2 Ánh xạ giả đơn điệu và ánh xạ liên tục yếu
2.4 Phương trình elliptic tựa tuyến tính
Ta sẽ minh họa lý thuyết trừu tượng ở trên qua bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính cấp 2
−div(a(x, u,∇u)) +c(x, u,∇u) = g (2.4.1) trong miền bị chặn, liên thông, LipschitzΩ ⊂ Rn. Ở đâya : Ω×R×Rn → Rn và c : Ω ×R × Rn → Rn. Nhớ lại rằng ∇u := ∂ ∂x1u, ...,∂x∂ nu là
gradient của u. Chi tiết hơn, (2.4.1) viết lại: − n X i=1 ∂ ∂xi ai(x, u(x),∇u(x)) +c(x, u(x),∇u(x)) = g(x), (2.4.2) vớix ∈ Ωnhưng ta thường sử dụng dạng viết ngắn gọn (2.4.1). Bên cạnh đó ta sẽ hạn chế chỉ xét các dữ kiện có độ tăng đa thức bậc p∈ (1,+∞)
và độ tăng của số hạng phi tuyến a(x, u,·). Hơn nữa, a(x, u,·) sẽ được giả thiết có tính đơn điệu, xem (2.4.26), nó có quan hệ với tính từ elliptic. Với trường hợp tuyến tính a(x, r, s) =As, tính đơn điệu (2.4.26) và tính bức (2.4.54) dưới đây dẫn đến ma trận A là xác định dương, tương ứng với trường hợp elliptic, trái lại nếu A không xác định (tương ứng: nửa xác định) thì được gọi là Hyperbolic (tương ứng: parabolic).
Quy ước 2.4.1. Để ngắn gọn, ta sẽ thường viết a(x, u,∇u) thay vì a(x, u(x),∇u(x)) (như ta đã làm trong (2.4.1)) hoặc đôi khi ta chỉ viết a(u,∇u) nếu sự phụ thuộc vào x là hiển nhiên; vì vậy kéo theo Na(u,∇u) = a(u,∇u). Chẳng hạn: RΩc(u,∇u)vdx,
nghĩa là RΩc(x, u(x),∇u(x))v(x)dx.
2.4.1 Bài toán biên đối với phương trình cấp hai
Phương trình (2.4.1) có thể có rất nhiều nghiệm nếu bỏ qua các yêu cầu khác. Điều này sẽ được khắc phục bởi điều kiện biên-mô tả thông tin của nghiệm trên biên Γ := ∂Ω của miền Ω.
Điều kiện biên đơn giản là cho vết u|Γ của u, tức là:
u|Γ = uD trên Γ, (2.4.3)
với uD là hàm cố định trên Γ. Điều kiện này được gọi là điều kiện biên Dirichlet.
Đối với phương trình (2.4.1) ta thường xét phương trình địa phương đối với thông lượng trên biên ν ·a, tức là:
ν ·a(x, u,∇u) +b(x, u) = h trên Γ, (2.4.4) ở đóν = (ν1, ..., νn)là véctơ pháp tuyến ngoài đơn vị của Γvà h : Γ →R, b : Γ×R → Rlà các hàm số đã cho. Điều kiện (2.4.4) có thể viết chi tiết là Pn
i=1νi(x)ai(x, u(x),∇u(x)) +b(x, u(x)) =h(x), với x ∈ Γ. Điều kiện này được gọi là điều kiện biên Newton phi tuyến. Nếu b = 0 thì được gọi là điều kiện biên Neumann.
Ta cũng có thể kết hợp các điều kiện (2.4.3) và (2.4.4) trên các phần khác nhau củaΓ. Chẳng hạn ta chiaΓ (sai khác một tập có độ đo bằng0) thành hai phần rời nhau, mởΓD vàΓN sao chomeasn−1(Γ\(ΓD ∪ΓN)) = 0 và khi đó xét điều kiện biên hỗn hợp
u|Γ = uD trên ΓD, (2.4.5) ν ·a(x, u,∇u) +b(x, u) = h trên ΓN. (2.4.6) Vì ΓD hoặc ΓN có thể bằng rỗng nên (2.4.5), (2.4.6) bao gồm cả (2.4.4), (2.4.3).
