Ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 VŨ THỊ BÍCH THỦY ÁNH XẠ GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁNH XẠ LIÊN TỤC YẾU LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 Hà Nội-2012 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 VŨ THỊ BÍCH THỦY ÁNH XẠ GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁNH XẠ LIÊN TỤC YẾU LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội-2012 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2. Trước hết, tác giả xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Trần Văn Bằng đã luôn hướng dẫn và chỉ bảo chu đáo, tận tình, nghiêm khắc trong suốt quá trình tác giả học tập và nghiên cứu luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Sau đại học, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 cũng như toàn thể các thầy cô giáo trong trường đã quan tâm và dành cho tác giả những điều kiện tốt nhất trong thời gian học tập và nghiên cứu tại đây. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, tạo điều kiện của Ban Giám Hiệu Trường THPT Phúc Yên. Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp xác đáng của các thầy giáo phản biện để luận văn được hoàn thiện hơn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Tác giả Vũ Thị Bích Thủy LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học nghiên cứu với sự trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Tác giả Vũ Thị Bích Thủy Mục lục Mở đầu vi 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Không gian Banach, không gian lồi địa phương . 1 1.1.2 Hàm và ánh xạ trên không gian Banach và không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 Tính compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.5 Các định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Hàm liên tục và trơn . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Hàm khả tích Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Ánh xạ Nemytskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4 Công thức Green và một vài bất đẳng thức . . . . . . . . 24 2 Ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu 26 2.1 Các khái niệm cơ bản, phương pháp Galerkin . . . . . . 26 2.2 Một số tính chất của ánh xạ giả đơn điệu . . . . . . . . . 31 2.3 Phương trình với ánh xạ đơn điệu . . . . . . . . . . . . . 33 2.4 Phương trình elliptic tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . . 40 iii iv 2.4.1 Bài toán biên đối với phương trình cấp hai . . . . 41 2.4.2 Công thức nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4.3 Tính giả đơn điệu, tính bức và sự tồn tại nghiệm 49 2.4.4 Phương trình cấp cao hơn . . . . . . . . . . . . . 58 2.5 Ánh xạ liên tục yếu, phương trình nửa tuyến tính . . . . 61 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 BẢNG KÍ HIỆU A Một ánh xạ, C(Ω) Không gian các hàm liên tục trên Ω, C 0,1 (Ω) Không gian các hàm liên tục Lipschitz trên Ω, C(Ω; R n ) Không gian các hàm liên tục với giá trị trong R n trên Ω, cl(·) Bao đóng của một tập hợp, div Divergence của trường vectơ, L(V 1 , V 2 ) Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục A : V 1 → V 2 , L p (Ω) Không gian các hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue trên Ω, L p (Ω; R n ) Không gian các hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue trên Ω lấy giá trị trong R n , meas n (·) Độ đo Lebesgue n chiều của một tập hợp, N a Ánh xạ Nemytskii cảm sinh bởi a, ∇ Gradient (= grad =  i ∂ ∂x +  j ∂ ∂y +  k ∂ ∂z ), ∇ 2 Laplace, = ∂ 2 ∂x 2 + ∂ 2 ∂y 2 + ∂ 2 ∂z 2 , p Số mũ liên quan đến tính bức của giới hạn cấp cao nhất của toán tử vi phân, p  = p p−1 Số mũ liên hợp của p ∈ [1, +∞], p ∗ Số mũ trong phép nhúng W 1,p (Ω) ⊂ L p ∗ (Ω), p ∗∗ Số mũ trong phép nhúng W 2,p (Ω) ⊂ L p ∗ (Ω), p # Số mũ của toán tử vết u → u| Γ , W k,p (Ω) Không gian Sobolev các hàm có đạo hàm suy rộng đến cấp k thuộc L p (Ω),  Kết thúc chứng minh. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đã và đang ngày càng phát triển mạnh mẽ, đem lại những ứng dụng thiết thực trong các lĩnh vực khoa học và đời sống. Có được sự phát triển đó là nhờ những tiến bộ quan trọng trong nghiên cứu các môn cơ bản như giải tích hàm, lý thuyết độ đo, các không gian hàm,. . ., đặc biệt là nhờ những tiến bộ vượt bậc của khoa học máy tính. Cho đến nay ngày càng có nhiều bài toán đối với các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến phức tạp được giải quyết như các phương trình Schr¨odinger trong cơ học lượng tử, phương trình Navier-Stokes trong thủy động học,. . . . Một trong những phương pháp quan trọng và hiệu quả để nghiên cứu bài toán biên là phương pháp năng lượng. Phương pháp này dựa trên các đánh giá tiên nghiệm (trong vật lý gọi là các cận của năng lượng). Để có các đánh giá đó, nói chung ta phải dựa trên tính compact yếu của tập bị chặn trong các không gian Banach phản xạ, và tính giả đơn điệu hay tính liên tục yếu của các toán tử vi phân (thực chất là tính bị chặn của các toán tử vi phân từ không gian Banach này vào không gian Banach khác). Với lý do đó và được sự hướng dẫn của thầy giáo tiến sỹ Trần Văn Bằng em chọn đề tài: Ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu, đặt vấn đề nghiên cứu một cách có hệ thống về hai loại ánh xạ này cùng với những ứng dụng của chúng đối với bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. vii 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu và các ứng dụng trong giải phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn trình bày các tính chất của ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu từ đó ứng dụng để giải một số phương trình elliptic tựa tuyến tính, phương trình nửa tuyến tính. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu, các ứng dụng trong giải phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. 5. Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách, nghiên cứu tài liệu. - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Những đóng góp mới của đề tài - Trình bày một cách hệ thống về ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ liên tục yếu. - Nghiên cứu những ứng dụng của ánh xạ đó đối với việc giải các phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính, nửa tuyến tính. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích hàm 1.1.1 Không gian Banach, không gian lồi địa phương Xét không gian tuyến tính (thực) V . Một phiếm hàm không âm, thuần nhất bậc-1, cộng tính dưới · V : V → R được gọi là một chuẩn nếu nó chỉ triệt tiêu tại 0. Thông thường, ta sẽ kí hiệu ngắn gọn · thay vì · V nếu V đã xác định rõ. Một không gian tuyến tính được trang bị một chuẩn được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn. Nếu tính chất cuối cùng (tức là u V = 0 ⇒ u = 0) được bỏ qua thì ta gọi phiếm hàm trên là nửa chuẩn; tức là một phiếm hàm |·| ξ : V → R là nửa chuẩn nếu nó thỏa mãn ∀u, v ∈ V, ∀a ∈ R : 0  |u + v| ξ  |u| ξ + |v| ξ và |au| ξ = |a||u| ξ . (1.1.1) Nếu V được trang bị một họ  |·| ξ  ξ∈Ξ các nửa chuẩn |·| ξ , với tập chỉ số Ξ tùy ý thì ta gọi V là một không gian lồi địa phương. Khi đó một dãy {u k } k∈N trong V được gọi là dãy Cauchy nếu ∀ξ ∈ Ξ, ∀ε > 0, ∃k 0 ∈ N, ∀k 1 , k 2  k 0 : |u k 1 − u k 2 | ξ  ε. (1.1.2) [...]... + tv) , v liên tục thì A được gọi là liên tục xuyên tâm (radially continuous) (iii) A : V → V ∗ là 1/2 liên tục (demicontinuous) nếu ∀w ∈ V phiếm hàm u → A (u) , w liên tục; tức là A là liên tục với tư cách là ánh xạ V, chuẩn → V ∗ , yếu (iv) A : V → V ∗ là liên tục yếu (weak continuous) nếu ∀w ∈ V phiếm hàm u → A (u) , w liên tục yếu; tức là A là liên tục như một ánh xạ: V, chuẩn → V ∗ , yếu (v)... (Ω;Rn×n ) , (1.4.8) Chương 2 Ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu 2.1 Các khái niệm cơ bản, phương pháp Galerkin Trong suốt chương này, V là không gian Banach phản xạ, tách được và V ∗ là đối ngẫu của nó, với · và · ∗ tương ứng là kí hiệu ngắn gọn của chuẩn của chúng Định nghĩa 2.1.1 (Các dạng đơn điệu) Cho ánh xạ A : V → V ∗ Ta định nghĩa: (i) A : V → V ∗ là đơn điệu nếu ∀u, v ∈ V : A (u) −... : V1 → V2 , V1 , V2 là các không gian Banach, được gọi là hoàn toàn liên tục nếu nó (yếu, chuẩn) -liên tục, tức là nó ánh xạ các dãy hội tụ yếu thành các dãy hội tụ mạnh Ánh xạ A được gọi là ánh xạ compact nếu nó ánh xạ các tập bị chặn trong V1 thành các tập tiền compact trong V2 Nếu V1 là phản xạ thì mọi ánh xạ hoàn toàn liên tục là compact, điều ngược lại nói chung không đúng 9 Định lí 1.1.6 (Nguyên... một hàm tăng, liên tục ς : R+ → R+ Nếu ς (r) = δr với δ > 0, thì A được gọi là đơn điệu mạnh (iv) Ánh xạ A : V → V ∗ được gọi là giả đơn điệu nếu A bị chặn, và   uk u ⇒ ∀v ∈ V : A (u) , u − v lim sup A (uk ) , uk − u 0 k→∞ (2.1.3) (2.1.4) lim inf A (uk ) , uk − v k→∞ Chú ý 2.1.1 Lưu ý rằng tính đơn điệu trong Định nghĩa 2.1.1(i) không liên quan trực tiếp với tính đơn điệu của các ánh xạ theo một... ánh xạ liên hợp I ∗ : V ∗ → U ∗ liên tục và đơn ánh nếu U nhúng trong V liên tục và trù mật Khi đó ta có đồng nhất V ∗ với một tập con của U ∗ 1.2.1 Hàm liên tục và trơn Kí hiệu C (·) , C 0 (·) và C 0,1 (·) tương ứng là tập tất cả các hàm liên tục, liên tục bị chặn, liên tục Lipschitz Ví dụ C 0 (Ω; Rm ) là tập tất cả các hàm liên tục bị chặn Ω → Rm Ta kí hiệu Ω là bao đóng của Ω trong không gian Euclide... của các toán tử đơn điệu có ý nghĩa nhưng không nhất thiết đơn điệu Định nghĩa 2.1.1(iv) là sự mở rộng thích hợp của sự tổng quát hóa của khái niệm đơn điệu phù hợp với phương trình tựa tuyến tính −div (a (u, u)) + c (u, u) = g Định nghĩa 2.1.2 (Các dạng liên tục) (i) A : V → V ∗ là bán liên tục (hemicontinuous) nếu ∀u, v, w ∈ V hàm t → A (u + tv) , w là liên tục, tức là A liên tục yếu có hướng (ii)... lại không đúng 1.1.2 Hàm và ánh xạ trên không gian Banach và không gian đối ngẫu Nhớ lại rằng, một hàm f : V → R ∪ {±∞} được gọi là nửa liên tục dưới (hay nửa liên tục trên) nếu ∀u ∈ V, uk → u :f (u) lim inf f (uk ) k→∞ (tương ứng f (u) (1.1.6) lim sup f (uk ) ) k→∞ Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn V1 , V2 và ánh xạ A : V1 → V2 Ta nói rằng A là liên tục nếu nó ánh xạ dãy hội tụ trong V1 thành... tính I là liên tục (do đó bị chặn) Điều này có nghĩa là u V N u U, chẳng hạn N là chuẩn I L(U,V ) Nếu I là compact thì ta sẽ nói là phép nhúng compact và sử dụng ký hiệu U V Nếu U là tập con trù mật trong V , ta sẽ nói là phép nhúng trù mật; tính chất này hiển nhiên phụ thuộc vào chuẩn trên V nhưng không phụ thuộc vào U Theo Giải tích hàm, ánh xạ liên hợp I ∗ : V ∗ → U ∗ liên tục và đơn ánh nếu U... cho c u 1.3 W 2/p− ,p (Ω) u p Lp (Ω) + 2 và p−2 Ω |u| > 0 thì 2 | u| dx 1/p Ánh xạ Nemytskii Cho các số j, m0 , m1 , , mj ta nói rằng ánh xạ a : Ω×Rm1 × ×Rmj → Rm0 là ánh xạ Carathéodory nếu a (·, r1 , , rj ) : Ω → Rm0 là đo được với mọi (r1 , , rj ) ∈ Rm1 × × Rmj và a (x, ·) : Rm1 × × Rmj → Rm0 là liên tục tại hầu hết x ∈ Ω Khi đó ánh xạ Nemytskii Na ánh xạ các hàm ui : Ω → Rmi , i = 1, , j thành... (u) − A (v) , u − v 0 (ii) Nếu A là đơn điệu và ∀u = v ta đều có A (u) − A (v) , u − v > 0, thì A gọi là đơn điệu ngặt (iii) Xét hàm tăng d : R+ → R, ta sẽ nói rằng A : V → V ∗ là d -đơn điệu theo nửa chuẩn |·| nếu A (u) − A (v) , u − v (d (|u|) − d (|v|)) (|u| − |v|) (2.1.1) Nếu |·| là chuẩn · trên V thì ta sẽ nói đơn giản A là d -đơn điệu Hơn nữa, A được gọi là đơn điệu đều nếu A (u) − A (v) , u − v . cứu ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu và các ứng dụng trong giải phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn trình bày các tính chất của ánh xạ giả đơn điệu và. và một vài bất đẳng thức . . . . . . . . 24 2 Ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu 26 2.1 Các khái niệm cơ bản, phương pháp Galerkin . . . . . . 26 2.2 Một số tính chất của ánh xạ giả đơn. và ánh xạ liên tục yếu từ đó ứng dụng để giải một số phương trình elliptic tựa tuyến tính, phương trình nửa tuyến tính. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu ánh xạ giả đơn điệu và ánh