Sự suy biến đại số của các ánh xạ giải tích trên trường không acsimet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Phạm Vân Hiển SỰ SUY BIẾN ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHƠNG ACSIMET LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Phạm Vân Hiển SỰ SUY BIẾN ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHƠNG ACSIMET Chun ngành : Hình học tơ pơ Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN TRỌNG HỊA Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ Tốn học với đề tài “Sự suy biến Đại số ánh xạ giải tích trường khơng Acsimet” thực hướng dẫn TS Nguyễn Trọng Hồ, khơng chép Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số thông tin, tài liệu từ nguồn sách, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2016 Học viên thực Trần Phạm Vân Hiển LỜI CẢM ƠN Được phân công khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đồng ý Thầy hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Trọng Hịa, tơi thực đề tài luận văn tốt nghiệp “Sự suy biến Đại số ánh xạ giải tích trường khơng Acsimet” Để hồn thành đề tài này, tơi xin chân thành cảm ơn thầy giáo tận tình hướng dẫn, giảng dạy suốt trình học tập, nghiên cứu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Xin chân thành cảm ơn Thầy hướng dẫn khoa học, TS Nguyễn Trọng Hịa, tận tình hướng dẫn, bảo tơi q trình làm luận văn Mặc dù cố gắng để thực tốt đề tài này, song buổi đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế kiến thức kinh nghiệm nên không tránh khỏi thiếu sót định mà thân chưa thấy Tơi mong góp ý quý Thầy, Cô giáo bạn đồng nghiệp để khóa luận hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn! Học viên thực Trần Phạm Vân Hiển MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu MỞ ĐẦU .1 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Trường không Acsimet 1.2 Trường số p-adic 1.3 Hàm giải tích, hàm phân hình trường khơng Acsimet 1.4 Đường cong chỉnh hình 13 Chương ÁNH XẠ GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHƠNG ACSIMET 20 2.1 Các hàm giải tích p-adic 20 2.2 Các ánh xạ giải tích từ  p vào P n 25 2.2.1 Các ánh xạ giải tích khuyết siêu phẳng 25 2.2.2 Ánh xạ nâng vào P n 30 2.2.3 Đa tạp Fermat 31 Chương SỰ SUY BIẾN ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHƠNG ACSIMET 37 3.1 Các ánh xạ giải tích trường khơng Acsimet đến đa tạp Abel 37 3.2 Sự suy biến đại số ánh xạ giải tích trường không Acsimet bỏ đủ nhiều ước số 41 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU  Trường số Trường số thực Trường số hữu tỉ Trường số phức o   Vô bé bậc cao đại lượng   O . Đại lượng bị chặn đại lượng   tiến vô A1 Đường thẳng Affine  Gm Nhóm nhân MỞ ĐẦU Dufresnoy (1944) chứng minh, ánh xạ chỉnh hình từ mặt phẳng phức mà bỏ n  k siêu phẳng vị trí tổng quát không gian xạ ảnh P n phải chứa khơng gian tuyến tính có chiều nhiều n / k Noguchi Winkelmann tổng quát hóa kết cách