Một hệ gồm phương trình (2.4.1) với điều kiện biên (2.4.3) (tương ứng (2.4.4) hoặc (2.4.5), (2.4.6)) được gọi là bài toán biên Dirichlet (tương ứng: Newton hoặc hỗn hợp). Ta có thể nghĩ đến nghiệm cổ điển u của nó, tức là u ∈ C2 Ω thỏa mãn các đẳng thức khắp nơi trên Ω và Γ. Tuy nhiên đòi hỏi này, yêu cầu các điều kiện định tính rất mạnh đối với dữ kiện a, b, c và bản thân Ω. Bởi vậy lý thuyết hiện đại thường xét các loại nghiệm suy rộng, vì thế tự nhiên đặt ra các yêu cầu:
1. Tính phù hợp: mọi nghiệm cổ điển của bài toán biên đều là nghiệm suy rộng.
2. Tính chọn lựa: Nếu mọi dữ liệu là trơn và nghiệm suy rộng thuộc vào C2 Ω thì nó là nghiệm cổ điển. Hơn nữa ta cũng cần nghiệm suy rộng phải duy nhất.
2.4.2 Công thức nghiệm yếu
Ở đây nghiệm suy rộng sẽ bắt nguồn từ cái gọi là công thức nghiệm yếu của bài toán biên, khái niệm này thường xuyên được sử dụng vì nó phù hợp với cách tiếp cận nhờ tính giả đơn điệu. Tuy nhiên còn có khái niệm nghiệm suy rộng khác nữa. Để tổng quát nhất ta xét điều kiện biên hỗn hợp (2.4.5), (2.4.6). Công thức yếu của bài toán (2.4.1) với (2.4.5), (2.4.6) được dẫn ra như sau:
Bước 1: Nhân phương trình vi phân, ở đây là (2.4.1), với hàm thử υ. Bước 2: Lấy tích phân trên Ω.
Bước 3: Sử dụng công thức Green (1.4.4), ở đây với z = a(x, u,∇u). Bước 4: Thay thế điều kiện biên Newton, ở đây là (2.4.6) vào tích phân trên biên, tức là RΓN υ(z·v)dS = RΓN (v ·a(x, u,∇u))vdS trong (1.4.4) và nhờ điều kiện υ|ΓD = 0 mà tích phân trên ΓD không xuất hiện. Cụ thể:
Z
Ω
(−div(a(x, u,∇u)) +c(x, u,∇u))υdx
= Z Ω a(x, u,∇u)· ∇υ + c(x, u,∇u)υdx− Z Γ (ν ·a(x, u,∇u))υdS = Z Ω a(x, u,∇u)· ∇υ + c(x, u,∇u)υdx+ Z Γ (b(x, u)−h(x))υdx. (2.4.7) Do vế trái của (2.4.7) bằng RΓgυdx nên ta dẫn đến đẳng thức:
Z Ω a(x, u,∇u)· ∇υ +c(x, u,∇u)υdx+ Z ΓN b(x, u)υdS = Z Ω gυdx+ Z ΓN hυdS. (2.4.8)
Như đã đề cập, ta chỉ xét trường hợp có độ tăng đa thức bậc p, xem (2.4.12) dưới đây, điều đó dẫn tới việc tìm nghiệm yếu trong không gian Sobolev W1,p(Ω):
Định nghĩa 2.4.1. Ta gọiu ∈ W1,p(Ω)là nghiệm yếu của bài toán biên hỗn hợp (2.4.1) và (2.4.5), (2.4.6) nếu u|ΓD = uD và nếu đẳng thức tích phân (2.4.8) đúng với mọi υ ∈ W1,p(Ω), với υ|ΓD = 0.
