Cho các sốj, m0, m1, ..., mj ta nói rằng ánh xạ a : Ω×Rm1×...×Rmj → Rm0 là ánh xạ Carathéodory nếu a(·, r1, ..., rj) : Ω → Rm0 là đo được với mọi (r1, ..., rj) ∈ Rm1 ×...×Rmj và a(x,·) : Rm1 × ...× Rmj → Rm0 là liên tục tại hầu hết x ∈ Ω. Khi đó ánh xạ Nemytskii Na ánh xạ các hàm ui : Ω → Rmi, i = 1, ..., j thành hàm Na(u1, ..., uj) : Ω → Rm0 xác định bởi
[Na(u1, ..., uj)] (x) = a(x, u1(x), ..., uj(x)). (1.3.1) Định lí 1.3.1. (Ánh xạ Nemytskii trong các không gian Lebesgue) Nếu a : Ω × Rm1 × ... × Rmj → Rm0 là ánh xạ Carathéodory và các hàm ui : Ω → Rmi, i = 1, ..., j, là đo được, thì Na(u1, ..., uj) là đo được. Hơn nữa nếu a thỏa mãn điều kiện về độ tăng
|a(x, r1, ..., rj)| 6γ(x) +C j P i=1 |ri|pi/p0 với γ ∈ Lp0(Ω), và 1 6 pi < +∞,1 6 p0 < +∞ thì Na là ánh xạ liên tục, bị chặn: Lp1(Ω;Rm1)× · · · ×Lpj(Ω;Rmj) → Lp0 (Ω;Rm0). Nếu một pi = +∞, i= 1, ..., j thì kết quả trên vẫn đúng nếu số hạng tương ứng |·|pi/p0
được thay bởi một hàm liên tục bất kỳ.
Trường hợp p0 = +∞ thì điều đó nói chung không đúng. Hơn nữa, phải nhấn mạnh rằng Na không thể liên tục yếu trừ khi a(x,·) là affin tại hầu hết x ∈ Ω. Ví dụ dãy uk(x) := sign(sin (kπx)),Ω = (0,1)⊂ R1
hội tụ yếu (hoặc yếu*) tới 0 trong mọi không gian Lp(0,1) nhưng vì a(x, r) = |r| nên ta hiển nhiên có w−lim
k→∞ a(uk) = lim k→∞1 = 1 6= 0 = a(0) = a w−lim k→∞ uk .
Đôi khi ta cần xét ánh xạ Nemytskii trong không gian Sobolev. Dưới đây ta hạn chế xét trường hợp ánh xạ Nemytskii một đối số, với một số hạng không phụ thuộc x, đó chính là sự chồng chập thông thường. Mệnh đề 1.3.2. (Toán tử chồng chập trong không gian Sobolev) Nếu a : R → R là liên tục Lipschitz thì a(u) ∈ W1,p(Ω) với mọi u ∈ W1,p(Ω), p ∈ [1,+∞] và hơn nữa ta có
∇a(u) = a0(u)∇u (h.k.n trên Ω).
Ký hiệu u+ = max (u,0) và u− = min (u,0), Mệnh đề 1.3.2 dẫn đến ∇(u+) = ∇u nếu u > 0 0 nếu u ≤0 ∇(u−) = 0 nếu u ≥0 ∇u nếu u < 0 (h.k.n trên Ω).
Một kết quả dạng khác là phép đổi thứ tự lấy tích phân và vi phân. Chứng minh của nó dựa trên Định lý hội tụ Lebesgue; Định lý 1.2.2
Mệnh đề 1.3.3. (Đổi thứ tự lấy tích phân và vi phân) Cho (x, r) 7→ ϕ(x, r) : Ω × R → R và đạo hàm riêng của nó ∂r∂ ϕ : Ω × R → R là các hàm Carathéodory, |ϕ(·,0)| ∈ L1(Ω) và họ ∂r∂ ϕ(·, r) |r| 6ε có hàm trội khả tích. Khi đó Φ : r 7→ R Ωϕ(x, r)dx là khả vi tại 0 và d drΦ (0) = RΩ∂r∂ ϕ(x,0)dx.
1.4 Công thức Green và một vài bất đẳng thứcTa định nghĩa vectơ pháp tuyến ngoài đơn vị ν = v(x) ∈ Rn của biên