đường cong chỉnh hình đa tạp xạ ảnh tùy ý (tổng quát đa tạp Kahler compac) bỏ đủ nhiều siêu phẳng bất khả quy tương hạng nhóm tổng quát lớp đối đồng chúng phải suy biến đại số Điều làm cho định lý Dufresnoy cụ thể hạng nhóm Néron-Severi Kết Noguchi Winkelmann phát biểu xác sau: Định lý (Noguchi/Winkelmann) Cho M đa tạp Kahler compac có số chiều m Cho Di i 1 l siêu mặt l bất khả quy vị trí tổng quát Gọi r hạng nhóm tổng quát sinh c1  Di i 1 ; l W đa tạp đóng M có số chiều n số khơng quy q Giả sử tồn ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến đại số từ mặt phẳng phức đến W bỏ Di mà không chứa tất W Khi (i) #W  Di  W  q  n  r ; (ii) Nếu l  m cộng thêm Di đủ nhiều, n  m max 0, r  q lm Ở đây, c1 kí hiệu lớp Chern đầu tiên, số khơng quy q số chiều khơng gian chỉnh hình 1-dạng giải kỳ dị W , số chiều đa tạp Abel Khi điểm bất thường vượt số chiều, Bloch chứng minh đường cong chỉnh hình suy biến đại số cách ảnh đa tạp Abel suy biến Điều mở rộng Noguchi (và Noguchi Winkelmann trường hợp không đại số Kahler) để kết luận ánh xạ chỉnh hình từ bỏ ước số hữu hiệu D loga khơng quy D , nghĩa là, số chiều không gian loga 1-dạng với cực điểm dọc theo D , vượt số chiều Trên trường không Acsimet, tương tự với định lý Bloch chứng minh Cherry Môđun cấu trúc chuẩn đa tạp Abel đa tạp Picard vấn đề để kết luận tương tự kết suy biến đại số trường hợp phức Trên sở đó, chúng tơi chọn Sự suy biến Đại số ánh xạ giải tích trường không Acsimet làm đề tài cho Luận văn Thạc sỹ Nội dung đề tài tham khảo báo tác giả T T H An, Cherry W., Wang J T Y (2008), Agebraic degeneracy of Non – Archimedean analytic maps [1] Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Các kiến thức chương tham khảo tài liệu tác giả Hu P C., Yang C C., Meromorphic functions over Non – Archimedean fields [7] 1.1 Trường không Acsimet Chúng ta kí hiệu trường số phức, trường số thực trường số hữu tỉ Và gọi vành số nguyên Nếu  tập , , ta viết     x   | x  0 ,    x   | x  0 Với a, b   , a  b , ta viết   a, b  x   | a  x  b Cho  trường kí hiệu nhóm nhân  \ 0  * Định nghĩa 1.1.1 Một giá trị tuyệt đối trường  hàm :    0,   thỏa mãn điều kiện sau: 1) x  x  ; 2) xy  x y với x, y   ; 3) x  y  x  y với x, y   , Khi  gọi trường Acsimet Nếu ta thay điều kiện 3) 4) x  y  max  x , y  với x, y    gọi trường không Acsimet Cho  trường với giá trị tuyệt đối Giá trị tuyệt đối gọi tầm thường 1 : x   * x  0 : x  gọi trù mật tập hợp    x | x  trù mật  Nếu khơng Acsimet ta có x  y  max  x , y  , x  y Thông thường, giá trị tuyệt đối  cảm sinh hàm khoảng cách d định nghĩa d  x, y   x  y , với x, y   , cảm sinh tôpô  Cho số thực dương r điểm x   , ta định nghĩa cầu mở cầu đóng bán kính r tâm x sau:   x, r    y   | d  x, y   r ,   x, r    y   | d  x, y   r , kí hiệu đường trịn  x, r   y   | d  x, y   r    x, r     x, r  Bằng cách sử dụng khoảng cách, không Acsimet cảm sinh mêtric thỏa d  x, y   