Bốn bước dẫn ta (2.4.8) trên đây đã đảm bảo tính phù hợp của khái niệm nghiệm yếu trên. Mặt khác, tính chọn lựa có quan hệ đến không gian V các hàm thử υ, tức là
V = υ ∈ W1,p(Ω) ; υ|ΓD = 0 (2.4.9)
là đủ giầu, sự hạn chế của υ trên ΓD được bù trừ bởi điều kiện biên (2.4.5) trong Định nghĩa 2.4.1.
Mệnh đề 2.4.1. (Tính chọn lựa của khái niệm nghiệm yếu) Cho a ∈ C1 Ω×R×Rn;Rn, c∈ C0 Ω×R×Rn
, b ∈ C0 ΓN ×R
, g ∈ C Ω
và h ∈ C(ΓN). Khi đó mọi nghiệm yếu u ∈ C2 Ω đều là nghiệm cổ điển.
Chứng minh. Đặt υ ∈ V vào (2.4.8) và sử dụng công thức Green (1.4.4). Ta có:
Z
Ω
(diva(x, u,∇u)−c(x, u,∇u) +g)υdx
+
Z
ΓN
(h−b(x, u)−ν ·a(x, u,∇u))υdS = 0
. (2.4.10)
Xét υ|Γ = 0 thì tích phân trên biên trong (2.4.10) triệt tiêu. Do υ tùy ý nên ta kết luận rằng (2.4.1) đúng h.k.n và vì vậy khắp nơi trên Ω
do tính trơn của a và c. Do đó, tích phân đầu tiên trong (2.4.10) triệt tiêu. Khi đó, đặt v ∈ V nói chung vào (2.4.10) để chỉ ra điều kiện biên
sau trong (2.4.5), (2.4.6) là đúng, còn điều kiện biên trước tự nhiên thỏa mãn do Định nghĩa 2.4.1.
Điều quan trọng bây giờ là thiết lập các điều kiện cho các dữ liệu để tất cả các tích phân trong (2.4.8) đều có nghĩa. Ta vẫn luôn giả thiết Ω
là miền bị chặn Lipschitz (do đó ν được xác định h.k.n trên Γ) và ΓD và
ΓN là mở trong Γ (vì vậy đo được). Để đảm bảo tính đo được của các hàm dưới dấu tích phân ở vế trái của (2.4.8) ta phải giả sử:
ai, c : Ω×R×Rn → R, b : Γ×R→ R là các hàm Carathéodory, (2.4.11) với i = 1, ..., n; điều này nghĩa là có tính đo được theo x và liên tục theo các biến khác. Hơn nữa là yêu cầu tính khả tích của các hàm dưới dấu tích phân ở vế trái của (2.4.8). Điều này và một vài yêu cầu về tính liên tục bổ sung, dẫn đến điều kiện độ tăng của a, b và c:
|a(x, r, s)| 6 γ(x) +C|r|(p∗−)/p0 +C|s|p−1 với một γ ∈ Lp0 (Ω), (2.4.12) |b(x, r)| 6 γ(x) +C|r|p#−−1 với một γ ∈ Lp# 0 (Γ), (2.4.13) |c(x, r, s)| 6 γ(x) +C|r|p∗−−1 + C|s|p/p∗0 với một γ ∈ Lp∗0 (Ω). (2.4.14) Cần lưu ý rằng dấu phẩy là chỉ số mũ liên hợp (tức là, p0 = p/(p−1), xem (1.2.7)) và ta có phép nhúng liên tục (tương ứng: compact)W1,p(Ω)⊂ Lp∗(Ω) ( tương ứng: W1,p(Ω) b Lp∗−ε(Ω) với ε > 0), xem Định lý 1.2.8. Hơn nữa, toán tử vết u 7→ u|Γ từ W1,p(Ω) vào Lp#(Γ) là liên tục và vào Lp#−(Γ) là compact, xem Định lý 1.2.10. Về p∗ và p# xem (1.2.20) và (1.2.23).
