm chấp nhận ñược. Điểm x C ∈ ñược gọi là nghiệm ñịa phương của bài toán (PE) nếu tồn tại lân cận V của x sao cho ( ) ( ) f x f x ≤ với mọi x V C ∈ ∩ . Ta kí hiệu: % ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) : co co \ 0 h x h x h x ∞ ∂ = ∂ ∂ U . Trong ñó ( ) h x ∂ là giả Jacobian của h tại x. Định lí sau cho ta ñiều kiện cần ñể một ñiểm chấp nhận ñược là nghiệm ñịa phương của bài toán (PE). Đôi khi ñiều kiện này còn ñược xem như là quy tắc nhân tử Lagrange hay ñiều kiện tối ưu Fritz-John. Định lí 3.2.1. Xét bài toán (PE) trong ñó f và h là các hàm liên tục trên U. Giả sử thêm rằng hàm ( ) , F f h = có F ∂ là ánh xạ giả jacobian nửa liên tục trên tại x U ∈ và x là một nghiệm ñịa phương của bài toán (PE). Khi ñó tồn tại các số 0 1 0, , ., m λ λ λ ≥ không ñồng thời bằng 0 sao cho ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) 0 co co \ 0 F x F x λ ∞ ∈ ∂ ∂o U , trong ñó ( ) 0 , ., m λ λ λ = . 19 Mệnh ñề 3.2.2. Xét bài toán (PE), cho ( ) , F f h = là hàm Lipschitz gần x U ∈ và x là một nghiệm ñịa phương của bài toán (PE). Khi ñó tồn tại các số 0 1 0, , . m λ λ λ ≥ không ñồng thời bằng 0 sao cho ( )( ) 0 C F x λ ∈∂ o . trong ñó ( ) 0 1 , , ., m λ λ λ λ = . Đối với các nhân tử Lagrange mà ở ñó thành phần 0 0 λ = sẽ rất ít ñược quan tâm, vì nó không chứa một thông tin nào có liên quan ñến hàm mục tiêu f. Chính vì vậy mà người ta cố gắng ñưa ñến những kết quả mà ở ñó nhân tử Lagrange có thành phần 0 λ khác không. Điều kiện ñể có nhân tử Lagrange như vậy thường ñược gọi là ñiều kiện Kuhn- Tucker hay ñiều kiện chính quy. Mệnh ñề sau cho ta một ñiều kiện chính quy của bài toán (PE). Mệnh ñề 3.2.3. Với các giả thuyết của ñịnh lí 3.2.1 và bổ sung thêm giả sử hệ m vectơ lấy từ m dòng cuối của các phần tử của % ( ) F x ∂ ñều ñộc lập tuyến tính. Khi ñó tồn tại các số 1 , ., m λ λ sao cho % ( ) 0 F x λ ∈ ∂o với ( ) 1 1, , ., m λ λ λ = . Ví dụ 3.2.1. Xét bài toán sau : Min 2 3 4 x x + Với ñiều kiện ( ) 2/3 4 1 1 2 3 2 sgn 2 0 x x x x + − = 1/3 2 1 2 4 2 2 x x x + − . Cho ( ) 0 1 2 , , f f f f = , ở ñây ( ) 2 0 1 2 3 4 3 4 , , , f x x x x x x = + ( ) ( ) 2/3 4 1 1 2 3 4 1 1 2 3 , , , 2 sgn 2 0 f x x x x x x x x = + − = ( ) 1/3 2 2 1 2 3 4 1 2 4 , , , 2 2 f x x x x x x x = + − . Ta ñang quan tâm ñến ñiểm x = 0, rõ ràng tại ñó f liên tục nhưng không Lipschitz . Giả Jacobian của f tại 0 và nón suy thoái tại ñó ñược xác ñịnh bằng 20 ( ) 2 0 0 1 0 0 2 0 2 0 : 1 , 2 0 0 2 f α α α         ∂ = − ≥         −     ( ) ( ) 0 0 1 0 0 0 2 : 0 , 0 0 f β β ∞         ∂ = − ≥             Do ñó, % ( ) 2 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 2 0 : 1 0 0 2 : 0 . 0 0 2 0 0 2 f co α α β β α                 ∂ = − ≥ ∪ − ≥                 −         Rõ ràng, mỗi ( ) 0M co f∈ ∂ có bậc tối ña. Vì vậy ( ) 0 1 2 , , 0M λ λ λ ≠o , với mọi ( ) 0 1 2 , , 0 λ λ λ ≠ . Nhưng với bất kì ma trận ( ) ( ) 0N f ∞ ∈ ∂ , ( ) 1,1,0 0N =o . Do ñó theo kết luận của ñịnh lí 3.1.1 thì x = 0 là một nghiệm tối ưu ñịa phương của bài toán. 3.2.2. Bài toán với ràng buộc ñẳng thức và bất ñẳng thức Trong phần này ta sẽ nghiên cứu bài toán quy hoạch với ràng buộc ñẳng thức và bất ñẳng thức. Cho , , : , n i j f g h →   1, ., ;i p= 1, .,j q= là các hàm nhận giá trị thực. Ta xét bài toán sau kí hiệu là (P) Min ( ) f x Với ñiều kiện ( ) 0, 1, . i g x i p≤ = ( ) 0, 1, . j h x j q= = Ta kí hiệu ( ) 1 , ., p g g g= , ( ) 1 , ., q h h h= và ( ) , ,F f g h= . Dưới ñây là một quy tắc nhân tử cho bài toán (P). Định lí 3.2.4. Giả sử F liên tục và có ánh xạ giả Jacobian ( ) F x∂ là nửa liên tục trên tại n x ∈  . Nếu x là một nghiệm tối ưu ñịa phương của bài toàn (P), thì tồn tại vectơ khác không ( ) , , p q α β γ ∈ × ×    trong ñó ( ) 1 0, , ., p α β β β ≥ = với 0 i β ≥ sao cho