max d  x, z  , d  z, y  với x, y, z   Hai giá trị tuyệt đối  gọi tương đương chúng cảm sinh tôpô giống  Định lý 1.1.2 Gọi giá trị tuyệt đối trường  Các mệnh đề sau tương đương 1) hai giá trị tuyệt đối tương đương; 2) x  x  với x   ;  3) Tồn số thực  dương cho với x   , ta có x  x Với số thực p  , hàm v p :    định nghĩa 36 dTg      n2  1Tg     O    Điều kéo theo d  n2 Tg     O    , g i hàm hữu tỉ Vì vậy, f hàm đa thức từ  p vào X mở rộng thành ánh xạ hữu tỉ từ P1 vào X cho khơng có tập thích hợp f i phụ thuộc tuyến tính Sử dụng mệnh đề 2.2.9 để kết luận d  n2 , từ định lý chứng minh  37 Chương SỰ SUY BIẾN ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHƠNG ACSIMET Cho  trường đại số đóng hồn chỉnh thỏa tính chất giá trị tuyệt đối phần định trị tùy ý trường không Acsimet Một cách xác, đa tạp hiểu theo nghĩa đa tạp đại số định nghĩa  , cấu xạ hiểu theo nghĩa cấu xạ đại số định nghĩa  Khí hiệu A1 đường thẳng affine  A1  A1 \ 0 Kí hiệu Gm nhóm nhân, khơng gian giải tích đa tạp A1 Giải tích hiểu theo nghĩa ánh xạ giải tích  Có thể hiểu cách xác hơn, ánh xạ giải tích từ A1 (cũng A1 ) đến đa tạp đại số X nghiệm phương trình X chuỗi lũy thừa (cũng chuỗi Laurent) với hệ số  hội tụ bán kính dương tùy ý 3.1 Các ánh xạ giải tích trường khơng Acsimet đến đa tạp Abel Định lý 3.1.1 Bất kì ánh xạ giải tích từ A1 vào đa tạp Abel ánh xạ Chứng minh Định lý chứng minh cách trang 401 [5] Những điều trình bày [5] là, ánh xạ giải tích lên mở rộng đa tạp Abel với tính giảm tốt hình xuyến phải ánh xạ Cùng với điều này, chứng minh cách tương tự cho ta ánh xạ giải tích từ A1 đến đa tạp Abel phải ánh xạ  Hệ 3.1.2 Nếu X đa tạp cấu xạ không dẫn nạp đến đa tạp Abel, ánh xạ giải tích từ A1 đến X suy biến đại số 38 Hệ 3.1.3 Nếu X đa tạp xạ ảnh không kì dị trường đặc số khơng với số khơng quy dương, ánh xạ giải tích từ A1 đến X suy biến đại số Chứng minh hệ 3.1.3 Ta có giả thiết X khơng kì dị, ánh xạ Abel cấu xạ (xem ví dụ, [9,ch2]), ta có giả thiết trường đặc số không, số chiều đa tạp Abel giống với số khơng  quy Hệ 3.1.4 Nếu X đa tạp xạ ảnh dẫn nạp ánh xạ hữu tỉ không đến đa tạp Abel, ánh xạ giải tích từ A1 đến X suy biến đại số Chứng minh Cho  : X  A ánh xạ hữu tỉ khác vào đa tạp Abel cho f ánh xạ giải tích từ A1 đến X Khi  f ánh xạ phân hình từ A1 vào A ánh xạ giải tích, trừ f chứa quỹ tích bất định  , lại suy biến Tiếp theo ta áp dụng định lý để chứng minh hệ Nhúng X A vào không gian xạ ảnh Sau đó,  biểu diễn 0 , ,N  với i đa thức N số chiều không gian xạ ảnh, ta nhúng A Khi đó, i f hàm giải tích A1 Nếu tất đồng khơng, ảnh f chứa quỹ tích bất động  suy biến đại số Cịn khơng, phân tích theo ước số lớn (được định nghĩa tốt khác không) từ i f cần thiết, thấy  f định nghĩa tốt tất A1 Do đó,  f ánh xạ giải tích đến A số theo định lý Vậy f suy biến đại số  Mệnh đề 3.1.5 Cho T nhóm hình xuyến lũy thừa f ánh xạ giải tích (khơng giả định nhóm đồng