Quy ước 2.4.2. Với p > n, thì số hạng |r|+∞ xuất hiện trong (2.4.12), (2.4.13), (2.4.14) khi đó phải được hiểu là|a(x,·, s)|,|b(x,·)|, và|c(x,·, s)| có thể tăng nhanh tùy ý khi |r| → ∞.
Theo Định lý 1.3.1, điều kiện độ tăng (2.4.12), (2.4.13), (2.4.14) được đặt ra sao cho Na : W1,p(Ω)×Lp(Ω;Rn) → Lp0 (Ω;Rn) là (yếuxchuẩn, chuẩn)-liên tục. (2.4.15) u 7→ Nb(u|Γ) : W1,p(Ω)→ Lp# 0 (Γ) là (yếu, chuẩn)-liên tục. (2.4.16) Nc : W1,p(Ω)×Lp∗0 (Ω) là (yếuxchuẩn, chuẩn)-liên tục. (2.4.17) Đặc biệt, với u, v ∈ W1,p(Ω) đảm bảo các hàm a(x, u,∇u)· ∇v và c(x, u,∇u)v trong (2.4.8) thuộc vào L1(Ω) và b(x, u|Γ) v|Γ thuộc vào L1(Γ).
Hơn nữa, ta sẽ giả thiết cho dữ kiện vế phải : g ∈ Lp∗0(Ω), h ∈ Lp#
0
(Γ). (2.4.18)
Lưu ý rằng (2.4.18) đảm bảo gv ∈ L1(Ω) và hv|Γ ∈ L1(Γ) với v ∈ W1,p(Ω), vì vậy (2.4.8) có nghĩa. Hơn nữa, ta phải đặt điều kiện cho uD trong điều kiện biên Dirichlet (2.4.5). Cách đơn giản nhất là giả sử:
∃w ∈ W1,p(Ω) : uD = w|Γ. (2.4.19) Khi đó, xét V từ (2.4.9) trang bị bởi chuẩn (1.2.17), kí hiệu đơn giản bởi k·k, ta xác định A: W1,p(Ω)→ V∗ và f ∈ V∗ bởi
hA(u), vi := vế trái của (2.4.8), (2.4.20) hf, vi := vế phải của (2.4.8). (2.4.21) Hơn nữa, từ (2.4.19) ta định nghĩa A0 : V →V∗ bởi
A0(u) =A(u+ w). (2.4.22) Lưu ý rằng A0 lại có dạng của A ở (2.4.8) nhưng với các số hạng phi tuyến a, b, c tương ứng được thay bởi a0, b0, c0 với a0(x, r, s) :=
a(x, r+w(x), s+ ∇w(x)), b0(x, r) := b(x, r +w(x)) và c0(x, r, s) :=
c(x, r+w(x), s+ ∇w(x))và các số hạng phi tuyến này thỏa mãn (2.4.12), (2.4.13), (2.4.14) với = 0 nếu w ∈ W1,p(Ω) và các hàm phi tuyến gốc a, b và c thỏa mãn (2.4.12), (2.4.13), (2.4.14). Cũng lưu ý rằng với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất (hoặc không thuần nhất) ta có thể giả sử w = 0 trong (2.4.19) và khi đó A0 ≡ A|V (hoặc viết đơn giản A0 ≡ A). Hơn nữa, f ∈ V∗ bởi vì
kfk∗ = sup kvk61 Z gvdx+ Z hvdS 6 sup kvk61 kgkLp∗0(Ω)kvkLp∗(Ω) +khkLp#0 (ΓN)kvkLp#(ΓN) 6 N1kgkLp∗0(Ω) +N2khkLp#0 (ΓN) , (2.4.23)
ở đó N1 là chuẩn của toán tử nhúng W1,p(Ω) →Lp∗(Ω) và N2 là chuẩn của toán tử vết v 7→ v|ΓN : W1,p(Ω) →Lp#(ΓN).