cấu) từ T đến Gm Khi f phép tịnh tiến nhóm đồng cấu 39 Chứng minh Nhúng T vào không gian xạ ảnh n chiều A n cách tự nhiên với tọa độ affine z   z1 , , zn  A n Khi f viết chuỗi Laurent số đa trị, kí hiệu  a z   n Một cách dễ dàng, đa giác chuẩn hóa lũy thừa tồn xác số đa trị  cho a  thỏa yêu cầu mệnh đề Thật vậy, giả sử tồn hai số đa trị:    1 , , n   1, , n    với a  a  Khi phải có k   k Khơng tính tổng quát cách xếp lại tọa độ cần, ta coi n   n Lấy u   u1 , , un1  cho u J      Cho u  u1 , , u n1 thu hẹp u An1  , với  lớp thặng dư  Chúng ta cần thực thay từ zn  z z j  u j 1  j  n  1 để có chuỗi Laurent biến số z mà có hai hệ số khác khơng, cần chọn u j cho khơng có giản ước ngẫu nhiên Nhưng cách xác chọn u u chung, nghĩa có đa thức khác khơng với hệ số  cho u không quỹ đạo khơng đa thức   a u  u   s t n n n 1 n 1    sup a :  n   n  a     s t n n   a u1 un n 11  sup a :  n   n  a  , ta nhận chuỗi Laurent biến số có hai hệ số khác không Điều phủ định giả thiết f tự không lý thuyết đa giác định giá, có số đa trị  thỏa a   40 Định lý 3.1.6 Cho f : A1  S ánh xạ giải tích đến đa tạp Abel S Khi f phép tịnh tiến nhóm đồng cấu từ Gm đến S Chứng minh Theo lý thuyết phép tịnh tiến S , ta giả sử (mà khơng tính tổng quát) f 1  Cho  : S  A đồng cấu hạn chế S giống mở rộng (bởi lũy thừa hình xuyến) đa tạp Abel A Theo chứng minh trang 401 [5],  f nhóm đồng cấu từ Gm đến A Lấy  z1 , z2   Gm  Gm ý ánh xạ giải tích  từ Gm  Gm đến S định nghĩa 1   z1 , z2   f  z1z2   f  z1   f  z2  1 Vì   f nhóm nhân đồng cấu,   ánh xạ từ Gm  Gm đến phần từ đồng A Do  xem ánh xạ giải tích đến lũy thừa hình xuyến T Theo mệnh đề 3.1.5 tính lồi từ T vào nhân tử nên  nhóm đồng cấu thực Chính xác hơn,   z1 ,1   1, z2   ,  ánh xạ đến đồng Nói cách khác, f nhóm đồng cấu  Định lý 3.1.7 Cho X  S nhóm đóng đa tạp Abel S Cho f : A1  X ánh xạ giải tích khơng Khi ảnh f chứa phép tịnh tiến đa tạp Abel không tầm thường S chứa X Chứng minh Theo định lý 3.1.6, ánh xạ f phép tịnh tiến nhóm đồng cấu Vì vậy, theo [16,p.84], bao đóng Zariski ảnh f phép tịnh tiến nhóm S  Hệ 3.1.8 (Định lý Bloch trường không Acsimet) Nếu X đa tạp xạ ảnh không suy biến mà đa tạp Abel có số chiều lớn dim X , ánh xạ giải tích từ A1 đến X suy biến đại số Chú ý Trong [5], hệ nói khơng số hạn điểm kì dị q  dim H  X ,O X  số chiều đa tạp Abel Trong trường đặc số không, 41 hai nhau, ví dụ Igusa trường đặc số khác số chiều đa tạp Abel nhỏ số chiều không gian 1-dạng 3.2 Sự suy biến đại số ánh xạ giải tích trường không Acsimet bỏ đủ nhiều ước số Trong phần ta phát triển trường không Acsimet tương tự cách làm Noguchi Winkelmann Cho X đa tạp xạ ảnh không suy biến đối chiều Gọi Pic  X  không gian phân lớp ước số Cartier X nâng lên tuyến tính tương đương Những lớp ước số Pic  X  mà tương đương đại số đến khơng kí hiệu Pic0  X  , Pic0  X  đa tạp Abel, biết đến đa tạp Picard, mà đối ngẫu với đa tạp Abel, xem ví