Lý luận tương tự, (2.4.1) và (2.4.5), (2.4.6) đảm bảo rằng A(u) ∈ V∗ (xem Bổ đề 2.4.1 dưới đây).
Mệnh đề 2.4.2. (Phép dịch chuyển đối với điều kiện biên Dirichlet không thuần nhất) Phương trình trừu tượng (2.1.7) với A0 có nghiệm u0 ∈ V, tức là A0(u0) = f khi và chỉ khi u = u0 + w ∈ W1,p(Ω) là nghiệm yếu của bài toán biên (2.4.1) và (2.4.5), (2.4.6) theo Định nghĩa 2.4.1.
Chứng minh. Hiển nhiên cóf = A0(u0) = A0(u−w) =A(u−w+w) =
A(u) vì vậy có khẳng định ngay lập tức từ Định nghĩa (2.4.20)-(2.4.21).
Chú ý 2.4.3. (Nguyên nhân cả u, v đều thuộc V) Về nguyên tắc, Định nghĩa 2.4.1 có thể làm việc với v ∈ Z := W1,∞(Ω), hoặc với v trơn hơn, Mệnh đề chọn lựa 2.4.1 vẫn đúng nếu tính trù mật của Z trong V vẫn
được bảo đảm, như trong mục 2.5 dưới đây. Sự lựa chọn v thuộc cùng không gian với nghiệm u có quan hệ với A : V → Z∗ chỉ phù hợp với khái niệm ánh xạ giả đơn điệu khi Z = V.
Chú ý 2.4.4. (Tại sao cả hai ΓD và ΓN đều được giả sử là mở) Nói chung, Định nghĩa 2.4.1 cũng như Định lý tồn tại 2.4.8 dưới đây chỉ cần giả thiếtΓD vàΓN là đo được. Tuy nhiên, ta sẽ làm mất sự liên kết với bài toán gốc (xem Mệnh đề 2.4.1); thực vậy, ta có thể hình dungΓD đo được, trù mật trong Γ và ΓN có độ đo dương. Khi đó, với p > n, v|Γ ∈ C(Γ)
và điều kiện v|Γ
D = 0 sẽ dẫn đến v|Γ = 0 do đó tích phân trên ΓN trong (2.4.8) triệt tiêu và điều kiện biên Newton trên ΓN trong (2.4.6) sẽ hoàn toàn vô nghĩa.
Chú ý 2.4.5. (Đẳng thức tích phân) Phương trình (2.4.1) là dạng vi phân của đẳng thức tích phân
Z O c(x, u,∇u)−g(x)dx = Z ∂O a(x, u,∇u)·νdS, (2.4.24) với mọi khối thử O ⊂ Ω với O ⊂ Ω và biên trơn ∂O với vectơ pháp tuyến ngoài đơn vị ν = ν (x). Hiển nhiên ta muốn coi c như là đại lượng để cân bằng (phụ thuộc vào u và ∇u) còn a là thông lượng của đại lượng đó. Khi đó (2.4.24) khẳng định rằng tổng lượng sinh ra trên khối thử O tùy ý cân bằng với tổng thông lượng qua biên ∂O. Về mặt triết học, dạng tích phân (2.4.24) của các quy luật vật lý tự nhiên hơn dạng vi phân (2.4.1) (phát biểu của David Hilbert). Công thức yếu (2.4.8) còn ẩn trong đó công thức (2.4.24), bên cạnh thông tin về điều kiện biên. Thực vậy, ta chỉ cần lấy hàm v trong (2.4.8) là xấp xỉ của hàm đặc trưng χO (điều này không thuộc vào W1,p(Ω)), chẳng hạn là vε với vε(x) := (1−dist(x, O)/ε)+ sau đó cho ε& 0. Việc lấy giới hạn này chỉ thực hiện được nếu x 7→ a(x, u,∇u) đủ chính quy gần ∂O hoặc trong trường hợp tổng quát nó chỉ đúng theo một nghĩa nào đó.
2.4.3 Tính giả đơn điệu, tính bức và sự tồn tại nghiệm
Từ Định lý 2.1.2 và Mệnh đề 2.4.2 ta cần chỉ ra tính giả đơn điệu của A0 : V →V∗. Để đơn giản ta có thể chứng minh nó với A như ánh xạ từ W1,p(Ω) →W1,p(Ω)∗. Khi đó Bổ đề 2.2.3(ii) dẫn đến tính giả đơn điệu của A0 : W1,p(Ω) → W1,p(Ω)∗ và khi đó hiển nhiên là có tính giả đơn điệu của A0 : V →V∗. Ta sẽ chứng minh (2.1.3) và (2.1.4) trong các Bổ đề sau:
Bổ đề 2.4.1. (Tính bị chặn của A) Giả sử ta có (2.4.11) và (2.4.12), (2.4.13), (2.4.14). Khi đó ta có (2.1.3), tức là A :W1,p(Ω)→ W1,p(Ω)∗
bị chặn.
Chứng minh. Ta chứng minh A u ∈ W1,p(Ω) ;kuk6 ρ bị chặn trong W1,p(Ω)∗ với mọi ρ > 0. Ở đây, k·k và k·k∗ tương ứng là chuẩn trên W1,p(Ω) và W1,p(Ω)∗. Thực vậy, ta có: sup kuk6ρ kA(u)k∗ = sup kuk6ρ sup kvk61 hA(u), vi = sup kuk6ρ sup kvk61 Z Ω a(u,∇u)· ∇v+c(u,∇u)vdx+ Z ΓN b(u)vdS 6 sup kuk6ρ sup kvk61 ka(u,∇u)kLp0 (Ω;Rn)k∇vkLp(Ω;Rn)+kc(u,∇u)kLp∗0(Ω)kvkLp∗ (Ω) +kb(u)k Lp#0 (ΓN)kvkLp#(ΓN) = sup kuk6ρ ka(u,∇u)kLp0 (Ω;Rn)+ N1kc(u,∇u)k Lp∗0 (Ω) +N2kb(u)k Lp#0 (ΓN), (2.4.25) trong đó N1, N2 như trong (2.4.23). Theo (2.4.12), (2.4.13), (2.4.14) A bị chặn đều với u trên các tập bị chặn trong W1,p(Ω).
đặt ra để có tính giả đơn điệu của A là đơn điệu theo phần chính: với mọi hầu hết x ∈ Ω,∀r ∈ R,∀s,es ∈ Rn :
(a(x, r, s)−a(x, r,es))·(s−es) > 0.
(2.4.26) Để xét được nhiều tình huống nhất có thể, ta sẽ chia làm ba trường hợp ứng với c(x, r,·) là: hằng số, tuyến tính, phi tuyến.
Bổ đề 2.4.2. (Kiểm tra (2.1.4)) Giả sử ta có (2.4.11), (2.4.12), (2.4.13), (2.4.14), (2.4.26) và ta có một trong ba trường hợp sau:
i) c không phụ thuộc vào s, tức là có ec : Ω×R→ R,
c(x, r, s) = ec(x, r). (2.4.27) ii) c phụ thuộc tuyến tính vào s, tức là với
c : Ω×R →Rn, c(x, r, s) = c(x, r)·s. (2.4.28) iii) c phụ thuộc vào s nhưng đơn điệu ngặt theo phần chính, a(x, r,·) là bức và độ tăng của c(x,·.·) bị hạn chế bởi:
(a(x, r, s)−a(x, r,se)) ·(s−es) = 0 ⇒s = se (2.4.29) ∀s0 ∈ Rn : lim |s|→∞ a(x, r, s)·(s−s0) |s| = +∞ đều với r bị chặn, (2.4.30) ∃γ ∈ Lp∗0+(Ω),∃C ∈ R :|c(x, r, s)| 6 γ(x) +C|r|p∗−−1 +C|s|(p−)/p∗0 (2.4.31) với quy ước 2.4.2.