dụ, [9] Tập thương Pic  X  / Pic0  X  nhóm sinh hữu hạn, gọi nhóm Néron-Severi X kí hiệu NS  X  Tính sinh hữu hạn NS  X  định lý Severi trường đặc số không Néron trường đặc số dương Nó phát biểu Lang-Néron, xem ví dụ, [10], tràn đối đồng điều, xem ví dụ, [12] Chúng ta nghiên cứu ảnh tắc ước số D NS  X  lớp Chern ước số kí hiệu c1  D  Trên trường đặc số khơng X khơng suy biến, điều với khái niệm lớp Chern H  X , Z  đến từ bpó dãy hàm mũ Trên trường đặc số xác định, ta nhúng NS  X  nhóm tràn đối đồng điều, xem ví dụ, [12], hiểu c1 theo nghĩa Đối với chúng ta, diễn giải đối đồng liều khơng quan trọng, thường đơn giản cách hiểu c1 đồng cấu từ ước số đến NS  X  Nếu  :Y  X cấu xạ (hoặc nhiều ánh xạ hữu tỉ thông thường) từ đa tạp xạ ảnh Y , không suy biến đối chiều, đến đa tạp xạ ảnh khơng suy biến X , D thuộc Pic0  X   * D thuộc Pic0 Y  theo [9,Ch V, Prop 1] Do đó, 42 ánh xạ kéo ngược lớp ước số  * : Pic  X   Pic Y  cảm sinh đồng cấu  * : NS X   NS Y  Chúng ta bắt đầu thảo luận ánh xạ giải tích từ A1 bỏ đủ nhiều ước số hữu hiệu đến phần lớn nhóm suy biến lớp Chern chúng Định lý 3.2.1 Cho Y đa tạp xạ ảnh kì dị cho  :Y  X cấu xạ đến đa tạp xạ ảnh trơn X Gọi Di i 1 l ước số hữu hiệu bất khả quy X l cho  * Di i 1 dạng ước số hữu hiệu Cartier phân biệt Y Giả sử số l lượng hợp thành bất khả quy l lớn số chiều nhóm sinh c1  Di  NS  X  Khi ánh xạ giải tích từ A1 đến Y suy biến đại số giao giá  * Di Bất kì r hàm nguyên không phụ thuộc đại số biểu diễn ánh xạ giải tích khơng suy biến từ A1 đến Y  X   P1  bỏ r ước số định nghĩa điểm  r nhân tử chung P1 cho thấy định lý tối ưu phụ thuộc số chiều nhóm sinh c1  Di  Điển hình ta cho Y đa tạp đóng X Trong trường hợp đó, ánh xạ  phép lồi X ,  * Di Di  Y xét mặt lý thuyết Chú ý không giống với [13], không cần thiết thiết lập giả định cho vị trí tổng quát Di , khác  * Di phân biệt Trong trường hợp Y  X  P n , có kết tiếng ánh xạ giải tích trường khơng Acsimet từ A1 đến P n mà bỏ hai siêu mặt phân biệt suy biến đại số Chứng minh Cho f : A1  Y ánh xạ giải tích khơng suy biến đại số.Cho Y tiêu chuẩn hóa Y , mà khơng kì dị đối chiều Cho  :Y  X hợp thành ánh xạ tự nhiên từ Y đến Y với  :Y  X 43 Nếu f khơng suy biến đại số Y khơng chứa quỹ tích bất định hàm hữu tỉ từ Y đến Y , nâng lên (giống với chứng minh hệ 3.1.4) đến ánh xạ giải tích f từ A1 đến Y Theo giả thiết có nhiều hợp thành Di hạng nhóm c1  Di  sinh NS  X  , tìm số nguyên không đồng thời không cho  a c  D   Như vậy,  a c  D      a c  D    * i a  D * i i i i * i i i   NS Y , suy biến đại số tương đương đến khơng Y Vì Y ánh xạ vào * Y , theo giả thiết  * Di phân biệt, nên ta có  Di phân biệt Ta có không đồng thời không, nên a  D * i i không đồng thời ước số không Y Nếu có ánh xạ hữu tỉ khác từ Y đến đa tạp Abel f suy biến đại số theo hệ 3.1.4 Như vậy, khơng tính tổng qt, ta giả sử khơng có ánh xạ hữu tỉ khác từ Y đến đa tạp Abel, hiểu theo