Khi đó A :W1,p(Ω)→ W1,p(Ω)∗ thỏa mãn (2.1.4).
Chú ý 2.4.6. Hiển nhiên (2.4.27) cùng với điều kiện độ tăng (2.4.14) dẫn đến |ec(x, r)| 6 γ(x) +C|r|p∗−−1, với γ xác định trong (2.4.14). Tương tự (2.4.28) và (2.4.14) suy ra c : Ω × R → Rn thỏa mãn |c¯(x, r)| ≤
γ(x) +C|r|p∗/q−1 với γ ∈ Lq+1(Ω) và với một 1 > 0, ở đó q = np np−2n+p nếu p < n, p0 nếu p >n. (2.4.32) Điều kiện này cùng với điều kiện cấu trúc (2.4.28) cho ta:
Nc : W1,p(Ω)×Lp(Ω;Rn) −→L(p∗−)0 (Ω) (2.4.33) là (yếuxyếu, yếu)-liên tục. Cuối cùng, lưu ý rằng điều kiện độ tăng (2.4.31) chặt hơn (2.4.14) và được đặt ra sao cho, với > 0 (phụ thuộc đã sử dụng trong (2.4.31)), Nc : W1,p(Ω)×Lp(Ω;Rn) −→L(p∗−)(Ω) (2.4.34) là (yếuxchuẩn, chuẩn)-liên tục. Chứng minh. (Chứng minh Bổ đề 2.4.2). Ta chọn uk * u trong W1,p(Ω) và giả sử rằng lim sup k→∞ hA(uk), uk −ui 60. (2.4.35) Ta cần chỉ ra rằng lim infk→∞hA(uk), uk−vi > hA(u), u−vi với mọi v ∈ W1,p(Ω).
Để phân biệt giữa số hạng có bậc cao nhất và thấp hơn, ta định nghĩa B(w, u) ∈ W1,p(Ω)∗ bởi hB(w, u), vi := Z Ω a(x, w,∇u)· ∇v+c(x, w,∇w)vdx+ Z ΓN b(x, w)vdS, (2.4.36) với u, w ∈ W1,p(Ω); nhớ lại Quy ước 2.2.6. Hiển nhiên A(u) = B(u, u). Ta đặt uε = (1−ε)u + εv, ε ∈ [0,1]. Tính đơn điệu (2.4.26) dẫn đến hB(uk, uk)−B(uk, uε), uk −uεi > 0. Khi đó, bằng biến đổi đại số đơn
giản
εhA(uk), u−vi >− hA(uk), uk −ui+hB(uk, uε), uk −ui
+εhB(uk, uε), u−vi.
(2.4.37) Giả sử ta đã chứng minh được (tạm thời)
lim
k→∞hB(uk, v), uk −ui = 0, (2.4.38) w−lim
k→∞ B(uk, v) = B(u, v) (2.4.39) (giới hạn yếu trong W1,p(Ω)∗)
và sử dụng ở đây với v = uε, rồi chuyển qua giới hạn ở vế phải của (2.4.37), hơn nữa sử dụng (2.4.35) ta thu được
εlim inf k→∞ hA(uk), u−vi > −lim sup k→∞ hA(uk), uk −ui+ lim k→∞hB(uk, uε), uk−ui +ε lim k→∞hB(uk, uε), u−vi > εhB(u, uε), u −vi.
Chia cho ε > 0. Sau đó lấy giới hạn ε → 0 ta có uε → u mạnh. Do vậy ta có B(u, uε) → B(u, u) thậm chí là mạnh. Điều này dẫn đến
lim infk→∞hA(uk), u −vi > hB(u, u), u−vi = hA(u), u−vi. Khi đó sử dụng tính đơn điệu theo phần chính (2.4.26) một lần nữa ta suy ra hB(uk, uk)−B(uk, u), uk −ui > 0 và sử dụng (2.4.38) với v = u thì ta có lim inf k→∞ hA(uk, uk−v)i >lim inf k→∞ hA(uk), uk −ui+ lim inf k→∞ hA(uk), u−vi = lim k→∞hB(uk, u), uk −ui+ lim inf k→∞ hB(uk, uk)−B(uk, u), uk−ui + lim inf k→∞ hA(uk), u−vi > hA(u), u−vi. . (2.4.40) Đây chính là kết luận của (2.1.4).