nghĩa khác đa   Pic Y  xác tập tạp Abel Y tầm thường Vì đa tạp Picard Pic Y đối ngẫu Cartier với đa tạp   Abel, nên Pic Y tầm thường Nhưng ước số tương đương đại số đến môđun không nên ước số tương đương tuyến tính đến khơng Do ước số tương đương đại số đến khơng Y tương đương tuyến tính đến khơng Như vậy, ta tìm hàm hữu tỉ khác h Y cho div  h    ai D * * Nếu f bỏ giá tất  Di nâng lên f : A1  Y ánh xạ giải tích * bỏ giá  Di Khi đó, h f ánh xạ giải tích từ A1 đến A1 , Như vậy, f suy biến đại số f  Tiếp theo ta nhắc lại, tập hợp ước số hữu hiệu bất khả quy vô hạn Di đa tạp xạ ảnh khơng kì dị X có số chiều m gọi vị trí tổng quát 44 cho  k  m  cách chọn đánh số i1   ik hợp thành bất khả quy Di1   Dik phải đối chiều k X , đặc biệt rỗng k  m  Hệ 3.2.2 Cho Y đa tạp đóng có số chiều dương đa tạp xạ ảnh khơng kì dị X Cho Di i 1 l bất khả quy, hữu hiệu, vơ hạn ước số vị trí l tổng quát X Gọi r hạng nhóm NS  X  sinh c1  Di i 1 l Nếu tồn ánh xạ giải tích khơng suy biến đại số từ A1 đến Y bỏ Di khơng phải tồn Y dimX   l  max r  co dim Y , r  dim Y   Khi r  , r  co dim Y   co dim Y lớn nhất, ví dụ khơng gian tuyến tính Y X  P n bất đẳng thức tối ưu Chúng ta khơng có ví dụ để chứng tỏ tính tối ưu r  , nghi ngờ bất đẳng thức khơng tối ưu trường hợp Khi Y  X  P n , hệ 3.2.2 chứng minh An, Wang Wong [3] Hệ 3.2.3 Cho X đa tạp xạ ảnh khơng kì dị Cho Di i 1 l bất khả quy, l hữu hiệu, vô hạn ước số vị trí tổng quát X Gọi r hạng nhóm NS  X  sinh c1  Di i 1 Gọi f ánh xạ giải tích từ A1 đến X bỏ Di l Khi ảnh f chứa đa tạp đại số Y X cho r.dim X   dim Y  max r  dim X  l ,  l   Đặc biệt, l  max r  dim X , r.dim X  1 f Chú ý Y  X  P n , ánh xạ giải tích từ A1 bỏ n  siêu mặt vị trí tổng quát phải theo bất đẳng thức khuyết Ru [14] Và ánh xạ giải tích 45 từ A1 đến đa tạp xạ ảnh X  P n bỏ dimX  siêu mặt P n vị trí tổng quát với X hệ bất đẳng thức khuyết An [2] Chứng minh hệ 3.2.2 Giả sử f ánh xạ giải tích khơng suy biến đại số từ A1 tới Y bỏ Di Gọi l0 lực lượng tập hợp Di  Y : Y  Di  , ý Di  Y   với i Di giả sử vô hạn Theo định lý, l0  r 1 Bây ước lượng l0 giống [13] Gọi n  dim Y Khơng tính tổng qt ta giả sử D1  Y , D2  Y , , Dl0  Y phân biệt Cho  j  l0 , gọi s j số lượng ước số Di với Di  Y  D j  Y Đánh lại số, ta giả sử s1  s2   sl0  2 Đầu tiên ta xét trường hợp l0  n Vì Di vơ hạn theo định nghĩa l0 , ta có  l0   l    Y   Dj   Y   Dj   j 1   j 1  Vì Di vị trí tổng quát, điều kéo theo dim Y  l0  dim X  l , l  l0  co dim Y  r  co dim Y 1 Trong trường hợp l0  n Một lần nữa, Di vơ hạn,  n      Y   D j   Y   Di  ,  iI   j 1  I  i : Y  Di or Di  Y  D,1  j  n Gọi s0 số lượng ước số Di cho Y  Di Vì ước số vị trí tổng quát, điều kéo theo 46 n s i 0 i  3  # I  dimX Mặc khác, từ   ta có l0 n s  si  i n l0 i 1 i 1 Do đó, l0  si  i 1 Với l0  n , ta có s0  l0 n  si n i 1  4 l0 s0 Kết hợp   ,   1 , ta n l0 l0 n l r l   si   si  dim X  dimX n i 1 n n i 1  Chúng ta kết thúc tương tự định lý Noguchi-Winkelmann cho ánh xạ giải tích trường khơng Acsimet từ A1 Chúng ta ý trường hợp phức, ánh xạ mũ cung cấp ánh xạ giải tích phức khác từ A1  A1   đến A1     A1   , hình học giải tích phức khơng có khác biệt định lý ánh xạ suy biến đại số từ A1   A1   Tuy nhiên, trường hợp trường không Acsimet có ánh xạ từ A1 đến A1 hằng, để có ánh xạ giải tích khơng suy biến từ A1 khó có ánh xạ giải tích không suy biến đại số từ A1 Định lý 3.2.4 Cho Y đa tạp xạ ảnh kì dị mà dẫn nạp giải kì dị Y  Y , cho  :Y  X cấu xạ đến đa tạp xạ ảnh trơn X Gọi Di i 1 l l ước số hữu hiệu bất khả quy X cho  * Di i 1 dạng l ước số hữu hiệu l bất khả quy Y Gọi a số chiều đa tạp Abel Y Gọi r hạng nhóm sinh c1  Di  NS  X  Nếu l  r  dim Y  a ánh xạ giải tích từ A1 đến Y suy biến đại số giao giá  * Di 47 Chú ý Trên trường đặc số không định lý Hironaka, Y dẫn nạp giải kì dị Y Vì lời giải điểm kì dị chưa biết đến trường đặc số rõ ràng, nên xây dựng tồn giải kì dị giả thiết chi tiết Không giống với định lý 3.2.1, cần cấu xạ ánh xạ hữu tỉ đến đa tạp Abel, làm việc với tiêu chuẩn hóa khơng đủ Chứng minh định lý 3.2.4 Gọi  ánh xạ tự nhiên từ Y vào X cảm sinh  Gọi Y  đa tạp thu * cách xóa giá  Di từ Y Theo [16], có cấu xạ  từ Y  đến đa tạp Abel S cho S sinh điểm khác ảnh Y  cho S mở rộng đa tạp Abel A Y lũy thừa hình xuyến Cũng [15], gọi I nhóm Abel tự sinh  Di gọi J hạt nhân ánh xạ từ I đến NS  X  * Khi đó, số chiều S số chiều A cộng với hạng J [15] Gọi K nhóm nhóm Abel tự sinh Di , ánh xạ đến điểm không NS  X  Theo giả thiết, K có hạng l  r Lưu ý ánh xạ  : K  J * * Theo giả thiết  * Di phân biệt thật Y ánh xạ vào Y , nên có  Di * phân biệt Do đó,  nội xạ K vào J , J có hạng thấp l  r Vì vậy, l  r  dimY a dim S  l  r  a  dim Y Nếu S ánh xạ giải tích đến Y khơng chứa quỹ tích kì dị khơng giao giá  * Di f nâng lên ánh xạ giải tích f đến Y  Theo định lý 2.7,  f chứa phép tịnh tiến đa tạp Abel S chứa đa tạp riêng   Y   Vì khác điểm   Y   sinh S , đa tạp   Y   phân bổ đa tạp riêng Abel S , f f suy biến đại số  Áp dụng cách chứng minh trang 606-607 [13], tức là, thay l0  r với l0  r  dim Y  a vào 1 chứng minh định lý 3.2.2, ta chứng minh hệ sau Hệ 3.2.5 Cho Y đa tạp đóng có số chiều dương đa tạp xạ ảnh X dẫn nạp giải kì dị Y  Y Gọi a số chiều đa tạp Abel Y Gọi 48 Di i1 l l bất khả quy, hữu hiệu, vô hạn ước số vị trí tổng quát X Gọi r hạng nhóm NS  X  sinh c1  Di i 1 Nếu tồn ánh xạ giải tích l khơng suy biến đại số từ A1 đến Y bỏ Di mà khơng chưa tất Y  l  dim X  dim Y  dim X max 0, r  a Hệ 3.2.6 Cho X đa tạp xạ ảnh khơng kì dị trường đặc số không Gọi Di i1 l l  dim X bất khả quy, hữu hiệu, vô hạn ước số vị trí tổng quát X , gọi r hạng nhóm NS  X  sinh c1  Di i 1 Gọi f ánh xạ l giải tích từ A1 đến X bỏ Di Khi ảnh f chứa đa tạp đại số Y X cho dim Y  r.dim X l  dim X Đặc biệt, l   r  1 dim X  f  49 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số