Vì vậy phần còn lại là chứng minh (2.4.38) và (2.4.39). Vì uk * u trong W1,p(Ω) b Lp∗−(Ω), nên ta có uk → u trong Lp∗−(Ω) . Tương
tự, uk|Γ = u|Γ trong Lp#−(Ω). Khi đó do tính liên tục của ánh xạ Nemytskii cảm sinh bởi a(·,∇v) và b, ta có a(uk,∇v) →a(u,∇v) trong Lp0(Ω;Rn), xem (2.4.15) và b(uk) → b(u) trong Lp#
0
(Γ); xem (2.4.16) cùng với (1.2.22); nhớ lại Quy ước 2.4.1. Vì vậy, có∇(uk −u) * 0 trong Lp(Ω;Rn) và (uk −u)|Γ * 0 trong Lp# 0 (ΓN), nên ta có Z Ω a(uk,∇v)· ∇(uk −u)dx+ Z ΓN b(uk) (uk−u)dS →0. (2.4.41) Với lý do tương tự, với ∀z ∈ W1,p(Ω), ta cũng có
Z Ω a(uk,∇v)· ∇zdx+ Z ΓN b(uk)zdS → Z Ω a(u,∇v)zdx+ Z ΓN b(u)zdS. (2.4.42) Với số hạng liên quan đến c ta chia thành 3 trường hợp như đã nêu ở trên:
Trường hợp (2.4.27): Do tính liên tục của ánh xạ Nemytskii cảm sinh bởi ec, ta có ec(uk) → ec(u) trong Lp∗0(Ω). Bởi vậy, có uk −u * 0 trong Lp∗(Ω) và ta có RΩec(uk) (uk −u)dx →0. Cộng vào (2.4.41) ta có: hB(uk, υ), uk −ui := Z Ω (a(uk,∇υ)· ∇(uk −u) + ec(uk) (uk −u))dx+ Z ΓN b(uk) (uk−u)dS →0 . (2.4.43) Chứng tỏ ta có (2.4.38). Tương tự, RΩec(uk)zdx → R Ωec(uk)zdx, cùng với (2.4.42) ta có (2.4.39).
Trường hợp (2.4.28): Ở đây vẫn giữ giả thiết về độ tăng, xem (2.4.33) và vì vậy có thể khai thác tính compact của phép nhúng W1,p(Ω) b
Lp∗−(Ω) để sử dụng uk →u mạnh trong Lp∗−(Ω) .
Đồng thời, ta có thể sử dụng c(uk) → c(u) trong Lq+1(Ω) với q từ (2.4.32), và 1 > 0(phụ thuộc ); Lưu ý rằng (q +1)−1+p−1+ (p∗ −)−1
nên ta có thể chuyển qua giới hạn trong số hạng chứa c Z Ω c(uk)· ∇uk(uk −u)dx →0. (2.4.44) Cộng với (2.4.41), ta có (2.4.38). Tương tự, R Ω c(uk).∇ukzdx →R
c(uk).∇uzdx, cùng với (2.4.42) cho ta (2.4.39). Trường hợp (2.4.29), (2.4.30), (2.4.31): Ta đã chỉ ra uk → u trong Lp∗0− . Từ sự bị chặn (2.4.34) của c(uk,∇uk)k∈ N trong Lp∗0+ , hiển nhiên ta có: Z Ω c(uk∇uk) (uk −u)dx → 0. (2.4.45) Cộng với (2.4.41), ta có (2.4.38). Để chứng minh (2.4.39), ta cần chỉ ra sự hội tụ của ∇uk tới ∇u theo cách tốt hơn sự hội tụ yếu. Đặt