nội dung sau đây: Chương 1: trình bày kiến thức sở bao gồm trường không Acsimet (mà trường số phức p-adic ví dụ); hàm chỉnh hình, hàm phân hình, đường cong giải tích (chỉnh hình); siêu mặt xạ ảnh Chương 2: trình bày vấn đề hàm giải tích p-adic; ánh xạ giải tích trường khơng Acsimet gồm ánh xạ giải tích khuyết siêu phẳng, ánh xạ nâng, đa tạp Fermat Chương 3: trình bày suy biến Đại số ánh xạ giải tích trường khơng Acsimet, ánh xạ giải tích trường không Acsimet đến đa tạp Abel Đồng thời, luận văn chứng minh kết tương tự Noguchi Winkelmann, suy biến đại số ánh xạ giải tích thơ đến đa tạp xạ ảnh bỏ ước số hữu hiệu với đủ nhiều hợp thành tương ứng bất khả quy nhóm Néron – Severi đa tạp 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh T T H An, Cherry W., Wang J T Y (2008), Agebraic degeneracy of nonArchimedean analytic maps T T H An (2007), A defect relation for non-Archimedean analytic curves in arbitrary projective varieties, Proc Amer Math Soc., 135, pp 1255-1261 T T H An, Wang J T Y., Wong P M (2008), Non-Archimedean analytic curves in the complements of hypersurface divisors, J Number Theory 128 Cherry W (1993), Hyperbolic p-Adic Analytic Spaces, PhD Thesis Cherry W (1994), Non-archimedean analytic curves in abelian varietis, Math Ann., 300, pp 393 – 404 Fulton W (2008), “Algebraic curves”, An introduction to Algebraic Geometry Hu P C., Yang C C., Meromorphic functions over Non-Archimedean fields Koblitz N., p-adic Number, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Springer-Verlag Lang S (1983), Abelian varieties, Intercience Publishers, Inc 10 Lang S (1983), Fundamentals of Diophantine Geomatry, Graduate Texts in Mathematics, vol 191 11 Lang S., Introduction to Complex Hyperbolic Spaces, Springer-Verlag, 987 12 Milne J (1980), “Etale Cohomology”, Princeton Mathematical Series, vol 33 13 Noguchi J., Winkelmann J (2002), Holomorphic curves and integral points off divisors, Math Z., 239, pp 593 – 610 14 Ru M (2001), A note on p-Adic Nevanlinna theory, Pro Amer Math Soc., 129, pp 1263 – 1269 Tiếng Pháp 15 Serre J.P (1959), Morphismes universels et différentielles de troisième espèce, Séminaire Claud Chevalley 4, Exposé 11 16 Serre J.P (1959), Morphismes universels et variété d’Albanese, Séminaira Claude Chevalley 4, Exposé 10 ... Chương SỰ SUY BIẾN ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET 37 3.1 Các ánh xạ giải tích trường khơng Acsimet đến đa tạp Abel 37 3.2 Sự suy biến đại số ánh xạ giải tích trường. .. tạp cấu xạ không dẫn nạp đến đa tạp Abel, ánh xạ giải tích từ A1 đến X suy biến đại số 38 Hệ 3.1.3 Nếu X đa tạp xạ ảnh khơng kì dị trường đặc số khơng với số khơng quy dương, ánh xạ giải tích từ... X đa tạp xạ ảnh dẫn nạp ánh xạ hữu tỉ không đến đa tạp Abel, ánh xạ giải tích từ A1 đến X suy biến đại số Chứng minh Cho  : X  A ánh xạ hữu tỉ khác vào đa tạp Abel cho f ánh xạ giải tích từ